我们只给出了δ和M~V的证明，δ和M~V的参数是相同的。每x∈ R、 我们有m~V（x）=最大δ≤0{V（x+δ）-C-λ(-δ） }=maxy≤x{V（y）-C-λ（x）-y） }=maxy≤x{Γ（y）}-C-λx，（4.25），其中每个y∈ R我们设置了Γ（y）=V（y）+λy。通过定义ΓV，我们得到了Γ（x）*) = Γ（\'x）=0。此外，我们注意到：-Γ=λ-~λ ≥ 0英寸]- ∞, \'x[，通过定义为\'V；-Γ>0英寸]\'x，x*[，asΓ（x）*) = 0和Γ在]x，x中减少*[（因为，根据命题4.2，我们有Γ=Γ<0 in]\'x，x*[）；-Γ<0英寸]x*, \'x[，asΓ（x*) = Γ（\'x）=0，在区间内]x*, “\'x[，Γ首先递减，然后递增（因为根据命题4.2，Γ=Γ在]x中为负值*, ~x[和正in]~x，\'x[）；-Γ=0 in]\'x+∞[，通过ΓV的定义。因此，函数Γ在x上有一个唯一的全局最大点*, 所以Maxy≤xΓ（y）=（Γ（x），in]- ∞, 十、*],Γ（x）*), in]x*, +∞[；因此，通过（4.25）中的计算，我们得到了mV（x）=（V（x）- c、 [in]- ∞, 十、*],~n（x）*) - C- λ（x）- 十、*), in]x*, +∞[，作为)V（x）*)=~n（x）*), 自从x*∈]\'x，\'x[。通过定义\'V\'，这可以写为asM\'V（x）=（V（x）- ξ（x），in]- ∞, \'x[，V（x），in[\'x+∞[，其中，每x∈] - ∞, \'x[，我们设置了ξ（x）=（c，in]- ∞, 十、*[，~n（x）- ~n（x）*) + c+λ（x）- 十、*), 在[x]中*, \'\'x[.让我们证明ξ>0.通过（4.9）回忆起（\'x）=（x*)-C-λ（`x）-十、*). 那么，如果x∈ [x]*, \'\'x[我们有那（x）- ~n（x）*) + c+λ（x）- 十、*) = ~n（x）- ~n（`x）- λ（`x）- x） =Γ（x）- Γ（\'x）>0，因为Γ在[x]中减少*, 因此，ξ是严格正的，所以（4.24）成立。最后，通过前面的参数，arg maxδ是明确的≤0{V（x+δ）- C- λ|δ|}=（{0}，in]- ∞, 十、*[，{x*- x} ，in]x*, +∞[，这意味着（4.23）。命题4.7.用于∈ R、 让x*i=x*i（~s）和“xi=”xi（~s），带i∈ {1,2}，如定义4.1所示。然后，第4.1节中问题的纳什均衡由策略（C）给出*, ξ*), （C）*, ξ*)定义byC*= ]\'x+∞[, ξ*（y） =x*- y、 C*= ]-∞, \'x[，ξ*（y） =x*- y、 和y∈ R

此外，函数V，V定义4.1与平衡支付函数V，V:V一致≡■Vand V≡五、备注4.8。我们强调（C）*, ξ*), （C）*, ξ*) 取决于自由参数s，即C*i=C*i（~s）和ξ*i=ξ*i（·s）（为了简化符号，我们经常忽略强调依赖性）。特别是，存在大量的纳什均衡，通过参数s进行索引∈ R.请注意，相应的最佳干预区域和干预功能包含在固定区间的转换中：C*i（~s）=~s+C*i（0）和ξ*i（·s）=s+ξ*i（·；0），对于任何∈ R.备注4.9。回想一下该策略的实际特征：如果x是进程的当前状态，则当x出现时，玩家1（即玩家2）进行干预≤ \'x（分别为x≥ “\'x”）并将流程移动到新状态x*（分别为x）*).证据我们必须检查候选者是否满足定理3.3的所有假设。我们证明了V的主张，V的论点是相同的。为了方便读者，webrie fly报告了我们必须检查的条件：（i）~V∈ C（]x+∞[\\{x}）∩ C（]x+∞[) ∩ C（R）具有多项式增长；（ii）M~V-~V≤ 0;（iii）在-~V=0}我们有~V=H~V；（iv）在-~V<0}我们有maxAV- ρV+f，M~V-~V}=0；（v） 对于每x，均衡策略是x-容许的（见定义2.5）∈ R.条件（i）和（ii）。第一个条件通过定义V而成立，而第二个条件已在（4.24）中得到证明。条件（iii）。让x∈ {M}V-~V=0}=]- ∞, \'\'x]。通过定义HVin（3.2），通过（4.23）和定义Vwe haveHV（x）=V（x+δ（x））+~c+~λ|δ（x）|=V（x*) + ~c+~λ（x）*- x） =V（x），我们在这里使用了*) = ~n（x）*), 自从x*∈]\'x，\'x[条件（四）。

我们必须证明麦克斯AV- ρV+f，M~V-~V}=0，单位为{M~V-~V<0}=]x+∞[In]\'x，\'x[这个说法是正确的，因为M)-~V<0乘以（4.24）和A~V-定义为ρV+f=0（in）`x，`x[我们有`V=~n，这是ODE（4.4）的解决方案]。在[`x，∞【我们已经在（4.24）中知道，MV-V=0。然后，为了得出结论，我们必须检查aV（x）- ρV（x）+f（x）≤ 0, 十、∈ [x]，∞[.AsV（x）=~n（x）*) - C- λ（x）- 十、*) 通过定义V（x），不等式可以写成-ρ~n（x）*) - C- λ（x）- 十、*)+ f（x）≤ 0, 十、∈ [x]，∞[.自（\'x）=（x）*) - C- λ（`x）- 十、*) 通过（4.9），我们可以将声明改写为-ρ~n（`x）- λ（x）- \'\'x）+ f（x）≤ 0, 十、∈ [x]，∞[.函数x7→ λρx+f（x）=（λρ-1） x+sis减少，因此足以证明claimin x=`x：-ρφ（\'x）+f（\'x）≤ 0.自A~n（`x）- ρφ（\'x）+f（\'x）=0，我们可以重写为-σа（`x）≤ 0，这是真的，因为≥ 第4.2条提案中的0。条件（五）。设x为过程的初始状态。通过构造，受控进程从不退出]\'x，\'x[∪{x} ，所以条件（2.8）成立。很容易检查定义2.5的所有其他条件是否满足。唯一不平凡的证明是干预成本的可积性：让我们证明∈ {1，2}我们有（对于＠c，＠λ的结果紧随其后，如＠λ<λ和＠c<c）ExXk≥1e-ρτ*i、 k（c+λ|δ）*i、 k |）< ∞, （4.26）式中{τ*i、 k，δ*i、 k}是与平衡策略相对应的控制。首先，假设初始状态x为*或者x*. 这里我们考虑x=x*, 在x=x的情况下，参数是相同的*. 因为玩家i将进程转移到x*当状态“xi”被击中时，我的想法是写τ*i、 kas是独立退出时间的总和。首先，我们重新标记索引并写入{τ*i、 k}i，kas{σj}j，每个j的σj<σj+1∈ N

用ui表示进程x的退出时间*i+σW from]\'x，\'x[，其中W是一个真正的布朗运动；然后，每次σj都可以写成σj=Pjl=1ζl，其中ζ是以u或u分布的自变量。我们现在可以估计（4.26）。作为δ*i、 k∈ {x- 十、*, 十、*- 我们有*xi∈{1,2}Xk≥1e-ρτ*i、 k（c+λ|δ）*i、 k |）≤ （c+λmax{x- 十、*, 十、*- \'x}）Ex*xi∈{1,2}Xk≥1e-ρτ*i、 k.通过{σj}的定义和σj的分解*xi∈{1,2}Xk≥1e-ρτ*i、 k=前任*Xj≥1e-ρσj=前任*Xj≥1e-ρPjl=1ζl=前任*Xj≥1Yl=1，。。。，日本脑炎-ρζl.通过Fubini-Tonelli定理和变量ζj的独立性，我们得到*Xj≥1Yl=1，。。。，日本脑炎-ρζl=Xj≥1Yl=1，。。。，杰克斯*[e]-ρζl]≤Xj≥1.前任*[e]-ρmin{u，u}]j、 这是一个收敛的几何级数，因为u，u>0（uis严格地为正，因为¨x<x*i</x）。总而言之，我们有shownEx*xi∈{1,2}Xk≥1e-ρτ*i、 k（max{c，~c}+λ|δ）*i、 k |）< ∞,这显然意味着（4.26）。初始状态为x的一般情况∈ R可以类似地处理：我们有σj=η+Pjl=1ζl，其中η是x+σW从[\'\'x，\'\'x]的退出时间，并且参数可以很容易地调整。4.4注释和一些极限性质为了理解上一节描述的纳什均衡的定性行为，我们在这里研究了相应的连续区域和Payoff函数的一些渐近性质。首先，为了方便读者，我们回顾前面几节中的一些公式。areV（x）之前描述的一些纳什均衡的支付函数=~nA，A（x）*) + ~c+~λ（x）*- x） ，如果x∈ ] - ∞, \'\'x\'，νA，A（x），如果x∈ ]\'x，\'x[，~nA，A（x*) - C- λ（x）- 十、*), 如果x∈ [x]+∞[，V（x）=V（2)s-x） +2秒-（s+s）ρ，（4.27），其中（4.5）中定义了函数ДA，Ais和参数“xi，x*i、 Aijare的定义见（4.20）。特别是，我们回忆起对称关系：\'\'x=2\'s- \'x，x*= 2~s- 十、*.此外，回想一下，如果状态小于“x”（分别为），则播放器1（分别为播放器2）会进行干预。

大于x）并将流程移动到x*（分别为x）*).最后，我们注意到，参数ξ=ξ（c，θ，η），定义为（4.17）中函数f的唯一零，满足以下性质：对于给定的参数θ和η，函数c 7→ξ（c，θ，η）=：ξ（c）属于c∞(]0, ∞[）我们有ξ（c）=θη- ξ（c）ξ（c），ξ（c）=-θηξ（c）ξ（c）=-θηη- ξ（c）ξ（c）；（4.28）特别是，以下限制适用：limc→0+ξ（c）=limc→0+cξ（c）=limc→0+cξ（c）=limc→+∞c（η）- ξ（c））=0，limc→+∞ξ（c）=η。（4.29）我们现在重点讨论连续区域“\'x，\'x[和目标态x]的性质*I关于参数c。所有其他参数均假定为固定参数。为了强调对这个参数的依赖性，我们将写下\'xi=\'xi（c），x*i=x*i（c），Aij=Aij（c）和Vi=Vci，fori，j∈ {1, 2}. 对于极限，我们将写出V+i=limc→0+Vci，x*我(+∞) = 极限→+∞十、*i（c）等等。限制为c→ 0+. 因为我们要考虑极限c→ 0+，因为假设我们需要c>~c，在固定的情况下，我们假设c=0。如果固定干预成本消失，则为c→ 0+，我们期望参与者持续干预，以使过程保持一种满足他们两人的状态（即，出于对称性原因，s）：换句话说，我们期望延续区域]-x（c），-x（c）[崩溃为单态{s}，如c→ 0+. 实际上，如果初始状态为x，则玩家1（如果x<s）或玩家2（如果x>s）会将进程切换到s；从那时起，我们一直有Xs≡ 因此，我们猜测玩家2的均衡支付函数isV+（x）=ExZ∞E-ρs（s）- ~s）ds- λ（x）- ~s）{x<~s}+~λ（~s）- x） {x>~s}=s- ~sρ- （)λ{x>~s}+λ{x<~s}）（x- )s）。请注意，就我们的框架而言，这种极限情况在形式上是退化的，从某种意义上说，它需要连续时间的单一干预。

现在，我们通过考虑（4.20）中提供的干预区域的显式表达式，严格证明了这些启发式论证。事实上，极限情况并不像看上去那么简单：参数λ、~λ起着重要作用。提案4.10。假设c=0，λ=λ。那么我们有了，因为我∈ {1,2}和x∈ Rāxi（0+）=x*i（0+）=s，V+（x）=s- sρ+λ（x）- ~s），V+（x）=s- ~sρ- λ（x）- )s）。证据由（4.20）和（4.29）得出，x（c）→ ~s为c→ 0+. 同样的结果适用于“xbysymmetry”，因此也适用于x*i、 自从x*我∈]另外，通过（4.20）和（4.29），我们得到a（0+）=e-θ~sη2θ，A（0+）=-eθ~sη2θ；因此，在证明的第一部分，对于每个x∈ R我们有（回忆一下λ=～λ）V+（x）=A（0+），A（0+）（～s）- λ（x）- ~s）=s- ~sρ- λ（x）- )s）。Vfollows的相应结果是对称的。提案4.11。假设c=0，λ>λ。那么我们就有了x（0+）=x*（0+）=s-ζ<~s+ζ=x*（0+）=\'x（0+），ζ=θ对数sλ-λλ2η+1+sλ-~λ2η> 0.证明。结果紧接着是（4.20）和（4.29）。λ=＠λ的情况对应于上述直觉，其中“xi（0+）=x”*i（0+）=s，对于i∈ {1, 2}.相反，在λ>λλ的情况下，我们得到x（0+）=x*（0+）和¨x（0+）=x*（0+），但令人惊讶的是，这两个值并不一致。我们注意到这里有一个非平凡的相互连续区域]\'x，\'x[=]s- ζ、 ~s+ζ[.实际上，当进程从这样一个区域退出时，其中一个玩家将进程移动到两个边界中的一个，然后她继续干预，使进程保持在该状态，直到布朗运动指向延续区域。然后，游戏继续。限制为c→ +∞. 如果干预成本增加，参与者很少干预。在c的情况下→ +∞, 他们从不干预，我们期望，\'\'x（c），\'x（c）[与R一致。

相应地，状态变量diff的使用不受参与者的影响，即Xs=x+σWs，foreach s≥ 因此，我们猜测玩家2的均衡支付函数为isV+∞（x） =前Z∞E-ρs（s）- 十、- σWs）ds=s- xρ。此外，介入方显然补偿了成本c+λ| x*我-x |将进程移动到一个状态，在该状态下，她的收益大于对手的收益。在案例c中→ +∞, 介入方必须补偿分散的成本，因此我们猜测x*i（c）也会出现分歧。我们现在严格证明我们的猜测。提案4.12。以下限制适用：`x(+∞) = 十、*(+∞) = +∞, \'x(+∞) = 十、*(+∞) = -∞,五+∞（x） =x- sρ，V+∞（x） =s- xρ。证据由（4.20）和（4.29）可以很容易地得出‘x(+∞) = +∞ 还有x*(+∞) = -∞. 根据对称性，相应的结果适用于‘x，x*. 此外，通过（4.20）和（4.29）我们得到(+∞) = A(+∞) = 0;因此，在本证明的第一部分，对于每个x∈ 我们有+∞（x） =~nA(+∞),A(+∞)（x） =s- xρ。Vfollows的相应结果是对称的。xi，x的单调性*i、 如果干预成本c增加，我们预计公共连续区域]\'x（c），\'x（c）[会扩大，因为参与者不太愿意干预。命题4.13使这一猜测变得严格。命题4.13.函数C7→ \'x（c），带c∈]~c+∞[，正在增加，功能C 7→ \'\'x（c）正在减少。证据让我们证明C7→ \'x（c），带c∈]~c+∞[，正在增加。到（4.20）时，需要检查C 7→η+ξ（c）η- ξ（c）θ（λ）-λ+η）4ηcξ（c）-θ~cξ（c）+λ-~λ2η!是一个递增函数。由于ξ>0，一个有效条件是C7→cξ（c），c>~c在增加，即isH（c）=ξ（c）- cξ（c）≥ 0, c>c，这是正确的，因为在（4.29）之前，我们有H（~c+）=0（分别考虑~c=0和~c>0）和H（c）>0。x（c）的结果遵循对称性。至于x的单调性*i、 猜测并不容易。

（4.20）中的公式不允许进行简单的估算；然而，单调性结果可以在c=0的情况下得到证明。稍后我们将通过一些数值模拟看到，在一般情况下，函数x*它不是单调的。提案4.14。假设c=0。然后，函数C7→ 十、*（c） ，带c∈]0, +∞[，正在递减，函数C7→ 十、*（c） 越来越多。此外，我们还有x*< ~s<x*对于每个c>0。证据让我们证明C7→ 十、*（c） ，带c∈]0, +∞[，正在减少。增加（4.20）有助于证明→θ(λ -λ+η）4ηc（η- ξ（c））ξ（c）（η+ξ（c））+λ-~λ2ηη - ξ（c）η+ξ（c）是一个递减函数。由于ξ>0，一个有效条件是C7→c（η）- ξ（c）ξ（c）（η+ξ（c））在减小，即isK（c）=ξ（c）-θc（η）- ξ（c））ξ（c）- θηcξ（c）≤ 0, c>0，这是正确的，因为在（4.29）之前，我们有K（0+）=0和K（c）<0。x的结果*（c） 其次是对称性。最后，我们通过（x）得到不等式*)< 0<（x*)还有x*（0+）=x*（0+）=s.限值为c→ ~c+。我们以c的行为结束本节→ ~c+，在λ=~λ的情况下，即每次干预实际上成为干预玩家向对手的资金转移。很难猜测在这种情况下会发生什么，结果非常令人惊讶：限制策略是不可接受的。提案4.15。假设λ=λ。对我来说，j∈ {1,2}当i6=j时，以下限制成立：\'\'xi（~c+）=x*j（~c+）=s+(-1） i2θ对数η+ξ（~c）η- ξ（c）.证据结果紧接着是（4.20）和（4.29）。基本上，极限情况如下。让我，j∈ {1,2}，其中i6=j；当进程到达“xi”时，玩家i将进程移动到x*i=’xj，这是参与者j的干预区域的边界，参与者j将过程移回‘xi’，从而导致参与者i的另一次干预，依此类推。我们得到了一个同时干预的有限序列，这意味着这些策略是不可接受的。数值模拟。

在这里，我们给出了一些数值模拟的结果（使用Wolfram Mathematica获得），这些模拟是在我们描述的游戏中进行的。我们关注玩家2并考虑以下两组参数：问题1：ρ=0.02，σ=0.15，s=-3，s=3，~c=0，λ=~λ=15。问题2：ρ=0.02，σ=0.15，s=-3，s=3，~c=50，λ=~λ=0。我们在这里考虑对应于∧s=（s+s）/2=0的纳什均衡。图4.1表示平衡支付函数x7→ Vc（x）表示问题1，c=100（虚线对应于函数的三个组成部分）。类似地，在图4.2中，我们绘制了函数x7→ 问题2的Vc（x）和c=100。在这两种情况下，我们都注意到了C-pastingin\'x，而正如第2节所注意到的，函数在\'x\'中是不可微分的。此外，当λ为非零时，函数是无界的。图4.3（对于问题1，使用c∈ ]~c，∞[ = ]0, ∞[）和图4.4（对于问题2，使用c∈]~c，∞[ = ]50, ∞[）显示延续区域和目标状态：即，我们绘制C7→ \'x（c）（蓝色实线）、\'x（c）（绿色实线）、x*（c） （蓝色虚线）和x*（c） （绿色虚线）。如上所述，延拓区域随着c的增长而扩大，随着c的增长而发散→ ∞. 考虑极限情况c→ ~c+：如果~c=0，四个参数收敛到相同的状态~s；相反地，在c>0的情况下，我们看到x*（分别为x）*) 收敛到‘x（resp.’x），这对应于一个可接受的博弈。另外，我们注意到x*（分别为x）*) 当▄c=0时，为递减（相应递增），而在▄c>0的情况下，此类函数不是单调的。最后，我们考虑问题1和X7的演变→ 随着c的增长，Vc（x）：图4.5对应于c=0，图4.6对应于c=250，图4.7对应于c=500。

在极限情况c中，平衡支付函数是一条直线→ 0+，则出现钟形曲线；随着c的增长，局部最大值向左移动，钟的右侧越来越像一条斜率为1/ρ的直线，这实际上是c的极限→ +∞.- 4-202450100150200250图4.1:x7→ 图4.2:x7→ 第2部分的Vc（x）和c=100102050-2-112图4.3:C7→ \'xi（c），x*i（c）问题160708090100-2-112图4.4:C7→ \'xi（c），x*问题2-15-10-551015-600-400-200400600图4.5：问题。1，c=0-15-10-551015-600-400-200400600图4.6：概率。1，c=250-15-10-551015-600-400-200400600图4.7：概率。1，c=4.16。回想一下，命题4.7中的纳什均衡族由s参数化∈ R.在本节中，我们重点讨论了V，Vw在成本参数C>0时的性质，假设s为固定值。根据备注4.4中的公式，我们还得到了在s变化且其他参数固定的情况下，平衡支付函数的一些性质。为了强调对<<s的依赖，我们现在写>>xi=\'xi（<<s）和Vi=V>>si。作为∈ R增加（4.20）公共连续区域]\'x（~s），\'x（~s）[向右移动，这与玩家2的较小值相对应，因为fis减少。事实上，从定义4.1和（4.20）中很容易看出，对于任何x∈ R函数s 7→ V~s（x）在减小，极限为V+∞（x） =-∞ 安德夫-∞（x） =+∞. 类似的结果适用于Vs.4.5进一步的例子第4.2节和第4.3节中的论点可以很容易地适用于其他问题：我们这里提供了一些进一步的例子。

显然，在大多数情况下，我们必须处理完整的8方程组（4.7）（4.8）-（4.9）（命题4.2中的解耦技术仅在对称支付的情况下才可能），并且必须通过数值方法找到解。立方付息。让我们考虑与第4.1节相同的设置，现在是立方付息：即，我们将（4.1）替换为f（x）=c（x）- s） ，f（x）=（s）- x） ，s<s，代表x∈ R、 这里是一个严格的正常数。为了找到纳什均衡的表达式，我们遵循前面章节介绍的程序，如下所示。首先，我们求解（4.4），其中fi替换为∧fi:x∈ R、 解的形式为▽~n（x）=Aeθx+Ae-θx+cρ（x）- s） +3cσρ（x）- s） ，°~n（x）=Aeθx+Ae-θx+ρ（s）- x） +3σρ（s）- x） 。然后，通过与第4.2节中相同的参数，一对（候选）平衡支付函数由（4.6）给出，其中，替换为，。为了有一个良好的定义，我们必须找到一个解决方案（Aij，’xi，x*i） 我，j∈{1,2}到8-方程组（4.7）-（4.8）-（4.9）。如果c=1，我们可以在命题4.2的证明中应用对称性参数，并考虑一个包含四个方程的约化系统。然而，总的来说，我们需要处理完整的8方程系统。在这两种情况下，都必须通过数值求解。最后，给出（4.7）-（4.8）-（4.9）的一个解决方案，我们必须验证候选人实际上满足验证理论3的所有假设。3.我们按照第4.3节的规定进行：在验证以下情况时，唯一的差异出现：-ρ~n（`x）- λ（`x）- 十）+~f（x）≤ 0, 十、∈ [-∞, \'x[，-ρ~n（`x）- λ（x）- \'\'x）+~f（x）≤ 0, 十、∈ [x]，∞[（4.30）事实上，在这里，我们不能在命题4.7的证明中使用单调性参数，因此（4.30）必须进行数字检查。如果（4.30）成立，我们可以得出结论，阿纳什均衡存在：当状态变量从]\'-x退出时，参和者1（分别为参和者2）介入+∞[（分别。

] - ∞, “\'x[）并将流程转移到x*（分别为x）*).作为一个例子，我们考虑以下值：ρ=0.1，σ=0.2，c=60，~c=20，λ=~λ=5，s=-3，s=3，c=1.2。（4.7）-（4.8）-（4.9）的解在数值上由A=-104.943，A=12.965，A=24.669，A=-56001，x*= 0.186，x*= -0.453，`x=-0.732，`x=0.464。请注意，延续区域]\'x，\'x[比s更接近s，这是合理的：由于CEC>1，与玩家2相比，玩家1经历了更高的得失，因此她比对手更愿意干预，这实际上转化为|x- s |<| x- s |。线性和立方支付。让我们考虑与第4.1节相同的设置，但现在玩家1有一个立方支付，玩家2有一个线性支付：即，我们用^f（x）=c（x）替换（4.1）- s） ，^f（x）=s- x、 s<s，代表x∈ R、 这里是一个严格的正常数。如上所述，一对候选平衡支付函数由（4.6）给出，其中由^а（x）=Aeθx+Ae代替-θx+cρ（x）- s） +3cσρ（x）- s） ，^^（x）=Aeθx+Ae-θx+ρ（s）- x） 。前提是解决方案（Aij，xi，x*i） 我，j∈系统（4.7）-（4.8）-（4.9）中存在{1,2}（用^^^、^^替代），并且-ρ^~n（\'x）- λ（`x）- 十）+^f（x）≤ 0, 十、∈ [-∞, \'x[，（4.31）则存在纳什均衡，如前一示例所述。请注意，在（4.31）中，我们不需要参与者2的符号条件，因为这是由（4.2）所暗示的，如在第4.7.位的证明中。作为示例，我们考虑以下值：ρ=0.1，σ=0.2，c=10，＠c=50，λ=＠λ=0，s=-0.5，s=0.5，c=1。（4.7）-（4.8）-（4.9）的解在数值上由A=-4.886，A=0.739，A=0.418，A=-0.713，x*= 0.752，x*= -0.814，`x=-1.319，`x=1.053。出于与上述相同的原因，我们认为，\'\'x，\'\'x[更接近于s.注4.17。

为了简单起见，在本节中，我们保持了与前一节相同的动态，即当没有参与者介入时，dXs=σdWs。然而，可以考虑不同的方程，因为这只会影响系数θ的定义。5结论在本文中，我们考虑了一个一般的两人非零和脉冲博弈，其状态变量遵循多维布朗运动驱动的不同动力学。设置问题后，我们提供了一个验证定理，给出了充分条件，以使合适的拟变分不等式组的解在某种纳什均衡下与两个参与者的支付函数一致。据我们所知，这个结果对脉冲博弈的文献来说是新的，它构成了本文的主要数学贡献。作为一个应用，我们提供了一个可解的一维脉冲博弈，其中两个具有线性运行支付的参与者可以移动实值布朗运动，以使其目标函数最大化。我们发现了一类纳什均衡，并明确地刻画了相应的均衡策略。我们还研究了theNash平衡点的一些渐近性质。作为最后的贡献，我们考虑了另外两个例子系列，三次付息，以及线性和三次付息，在这些例子中，可以通过数值方法找到解决方案。参考文献[1]C.D.Aliprantis，K.Border，有限维分析，斯普林格·维拉格，柏林海德堡，2006年。[2] A.Altarovici，M.Reppen，H.M.Soner，具有固定和比例交易成本的最优消费和投资，暹罗J.控制优化。51（2017），第3期，1673-1710页。[3] P.Azimzadeh，《具有冲动、预承诺和无限制成本函数的零和随机微分博弈》，预印本（2017），arXiv:1609.09092。[4] P.阿齐姆扎德，E。

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从AV+f开始≤ 0和FMV- V=0，我们有max{AV+f，fMV- V}=0，这意味着从EHV开始（3.7c）- 五、≥ 0.那么，假设FMV<V<eHV。因为AV+f=0和FMV-V<0，我们有max{AV+f，fMV-V}=0，自EHV以来为（3.7c）-V>0。最后，假设V=eHV。从AV+f开始≥ 0和FMV- 五、≤ 0，我们有max{AV+f，fMV- V}≥ 0，这意味着（3.7c）自EHV以来-V=0。第二步。我们证明（3.7）意味着（3.6）。唯一需要证明的性质是（3.6c），（3.6d）和（3.6e）。我们假设FMV<eHV（病例FMV=eHV为直接感染），并考虑三个病例。首先，假设V=fMV。自从EHV以来-V>0，从（3.7c）可以得出max{AV+f，0}=0，这意味着AV+f≤ 0.那么，假设FMV<V<eHV。因为min{max{α，β}，γ}∈ {α，β，γ}对于每个α，β，γ∈ R、 还有sincefMV-V<0<eHV-V，从（3.7c）可以得出，AV+f=0。最后，假设V=eHV。从（3.7c）可以得出max{AV+f，fMV-V}≥ 0，这意味着av+f≥ 0 sincefMV- V<0。补充命题4.2的证明。（a） 让我们证明（4.7）和（4.9）中的条件等价于（4.12）中的系统。设η=（1）- λρ）/ρ和∧η=（1）-~λρ)/ρ. 根据（4.5）中的定义和（4.11）中变量的变化，订单条件（4.7）和系统（4.9）写入A（y）*)- 2ηy*- A=0，（A.1a）A\'y- 2ηy- A=0，（A.1b）A“y”-Y*+ A（\'y- Y*) - 2θc+2η对数（\'y/y）*) = 0，（A.1c）A（\'y- Y*) + A.“y”-Y*+ 2θc- 2η对数（y/y）*) = 0，（A.1d）y*> 0，\'y>0，y*< 是的，1年*, A（y）*)+ A.≤ 特别是关于（A.1e）中的条件，我们需要y*, y>0乘以（4.11），不等式y*< yand 1</yy*对应于（4.7），条件A（y*)+ A.≤ 0对应于φ（x*) ≤ 0.现在，注意A（y）*)+ A=2y*（啊*+ η） 根据（A.1a）中的方程式。

此外，通过（A.1a）和（A.1b），我们已经*=啊*-2ηA，\'y=AA\'y-2ηA，由于A6=0（实际上，A=0和（A.1a）-（A.1b）意味着*= 0或y=0，与（A.1e）相矛盾。因此，（A.1）中的系统可以重写为A（y）*)- 2ηy*- A=0，（A.2a）A\'y- 2ηy- A=0，（A.2b）A+AA（\'y- Y*) - 2θc+2η对数（\'y/y）*) = 0，（A.2c）A（\'y- Y*) + θc- η对数（y/y）*) = 0，（A.2d）y*> 0，\'y>0，y*< 是的，1年*, 嗯*- η ≤ 0.（A.2e）用（A.2c）和（A.2d）之和替换（A.2c），最终得到（4.12）。（b） 让我们证明（4.16）等同于（4.18）。通过定义ξ和（4.16b），我们得到pη+AA=ξ，这立即导致a=ξ- η= -M、 M>0，如（4.18）所示。请注意，η+AA>0总是被验证的。此外，通过使用（4.16b）重写对数，并通过关系spη+AA=ξ和AA=ξ- η、 （4.16a）中的方程可以改写为（A+A）ξ+AAθ（c）- ~c）+（λ-~λ）2ξ+θcη= 0.到（4.16c），我们得到A+A=-s（η）- ξ)θη（c）- ~c）+（λ-~λ）（2ξ+θc）ηξ= -2N，N>0，如（4.18）所示。请注意，A+A<0总是令人满意的。

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