该事件发生的概率为（Vi，T≤ Di）=P（Vi，0Xi，T≤ Di）=P（Xi，T≤ ln（Di/Vi，0））i=1。。。，N（8），其中Xi，t=exp{（ui-Pmj=1σij）t+Pmj=1σijWj，t}对于i=1，。。。，N.P（Xi，T）≤ ln（Di/Vi，0））=Nm（ln（Di/Vi，0））i=1。。。，N（9）其中Nm（.）是m>1时Xi，tw的累积正态分布。对于m=1，Vi，t=Vi，0exp，从（4）和（5）中检索单因素模型ui-（σi）t+σiWii=1。。。，N（10）和p（Vi，T）≤ Di=Ns（ln（Di/Vi，0））i=1。。。，N（11），其中Ns（.）是Xi的累积正态分布，t当m=1时。上述模型与信用风险分析中常用的单因素和多因素模型密切相关（Tasche，2006；Pykhtin，2004；Vasicek，2002）。在这些论文中，两种资产之间的成对相关性没有直接建模。假设两项资产均与一个（或多个）基础因素相关，且资产以公共因素为条件相互独立。通过假设每个布朗运动Bi，t=√ρY+√1.- ρi、 i=1。。，m、 其中Y是（单个）公因数，以及对于j，k=1。。。，我和上面一样。3散度度量和相关矩阵的模拟我们通过测量这两种概率之间的Jeffreys-KullbackLeibler散度来检验（11）和（9）之间的差异。设f（x）和f（x）是Rm上的两个概率分布函数，其中m是上文第2节中的依赖布朗运动数。f（x）和f（x）之间的Je ffreys-Kullback-Leibler散度度量定义为：j（f，f）=I1,2（f，f）+I2,1（f，f）（12），其中I1,2（f，f）=Z∞f（x）对数f（x）f（x）dx（13）是Kullback-Leibler散度或交叉熵。（Kullback和Leibler，1951年）。

尽管（13）确实满足I1,2（f，f）=0，并且每当f6=f时，正性条件I1,2（f，f）>0，但它不是真正的度量距离，因为它不是对称的，也不满足三角形不等式（Ullah，1996）。然而，它可以被认为是f（x）和f（x）之间的“熵距离”。它量化了当真实分布为f（x）时，将f（x）视为正确的概率分布时发生的信息损失。如果我们使用库尔贝克-莱布勒散度度量，我们将不得不任意决定多因素违约概率还是单因素违约概率才是真正的违约概率。由于Kullback-Leibler散度的不对称性，如果假设多因子分布fm为真实分布，则Im，s（fm，fs）=R∞fm（x）日志fm（x）fs（x）dx，与Is不同，m（fs，fs）=R∞fs（x）对数fs（x）fm（x）dx。在本文中，我们仅限于测量两种不同的公司违约模型导致的违约概率之间的差异，而没有对任何一种模型的准确性做出优先假设。

因此，我们选择Kullback和Leibler（1951）以及Burbea和Rao（1982）中提出的Kullback-Leibler测度的对称性扩展，即Jeffreys-Kullback-Leibler散度测度。将（13）代入（12），（12）变成j（f，f）=Z∞（f（x）- f（x））对数f（x）f（x）dx（14）（14）仍然是一个伪度量，因为它违反了三角形不等式，但它确实满足度量的其他性质（Kullback and Leibler，1951；Ullah，1996）。（13） 当f（x）为均匀分布时，即。-R∞f（x）log（f（x））dx。3.1模拟相关矩阵模拟随机相关矩阵最直接的方法是从给定分布生成随机数据，然后计算它们的成对相关性。然而，结果矩阵可能不一定具有所需的一致高（或低）成对相关性。模拟的相关结构也应该是真实的。所有有效对角线项均等于0.9的确定性矩阵将满足具有高相关性结构的要求。然而，对于大多数金融市场中发现的资产相关性而言，这将是一个非常糟糕的结果。为了系统地生成具有给定相关性的真实正定义矩阵，我们采用了Hardin等人（2013）创建的算法。在他们的论文中，一个“噪声”被添加到一个相关矩阵中，这样得到的矩阵将具有成对的相关块，其值在预定范围内。更准确地说，让S=（Sij）mi，j=1b是通过计算随机数据的成对相关性生成的m×m矩阵。根据均匀概率分布，我们得出一个“噪声”δij∈ [-1，1]添加到Sij，i6=j，受结果项^Sij=Sij+δij，i6=j应在[ρmin，ρmax]之间的限制。

在我们的“高资产相关性”场景中，所有条目都在[-0.99, -0.8]或在[0.8,0.99]范围内。在“低资产相关性”的备选方案中，所有条目都在[-0.4, -0.1]或在[0.1,0.4]范围内。我们对Hardin等人（2013）算法的主要修改是，我们允许δij、ρmin和ρmax为负，因为金融资产相关性可以是正的，也可以是负的。在他们的论文中，相关性总是正的。4结果和讨论我们对给定数量的公司N=10,50,90100500和1000，以及给定水平的债务杠杆ln（Di/Vi）=0.1，…，进行了2000年的多因素和单因素违约概率蒙特卡罗模拟，。。，2，以0.1的步长。对于每个模拟，我们随机估计一个高相关N×N矩阵。对于低相关性矩阵，重复此过程。每组模拟的结果是Jeffreys-KullbackLeibler散度（14）的2000个值，我们根据这些值计算图1和表4所示的平均值。我们的主要结果总结如下。多因素和单因素违约概率之间的差异随着资产相关性的增加而增大。对于N=10到100家公司，低相关散度的图表明显低于高相关散度的图表。对于N=10家公司，杠杆率等于10%，且相关性较低，平均差异为“JL=0.3400”。对于相同数量的企业，我们的所有模拟都在R中运行（R Core Team，2016）。生成随机相关矩阵的算法改编自Hardin等人（2013）和Joe（2006）。为了简单起见，我们在模拟中设置了N=m。杠杆作用，但高度相关，`JH=0.5669。杠杆率为200%-allelse equal的差异为“JL=0.0575”和“JH=0.1377”。表1显示了其他杠杆水平和市场规模的类似结果。

这表明，在高度相关的时期，例如金融危机，多因素违约概率将显著不同于单因素模型。两种模型中的一种可能会低估真实违约概率。对于更大的市场规模，N=500和1000，高相关性和低相关性差异之间的差异减小。下面将详细讨论这个问题。多因素和单因素违约概率之间的差异与杠杆率成反比。这一结果表明，企业负债越多，两个模型给出的信息之间的差异越小。对于N=50且相关性较低的情况，\'JL=0.5834 ifln（Di/Vi）=10%，而对于ln（Di/Vi）=200%，所有其他情况均相同。显然，在高负债企业的情况下，两种模式下的违约概率都是相似的，。图1表明，无论资产相关性如何，当债务杠杆增加时，这两种概率之间的差异趋于零。这意味着，在杠杆率较低的情况下，两种违约概率会有很大差异，并且会受到资产相关性的影响。例如，从表4中可以看出，对于杠杆率等于50%、高度相关且N=50的情况，平均偏差为“JH=0.3498”，而“JL=0.2636”。在这种杠杆水平下，违约的多因素和单因素概率将给出相互矛盾的信号。无论资产相关性如何，“JH”和“JL”之间的差异都会随着公司数量的增加而减小。对于较大的市场规模，N=500和1000家公司，高/低相关性差异之间的差异减小，甚至在图1中消失。表1显示ln（Di/Vi）=150%，N=1000家公司，\'JL=0.1772，而\'JH=0.1833。

然而，这种差异在1%的置信水平上具有统计学意义，如表2所示的韦尔奇平均数相等检验所证明。韦尔奇测试在所有其他市场规模和杠杆价值的1%置信水平上也很重要。需要强调的是，我们并不是说，随着企业数量的增加，多因素和单因素违约概率将趋于一致，甚至相等。只要J 6=0，两种违约概率就会出现差异。表1和表2支持这一发现，即使在大市场上也是如此。这两种模型之间的差异随着市场规模的增大而增大。通过比较N=10和N=1000时的平均散度值，可以在图1中看出这一点。对于N=10，高相关性和杠杆率等于10%，\'JH=0.5669，而对于N=1000，高相关性和杠杆率等于0.8201，所有其他因素都相等。当相关性较低且杠杆率相当于10%时，N=10的“JL=0.3400”和N=1000的“JL=0.7929”。最终负债水平不会改变这一结果。对于N=10且杠杆率为200%的情况，高相关度和低相关度偏差均接近于零，\'JL=0.0575和\'JH=0.0992。

图1：按市场规模划分的差异（N=10至1000家公司）表1：Je ffreys Kullback-Leibler差异平均值↓ 10.10万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万0.5834 0.580.560.790.860.790 0.790 0.560.7969 0.790 0 0.780 0.780.780 0 0 0.780 0 0 0.780.780 0 0 0 0.780 0 0.780.780 0 0 0 0 0.780.780.780.780.780.780 0 0 0 0.780.780.780 0 0 0 0.780 0 0 0.780.780.780.780.780 0 0 0.780.780.780 0 0 0 0 0 0.780 0 0 0.780 0.1651 0.2243 0.2330 0.2425（0.0364）0.0318（0.0239）（0.0139）（0.0172）（0.0172）（0.0172）（0.0172）（0.0172）（0.0556）0.0575 0.1018 0.0 0 0.1010.0 0 0 0.1018 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0违约概率。括号中的标准错误。表2：表1平均值中“jl”和“jh”相等性的韦尔奇检验↓ N=10 50 100 1000t p值t p值t p值t p值0。6.392.2.6-16-11.241 1 2.20 E-16-11.241 2.20 E-16-1.241 1 2.20 E-160.20 E-160.5-5-45.5-45.704 2.2.20E-16-16-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-4.704-5-4-4-4-2.2.704 4 2.2.2.2.2 2 2.20 2.2.20E-16-6-6-6-16-6-6-6-6-6-6-6-6-6-6-6-6-6-6-6-6-5-5-5-6-5-5-5-5-5-5-5-6-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-6-5-5-5-5-5--5-428 2.20E-16-56.152 2.20E-16-26.415 2.20E-16H:\'JL-\'JH=0和H:\'JL-\'JH6=0。样本量相同。N=1000，杠杆率为200%，高相关度和低相关度的差异在价值上变得更为接近，\'JL=0.1425和\'JL=0.1547，但它们仍然显著高于N=10.5的各自差异。结论本文建立了一个多因素模型，其中单个企业资产价值遵循与其他企业相关的年龄计量布朗运动。

我们使用随机生成的低相关矩阵和高相关矩阵来模拟多因素违约概率。我们还模拟了单因素违约概率，即资产价值不相关的公司的违约概率。对于每一对违约概率，我们计算其Jeffreys-Kullback-Leibler散度。总体而言，我们发现，在高度相关的市场中，当企业负债在10%到100%之间时，这两种模型之间的差异会加剧。我们的发现对金融监管有影响。巴塞尔协议II和III资本充足率协议规定，资本准备金应根据单因素、单框架结构模型计算（国际清算银行，2006年和2011年）。我们的研究表明，在金融不稳定时期，当资产波动性和相关性增加时，其中一个模型可能会误报违约风险，从而导致资本准备金不足。参考Ait-Sahalia，Y.和Xiu，D.（2015）资产类别之间的相关性增加：是波动还是跳跃造成的，还是两者兼而有之？，芝加哥布斯商学院技术代表14-11。BIS（2006）《资本计量和资本标准的国际趋同：修订框架》，技术代表，巴塞尔银行监管委员会。BIS（2011）《巴塞尔协议III：更具弹性的银行和银行系统的全球监管框架》，巴塞尔银行监管委员会技术代表。Borland，L.（2002）非高斯期权定价理论，数量金融，2415–431。Borland，L.和Bouchaud，J.-P.（2004）一个带有倾斜的非高斯期权定价模型，定量金融，4499–514。Branger，N.（2004）《利用交叉熵为衍生证券定价：经济分析》，国际理论与应用金融杂志，第7期，第63-81页。P.布肯和M.凯利。

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如果一个随机过程{Wt，t≥ 满足度（i）W=0 a.s.，（ii）它有独立且稳定的增量，（iii）对于每个t>0，它有一个均值为零且方差为t的高斯分布，以及（iv）它的样本路径是连续的a.s.，那么它被称为（标准）布朗运动。定义A.2。随机过程{Wt，t≥ 如果对于anya>0，存在b>0，使得watd=bWt（15），其中“d=”表示分布中的相等，则称0为自相似。Lamperti（1962）证明了以下定理，并证明了自相似的随机过程在分布上与随机过程aHWt相等。在关于该主题的许多文本中，自相似过程由该属性定义。定理A.1。（Lamperti（1962））如果{Wt，t≥ 当t=0且自相似时，0}是非平凡的、随机连续的，则存在唯一指数H≥ 使得（15）中的b可以表示为b=aH。此外，H>0当且仅当W=0 a.s.以下定理将用于命题2.1的证明。定理A.2。布朗运动{Wt，t≥ 0}是1/2自相似的。证据有充分的证据表明，对于每一个a>0，Watis也是布朗运动，如上文a.1所述。条件（i）、（ii）和（iv）的填写很少。关于（iii），高斯性和均值零属性也遵循Wt的属性。要获得方差，请考虑随机过程a-1/2瓦特，t≥ 0.其方差isE[（a）-1/2瓦）]=a-1E[Wat]=a-1V ar[W（at）]=a-1（at）=t（16）因此是布朗运动。A.2命题的证明2.1（5）是（4）的解的证明可以在以太里奇（2001）或什里夫（2004）等著作中找到。文献中没有证明Vi，tar的分布性质，因为它是期权定价模型的组成部分，而不是本文中的独立模型。证据设Xt=exp{（ui）-PNj=1σi，j）t+PNj=1σi，jWt，j}。那么Vi，t=Vi，0Xi，t，其中Vi，0是一个常数。

XtisE[Xt]=exp（ui）的平均值-NXj=1σi，j）t）E“exp（NXj=1σi，jWj，t）#（17）因为第一个指数中的项是非随机的。鉴于m个布朗运动W1，t，…，Wm，皮重独立，期望函数中的项可以写为”exp（mXj=1σi，jWj，t）#=mYj=1E[exp{σi，jWj，t}（18）根据1/2自相似性，mYj=exp[exp{{i，jWj，jWj=1E，jWj}=mYj]经验σi，jt1/2Wt，j（19） 因为Wj，tis N（0,1），E[eaWj，t]=ea/2，其中a是实常数。这意味着MYJ=1E经验σi，jt1/2Wj，t=mYj=1expσi，jt（20） 在（20）中代入（17）yieldsE[Xt]=exp{uit}（21）Xt的方差，V ar（Xt）=E[Xt- （E（Xt））]，可以简化为v ar[Xt]=exp（2uit-mXj=1σi，jt）E“exp（mXj=1σi，jWj，t）#- exp{2uit}（22）来自布朗运动的1/2自相似性“exp（mXj=1σi，jWj，t）#=mYj=1E经验2σi，jt1/2Wj，t=mYj=1exp2σi，jt（23）在上述v ar[Xt]=exp（2uit）中替换-NXj=1σi，jt+2NXj=1σi，jt）- exp{2uit}（24），其中，V ar[Xt]=exp{2uit}exp（mXj=1σi，jt）- 1.（25）Vi，t=Vi，0Xt。因为Vi，0是一个常数，所以Vi，t的均值和方差很小。