PNR的对角Hessian元() = P（C）(≤ （3.9）和（4.10）中的对角线元素形式如下：H,… ,α2.五、αE,d.（4.23）（4.26）（4.24）（4.25）（4.27）在采用衍生工具（见附录D）时，Ht，TCA可以写成：H,Q*…,H,dQ*…,H,dQ* … ,d哪里，Qθ2vα2vαMα五、α*θ,对于T1,2，…，T,H,,Mα2vα五、αMαθ五、α2vα五、αMαθ,,对于∞,∞Q五、α2vαMα2vα,对于T1,2，…，T,H,v′α2vα,MαMα,Mα五、αv′α2vαMα,,对于∞,∞Q五、α五、α五、α2vαMα2vα2vαMα五、α*θ,对于T1,2，…，T,θ五、α五、α2vα,对于T1,2，…，T.（4.28b）（4.34）（4.33）（4.32）（4.31）（4.30）（4.29）（4.28c）（4.28a）数量θ已单独定义，因为初步检查表明,是未定义的αtw，这里是θ= 0，见（4.29）、（4.30）和（4.33）。幸运的是，情况并非如此（然而，westill在代码中不能被零除）。术语h, 是不确定的(∞/∞) 当θt→0.由于分子和分母接近∞ 在相同的多项式速率下，L′H^opital’srule表明极限接近最高阶项上的系数比，这里是1，留下H, = ,.

进一步，作为θt→ 0，从（4.28[a，c]）中选择项，接近以下不确定形式（0/0），最终消失：2vαMα五、α*θ*PNRPNR.（4.28[a-c]）中的对角海森元素Ht，t，用h表示,h, 因为它们是有效的PDF（见附录E和F）。因此，Ht，tfort=1，2，…，TDI是有效成功概率的线性函数，因此它是存在的。这验证了（3.6）中莱布尼茨规则的应用。和以前一样，我们可以使用模拟或DP来估计/近似这些概率。（4.28c）中的术语[·]是PNR(), 我们假设已经计算过了，剩下两个新的滑翔成功概率来计算每个数据项，Ht，t。

使用DP时，h需要以下CDF, h,,用H（）表示,)  =  Ph1（）,≤  r） 为了,~ H(,) 和H（）,)  =  Ph2（）,≤  r） 为了,~ H(,), 分别（见附录G和H）：,P,H,H,1.1.,,Mα2vαH,1.,Mα2vαH,ΦMα五、α,式中，（4.35）（4.36）H,五、α2vα五、αMαθ,H,五、α,H,2vα五、αMαθ√,和H,2vα五、αMαθ,和,P,H,H,1.1.,,Mα2vαH,1.,Mα2vαH,1.1.,,Mα2vαH,1.,Mα2vαH,ΦMα五、α,在哪里，H,v′α2vαMα,H,3v′α,H,Mαv′α2vα√,H,2vαMαv′αH,Mαv′α五、α√2.,和H,五、α.和以前一样，数量,是当m（αt）时等于1的指示函数∞,否则为0。CDF, 和,对于PDF h(,) h(,) 将自己视为已知CDF调用的线性组合，在实践中实现起来很简单。（4.37）（4.38）（4.39）D.解的特征在第3节中，我们注意到在凸可行区域上最小化凸函数Z被认为是一个凸规划问题，在这种问题中，局部最优是全局最优。因为最小化Z相当于最大化–Z，所以在凸可行域上最大化凹函数本身就是一个凸规划问题。通过简单的转换，我们可以证明在凸可行区域上最大化对数凹函数也是一个凸规划问题（Lovász和Vempala（2006））。

这同样适用于凸可行域上的严格拟凹函数的最大化。在凸可行域上最大化一个拟凹函数几乎是一个凸规划问题，但并非完全是一个凸规划问题，但仍然具有理想的性质。这是直观的，因为准凹函数可以有零梯度的平台，但函数在之后再次增加。（3.1）中定义的问题是最大化Z=PNR() 在凸区域上，这里的目标是确定PNR() 在长度Td和退出率WR=RF（0）的退出期内，落在凹函数谱上。从那时起，提款率必须合理() → 1.0作为RF（0）→ 0.0和PNR() → 0.0作为射频（0）→ ∞.  在这些极限下，所有人都会成功或失败。最后，如果我们能证明PNR() 不总是准凹的，那么它不总是落在第二节定义的光谱上。N使用本文提出的技术找到的解可能反映了局部最优解。从（2.68）、（3.1）和（4.10）中，我们得到了：PNR√2.五、αE∑,d,对于∞,∞,MVαα1.0，t=1，2，…，TD。加德纳（2002）详细描述了普雷科帕·莱因德勒不平等的以下后果。换句话说，如果一个多变量的对数凹函数在一个开凸集上有一些积分，那么剩余变量的结果函数本身就是对数凹函数。因此，如果我们能证明（4.40）的核在两个中都是凹的和, 我们已经完成了，因为它显示在第二节。M表示是一个开（4.40）凸集。不幸的是，事实并非如此。事实上，我们可以通过反例证明，（4.40）的核对于所有合理的Td和RF（0）都不是准凹的，因此不可能是凹的。

这并不奇怪，因为log[PNR]的曲线图()] 对于选择RF（0），当TD=1时，显示其有拐点。根据（4.10）我们假设, ~ iid N（m（αt），v（αt）），因此,=五、α*zt+m（αt），其中zt~iid N（0，1），对于t=1，2，…，TD。此外，从（2.68）中得出的避免退休时财务破产的通货膨胀/费用调整收益集合可以用标准化收益表示，其中：={z，z，…，zTD:Z采埃孚T1.}与ZF合作T1.射频T1.Mα五、α还有，RFT射频T1.五、α*ZMα射频T1.,对于t=1，2，…，TD。根据这个公式，（4.40）可以表示为：PNR√2.E∑D.（4.44）中的核现在是对数凹的，因为zt/2是凸的，因此-zt/2是凹的，而对数凹函数的乘积是对数凹的（Boyd和Vandenberghe（2004））。然而，集合不是凸的，因此这种重新表述无助于我们应用普雷科帕定理，但它将允许取得足够的进展。PNR函数() 从（4.44）开始，从TD=1开始逐案分析增加退休期限长度。还没做完，但差不多了。对于某些提取率WR=RF（0）和水平长度TD，函数可以是对数凹的，但峰值在我们的可行区域之外。在这种情况下，我们使用梯度上升法或牛顿法沿边界运行。在边界处，坡度将继续指向最陡的上升方向，但约束条件禁止我们沿着特定维度向该方向攀爬。（见第IV.E.8节）（4.41）（4.42）（4.43）（4.44）案例1:TD=1对于单期退休，如果z>ZF（0），则可以避免财务破产，概率为PNRα√2.Edz.证明PNR（α) 证明ZF（0）在α中是严格拟凸的.

这是因为我们在计算α函数右边的概率。如果在两个α的任何凸组合处计算的该函数不是最大值，则相应的概率不能是最小值。设α和α是MV（α）和1.0之间的两个权益比率，并设αc1反映凸组合λα+（1-λ）α0≤ λ ≤ 1.此外，让ZF（0）、ZF（0）和ZFc（0）分别为标准化提款率。根据定义，如果ZFc（0）<Max{ZF（0），ZF（0）} α、 α，λ和RF（0）。只有当某些RF（0）>0时，ZF（0）的局部最大值在MV（α）和1.0之间时，才能违反该条件。各种RF（0）=WRI的ZF（0）曲线图如下图3所示。ZF（0）的局部最优将出现在一阶导数等于零的临界点上，为了证明我们的猜想，我们必须证明这些点总是反映MV（α）和1.0之间的局部极小值。ZF（0）对α的一阶导数由下式给出：α采埃孚0Mα射频五、α五、αMα五、α,当：Mα射频五、α2vαMα0.使用（4.3），（4.4），（4.6）和（4.7）中导出的表达式，求解α的该方程，使以下单临界点α*：α*μμσ1.μ射频01.Eσ,σ1.μ射频01.Eσσ2σ,μμσ,σ.（4.45）（4.46）（4.47）（4.48）图3单期退休期的标准化提款率该图描述了各种初始提款率RF（0）（=WR）在t=1时，标准化提款率ZF（0）作为权益比率α的函数。通过证明ZF（0）是严格拟凸的，我们证明了对于单周期退休，PNR（α）是严格拟凹的。大点代表局部极小值，重要的是，在MV（α）和1.0之间没有局部极大值。

由于不存在局部极大值ZFc（0）<Max{ZF（0），ZF（0）}和ZF（0）对于单周期退休（TD=1）作为α的函数是严格拟凸的。临界点α*由图3中的大圆点表示。zf（0）对α的第二竞争性由以下公式给出：α采埃孚0Mα射频0五、α五、α五、α2米α五、α五、α五、α,,当在MV（α）和1.0（数值确认）之间的α*处进行计算时，其始终大于0。因此，在MV（α）和1.0之间的ZF（0）的所有局部最优值都是极小值，并且ZF（0）是严格拟凸的，使得PNR（α) 严格准凹。因此，对于单个周期，任何局部最优下滑道也是全局最优的。案例2:TD=2对于两期退休，如果（z>ZF（0），可以避免财务破产∩ z> ZF（1）），其具有概率：PNR√2.E∑dzdz.这个概率落在凹函数谱上，如果它至少是准凹的.  情况如下图4所示。对于合理的TDR和RF（0），PNR() ≥ Min{PNR(),PNR()}, 0≤ λ ≤ 1必须在以下地点举行：αα,αα,ααλα1.λαλα1.λα.（4.50）（4.49）（4.51）图4两个时期的滑行道比较该图以图形方式描绘了两个滑行道的（4.50）, 以及给定的凸组合.  当（z，z）落在每条曲线的上方和右侧时，可以避免出现这种情况，这反映了方程z=ZFi（1），对于i=1,2，c。相应的概率是每条曲线上方和右侧的节理密度的体积。体积最大的曲线代表避免破产概率最大的滑道。

圆圈代表5个标准偏差的密度等值线，超过99.99%的总概率包含在最大圆圈周围的轻描淡写方框内。在比较滑道时，只需关注曲线之间的区域即可。如图所示，我们可以通过构造一个窄矩形网格来近似该区域的体积。然后，我们制定了一个确定性NLP，目标是, 和这样PNR()  <Min{PNR(), PNR()}.  形式目标是最小化Z=PNR() - PNR() 以PNR为准() - PNR() > 解决方案Z<0将驳斥PNR的说法() 是准凹的。黑点表示交叉点，当只比较两条滑道时，可能有零个、一个或两个交叉点。如前所述，蓝色圆点表明集合不是凸的。也就是说，存在标准化收益（z，z）和（z，z），这两种收益在下滑道中是成功的和,分别，但凸组合（zc1，zc2）无法用于下滑道.我们的目标是简洁地表达滑翔道成功概率的差异，然后以最小化Z=PNR为目标制定确定性NLP() - PNR() 主题主题() - PNR() > 0.Z<0的解决方案使PNR的说法无效() 是准凹的，因为它意味着使用凸组合下滑道避免退休时破产的概率比两者的概率都低或.  这意味着，作为一个表面，PNR具有倾斜或低谷，因此不能是单峰的。下面是PNR的简洁表达式() - PNR() 通常适用于TD=2时任意两条滑道之间的概率差。

将函数Fi（z）定义为：FZ1.对于Z采埃孚Φ采埃孚对于Z采埃孚,回顾ZFi（1）=,其中RFi（1）=*是z的函数。对于任意两个滑道和,PNR() - PNR() 由以下公式得出：PPφZφZdzdzφZφZdzdzφZFZFZ,dz  φZFZFZ,,dz  φZFZFZ,dzφZFZFZdzEFZFZ.（4.54a）（4.54b）（4.54c）（4.53）（4.52）（4.55）（4.56）为了证明这一发展，将z轴分为以下三部分：（a）z≤  Min{ZF（0），ZF（0）}，（b）Min{ZF（0），ZF（0）}<z<Max{ZF（0），ZF（0）}，和（c）z≥ Max{ZF（0），ZF（0）}。在第（a）节中，没有利息卷和F卷ZFZ= 根据需要为0（4.54a）。截面（c）反映（4.54c）并包含两条曲线。外积分是关于z或z的∈[Max{ZF（0），ZF（0）}，∞ 内部积分的形式如下： φZdzφZdz1.Φ采埃孚1.Φ采埃孚Φ采埃孚Φ采埃孚FZFZ.最后，截面（b）反映了（4.54b），并且只包含一条曲线。如果曲线是滑翔道然后FZ（4.53）中的额外项位于负号的左侧。外整体与z或z有关∈ （ZF（0），ZF（0））内积分的形式为： φZdz1.Φ采埃孚FZFZ.相反，如果曲线是滑翔道然后FZ（4.53）中的额外项位于负号的右侧。

外积分是关于z或z的∈ （ZF（0），ZF（0））内积分的形式为：φZdz1.Φ采埃孚Φ采埃孚1.FZFZ.预期价值FZFZ关于ZC，可以使用图4所示的网格技术进行近似计算。如果在固定点ZL<0和ZU>0之间绘制k个矩形，则矩形宽度为w=以及：EFZFZP*FZ*FZ*式中，Pr=P[ZL+（r-1）w<z<ZL+（r）w]是Zfall在矩形和z中的概率*（4.57）（4.58）（4.59）（4.60）（4.61）是每个矩形的中点，即z*=  ZL+（r-1）w+, 对于r=1，2，…，k，用矢量表示法，我们可以定义和:作为：ΦZWΦZ0WΦZWΦZ1.WΦZKWΦZK1.W,和:FZ*FZ*FZ*FZ*Fz1k*Fz1k*.然后EFZFZT*1:2.注意是一个常数概率向量，一旦网格被打开，它就不会改变，应该先构造它。下面的确定性NLP可以在任何非线性解算器中公式化，例如，我们使用Excel:最小化：ZT*C:2主题致：T*1:C0表示：MV（α）<αij≤ 1.0，i=1,2和j=1,2αcj=λα1j+（1-λ）α2j，j=1,2RF（0）>0,0≤ λ ≤ 1任何解决方案Z<0都会使PNR的说法无效从（4.40）来看，它是准凹的。此类具有合理WR=RF（0）的解决方案确实存在，附录I中详细介绍了一个具体示例。因此，避免退休破产的概率不一定是单峰的，它是下滑路径的函数。因此，（3.1）中的优化问题不一定是凸的，我们不能保证局部最优总是全局最优。（4.66）（4.65）（4.62）（4.63）（4.64）（4.67a）（4.67b）（4.67c）E。

附录J中包含了本研究中提出的优化技术的完整C++实现。执行优化的方法有四种：（1）使用DP的牛顿法，（2）使用模拟的牛顿法，（3）使用DP的梯度上升，（4）使用模拟的梯度上升。参见第二节。我和我。J了解有关这两种优化方法的更多详细信息，以及第二节。D了解两种估算方法的详细信息。方法（1）通常收敛最快，并产生最准确的估计，但在沿边界区域操作时定义不明确。它反映了本节中介绍的所有场景所使用的方法，场景8使用方法（3）除外。附录中提供了更多详细信息。在本节中，我们将分析下表1所述的8种不同场景。表1固定TD滑翔道优化场景使用的假设本表定义了本节所述8种场景中每种场景的假设。历史回报来自纽约大学教授阿斯瓦特·达莫达兰（Aswath Damodaran）1928-2013年股票（标准普尔500）和债券（10年期国库）总回报的网站，见Rook（2014）。历史实际回报的参数为：us=0.0825，ub=0.0214，σs=0.0403，σb=0.0070，σ（s，b）=0.0007。通货膨胀调整是使用联邦储备银行明尼阿波利斯银行网站检索到的CPI-U数据进行的。Evensky假设反映了较低的回报，是从Pfau和Kitches（2014）的情景A中提取的，他们从2013年版的theMoneyGuidePro中检索到了这些假设TM 软件包。（注：他们假设对数正态回报，我们假设正常。）这些实际收益的参数为：us=0.0550，ub=0.0175，σs=0.0428，σb=0.0042，σ（s，b）= 0.0040.

该程序要求用户指定一个起点，每个场景将从以下5个常规滑道开始:（1） 上升，（2）下降，（3）恒定，（4）随机#1，和（5）随机#2。然后，每个场景都会报告程序收敛到的最佳路径。不同的解表明存在多个局部最优解。情景#实际回报率假设累退长度（TD）取款率（WR=RF（0））费用率（ER）1历史30年4.0%0.0%2历史30年4.0%1.0%3伊万斯基30年4.0%0.0%4伊万斯基30年4.0%1.0%5历史30年5.0%0.0%6历史30年5.0%1.0%7伊万斯基30年5.0%0%8伊万斯基30年5.0%1.0%8种情景中的5种起始滑道均未使用根据场景进行更改，如图5所示。图5所有8种优化场景的启动滑道该图描述了上面表1中描述的8种场景中每种场景的启动滑道。上升趋势始于30.5%的股票，每年增长1%。下滑路径从59.5%的股票开始，每年下降1%。恒定下滑道固定在45%的股票上，最后两个起始下滑道是完全随机的，但生成的，因此它们大于两组收益假设的MV（α）。

注：我们从不同的滑道开始这个过程，试图找到不同的局部最优解（即结束滑道）。RisingGP0.3050.3150.3250.3350.3450.3550.3650.3750.3850.3950.4050.4150.4250.4350.4450.4550.4650.4750.4850.4950.5050.5150.5250.5350.5450.5550.5650.5750.5850.595,下降GP0.5950.5850.5750.5650.5550.5450.5350.5250.5150.5050.4950.4850.4750.4650.4550.4450.4350.4250.4150.4050.3950.3850.3750.3650.3550.3450.3350.3250.3150.305,康斯坦丁格尔0.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.450,随机的#1GP0.6360.2140.1930.6370.6260.5970.9430.8770.2540.8230.9030.2940.4440.5130.5290.1600.5640.2930.6980.2280.3110.7760.6890.7640.5960.7930.9110.6240.7090.205,随机的#2GP0.8130.8860.2270.6840.3280.3790.4840.1450.7630.2840.6900.4760.8760.6490.1470.6430.5210.6620.1610.8640.8670.3320.2810.2240.4710.7770.9220.8800.2950.860E.1情景#1：历史真实回报率，TD=30年，WR=4%，ER=0.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#1中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。

（参见下面的图6.1。）最佳下滑道正在上升，看起来略微凸出，但几乎呈线性。t=1时的第一次股权比率约为36.85%，t=30时的最后一次股权比率约为77.66%。使用该滑道的成功率约为91.97%。E.2情景#2：历史真实回报率，TD=30年，WR=4%，ER=1.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#2避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下图6.2。）最优滑道是上升的，开始是线性的，然后变成凹形。t=1时的第一个权益比率约为48.16%，t=30时的最后一个权益比率为79.03%。使用该滑道的成功率约为83.82%。E.3情景#3:Evensky实际回报率，TD=30年，WR=4%，ER=0.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#3中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图6.3。）最优滑道是上升的，开始是线性的，然后变成凹形。t=1时的第一个权益比率约为28.12%，t=30时的最后一个权益比率为48.10%。

使用该滑道的成功率约为74.80%。E.4情景#4:Evensky实际回报率，TD=30年，WR=4%，ER=1.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景4中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图6.4。）最佳滑道在前9年左右上升，然后下降。t=1时的第一个权益比率约为57.06%，t=30时的最后一个权益比率约为49。15%.  使用该滑道的成功率约为59.99%。E.5情景#5：历史真实回报率，TD=30年，WR=5%，ER=0.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#5中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图6.5。）最佳下滑路径迅速上升，然后在退休期间开始缓慢下降。t=1时的首次股权比率约为56.55%，t=30时的最后一次股权比率约为79.7%。

成功率约为77.52%。E.6情景#6：历史真实回报率，TD=30年，WR=5%，ER=1.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#6中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图6.6。）最佳下滑路径在11年前迅速上升，然后下降。t=1时的第一个权益比率约为78.14%，t=30时的最后一个权益比率约为80%。35%.  成功率约为67.93%。E.7情景#7:Evensky实际回报率，TD=30年，WR=5%，ER=0.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是场景#7中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图6.7。）最佳下滑路径在前4年迅速上升，然后在退休后下降。t=1时的第一次股权比率约为82.35%，t=30时的最后一次股权比率约为49.23%。成功率约为52.80%。E.8情景#8:Evensky真实回报率，TD=30年，WR=5%，ER=1.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#8中避免财务破产的相应概率。

我们使用DP来估计进行优化的概率和梯度。图5中的所有起始滑道在ε=（0.13）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中黑森是负定的，因此是凹的。这种情况下的最佳情况存在于函数的凹边界区域。（参见下面的图6.8。）最佳下滑路径最初为100%股票不变，然后在退休后的剩余时间下降。t=1时的第一次股权比率为100%，t=30时的最后一次股权比率约为49.61%。成功率约为43.23%。V.最终提款的随机时间一般来说，最后一次提款发生在时间t=TD，在上述示例中，时间t=30（年）。第一股权比率α, 在时间t=0和相应的第一次返回时设置，,, 在时间t=1时服务。当TD=30时，最后的权益比率α, 在时间t=29和相应的最后一次返回时应用,, 在时间t=30时观察到。当TDis随机时，最后一次退出是基于寿命和TD=0,1,2，…，SMax，其中SMaxis是基于退休人员当前年龄的最大可能TDE值。设P（TD=t）=pt，对于t=0，1，2，…，SMax。这里是滑翔道包含SMaxequity比率，每个可能的时间点t>0对应一个。Nowithdrawal是在t=0时尝试的，TD=0表示死亡发生在第一次尝试退出之前。让P表示当TDI为随机时，退休时避免破产的概率，并让PNR,T如（3.1）所定义。

然后：PPT0∩破坏0∪T1.∩破坏1.∪…∪Ts∩破坏s由于这些事件是相互排斥的，因此可以添加它们的概率：→PPTT∩破坏TPTT*P破坏T|TTP*PNR,TPP*PNR,T.要针对滑翔道优化此功能，, 使用本文提出的技术需要SMax元素梯度向量，,  和（SMax）x（SMax）Hessian矩阵，, 对于（5.1）（5.2）（5.5）（5.3）（5.4）功能P.  由于和的导数等于导数的和，所以TTHGradienteElement，g, 属于= G,G,…,G由：g给出αPP*αPNR,KP*G|TK,g在哪里|Tk如（3.4）中对t的定义≤ k、 0，这里是O.W.，g定义为t=1，2，…，SMax。非对角元素H,, 对应的Hessian矩阵，, 由以下公式给出：H,ααPP*ααPNR,KP*H,|TK,H在哪里,|Tk如（3.5）中对i的定义 J∈ {1，2，…，k}，这里是0，O.W.，H,是为我定义的j=1，2，…，SMax。对角线元素H,, 关于黑森矩阵，, 是：H,αPP*αPNR,KP*H,|TK,H在哪里,|Tk如（3.6）中对t的定义≤ k、 t=1，2，…，SMax。因此，对于随机最终退出时间（TD），在退出时寻找最优静态下滑路径的问题是可以解决的。本节给出的结果可能适用于个人或群体的死亡率。表2用于随机TD滑翔道优化场景的假设本表定义了本节中介绍的两种随机TD场景的假设。

结果适用于年龄为65岁的男性/女性夫妇，反映时间t=0。相应的概率是使用SSA的生命表得出的。gov和男性/女性的最高年龄分别为111岁和113岁。因此，该下滑道需要48个股权比率，每个可能的时间点一个，图5中用于场景1-8的初始下滑道不适用。历史收益和Evensky收益完全如表1所示。每种情况都将从不同形状的不同滑道开始，以确定是否存在局部最优。这两种情况可以直接与第四节E中的情况#1和#4进行比较，这两种情况是固定的TD=30年对应情况。情景#（比较与）实际回报率（SMax）提款率（WR=RF（0））支出率（ER）9（与1）历史48年4.0%0.0%10（与4）Evensky 48年4.0%1.0%（5.6）（5.7）（5.8）A.1情景#9：历史实际回报率，SMax=48年，WR=4%，ER=0.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#9中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。所有测试的起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中黑森是负定的，因此是凹的。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下图7.1。）最佳下滑道上升，然后在大约（年）时间t=30时趋于平稳。t=1时的第一个权益比率约为34.19%，t=48时的最后一个权益比率约为79。77%.

使用该滑道的成功率约为96.06%。A.2情景#10:Evensky实际回报率，SMax=48年，WR=4%，ER=1.0%是最佳静态滑翔道，PNR 为情景#10避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。所有测试的起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森线是负有限的，因此是凹的。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图7.2。）最佳下滑路径上升，然后开始以较慢的速度下降，大约在退休后的一半。t=1时的第一次股权比率约为31.37%，t=48时的最后一次股权比率约为49.72%。成功率约为77.87%。六、 总结/结论和未来研究随着市场收益的消耗，动态下滑道会随着时间而变化，而静态下滑道是在某个起点预先确定的。一般来说，静态下滑路径是次优策略，因为它们对退休人员施加了人为约束（Rook（2014））。然而，它们更容易实现和理解。静态下滑路径也构成了大多数T-D基金的基础，因此从业人员和退休研究人员感兴趣。我们引入了一种技术来推导退役时的最佳静态滑翔轨迹。由于投资组合的成功概率并非总是作为权益比率的函数呈拟凹，因此该过程可能会找到局部最优。在实践中，我们没有遇到典型退休期限和初始提款率的局部最优值。

如果用户在其特定场景中发现多个局部最优，则可以使用ametaheuristic来指导程序走向全局最优（见第II.I节）。我们研究了10种场景，对提款率、基础资产类别回报、费用比率以及最终提款的固定与随机时间进行了不同的假设。我们发现，最优静态下滑道随着这些参数的变化而变化，这并不奇怪。我们还发现，投资组合回报的顺序会以不同的方式影响最优解。当所使用的策略具有较高的成功概率时，SOR就会成为一种风险，并在最优解决方案中随着下滑路径的上升而减轻（参见场景1）。当战略成功的概率较低时，SOR将成为一种潜在的回报，并在最佳解决方案中被视为退休早期的重大股权投资（见情景8）。因此，下滑路径下降的T-D基金偏向于SOR回报，而以SOR风险为代价。这种方法与退出率高、费用高、成功概率低的策略是一致的。一个昂贵的T-D基金缺乏对退休人员退出率的了解，这可能是下滑趋势下降的理由，也许是因为错误的原因。与Young（2004年）、Moore和Young（2006年）、Bayraktar和Young（2007年）以及Rook（2014年）的研究结果一致，我们在这项研究中发现，当使用静态滑道最小化破产概率时，最优股权比在时间上不是常数。这与许多最大化预期效用的生命周期模型相冲突。这项研究的结果与现有关于静态滑翔道的文献有所不同。

最佳滑道的形状是基于潜在的假设而变化的，这使得人们很难主张一个滑道而不是另一个滑道。由于对未来收益的参数缺乏共识，每个用户都只能选择基于他们假设的最佳路径。此外，这些结果与第一节中回顾的许多发现没有直接可比性。例如，以预期效用为目标，通过回溯测试或自举历史数据构建的模型，或具有序列相关资产类别回报的模型，自然会与本文给出的结果不同。关于这一主题的未来研究将有两个方向。首先，我们将介绍扩展本文和Rook（2014）中开发的模型的技术。我们还将研究使用这些方法可以解决的退休人数减少问题的一般类别。其次，我们将尝试开发优化从业者退休启发的新模型。感谢：我非常感谢我过去和现在的导师，他们无私地分享了他们的知识。特别是欧文·古特曼博士，他是我在布法罗大学学习统计学时的研究生导师和论文顾问，以及吉列尔莫·加列戈博士，他是我在哥伦比亚大学学习统计学和收入管理课程时的研究生导师。从中我学到了很多，事实上，最小化退休破产概率的工具不过是应用于退休递减的动态定价模型。感兴趣的读者可以在Talluri和van Ryzin的收入管理理论和实践中找到所有细节。或者，他们可以与Gallego博士一起上课，学习如何构建、分解、编码和分析多个此类模型的时间复杂性。我还要感谢。

史蒂文斯研究所的米切尔·科尔曼（MitchellKerman），我目前正在与他合作一个相关的研究项目，可以用来扩展这些模型。请注意，本研究和过去研究中的所有错误和错误都是我自己的错误，反映出我未能正确应用所学知识。例如，商业航空公司为其航班建立了一个网格，垂直轴上有起飞时间，水平轴上有剩余运力。在网格中的每个单元，选择票价以在随机需求函数下最大化预期收入。随着时间的临近，价格面临下行压力，随着产能的减少，价格面临上行压力。退休时，我们绘制的网格完全相同，但纵轴上有死亡时间，横轴上有资金状况。在网格中的每个单元，选择权益比率以最小化随机回报函数下的破产概率。随着时间临近死亡，权益比率面临下行压力，随着经济状况恶化，权益比率面临上行压力。这两个模型都是先向后求解，然后向前推进的。霍华德·安东，1988，《解析几何微积分第三版》（纽约州纽约市约翰·威利父子出版社）。Bayraktar、Erhan和Virginia R.Young，2007，《最小化破产概率和停止与控制的游戏》，工作论文系列<http://arxiv.org/abs/0704.2244>[q-fin.MF]。贝拉克塔尔、埃尔汉和弗吉尼亚R。

杨，2015年，最佳投资以实现遗赠目标，工作论文系列<http://arxiv.org/abs/1503.00961>[q-fin.MF]。William P.Bengen，1994，《利用历史数据确定提款率》，金融规划杂志7（4），171-180。威廉·J·伯恩斯坦，《如何思考退休风险——防范最大风险的最佳方式：资金耗尽》，《华尔街日报》，2014年11月30日<http://www.wsj.com/articles/how-to-think-about-risk-in-retirement-1417408070>David M.Blanchett，2007，《分销组合的动态分配策略：确定最优分销下滑路径》，金融规划杂志20（12），68-81。布兰切特，大卫·M.，2015，重新审视最优分配下滑路径，金融规划杂志28（2），52-61。Blanchett，David M.和Larry R.Frank，2009，《分配规划和监控的动态适应性方法》，财务规划杂志22（4），52-66。Boyd，Stephen和Lieven Vandenberghe，2004，凸优化（剑桥大学出版社，纽约州纽约）。乔治·卡塞拉和罗杰·L·伯杰，1990年，统计推断（沃兹沃斯&布鲁克斯/科尔统计/概率序列，加利福尼亚州太平洋格罗夫）。科恩、乔希、格兰特·加德纳和袁安凡，2010，日期辩论：目标日期基金下滑路径应该“到”还是“通过”退休？（罗素研究，罗素投资，华盛顿州西雅图），工作论文系列。Cooley，Philip L.，Carl M.Hubbard和Daniel T.Walz，1998，《退休储蓄：选择可持续的提取率》，美国个人投资者协会期刊10（3），16-21。Damodaran，Aswath，历史股票和债券收益的金融数据库（纽约大学，纽约）<http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/>。泰德·达夫曼和马修·奥哈拉，2015年，重新审视“对vs。

通过“：新研究告诉我们的关于一场古老辩论的内容，《退休杂志》2（4），30-37页。卢克·F·德洛姆，2015年，《确认上升股票下滑路径的价值：来自自闭模型的证据》，金融规划杂志28（5），46-52。埃斯特拉达，哈维尔，2015，《退休滑翔道：国际视角》，工作文件系列<http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2557256>Fan，Yuan A.，Steve Murray和Sam Pittman，2013，优化退休收入：基于资产和负债的自适应方法，退休杂志1（1），124-135。法兰德斯，哈雷，1973，《积分符号下的微分》，《美国数学月刊》80（6），615-627。Frank，Larry R.，John B.Mitchell和David M.Blanchett，2011，基于失败概率的决策规则管理退休序列风险，财务规划杂志24（11），44-53。Richard K.Fullmer，2014，《对近期目标日期研究的反思》（T.Rowe Price AssetAllocation Insights报告），工作论文系列。加德纳，R.，J.，2002年，《布伦-明考斯基不等式》，美国数学社会公报39（3），355-405。Jonathan T.Guyton，2004，《退休人员的决策规则和投资组合管理：“安全”的初始提款率是否太安全？财务规划杂志17（10），54-62。希利尔、弗雷德里克·S.和杰拉尔德·J·利伯曼，2010年，《运筹学第九版导论》（纽约州麦格劳·希尔）。黄华雄，莫舍A.米列夫斯基和托马斯S.索尔兹伯里，2012，具有随机死亡力的最优退休消费，保险：数学和经济学51（2），282-291。Irlam、Gordon和Joseph Tomlinson，2014，《退休收入研究：我们能从经济学中学到什么？退休杂志1（4），118-128。詹森、保罗A和乔纳森F。

巴德，2003，《运筹学——模型和方法》（约翰威利父子公司，新泽西州霍博肯）。Johnson，Norman L.，Samuel Kotz和N.Balakrishnan，1994，连续单变量分布第1卷第2版（纽约州纽约市John Wiley&Sons公司）。Kall、Peter和Janos Mayer，2010，《随机线性规划——模型、理论和计算第二版》（斯普林格国际运筹学和管理科学系列，纽约州纽约）。Lovász，László和Santosh Vempala，2006，《对数凹函数的快速算法：采样、舍入、积分和优化》，第47届IEEEL计算机科学基础研讨会论文集，第57-68页。哈利·马科维茨，1952年，投资组合选择，金融杂志7（1），77-91。罗伯特·C·默顿，1969，《不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例》，经济学与统计学评论51（3），247-257。Milevsky，Moshe A.和Anna Abaimova，2006年，《退休废墟与回归顺序》，国际金融机构中心<http://www.ifid.ca/pdf_newsletters/pfa_2006feb_sequencing.pdf>Milevsky，Moshe A.和Huahaong Huang，2010，《在火神星球上度过退休生活：长寿风险规避对最优提款率的影响》，金融分析师期刊67（2），45-58。Moore，Kristen S.和Virginia R.Young，2006，《退休时财务破产概率最小化的最优、简单、近似最优规则》，北美精算杂志10（4），145-161。普福、韦德·D和迈克尔·E。

Kitches，2014，《通过提高权益来降低退休风险》，金融规划杂志27（1），38-45。Rook，Christopher J.，2014，《最小化退休破产概率》，工作文件系列<http://arxiv.org/abs/1501.00419>[q-fin.GN]。Ross，Sheldon M.，2009，《工程师和科学家概率统计导论》（纽约州爱思唯尔）。Samuelson，Paul A.，1969，《动态随机规划下的终身投资组合选择》，《经济学与统计学评论》51（3），239-246。Sigman，Karl，2005，投资组合均值和方差，IEOR 4700课程笔记（哥伦比亚大学）<http://www.columbia.edu/~ks20/FE Notes/4700-07-Notes-portfolio-I.pdf>。Stout，R.Gene和John B.Mitchell，2006，《动态退休退出计划》，金融服务评论15（2），117-131。明尼阿波利斯联邦储备银行，1913年至今的CPI-U数据<http://www.minneapolisfed.org/community_education/teacher/calc/hist1913.cfm>W.Van Harlow，2011，《退休时的最佳资产配置：下行风险视角》（普特南研究所，普特南投资有限责任公司，马萨诸塞州波士顿），工作文件系列。冯·诺依曼，约翰，1951年，《与随机数字有关的各种技术》，NBSAPPED数学系列，第12卷，pp。

36-38.冯·诺依曼、约翰和奥斯卡·摩根斯坦，1947年，《博弈论与经济行为定义》（普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿）。韦尔塞马，乌博·F.，2008，《布朗运动演算》（约翰·威利父子公司，新泽西州霍博肯）。Yang，Janet和Laura Pavlenko Lutton，2014，2014年目标日期系列研究论文，晨星公司<http://corporate.morningstar.com/us/documents/MethodologyDocuments/MethodologyPapers/2014-Target-Date-Series-Research-Paper.pdf>杨，弗吉尼亚R.，2004，最小化终身破产概率的最优投资策略，北美精算杂志8（4），106-126。2015年6月27日(c)退休时的最优股票下滑路径Christopher J.ROOKINTERNET附录*此随附文档包括完整C++应用程序的衍生、证明和源代码。本互联网附录的所有参考资料可在主要论文的参考资料部分找到。内容表附录A.梯度的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1.附录B.证明g（·）是有效PDF的证据。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.附录C.G（·）的CDF G（·）的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4.附录D.Hessian对角线元素的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5.附录E.h（·）是有效PDF的证明。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8.附录F.h（·）是有效PDF的证明。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9附录G.H（·）的CDF H（·）的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11附录H。

H（·）的CDF H（·）的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13附录I.TD=2时的准凹反例。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15附录J.完整的C++实现。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17附录A.梯度的推导对于PNR() = P（C）(≤ TD））梯度向量的每个元素=  （g，g，…，gTD）′要求评估以下衍生工具：α2.五、αE,,通过反复应用产品和链规则（Anton（1988）），可以得出：√2.五、αE,,Mαm′α五、α,Mαv′α2vαv′α五、αE,2.五、αE,v′α,Mα2vαm′α,Mα五、αv′α2vα.在因子分解后，添加完成（）平方所需的项,- m（αt））在[·]内，并使用f（）,) 代表其PDF（A.3）收益率：v′α,2vα,Mα2vαm′α,Mαv′α五、αm′αv′α五、α五、αm′αv′αv′α,2vα,Mα五、αm′αv′α五、α五、αm′αv′α现在，我们通过将{·}中最右边的项[·]从整个表达式中分解并简化结果，来创建两个有效PDF的差：五、α五、αm′αv′αv′α,2vα,Mα五、αm′αv′α五、α五、αm′αv′α1.（A.1）（A.6）（A.5）（A.4）（A.3）（A.2）v′α2vαm′α2v′型αv′α,Mαm′α五、αm′α五、α五、αv′α,,= K*G,,,其中f（）,), K、 和g（）,) 分别如（4.10）、（4.13）和（4.14）所定义。

最后一步是将（4.11）中的（A.1）替换为（A.8）中刚推导出的术语，得到（4.12），这一步很简单，也没有显示出来。（4.12）中的数量被认为是2个成功概率的差值，因此可以估计/近似到任何所需的准确度。（A.7）（A.8）附录B.证明,有效的PDFA有效的PDF是任何函数w（x）≥ 0代表∞ < x<∞ 哪里1（Casella和Berger（1990））。考虑函数g（）,), 地点：g,五、α,Mαm′α五、αm′α五、α五、αv′α,, 对于∞,∞.显然是g（）,)  ≥ 全部为0,因为比率的分子总是≥ 0，则去离子器为≥ 如果v（αt）>0，则为0。根据定义，v（αt）代表RV的方差,~ f（·）来自（4.6），它是非退化的。最后，f（·）≥ 0，因为它是有效的PDF。第二个条件要求g（）,) 在所有实数上集成到1.0，并且：五、α,Mαm′α五、αm′α五、α五、αv′α,,Mα五、α五、α五、α五、α,Mα,,2vαMα五、α,Mα,,m′α五、α,,,根据第二节（2.67）的规定。五十、 收益率：Mα五、α五、α五、α五、α五、α0m′α五、α1..自g（）,) 如果它是有效的PDF，则满足这两个条件。（B.1）（B.2）（B.3）（B.4）（B.5）附录C。