如果T在Banach空间X上生成csemi gro up，那么（etT）*也将是一个半小组（但强大的连续性可能会失败）。然而，如果X是反射的，那么（etT）*是非常连续的，事实上，（etT）*是一个带有发电机T的CSEMI组*（见[47]中的推论1.10.6）。换句话说，（etT）*=埃特*, 如果X是反射的。此外，如果etT是一个解析半群，那么（etT）*isalso分析自函数（ezT）*在形式域中是同质的吗δ,δ > 0.下面的范数kk是指H=lλ（I×R）中向量的范数或该空间上边界算子的范数。引理5.6。让我们≥ 存在Cs>0，因此，对于所有h∈ H:=Lλ（I×R），ts/2keD（t）BhkH0，sλ（I×R）≤ Cskhk:=CskhkLλ（I×R），对于t∈ （0，1）。因此，kkxetLk≤ 计算机断层扫描-k/2，其中t∈ （0,1]和C独立于t。特别是，kxetLξ在t证明中是连续的。假设第一个s=2n，对于某个正整数n，我们有一个范数kgkH0,2nλ（I×R）等于范数kgk+kBngk，因为B在R上是完全有界系数的统一椭圆（见推论2.24）。特别是kgkH0,2nλ（I×R）≤ Ckgk+kBngk. 因此，足以证明存在（38）keD（t）Bhk+kBneD（t）Bhk的C′ssuch≤ C\'st-从那时起，期望的关系是Cs=CC′s。引理5.4 giveskeD（t）Bhk+kBneD（t）Bhk=keD（t）Bhk+ke（D（t）-t）BBnetBhk≤ Ckhk+kBnetBhk≤ C（t）-nkhk，因为egBis在Lλ（I×R）上，如果g≥ 0是有界可测的，而tnBnetBis也有界于同一个空间（T=B的等式（11））。这里，我们假设我是有界的。这个论点证明了等式（38），因此也证明了s=2n的结果。给将军≥ 0时，结果由复杂的插入式得出。为了证明最后一部分，我们写2kxetL=2kx（u）- B）-k（u）- B） keD（t）BetA，其中u较大。

我们有2kx（u）- B）-kis以B的一致强椭圆性和定理2.23为界。备注2.14和L e mmas 3.13和5.4表明（u- B） keD（t）B在t上平滑地移动。接下来，备注2.14也给出了k（u）- B） keD（t）Bk≤ 计算机断层扫描-k、 这意味着k2kxetLk≤ 计算机断层扫描-k、 我们的愿望是估计kkxetLk≤ 计算机断层扫描-然后通过插值得到k/2。最后，使用alsoLemma 3.13，我们得到这取决于t。同样，我们得到了以下结果。引理5.7。如果h∈ H:=Lλ（I×R），然后是Ketlhkhsλ（I×R）≤ 计算机断层扫描-s/2khk。22 SIYAN ZHANG，ANNA L.MAZZUCATO和VICTOR NISTORIf P是一个在I×R上具有完全有界系数的k阶微分算子，然后P etLand etLP扩展到范数H上的有界算子≤ 计算机断层扫描-k/2取决于t>0。证据因为L是完全有界系数的一致强椭圆，所以存在u>0这样的L- u：Hm+1λ（I×R）∩{u（α，x）=u（β，x）=0}→ 陛下-1λ（I×R）是定理2.23和推论3.4的同构。让我- u)-1denote结果映射Lλ（I×R）→ Hλ（I×R）。然后（L）- u)-1地图Hm-1λ（I×R）→Hm+1λ（I×R）连续。特别是-u)-n:Lλ（I×R）→ H2nλ（I×R）是连续的。现在让我们假设s=2n。ThenketLhkH2nλ（I×R）=k（L- u)-n（L）- u）netLhkH2nλ（I×R）≤ Ck（L）- u）netLhkLλ（I×R）≤ 计算机断层扫描-s/2khk，因为L生成了一个分析半群。对于一般的s，不等式后面是插值。现在让P和引理的陈述一样。np:Hkλ（I×R）→ Lλ（I×R）是有界的。这意味着P etL的结果。etLP的结果是通过取伴随项得到的，因为*一致强椭圆，具有完全边界系数，并生成一个解析半群。引理5.7给出了以下结果。算子的所有范数都在Lλ（I×R）上。引理5.8。

算子F（s）：=e（t-s） LσEs，对于每个s∈ [0，t]到Lλ（I×R）上的富足算子，得到的函数在s中是连续的∈ [0，t]和s的可微性∈ （0，t）。它的导数是函数f′（s）=e（t）-s） L[σ、 L]esL，满足kF′（s）k≤ 计算机断层扫描-1，C独立于0<s<t≤ 1.证据。引理5.7给出了两个函数e（t-s） 降落σesLare在（0，T）上是连续的，并且在（0，T）a s函数上是多次可微的，其值在有界算子的s步中。导数的公式遵循标准公式（esL）′=LesL，我们注意到它在范数中有效，因为L生成一个解析半群，s>0。[0，t]上的连续性通过考虑e（t）以同样的方式遵循-s） Lσ和esL。如果是≤ t/2，自[σ、 L]是一个二阶微分算子，引理5.7意味着e（t-s） L[σ、 L]以范数为界≤ C（t）- （s）-1.≤ 2Ct-1.此外，kF′（s）k≤ 计算机断层扫描-1证明esLis范数有界。这个案子很棘手≥ t/2是完全相似的，使用[σ、 L]由引理5.7提供。5.3. etL和etL的比较。在最后一节中，我们比较了半群S（t）：=etL和etL。我们记得我们设置了L=L+V，其中V=νL+νL=νρσ十、σ+νσσ、 我们认为L是足够小的LF的微扰。我们也叫K:=Hλ（I×R）和K:=Hλ（I×R）∩{u（α，x）=u（β，x）=0}，其中I=（α，β）是包含θ的固定有界区间。本小节介绍的方法可以迭代，以获得参数ν中的高r阶近似解。这些是作者当前工作的重点。SABR 23引理5.9。让ξ∈ K.那么F（s）：=e（t-s） LesLξ在[0，t]上是连续的，在（0，t）上是可微的，F′（s）=-e（t）-s） LV esLξ。证据由于ξ在L的域中（根据定理4.11，其中包含K），函数ζ（s）：=esLξ对于s是可微分的≥ 0

但ETL是一个csemi的集合，因此引理3.13给出了t F（s）=e（t-s） Lζ（s）在[0，t]上是连续的。由于F（s）是一个分析性的se-mi群，它还允许F（s）是可微的∈ （0，t），引理3.15，其导数为F′（s）=-e（t）-s） LV esLξ。我们继续假设k·k指的是H=Lλ（I×R）中的范数，或是H.引理5.10上边界算子的算子范数。让ξ∈ K、 然后e（t）-s） LLesLξ连续依赖于s和（ρν）-1ke（t-s） LLesLξk=ke（t-s） LσσxesLξk≤ C（t）- （s）-1/2秒-1/2kξk.因此，Rte（t）-s） LLesLds≤ Cρν。证据引理5.6和5.7表明e（t-s） Lσσ和xes（L）-κ） ξ满足引理3.13的假设，因此e（t-s） Lσσxes（L）-κ） ξ在s中是连续的。同样，引理5.6和5.7 giveke（t-s） Lσσxes（L）-κ） ξk≤ 克（t）-s） Lσσkkxes（L）-κ） ξk≤ C（t）- （s）-1/2秒-1/2kξk。可通过将区间[0，t]分成两半来估计积分。为了估计涉及L的项，我们利用下一个结果。引理5.11。让ξ∈ K、 然后σetLξ=et（L-κ)σξ +D（t，σ）σBetLξ。证据计算中的ma包含在备注5.2中。更准确地说，这是一个直接的计算，使用方程（30），引理3.15，阿达玛定理（见备注5.1和5.2），以及adL(σ） 艾达(σ) =κσ. 然而，由于Lis的不确定性，LPL中的术语提出了一些额外的挑战。引理5.12。让ξ∈ K、 然后e（t）-s） LLesLξ持续依赖于s，以下估计成立：νke（t-s） LLesLξk=ke（t-s） LσσesLξk≤ C（t）- （s）-1/2(σξk+kξk.因此Rte（t）-s） LLesLξds≤ Cν√TKσξk+kξk.证据引理5.11给出了（39）e（t-s） LσσesLξ=e（t-s） Lσσes（L）-κ)σξ +D（s，σ）σBesLξ.在引理5.10中，引理5.7和5.6给出了e（t-s） LσσesLand e（t）-s） LσσDσb定义连续依赖于∈ （0，t）在s-trong运算符中表示pology。我们分别估计它们的范数。

再次从引理5.7中，我们得到了k（t）-s） Lσσes（L）-κ） k≤ 克（t）-s） Lσσkkes（L）-κ） k≤ C（t）- （s）-1/2.24张思燕、安娜·L·马祖卡托和维克多·尼斯托尔对于第二任期的估计，我们首先注意到D（t，σ）σkL∞（一）≤ Ct，因为功能D（t，σ）tσ扩展到连续函数onI×[0,1]。因此，kD（s，σ）σBesLk≤ ksBesLk≤ 引理5.6的C，和e（t）-s） LσσD（s，σ）σ-BesL≤ 克（t）-s） LσσkD（s，σ）σ-BesL≤ C（t）-（s）-1/2.最后两个显示的等式和等式（39）结合起来，给出了该陈述的第一部分。声明中的最后一个关系直接与第一个关系相结合。结合前两个引理，我们得到以下推论。推论5.13。族G（s）：=e（t）-s） H上有界算子的LV esLconsists。此外，对于任何ξ∈ K、 G（s）ξ在s中是连续可积的∈ （0，t）我们有：ZtG（s）ξds:=中兴通讯（t）-s） LV esLξds≤ Cρνkξk+ν√TKσξk+kξk.引理5.9和推论5.13给出：etLξ- etLξ=F（0）- F（t）=中兴通讯（t）-s） LV esLξds。最终估算值为ξ∈ H（I，Lλ（R））：={ζ∈ Lλ（I×R），σζ ∈ Lλ（I×R）}。定理5.14。存在C>0这样的系数，即ketlξ- etLξk≤ Cνkξk+νkσξk,对于ξ∈ H（I，Lλ（R））和0≤ T≤ T界C依赖于T，但不依赖于ξ。证据这句话被证明是正确的∈ K.对于一般lξ，它由K的密度得出：=Hλ（I×R）在H（I，lλ（R））中的密度，以及出现在不等式左右两侧的所有算子在H（I，lλ（R））上的连续性。最后，我们观察到[9,10,12,22]中得到了类似的指令估计。这项工作的主要困难在于Lis不是一个省略器。参考文献[1]S.Agmon、A.Douglis和L.Nirenb Berg。满足一般边界条件的椭圆型偏微分方程解的边界附近估计。一、通信纯应用。数学12:623–727, 1959.[2] H.阿曼。

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