折射列维过程的巴黎废墟

nandehutu2022

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收藏 2022-05-11

英文标题：
《Parisian ruin for a refracted L\\\'evy process》
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作者：
Mohamed Amine Lkabous, Irmina Czarna, Jean-Fran\\c{c}ois Renaud
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
In this paper, we investigate Parisian ruin for a L\\\'evy surplus process with an adaptive premium rate, namely a refracted L\\\'evy process. More general Parisian boundary-crossing problems with a deterministic implementation delay are also considered. Our main contribution is a generalization of the result in Loeffen et al. (2013) for the probability of Parisian ruin of a standard L\\\'evy insurance risk process. Despite the more general setup considered here, our main result is as compact and has a similar structure. Examples are provided.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了具有自适应保费率的列维剩余过程的巴黎破产，即折射列维过程。还考虑了更一般的具有确定性实现延迟的巴黎边界穿越问题。我们的主要贡献是对Loeffen等人（2013）关于标准列维保险风险过程巴黎破产概率的结果的推广。尽管这里考虑了更一般的设置，但我们的主要结果是紧凑的，并且具有类似的结构。举例说明。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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Parisian_ruin_for_a_refracted_Lévy_process.pdf
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能者818

2022-5-11 04:10:06

巴黎的折光莱维工艺废墟穆罕默德·阿明·卡布斯、伊米娜·扎纳和让-弗朗索瓦·勒诺。本文研究了具有自适应保费率的Lévy剩余过程的巴黎破产问题，即折射Lévy过程。我们的主要贡献是[13]中关于标准Lévy保险风险过程的巴黎破产概率的结果的推广。还考虑了更一般的具有确定性实现延迟的巴黎边界穿越问题。尽管这里考虑了更一般的设置，但我们的主要结果是结构紧凑，结构相似。举例说明。1.介绍在过去的几年里，巴黎废墟的想法引起了很多关注。在巴黎pe破产模型中，保险公司违约时不会立即清算：在清算前给予宽限期。更准确地说，如果在预先确定的临界水平下所花费的时间比实现延迟（也称为时钟）长，则会发生巴黎破产。最初，人们考虑了两种类型的巴黎破产，一种是确定性延迟（参见[2,9,13,16]），另一种是随机延迟（[1,10,11]）。每当盈余进入红色区域时，这两种类型的巴黎废墟就会启动一个新的时钟，无论是确定性的还是随机的。最近[5]提出了巴黎废墟的第三个定义，称为累积巴黎废墟；在这种情况下，竞赛是在单个确定性时钟和低于临界水平的偏移总和之间进行的。在本文中，我们对折射Lévy保险风险过程中具有确定性延迟的巴黎破产时间感兴趣，这是[8]中首次研究的过程。

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kedemingshi

2022-5-11 04:10:09

对于标准的Lévyin保险风险过程X，在[13]中研究了延迟r>0的巴黎破产时间：定义为κr=inf{t>0:t- gt>r}，其中gt=sup{0≤ s≤ t:Xs≥ 0}. Loe offen等人[13]获得了巴黎破产概率的一个非常好且紧凑的表达式：定理1。为了x∈ R、 Px（κR<∞) = 1.- （E[X]）+R∞W（x+z）zP（Xr）∈ dz）R∞zP（Xr）∈ dz），（1）式中（x）+=max（x，0），其中函数W是x的0标度函数（见（3）中的定义），我们希望通过对剩余过程使用具有自适应溢价的过程，使模型更一般、更现实，从而改进这个结果，如[15]所示。更准确地说，当公司陷入财务困境时，即当其盈余低于临界水平时，保费会增加；当其盈余离开红色区域时，日期为2018年10月10日。关键词和短语。巴黎废墟，适应性溢价，折射莱维过程。保险费恢复到正常水平。因此，我们将使用折射Lévy过程作为剩余过程。请注意，我们也可以将溢价率的这种变化解释为一种投资方式（用于研发、现代化等）：如果公司的盈余处于良好的财务状况，即高于临界水平，则其投资率为δ；否则就不行了。然而，对于本文的剩余部分，我们将使用前面的解释。一般来说，与经典过程相比，折射Lévy过程的波动恒等式可能很乏味，因为涉及两个不同Lévy风险过程的标度函数（见[8]）。因此，我们的主要贡献是，对于折射Lévy风险过程（见下面的等式（14））的巴黎破产概率，我们给出了一个令人惊讶的简洁表达式，其精神与标准Lévy风险过程的等式（1）中的等式相同。

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kedemingshi

2022-5-11 04:10:12

我们的公式还提供了折射参数如何影响这种概率的信息，同时显示了延迟参数的影响。此外，我们还分析了折射Lévy过程的更一般的巴黎边界交叉问题，即使对于标准的Lévy风险过程，这些问题以前都没有研究过。因此，当折射参数设置为零时，经典的Lévy装置将获得新的恒等式。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们将更详细地介绍我们的模型，以及一些关于光谱负Lévy过程和尺度函数的背景材料。第3节给出了主要结果，第4节给出了几个例子。第5节是主要结果的证明，以及（新的）技术问题。在附录中，给出了尺度函数的一些众所周知的性质。2.我们的模型和背景材料在导言中提到，我们对剩余过程U感兴趣，其动态变化通过在低于临界水平时添加固定线性漂移（溢价），即所谓的红色区域。在不丧失一般性的情况下，我们将选择该临界水平为0。在我们的模型中，Y是正常业务期间（高于零）的盈余过程，而Lex是关键业务期间（低于零）的盈余过程，额外的溢价率δ。更准确地说，假设Y是一个Lévy保险风险过程（参见下面的定义），模拟0以上盈余U的动态。在0以下，我们的剩余过程U演化为asX={Xt=Yt+δt，t≥ 0}.

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nandehutu2022

2022-5-11 04:10:15

显然，X也是一个Lévy保险风险过程；事实上，除了受Lévyprocess的线性部分的值影响的那些属性外，X andY共享许多属性。换句话说，我们的剩余过程由解U={Ut，t给出≥ 0}到以下随机微分方程：对于δ≥ 0，dUt=dYt+δ1{Ut<0}dt，t≥ 0. (2)2.1. 莱维保险风险流程。我们说X={Xt，t≥ 如果0}是滤波概率空间上的谱负Lévy过程（SNLP），则0}是Lévy保险风险过程(Ohm, F、 {Ft，t≥ 0}，P），这是一个具有平稳、独立增量和无正跳的过程。为了避免琐事，我们排除了X具有单调路径的情况。由于Lévy过程X没有正跳跃，它的拉普拉斯指数存在：对于所有λ，t≥ 0，EheλXti=etψ（λ），其中ψ（λ）=γλ+σλ+Z∞E-λz- 1+λz1（0,1）（z）π（dz），表示γ∈ R和σ≥ 其中∏是（0，∞) 就这样∞(1 ∧ z） π（dz）<∞.该测度∏称为X的Lévy测度。最后，请注意，E[X]=ψ′（0+）因此，在Lévy保险风险模型中，净利润条件写为E[X]=ψ′（0+）≥ 0.我们将使用标准的马尔可夫符号：从X=X开始的X定律由px表示，相应的期望值由Ex表示。当X=0时，我们写出P和E。当剩余过程X具有有界变化路径时，即当rz∏（dz）<∞σ=0，我们可以写ext=ct- 其中c:=γ+Rz∏（dz）>0是X的漂移，其中S={St，t≥ 0}是无漂移随机变量（例如伽马过程或复合泊松过程）。现在我们给出了X的标度函数W（q）和Z（q）的定义。

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何人来此

2022-5-11 04:10:19

首先，回想一下有一个函数Φ：[0，∞) → [0, ∞) 定义为Φ（q）=sup{λ≥ 0 |ψ（λ）=q}（ψ的右逆），使得ψ（Φ（q））=q，q≥ 0.现在，对于q≥ 0，过程X的q标度函数定义为[0，∞) 用拉普拉斯变换器∞E-λyW（q）（y）dy=ψ（λ）- q、对于λ>Φ（q）。（3）这个函数对于x是唯一的、正的且严格递增的≥ 0，并且对于q是进一步的连续≥ 通过设置W（q）（x）=0 f或x<0，我们将W（q）扩展到整个实数线。当q=0时，我们写W=W（0）。我们还定义了z（q）（x）=1+qZxW（q）（y）dy，x∈ R.（4）如果我们定义Y={Yt=Xt- δt，t≥ 0}，那么它也是一个Lévy保险风险过程（如果它没有单调路径）：它的线性部分由γ给出- δ但它与X具有相同的高斯系数σ和Lévy测度∏。事实上，X和Y有许多共同的性质。请注意，我们可以先指定，然后定义X={Xt=Yt+δt，t≥ 0}如引言所示。这两种方法是等效的。Y的拉普拉斯指数由λ7给出→ ψ(λ) - Δλ，带右逆的φ（q）=sup{λ≥ 0 | ψ(λ) - Δλ=q}。然后，对于每个q≥ 0，我们定义了它的标度函数W（q）和Z（q），如方程（3）和（4）：Z∞E-λyW（q）（y）dy=ψ（λ）- δλ -q、对于λ>φ（q）和z（q）（x）=1+qZxW（q）（y）dy，x∈ R.2.2。折射Lévy过程。回想等式（2），我们的剩余过程U={Ut，t≥ 0}等价于解todUt=dYt+δ1{Ut<0}dt，t≥ 0，ordUt=dXt- δ1{Ut>0}dt，t≥ 0，其中δ≥ 0是折射参数。秒随机微分方程是[8]中使用的方程。在那篇文章中证明了这样一个过程的存在，它是一个向上跳跃的强马尔可夫过程。出于技术原因，我们需要假设，如果X（以及Y）具有有界变化路径，则为0≤ δ<c=γ+Z（0,1）Z∏（dz）。

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能者818

2022-5-11 04:10:22

（5）因为在这种情况下，X可以写成Xt=ct- 式（5）中的条件是确保Y具有严格的正线性漂移。在[8]中，许多函数恒等式，包括U的破产概率，都是用U:q的尺度函数推导出来的≥ 0和x∈ R、 setw（q）（x；z）=W（q）（x）- z） +δ1{x≥0}ZxW（q）（x）- y） W（q）′（y）-z） dy.（6）注意，当x<0时，我们有W（q）（x；z）=W（q）（x）- z）。对于q=0，我们将写w（0）（x；z）=w（x；z）。有关更多详细信息，请参见[7]。2.3. 经典的破产和退出问题。以下是光谱负Lévy过程X和Y以及折射Lévy过程U的已知反射识别的集合。有关更多详细信息，请参见[7]。首先，对于实数a和b，我们定义了以下第一次通过的停止时间：τ-a=inf{t>0:Xt<a}和τ+b=inf{t>0:Xt≥ b} ν-a=inf{t>0:Yt<a}和ν+b=inf{t>0:Yt≥ b} κ-a=inf{t>0:Ut<a}和κ+b=inf{t>0:Ut≥ b} ，与公约 = ∞. 暂时≤ 0≤ b和q≥ 0，如果a≤ 十、≤ b那么我们有-qκ+b{κ+b<κ-a} i=w（q）（x；a）w（q）（b；a），从中我们可以推断出-qκ+b{Kκ+b<∞}i=eΦ（q）x+ΔΦ（q）1{x≥0}RxeΦ（q）yW（q）（x）- y）染料Φ（q）b+ΔΦ（q）RbeΦ（q）yW（q）（b）- y） dy.（7）参见[8]中的定理5。此外，与每三个过程相关的经典破产概率由px给出τ-< ∞= 1.- （E[X]）+W（X），对于X，而对于Y和U，我们有pxν-< ∞= 1.- （E[X]- δ） +W（x）（8）和pxκ-< ∞= 1.-（E[X]- δ)+1 - δW（0）W（x；0）。（9）当然，等式（8）和（9）中的表达式应该相等，因为Yt，t<ν-和Ut，t<κ-当x>0时，具有与px相同的分布。使用附录中的等式（31），我们可以看到情况就是这样。最后，由于Y的拉普拉斯指数由λ7给出→ ψ(λ) - Δλ，那么对于x，θ>0，wehaveExheθYν-{ν-<∞}i=eθx- (ψ(θ) - Δθ）eθxZxe-θzW（z）dz-ψ(θ) - ΔθW（x）。

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能者818

2022-5-11 04:10:25

（10）我们以辅助功能的定义结束本节。对于紧凑性，我们定义了p，p+q≥ 0和a，x∈ RW（p，q）a（x）=W（p）（x）+qZxaW（p+q）（x）- y） W（p）（y）dy=W（p+q）（x）- qZaW（p+q）（x）- y） W（p）（y）dy（11）和h（p，q）（x）=eΦ（p）x1+qZxe-Φ（p）zW（p+q）（y）dy, （12）式中，等式（11）中的第二个等式来自附录中的恒等式（32）。Wealso defi neW（p，q）a，δ（x）=W（p）（x）- δW（p+q）（0）W（p）（x）+ZxaqW（p+q）（x）- y）- δW（p+q）′（x- y）W（p）（y）dy=W（p+q）（x）-ZaqW（p+q）（x）- y）- δW（p+q）′（x- y）W（p）（y）dy（13）和h（p，q）δ（x）=eа（p）x1+（q）- Δψ（p））Zxe-~n（p）yW（p+q）（y）dy,分别作为（11）和（12）的类似物，其中H（p，q）=H（p，q）和W（p，q）a，0=W（p，q）a。等式（13）中W（p，q）a，δ的第二个表达式来自附录中的等式（31）。3.主要结果在对标准利维保险风险过程进行定义之后，我们通过κUr=inf定义了折射利维保险风险过程U的巴黎破产时间，延迟r>0t>0:t- 内脏>r,其中gUt=sup{0≤ s≤ t:我们≥ 0}. 我们的主要目标是获得巴黎破产的相应概率的表达式，其结构类似于等式（1）中的结构。定理2。为了x∈ R、 PxκUr<∞= 1.- （E[X]- δ） +R∞w（x；-z） zP（Xr）∈ dz）R∞zP（Xr）∈ （dz）- δr.（14）对于标准SN LP的经典破产和巴黎破产，如果未验证净利润条件，则几乎肯定会发生（巴黎）破产。在最后一个结果中，如果E[X]≤ δ、那么U的巴黎破产概率等于1。这是因为要求E[Y]=E[X]-δ>0与该模型中的净利润条件相同，即对于盈余过程U。同样，应该清楚的是，如果我们在上述结果中设置δ=0，那么我们可以恢复方程（1）。备注3。

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能者818

2022-5-11 04:10:28

使用第5节中的恒等式，我们还可以将结果重新写入等式（14）中，如下所示：κUr<∞= 1.- （E[X]- δ） +R∞w（x；-z） zP（Xr）∈ dz）R∞(1 - δW（z））zP（Xr∈ dz）3.1。其他结果。利用第5节中的一些结果/引理，可以得到涉及巴黎破产时间的U的其他函数恒等式。例如，还可以计算U在巴黎破产前达到a级的贴现概率和巴黎破产时间的拉普拉斯变换。定理4。对于任何x≤ a和d q≥ 0，我们有（i）Exhe-q（κUr）-r） {κUr<κ+a}i=Z（q）（x）+Z∞w（q）（x；-z） Ehe-qκUr{κUr<κ+a}i- W（q，-q） x，δ（x+z）zrP（Xr∈ dz），他在哪里-qκUr{κUr<κ+a}i=1-Z（q）（a）+R∞w（q）（a；-z）- W（q，-q） a，δ（a+z）zrP（Xr∈ dz）R∞w（q）（a；-z） zrP（Xr∈ dz）=R∞W（q，-q） a，δ（a+z）zrP（Xr∈ dz）R∞w（q）（a；-z） zrP（Xr∈ （dz）-Z（q）（a）R∞w（q）（a；-z） zrP（Xr∈ dz）（ii）Exhe-q（κUr）-r） {κUr<∞}i=Z（q）（x）+Z∞w（q）（x；-z） Ehe-qκUr{κUr<∞}我-W（q，-q） x，δ（x+z）zrP（Xr∈ dz），他在哪里-q（κUr）-r） {κUr<∞}i=R∞H（q，-q） δ（z）zrP（Xr∈ （dz）-q~n（q）- δR∞H（q，0）δ（z）zrP（Xr）∈ （dz）- δeqr，（iii）Exhe-qκ+a{κ+a<κUr}i=R∞w（q）（x；-z） zrP（Xr∈ dz）R∞w（q）（a；-z） zrP（Xr∈ dz）。备注5。如果我们将δ设为0，我们通过替换φ，w（q），H（q，-q） δ和w（q，-q） δ乘以Φ，W（q），H（q，-q）和W（q，-q）分别。4.例句我们现在给出四个模型，在其中我们可以计算定理2中给出的巴黎破产概率。这项任务相当于查找X和Y两个已知分布和比例函数的过程。首先，我们将研究两个经典模型：具有指数索赔的Cramér-Lundberg模型和布朗风险模型。然后，我们将转向更复杂的盈余过程，即稳定风险过程和阶段型索赔的转移风险过程。4.1. 具有指数索赔的Cramér-Lundberg过程。

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nandehutu2022

2022-5-11 04:10:32

当X和Y是具有指数分布索赔的aCramér-Lundberg风险过程时，则它们被给定为YXT- X=ct-NtXi=1Ciand Yt- Y=（c）- δ） t-NtXi=1Ci，其中N={Nt，t≥ 0}是强度η>0的泊松过程，其中{C，C，…}是具有参数α的独立指数分布随机变量。泊松过程和随机变量是相互独立的。在这种情况下，X的拉普拉斯指数由ψ（λ）=cλ+η给出αλ + α- 1., 对于λ>-α，净利润条件由E[Y]=c给出- δ - η/α ≥ 0.那么，对于x≥ 0，我们有w（x）=c- η/α1.-ηcαe（ηc-α） x,W（x）=c- δ - η/α1.-η（c）- δ） αe（ηc）-δ-α） x,w（x；-z） =c- η/α1.-ηcαe（ηc-α）（x+z）+K（x，δ，α，η，c）（c）- δ - η/α）ce（ηc-α） z，其中k（x，δ，α，η，c）：=δηη - cαe（ηc）-α） x- 1.-δα1.- E-ηδc（c）-δ） xe（ηc）-δ-α） x.如[13]所述，我们有PnRxi=1Ci∈ 阿迪=∞Xk=0PkXi=0Ci∈ 阿迪！P（Nr=k）=e-ηrδ（dy）+e-αy∞Xm=0（αηr）m+1m！（m+1）！嗯！，其中δ（dy）是0处的狄拉克质量∞zP（Xr）∈ dz）=Zcrze-ηrδ（cr）- dz）+e-α（cr）-z）∞Xm=0（αηr）m+1m！（m+1）！（cr）- z） mdz！=E-ηrcr+∞Xm=0（ηr）m+1m！（m+1）！crΓ（m+1，crα）-αΓ（m+2，crα）!,式中Γ（a，x）=Rxe-埃塔-1dt是不完全伽马函数，ηcαZ∞e（ηc）-α） zzP（Xr）∈ dz）=Z∞zP（Xr）∈ （dz）- （c）- η/α）r.把所有的部分与定理2的主要结果结合起来，我们得到了巴黎破产概率的以下表达式：Px（κUr<∞) = 1.-1.-δc- η/α1.- e（ηc）-α） x-1.-δc- η/αδr- e（ηc）-α） x（δr- （c）- η/α）r）e-ηr铬+磷∞m=0（ηr）m+1m！（m+1）！crΓ（m+1，crα）-αΓ（m+2，crα）- δr-αηK（x，δ，α，η，c）1+δr-（c）- η/α）re-ηr铬+磷∞m=0（ηr）m+1m！（m+1）！crΓ（m+1，crα）-αΓ（m+2，crα）- δr.以下两个表提供了折射Cramér-Lundberg模型（具有指数索赔）中关于折射参数δ和巴黎延迟参数r的巴黎破产概率的敏感性分析。

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mingdashike22

2022-5-11 04:10:35

初始级别U=x的值也在变化。注意，在本例中，我们使用符号c表示X的线性部分（低于0）和c- Y的线性部分的δ（大于0）。换句话说，在正常的营业期间，提款由c给出-δ. 因此，在表1中，我们确定了c的值-δ（大于0）并研究了折射参数δ值的变化对巴黎破产概率的影响。注意，当δ增加时，c的值（低于0）也增加到keepc- δ常数。正如预期的那样，δ值越大，巴黎人自杀的概率越小。在表2中，我们确定了除巴黎延迟参数r之外的所有参数。按照预期，延迟r的值越大，即宽限期越大，巴黎破产的可能性越小。表1。折射参数δ对折射Cramér-Lundberg模型中Parisianruin概率的影响xδ=0δ=1δ=3δ=51 2.872324151×10-11.850876547 × 10-15.573334777 × 10-21.226635655 × 10-25 1.474700390 × 10-19.50271705 × 10-22.86144548 × 10-26.2977571 × 10-310 6.40902148 × 10-24.12986379 × 10-21.24357907 × 10-22.7369940 × 10-320 1.210507796 × 10-27.8003051 × 10-32.3488176 × 10-35.169513 × 10-430 2.286353896 × 10-31.4732872 × 10-34.436344 × 10-49.76391 × 10-6参数：r=2，c- δ=6（漂移大于0），η=5，α=1。表2。

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mingdashike22

2022-5-11 04:10:38

延迟参数r对折射Cramér-Lundberg模型中巴黎破裂概率的影响X r=0 r=1 r=2 r=31 7.054014374×10-11.727546072 × 10-15.573334777 × 10-22.064556230 × 10-25 3.621651737 × 10-18.86951728 × 10-22.86144548 × 10-21.05997853 × 10-210 1.573963357 × 10-13.85467632 × 10-21.24357907 × 10-24.6066476 × 10-320 2.972832780 × 10-27.2805432 × 10-32.3488176 × 10-38.700832 × 10-430 5.614955832 × 10-31.3751168 × 10-34.436344 × 10-41.643375 × 10-4参数：δ=3，c=6（漂移低于0），c-δ=6（漂移大于0），η=5，α=1.4.2。布朗风险过程。现在，如果X和Y是布朗风险过程，即ifXt- X=ct+σBt和Yt- Y=（c）- δ） t+σBt，其中B={Bt，t≥ 0}是标准的布朗运动。在这种情况下，x的拉普拉斯指数由ψ（λ）=cλ+σλ给出，净利润条件由E[Y]=c给出- δ ≥ 0.那么，对于x≥ 0，我们有w（x）=c1.- E-2cσx,W（x）=c- δ1.- E-2c-Δσx,w（x；-z） =c1.- E-2cσ（x+z）+ M（x，δ，σ，c）e-2cσz，其中m（x，δ，σ，c）：=δc- δC1.- E-2cσx-δE-2c-Δσx- E-2cσx.同样，如[13]所述，我们有∞E-2cσzzP（Xr∈ dz）=Z∞zP（Xr）∈ （dz）- 克兰德莱兹∞zP（Xr）∈ （dz）=√2πσrZ∞泽-（z）-cr）2σrdz=σ√R√2πe-cr2σ+crNC√rσ.把所有的部分和定理2的主要结果放在一起，我们得到了巴黎破产概率的以下表达式：Px（κUr<∞)= 1.-C- δcσ√R√2πe-cr2σ+crNC√rσ1.- E-2cσx+cM（x，δ，σ，c）σ√R√2πe-cr2σ+crNC√rσ- δr+（c）- δ） rE-2cσx- cM（x，δ，σ，c）σ√R√2πe-cr2σ+crNC√rσ- δr。以下两个表提供了折射布朗风险模型中关于折射参数δ和巴黎指数参数r的巴黎破产概率的敏感性分析。初始水平U=x的值也在变化。

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可人4

2022-5-11 04:10:42

同样在这个例子中，我们用符号c表示X的线性部分（0以下）和c- Y的线性部分的δ（大于0）。在表3中，我们确定了c的值- δ（大于0）并研究折射参数δ值的变化对巴黎破产概率的影响。正如预期的那样，δ值越大，巴黎破产的概率越小。在表4中，我们有除巴黎延迟参数r之外的所有参数。正如预期的那样，延迟r的值越大，即宽限期越大，巴黎破产的概率越小。表3。折射参数δ对折射布朗风险模型中巴黎人回归概率的影响xδ=0δ=1δ=3δ=4δ=51 1.756316×10-24.058863 × 10-22.040134 × 10-21.393016 × 10-29.279776 × 10-35 4.629599 × 10-31.069916 × 10-35.377735 × 10-23.671950 × 10-32.446123 × 10-310 8.744183 × 10-42.020791 × 10-31.015725 × 10-36.935426 × 10-44.620132 × 10-420 3.119399 × 10-57.209243 × 10-53.623682 × 10-42.474236 × 10-51.648221 × 10-530 1.112814 × 10-62.574575 × 10-61.294587 × 10-68.835856 × 10-75.883359 × 10-7参数：r=2，c- δ=6（漂移大于0），σ=6表4。延迟参数r对折射布朗ris k模型中巴黎破裂概率的影响X r=0 r=1 r=2 r=4 r=61 8.3650684×10-18.89538704 × 10-22.908344 × 10-25.066851×10-31.146373 × 10-35 3.6513221 × 10-13.65700339 × 10-21.195692 × 10-22.083045 × 10-34.712679 × 10-410 1.2674282 × 10-11.20385972 × 10-23.936133 × 10-36.857238 × 10-41.551377 × 10-420 1.908693 × 10-21.3045990 × 10-34.265510 × 10-47.431054 × 10-51.681198 × 10-530 3.41422 × 10-31.413768 × 10-44.622456 × 10-58.052897 × 10-61.821894 × 10-6参数：δ=3，c=6（漂移低于0），c-δ=3（漂移大于0），σ=64.3。跳跃-阶段型索赔的扩散风险过程。

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mingdashike22

2022-5-11 04:10:44

更一般地说，如果我们加入一个布朗成分，如果我们让索赔分布更一般，那么我们考虑一个阶段型索赔的Lévy跳跃扩散风险过程：Xt- X=ct+σBt-NtXi=1Ciand Yt- Y=（c）- δ） t+σBt-NtXi=1Ci，其中σ≥ 0，B={Bt，t≥ 0}是标准布朗运动，N={Nt，t≥ 0}是强度η>0的泊松过程，其中{C，C，…}是独立的随机变量，具有公共相位类型分布，具有最小表示（m，T，α），即其累积分布函数（cdf）由F（x）=1给出- αeTx1和T是连续时间killed Markov链的m×m矩阵，其初始分布由单纯形α=[α，…，αm]给出，1表示1的列向量。上述所有对象都是相互独立的（详情参见[3]）。X的拉普拉斯指数由ψ（λ）=cλ+σλ+η明确给出α（λI）- （T）-1t- 1., （15）其中t=-T1。让我们用ρjandζ表示方程λ7的负实部根→ ψ（λ）=0和λ7→ ψ(λ) - Δλ分别为0。根据[6]中的命题5.4，我们假设净利润条件E[X]>δ，因此ρj和ζi是不同的根。然后，从[3]中的命题2.1和[6]中的命题5.4，我们可以得到w（x）=ψ′（0）+Xj∈IρAjeρjx，W′（x）=Xj∈IρρjAjeρjx，W（x）=ψ′（0）- δ+Xi∈IζBieζix，w（x；-z） =ψ′（0）+Xj∈IρAjeρj（x+z）+ψ′（0）- δXj∈IρρjAj（eρjx）- 1） eρjz+Xj∈IρXi∈Iζeρjx- eζixρj- ζiAjBieρjz，其中Aj=ψ′（ρj）和Bi=ψ′（ζi）-δ、其中Iρ和Iζ是分别对应于ρj和ζI的指数集。此外，我们可以观察到Laplace-ex-ponentin（15）和ψ（λ）- Δλ分别是m+2和m次多项式的比值。如果σ>0和c>0，这当然是正确的。另一方面，如果σ=0且c>0，我们分别得到两个m+1和m次多项式的比值。

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nandehutu2022

2022-5-11 04:10:48

因此，如果我们取ψ（λ）=0和ψ（λ）-Δλ=0根据σ>0或σ=0，我们将有m+2或m+1根。从[6][Prop.5.4（ii）]我们知道有m+1（或m）根具有负实部。亨塞卡（Iζ）=卡（Iρ）=m+1（或卡（Iζ）=卡（Iρ）=m，如果σ=0）。此外，P（Xr∈ dz=e-ηr∞Xk=0（ηr）kk！Z∞F*k（dy）N（dz+y）- cr）σ√R,其中N是标准正态随机变量的cdf，F*k=0时，我们知道F的第k次卷积*0（dy）=δ（dy）为0时的狄拉克质量。把所有的部分放在一起，我们得到了巴黎破产概率的表达式。4.4. 稳定的风险流程。现在，如果X和Y是3/2稳定的风险过程，即ifXt-X=ct+ZT和Yt- Y=（c）- δ） t+Zt，其中Z={Zt，t≥ 0}是一个光谱负的α稳定过程，α=3/2。在这种情况下，X的拉普拉斯指数由ψ（λ）=cλ+λ3/2给出。那么，对于x≥ 0，我们有w（x）=1- E1/2(-C√x） c，W（x）=1- E1/2(-（c）- δ)√x） c- δ、 w（x；-z） =c1.- E1/2-C√x+z+Zxc- δ1.- E1/2-（c）- δ)√十、- Yπ√十、- c·E1/2-C√y+zdy，其中E1/2是1/2阶的Mittag-Le-funger函数。同样，如[13]所述，我们有p（Zr∈ dy）=P（r2/3Z∈ (dy)=qπr2/3y-1e-u/2W1/2,1/6（u）dy y>0，-√3πr2/3y-1eu/2W-1/2,1/6（u）dy y<0，其中u=r9/2 | y |和Wκ，u是惠特克的W函数（不要与X的0标度函数混淆）。把所有的部分和定理2的主要结果结合起来，我们得到了巴黎破产的概率。5.证明等我们主要结果的证明基于技术性但重要的引理（在下一节中提供），以及更标准的概率分解。5.1. 中间结果。下一个引理来自[13]：引理6。对于θ>q>0和y≥ 0，Z∞E-θrZ∞yzrP（Xr∈ dz）dr=Φ（θ）e-Φ（θ）y，（16）和z∞E-θrZ∞W（q）（z）-y） zrP（Xr∈ dz）dr=e-Φ（θ）yθ- Q

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大多数88

2022-5-11 04:10:53

（17）从第一个引理，我们可以推断出以下两个有用的i特性：Z∞W（q）（z）zrP（Xr）∈ dz）=eqr，（18）和z∞E-θrW（z）-y） zrP（Xr∈ dz）=θe-Φ（θ）y，y≥ 我们还可以从[13]中提取以下恒等式：f或x<0，Pxτ+≤ R=Z∞W（x+z）zrP（Xr∈ dz）。（20）这个恒等式将在等式（22）中推广。为了证明我们的主要引理，也就是下面的引理8，我们需要[12]中的以下结果。引理7。对于所有的p，q≥ 0和a≤ 十、≤ b、告密-pν-aW（q）（Yν-a） 1{ν-a<ν+b}i=W（q）（x）-Zx-A.（q）-p） W（q）（x）- z）- δW（q）′（x）- z）W（p）（z）dz-W（p）（x）- a） W（p）（b）- （a）W（q）（b）-Zb-A.（q）-p） W（q）（b）- z）- δW（q）′（b）- z）W（p）（z）dz. （21）注意，（21）的另一个表达式可以在[15，引理1]中找到。以下三个恒等式对于证明我们的主要结果是新的和关键的。引理8。为了x∈ R、 q≥ 0和a≥ 我们有PYν-τ+≤ R{ν-<∞}=Z∞（w（x；-z）- W（x））zrP（Xr∈ dz）+δW（x），（22）ExE-qν-EYν-他-qτ+{τ+≤r} i{ν-<ν+a}=Z∞E-qrw（q）（x；-z）-W（q）（x）W（q）（a）W（q）（a）；-z） !！zrP（Xr∈ （23）安第斯山脉E-qν-PYν-(τ+≤ r） 1{ν-<ν+a}=Z∞W（q，-q） x，δ（x+z）-W（q）（x）W（q）（a）W（q，-q） a，δ（a+z）！zrP（Xr∈ dz）。（24）证据。通过（17）和拉普拉斯反演，我们得到，对于所有的y≤ 0啊-qτ+{τ+≤r} i=Z∞E-qrW（q）（y+z）zrP（Xr）∈ dz）。然后，根据Tonelli的theoremExE-qν-EYν-他-qτ+{τ+≤r} i{ν-<ν+a}= 前任E-qν-Z∞E-qrW（q）Yν-+ ZzrP（Xr∈ dz）1{ν-<ν+a}=Z∞E-qrexe-qν-W（q）Yν-+ Z{ν-<ν+a}izrP（Xr∈ dz）=Z∞E-qrEx+zhe-qν-zW（q）Yν-Z{ν-z<ν+a+z}izrP（Xr∈ dz），其中最后一行后面是Y的空间均匀性。

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kedemingshi

2022-5-11 04:10:56

用恒等式（21）表示p=q，我们有ex+zhe-qν-zW（q）Yν-Z{ν-z<ν+a+z}i=w（q）（x；-z）-W（q）（x）W（q）（a）W（q）（a）；-z），这证明了（23）。根据（20），Tonelli定理和Y的空间齐性，我们得到了E-qν-PYν-(τ+≤ r） 1{ν-<ν+a}= 前任E-qν-Z∞WYν-+ ZzrP（Xr∈ dz）1{ν-<ν+a}=Z∞告密-qν-WYν-+ Z{ν-<ν+a}izrP（Xr∈ dz）=Z∞Ex+zhe-qν-zWYν-Z{ν-z<ν+a+z}izrP（Xr∈ dz）=Z∞W（q，-q） x，δ（x+z）-W（q）（x）W（q）（a）W（q，-q） a，δ（a+z）！zrP（Xr∈ dz）。为了证明最后一个恒等式，我们需要计算以下limitExPYν-τ+≤ R{ν-<∞}= 林克→利马→∞前任E-qν-EYν-他-qτ+{τ+≤r} i{ν-<ν+a}.辛塞利马→∞W（q）（z+a）W（q）（a）=0和利马→∞W（q）（a）- y） W（q）（a）=e-η（q）y.我们使用Lebesgue的支配收敛定理→∞w（q）（a；-z） W（q）（a）=δz∞E-ν（q）yW（q）′（y+z）dy=-δW（q）（z）+δe~n（q）zδ- ~n（q）Zze-ν（q）yW（q）（y）dy,自ψ（ψ（q））- q=ψ（ψ（q））- ΔП（q）+ΔП（q）- q=Δа（q）。森林克→利马→∞w（q）（a），-z） W（q）（a）=-δW（z）+1，结果如下。5.2. 定理2的证明。对于x<0，利用U的强Markov性质和它是无跳向上的事实，我们得到了pxκUr=∞= ExhPxκUr=∞ | Fκ+{κ+<∞}i=Pxκ+≤ RPκUr=∞.自从Xt，t<τ+和Ut，t<κ+当nx<0时，我们进一步得到pxκUr=∞= 二甲苯τ+≤ r） P（κUr=∞. （25）对于x≥ 0，再次使用U的强马尔可夫性质，事实上Yt，t<ν-和Ut，t<κ-对于px有相同的分布，使用（25），我们得到pxκUr=∞= 二甲苯κ-= ∞+ ExhPxκUr=∞ | Fκ-{κ-<∞}i=Pxκ-= ∞+ 前任PUκ-κUr=∞{κ-<∞}= 二甲苯ν-= ∞+ PκUr=∞前任PYν-τ+≤ R{ν-<∞}. （26）注意，最后一个表达式适用于所有x∈ R.我们将首先证明x=0的结果。我们将这部分证明分为两种情况：对于有界变差路径（BV）的过程，以及对于无界变差路径（UBV）的过程。首先，我们假设X和Y有BV的路径。

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kedemingshi

2022-5-11 04:10:59

设定x=0英寸（26）yieldsPκUr=∞= Pν-= ∞+ PκUr=∞EPYν-τ+≤ R{ν-<∞}.求PκUr=∞使用（8）和（22），我们得到p（κUr=∞) =（E[X]- δ） +R∞zrP（Xr∈ （dz）- δ、（27）在这里我们使用f法，W（0）>0。现在，如果X有UBV的路径，我们将使用与[13]相同的近似过程。Wedenote byκUr，描述第一次远足的停留时间，从0以下开始，回到结束，持续时间比r长。更准确地说，对于>0，定义κUr，=inft>r:t-内脏，>r，Ut-r<0,其中gUt，=sup{0≤ s≤ t:我们≥ }. 显然，我们有κUr，<κUra。s、这意味着κUr，=∞κUr=∞. 然后，可以证明lim→0PκUr，=∞= PκUr=∞.使用类似于BV的参数，当x<0时，我们有pxκUr，=∞= Px（κ+）≤ r） P（κUr，=∞)然后，当x≥ 0，我们有pxκUr，=∞= 二甲苯ν-= ∞+ P（κUr，=∞)前任PYν-κ+≤ R{ν-<∞}.设置x=并求解PκUr，=∞, 我们得到了P的帮助κUr，=∞=（E[X]- δ） +W（）1- EPYν-κ+≤ R{ν-<∞}. （28）使用（7）和（10），我们可以写∞E-θrEPYν-κ+≤ R{ν-<∞}dr=E{ν-<∞}Z∞E-θrPYν-(κ+≤ r）博士=θE{ν-<∞}EYν-他-θκ+{κ+<∞}我=E{ν-<∞}eΦ（θ）Yν-θeΦ（θ）+ΔΦ（θ）ReΦ（θ）yW（θ）（）- y） dy=1.- (θ - ΔΦ（θ））Re-Φ（θ）yW（y）dy-θ-ΔΦ（θ）Φ（θ）e-Φ（θ）W（）θ1+ΔΦ（θ）Re-Φ（θ）yW（θ）（y）dy.因此，我们有∞E-θr1.- EPYν-(κ+≤ r） 1{ν-<∞}W（）dr=θW（）-1.- (θ -ΔΦ（θ））Re-Φ（θ）yW（y）dy-θ-ΔΦ（θ）Φ（θ）e-Φ（θ）W（）θW（）1+ΔΦ（θ）Re-Φ（θ）yW（θ）（y）dy=θW（）ΔΦ（θ）Re-Φ（θ）yW（θ）（y）dy+（θ）- ΔΦ（θ））Re-Φ（θ）yW（y）dy+θ-ΔΦ（θ）Φ（θ）e-Φ（θ）W（）1+ΔΦ（θ）Re-Φ（θ）yW（θ）（y）dy--→→0Φ(θ)-Δθ，我们用f表示，对于所有θ≥ 0，我们有Lim→0Re-Φ（θ）yW（θ）（y）dyW（）=0。从引理6的（16）中，我们得到θ7→ 1/Φ(θ) - δ/θ是r7的拉普拉斯变换→Z∞zrP（Xr∈ （dz）- δ.通过拉普拉斯变换的扩展连续性定理（参见。

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何人来此

2022-5-11 04:11:02

[4] ），这是x=0的极限。现在我们证明x的结果∈ 现在，X和Y可以是BV或UBV。我们现在可以这样写（26）：Px（κUr=∞) = （E[X]- δ） +W（x）+（E[x]- δ） +R∞zrP（Xr∈ （dz）- δExPYν-(τ+≤ r） 1{ν-<∞}= （E[X]- δ)+W（x）R∞zrP（Xr∈ （dz）- δ+ 前任PYν-τ+≤ R{ν-<∞}R∞zrP（Xr∈ （dz）- δ.使用（22），我们得到最终的ypxκUr=∞= （E[X]- δ)+R∞w（x；-z） zP（Xr）∈ dz）R∞zP（Xr）∈ （dz）- δr,这适用于所有x∈ R5.3. 定理4的证明。对于x<0，利用U的强Markov性质和它是无跳向上的事实，我们得到了-qκUr{κUr<κ+a}i=e-qrPx（κ+>r）+Exhe-qκ+{κ+≤r} 耶-qκUr{κUr<κ+a}i.自Xt，t<τ+和Ut，t<κ+当x<0时，我们得到-qκUr{κUr<κ+a}i=e-qrPx（τ+>r）+Exhe-qτ+{τ+≤r} 耶-qκUr{κUr<κ+a}i。

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nandehutu2022

2022-5-11 04:11:05

（29）对于0≤ 十、≤ a、再次利用强马尔可夫性，我们得到-qκUr{κUr<κ+a}i=ExE-qκ-EUκ-他-qκUr{κUr<κ+a}i{κ-<κ+a}利用这个事实Yt，t<ν-和Ut，t<κ-在pxx下有同样的规律≥ 在最后一个期望中，我们有∈ 雷克斯-qκUr{κUr<κ+a}i=e-qrexe-qν-{ν-<ν+a}i- E-qrExE-qν-PYν-(τ+≤ r） 1{ν-<ν+a}+ Ehe-qκUr{κUr<κ+a}iExE-qν-EYν-他-qτ+{τ+≤r} i{ν-<ν+a}.对于x=0，使用最后一个等式-qκUr{κUr<κ+a}i=e-克里赫-qν-{ν-<ν+a}i- E-qrEE-qν-PYν-(τ+≤ r） 1{ν-<ν+a}1.- EE-qν-EYν-他-qτ+{τ+≤r} i{ν-<ν+a}其中，来自（23），EE-qν-EYν-他-qτ+{τ+≤r} i{ν-<ν+a}=Z∞E-qrW（q）（z）-W（q）（0）W（q）（a）W（q）（a）；-z） !！zrP（Xr∈ dz）和，从（24）开始，EE-qν-PYν-(τ+≤ r） 1{ν-<ν+a}=Z∞W（z）-W（q）（0）W（q）（a）W（q，-q） a，δ（a+z）！zrP（Xr∈ dz）。在（18）和（19）的帮助下，y=0，并且由于W（0）>0，我们得到了-qκUr{κUr<κ+a}i=-E-qrW（q）（0）W（q）（a）Z（q）（a）+e-qrR∞W（q）（0）W（q）（a）W（q，-q） a，δ（a+z）zrP（Xr∈ dz）W（q）（0）W（q）（a）R∞E-qrw（q）（a；-z） zrP（Xr∈ dz）=1-Z（q）（a）+R∞w（q）（a；-z）- W（q，-q） a，δ（a+z）zrP（Xr∈ dz）R∞w（q）（a；-z） zrP（Xr∈ dz）。（30）新的-qκUr{κUr<κ+a}i=Z（q）（x）- Z（q）（a）W（q）（x）W（q）（a）-Z∞W（q，-q） x，δ（x+z）-W（q）（x）W（q）（a）W（q，-q） a，δ（a+z）！zrP（Xr∈ dz）+Ehe-qκUr{κUr<κ+a}iZ∞w（q）（x；-z）-W（q）（x）W（q）（a）W（q）（a）；-z） !！zrP（Xr∈ dz）=Z（q）（x）+Z∞w（q）（x；-z） Ehe-qκUr{κUr<κ+a}i- W（q，-q） x，δ（x+z）zrP（Xr∈ dz）。当X有无界变分路径时，我们可以在定理2的证明中使用相同的近似过程。细节留给读者。身份（ii）从（i）开始，通过接受限制。

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大多数88

2022-5-11 04:11:08

事实上，我们有利马→∞告密-q（κUr）-r） {κUr<κ+a}i=lima→∞Ehe-qκUr{κUr<κ+a}iZ∞w（q）（x；-z） zrP（Xr∈ Z+Z（q）（x）-Z∞W（q，-q） x，δ（x+z）zrP（Xr∈ dz），以及来自（30）利马→∞Ehe-qκUr（κUr<κ+a）i=lima→∞-Z（q）（a）+R∞W（q，-q） a，δ（a+z）zrP（Xr∈ dz）R∞w（q）（a；-z） zrP（Xr∈ dz）。如前所示，我们有利马→∞w（q）（a；-z） W（q）（a）=-δW（q）（z）+e~n（q）z1.- ΔП（q）Zze-ν（q）yW（q）（y）dy,森利马→∞Z∞w（q）（a；-z） W（q）（a）zrP（Xr）∈ dz）=Z∞1.- ΔП（q）Zze-ν（q）vW（q）（v）dve~n（q）zzrP（Xr∈ （dz）- δeqr。最后，从W（q）的定义来看，-q） a，δ，使用Lebesgue的支配收敛定理并进行分部积分，lima→∞-Z（q）（a）+R∞W（q，-q） a，δ（a+z）zrP（Xr∈ dz）W（q）（a）=-q~n（q）+利马→∞Z∞W（q）（a+z）- δW（z）W（q）（a）W（q）（a）！zrP（Xr∈ 利马→∞Z∞zrP（Xr∈ dz）ZzqW（z）- y）- δW′（z）-y）W（q）（a+y）W（q）（a）dy=-q~n（q）- δ+Z∞e~n（q）z1+（q）- ΔП（q））Zze-~n（q）yW（y）d yzrP（Xr∈ dz）。为了证明（iii），我们首先使用强马尔可夫性质和U只有向下跳跃到getPx的事实（κUr=∞) = Px（κ-a<κ-Ur）Pa（κ-Ur=∞),哪个产量spx（κ+a<κUr）=Px（κUr=∞)Pa（κUr=∞).使用测量的pΦ（q）xdPx=eΦ（q）（Xt）的变化-十）-qton Ftand使用（14），我们得到v（q）（x）：=eΦ（q）xPΦ（q）x（κUr=∞)=EΦ（q）[X]- δ+R∞E-Φ（q）zw（q）（x；-z） zPΦ（q）（Xr）∈ dz）R∞zPΦ（q）（Xr）∈ （dz）- δr=EΦ（q）[X]- δ+R∞w（q）（x；-z） zP（Xr）∈ dz）R∞zPΦ（q）（Xr）∈ （dz）- δr.因此，从可选停止定理和关于顶部Φ（q），X和Y漂移到完整性的事实（因为ψ′Φ（q）（0+）=ψ′（Φ（q）+）>0），我们得到-qκ+a，κ+a<κUri=V（q）（x）V（q）（a）=R∞w（q）（x；-z） zP（Xr）∈ dz）R∞w（q）（a；-z） zP（Xr）∈ dz）。附录A.标度函数的一些分析性质谱负Lévy过程X的q-标度函数W（q）是可微分的，最多可数点除外。此外，如果X具有无界变化路径，或者如果Lévy测度的尾部是连续的，那么W（q）是连续可微的，并且在（0，∞) 如果σ>0。

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可人4

2022-5-11 04:11:11

当σ=0和rz∏（dz）<∞,否则，W（q）′（0+）=2/σ当σ>0时，∏（0，∞) + q）当σ=0和∏（0，∞) < ∞,∞ 否则另一方面，当ψ′（0+）>0时，W的终值由imx给出→∞W（x）=ψ′（0+）。众所周知，Limx→∞Z（q）（x）W（q）（x）=qΦ（q）。最后，回想一下[15]中的以下有用恒等式：f或p，q≥ 0和x∈ R、（q）- p） ZxW（p）（x）- y） W（q）（y）dy=W（q）（x）- W（p）（x）+δW（q）（0）W（p）（x）+ZxW（p）（x）- y） W（q）′（y）dy, （31）其中W（q）是光谱负Lévy过程Y={Yt=Xt的q标度函数-δt，t≥ 0}. 注意，当δ=0时，我们恢复了一个在[14]中首次出现的特例：（q-p） ZxW（p）（x）- y） W（q）（y）dy=W（q）（x）- W（p）（x）。（32）附录B.致谢我们感谢两位匿名推荐人仔细阅读了这篇论文。支持这项工作的资金由加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）提供。Mohamed Amine Lkabous感谢科学数学研究所（ISM）和UQAM科学学院的财政支持（博士奖学金）。Irmina Czarna得到了国家科学中心第2015/19/D/ST1/01182号拨款的支持。参考文献[1]E.J.Baurdoux，J.C.Pardo，J.L。Pérez和J.-F.Renaud，《巴黎破产风险过程的Gerber Shiu分布》，J.Appl。Probab。53（2016），第2572-584号。[2] I.Czarna和Z.Palmowski，《带巴黎时滞的谱负Lévy风险过程的破产概率》，J.Appl。Probab。48（2011），第4984-1002号。[3] M.Egami和K.Yamazaki，谱负Lévy过程尺度函数的相位类型拟合，J.Compute。阿普尔。数学264 (2014), 1–22.[4] W.Feller，概率论及其应用导论。第二卷。，第二版，约翰·威利父子公司，纽约，1971年。[5] 盖林和J-F。

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能者818

2022-5-11 04:11:14

雷诺，关于巴黎累积破产的分布，保险数学。经济。73C（2017），116-123。[6] 库兹涅佐夫。E.Kyprianou和V.Rivero，《光谱负Lévy过程的尺度函数理论》，Lévy Matters——斯普林格数学讲稿，2012年。[7] A.E.Kyprianou，《莱维过程的波动与应用——入门讲座》，第二期，Universitext，斯普林格，海德堡，2014年。[8] A.E.Kyprianou和R.L.Loefen，折射Lévy过程，安。亨利·彭加勒·普罗巴研究所。《统计》第46期（2010年），第1期，第24-44页。[9] D.Landriault，B.Li和H.Zhang，《关于列维模型水位下降的幅度、渐近性和持续时间》，伯努利23（2017），第1432-458号。[10] D.Landriault，J.-F.Renaud和X.Zhou，谱负Lévy过程的占用时间及其应用，随机过程。阿普尔。121（2011），第11号，2629–2641。[11] ，一个具有巴黎实施延迟的保险风险模型，Methodol。计算机。阿普尔。Probab。2014年第16期，第3583-607号。[12] R.L.Loe ffen，关于获得光谱负Lévy过程超调的简单恒等式，arXiv:1410.5341v2[math.PR]。[13] R.L.Loe ffen，I.Czarna和Z.Palmowski，《谱负Lévy过程的巴黎破产概率》，Bernoulli 19（2013），第2599-609号。[14] R.L.Loe offen，J.-F.Renaud，和X.Zhou，谱负Lévy过程，随机过程，直到第一次通过时间的间隔占用时间。阿普尔。124（2014），第31408-1435号。[15] J.-F.Ren aud，关于折射莱维风险过程中出现赤字的时间，J.Appl。Probab。51（2014），第4号，1171-1188。[16] J.T.Y.Wong和E.C.K.Cheung，关于指数跳跃（双重）更新风险过程中巴黎破产的时间价值，保险数学。经济。65 (2015), 280–290.魁北克大学蒙特勒阿尔分校数学系（UQAM），201 av。

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kedemingshi

2022-5-11 04:11:17

普雷西登肯尼迪，蒙特勒阿尔（魁北克）H2X 3Y7，加拿大航空公司邮箱：lkabous。穆罕默德_amine@courrier.uqam.caDepartment沃克瓦夫大学数学系，pl.Grunwaldzki 2/4，沃克瓦夫大学50-384号，波兰德邮箱：czarna@math.uni.wroc.plD魁北克大学蒙特勒阿尔分校数学系（UQAM），201 av。普雷西登肯尼迪，蒙特勒阿尔（魁北克）H2X 3Y7，加拿大邮政地址：雷诺。jf@uqam.ca

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