局部分数引导 - 外文文献专区

2022-5-11 06:49:42

局部分数引导*Mikkel Bennedsen+Ulrich HounyoAsger Lunde§Mikko S.Pakkanen¨2021年11月8日摘要我们介绍了布朗半平稳过程高频统计的自举过程。更具体地说，我们专注于对布朗半平稳过程样本路径粗糙度的假设检验，该检验使用基于已实现功率变化比率的估计器。我们的新重采样方法——局部分数自举法，依赖于模拟辅助分数布朗运动，该运动模拟了零假设下布朗半平稳过程高频差的细微特性。我们证明了bootstrap方法的初始有效性，并在模拟中观察到，与基于中心极限定理的现有测试相比，基于bootstrap的假设测试提供了相当大的有限样本改进。这在研究时间序列数据的粗糙度特性时很重要；我们通过将bootstrap方法应用于两个经验数据集来说明这一点：我们评估了高频资产价格时间序列的粗糙度，并测试了大气湍流数据中Kolmogorov标度定律的有效性。关键词：布朗半平稳过程；粗糙度；分形指数；H–更老的规律性；分数布朗运动；独自创立随机波动；湍流JEL分类：C12、C22、C63、G12MSC 2010分类：60G10、60G15、60G17、60G22、62M07、62M09、65C051简介在研究连续随机过程的路径特性时，粗糙度是一个中心属性。理论上，粗糙度与样品所享受的H–older规则度有关*我们要感谢Solveig Sorensen对手稿的精益求精的校对。

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2022-5-11 06:49:45

我们的研究得到了CREATES（DNRF78）的支持，该项目由丹麦国家研究基金会、拜奥胡斯大学研究基金会（项目“商品市场的随机和计量经济分析”）和芬兰科学院（项目258042）资助丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：mbennedsen@econ.au.dk——丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，富格桑斯阿勒4，8210Aarhus V。电子邮件：uhounyo@econ.au.dk§丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：alunde@econ.au.dk伦敦帝国理工学院数学系，南肯辛顿校区，伦敦SW7 2AZ，英国，丹麦奥胡斯大学。电子邮件：m。pakkanen@imperial.ac.ukpaths关于随机过程。分数布朗运动（fBm）由科尔莫戈罗夫（1940年）提出，后来由曼德尔布罗特和范内斯（1968年）推广，可能是一个过程中最著名的例子，可以表现出不同程度的粗糙度。具有赫斯特指数H的FBM∈ （0，1）是一个高斯过程，当H=1/2时，它与标准布朗运动一致。如果H<1/2（分别为H>1/2），则fBm的采样路径在H¨olderregularity方面比标准布朗运动的采样路径更粗糙（分别更平滑）。在这项工作中，我们关注的是在使用所谓的频率变化（COF）估计器估计α时，对astochastic过程的分形指数α进行推断，该估计器由Lang和Roue ff（2001）针对高斯过程引入，并由Barndorff-Nielsenet al.（2013）和Corcuera et al.（2013）扩展到非高斯设置。

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2022-5-11 06:49:48

在fBm的情况下，它保持α=H-1/2，而通常α<0表示相对于标准布朗运动的粗糙度，α>0表示相对于标准布朗运动的平滑度，如fBm。当α=0时，考虑的随机过程与标准布朗运动具有相同的粗糙度。几个有趣的经验时间序列显示出粗糙的迹象，即α<0。一些值得注意的例子包括：o湍流流速的时间测量（Corcuera等人，2013年），其中惯性时间尺度的粗糙度由科尔莫戈罗夫的标度定律（科尔莫戈罗夫，1941年）和泰勒的冻结场假设（泰勒，1938年）预测，o电力现货价格的时间序列（巴恩多夫-尼尔森等人，2013年；本内森，2017年），o资产价格已实现波动的度量（Gatherel等人，2014年；Bennedsen等人，2016年）。在这些应用中，指数α的估计和推断很重要。估计α的方法有很长的历史，主要集中在高斯过程，Gneiting等人（2012）对其进行了全面的调查。然而，在上面提到的时间序列数据中，非高斯特征非常普遍，这就是为什么我们关注一个特定但灵活的非高斯框架。布朗半平稳（BSS）过程（Barndor ff-Nielsen and Schmiegel，2007，2009）形成了一类随机过程，它适应了高斯性和不同粗糙度的各种偏离。Barndor ff-Nielsen等人（2013年）和Corcuera等人（2013年）研究了BSSP过程中α的COF估计量的性质。

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2022-5-11 06:49:51

特别是，他们推导出了一个中心极限定理（CLT），使得对α进行假设检验成为可能。在本文中，我们主要关注无漂移BSS过程（Xt）t的COF估计∈R、给定byXt=Zt-∞g（t）- s） σsdWs，其中g:R+→ R是核函数（σt）t∈随机波动过程，和（Wt）t∈标准布朗运动。重要的是，我们假设核函数g（x）的行为类似于幂函数x7→ xα，当x接近零时；下面我们将发表一份声明。当这个假设成立，并且满足一些附加的（温和的）技术条件时，X的样本路径是指数α+1/2的H¨older连续- 任何ε>0的ε（Bennedsenet al.，2017，命题2.1）。此外，α=0是过程为无鞅的必要条件（Basse，2008；Bennedsen，2016）。直观地说，BSS过程是一个由波动性调制的布朗噪声驱动的移动平均过程，因此是非常普遍和灵活的。BSS框架还与fBm和卷积型高斯-沃尔特拉过程等过程密切相关；参见Bennedsen等人（2017）。因此，我们希望本文中提出的方法也适用于这些过程，但对具体问题的研究超出了本文的范围，留给未来的工作。本文的贡献是推导出一个bootstrap程序，该程序改进了零假设检验的有限样本性质：对于某些α，α=α∈-,, 当使用COF估计器估计分形指数α时。理论上，COF估计有两个区域：第一区域α∈-,, 估计器使用整个样本来估计α。

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2022-5-11 06:49:55

在这种情况下，我们提出了一种新的bootstrap方法，即局部分数bootstrap，它利用Hurst indexH=α+的辅助分数布朗运动的模拟，从而模拟H下基础BSSP过程的样本路径的精细特性。我们建立了局部分数bootstrap对于百分位t方法的一阶渐近有效性，即，当测试统计数据通过其（自举）标准偏差进行归一化时。如Corcuera等人（2013年，第4节）所述，在第二种情况下∈,, COF估计器的渐近行为可能受到不可忽略的偏差项的影响（取决于g的形式），导致CLT崩溃。出于这个原因，作者建议使用一种改进的COF估计器，该估计器在计算功率变化的增量之间实现逐渐增大的间隙。这些差距使得估计器中使用的增量渐近不相关，这为该机制中的野生自举方法打开了大门（例如Wu，1986；Liu，1988；Gon,calves and Meddahi，2009）。然而，由于本文提出的局部分数bootstrapmethod即使在α∈,, 为了简洁起见，我们将有关wild bootstrap方法的详细信息以及对其有限样本特性的模拟研究发布到单独的网络附录中（Bennedsen et al.，2017）。在一项蒙特卡罗模拟研究中，我们评估了局部分馏bootstrap程序的有限样本性质，并与基于Corcuera等人（2013）的CLT的推断方法进行了比较。

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2022-5-11 06:49:58

我们为所有人找到了这一点∈-,, 局部分数自举有助于改善H测试的大小，尤其是当样本大小从小到中等时。事实上，由于我们的方法模拟了H下的辅助自举观测，因此我们最小化了I型错误的可能性（Davidson和MacKinnon，1999），即在实际发生时拒绝H。当我们在实证部分应用该方法评估E-mini期货合约对数价格时间序列的粗糙度时，这一特征被证明是重要的。在这种情况下，无套利考虑表明α=0，我们发现，当应用于日内价格序列时，bootstrap程序对于实现H:α=0测试的正确大小至关重要。我们还将bootstrap方法应用于大气湍流的时间序列测量，以验证科尔莫戈罗夫标度定律的经验有效性（科尔莫戈罗夫，1941）。我们发现数据与标度定律非常一致，但在样本量较小的情况下，使用自举法对准确推断至关重要。本文的其余部分结构如下。第2节通过介绍BSS流程的数学定义以及我们工作的假设为基础。本节还简要回顾了与当前工作相关的现有结果。在第三节中，我们详细介绍了我们的bootstrap方法，局部分数bootstrap，并给出了它的实现细节。第4节介绍了bootstrap方法的有限样本性质的蒙特卡罗研究，第5节介绍了经验应用。第6节结束。附录A、B和C中给出了模拟设置、证明以及一些附加的技术推导。

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2022-5-11 06:50:02

aweb附录（Bennedsen et al.，2017）提供了wild bootstrap方法的详细信息，包括证明和模拟实验。2设置、假设和现有结果的回顾现在，我们介绍一些基本的符号。遵循bootstrap文献的惯例，P*（E）*还有V ar*) 表示bootstrap重采样产生的概率度量（期望值和方差），以原始时间序列的实现为条件。此外，对于引导统计序列Z*n、我们写Z*n=op*（1）概率，或Z*NP*→ 0，作为n→ ∞, 不概率，如果对于任何ε>0，δ>0，limn→∞P[P*（|Z）*n |>δ>ε]=0。同样，我们写Z*n=Op*（1）作为n→ ∞, 在概率上，如果所有ε>0，则存在Mε<∞这样的→∞P[P*（|Z）*n |>Mε）>ε]=0。最后，我们写Z*钕*→ Z作为n→ ∞, 在概率上，如果以样本为条件，Z*n在P下突然转向Z*, 对于P-概率收敛为1的集合中包含的所有样本。2.1 BSS设置和假设我们遵循Barndorff-Nielsen等人（2013年），并考虑过滤概率空间Ohm, F、（Ft）t∈R、 P,在此基础上，我们定义了一个布朗半平稳（BSS）过程X=（Xt）t∈R、无漂移asXt=Zt-∞g（t）- s） σsdWs，t∈ R、（1）其中（Wt）t∈Ris是一个双面标准布朗运动，g:R+→ R是满足g的确定权重函数∈ L（R+）和（σt）t∈瑞安（Ft）t∈R适应的c`adl`ag过程。我们假设ZT-∞g（t）- s） σsds<∞ a、美国，尽管如此∈ R、确保XT是任何t∈ R.我们引入一个中心平稳高斯过程g=（Gt）t∈Rhat与X相关，我们称之为X的高斯核，asGt=Zt-∞g（t）- s） dWs，t∈ R

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2022-5-11 06:50:07

（2） G的相关核r通过r（t）=corr（Gs，Gs+t）=r给出∞g（u）g（u+t）dukgkL（R+），t≥ 0.渐近理论中的一个关键对象是变差函数R，给定byR（t）=Eh（Gs+t）- Gs）i=2 kgkL（R+）（1- r（t）），t≥ 0.我们假设过程X是在等距离的时间点ti=i观察到的n、 i=0，1，英国电信/北卡罗来纳州N↓ 0作为n→ ∞. 这种渐近性被称为完全渐近性。本文所考虑的理论将要求使用不同的滞后间隔来计算BSS过程的二阶差∈ N.我们特别关注以下类型V（X；p，ν）nt的功率变化≡英国电信/ncXi=2~nxiN- 2X（i）-υ)n+X（i）-2υ)Np、（3）其中p≥ 1，我们称之为观测之间的滞后。虽然这一理论对一般人来说是彻底的∈ N我们将主要考虑Γ=1，2，这将有助于我们的目的。对于渐近理论，Corcuera等人（2013）也引入了归一化功率变化：`V（X；p，ν）nt≡ nτn（Γ）-pV（X；p，Γ）nt，（4）式中τn（Γ）=rEhGiN- 2G（i）-υ)n+G（i）-2υ)NiI用滞后间距γ计算的高斯核二阶增量的标准偏差n、我们的建议是使用bootstrap来近似这些统计数据的一类非线性变换的采样分布。这与Corcuera等人（2013）研究的BSS过程的粗糙度参数估计器的极限行为有关。为了调用Corcuera等人（2013）得出的“V（X；p，ν）nt”的一致性结果，我们需要引入一组假设。下面，α表示表中的一个数字-, 0∪0,函数lf被映射f索引，假设在零处缓慢变化，即limx↓0Lf（tx）Lf（x）=1表示所有t>0。

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2022-5-11 06:50:11

对于函数f，f（k）表示f的第k阶导数。假设1。（i） g（x）=xαLg（x）。（ii）g（2）（x）=xα-2Lg（2）（x）和任何 > 0，我们有g（2）∈ L((, ∞)) . 此外g（2）在间隔（a，∞) 对于一些人来说，a>0。（iii）对于任何t>0英尺=Z∞g（2）（s）σt-sds<∞几乎可以肯定。下一组假设涉及变异函数R。假设2。对于假设1中的粗糙度参数α，它认为（i）R（x）=x2α+1LR（x）。（ii）R（4）（x）=x2α-3LR（4）（x）。（iii）存在一个b∈ （0，1）使lim supx↓0supy∈[x，xb]LR（4）（y）LR（x）< ∞.最后，我们引入了一个关于过程σ光滑性的假设。假设3。对于任何q>0，它都认为e[|σt- σs | q]≤ Cq | t- s |γqf对于某些γ>1/2和Cq>0。注1：本文给出的方法和结果可以简单地推广到形式为x]t=Zt的过程-∞g（t）- （s）- g(-（s）σsdWs，t≥ 0，其中g与前面一样，g:R→ R是一个可测函数，使得对于所有x<0和zt，g（x）=0-∞g（t）- （s）- g(-（s）σsds<∞, 尽管如此，t≥ 0.我们特别注意到X]t-十] s=Xt-对于任何t>s≥ 0，这就是为什么依赖于下面给出的X增量的技术也适用于X]的原因。2.2假设1和2下BSS过程的功率变化及其渐近理论，Corcuera等人（2013，定理3.1和方程（4.5））表明∈ N′V（X；p，ν）ntu。c、 p。→ V（X；p）t=mpZt |σs | pds，（5）其中mp≡ E[|U | p]，U~ N（0，1），andu。c、 p。→ 表示P-概率在紧集上的一致收敛。Corcuera等人（2013年，定理3.2和4.5）也推导了向量的联合渐近分布-1/2n\'V（X；p，1）nt- V（X；p）t，\'V（X；p，2）nt- V（X；p）t.

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2022-5-11 06:50:15

特别是在假设1-3下（Corcuera等人，2013年，定理3.2），-1/2n’V（X；p，1）nt- mpRt |σs | pds | V（X；p，2）nt- mpRt |σs | pds！圣→ N（0，∑p，t），（6）其中→ 表示稳定收敛，∑p，t≡ λpZt |σs | 2pds，矩阵∧p=λijp1.≤i、 j≤2由λp=limn驱动→∞-1nvar\'V伯克希尔哈撒韦；p、一,N, λp=limn→∞-1nvar\'V伯克希尔哈撒韦；p、二,N,λp=limn→∞-1ncov\'V伯克希尔哈撒韦；p、一,n、 \'V伯克希尔哈撒韦；p、二,N,BH是一个分数布朗运动，Hurst参数H=a+1/2。注意，统计数据V（X；p，Γ）的计算需要了解因子τn（Γ），这是不可行的，因为它取决于，关于BSS过程的粗糙度参数α，X.Basedon（5）和（6）Corcuera等人（2013）在附录B中给出了λij表达式的一致和渐近正态估计量。这种方法可以通过首先估计因子τn（Γ）来实现，见Barndor ff-Nielsen等人（2014年，附录B）。然而，这种方法的缺点是中心极限定理不再成立。粗糙度参数α。在假设1和假设2下，Corcuera等人（2013年，等式4.2和4.5）表明Bα（p）nt=hp（COF（p）nt）u.c.p。→ α、其中hp（x）=log（x）p-, x>0，（8）以对数表示以2为底的对数，其中cof（p）nt=V（x；p，2）ntV（x；p，1）nt。（9） Corcuera等人（2013，Propositions4.2和4.6）利用delta方法和稳定收敛特性，推导出了粗糙度参数α的可行CLT。假设CLT的条件为（6），α∈-, 0∪0,那么对于任何p≥ 我们有p log（2）V（X；p，1）nt（bα（p）nt）- α） qm-12pV（X；2p，1）nt(-1,1）λp(-1,1）Td→ N（0，1）。（10）如引言中所述，当α∈,. 这促使Corcuera等人（2013年）开发了一种改进的估计器，用以计算功率变化（3）。

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能者818

2022-5-11 06:50:19

通过让差距快速有效地扩大，估计器满足CLT，相关增量变得渐近独立。在这种情况下，可以基于野生引导的思想开发一种引导方法。虽然我们也研究出了这种方法的细节，但出于两个原因，我们将其归入了网络附录（Bennedsen等人，2017年）：第一，案例∈,似乎实际兴趣有限。其次，下面的理论结果表明，本文提出的局部分数bootstrap方法适用于整个α范围∈-,.Corcuera等人（2013）的结果没有明确考虑α=0。然而，我们可以证明，在稍加修正的假设下，为COF估计器开发的LLN和CLT在这种情况下仍然有效。事实上，只有假设1（ii）和2（ii）需要更改。在本文的其余部分，当α=0时，我们在上述假设1-3下工作，并对1（ii）和2（ii）进行以下修改：假设1。（ii’’g（2）（x）=Lg（2）（x）以及 > 0，我们有g（2）∈ L((, ∞)) . 此外g（2）在间隔（a，∞) 对于一些人来说，a>0。假设2。（ii’）R（4）（x）=f（x）LR（4）（x），其中函数f是| f（x）|≤ Cx-对于某些常数，β>0和β>1/2。我们现在得到以下结果，这在附录C中得到了证明。假设假设假设1-3成立，命题2.1。然后LLN（7）和CLT（10）保持α=0。例2.1 Ornstein-Uhlenbeck核g（x）=e-λx，λ>0，满足假设1和假设2，α=0。事实上，假设1通常被认为是成立的，sinceR（x）=λ-1.1.- E-λx= 卡侬（x），其中lr（x）=x-1λ-1.1.- E-λx是一个缓慢变化的函数，假设2（i）也成立。我们还有r（m）（x）=(-1） m-1λm-1e-λx，m≥ 假设2（ii\'）成立，f（x）=e-λx和LR（4）=-λ-3.

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2022-5-11 06:50:23

最后，limx↓0LR（x）=1，所以假设2（iii）显然也成立。3局部分数bootstrap在这一节中，我们介绍了一类向量非线性变换的bootstrap方法\'V（X；p，1）nt，\'V（X；p，2）nt. 然后，我们使用该方法来近似粗糙度参数估值器bα（p）nt的抽样分布。特别地，我们考虑一个假设测试，其中对于某些α，零假设isH:α=α∈-,, 而另一种假设是：α6=α。我们的想法是对（3）中定义的BSS过程X的高频二阶差进行重采样。为了有效，该方法应该模拟X增量的依赖性。正如Corcuera等人（2013）所指出的，在假设2下，高斯核G的短期行为类似于分数布朗运动，Hurst参数H=α+1/2。更准确地说，对于任何t∈ R、 Gεt+t- GtpV ar（Gε）- G） !！T≥0d→ （BHt）t≥0英寸C（R+）为ε→ 现在考虑以下恒定波动性玩具模型，~Xt=σGt=σZt-∞g（t）- s） dWs，t≥ 0，（11）通过为所有t设置σt=σ>0从X获得∈ R.上述讨论表明，在X的上下文中，bootstrap方案应该能够复制分数布朗运动增量与赫斯特参数H=α+1/2的相关结构。为此，我们提出了以下局部分数引导算法：步骤1。通过定义α，指定一个空假设H:α=α∈-,.第二步。生成bt/nc随机变量NBHbt/nc，它独立于原始过程X，其中bh是一个分数布朗运动，Hurst参数H=α+1/2。第三步。最后，返回observationsX*我n=bσ·BHin、 i=2~n，英国电信/nc，（12）式中，bσ=bσ（p，Γ）是波动率σ的一致估计量。这个引导算法值得一提。

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2022-5-11 06:50:27

首先，我们在零假设H下生成bootstrap观测：α=α；这一特征不仅是自然的，而且重要的是要将I型错误的概率降至最低，见戴维森和麦金农（1999）。第二，尽管（12）是由非常简单的模型（11）驱动的，正如我们将在下面展示的，但这并不妨碍引导方法在更普遍的情况下有效。特别是，它的有效性扩展到了波动率并非如（1）所示恒定的情况。bσ的选择可能会根据感兴趣的统计数据而改变。我们很快就会看到，例如，当我们考虑向量时-1/2n\'V（X；p，1）nt，\'V（X；p，2）nt, 我们可以简单地使用bσ=bσ（p，Γ）nt=M-1p′V（X；p，ν）nt1/p，参照方程式（5）。分别定义（3）和（4）的自举功率变化类似物，如下v*十、伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界≡|bσ（p，Γ）nt|pu（p，Γ）ntV（BH；p，Γ）nt，（13）V*十、伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界≡ nτn（Γ）-pV*十、伯克希尔哈撒韦；p、 νnt=|bσ（p，Γ）nt | pu（p，Γ）nt\'V伯克希尔哈撒韦；p、 νnt，（14）式中u（p，ν）nt=nτn（Γ）-pu（p，Γ）nt与u（p，Γ）nt=E*五、伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界.引理3.1考虑（1）、（13）和（14），其中BH是一个分数布朗运动，Hurstparameter H=α+1/2。

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2022-5-11 06:50:30

因此，即*\'V*十、伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界= |bσ（p，ν）nt|p（ii）V ar*-1/2n’V*十、伯克希尔哈撒韦；p、一,新界= -1nV ar\'V伯克希尔哈撒韦；p、一,新界| {z}≡λp，n | bσ（p，1）nt | 2p（u（p，1）nt），（iii）V ar*-1/2n’V*十、伯克希尔哈撒韦；p、二,新界= -1nV ar\'V伯克希尔哈撒韦；p、二,新界| {z}≡λp，n | bσ（p，2）nt | 2p（u（p，2）nt），（iv）Cov*-1/2n’V*十、伯克希尔哈撒韦；p、一,新界，-1/2n’V*十、伯克希尔哈撒韦；p、二,新界= -1nCov\'V伯克希尔哈撒韦；p、一,新台币伯克希尔哈撒韦；p、二,新界| {z}≡λp，n | bσ（p，1）nt | p | bσ（p，2）nt | pu（p，1）ntu（p，2）nt，（v）If | bσ（p，Γ）nt | 2pu。c、 p。→Rt |σs | 2pd和| bσ（p，1）nt | p | bσ（p，2）nt | pu。c、 p。→Rt |σs | 2pd，然后p limn→∞Σ*十、伯克希尔哈撒韦；P新界-e∑np，t=0，式中∑*十、伯克希尔哈撒韦；P新界≡ 瓦尔*-1/2n\'V*十、伯克希尔哈撒韦；p、一,新台币*十、伯克希尔哈撒韦；p、二,新界, ande∑np，t≡ ∧np，tZt |σs | 2pds，使得∧np，t=（u（p，1）nt）-2λp，n（u（p，1）nt）-1（u（p，2）nt）-1λp，n（u（p，2）nt）-1（u（p，2）nt）-1λp，n（u（p，2）nt）-2λp，n.引理3.1的第（v）部分表明，自举方差∑*十、伯克希尔哈撒韦；P在一般模型（1）下，如果以下三个条件成立，则nt仅为∑p的一致估计量：|bσ（p，Γ）nt |2pu。c、 p。→Zt |σs | 2pd，| bσ（p，1）nt | p | bσ（p，2）nt | pu。c、 p。→Zt |σs | 2pd（15）和∧np，t→ ∧p（即u（p，ν）nt→ 1). （16）很容易看出，让bσ（p，Γ）nt=M-12p′V（X；2p，ν）nt1/2小时即可满足（15）。然而，可能无法满足（16）。例如，对于p=2（这是实践中最重要的情况），可以证明（见附录B）u（2，1）nt=（bt/北卡罗来纳州- 1) 2Hn4.- 22小时.然而，尽管∑*十、伯克希尔哈撒韦；P由于∑p，t不一致，我们仍然可以为学生化分布实现渐近有效引导。为此，我们需要找到∑的一致估计值*十、伯克希尔哈撒韦；P基于引导观测。在下文中，在不丧失一般性的情况下，我们将使用由bσ（p，γ）nt给出的bσ（p，γ）nt的两种选择=M-1p′V（X；p，ν）nt1/p，对于p=1，2，和γ=1,2（17）和bσ（p，γ）nt=M-1βp′V（X；βp，γ）nt1/βp，对于β>0，p=1，2，Γ=1，2。

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2022-5-11 06:50:33

（18）我们提出了∑的下列一致性估计*十、伯克希尔哈撒韦；PNTB定义∑*十、伯克希尔哈撒韦；P新界=λp，n | bσ（p，1）n*t | 2p（u（p，1）nt）λp，n | bσ（p，1）n*t | p | bσ（p，2）n*t | pu（p，1）ntu（p，2）ntλp，n | bσ（p，1）n*t | p | bσ（p，2）n*t | pu（p，1）ntu（p，2）ntλp，n | bσ（p，2）n*t | 2p（u（p，2）nt）（19）式中| bσ（p，Γ）n*t|p=\'V*十、伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界。（20）定理3.1假设假设假设1-3适用于α∈-,. 假设bootstrap观测由（12）给出，其中bh是一个分数布朗运动，Hurst参数h=α+1/2。因此，n→ ∞,学士学位*n=b∑*十、伯克希尔哈撒韦；P新界-1/2-1/2n\'V*十、伯克希尔哈撒韦；p、一,新界- E*\'V*十、伯克希尔哈撒韦；p、一,新界\'V*十、伯克希尔哈撒韦；p、二,新界- E*\'V*十、伯克希尔哈撒韦；p、二,新界D*→ N（0，I），在prob-P中。因此，我们可以推导出bootstrap光滑度参数估计器bα的bootstrap-CLT结果*（p） bα（p）nt的n分析。为此，letbα*（p） nt=马力（COF）*（p） nt），其中hp（·）由（8）定义，而*（p） nt=V*十、伯克希尔哈撒韦；p、二,ntV*（X，BH；p，1）新界。（21）了解COF的渐近行为*（p） nt，我们可以写*（p） nt=τn（2）τn（1）！p/2’V*十、伯克希尔哈撒韦；p、二,新台币*（X，BH；p，1）新界。从假设2中，我们得到了τn（2）τn（1）！p/2→ 2（2α+1）p，因此，通过引理3.1的定理3.1，第（i）部分，结合（17）和（18），并通过使用方程（5）和Γ=1，2，我们可以推导出*十、伯克希尔哈撒韦；p、二,新台币*（X，BH；p，1）ntP*→ 1，在prob-P中，通过对定理3.1的CLT结果应用delta方法，我们可以刻画bα的分布*（p）新界。这些结果总结在下面的定理中。定理3.2假设假设假设1-3适用于α∈-,. 假设bootstrap观测由（12）给出，其中bh是一个分数布朗运动，Hurst参数h=α+1/2。

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2022-5-11 06:50:37

因此，对于任何p≥ 2，作为n→ ∞,T*bα，n≡ -1/2n（bα）*（p）新界- eα（p）nt）qbV*（bα）td*→ N（0，1），在prob-P中，其中eα（P）nt=hp^COF（p）nt, （22）使得^COF（p）nt=τn（2）τn（1）！p/2 | bσ（p，2）nt | p | bσ（p，1）nt | p=V（X；p，2）ntV（X；p，1）nt，如果bσ（p，Γ）nt由（17）给出，V（X；βp，2）ntV（X；βp，1）nt1/β，如果bσ（p，Γ）nti由（18）给出，以及渐近方差bv的估计*（bα）定义为*（bα）t=（p log（2））b*十、伯克希尔哈撒韦；P新界，（23）与b*十、伯克希尔哈撒韦；Pnt=λp，nE*\'V*（X，BH；p，1）新界（| bσ（p，1）n）*t | p）（u（p，1）nt）+λp，nE*\'V*（X，BH；p，2）新界（| bσ（p，2）n）*t | p）（u（p，2）nt）- 2λp，nE*\'V*（X，BH；p，1）新界E*\'V*（X，BH；p，2）新界|bσ（p，1）n*t | p | bσ（p，2）n*t | pu（p，1）ntu（p，2）nt。备注2注意，引导统计T*bα，nis可行：它只是观测数据{Xi的原始样本的函数n} ，步骤2中生成的分数布朗运动，BHiN,他们的绝对时刻BHiN- 2BH（i）-υ)n+BH（i）-2υ)N阿宝。要看到这一点，请写下*（p） nt=马力（COF）*（p） nt），其中hp（·）和COF*（p） n分别在（8）和（21）中给出。

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2022-5-11 06:50:40

考虑到（21）和（13），接下来是*（p） nt=τn（2）τn（1）！p/2’V*十、伯克希尔哈撒韦；p、二,新台币*（X，BH；p，1）新界=u（p，1）ntu（p，2）ntV（BH；p，2）ntV（BH；p，1）ntV（X；p，2）ntV（X；p，1）nt，如果bσ（p，Γ）nt由（17）给出，u（p，1）ntu（p，1）ntV（BH；p，2）ntV（BH；p，2）ntV（BH；p，1）ntV（X；βp，2）ntV（X；βp，1）nt1/β，如果bσ（p，ν）nti由（18）给出。（24）同样地，当bσ（p，Γ）nTi由（17）或（18）给出时，我们可以写出bV*（bα）t在定理3.2中给出*（bα）t=（p log（2））b*十、伯克希尔哈撒韦；P新界，有B*十、伯克希尔哈撒韦；Pnt=A+B+C，其中=-1n（u（p，1）nt）-4.五、伯克希尔哈撒韦；p、一,新界瓦尔五、伯克希尔哈撒韦；p、一,新界,B=-1n（u（p，2）nt）-4.五、伯克希尔哈撒韦；p、二,新界瓦尔五、伯克希尔哈撒韦；p、二,新界,C=C·C，和C=-2（u（p，1）nt）-2（u（p，2）nt）-2V伯克希尔哈撒韦；p、一,ntV伯克希尔哈撒韦；p、二,nt，C=-1nCov五、伯克希尔哈撒韦；p、一,新界，V伯克希尔哈撒韦；p、二,新界.V-ar的表达式五、伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界, 冠状病毒五、伯克希尔哈撒韦；p、一,新界，V伯克希尔哈撒韦；p、二,新界p=2的u（p，Γ）可在附录B.3.1引导实施中找到。我们可以使用上面提出的引导方法来测试关于BSS过程样本路径粗糙度的假设。考虑以下情况，其中零假设为H：对于某些α，α=α∈-,, 而另一种假设是H：α6=α。我们让p=2。对于给定的时间段[0，t]，步长为n=t我们假设有n+1∈ N观测X=（X，XNXnn） BSS流程的一部分。下面，B是引导复制的数量（例如，B=999）。使用局部分数Bootstrap1的假设检验算法。根据数据X，计算由bα（2）nt=h（COF（2）nt）给出的粗糙度参数α的估计值，其中hp（·）和COF（2）nt分别在（8）和（9）中给出。然后，计算渐近方差V（bα）nt=limn的估计量→∞V ar（bα（2）nt），由bV（bα）t=nm给出-12pV（X；4，1）nt(-1, 1) Λ(-1,1）T（2对数（2）V（X；2,1）nt）。模拟n+1个观测值BH，BHNBHn对于Hurstparameter H=α+1/2且与数据X.3无关的分数布朗运动。使用模拟样本（BH，BH。

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2022-5-11 06:50:44

，BHn），计算自举粗糙度参数bα的估计值*（2） nt，由bα给定*（2） nt=h（COF*（2） nt），其中hp（·）和COF*（p） n分别在（8）和（24）中给出。4.实际测试依赖于bootstrap学生化统计。因此，computeT*bα，n=-1/2n（bα）*（2）新界- eα（2）nt）qbV*（bα）t，其中eα（2）nti由（22）给出，而bα*（2）第3步中获得的NTI和BV*（bα）在（23）中定义。重复步骤2–4 B次，并存储T的值*bα，n，j，j=1，B.6。拒绝H：α=α，当α/∈ IC*珀克-t、一,-γ=bα（2）nt- N-1/2季度*1.-γ/2qbV（bα）t，bα（2）nt- N-1/2季度*γ/2qbV（bα）t,q在哪里*γ/2和q*1.-γ/2是γ/2和1- T的bootstrap分布的γ/2分位数*n、分别。4蒙特卡罗模拟研究在本节中，我们评估了基于局部分馏bootstrap的测试的有限样本性能，并将其与基于CLT的测试进行了比较。在我们的模拟中，我们将gto作为伽马核，即g（x）=xαe-λxf或x>0且λ=1。有关伽马核理论性质的深入分析，请参见巴恩多夫-尼尔森（2012、2016）。我们考虑α∈ {-1/3, -1/6, 0, 1/6, 1/3}; 回想一下，当α∈ [1/4，1/2）。我们对λ和α的几个不同值进行了实验，但结果在所有情况下都与我们下面的发现非常相似。我们考虑了随机波动过程的三个具体情况：o恒定波动率（NoSV），o单因素随机波动率（SV1F），o双因素随机波动率（SV2F）附录A中解释了这些规范的详细信息以及模拟程序。我们的调查涉及试验H:α=α的有限样本量，与（标称）5%水平的双面备选方案H:α6=α相比。

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2022-5-11 06:50:47

我们还计算了5%水平下（现在为假）无效假设为H:α=0的测试的大小调整功率。零假设：α=0特别有趣，因为α=0是x的半鞅性的必要条件。此外，在伽马核g（x）=xαe的情况下-λx我们在这里考虑的α=0意味着BSS过程实际上是一个Ornstein-Uhlenbeck过程。表1和表2包含了我们的蒙特卡罗研究结果，并详细说明了CLT和局部分数引导的有限样本特性。表1显示了H为真时的拒绝率（即尺寸），而表2显示了H为真时的拒绝率（即功率）。可以得出一些明确的结论。首先，当观察数n很小时，bootstrap方法在测试规模上有明显的增益。其次，当α<0时，CLT的功率稍微好一点，而α则相反≥ 最后，SV的存在或不存在不会对结果产生很大影响，除了SV2F的情况下，该方法会消耗一些能量。5实证应用在本节中，我们将上述局部分数bootstrap方法应用于两个相关的实证数据集。正如我们在上一节中所看到的，bootstrap方法对于实现假设检验H的正确经验大小至关重要：α=α，尤其是当观测次数n很小时。在我们的两个应用中，理论论证表明特定的假设是正确的，我们研究了CLT和bootstrap在确认或拒绝这些假设方面的表现。通过以下方式获得尺寸调整后的功率：使用蒙特卡罗模拟，我们发现临界值将导致CLT获得与引导相同的尺寸（这些尺寸数字见表1）；然后使用这些临界值来确定基于CLT的测试的能力。

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2022-5-11 06:50:51

由于引导测试的大小似乎对所有n都是正确的，因此没有对大小进行更正。通过使用bootstrap测试的实际大小（而不是标称的5%）来计算基于CLT的测试的大小调整临界值，两个测试的功率特性变得具有可比性。表1:HPanel A下的拒收率：NoSVnα=-1/3 α = -6.vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv0.0528320 0.0568 0.0556 0.0540 0.0530 0.05620.0526 0.0610 0.0582 0.0548 0.0516面板B:SV1Fnα=-1/3 α = -6.vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv0.0590320 0.0564 0.0558 0.0508 0.0546 0.05020.0492 0.0532 0.0536 0.0528 0.0512面板C:SV2Fnα=-1/3 α = -1.cococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococo0.0602320 0.0562 0.0562 0.0572 0.0554 0.05120.0508 0.0550 0.0574 0.0624 0.0602使用CLT和局部分数自举法，对试验H:α=α与备选H:α6=α的有限样本特性进行模拟研究。模拟是在H下进行的，即。

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2022-5-11 06:50:55

我们考虑测试的规模。标称大小为5%，显示的数字是Hover 5000 Monte Carlo模拟的投影率，每个模拟的B=999个引导复制。我们设定p=2和λ=1。表2:HPanel A下的拒收率：NoSVnα=-1/3 α = -1）vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv：SV1Fnα=-1/3 α = -1.cocovvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv：SV2Fnα=-1/3 α = -1）vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv有限样本属性使用CLT和局部分数引导法，测试H：α=0与交替的H：α6=0的比较。模拟是在另一种情况下进行的，即我们考虑测试的威力，模拟中使用的α的真实值为相应列中所示的α。

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2022-5-11 06:50:58

对于bootstrap，标称尺寸为5%，而CLT已经按照文本中的解释进行了尺寸调整：使用的临界值是导致CLT具有与bootstap测试相同尺寸的临界值（见表1）。显示的数字是Hover 5000 Monte Carlo模拟的拒绝率，每个模拟的B=999引导应用。我们设定p=2和λ=1.5.1高频期货价格数据。在这里，我们考虑测试金融资产E-mini S&p 500 futurescontract的价格H：α=0。请注意，至少在理论上，基于无套利的理由（Delbaen和Schachermayer，1994，定理7.2），人们会认为Hto为真，因为α6=0意味着BSS过程不是半鞅（例如Corcuera et al.，2013；Bennedsen，2016）。我们的数据包括2013年1月2日至2014年12月31日期间在CME Globex电子交易平台上交易的E-mini标准普尔500期货合约的高频观察数据，周末和节假日除外。这导致516个交易日，其中18个是非完整交易日；我们去掉了这些，在样本中总共有498天。虽然迷你标准普尔500指数合约几乎是24小时交易，但我们将注意力限制在纽约证券交易所开盘的最快时间段，即美国东部时间上午9点30分至下午4点的6.5小时。我们以不同的频率对价格进行重新采样， ∈ {2,5,10,15}分钟，结果inn分别为196,79,40,27日价格。然后，我们每天使用CLT和局部分数自举测试H:α=0，对照双侧备选方案H:α6=0。在我们的样本中，498天的平均结果如图1所示。我们看到，当我们经常取样时( = 2分钟），这两种方法都经常被拒绝（分别为16.5%和14.1%），这表明H:α=0被拒绝的天数是显著的。

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2022-5-11 06:51:01

这一结果可能令人惊讶，但可能是由于市场微观结构（MMS）噪声的影响：在很短的时间尺度上，高频数据往往表现出与交替假设α<0相一致的负自相关。当以较低频率采样时，即。至少5分钟后，MMSe的影响可以忽略不计，H的拒绝率应以名义速率发生。图1 Indeed显示，在这些情况下，我们经常拒绝Hless；我们还观察到，bootstrap方法比CLT方法更容易拒绝。事实上，bootstrap更接近我们在H下预期的标称5%拒绝率 = 15分钟，我们每天只有27次观测；考虑到上面的蒙特卡罗证据，我们预计在这种情况下CLT会过大。如图所示，CLT确实经常拒绝Hmore（11.4%），而Bootstrapes主要保留名义尺寸，拒绝率为4.6%。这是令人鼓舞的，因为在这个时间尺度上，任何MMSe影响都应该可以忽略不计。5.2湍流数据在我们的第二个应用中，我们研究了大气边界层中湍流速度场纵向分量的一维热线风速计测量时间序列，测量距离地面35米。时间序列由2×10个观测值组成，以5 kHz的频率采样。

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2022-5-11 06:51:04

换言之，有2000万次观测，是在一秒钟的时间戳精度下记录的数据。0 50 100 150 200 250 300 350 400 450天-1-0.500.51^α = 2分钟拒绝率，CLT:16.5%拒绝率，LFB:15.1%两种拒绝仅CLT仅LFB无拒绝0 50 100 150 200 300 350 400 450天-1-0.500.51^α = 5分钟拒绝率，CLT:9.0%拒绝率，LFB:6.2%0 50 100 150 200 250 300 350 400 450天-1-0.500.51^α = 10分钟拒绝率，CLT:9.6%拒绝率，LFB:6.0%0 50 100 150 200 250 300 350 400 450天-1-0.500.51^α = 15分钟拒绝率，CLT:11.4%拒绝率，LFB:4.6%图1：从E-mini数据集中的498个日内对数价格系列中估计α和检验H:α=0与H:α6=0，每周一次采样时期这些图描绘了某一天α的估计值。CLT和LFB均拒绝HWA的特定日期用红色方框表示；只有CLT而不是LFB被拒绝的日子是绿宝石时代；只有LFB而不是CLT被拒绝的日子是洋红色星号；在那些没有办法拒绝兔子蓝色圆圈的日子里。我们使用B=999引导复制，黑色水平线表示空值α=0。T=4000秒，每秒记录5000次观察。Corcuera等人（2013年）和Barndorff-Nielsen等人（2014年）也对这一时间序列进行了研究，我们参考了Dhruva（2000年）了解其记录方式的更多细节。当湍流的时间数据使用BSS过程建模时，其核函数满足假设1（i），科尔莫戈罗夫的5/3标度律（科尔莫戈罗夫，1941）适用于充分发展的湍流，假设泰勒的冻结场假设（泰勒，1938）与参数值α兼容-1/6的中间时间刻度对应于所谓的惯性范围；另见M\'arquez和Schmiegel（2016）。

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2022-5-11 06:51:07

通过分析时间序列的频谱密度，发现该数据的惯性范围约在0.1 Hz和200 Hz之间（Corcuera等人，2013年，第5节）。与之前的应用一样，我们在不同频率f下对数据进行重新采样，改变f，以研究不同时间尺度下时间序列的粗糙度特性。更具体地说，我们在1 Hz和200 Hz之间改变f，以包括惯性范围内和惯性范围边界上的时间标度。时间增量在重采样中使用的与f有关 = 1/f.受科尔莫戈罗夫标度定律的激励，我们推导出H:α=-1/6，并根据双面备选方案H进行测试：α6=-1/6. 在我们的分析中，我们将采样周期（4000秒）划分为M=400个10秒的子周期。我们分别对每个子周期进行测试，将它们视为同一现象的单独测量，考虑到时间序列的假定平稳性，这似乎是合理的。请注意，在频率f下重新采样后，覆盖每个子周期的观测数为n=10f。图2给出了H的拒收率的结果，H是M=400子周期内拒收的相对频率。正如预期的那样，当采样率处于惯性范围的边界时，His通常会被拒绝（参见f=200 Hz的结果）。当完全在惯性范围内（f=20 Hz）时，两种方法在大约4%的子周期内都会拒绝零假设。在这些采样频率下，基于CLT和bootstrap的测试基本一致；这是意料之中的，因为有大量的观察结果。随着采样频率的降低，结果会发生变化，从而导致观察次数减少。

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2022-5-11 06:51:10

事实上，我们看到，基于CLT的测试在采样频率1和2 Hz时产生的拒绝率分别为10.8%和17.3%，而基于自举的测试在标称5%的拒绝率下产生的拒绝率大致相同，正如我们从正确大小的测试中所预期的那样，当其为真时。正如在之前的应用中所看到的，在低采样频率下（此处为1Hz，导致n=10个观测值），COF估计器似乎存在严重偏差（α的估计平均值约为-0.475). 在这种情况下，基于CLT的测试开始以不可使用的高比率（约17%）拒绝Hat，而基于Bootstrap的测试更保守，拒绝率约为6%。正如我们仍然期望的那样，零假设H：α=-1/6在这个采样频率下，事实上是正确的，在这个可以说是极端的情况下，基于自举的测试非常接近标称率5%。然而，这需要注意的是，n=10的观测值可能太少，无法得出任何明确的结论。6结论提出了一种利用频率估计量的变化对布朗半平稳过程的粗糙度指数α进行推断的bootstrap方法。虽然我们的模拟研究表明，基于CLT和自举的测试的性能通常都很好，但当观察次数适中或较小时，自举方法改善了H:α=α测试的大小属性。作为一个应用，我们使用该方法对E-mini S&P 500期货合约的日内价格时间序列进行H:α=0测试，并测试H:α=-1/6的大气湍流测量时间序列。

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2022-5-11 06:51:14

对于这两个数据集，我们观察到了模拟结果已经表明的情况：CLT拒绝了各自的零假设，我们期望在理论基础上是正确的，在观察数量有限的情况下，这种假设太常见了，而局部分数引导保留了正确的大小。我们的结论是，在对粗糙度指数α进行推断时，局部分数自举是CLT的有力替代方法，在较低的观测频率下，它似乎是必不可少的。最后，我们注意到，虽然在本文中我们关注的是BSS过程，但局部分馏bootstrap方法应该适用于其他“分馏”过程，如分数布朗运动（fBm）、分数Ornstein-Uhlenbeck过程等。我们把这些扩展留给以后的工作。0 50 100 150 200 250 300 350 400试验编号-0.3-0.2-0.100.1^αf=200 HZrExtraction rate，CLT:17.8%拒收率，LFB:18.0%两种拒收仅CLT仅CLT LFB无拒收0 50 100 150 200 250 300 350 400试验编号-0.6-0.4-0.200.2^αf=20 HZrExtraction rate rate，CLT:3.8%拒收率，LFB:4.0%0 50 100 150 200 200 250 300 300 400试验编号-0.500.51^αf=20 HZrExtraction rate rate，CLT:10.8%排斥率，LFB:3.8%0 50 100 150 200 250 300 350 400实验编号-4-3-2-101^αf=1 HZr排斥率，CLT:17.3%排斥率，LFB:5.8%图2：α估计值和H检验：α=-1/6对抗H:α6=-使用文中所述湍流数据进行的400次实验中的1/6，另见Dhruva（2000）。数据以频率f采样。图中描绘了给定实验中α的估计值。

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2022-5-11 06:51:17

CLT和LFB均拒绝HWA的具体试验用红色方框表示；只有CLT而不是LFB被拒绝的实验是绿色钻石；只有LFB而不是CLT被拒绝的实验是洋红色星号；以及任何方法都无法拒绝兔子蓝圈的实验。我们使用B=999引导复制，黑色水平线表示空值α=-1/6.参考巴恩多夫-尼尔森，O.E.（2012）。关于gamma内核的注释。蒂勒中心研究报告，第03期，2012年5月。巴恩多夫-尼尔森，O.E.（2016）。评估伽马核和BSS/LSS过程。创建2016-09年度工作报告。巴恩多夫-尼尔森，O.E.，F.E.本思和A.E.D.维拉特（2013）。通过波动性调制的L’evy驱动的Volterra过程模拟能源现货价格。伯努利19（3），803-845。巴恩多夫-尼尔森，O.E.，J.M.科尔奎拉和M.波多尔斯基（2009）。平稳增量高斯过程的功率变化。随机过程及其应用119（6），1845-1865。巴恩多夫-尼尔森，O.E.，J.M.科尔奎拉和M.波多尔斯基（2011）。布朗平稳过程的多功率变化。伯努利4（17），1159-1194。巴恩多夫-尼尔森，O.E.，J.M.科尔奎拉和M.波多尔斯基（2013）。布朗半平稳过程高阶微分泛函的极限定理。在安第斯山脉瓦拉丹的A.N.Shiryaev，S.R.S.Varadhan。普雷斯曼（编辑），《普罗霍罗夫与当代概率论》，第69-96页。柏林：斯普林格。巴恩多夫-尼尔森，O.E.，P.R.汉森，A.伦德和N.谢泼德（2008）。设计实现的内核，以测量存在噪声时股票价格的事后变化。《计量经济学》76（6），1481-1536。巴恩多夫-尼尔森，O.E.，M.S.帕克卡宁和J.施密格尔（2014）。评估相对波动性/间歇性/能量耗散。电子统计杂志8（2），1996-2021。巴恩多夫-尼尔森，O.E.和J。

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