PCA再现了时间序列的各个数据点。这一发现通常归因于Hecht Nielsen（1994）。准确地说，但时间序列的cro-ss相关性的再现并不是很好，主要是因为低估了波动性。换句话说，RFM保留了数据的结构，但不一定是单个时间序列的细节，而PCA表示保留了细节，但不一定是相关结构。值得指出的是，主成分分析法适用于保留时间序列的协方差，而不是相关性。RFM绝不适用于数据，因此相关性的保存非常重要。之前的文献比较了随机投影法和主成分分析法的性能，发现结果与我们的结果相似。宾厄姆和曼尼拉（2001）发现，在图像数据压缩和文本聚类方面，随机投影方法的表现明显优于PCA。Goal等人（2005年）发现，尽管PCA在维数较少的情况下更准确，但随机投影与PCA相比更具优势。Tang等人（2005）发现，在文本聚类中，基于PCA的方法在维数较小的情况下提供了更好的准确性，而在维数较高的情况下，随机投影方法占主导地位。Deegalla和B ostrom（2006）发现，在五个图像数据集和五个微阵列数据集中，主成分分析以少量维度为主，但当数据维度增加时，其性能会恶化（交叉发生在15–150维度，具体取决于数据集），而随机投影在高维度上占主导地位。我们的发现与之前的研究结果一致。RFMs领域是由大量长时间序列组成的巨大数据集的领域。

RFM回答了这个问题：一般线性因子模型需要多少因子才能以特定的精度描述数据。感谢作者感谢Petri Niininen博士收集初始数据集。J.Lukkarinen的研究得到了芬兰科学院分析与动力学研究执行中心（项目271983）和一个科学院项目（项目258 302）的支持。这项工作还得益于法国国家研究机构（ANR）的EDNHS ANR-14-CE25-0011项目的支持。JL感谢Antti Knowles就随机矩阵模型进行的讨论和参考。参考文献Achlioptas，D.（2003年）。数据库frie ndly随机预测：约翰逊-林登斯特劳斯与二进制硬币。计算机与系统科学杂志66（4），671-687。亚历山大·C.（2001）。市场模型：财务数据分析指南。乔恩·威利父子公司。亚历山大，C.（2009年）。市场风险分析，风险价值模型，第4卷。约翰·威利父子公司。阿马多，J.J.（2007）。用于有损图像压缩的随机投影和正交性。图像和视觉计算25（5），754–766。贝尔曼，R.（1957）。动态规划。林塞顿大学出版社。比林斯利，P.（1995年）。支持婴儿和测量，长官。概率和数理统计。纽约：威利。宾厄姆、E.和H.曼尼拉（2001年）。降维中的随机投影：应用于图像和文本数据。第七届ACM SIGKDD知识发现和数据挖掘国际会议记录，第245-250页。ACM。布鲁姆，A.（2006）。随机投影、边距、核和特征选择。计算机科学课堂讲稿3940,52。Boivin，J.和S.Ng（2006年）。因子分析的数据越多越好吗？《经济计量学杂志》132（1），169-194。Bun，J.，J.-P.Bouchaud和M.Potters（2017年）。

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数学物理通讯177（3），727–754。Vempala，S.S.（2005年）。《随机投影法》，第65卷。美国数学协会。本文证明了随机因子模型中投影算子的均值和方差的以下结果。定理A.1假设k≥ 1，d≥ 2和随机矩阵B的矩阵元素∈Rk×i.i.d.和N（0，1）-分布。对于某些给定值大于0的情况，定义一个新的随机矩阵P∈Rd×dby P:=aBTB。然后对于每一个非随机向量u，v∈ r以下所有结果都成立：1。E[（pu）m]=akumfor all m，and[upu]=akuu.2。Var（（pu）m）=ak嗯| u|对于所有的m.3。E[cpu，pv]=ak（d+k）Cu，v+akduuuv.4。如果uu=uv=0且d≥ 4，然后是Var（CP u，Pv）≤ 该定理的主要应用是上述结果的以下结果：推论A.2假设k≥ 1，d≥ 4和随机矩阵B的矩阵元素∈Rk×i.i.d.和N（0，1）-分布。设置a=[k（k+d）]-1/2定义P=aBTB。然后对于每一个b>0和非随机向量u，v∈ Rd，当uu=uv=0时，以下所有结果均成立：1。E[（pu）m]=[k/（k+d）]1/2μm，对于所有m和[upu]=0.2。Var（（P u）m）=嗯+（d）- 1） σu/（d+k）适用于所有m.3。E[cpu，pv]=Cu，v.4。P[| CP u，P v- Cu，v|≥ b]≤kbσuσv.推论的证明：通过增加假设uu=uv=0，样本方差的定义产生恒等式|u |=（d- 1） σuand | v |=（d）- 1） σv.因此，项目1、2和3是使用a=1/（k（d+k））的直接推论。另一方面，如果我们用s表示CP u的标准偏差，PvBy s，那么通过切比雪夫不等式，我们得到了P[| CP u，Pv- Cu，v|≥ [政务司司长]≤ C-2对于任何c>0的情况。因此，用c:=b/S表示P[| Cpu，Pv- Cu，v|≥ b]≤ 某人-2.

因此，定理的第4项暗示了推论的last项中的界。定理证明：假设k，d，B，a，P，u，v如定理中所示，并定义Z:=pu，Z′=pv和C:=cpu，pv.Zm，Z′m，m=1，2，d、 C都是实值r和O变量。以下结果也可以通过依赖于Wick乘积规则（即Isserlis定理）的简单但相当长的直接估计来证明，该定理适用于当前的高斯随机变量Bjm。通过使用Wick多项式展开，可以更好地控制相关的组合数学。对于高斯随机变量的当前情况，Wick多项式简化为Hermite多项式；附录A（Lukkarinen and Marcozzi，2016）简要总结了一般Wick多项式的定义和主要性质，我们参考了J anson（1997）；Peccati和Taqqu（2011年）；Lukkarinen等人（2016），以获取更详细的论述。我们依赖于随机变量多项式的任意中心期望的Wick多项式展开式：对于r和om变量x，x，…，的任何乘积，当Corres-ponding索引集I={1，2，…，n}时，一个hasnYi=1xi-EnYi=1xi=十、6=EIE易∈I\\Exi:易∈Exi:。（17） 对于任何m=1，2，d、 定义y ie ldZm=（P u）m=adXn=1kXj=1BjmBjnun。（18） 由于Bjmare i.i.d.以标准化高斯为中心，这意味着[Zm]=adXn=1kXj=1{n=m}un=akum，（19）其中{n=m}代表一个指示函数，当n=m时，其值为1，否则为0。因此[upu]=dPdn=1E[Zm]=akuuAsE[Bjm]=0，将变量Zm居中产生以下简单的Wick多项式表达式：Zm-E[Zm]=adXn=1unkXj=1:BjmBjn:。

（20） Wick多项式的有用性在于其乘积满足与累积量展开式相同的简单乘积的性质，另外还有一条规则，即在其中一个Wick多项式内具有指数簇的任何分区都将从展开式中丢失。例如，对于任何随机变量x，x，x，x-不需要是独立的，也不需要是高斯单相[：xx：：xx:]=κ[x，x，x，x]+κ[x，x]κ[x，x]+κ[x，x]κ[x，x]，（21），其中κ表示累积量。这里，例如，κ[x，x]=Cov（x，x）。将其应用于b变量yieldsE[：BjmBjn:：Bj′m′Bj′n′：={j′=j，m′=m}{j′=j，n′=n}+{j′=j，n′=m}{j′=j，n=m′}，（22）因为对于高斯随机变量，第四累积量等于零。因此，通过（20）和（22），我们得到了cov（Zm，Z′m′）=E[（Zm-E[Zm]（Z′m′）-E[Z′m′]）]=adXn′，n=1unvn′kXj′，j=1E[：BjmBjn:：Bj′m′Bj′：=ak{m′=m}dXn=1unvn+kum′vm！=ak{m′=m}u·v+um′vm, （23）因此，特别是Var（Zm）=E[（Zm-E[Zm]）]=ak|u |+um. （24）因此，我们现在已经证明了定理的前两项。在剩下的两项中，组合数学逐渐变得更重。让我们从标量乘积pu·pv=Z·Z′=dXm=1ZmZ′m=dXm=1ZmZ′m+akdXm=1（umz′m+vmzm）+akdXm=1umvm（25）开始，其中zm=zm-E[Zm]=Zm- akum，z′m=z′m-E[Z′m]=Z′m- akvm表示中心变量。对m′=m取一个期望值并使用（23），从而使[pu·pv]=dXm=1ak（u·v+umvm）+aku·v=ak（d+1+k）u·v。（26）C的定义明确地解读为Yc=CP u，Pv=d- 1dXm=1（pu）m（pv）m-dd- 1upuupv=d- 1Z·Z′-dd- 1uZuZ′。（27）为了计算它的期望值，我们仍然需要评估[uZuZ′]=Cov[uZ，uZ′]+E[uZ]E[uZ′]=ddXm′，m=1Cov[Zm，Z′m′]+akuuuv=akddXm′，m=1{m′=m}u·v+um′vm+ akuuuv=akdu·v+ak（k+1）uuuv。

（28）因此，E[C]=akd- 1（d+k）u·v-dd- 1ak（k+1）uuuv=ak（d+k）Cu，v+akduuuv，（29）在上一步中，我们使用了标识u·v=（d- 1） Cu，v+duuuv。对于最终结果，让我们另外假设uu=uv=0。为了避免使用itera多项式，让我们从C=d开始-1Z·Z′-dd-1uZuZ′并将这两项分别以芯形式表示。也就是说，现在uZuZ′=addXn′，n=1vn′undXm′，m=1kXj′，j=1BjmBjnBj′m′Bj′n′，（30），其中四个B因子的乘积可以使用Wick多项式展开（17）。由于只有偶数个B:s的产品的期望值可以是非z-e-ro，因此我们得到了bjmbjnbj′m′Bj′n′-[BjmBjn[BjmBjn[BjmBjn[Bjmbbjn[BjmBjn[BjmBjn[BjmBjn[BjmBjn[Bj北京[Bjbj北京[Bjbjbj北京[Bjbjmbjn[Bjbjbjbjbjn[Bjbjbjbjbj[Bjbjbjn[Bjbjbjbjbj[BJn[Bjbjbjbjbjn[北京[北京[北京[Bjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbj[北京[北京[北京[北京[北京[bjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbjbj[北京[北京[北京[北京[北京[北京[北京[北京[北京BjmBjn:+{j′=j}{m=m′}:BjnBjn′：+{m=n′}:BjnBjm′：+{m′=n}:BjmBjn′：+{n=n′}:BjmBjm′：（31）因此，uZuZ′-E[uZuZ′）=addXn′，n=1vn′undXm′，m=1kXj′，j=1:BjmBjnBj′m′Bj′+addXn′，n=1vn′unkXj=1:BjnBjn′：+addXn′，n=1vn′unkXj=1:BjnBjn′+add- 1dCu，vdXm′，m=1kXj=1:BjmBjm′，（32）其中我们应用了假设uu=0=uv- 1Z·Z′=ad- 1dXn′，n=1vn′undXm=1kXj′，j=1BjmBjnBj′mBj′，n′，（33）和（31）BjmBjnBj′mBj′n′-E[BjmBjnBj′mBj′n′]=：BjmBjnBj′mBj′n′：+{m=n}:Bj′mBj′n′：+{m=n′}:BjmBjn:+{j′=j}:BjnBjn′：+{m=n′}:BjnBjm:+{m=n}:BjmBjn′：+{n=n′}:BjmBjm:, （34）我们得到了Wick多项式展开式- 1Z·Z′-ED- 1Z·Z′=公元- 1dXn′，n=1vn′undXm=1kXj′，j=1:BjmBjnBj′mBj′n′＋ad- 1（2k+d+2）dXn′，n=1vn′unkXj=1:BjnBjn′+aCu，vdXm=1kXj=1:BjmBjm:。（35）将上述结果结合在一起，最终得出中心C，C的Wick多项式展开式-E[C]=ad- 1dXn′，n=1vn′undXm=1kXj′，j=1:BjmBjnBj′mBj′n′：-广告（d）- 1） dXn′，n=1vn′undXm′，m=1kXj′，j=1:BjmBjnBj′m′Bj′n′＋ad- 1（2k+d+1）dXn′，n=1vn′unkXj=1:BjnBjn′+aCu，vdXm=1kXj=1:BjmBjm:-adCu，vdXm′，m=1kXj=1:BjmBjm′：。

（36）我们用这个公式计算Var（C）=E[（C-E[C]）]。在包含不同degr ee Wick多项式的乘积的扩展公式中，由于六个B因子使用了三对，其中一对连接了四次多项式中的两个元素。因此，例如，E[：BjmBjnBj′m′Bj′n′：：BjmBjm′：=0。结果表明，二阶项的乘积产生了主要贡献。在完成因子广告后-2（d）- 1)-2.它的意思很明确d（2k+d+1）dXn′，n=1vn′unkXj=1:BjnBjn′：+du·vdXm=1kXj=1:BjmBjm:-u·vdXm′，m=1kXj=1:BjmBjm′：= d（2k+d+1）dXn′，n，n′，n=1vn′unkn′unkXj，j=1E[：BjnBjn′：BjnBjn′：：+d（u·v）dXm，m=1kXj，j=1E[：BjmBjm:：BjmBjm:+（u·v）dXm′，m，m′，m=1kXj，j=1kXj，j[：bjmbjjm′：：：：：+2d 2k+d+1）u·vdn n′，n=1dmbjnxj:]- 2d（2k+d+1）u·vdXn′，n=1vn′unkXj，j=1dXm。m′=1E[：BjnBjn′：BjmBjm′：]- 2d（u·v）kXj，j=1dXm，m.m′=1E[：BjmBjm：：BjmBjm′：，（37）简化了tod（2k+d+1）k（|u | v |+（u·v））+2d（u·v）dk+2（u·v）kd+4dk（2k+d+1）（u·v）- 0- 4dk（u·v）=d（2k+d+1）k | u | | v |+[d（2k+d+1）k+2dk+2dk+4dk（2k+d）]（u·v）。（38）在剩余的乘积中，允许的配对与排列一一对应，其中le ft乘积中的每个因子与右乘积中处于其“排列”位置的因子配对。

因此，对于订单四项，我们得到的金额超过4！=24项，即E[：BjmBjnBj′m′Bj′n′：：BjmBjnBj′m′Bj′n′：={j=j，j′=j′）{m=m，n=n}+{m=n，n=m}×{m′=m′，n′=n′}+{m′=n′，n′=m′}+{j=j′=j′}{m=m，n=m′}{m′=n，n′=n′}+{m′=n′，n′=n}+{j=j′=j′}{m=m，n=n′}{m′=n，n′=m′}+{m′=m′，n′=n}+{j=j′=j′}{m=n，n=m′}{m′=m，n′=n′}+{m′=n′，n′=m}+{j=j′=j′}{m=n，n=n′}{m′=m，n′=m′}+{m′=m′，n′=m}+{j=j′，j′=j}{m=m′，n=n′}+{m=n′，n=m′}×{m′=m，n′=n}+{m′=n，n′=m}+{j=j′=j′}{m=m′，n=m}{m′=n，n′=n′}+{m′=n′，n′=n}+{j=j′=j′}{m=m′，n=n}{m′=n′，n′=m}+{m′=m，n′=n′}+{j=j′=j′}{m=n′，n=m}{m′=m′，n′=n}+{m′=n，n′=m′}+{j=j′=j′}{m=n′，n=n}{m′=m，n′=m′}+{m′=m′，n′=m}. （39）因此，kXj′，j，j′，j=1E:BjmBjnBj′m′Bj′n′：BjmBjnBj′m′Bj′n′：= K{m=m，n=n}+{m=n，n=m}×{m′=m′，n′=n′}+{m′=n′，n′=m′}+{m=m′，n=n′}+{m=n′，n=m′}×{m′=m，n′=n}+{m′=n，n′=m}+ K{m=m，n=m′}{m′=n，n′=n′}+{m′=n′，n′=n}+{m=m，n=n′}{m′=n，n′=m′}+{m′=m′，n′=n}+{m=n，n=m′}{m′=m，n′=n′}+{m′=n′，n′=m}+{m=n，n=n′}{m′=m，n′=m′}+{m′=m′，n′=m}+{m=m′，n=m}{m′=n，n′=n′}+{m′=n′，n′=n}+{m=m′，n=n}{m′=n′，n′=m}+{m′=m，n′=n′}+{m=n′，n=m}{m′=m′，n′=n}+{m′=n，n′=m′}+{m=n′，n=n}{m′=m，n′=m′}+{m′=m′，n′=m}. （40）对于涉及Z′·Z的术语，我们还需要将该结果限制在m=m′或m=m′：dXm=1kXj′，j，j′，j=1E的情况下:BjmBjnBj′mBj′n′：BjmBjnBj′m′Bj′n′：= （k+k）{m′=m，n=n，n′=n′}+{m′=n′，m=n′，n}+{m′=n，m=n，n′=n′++{m′=n′，m=n，n′=n}+{m′=m，n=n′=n，n=n′，n=n+{m′=n，m=n′，n=n′=n，m=n′，n+{m′=n，m=n′=n，m=n′=n，n′=n，n′=n，n′=n，n′=n，n′+ 2K{m′=n，m=n，n′=n′}+{m′=n′，m=n，n′=n}+{m′=n′，m=n，n=n′}+{m′=n′，m=n′，n=n}.

（41）然后我们可以收集这里需要的三个术语，它们是dxm，m=1kXj′，j，j′，j=1E:BjmBjnBj′mBj′n′：BjmBjnBj′mBj′n′：= k（k+1）n=n，n′=n′}+{n′=n′，n=n}+{n=n，n′=n′}+{n′=n，n′=n}+d{n=n′，n=n′，n′=n}+{n=n′，n′=n}+{n=n′，n=n′+{n=n′，n=n′，n=n+ 2K{n=n，n′=n′}+{n′=n，n′=n}+{n′=n，n=n′}+{n′=n′，n=n}= [（d+2）k（k+1）+4k]{n=n，n′=n′}+2k（k+1）{n′=n，n′=n}+[（d+2）k（k+1）+4k]{n=n′，n′=n}，（42）dXm，m，m′=1kXj′，j′，j=1E:BjmBjnBj′mBj′n′：BjmBjnBj′m′Bj′n′：= k（k+1）d{n=n，n′=n′}+{n=n}+{n′=n′}+{n′=n}+d{n=n′，n′=n}+{n′=n}+{n=n′+{n′=n}+ 2K{n′=n′}+{n′=n}+{n=n′}+{n=n′}+{n=n}, （43）和dxm，m′，m，m′=1kXj′，j，j′，j=1E:BjmBjnBj′m′Bj′n′：BjmBjnBj′m′Bj′n′：= Kd{n=n，n′=n′}+d{n=n}+d{n′=n′}+1+d{n=n′，n′=n}+d{n=n′}+1+ K3d{n′=n′}+3d{n′=n}+3d{n=n′}+3d{n=n}++2+d{n=n′，n′=n}+d{n′=n′，n=n′，n=n}. （44）这个庄园ddXn′，n=1vn′undXm=1kXj′，j=1:BjmBjnBj′mBj′n′：-dXn′，n=1vn′undXm′，m=1kXj′，j=1:BjmBjnBj′m′Bj′n′：= dk[（d+2）（k+1）+4]|u | v |+（u·v）[（d+2）（k+1）+4+2（k+1）]+ dk（k+1）（|u | v |+（u·v））- 2dk（k+1）（|u | v |+（u·v））=dk[（dk+d+k+5）| u | v |+（dk+d+3k+7）（u·v）]。（45）将该项与（38）相加，并将结果乘以ad-2（d）- 1)-2yieldsVar（C）=E[（C-E[C]）]=ad（d- 1） dkh（2k+d+1）|u | v |+（dk+d+k+5）|u | v |+[（2k+d+1）+2D+2+4（2k+d）]（u·v）+（dk+d+3k+7）（u·v）i=a（d）- 1） kh（4k+d+5DK+5k+3d+6）|u | | v |+（4k+d+5DK+15k+9d+10）（u·v）i≤a（d）- 1） 2k | u | v |（4k+d+5DK+10k+6d+8）=a2kσuσv（4（k+d）- 三维- 3DK+10k+6d+8）。（46）如果d≥ 4.我们有-3d- 3dk+10k+6d+8≤ 0代表所有k≥ 1.因此，对于d≥ 4，上界可以简化为定理中给出的形式，即thenVar（C）≤ a8k（k+d）σuσv.（47）这是定理的证明。注A.3（46）中的确切界限也可以用其他方式近似。

选择推论中的正规化，a=1/（k（d+k）），并假设d>> k、 我们得到了估计的Var（C）。2σuσv/k，前置因子从8减少到2。当k>> d、 备注A.4关于矩阵元素之间的相关性（e被视为i.i.d.）快速衰减的假设对于上述现象的发生非常重要。然而，每个矩阵元素分布的精确统计数据所起的作用要小得多。对于实例e，考虑代替高斯N（0，1）-分布的矩阵元素，将它们从具有高达四阶矩的其他分布中提取出来。例如，假设每个B=BJMH的分布均为零，E[B]=0，方差c=E[B]，第四个累积量c=κ[B，B，B，B]。如下图所示，理论中前三项的结果变化是引入了总体尺度，并且对b:=c/c的依赖性相对较弱，b的分布的峰度过大。明确地说，我们得到的不是等式（22），而是[：BjmBjn:：Bj′m′Bj′n:]=c{j′=j，m′=m}{j′=j，n′=n}+{j′=j，n′=m}{j′=j，n=m′}+b{j′=j，m′=m=n=n′}. （48）因此，我们得到[（Pu）m]=cakum，（49）Cov（（Pu）m，（pv）m′）=cak{m′=m}u·v+um′vm+b{m′=m}umvm, （50）并追溯上述证明的必要步骤，因此yieldsVar（（pu）m）=cak|u |+（1+b）嗯, （51）c-2E[CP u，Pv]=ak（d+k）Cu，v+akduuuv+akb1.-DCu，v+dd- 1uuuv. （52）因此，对于以uu=0=uvis为中心的时间序列，保持平均协方差的标度由a=cpk[d+k+b（1）给出- 1/d）]。（53）因此，改变分布的主要效果是一个相当明显的标度，它对应于将B的方差标准化为1。第四个累积量的影响不大，但至少与k和d一样大。

第三个累积量在上述计算中不起作用；然而，它会影响CP u，Pv的方差值。事实上，Var（CP u，Pv）的计算中引入了很多新项。然而，只要高阶累积量与k和d不可比，所有这些仍然被认为是高斯贡献的次优势。在上面的显式示例中，每个高阶累积量都应该引入新的限制，以减少在定理证明中计算的配对部分所产生的组合因子。