脉冲控制下的非零和随机微分对策

2022-5-11 06:31:23

脉冲控制下的非零和随机微分对策：一个验证定理及其应用*Matteo Basei+Giorgia CallegaroLuciano Campi§Tiziano Vargiolu2018年11月9日摘要我们考虑一个有两名玩家的一般非零和冲动博弈。本文的主要数学贡献是一个验证定理，该定理在某些正则条件下，为两个参与者在某些纳什均衡下的支付和策略提供了一个合适的拟变分不等式系统。作为一个应用，我们研究了一个一维状态变量的脉冲集，它遵循实值标度布朗运动，以及两个具有线性和对称运行支付的参与者。我们充分刻画了一系列非均衡，并给出了相应的均衡策略和支付的显式表达式。我们还证明了关于干预成本的一些渐近结果。最后，我们考虑另外两个非对称的例子，其中纳什均衡是在数值上找到的。关键词：随机微分博弈，脉冲控制，纳什均衡，拟变量不等式。AMS分类：91A15、91B70、93E20。1简介在本文中，我们研究了一个具有脉冲控制的一般二人非零和随机微分对策。简单地说，在建立了一般框架之后，我们重点讨论了纳什均衡的概念，并确定了相应的拟变分不等式组（QVIs）。作为一个应用，我们考虑了一个一维状态变量的脉冲博弈，并对QVIs系统进行了完全求解，得到了均衡报酬和相应策略的显式表达式。这篇论文是对博士论文结果的延伸。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:31:26

论文[6]。更具体地说，我们考虑一个博弈，其中两个参与者可以通过离散时间干预影响一个连续时间随机过程X，包括将X转移到一个新的状态。当没有参与者介入时，我们假设X根据标准的随机微分方程进行微分。每一次干预都对应于参与者的成本和对手的收益。玩家i的策略∈ {1，2}由一对φi=（Ci，ξi）确定，其中Ciisa固定开子集和ξiis是一个连续函数：即，当且仅当*巴黎多芬大学经济系（LEDa）和能源市场金融研究中心（FiME）。+加州大学伯克利分校工业工程与运筹学系（IEOR）。电子邮件：basei@berkeley.edu——帕多瓦大学数学系。§伦敦经济与政治学院统计系。进程X退出Ciand，当这种情况发生时，她将进程从状态X转移到状态ξi（X）。如果两个玩家都想干预，我们假设玩家1的优先级高于玩家2。一旦策略φi=（Ci，ξi），i∈ 已经选择了{1,2}和一个起点x，一对脉冲控制{（τi，k，δi，k）}k≥1是唯一定义的：τi，kis是参与者i的第k次干预时间，δi，kis是相应的脉冲。每个参与者都以最大化自己的收益为目标，定义如下：属于某些固定子集的外汇 Rd和每两种策略（ν，ν），我们设置ji（x；~n，ν）：=ExZτSe-ρisfi（Xs）ds+Xk≥1：τi，k<τSe-ρiτi，kφiX（τi，k）-, δi，k+Xk≥1：τj，k<τSe-ρiτj，kψiX（τj，k）-, δj，k+ E-ρiτShi（XτS）{τS<+∞}, （1.1）式中i，j∈ {1,2}，i6=j，τ是X从S的退出时间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:31:29

这对夫妇*, φ*) 是一个纳什均衡ifJ（x；~n）*, φ*) ≥ J（x；k，а）*), 和J（x；ψ）*, φ*) ≥ J（x；ψ）*, Д），（1.2）对于每对策略Д，Д。我们论文的第一个贡献是验证定理3.3，它将（1.1）中的游戏与合适的QVIs系统联系起来。据我们所知，以前从未从QVI的角度考虑过脉冲控制的非零和博弈。也就是说，在定理3.3中，我们考虑以下QVIs系统：Vi=hi，inS、 MjVj- Vj≤ 0，在S，HiVi- Vi=0，单位为{MjVj- Vj=0}，最大值阿维- ρiVi+fi，MiVi- Vi}=0，单位为{MjVj- Vj<0}，（1.3）式中i，j∈ {1,2}，i6=j，A是非受控状态过程的最小生成器，mi，hia是第3.1节中定义的合适的干预运算符。如果两个函数为Vi，则为i∈{1，2}是（1.3）的一个解，具有多项式增长且满足正则性条件vi∈ C（Dj）Di）∩C（Dj）∩C（S），（1.4）其中j∈ {1,2}，其中j6=i和Dj={MjVj- Vj<0}，则它们与一些纳什均衡收益一致，并且相应均衡策略的特征化是可能的。我们对这一研究流的第二个贡献在于提供了可解脉冲博弈的例子。使用上述验证定理3.3并求解QVIS（1.3）系统，我们能够刻画纳什均衡。第4.1-4.4节描述了主要示例，其中（1.3）进行了解析求解，并提供了显式公式。在第4节。5我们考虑进一步的问题族，其中（1.3）是数值求解的。据我们所知，这些是可解非零和脉冲博弈的第一个例子。在第4.1节中，我们考虑了一个由实值（标度）布朗运动建模的具有一维状态变量X的两人脉冲博弈。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:31:33

这两个参与者有对称的线性破坏支付，他们可以通过将X从当前状态（比如X）转移到另一个状态X+δ来干预X∈ R.当一名球员介入时，她将面临处罚，而她的对手将获得收益，包括固定部分和可变部分，假设这与冲动的大小成正比。因此，参与者的目标函数areJ（x；Д，Д）：=ExZ∞E-ρs（Xs）-s） ds-Xk≥1e-ρτ1，k（c+λ|δ1，k |）+Xk≥1e-ρτ2，k（~c+~λ|δ2，k |）,J（x；~n，~n）：=ExZ∞E-ρs（s）-Xs）ds-Xk≥1e-ρτ2，k（c+λ|δ2，k |）+Xk≥1e-ρτ1，k（~c+~λ|δ1，k |）,式中{（τi，k，δi，k）}k≥1取消玩家i与策略和相关的冲动控制。（1.3）中关于QVIs的一些初步启发让我们考虑函数Vi的一对候选函数。然后，仔细应用验证定理表明，这些候选函数实际上与某些纳什均衡的支付函数一致。特别是，相关纳什均衡的实际特征是可能的：当状态X小于‘X（或大于‘X）时，参与者1（或参与者2）进行干预，并将过程移动到X*（分别为x）*),适用于“xi，x”*i、我们提供了Payoff函数和参数“xi，x”的明确表达式*i、最后，我们研究了干预区域在某些极限情况下的行为。特别地，我们注意到，在c=~c和λ=~λ的情况下，博弈不具有可容许的纳什均衡。最后，在第4.5节中，我们考虑了另外两个例子系列，三次付息和线性和三次付息。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:31:36

我们采用上述技术，通过数值求解QVIs系统来描述纳什均衡。在控制器通过离散时间干预作用于基础过程的应用中，脉冲控制相对于标准连续时间控制提供了更现实的模型，尽管其代价是更具挑战性的技术框架。然而，相当令人惊讶的是，带有脉冲控制的非零和博弈的情况到目前为止还不值得足够的关注。对于脉冲控制和相应的单人控制问题的全面介绍，请参阅[24]。在最近关于单人脉冲控制问题的研究中，我们引用[7]作为一般验证结果，引用[4,5]作为HamiltonJacobi-Bellman QVIs的计算方案，引用[2]作为具有固定和比例交易成本的Merton问题的计算方案。对于用QVI技术处理的停止游戏，我们引用了开创性的著作[22]，用于零和情况，以及[8]，用于非零和情况。有关最近的示例，请参见[15,18]，以及其中的参考文献。还值得一提的是[17]，它提供了最优停止的两人非零和博弈与奇异控制的两人非零和博弈之间的联系。关于带有脉冲控制的随机博弈，以及带有混合脉冲和连续控制的博弈，现有文献几乎完全关注零和情况。我们参考[3,26]中的零和游戏，其中一个玩家使用连续控制，而对手使用Simpulse控制。对于两个玩家都使用脉冲控制的零和游戏，我们引用[25]作为延迟情况，引用最近的著作[16,19]作为粘性方法。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

何人来此

2022-5-11 06:31:39

特别是，我们注意到[16]中提出的零和脉冲博弈的QVIs系统可以作为我们框架的一个特例获得，见下文第2节。只有这两篇论文[13,14]使用基于倒向随机微分方程和最大值原理的方法，讨论了一些具有脉冲控制和有限视界的非零和随机微分对策。请注意，在这两篇文章中，给出了施加脉冲的停止时间序列，因此玩家只能选择脉冲的大小。据我们所知，非零和脉冲博弈首次以一般形式被考虑。论文的概要如下。在第二节中，我们严格地描述了广义脉冲博弈，并给出了可容许策略和纳什均衡的概念。第3节提供了相关的QVIs系统和相应的验证定理。在第4节中，我们解析地计算了一维脉冲博弈的纳什均衡族，并提供了两个进一步的数值解例子。最后，第5节得出结论。致谢。作者要感谢杰罗姆·雷诺、法比恩·根斯比特和匿名裁判的宝贵意见和建议。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:31:43

作者还感谢SID研究项目“金融和能源市场随机方法的新视角”、帕多瓦大学访问科学家项目以及巴黎能源市场金融研究中心（FiME）的资助。2非零和随机脉冲博弈在本节中，我们将介绍一类具有脉冲控制的两人非零和随机微分博弈。让(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是一个过滤概率空间，其过滤满足右连续性和P-完备性的通常条件，且{Wt}t≥0be是k维{Ft}t≥0-适应布朗运动。每一个t≥ 0和ζ∈ L（Ft），我们用Yt表示，ζ={Yt，ζs}s≥问题的解决方案，ζs=b（Yt，ζs）ds+σ（Yt，ζs）dWs，s≥ t、（2.1）初始条件为Yt，ζt=ζ，其中b:Rd→ Rd和σ：Rd→ Rd×kare给定的函数。在整篇论文中，我们假设系数b和σ是全局Lipschitz连续的，即存在常数K>0，因此对于所有y，y∈ 我们有| b（y）- b（y）|+|σ（y）- σ（y）|≤ K|y- y |，因此（2.1）允许满足经典先验估计的唯一强解（参见[23，第5.2节]等）。我们考虑两名球员，他们将被我索引∈ {1, 2}. 让我们成为RDI的一个开放子集，让ZI成为Rli的一个固定的非空子集，带有li∈ N.方程（2.1）模拟了没有参与者干预的潜在过程。如果我一时冲动介入∈ Zi，进程从当前状态x转移到新状态Γi（x，δ），其中Γi:S×Zi→ S是一个给定的连续函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:31:47

每一次干预都对应于介入玩家的成本，也对应于对手的成本，这两者都取决于状态x和脉冲δ。玩家的动作是通过离散时间控制来建模的：playeri的脉冲控制是一个序列（τi，k，δi，k）K≥其中{τi，k}kis是一个非递减的停止时间序列（干预时间）和{δi，k}kare Zi值Fτi，k-可测随机变量（相应的脉冲）。为了便于操作，我们假设由PulseControl建模的玩家行为由策略驱动，策略定义如下。定义2.1。玩家i的策略∈ {1，2}是一对φi=（Ci，ξi），其中Ci是S的固定开子集，ξiis是从S到Zi的连续函数。策略从以下意义上决定了玩家的行动。让x∈ S是状态变量的初始值。一旦有了一些策略，i=（Ci，ξi），i∈ {1,2}已被选择，一对脉冲控制{（τx；ν，k i，k，δx；k，k i，k）}k≥1由以下程序唯一定义：-当且仅当过程退出Ci时，参与者i进行干预，在这种情况下，冲量由ξi（y）给出，其中y是状态；-如果两个玩家都想行动，玩家1有优先权；-当进程退出S.（2.2）时，游戏结束。（2.2）中的第二个条件解决了两个玩家希望同时将进程转移到不同状态的冲突情况。在这种情况下，玩家1拥有优先权。注意，如果新状态在C之外，这并不能阻止玩家2在玩家1之后立即进行干预。但是，我们将禁止连续多次同时干预。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:31:50

我们将在本节后面的部分对此进行进一步评论，见定义2.5和备注2.8。在以下定义中，我们提供了与一系列策略和相应的受控过程相关的严格形式化控制，我们用Xx表示；φ,φ. MoreoverO表示S的一个通用子集，最后，我们采用了 = ∞ 及[∞, ∞[= .定义2.2。让x∈ S，并让φi=（Ci，ξi）成为玩家i的策略∈ {1, 2}. 为了k∈{0，\'k}，其中\'k=sup{k∈ N∪ {0}:eτk<αSk}，我们通过归纳法定义eτ=0，x=x，eX=Yeτ，x，αS=∞, αOk=inf{s>eτk-1:eXk-1s/∈ O} ，[O的退出时间 S] eτk=αCk∧ αCk，[干预时间]mk={αCk≤αCk}+2{αCk<αCk}，[eτk]eδk=ξmk时的游戏者区间指数eXk-1eτk{eτk<∞}, [脉冲]xk=ΓmkeXk-1eτk，eδk{eτk<∞}, [下一步的起点]eXk=eXk-1[0，eτk[+Yeτk，xk[eτk，∞【第k次interv之前的控制流程】让“kibe”为参与者i的干预次数∈ 在游戏结束前，{1，2}，在`ki6=0的情况下，让η（i，k）作为她的第k次干预（1）的指数≤ K≤\'ki:\'ki=X1≤H≤\'k{mh=i}，η（i，k）=minnl∈ N:X1≤H≤l{mh=i}=ko。现在假设时间{τk}0≤K≤knever在αS k之前严格累积，也就是说，我们假设在{k=+∞} 我们有limk→\'k＠τk=αS\'k（按照约定αS∞= supkαSk）。受控过程Xx；和退出时间τx；由（与conventioneX一起）定义∞= 林克→+∞eXk）Xx；ψ，ν：=exk，τx；~n，~nS:=αS\'k=inf{S≥ 0:Xx；~n，~ns/∈ S} 。最后，脉冲控制{（τx；~n，~ni，k，δx；~n，~ni，k）}k≥1.和我一起∈ {1,2}由τx定义；ψ，νi，k:=（eτη（i，k），k≤\'ki，τx；ψ，ФS，k>ki，δx；ν，νi，k:=（eΔη（i，k），k≤\'ki，0，k>\'ki。（2.3）当上下文清晰时，为了缩短符号，我们只需写X，τS，τi，k，δi，k。定义2.2值得一些评论。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:31:53

首先，请注意，在两个参与者都愿意干预的情况下，即当αCk=αCk时，参与者1具有优先权。此外，我们还强调了“k”、“k”是随机变量，反映了干预的数量取决于ω的事实∈ Ohm. 特别要注意的是，在事件{k=∞} 公约∞t=limkexkt适合于t∈ [0，τS[，sinceeXk≡eXk+1in[0，＠τk+1[和limk＠τk=αS＠k=τSby假设。此外，我们注意到，如果∈ {1，2}只干预有限次，即，如果“kiis fi fine”，则控制的尾部通常设置为（τi，k，δi，k）=（τS，0）表示k>\'ki。然而，请注意，受控过程X不会在时间τS处跳跃。实际上，通过定义，该过程只会在时间τk处跳跃≤\'k，在这种情况下，我们有∧τk<αSk≤ αS′k=τS。在定义2.5之后，我们将在本节后面对这种尾部的选择进行进一步评论。最后，我们指出，定义2.2可以很容易地扩展到{τk}0的病理情况，即使是以一些额外的技术细节为代价≤K≤在游戏结束前积累。然而，这是一种退化的情况，本文和一般脉冲控制文献中没有考虑这种情况：见定义2.5和相应的评论。在下面的引理中，我们对（2.2）中概述的性质给出了严格的公式。引理2.3。让x∈ S，并让φi=（Ci，ξi）成为玩家i的策略∈ {1, 2}.- 流程X允许以下表示（使用约定）[∞,∞[= ):Xs=`k-1Xk=0Yeτk，xks[eτk，eτk+1[（s）+Yeτk，xτks[eτk，∞[（s）。（2.4）-过程X是连续的。更准确地说，X是连续的，满足[0]中的方程（2.1），∞[\\{τi，k:τi，k<τS}，而X在{τi，k:τi，k<τS}处不连续，其中wehaveXτi，k=ΓiX（τi，k）-, δi，k, δi，k=ξiX（τi，k）-, X（τi，k）-∈ Ci。（2.5）-进程X永远不会退出集合C∩ C.证据。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:31:57

我们只是证明（2.5）中的第一个属性，其他属性是直接的。让我∈ {1,2}，k≥ 1含τi，k<τ砂组σ=η（i，k），η如定义2.2所示。通过（2.3）、（2.4）和定义2。我们有xτi，k=Xeτσ=Yeτσ，xσeτσ=xσ=ΓieXσ-1eτσ，eΔσ= ΓieXσ-1（eτσ）-,eΔσ= ΓiX（eτσ）-,eΔσ= ΓiX（τi，k）-, δi，k,在第五个等式中，我们使用了processeXσ的连续性-1in[eτσ-1.∞[在下一个到最后一个等式中，我们利用了xσ-1.≡ X in[0，eτσ[。每个玩家的目标是最大化自己的回报，包括四个折扣条件：持续的回报、她干预的成本、对手干预的收益和最终回报。更准确地说，对于每个i∈ {1，2}我们考虑ρi>0（贴现率）和连续函数fi:S→ R（跑步者），您好：s→ R（终端支付）和φi:s×Zi→ R、 ψi:S×Zj→ R（干预的成本和收益），其中j∈ {1,2}，j 6=i。参与者i的报酬定义如下。定义2.4。让x∈ S、让（~n，~n）成为一对策略，让τSbe定义为定义2中的值。2.对于每个人，我∈ {1，2}，如果右侧存在且不确定，我们设置ji（x；魟，魟）：=ExZτSe-ρisfi（Xs）ds+Xk≥1：τi，k<τSe-ρiτi，kφiX（τi，k）-, δi，k+Xk≥1：τj，k<τSe-ρiτj，kψiX（τj，k）-, δj，k+ E-ρiτShi（XτS）{τS<+∞}, （2.6）其中j∈ {1,2}，其中j6=i和{（τi，k，δi，k）}k≥1是与策略，相关的玩家i的冲动控制。在控制理论中，通常情况下，期望中的下标表示与可用信息相关的条件作用（因此，它会回忆起起点）。注意，在上面的总和中，我们不考虑等于τS的停止时间，因为游戏以τS结束。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-11 06:32:00

此外，根据定义2.2，该过程不会在时间τS处跳跃，因此在（2.6）中，写入hi（XτS）而不是hi（X（τS）是合法的-).为了更好地定义Jiin（2.6），我们现在引入一组允许的策略inx∈ S.定义2.5。让x∈ S和φi=（Ci，ξi）是玩家i的策略∈ {1, 2}. 我们使用定义2.2的旋转，并且我们说，如果：1，则该对（k，k）是x容许的。因为我∈ {1，2}，以下随机变量在L中(Ohm):ZτSe-ρ是| fi |（Xs）ds，e-ρiτS | hi |（XτS），Xτi，k<τSe-ρiτi，k |φi |（X（τi，k）-, δi，k），Xτi，k<τSe-ρiτi，k |ψi |（X（τi，k）-, δi，k）；(2.7)2. 每p∈ N、随机变量kXk∞= 监督≥0 | Xt |在Lp中(Ohm):Ex[kXkp∞] < ∞; (2.8)3. 因为我∈ {1,2}我们有Limk→+∞τi，k=τS.（2.9）我们用Φx表示x-容许对的集合。由于定义2.5中的第一个条件，支付Ji（x；k，k）得到了很好的定义。第二个条件将用于验证定理3.3。我们认为（2.8）实际上是合理的。事实上，在竞争博弈的实际应用中，相互连续区域通常是一个有界集（例如，参见第4节中的非零和问题，或[18]中的停止博弈），因此| X |是有界的且（2.8）成立。第三个条件防止了seach player在τS之前积累干预。这是脉冲控制理论中的一个常见假设，参见[24，第6章]。特别是，在这种情况下，我们不允许在同一瞬间t<τS内进行一系列的多次干预。然而，任何时候都允许同时进行一定数量的干预，正如我们在备注2.8中详述的那样。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-11 06:32:03

最后，请注意，如果游戏者i干预一定次数，则第三个关系总是正确的，因为在定义2.2中，对于k>ki，控制的尾部通常设置为（τi，k，δi，k）=（τS，0）。我们以纳什均衡的定义和相应的支付函数作为本节的结束。请注意，函数不是唯一定义的，而是取决于所考虑的灰平衡。定义2.6。给定x∈ S、我们说*, φ*) ∈ Φxis博弈的纳什均衡*, φ*) ≥ J（x；k，а）*), ~ns.t.（~n，~n）*) ∈ Φx，J（x；ψ）*, φ*) ≥ J（x；ψ）*, φ), s.t.（*, φ) ∈ Φx.最后，纳什均衡的支付函数定义如下：如果x∈ S和纳什均衡*, φ*) ∈ 我们准备好了∈ {1,2}Vi（x）：=Ji（x；~n*, φ*).备注2.7。在技术上，处理封闭集上定义的函数很方便。出于这个原因，我们扩展了Jian和Vito的定义，包括琐碎的情况x∈ S.由于S是一个开放集，在这种情况下，游戏立即停止，因此我们有τS=0和Ji（x；~n，~n）=hi（x）分别对应于每一个（~n，~n），因此Vi（x）=hi（x）。备注2.8。我们注意到，在我们的框架内，允许随后同时进行一定数量的干预。也就是说，如果其中一个参与者介入t≥ 0之后可能会有另一次干预，也就是说，仍然在时间t。如果新状态在其中一个参与者的continuationregion之外，我们可以在同一时间t进行第三次干预，依此类推。然而，这种情况只能发生很多次，因为很明显，定义2.5中第三个条件阻止的有限序列将对应于退化博弈。备注2.9。我们对策略的定义不同于[16]中使用的定义，后者是对非预期策略概念的改编，即“a la Elliott Kalton[20]（见[21]中的随机案例）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:32:06

在后一种情况下，任何参与者的战略都是以非预期的方式对其竞争对手的战略做出反应，即它不能依赖于未来的战略。这种策略的概念已成功地应用于具有连续控制的零和随机微分对策的研究，并在[11]中得到进一步加强，以处理它们的非零和对手。事实证明，非预期策略的概念非常适合粘性解方法。在本论文中，我们决定将重点放在一种特殊形式的反馈策略上，主要是为了便于理解。事实上，它们是阈值型策略的推广，为了获得明确的平衡，它们显示出非常有效的效果（参见，例如[18]）。此外，每个玩家的行为仍然是对其竞争对手行为的响应，即使只是通过受控状态变量。3验证理论在本节中，我们为非零和脉冲博弈中某些纳什均衡的支付函数定义了一个合适的微分问题（见第3.1节），并证明了此类博弈的验证定理（见第3.2节）。3.1拟变分不等式问题我们现在介绍了一些纳什的支付函数应该满足的微分问题我们游戏中的平衡：这将是在下一节中陈述验证定理的关键。让我们考虑第2节中的冲动游戏。假设在某些纳什均衡条件下，为每个x定义了支付函数V，Vare∈ S（比较备注2.7，而对于本节中介绍的所有运算符，考虑开集S就足够了）。也假设我∈ {1，2}从S到zi存在一个唯一的、有限的、可测量的函数δifs，使得{δi（x）}=arg maxδ∈子Vi（Γi（x，δ））+φi（x，δ）, （3.1）每x∈ s

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:32:09

我们通过mivi（x）=Vi定义了四个干预算子Γi（x，δi（x））+ φix、 δi（x）,HiVi（x）=ViΓj（x，δj（x））+ ψix、 δj（x）,（3.2）对于x∈ S和我，j∈注意MiVi（·）=maxδ{Vi（Γi（·，δ））+φi（·，δ）}。（3.1）和（3.2）中的功能具有即时和直观的解释。让x为过程的当前状态；如果参与者i（分别为参与者j）以脉冲δ进行干预，那么参与者i的呈现均衡报酬可以写成Vi（Γi（x，δ））+φi（x，δ）（分别为Vi（Γj（x，δ））+ψi（x，δ））：我们考虑了新状态下的报酬和干预成本（分别为收益）。因此，（3.1）中的δi（x）是我在玩家想要干预时使用的冲动。类似地，当玩家i（分别为玩家J 6=i）立即采取最佳行动并在事后表现最佳时，MiVi（x）（分别为HiVi（x））代表玩家i的报酬。请注意，干预并非总是最佳的，因此MiVi（x）≤ Vi（x），每x∈ S、只有当MiVi（x）=Vi（x）时，我才应该介入（脉冲δi（x））。这给出了纳什均衡的启发式公式，前提是Vi的显式表达式可用。验证定理将为这一启发性论点提供严格的证明。现在我们来描述支付函数Vi.假设V，V∈ C（S）（稍后将给出较弱的条件）和defineavi=b·Vi+trσ∑tDVi,其中b，σ如（2.1）所示，σt表示σ和的转置Vi，d分别是Vi的梯度和hessian矩阵。我们对以下关于V，V的拟变分不等式（QVIs）感兴趣，其中i，j∈ {1,2}和i6=j:Vi=hi，inS、（3.3a）MjVj- Vj≤ 0，在S，（3.3b）HiVi中- Vi=0，单位为{MjVj- Vj=0}，（3.3c）最大值阿维- ρiVi+fi，MiVi- Vi}=0，单位为{MjVj- Vj<0}。（3.3d）我们现在提供一些条件（3.3a）-（3.3d）背后的直觉。首先，最终条件是显而易见的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:32:12

此外，正如我们已经注意到的，（3.3b）是脉冲控制理论中的标准条件。对于（3.3c），如果球员j介入（即MjVj- Vj=0），根据纳什均衡的定义，我们期望玩家i不会失去任何东西：这相当于HiVi- Vi=0，否则偏离会对她有利。相反，如果球员j不干预（因此MjVj- Vj<0），那么玩家i的问题就变成了经典的单人脉冲控制问题，Visatis Fies max阿维- ρiVi+fi，MiVi- Vi}=0。简言之，后一种情况表明- ρiVi+fi≤ 0，在不干预的情况下平等（即MiVi- Vi<0）。备注3.1。我们注意到avivi只出现在{MjVj中- Vj<0}，所以在这样一个区域内，葡萄藤属植物的分类是一致的（事实上，这个假设可以稍微放宽，正如我们将看到的）。这代表了与单人情况的不同，在单人情况下，值函数通常要求在S中几乎所有地方都是两次可微的，参见[24，Thm.6.2]。零和案。下一节将提供验证定理。在这里，作为初步检查，我们表明我们确实推广了[16]中提供的QVIs系统，其中考虑了零和情况。我们证明了，如果我们假设：-f、 φ：=φ=-ψ, ψ := ψ= -φ、 h:=h=-h、 Z:=Z=Z，Γ：=Γ=Γ，（3.4），所以V:=V=-五、然后（3.3）中的问题简化为[16]中考虑的问题。为了简化方程，我们假设ρ=ρ=0（这是有意义的，因为[16]中考虑了有限的视界问题）。首先，我们定义fmv（x）：=supδ∈ZV（Γ（x，δ））+φ（x，δ）,超高压（x）：=infδ∈ZV（Γ（x，δ））+ψ（x，δ）,每x∈ 很容易看出，在（3.4）中的条件下，我们有MV=fMV，MV=-超高压，高压=超高压，高压=-fMV。（3.5）通过使用（3.5），问题（3.3）变成sv=h，inS、（3.6a）fMV≤ 五、≤超高压，南部，（36亿）AV+f≤ 0，在{V=fMV}，（3.6c）AV+f=0，在{fMV<V<eHV}，（3.6d）AV+f中≥ 0，在{V=eHV}中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:32:15

（3.6e）简单的计算表明，问题（3.6）等价于v=h，inS、（3.7a）fMV- 五、≤ 0，在S中，（3.7b）min{max{AV+f，fMV- 超高压-V}=0，在S中，（3.7c），这正是[16]中研究的问题，正如预期的那样。引理3.2。问题（3.6）和（3.7）是等价的。证据推迟到附录A.3.2陈述和证明我们在此提供本文的主要数学贡献，这是第2节中形式化问题的验证理论。定理3.3（验证定理）。让第2节中的所有符号和工作假设生效，让Vi成为从S到R的函数，i∈ {1, 2}. 假设（3.1）保持并设置Di:={MiVi- Vi<0}，MiVias在（3.2）中。此外，因为我∈{1，2}假设：（i）Vi是（3.3a）-（3.3d）的解；（二）六∈ C（Dj）Di）∩ C（Dj）∩ C（S）且具有多项式增长；（三）Dii是一个Lipschitz曲面（即，它是一个Lipschitz函数的局部图），它是一个二阶局部有界导数，在该函数的某个邻域内迪。最后，让我们来看看x∈ S并假设*, φ*) ∈ Φx，带φ*i=（Di，δi），其中i∈ {1,2}，集合Diis如上所述，函数δiis如（3.1）所示。然后，（ν）*, φ*) 是纳什均衡，且Vi（x）=Ji（x；~n）*, φ*) 因为我∈ {1, 2}.备注3.4。实际上，纳什策略的特点如下：只有当受控过程从{MiVi]区域退出时，参与者i才进行干预-Vi<0}（等价地，仅当MiVi（x）=Vi（x），其中x是当前状态）。当这种情况发生时，她的冲动是δi（x）。备注3.5。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:32:19

定理3.3证明中的一些技术步骤和近似方法可能会隐藏这个结果所基于的思想：如果φ是参与者1的策略，则*) ∈ Φx，通过Ite^o公式（这里只是试探性的）和QVI问题（3.3）中的四个条件，我们得到v（x）“=”Ex-ZτSe-ρs（AV）-ρV（Xs）ds-Xτ1，k<τSe-ρτ1，k五、Xτ1，k-五、X（τ1，k）--Xτ2，k<τSe-ρτ2，k五、Xτ2，k- 五、X（τ2，k）-+ E-ρτSV（XτS）{τS<+∞}≥ 前任ZτSe-ρsf（Xs）ds+Xτ1，k<τSe-ρτ1，kφX（τ1，k）-, δ1，k+Xτ2，k<τSe-ρτ2，kψX（τ2，k）-, δ2，k+ E-ρτSh（XτS）{τS<+∞}= J（x；k，а）*).当考虑到~n=П时*, 通过定义φ，我们得到了一个等式*, 所以*, φ*) 这是纳什均衡。然而，必须考虑几个近似序列，因为我们不能直接应用It^o公式（Vis不够规则）和期望值（我们正在处理潜在的有限和）。备注3.6。注意，因为∈ C（S）代表我∈ {1，2}，集合是开的，函数δ是可测的，可测极大值定理在[1，Thm.18.19]中给出。我们还观察到，对于上述定理中的（候选）平衡策略，引理2.3中的性质暗示了以下内容（符号很重，但理解定理的证明至关重要）：（MV- V）Xx；φ*,~ns< 0，（3.8a）（毫伏）- V）Xx；φ,φ*s< 0，（3.8b）δx；φ*,ν1，k=δXx；φ*,φτx；φ*,ν1，k-, （3.8c）δx；φ,φ*2，k=δXx；φ,φ*τx；φ,φ*2，k-, （3.8d）（MV）- V）Xx；φ*,φτx；φ*,ν1，k-= 0，（3.8e）（MV- V）Xx；φ,φ*τx；φ,φ*2，k-= 0，（3.8f）对于每个策略*), (φ*, φ) ∈ Φx，每个s≥ 0和每个τx；φ,φ*i、 k，τx；φ*,νi，k<∞.证据根据定义2.6，我们必须证明vi（x）=Ji（x；~n*, φ*), V（x）≥ J（x；k，а）*), V（x）≥ J（x；ψ）*, 对于每一个我∈ {1,2}和（~n，~n）策略*) ∈ Φx和（φ）*, φ) ∈ Φx.我们展示了Vand J的结果，Vand J的参数是对称的。第一步：V（x）≥ J（x；k，а）*). 让~n成为玩家1的策略，以便*) ∈ Φx。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:32:22

在这里，我们将使用以下缩写符号：X=Xx；φ,φ*, τi，k=τx；φ,φ*i、 k，δi，k=δx；φ,φ*i、 k.为了使用It^o公式，我们首先需要用正则函数近似Vw。由于（ii）和（iii）保持[23，Thm.10.4.1和App.D]的证明]存在函数序列{V1，j}j∈确认：（a）V1，j∈ C（D）∩ C（S），每个j∈ N（尤其是D中定义的AV1、jis）；（b） V1，j→ 瓦斯j→ ∞, 在S的紧子集上一致；（c） {AV1，j}j∈Nis在Dand AV1，j中局部有界→ 艾瓦斯j→ ∞, D的紧子集上的一致性D.对于每个r>0和`∈ N、我们设置τr，`=τr∧ τ1,`∧ τ2，`，（3.9），其中τr=inf{s>0:Xs/∈ B（0，r）}是半径为r的球的退出时间。由（3.8b）我们得到了x∈ D对于每个s>0。从V1开始，j∈ C（D）乘以（a），每j∈ N我们可以把它的公式应用到过程e中-ρtV1，j（Xt）在区间[0，τr，`[，取条件期望：wegetV1，j（x）=Ex-Zτr，`e-ρs（AV1，j）-ρV1，j）（Xs）ds-Xτ1，k<τr，`e-ρτ1，kV1，jXτ1，k-V1，jX（τ1，k）--Xτ2，k<τr，`e-ρτ2，kV1，jXτ2，k- V1，jX（τ2，k）-+ E-ρτr，`V1，jX（τr，`）-. （3.10）注意，（3.10）由（3.9）定义：事实上，由于τr`≤ τr，X属于紧setB（0，r），其中连续函数V1，jis有界；此外，这两个总和包含自τr以来的有限个项`≤ τ1,`∧ τ2,`. 另外，请注意，在（3.10）中，我们需要写出ev1，j（X（τr，`）-), 由于时间τr处的跳跃，`。我们现在把（3.10）中的极限作为j→ ∞: 由于Xbelong是紧集B（0，r），通过（B）和（c）中的一致收敛，我们得到v（x）=Ex-Zτr，`e-ρs（AV）-ρV（Xs）ds-Xτ1，k<τr，`e-ρτ1，k五、Xτ1，k-五、X（τ1，k）--Xτ2，k<τr，`e-ρτ2，k五、Xτ2，k- 五、X（τ2，k）-+ E-ρτr，`VX（τr，`）-. （3.11）我们现在估计（3.11）右边的每个项。至于第一学期，自（MV）- 五）（Xs）<0乘以（3.8b），从（3.3d）可以得出（AV- ρV（Xs）≤ -f（Xs），（3.12）表示所有的s∈ [0，τS]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:32:25

对于第二个任期，让我们考虑任何k∈ N和ω∈ Ohm τ1，k（ω）<τS（ω）。通过（3.3b）和MVin（3.2）的定义，我们已经X（τ1，k）-≥ MVX（τ1，k）-= supδ∈Z五、ΓX（τ1，k）-, δ+ φX（τ1，k）-, δ≥ 五、ΓX（τ1，k）-, δ1，k+ φX（τ1，k）-, δ1，k= 五、Xτ1，k+ φX（τ1，k）-, δ1，k. （3.13）至于第三个任期，让我们考虑任何k∈ N和ω∈ Ohm τ2，k（ω）<τS（ω）。到（3.8华氏度）我们已经（毫伏）-V）X（τ2，k）-= 0; 因此，（3.3c）中的条件、HVin（3.2）的定义和δ2，kin（3.8d）的表达暗示着X（τ2，k）-= 高压X（τ2，k）-= 五、ΓX（τ2，k）-, δX（τ2，k）-)+ ψX（τ2，k）-, δX（τ2，k）-)= 五、ΓX（τ2，k）-, δ2，k+ ψX（τ2，k）-, δ2，k= 五、Xτ2，k+ ψX（τ2，k）-, δ2，k. （3.14）由（3.11）和（3.12）-（3.14）中的估计值得出≥ 前任Zτr，`e-ρsf（Xs）ds+Xτ1，k<τr，`e-ρτ1，kφX（τ1，k）-, δ1，k+Xτ2，k<τr，`e-ρτ2，kψX（τ2，k）-, δ2，k+ E-ρτr，`VX（τr，`）-.由于（2.7），（2.8）中的条件和Vin（ii）的多项式增长，我们现在使用优势收敛定理并传递到极限，首先是r→ ∞ 然后作为`→ ∞, 所以停止时间τr，`收敛到τSby（2.9）。特别地，对于第四项，我们注意到通过（ii）和（2.8）我们有v（X（τr，`）-) ≤ C（1+| X（τr，`）-|p）≤ C（1+kXkp）∞) ∈ L(Ohm), （3.15）对于合适的常数C>0和p∈ N在τS<∞ 在τS=∞ （作为（2.8）的直接结果，我们有kXkp∞< ∞ a、美国）。因此，我们最终得到v（x）≥ 前任ZτSe-ρsf（Xs）ds+Xτ1，k<τSe-ρτ1，kφX（τ1，k）-, δ1，k+Xτ2，k<τSe-ρτ2，kψX（τ2，k）-, δ2，k+ E-ρτSh（XτS）{τS<+∞}= J（x；k，а）*).第2步：V（x）=J（x；~n*, φ*).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:32:28

我们在第1步中进行了讨论，但这里所有的不等式都是由φ的性质决定的等式*.正如在备注3.1中已经注意到的，我们强调，与单人脉冲控制问题不同，在我们的验证定理中，候选人不需要在任何地方都是两次可微的。例如，考虑玩家1的情况：就像在证明中一样，我们总是考虑形式为（ν，ν）的策略对*), 到（3.8b）时，受控过程永远不会从D={MV退出-V<0}，这是唯一一个函数V需要（几乎所有地方）两次微分才能应用^o公式的区域。在本节结束时，我们将考虑如何典型地使用上述定理。首先，在解决QVIs系统时，我们将处理仅在典型情况下定义的功能，这将在下一节中明确。然后，VerificationTheorem中的正则性假设将为我们提供合适的平滑粘贴条件，从而形成一个代数方程组。如果正则性条件太强，系统的方程比参数多，使得定理的应用更加困难。因此，在说明验证定理时，一个关键点是设置正则性条件，给出一个可解的方程组。在第四节中，我们展示了在一维脉冲博弈的例子中，正则性条件实际上导致了一个适定代数系统。4可解一维脉冲博弈的例子在第4.1-4.4节中，我们将验证定理3.3应用于脉冲博弈，其中一维状态变量由（标度）布朗运动建模，这可能是由于两个具有线性支付的参与者的干预而改变的。我们为这种博弈找到了一系列纳什均衡，并为支付函数和最优策略提供了明确的表达式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-11 06:32:31

在第4.5节中，我们将求解程序改编为另外两个例子系列，分别是立方付息和线性付息和立方付息，在这两个例子中，可以通过数值方式找到解决方案。4.1问题的表述我们考虑一个一维实过程X和两个目标相反的参与者：参与者1更喜欢过程X的高值，而参与者2的目标是迫使X取低值。更准确地说，如果x表示过程的当前值，我们假设两个参与者的运行支付由f（x）=x给出- s、 f（x）=s- x、 s<s，（4.1），其中s为固定（可能为负）常数。我们假设每个玩家都可以进行干预，并将X从状态X转移到状态X+δ，δ∈ R在每次干预中可能有所不同。此外，当没有参与者介入时，我们假设X遵循（缩放的）布朗运动。因此，如果x表示初始状态andui={（τi，k，δi，k）}k≥1收集playeri的干预时间和相应的脉冲∈ {1，2}，我们有xs=Xx；u、 us=x+σWs+Xk：τ1，k≤sδ1，k+Xk：τ2，k≤sδ2，k，s≥ 0，其中W是标准的一维布朗运动，σ>0是固定参数。当玩家2的目标是降低水平时，我们可以假设她的冲动是负的：δ2，k≤ 0，每k∈ N.类似地，我们假设δ1，k≥ 0，每k∈ N

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:32:34

影响这一过程对介入的玩家来说是有代价的，我们还假设对手也有相应的收益。在我们的模型中，干预惩罚和收益都包含在固定成本和可变成本中，假设与脉冲的绝对值成正比：如果φide表示参与者i的干预惩罚，ψjdenotes表示参与者j的相应收益，我们假设φi（δ）=-C- λ|δ|，ψj（δ）=c+~λ|δ|，其中δ∈ R是对应于参与者i和c的干预的脉冲，~c，λ，~λ是c≥ ~c≥ 0, λ ≥~λ ≥ 0，（c，λ）6=（c，λ）。顺序条件有这样的合理性：如果我们有c<~c或λ<~λ，那么，对于合适的脉冲δ，两个参与者可以通过（几乎）瞬时的双重干预实现互利；通过在有限的时间间隔内多次迭代，两个支付函数将发生分歧（这种现象类似于[18]中已经出现的停止游戏的现象）。注释4.5和第4.4节将解释条件（c，λ）6=（~c，~λ）。最后，我们假设- λρ>0，（4.2），其中ρ是贴现率，两个参与者的贴现率相同。这个问题显然属于第2节中描述的类别，d=1，S=R，Γi（x，δ）=x+δ，ρi=ρ，Z=[0，∞[，Z=]- ∞, 0]和上面的fi，φi，ψias。简而言之，如果φi=（Ci，ξi）表示参与者i的策略，则目标函数areJ（x；φ，ν）：=ExZ∞E-ρs（Xs）-s） ds-Xk≥1e-ρτ1，k（c+λ|δ1，k |）+Xk≥1e-ρτ2，k（~c+~λ|δ2，k |）,J（x；~n，~n）：=ExZ∞E-ρs（s）-Xs）ds-Xk≥1e-ρτ2，k（c+λ|δ2，k |）+Xk≥1e-ρτ1，k（~c+~λ|δ1，k |）,式中{（τi，k，δi，k）}k≥1取消玩家i与策略和相关的冲动控制。如前所述，参与者有不同的目标：我们将调查这样一个问题是否存在纳什均衡。事实上，由于两个玩家在区间[s，s]中都有收益，因此似乎存在纳什配置的空间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:32:37

如果存在纳什均衡，则用V（x），V（x）表示相应的均衡收益与初始状态x∈ R.作为对刚才描述的游戏的可能解释，让X表示两种货币之间的汇率。相应国家的央行（参与者）对利率有不同的目标：参与者1更喜欢X的高值，而参与者2的目标是产生低值。为了建立一个易于处理的模型，我们假设两个参与者的报酬分别由byX给出-沙粒-十、式中，s是s>s的固定常数，这导致了本节中定义的一维algame。这种解释对应于[10]和[12]中介绍和研究的模型的两人版本。4.2在平衡点寻找支付函数的候选者目标是使用验证定理3.3。我们首先寻找问题（3.3）的一个解决方案，以获得支付函数V，V的两个候选者V，V。首先，考虑QVI问题（3.3）中的两个方程，即-~Vi=0，单位为{Mj~Vj-~Vj=0}，最大值A~Vi- ρVi+fi，Mi~Vi-~Vi}=0，单位为{Mj~Vj-~Vj<0}，对于i，j∈ {1,2}，其中i6=j；这意味着Vi的以下表示：Vi（x）=米六（x），在{米六-~Vi=0}，~ni（x），在{Mi ~Vi-~Vi<0，Mj~Vj-~Vj<0}，Hi~Vi（x），in{Mj~Vj-对于i，Vj=0}，（4.3）∈ {1,2}和x∈ R、其中，а为аi提供了解决方案- ρφi+fi=σφi- ρφi+fi=0。（4.4）请注意，对于每一个x∈ R、我们有φ（x）=φA，A（x）=Aeθx+Ae-θx+（x- s） /ρ，ν（x）=ПA，A（x）=Aeθx+Ae-θx+（s）- x） /ρ，（4.5），其中Aijare实参数和参数θ由θ=r2ρσ定义。为了继续，我们需要猜测干预区域的表达式。由于player1的目标是为流程保持较高的价值，因此可以合理地假设她的干预区域在表单中]- ∞, 对于某些阈值x。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-11 06:32:40

出于类似的原因，我们预计玩家2的干预区域为[\'\'x+∞[，对于其他一些阈值\'x。由于s<s，我们猜测\'x<\'x；因此，实线被启发式地划分为三个区间：]- ∞, \'x]=-~V=0}，其中玩家1介入，]\'x，\'x[={M~V-~V<0}∩ {M}V-在没有人干预的情况下，[\'x+∞[={M~V-~V=0}，玩家2介入。根据表示法（4.3），这导致了以下关于<<Vand>>V的表达式：<<V（x）=M~V（x），如果x∈ ] - ∞, \'\'x]，如果x∈ ]\'x，\'x[，HV（x），如果x∈ [x]+∞[，V（x）=HV（x），如果x∈ ] - ∞, \'\'x]，如果x∈ ]\'x，\'x[，MV（x），如果x∈ [x]+∞[.现在让我们来研究Mi-Via和Hi-Vi的形式。回想一下，玩家1（和玩家2）的冲动是正的（和负的）；然后，我们有m)V（x）=supδ≥0{V（x+δ）- C- λδ}=supy≥x{V（y）- C- λ（y）- x） }，M~V（x）=supδ≤0{V（x+δ）- C- λ(-δ） }=supy≤x{V（y）- C- λ（x）- y）哦。可以合理地假设函数y7的最大点→■V（y）- λy（分别为y 7→~V（y）+λy）存在，是唯一的，并且属于公共连续区域]\'x，\'x[，其中我们有~V=~n（分别为~~V=~n）。因此，如果我们用x表示*i、我∈ {1，2}，这样的极大点，也就是φ（x）*) = 麦克西∈]\'x，\'x[{~n（y）- λy}，即φ（x）*) = λ、 ~n（x）*) ≤ 0，`x<x*< \'-x，~n（x）*) = 麦克西∈]\'x，\'x[{~n（y）+λy}，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:32:43

~n（x）*) = -λ、 ~n（x）*) ≤ 0，`x<x*< \'x，函数MiVi，HiVi有以下（启发性的，目前）表达式：MV（x）=~n（x*) - C- λ（x）*- x），M~V（x）=*) - C- λ（x）- 十、*),HV（x）=ψ（x）*) + ~c+~λ（x）- 十、*), HV（x）=ψ（x）*) + ~c+~λ（x）*- x）。对于＠V，＠V中涉及的参数，必须选择它们，以满足验证定理中的正则性假设，这里写的是＠V∈ C] - ∞, \'x[∪ ]\'x，\'x[∩ C] - ∞, \'x[∩ CR,~V∈ C]\'x，\'x[∪ ]\'x+∞[∩ C]\'x+∞[∩ CR.自VandVare以来，从定义上讲，光滑]- ∞, \'x[∪ ]\'x，\'x[∪ ]\'x+∞[，我们必须设置参数，以使![Vi]在![x]处连续，在![x]处可微分（我们强调![V]在![x]和![x]处不可微分）。最后，为了总结前面的所有论点，我们对一些纳什均衡的支付函数的候选定义如下。定义4.1.对于每个x∈ R、我们设置了V（x）=~n（x）*) - C- λ（x）*- x），如果x∈ ] - ∞, \'\'x]，如果x∈ ]\'x，\'x[，~n（x*) + ~c+~λ（x）- 十、*), 如果x∈ [x]+∞[，V（x）=~n（x）*) + ~c+~λ（x）*- x），如果x∈ ] - ∞, \'\'x]，如果x∈ ]\'x，\'x[，~n（x*) - C- λ（x）- 十、*), 如果x∈ [x]+∞[，（4.6）式中，其中=A，A，=A，A以及涉及的八个参数（A，A，A，A，\'x，\'x，x*, 十、*)满足订单条件\'x<x*< \'x，\'x<x*< \'x，（4.7）和以下条件：~n（x）*) = λ和ν（x）*) ≤ 0，（x的最优性）*) （4.8a）~n（\'x）=λ，（C-粘贴在\'x）（4.8b）~n（\'x）=~n（x）*) - C- λ（x）*- \'x\'（C-粘贴在\'x\'（4.8c）~n（\'x）=~n（x*) + ~c+~λ（`x）- 十、*), （C-粘贴在“x”中）（4.8d）~n（x）*) = -λ和ν（x）*) ≤ 0，（x的最优性）*) （4.9a）~n（\'x）=-λ、（C-粘贴在“x”中）（4.9b）~n（\'x）=~n（x）*) + ~c+~λ（x）*- \'x\'（C-粘贴在\'x\'（4.9c）~n（\'x）=~n（x*) - C- λ（`x）- 十、*). （C-pasting in’x）（4.9d）为了有一个适定的定义，我们需要证明（4.7）-（4.8）-（4.9）中的条件实际上允许一个解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 06:32:46

事实上，我们可以在这里证明（4.7）（4.8）-（4.9）存在一系列解决方案，即我们有很多纳什均衡（候选）和相应的支付方案4.2。存在一个8-uple（a，a，a，a，\'x，\'x，x）族*, 十、*) 满足（4.7）-（4.8）-（4.9）中的条件。此外，对于每一个这样的8-uple，都存在x∈]十、*, \'x[例如，φ<0英寸]\'x，~x[和φ>0英寸]~x，\'x[.证明。首先，我们减少了方程的数量。注意，对于任何∈ R和x∈ R、运行成本（f，f）满意度f（x）=f（2s- x） +2秒- （s+s）。我们猜测（ν，ν）有一个对应关系，即（x）=（2s）- x） +2秒- （s+s）ρ，我们寻找夫妇（\'x，\'x），（x）*, 十、*) 对称于s。因此，我们关注的候选者是\'x=2\'s- \'x，x*= 2~s- 十、*, A=Ae-在条件（4.10）下，（4.8）和（4.9）中的系统是独立和等效的：即4个耦合（A，A，\'\'x，x）*) 解（4.8）当且仅当（A，A，\'x，x）*), 由（4.10）定义，是（4.9）的解决方案。因此，我们只需要解两个方程组中的一个：我们决定关注（4.9），以及顺序条件（4.7）。通过变量y=eθ（`x）的变化-)s），y*= eθ（x）*-~s），A=2θAeθs，A=2θAe-θ~s（4.11）和一些代数运算，（4.7）和（4.9）中的条件读取（详情见附录A，我们设置η=（1- λρ）/ρ，注意η>0）A（y）*)- 2ηy*- A=0，（4.12a）A\'y- 2ηy- A=0，（4.12b）（A+A）（y）- Y*) + 2Aθ（c）- ~c）+（λ-■λ）对数（y/y）*)= 0，（4.12c）A（\'y- Y*) + θc- η对数（y/y）*) = 0，（4.12d）y*> 0，\'y>0，y*< 是的，1年*, 嗯*- η ≤ 0.（4.12e）我们现在证明存在唯一解（a，a，\'y，y）*) 至（4.12）。给定一对固定的（a，a）∈ A、在哪里=（A，A）：A>0，A<0，A+A<0，η+AA>0, （4.13）对于（4.12a）-（4.12b）-（4.12e）存在一个唯一的解，由y（a，a）=η+pη+AAA，y给出*（A，A）=η-pη+AAA。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝