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多维Black-Scholes偏微分方程中数字符号的使用
能者818
225 5
2022-05-11
英文标题：
《The Use of Numeraires in Multi-dimensional Black-Scholes Partial
  Differential Equations》
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作者：
Hyong-chol O, Yong-hwa Ro and Ning Wan
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The change of numeraire gives very important computational simplification in option pricing. This technique reduces the number of sources of risks that need to be accounted for and so it is useful in pricing complicated derivatives that have several sources of risks. In this article, we considered the underlying mathematical theory of numeraire technique in the viewpoint of PED theory and illustrated it with five concrete pricing problems. In the viewpoint of PED theory, the numeraire technique is a method of reducing the dimension of status spaces where PDE is defined.
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中文摘要：
在期权定价中，计价单位的变化提供了非常重要的计算简化。这种技术减少了需要考虑的风险来源的数量，因此在为具有多个风险来源的复杂衍生品定价时非常有用。在这篇文章中，我们从PED理论的角度考虑了计分法的基本数学理论，并用五个具体的定价问题对其进行了说明。在PED理论的观点中，数字技术是一种降低状态空间维数的方法，其中定义了PDE。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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kedemingshi
2022-5-11 15:22:58
因此，在[1]中，他们从随机微积分的角度描述了数值变换方法的本质，并给出了5个典型例子来描述数值变换的用法和错误用法。在随机价格的两种资产中选择一种资产的期权是一个具有多个风险源的典型例子，在这类期权的定价问题中，数值的变化具有优势。使用数字变化简化期权定价的想法与著名的布莱克-斯科尔斯公式有着几乎相同的悠久历史。在布莱克-斯科尔斯公式中，我们可以把美元当作计价单位。梅尔顿[12]使用改变计分制的方法推导出随机收益率为零的欧洲期权定价公式（但他没有使用计分制这一术语）。Margrabe[11]第一个名字是numeraire。在他的论文中，Margr abe承认Steve Ro ss建议他使用资产作为计价单位。Brenner、Galai[3]和Fisher[4]使用了我们现在使用的改变计分法。Harrison和Kreps[7]使用具有严格正值的证券价格作为计价单位。他们用作计分的资产没有市场风险，而且利率为零，因此分析更容易。格曼[6]和詹姆士典[8]研究了数字技术变化的数学基础。本文可以说是[1]的PDE版。也就是说，我们的目的是从偏微分方程理论的角度来描述数字技术变化的特点。
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可人4
2022-5-11 15:23:07
事实上，对称性的性质是evide nt，对于每一个ξ=（ξ，··，ξn）⊥∈ 注册护士(⊥表示转置矩阵），ξ⊥Bnξ=nXi，j=1（a- ai0- a0j+aij）ξiξj=a-nXi=1ξi+nXi=1ai0ξi-nXj=1ξj+nXj=1a0j-nXi=1ξi！ξj+nXi，j=1aijξiξj.4o，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，Ninghua Wan，因此如果我们让η=-nXj=1ξi，ξ，···，ξn⊥∈ Rn+1，然后通过A的正性，我们得到ξ⊥Bnξ=η⊥Aη≥ 因此（10）是n维Black-Scholes方程，通过多维Black-Scholes公式，我们得到了（Z，t）=2π（T）- （t）n|det Bn|-Z∞···Z∞F（y，··，yn）y，··，ynexp-~α⊥B-1n~α2（T- （t）dy··dyn，其中z=（z，··zn）⊥, ~α=（α，··，αn）⊥αi=lnziyi-A.- 2ai0+aii（T-t） ，i=1，···，n。回到原始变量S，S，··，Sn，我们得到了（5）和（7）的解：V（S，S，··，Sn，t）=SU（Z，t）=S2π（T）-（t）n|det Bn|-×Z∞···Z∞P（1，y，··，yn）y，··，ynexp-~α⊥B-1n~α2（T- （t）dy··dyn，（11）αi=lnSiyiS-A.- 2ai0+aii（T-t） 因此，我们证明了以下定理：定理2（n+1）维问题（5）和（7）的n维表示由（11）和（12）提供。备注1无股息条件（i）和无相关性假设（4）并非仅用于简化的必要条件。3个示例3。1员工持股计划（ESOP）问题：ESO P是一种合同，其持有人有权按以下执行价格购买股票。例如，将到期日设为一年（T）。那么执行价是min（6个月后时间（T）的股票价格，一年后的股票价格（T））×85%（β）。那么ESO P的公平价格是多少？数学模型：多维Black-Schole偏微分方程中N个数值的使用5设s（t）为股票价格，t为到期日，t<t，0<β<1为贴现率，v（s，t）为员工持股计划价格。那么到期支付如下：V（S，T）=[S（T）- βmin（S（T），S（T））]+=S（T）- βmin（S（T），S（T））。
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mingdashike22
2022-5-11 15:23:10
（13） 假设：（i）在ris k中性测度下，股票价格满足sdS（t）=rS（t）dt+σS（t）dW（t）。（14） （ii）短速率r是确定性常数。事实上，这个问题本身相对简单，因此不需要改变数值，我们就可以很容易地得到解的公式。合同的风险中性价格满足标准Black-Scholes方程：五、t+σS五、S+rS五、s- rV=0。（15） 因此，E SOP的价格函数满足终值问题（15）和（13）。到期日支付额（13）改写如下：V（S，T）=（1- β） S（T）+βmax（S（T）- S（T），0）。在区间（T，T）中，价格S（T）是已知的，因此合同可以看作是由1组成的投资组合- 股票的βshares和期权的βsheets与执行价格（T）。那么时间t（t）的合同价格≤ t<t）由v（S，t）=（1）给出- β） S（t）+β[S（t）N（d）- S（T）e-r（T）-t） N（d）]，t≤ t<Td=lnS（t）S（t）+r+σ（T）- t） σ√T- t、 d=d- σpT- t、 特别是在时间t，V（S，t）=S（t）h1- β+βN（d1,0）- βe-r（T）-T） N（d2,0）i，d1,0=rσ+σpT- T、 d2,0=d1,0- σpT- 所以它在时间上的价格和确定性股票的价格是一样的，所以是在时间T（0）上的合同价格≤ t<t）由v（S，t）=S（t）h1给出- β+βN（d1,0）- βe-r（T）-T） N（d2,0）i,0≤ T≤ T、 （17）其中d1,0和d2,0是（16）中的s。使用计价单位的变化：在（13）中，S（T）被视为可交易资产的时间T-价格并不那么自然。为了克服这一困难，在[1]中，新资产定义如下：S（t）=S（t），0≤ T≤ T、 S（T）er（T）-T） ，T≤ T≤ T.6 O，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，NingNote，Sis投资组合的时间T价格，持有人在T=0时购买股票，将其保存到T=T，然后在T=T时出售，并将S（T）数量的现金存入银行。
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能者818
2022-5-11 15:23:21
在英镑定价中，定理1的使用可以将二维问题转化为一维问题，而在美元定价中，到期日支付函数不满足定理1的条件，但变量的另一种变化是有效的。美元价格Vd=V（S，X，t）是我们期权的美元价格。使用-他正在创作一本∏=V的画册- SX- X.（该投资组合包括一张期权，股票和英国英镑，其价格以美元计算。）我们选择和所以∏在（t，t+dt）中是无风险的，也就是说，d∏=rd∏dt，相当于tod∏=dV- d（SX）- dX- rpdt·X=rd（V）- SX- 十） dt。（29）多维Black-Schole偏微分方程中数值的使用9通过It^o公式，我们得到了=五、t+σSS五、S+2ρσSσXSX五、sX+σXX五、十、dt+五、十二烷基硫酸钠+五、XdX，d（SX）=SdX+XdS+σSσXSXρdt。将上述等式代入（29）我们得到五、t+σSS五、S+2ρσSσXSX五、sX+σXX五、十、dt+五、s- 十、dS+五、十、- s- dX- σSσXSXρdt- Xrpdt=rd（V- SX- 十） dt。因此，如果我们选择=十、五、s=五、十、- S=五、十、-SX五、S、 （30）然后我们有期权美元价格的PDE模型：五、t+σSS五、S+2ρσSσXSX五、sX+σXX五、十、+ （卢比- ρσSσX）S五、S+（rd）- rp）X五、十、- rdV=0，（31）V（S，X，T）=最大（S·X）- Kd，0）。（32）到期日支付函数（32）不满足同质性条件，但使用va Variablez=SX（33）的变化（33）的实质是将英镑价格改变为美元价格。）将问题（31）和（32）转化为一维问题：五、t+（σS+2ρσSσX+σX）z五、z+rdz五、Z- rdV=0，V（z，T）=最大值（z- Kd，0）。（34）这是一个普通的看涨期权（美元）问题，因此根据标准的Black-Scholeformula，我们有v（z，t）=zN（d）- Kde-rd（T）-t） N（d），d=lnzKd+rd+σS，X（T）-t） σS，X√T- t、 d=d- σS，X√T-t、 这里σS，X=σS+2ρσSσX+σX。
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何人来此
2022-5-11 15:23:27
因此，使用标准的Black-Scholes公式a并返回原始变量，我们得到Vp（S，Y，t）=SN（d）-赛伊-rd（T）-t） N（d），（45）d=lnSYY S+rd+σS，Y（T）-t） σS，Y√T-t、 d=d- σS，Y√T- t、 这里σS，Y=σS，xd定义在（35）中。备注4公式（37）和（45）与[1]中的公式相同。3.3储蓄计划提供了一个指数化实际问题的选择：以色列的一家银行有一个储蓄账户服务，该账户有利率选择项，持有人有权在Isr ael利率和美国利率中选择一个。这个储蓄合同是一个利率交换选项。例如，如果今天的储户将100 NIS（以色列货币单位）存入1年到期的NIS/USD储蓄账户，那么在1年后，银行将向储户支付以下两个值中的最大值：o100 NIS的总和及其利息（乘以以色列的通货膨胀率）。o100新谢克尔的美元价格及其美元利息之和（乘以新谢克尔/美元汇率）。这种储蓄计划是一种NIS/USD利率交换选项，它有一个NIS/USD的ris k汇率。
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