识别非平稳微观结构噪声和噪声的无模型方法

2022-5-11 18:14:01

电子邮件：yrchen@uchicago.edu.Per A.Mykland是芝加哥大学统计系罗伯特·M·哈钦斯杰出服务教授。电子邮件：mykland@pascal.uchicago.edu.1介绍将高科技交易机制引入市场，例如电子通信网络（ECN）和其他电子交易平台，为投机者和做市商提供了利用交易和做市速度的机会，这种技术创新也带来了新的监管挑战。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:04

随后的高频交易产生了大量的高频交易和报价数据，这尤其为理论和经验类定价的研究打开了两扇潜在的大门：一是使用高频数据的估计方法，因为实践者和研究人员可以访问大数据，并以更高的精度估计感兴趣的变量；另一种是对市场微观结构的“蛙眼观点”，因为低延迟数据提供了一个宝贵的机会，可以以比以往更高的分辨率调查交易行为。相应地，本文对文献的贡献有两个方面：一是微观结构噪声的平稳性检验，我们研究了使用含非平稳噪声的高频数据时的估计问题，然后通过几种互补的无模型方法检验微观结构噪声的非平稳性；ii）另一个是关于实证市场微观结构，由于微观结构噪声可以捕获有关市场质量和流动性的一些信息，我们估计噪声水平，作为衡量时变买卖价差、市场参与者的风险规避等的指标，并检测短期流动性变化。1.1文献综述高频金融实践推动了两项截然不同且密切相关的研究：一项是金融计量经济学中更准确的估计，仅举几例，但并非全部，即综合波动率、二次协方差、跳跃活动、杠杆效应、波动率波动率、超前滞后效应的估计。这一系列研究始于Jacod[1994]、Jacod and Protter[1998]和Foster and Nelson[1996]、Engle[2000]、Zhang[2001]、Andersen等人[2001]、Barndor ff-Nielsen和Shephard[2002]在计量经济学背景下的随机演算。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:11

现在，高频金融计量经济学已经发展成为一个相当广泛的研究领域，有许多著名学者，并且已经有关于这一领域的专著：Jacod和Shiryaev[2003]，Jacod和Protter[2012]开发了用于高频金融数据分析的概率工具，Ait-Sahalia和Jacod[2014]对计量经济学进行了极好的概述，Hautsch[2012]从财务角度给出了很好的解释。还有一些学术章节简要回顾了高频金融计量经济学：Russell and Engle[2010]，Mykland and Zhang[2012]，Jacod[2012]。二是市场微观结构研究。低延迟数据使金融从业者和研究人员能够以更高的分辨率查看金融市场，例如，人们可以在每秒钟内了解买卖动态，也可以通过限价订单簿了解订单流量。市场微观结构理论通过详细研究特定的市场结构，研究市场参与者的潜在需求和潜在供给如何最终转化为价格。基石论文包括Deglosten和Milgrom[1985]，Kyle[1985]，他们都在信息经济学中使用（pesudo）博弈论论证。更全面的书籍包括奥哈拉[1995]，哈斯布鲁克[2007]。然而，当仔细观察交易或报价时，人们会发现价格不再是It^o半鞅，甚至不是随机游走。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:14

因此，根据市场微观结构理论[O\'Hara，2003]，半鞅模型包括资产定价理论[Harrison and Pliska，1981，Delbaen and Schachermayer，1994]，它不是金融资产真实价格的摄影描述，但在采样频率相对较低时，它仍然是资产价格的一个相当好的近似值，这就是为什么文献建议使用最多5分钟的二次抽样。利用有噪声的高频金融数据对综合波动率的一些估计方法已经很成熟：i）Zhang等人[2005]发现，在存在i.i.d.市场微观结构噪声的情况下，第一个一致的估计量（两个时间尺度的已实现波动率）使用二次抽样和平均，Zhang[2006]给出了一个具有最佳收敛速度n的多尺度版本，Li和Mykland[2007]讨论了TSRV tonoise假设的稳健性。总体而言，Kalnina和Linton[2008]将TSRV推广到具有内生噪声和昼间噪声的模型，并提出了本文中使用的TSRV的修改版本。后来，Ait-Sahalia等人[2011]将该模型推广到平稳和强混合条件下允许相关噪声；ii）Barndor ff-Nielsen等人[2008]提供了一个基于核的估计器，在该模型中，噪声过程是暂时依赖的、平稳的，并且可能与潜在的It^o过程线性相关，他们的推断对内生间隔也具有鲁棒性；iii）Jacod等人[2009]在马尔可夫噪声模型下设计了预平均法的广义版本[Podolskij和Vetter，2009]，该模型允许任意形式的噪声，但噪声与潜在过程之间没有相关性；iv）受Ait-Sahalia等人的似然法启发。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-11 18:14:17

[2005]，秀[2010]在综合波动率估计中建立了准最大似然法（QMLE）；v） Bibinger等人[2014]开发了局部广义动量法，用噪声高频数据估计二次协变量。在微观结构噪声是平稳的假设下，利用高频噪声数据建立了许多综合波动率的估计器。然而，经验金融方面的文献，如Admati和P fleiderer[1988]、Hasbrouck[1993]、Andersen and Bollerslev[1997]、Gouri\'eroux等人[1999]在20世纪90年代已经表明，市场表现出系统的日内模式。因此，在综合波动率估计中允许异方差性和非平稳的微观结构噪声在应用中特别重要，可以说它是“伪”的，因为在Kyle[1985]考虑的模型中，做市商的目标不是最大化其效用，而是只保证市场清算。激动。特别是，Kalnina和Linton[2008]使用参数模型来描述微观结构噪声中的日间模式。Ait-Sahalia和Yu[2009]使用高频数据中的噪声方差估计来衡量1996年6月至2005年12月的市场流动性。文献中还有其他相关研究，Awartani等人[2009]研究了取样频率对微观结构噪声的影响，Bandi等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:20

[2013]在具有非平稳微观结构噪声的线性预测模型中，根据有限样本预测均方误差推导出最佳采样频率。1.2本文件的结构第2节描述了我们的模型和假设；在显示了非平稳性对双尺度估计器的影响后，设计了互补统计检验，以检测基于高频渐近的微观结构平稳性，零假设和替代假设下的渐近分布及其对检验的影响见第3、4、5节；第6节介绍了流动性风险的总体度量，并研究了其估计问题；第7节讨论了微观结构噪声的波动性和方差以及内生微观结构噪声之间的关系；第8节和第9节包含我们的模拟和实证分析；第10节结束。附录中给出了一些证据。2模型和假设2。1模型设置首先，我们有一个经过过滤的概率空间Ohm（0）、F（0）、nF（0）总计≥0，P（0）其中一个晚^o半鞅{Xt}t≥0被改编，可以用xt=X+Ztbsds+ZtσsdWs+Jt（1）来描述，其中{bt}t≥0是漂移，σ是金融术语中的即期波动率（例如，其动态可由Heston模型[Heston，1993]描述）；{Wt}t≥0是一维维纳过程；JT是第2.3小节中描述的跳转过程。其次，我们还有另一个经过过滤的概率空间Ohm（1），F（1），nF（1）tot≥0，P（1）可观测过程{Yt}t≥这是改编的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-11 18:14:23

然后，我们可以定义市场微观结构噪声过程{et}t≥0，作为潜在过程和可观察过程之间的差异：et≡ Yt- Xt（2）此外，我们定义≡ EP（1）（Yt | F（0））=Xt+EP（1）（et | F（0））（3）尽管在观测时间之外噪声是无关紧要的，但假设连续时间内存在这样的噪声过程并不有害。我们称之为{Zt}t≥0“可估计的潜在过程”，因为我们确实可以通过预平均等方法从实际观测中估计它[Podolskij和Vetter，2009年，Jacod等人，2009年，2010年，Mykland Zhang，2016年]。假设过程{Zt}t是很自然的≥0是anIt^o半鞅，例如，如果我们假设某些f（·）的Zt=f（Xt）∈ C（R）[Li and Mykland，2007]然后{Zt}t≥0是一个It^o半鞅。基于{Zt}t≥0，我们可以消除噪声过程{t} t≥0是另一种形式，这不一定是可观测过程{Yt}t之间的差异≥0和潜在过程{Xt}t≥0，而不是通过T≡ Yt- Zt=et- EP（1）（et | F（0））（4）我们称之为{t} t≥“可分辨噪声”，可以从可估计的持续过程中分离出来≥0[Bandi and Russell，2006]。第三，我们有一个马尔可夫核来提供进程{Xt}t之间的连接≥0和{Yt}t≥0，即Qt（ω（0），dy）：(Ohm（0，F（0））×（R，B（R））7-→ [0，1]，即，在整个潜在过程X的条件下，空间（R，B（R））上存在一个概率测度。因此，所有相关过程，无论是潜在的还是可观察的，都可以在扩展的过滤概率空间中定义(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）在哪里Ohm ≡ Ohm(0)× Ohm（1），F≡ F（0） F（1）英尺≡Ts>tF（0）s F（1）sP（dω（0），dω（1））≡ P（0）（dω（0））·T≥0Qt（ω（0），dyt（ω（1））（5）此外，负（ω（0））=ZRY- Zt（ω（0））Qt（ω（0），dy），即gti=e(ti | F（0））。根据这个定义，{gt}t≥这也是一个随机过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:26

请注意，gt可能依赖于一个以上的潜在随机变量，即gt（ω（0））=gt（Xt（ω（0））、Zt（ω（0））、σt（ω（0））、·对于每个t。在第4节和第6节中，关于存在非平稳微观结构噪声的某些行为，我们对过程{gt t}t提出了具体限制≥0，并将其设为一个it^o微分，并使用渐近性质来显示渐近最优功率，并测量高频数据中的流动性。2.2观察符号本小节可在一读时跳过。在后面的章节中遇到观测符号时，请回到本小节。定义（3）表明我们可能无法从噪声观测{Yt}中恢复潜在过程{Xt}，因为zt不一定等于Xt。更引人注目的是，正如后面所讨论的，这使得微观结构噪声与潜在过程之间存在关联。该模型结合了Li和Mykland[2007]以及Jacod和Protter[2012]（orJacod等人[2009年、2010年]）中模型的特征，并赋予了一个额外的特征：ti’s不被定义为观测值Yti’s和潜在值Xti’s之间的差异，而是观测值Yti’s和我们可以实际恢复的值Zti’s之间的差异。假设我们关注记录超高频数据的有限间隔[0，T]。定义G为获得所有观察结果的最新时间网格。假设我们在参考起点0后有n个观测值，那么G可以写成asG≡ {t=0，t，t，···，tn}（6）我们有时进行稀疏采样，通常从第k次观测开始，并从每k次观测中提取一个样本。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:28

形式上，我们定义子网格G（K，K）的索引为K=0，·K- 每K 1个∈ N+：G（k）=G（k，k）≡tk，tk+K，tk+2K，tk+（bn/Kc）-1） K, 其中k=0，1，·，k- 1（7）为了分析边缘效应和修改的TSRV，我们需要更多的观测符号：G0（k）=G0（k，k）≡ {ming（K，K）+1，ming（K，K）+2，····，max G（K，K）}G00（K）=G00（K，K）≡ {ming（K，K）+1，ming（K，K）+2，····，max G（K，K）- 1} G（min）=G（K，min）≡ {ming（K，1），ming（K，2），···，ming（K，K）}G（min）=G（K，max）≡ {max G（K，1），max G（K，2），···，max G（K，K）}（8）因此，我们有| G（min）|=|G（max）|=K和以下关系sk[K=1G（K）=G（min）[K[K=1G0（K）！=G（min）[K[K=1G00（K）！[G（max）]有时，我们也会用给定网格H中的第i个时间点来表示，例如，G（min）i=ming（K，i）=ming（i），G0（K）i、为了定义第4节中的一些测试，我们需要引入一些收缩移动窗口和局部采样网格。稍后，我们将固定时间间隔[0，T]（在应用程序中，T可能是5个工作日或更长的时间段）划分为rn（取决于n和rn）→ ∞) 子区间（Ti，Ti+1），每个（Ti-1，Ti]包含Knobservations，即Ti=tiKn，0=T≤ T≤ T≤ ··· ≤ Trnand rn=bn/Knc。我们还顺便提到了缩小的采样网格{t（i-1） Kn，···，tiKn}超过[Ti-1，Ti]，即| Si |=Kn，Si=G∩[Ti-1，Ti]，Srni=1Si={Ti∈ G:ti≤ Trn}.2.3假设根据第2.1小节中的模型设置，我们必须做出以下识别假设，以实现可识别性和可估计性：dZt≡ dXt=btdt+σtdWt+Jt（9）边缘效应是非参数高频计量经济学中普遍存在的现象。从口头上讲，边缘效应是“信息在时间间隔的边缘逐渐进入和逐渐退出”，这是由数据的不均匀使用造成的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:31

虽然不受欢迎，但这一特征在估计中是不可避免的。（7）和（8）中定义的时间网格取决于调谐参数K，该参数应更恰当地表示为Kn，然而，为了可适应性和易记性，在观测符号中，对n的依赖将被抑制。尽管如此，重要的是要记住这种对n的隐性依赖。否则，所有的估算方法都将失效[Jacod等人，2009]。注意，在识别假设（9）下，我们有{et}t≥0和{t} t≥0是相同的，噪声和潜在过程之间没有相关性。综上所述，各种结果需要以下假设：假设1。它的微分部分是^o半鞅。底层模型是（1），{bt}t≥0，{σt}t≥0和{Wt}t≥0被改编，{bt}t≥0和{σt}t≥0是c`adl`ag进程，并且是局部有界的。假设2。它的跳跃^o半鞅。Jt=RtRRx1{|x|≤1}(u - ν）（ds，dx）+RtRRx1{| x |>1}u（ds，dx），其中u是R+×R上的泊松随机测度，而ν是u的可预测补偿器，在这个意义上（u- ν）（（0，t]，A）是t>0，A.∈ B（R）。我们可以写出ν（dt，dx）=dt λ（dx），其中λ是r的σ-有限度量。假设3。它的有限跳^o半鞅。在假设2的基础上，假设 R上的一个函数，使得rrΓ（x）λ（dx）<∞ Γ在哪里≥ 1.假设4。可识别隐藏它的^o半鞅。其基本过程是（1）；我们有可识别性假设（9）。假设5。有条件的独立。以潜变量为条件，不同时间的观测Yti是独立的，即YtiYtjfor i 6=j。这一假设大大简化了证明。假设6。微观结构效应的局部有界性。l>0，和α > 0,M（α，l），使得|ti |α| F（0）≤ M（α，l），当Xti∈ [-l、 l]，σti∈ （0，l.）假设7。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:34

可能是不规则的观测网格，网格缩小。采样时间可以是不规则的，但与潜在过程无关。网格的网格变为零，更具体地说，是max1≤我≤Nti=OpN.基于其中一些假设，我们给出了涉及各种随机收敛模式的结果。有必要澄清这些收敛模式的符号：P-→表示概率收敛，L-→ 表示定律收敛（分布收敛，弱收敛），L-s-→ 意味着法律上的稳定趋同。3检验平稳性/非平稳性：第一项检验在本文中，我们考虑检验市场微观结构是平稳的零假设：H：{t} t≥它是静止的←→ H:{t} t≥0是非平稳的。对这一假设的解释是，如果市场参与者知道潜在的有效价格，在不同时间发生的市场微观结构效应是独立的。对于一些读者来说，“法律中的稳定趋同”这个概念可能并不熟悉，请参考Myklandand Zhang[2012]或Jacod and Protter[2012]第2章的定义。我们关注以下问题：o我们能找到任何非参数测试来判断微观结构噪声的平稳性吗？o就控制I型错误而言，平稳性测试是否有效它是渐近最优的，因为它的统计能力在渐近中是最大的吗？3.1序曲：非平稳性及其补救措施在本小节中，我们将注意力转移到使用受（可能是非平稳的）市场微观结构噪声污染的高频数据估计综合波动性（或随机演算术语中的连续二次变化）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:36

我们的第一个测试数据就是受此启发。双时间尺度已实现波动率估计器（TSRV）[Zhang等人，2005]是第一个使用噪声高频金融数据对综合波动率进行一致性估计的估计器。在本文中，我们定义了[Y，Y]在给定的采样网格上计算过程{Yt}的已实现方差。TSRV定义如下：\\hX，Xi（T SRV，Kn）T≡ [Y，Y]（平均值，千牛）T-N- Kn+1nKn[Y，Y]G（10），其中，根据第2.2小节中引入的符号，[Y，Y]（平均值，Kn）=KnPKn-1k=0[Y，Y]G（k）[Y，Y]G=Pni=1（Yti- Yti-1） [Y，Y]G（k）=Pti∈G0（k）（Yti）- Yti-K），对于K=0，··，K- 1调谐参数的最佳选择是Kn=O（n），这将导致TSRV的最佳可能顺序。以同样的方式，我们可以定义[, ]G[, ]（avg，Kn）和[Z，Z]（avg，Kn）T。设计\\hX，Xi（T SRV，Kn）背后的直觉是次采样和平均：每个[Y，Y]G（k）是在一个更稀疏的网格上计算的，因此减轻了微观结构的影响，因此它们的行程[Y，Y]（avg，Kn）T应该更接近hX，XiT；第二项[Y，Y]很好地代表了噪声方差，因此它将影响[Y，Y]（平均值，Kn）T中噪声引起的偏差。TSRV最初是在微结构噪声为静态的设置下设计的；然而，在非平稳微观结构噪声下，由于以下引理，TSRV有一个由边缘效应产生的偏差项：引理1。在假设1,3,4,5,6,7下，我们有[Y，Y]（avg，Kn）T- [Z，Z]（平均，千牛）T=KnKXk=1Xti∈G00（k）gti+KnXti∈G（最小）gti+KnXti∈G（max）gti |{z}偏差[Y，Y]（平均值，K）t由于非平稳噪声+op（1）（11）应用中的一个注意事项是选择- 为了减少边缘效应，bn/KncK非常小。从引理1中，我们可以看到，每个时间点的噪声对平均实现方差[Y，Y]（avg，Kn）T中的偏差的贡献并不相等。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:39

在第一个和最后一个KNS采样点中，噪声的条件二阶矩乘以系数kn，相反，采样点中间的噪声条件二阶矩乘以系数kn。然而，噪声校正项[Y，Y]Gin（10）的作用就好像gti对[Z，Z]（平均值，Kn）T中的噪声分量具有相同的贡献。对TSR和前两次测试的修改是由时间间隔[0，T]两侧信息利用的不均匀性所驱动的。据我们所知，Kalnina和Linton[2008]是第一项考虑了TSRV中由于非平稳微观结构噪声而产生的边缘效应的研究，他们通过[Y，Y]（平均值，Kn）T重新定义了TSRV-N-Kn+1nKn[Y，Y]{n}Twhere[Y，Y]{n}T=n-KnXi=1（Yti+1- Yti）+n-1Xi=Kn（Yti+1- )！在一个包含日测量误差和内生测量误差的参数模型下。在下文中，我们使用这种设计来解决第2节给出的广义隐It^o半鞅模型下的非平稳性问题。在本文中，我们将由Kalnina和Linton[2008]中已实现变量的修改版本组成的新TSRV称为“样本加权TSRV”，定义为\\hX，Xi（W T SRV，Kn）T=[Y，Y]（平均值，Kn）T-Kn[Y，Y]{n}t在第2节的一般模型下，样本加权TSRV具有以下渐近性质：定理1。假设在有限的时间间隔[0，T]内有n个观测值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:42

当wetake Kn=cn2/3对于某个常数c，在假设1，3，4，5，6，7下，我们有n1/6\\hX，Xi（W T SRV，Kn）T- [Z，Z]TL-s-→ 锰0，T cZTgtdt+4cTZTσtdt（12）该定理告诉我们，非平稳噪声环境下的样本加权TSRV与平稳噪声环境下的传统TSRV具有相同的渐近性质[Zhang等人，2005年，Li和Mykland，2007年，Ait-Sahalia等人，2011年]，因为渐近分布和收敛速度保持不变；换句话说，样本加权TSRV的渐近性质对于非平稳噪声是不变的。Kalnina和Linton[2008]所依据的模型是isdXt=utdt+σtdWtYti=Xti+钛ti=uti+vtiuti=Δγn（Wti- Wti-1） vti=m（ti）+n-αω（ti）eti，α∈ [0，1/2）式中，eX，i.i.d.，E（E）=0.3.2第一次测试N（Y，Kn）假设其为真，原始TSRV和样本加权TSRV的渐近分布均为混合正态分布。因此，两个不同版本之间差异的渐近分布（经过适当缩放）这也是一种混合的常态。因此，我们可以基于其差分D（Y，Kn）nT的渐近行为来测试空hba=√千牛\\hX，Xi（W T SRV，Kn）T-\\hX，Xi（T SRV，Kn）T, 注意d（Y，Kn）nT=n- 2（千牛）- 1） 2nK1/2n[Y，Y]G（最小）+n- 2（千牛）- 1） 2nK1/2n[Y，Y]G（最大值）-千牛- 1nK1/2n[Y，Y]G/（G（最小值）∪G（max））（13）第一个测试统计量N（Y，Kn）NTI的设计如下：N（Y，Kn）nT≡D（Y，Kn）nTqn[Y；4]G-2n[Y，Y]G，如果[Y；4]G-2n[Y，Y]G6=00，如果[Y；4]G-2n[Y，Y]G=0（14），其中[Y；4]G=Pni=1（Yti）- Yti-1）是基于观察Yti的样本四次性。我们的第一个检验统计量具有以下渐近性质：定理2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:45

如果噪声过程是平稳的，在假设1、2、5、6、7的情况下，只要Kn→ ∞ 但Kn=o（n），n（Y，Kn）nTL-→ N（0，1）（15）我们使用这个结果来测试第9小节中市场微观结构噪声的平稳性。2（图9）。检验统计量（15）的分母，namelyn[Y；4]G-2n（[Y，Y]G）实际上是2E的麻醉剂(|F（0））。这在（17）中正式介绍，它不仅用于第一次测试统计，也用于第4.2小节中的第二次测试统计。它本身很有趣，因此我们这里给出结果：引理2。如果我们定义过程ht（ω（0））≡ E(t | F（0））（ω（0）），那么在假设1,2,5,6,7下，我们有[Y；4]G=TZThtdt+TZTgtdt+Op√N（16）备注1。基于引理2，如果噪声是平稳的，2n[Y，Y，Y，Y]G | F（0）P-→ E(|F（0））+E(|F（0））, 所以对E的自然估计(|F（0））是\\E(|F（0））=2n[Y；4]G-4n[Y，Y]G（17）备注2。现在，我们研究微观结构是非平稳的情况下，我们的第一个测试统计数据的行为。因为2n[Y，Y]G=TRTgtdt+op（1），所以\\E(|F（0））P-→ DT≡E(|F（0））{t} t≥0is Stationarythrtdt+TRTgtdt-TRTgtdt{t} t≥0是非平稳的（18），因为我们假设噪声方差的局部有界性，几乎可以肯定的是，与噪声平稳性无关。根据第11.3小节中的证明，我们知道（Y，Kn）nT=pKn×g（开始）+g（结束）- 2g（中间）DT+Op（1）（19），其中G（开始）=KnPti∈G（最大）gtig（结束）=KnPti∈G（最大）gtig（中间）=n+1-2KnPKnk=1Pti∈Gkgti（20），因为Kn=On2/3在我们的设置中，当噪声不稳定时，N（Y，Kn）Texplodes。因此，该测试的II型误差可以渐近忽略不计。根据定理2和备注2，我们得到了推论1。假设{gt}t≥0和{ht}t≥c`adl`ag在[0，T]上的过程几乎都是连续点，另外我们有假设1，2，5，6，7和letKn→ ∞, 千牛/牛→ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:48

当噪声过程是非平稳的，N（Y，Kn）nT-pKn×g+gT-TRTgtdtTRThtdt+TRTgtdt-TRTgtdtL-→ N（0，1）（21）关于RTHTDT+3RTgtdt的事件-TRTgtdt6= 0.备注3。测试统计量N（Y，Kn）Nt可以通过网格G（min）、G（max）的两个边缘和网格G/（G（min）的中间揭示微观结构噪声中潜在的非平稳性∪G（最大值）。我们可以证明，在后面的小节中，有一些方案不仅能够反映两个边缘和中间之间的异质性，而且还能够捕获数据中关于非平稳性的几乎所有信息，然而，不可避免地需要更多的计算成本。我们将在第4节讨论这些方案。术语“c`adl`ag”（法语中“continue droite，limite gauche”的首字母缩写）描述了一个函数的性质，该函数处处右连续，处处有左极限，例如，布朗运动（样本路径几乎是连续的），L`evy过程（可数个跳跃间断）。4第二和第三个测试4。1总体思路第二次和第三次测试旨在有效利用数据中包含的与噪声平稳性相关的所有信息，而不是第一次测试N（Y，Kn）N（见备注3）。第二次和第三次测试的基本思想是在子区间上进行局部测试，然后合并所有局部测试的证据。为了理清思路，回顾第2.2小节中的观测符号，我们将固定时间间隔[0，T]划分为rnsub间隔（Ti，Ti+1），这样每个-1.Ti]包含任何服务。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:52

和第一个测试统计的定义类似，但第二个测试使用移动窗口（Ti）上定义的局部测试统计，而不是整个区间[0，T]-1，Ti-1+sn] [0，T]具有合适的窗口长度sn（根据子区间（Ti，Ti+1）的数量）：D（Y，Kn，sn）ni≡（序号- 2） Kn+22snK3/2n[Y，Y]Gi+[Y，Y]Gi+sn-千牛- 1snK3/2n[Y，Y]∪锡-1k=2Gi+k（22）然后，我们使用重叠窗口来计算数量U（Y，Kn，U）nT，这取决于过程Y、统计实验n的阶段、调整参数Knandsn<jnKnk，以及一个数字U>0:U（Y，Kn，sn，U）nT≡bn/Knc- 锡币+10亿元/Knc-sn+1Xi=1 | D（Y，Kn，sn）ni | u（23）同样，我们也基于非重叠窗口定义了一个数量：u（Y，Kn，sn，u）nT≡bn/（snKn）cbn/（snKn）cXi=1D（Y，Kn）（i）-1） sn+1u（24）4.2第二个测试V（Y，Kn，sn，2）nT我们设计了第二个测试统计量V（Y，Kn，sn，2）nT≡（pn/Kn）U（Y，Kn，sn，2）nT-n[Y；4]G-2n[Y，Y]G/bη，如果bη6=00，如果bη=0（25），其中bη=n[Y；4]G-n[Y；4]G·[Y，Y]G+2n[Y，Y]G（26）关于V（Y，Kn，2）nT的渐近性质，我们有以下结果：定理3。（V（Y，Kn，sn，2）nt在零位下）在假设1，2，5，6，7下，假设噪声过程是平稳的，并选择调谐参数，使Kn/n→ 0千牛顿/牛顿/立方英寸→ ∞, 锡→ ∞, sn。然后检验统计量V（Y，Kn，2）n具有以下渐近性质：V（Y，Kn，sn，2）nTL-→ N（0，1）（27）在E(|F）- E(|F） E(|F） +E(|F） 6=0。我们使用这一结果来测试第9小节中市场微观结构噪声的平稳性。2（图10）。我们还可以根据不重叠的间隔V（Y，Kn，sn，2）nT确定另一个数量V（Y，Kn，sn，2）nT≡（pn/（snKn）U（Y，Kn，sn，2）nT-n[Y；4]G-2n[Y，Y]G/bη，如果bη6=00，如果bη=0根据定理3，可以导出V（Y，Kn，sn，2）nT的渐近性质。推论2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:55

在与定理3相同的条件下，假设噪声是静止的：V（Y，Kn，sn，2）nTL-→ N（0，1）（28）在E(|F）- E(|F） E(|F） +E(|F） 6=0。备注4。当我们比较推论2和定理3时，有点令人惊讶，因为U（Y，Kn，sn，2）n和U（Y，Kn，sn，2）n的极限混合法线具有相同的渐近方差，可以用bη一致估计，尽管前者的收敛速度较低。然而，研究结果仅证明了极限行为。V（Y，Kn，sn，2）n所需的计算量较少，而V（Y，Kn，sn，2）n由于其较高的收敛速度，在渐近逼近方面更精确。4.3第三个测试v（Y，Kn，2）n第二个测试统计量（25）中存在中度边缘效应（来自第一个SNK和最后一个SNK观察）。受关于第一个检验统计量（14）的备注3的启发，我们可以设计一个补充检验统计量V（Y，Kn，2）n（由（30）定义），当噪声是平稳的，但在有限样本中具有较小的边缘效应时，它与V（Y，Kn，sn，2）n具有相同的渐近性质。然而，我们应该将V（Y，Kn，sn，2）保留在我们的工具箱中——尽管V（Y，Kn，2）在噪声静止时不能提供更好的近似值，但我们将看到V（Y，Kn，sn，2）具有更大的统计能力，如图1所示。第三个检验统计量的关键成分是u（Y，Kn，2）nT≡4nbn/Knc-1Xi=1[Y，Y]Si+1- [Y，Y]Si（29）其中每边标注收缩采样网格{t（i-1） Kn，···，tiKn}超过[Ti-1，Ti]（重新调用第2.2小节中的观测符号，[Y，Y]Si是网格Si上实现的过程方差。我们的第三个测试统计数据是定义的asV（Y，Kn，2）nT≡（pn/Kn）U（Y，Kn，2）nT-n[Y；4]G-2n[Y，Y]G/bη，如果bη6=00，如果bη=0（30），其中bη在（26）中定义。定理4。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:14:58

（V（Y，Kn，2）nt在零位下）在假设1，2，5，6，7下，假设噪声过程是平稳的，假设Kn→ ∞, 千牛/牛→ 然后检验统计量V（Y，Kn，2）n具有以下渐近性质：V（Y，Kn，2）nTL-→ N（0，1）（31）在E(|F）- E(|F） E(|F） +E(|F） 6=0.4.4最佳统计功率显示V（Y，Kn，sn，2）和V（Y，Kn，2）nbehave当噪声为非平稳时，确定其统计功率。如果当微观结构噪声是非平稳的时，测试统计数据往往很大，那么它们可以很容易地检测到非平稳性。U（Y，Kn，sn，2）和U（Y，Kn，2）的行为很大程度上表明了V（Y，Kn，sn，2）和V（Y，Kn，2）n的行为。在本小节中，我们研究了U（Y，Kn，sn，2）和U（Y，Kn，2）n的渐近行为。当微结构噪声在稍微加强的环境下是非平稳的时，我们需要在第2.3节：假设8的假设之上再做两个假设。定期抽样。采样网格在间隔[0，T]上等距。假设9。噪声方差过程是^o.{gt}t吗≥0是一个It^o差异（在时间上）：gt=Ztu（g）sds+Ztσ（g）SDB（32），其中{u（g）t}t≥0是局部有界的，可选的，c`adl`ag，{Bt}t≥0是标准布朗运动，{σ（g）t}t≥0是局部有界的It^o扩散。如2.2小节所述，我们将整个时间间隔划分为不相交的子间隔（Ti-1，Ti]对于i=1，2，···，Rn，在每个子区间我们都有Knobservation，尤其是T=0和T- Trn=o（1），rnKn/n→ 1.既然假设8是假设，我们就让T=Ti- 钛-1.i=1,2，·rn。定理5。（U（Y，Kn，sn，2）在备选方案下）假设假设1，2，5，6，7以及假设8，9。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:15:00

LetKnn1/2→ ∞, 锡→ ∞ 和SNKN→ 0但2/5nKnn3/5→ ∞.那么，我们已经知道了nsnKnU（Y，Kn，sn，2）nT- E（1）n- E（2）n- E（3）nL-s-→ 锰0,2TZT（σ（g）t）dt（33）当{σ（g）t}t∈[0，T]是非零的，其中e（1）n=（sn- 2） 3snZT（σ（g）t）dtE（2）n=-snKn6nh（σ（g））+（σ（g）T）iTE（3）n=2nsnkntzthdt，ht（ω（0））≡ E(定理6。（U（Y，Kn，2）在替代方案下）假设假设1，2，5，6，7以及假设8，9。LetKnn1/2→ ∞ 和KNN2/3→ 那么，我们已经知道了nKnU（Y，Kn，2）nT- E（1）- E（2）nL-s-→ 锰0,2TZT（σ（g）t）dt（34）关于{σ（g）t}t∈[0，T]是非零的，其中e（1）=ZT（σ（g）T）dtE（2）n=2nkntzthdt，ht（ω（0））≡ E(t | F（0））（ω（0））定理3和4为我们提供了在平稳性假设下V（Y，Kn，sn，2）和V（Y，Kn，2）的渐近分布，这有助于我们控制I型误差。另一方面，定理5和6通过分别分析U（Y，Kn，sn，2）和U（Y，Kn，2）n，揭示了在替代假设下V（Y，Kn，sn，2）和V（Y，Kn，2）的渐近行为。由于噪声矩是局部有界的，n[Y；4]G-2n[Y，Y]和bη总是有限的。根据定理5，6，我们有以下推论：推论3。假设假设1,2,5,6,7以及假设8,9。根据定理5，6中调谐参数的选择，我们得到v（Y，Kn，sn，2）n=Opsn·Knn1/2·K1/2nV（Y，Kn，2）n=OpKnn1/2·K1/2n在事件bη6=0时。此外，我们对[Y；4]G事件没有（Y，Kn）n=Op（K1/2n）-2n[Y，Y]G6=0。回想一下调谐参数Kn的选择→ ∞ 对于N（Y，Kn）N，Kn/n1/2→ ∞ 对于V（Y，Kn，sn，2）和V（Y，Kn，2），它们的渐近幂达到最优。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:15:03

在单位样本中，V（Y，Kn，2）nHa比N（Y，Kn）nHa具有更大的统计功效，其数量因子为Kn/n1/2；V（Y，Kn，sn，2）比V（Y，Kn，2）nb更强大，是sn的一个数量级。5平稳性测试用户指南我们目前有3个补充测试，即N（Y，Kn）N，V（Y，Kn，sn，2）和V（Y，Kn，2）N，每个测试都有自己的优点和缺点。在本小节中，我们将讨论它们的优缺点，以及如何为不同的环境选择最佳测试。（1）第一次测试N（Y，Kn）将样本分为3个周期，并比较中间和边缘的噪声水平。例如，如果我们对可能的每日噪声模式感兴趣，让我们测试在开盘和收盘交易时间噪声水平是否更高，最好的选择是应用N（Y，K）非1天高频数据。然而，N（Y，Kn）对局部变化不敏感，例如，在周期性变化的情况下，数据样本覆盖几个周期，N（Y，Kn）很可能判断非平稳性事实；（2）第二个测试使用包含snKnobservation的移动局部窗口，并比较每个局部窗口边缘和中间的噪声水平；第三个测试也使用本地窗口，但比较了一个本地窗口和另一个窗口的噪声水平。由于V（Y，Kn，sn，2）和V（Y，Kn，2）在检测局部噪声变化方面更强大，而N（Y，Kn）可能忽略了这些变化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:15:06

然而，如果噪声转换进行得非常顺利，但在全球范围内有一个系统的范式转变，那么V（Y，Kn，sn，2）和V（Y，Kn，2）n可能会导致错误的平稳性结论；（3）如第4.3小节所述，V（Y，Kn，sn，2）的边缘效应比V（Y，Kn，2）小，而V（Y，Kn，2）在无效假设下更准确；而V（Y，Kn，2）的统计幂更大（图1中的右下面板）。直觉是，通过构造，V（Y，Kn，2）的焦点过于局部，尽管它会导致较小的边缘效应，当噪声是非平稳的时，这就变成了它的缺点。作为模拟比较，图1显示了根据平稳/非平稳噪声的模拟1天/多天数据计算的平均p值。图2显示了它们的ROC曲线。第8.1小节描述了模拟配置，显示的每个p值是3000个蒙特卡罗样本的平均值。作为总结，我们在表1中列出了关于这些测试的最佳选择的不同考虑。我们建议选择一些调谐参数（Kn，sn），以平衡高频近似中的各种误差。表2显示了在建议的调整参数下我们测试的收敛速度和统计性能。图1：提议的3项试验的平均p值。10 20 30 40 50 60时间步长00.20.40.60.8p值当噪声对1天的数据是静止的时n（Y，K）V（Y，K，s，2）V（Y；K；2）5%10 20 30 40 50 60时间步长00.20.40.60.8p值当噪声对1天的数据是非静止的时n（Y，K）V（Y，K；2）5%10 20 30 40 50 60时间步长00.60时间步长当噪声对1天的数据是静止的时n（Y，K）V（Y；K；2）5%10 20 30 40 40.60时间步长50 60时间步长00.10.20.30.4p-valuesp-values当5天数据的噪声是非平稳的n（Y，K）V（Y，K，s，2）V（Y；K；2）5%这些曲线图显示了我们提出的测试的一些特性：1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:15:09

对于I型误差，无论数据的时间跨度如何，所有测试都可以很好地控制其I型误差，因为N（Y，K）NCA可以非常准确地控制其有限样本中的I型误差，V（Y，K，s，2）和V（Y，K，2）在其有效I型误差小于规定值的意义上更加保守；2.对于II型误差或统计功效，只有N（Y，K）NP在一天的数据上表现令人满意，同时，V（Y，K，s，2）和V（Y，K，2）在应用于多天数据时，其统计功效更大，收敛速度更快。与推论3一致，在有限样本中，V（Y，Kn，sn，2）NHA具有更好的统计能力。图2：ROC曲线0.2 0.4 0.6 0.8 1假阳性率（I型误差）00.10.20.30.40.50.60.70.91真阳性率（1-II型误差）1天数据的ROC曲线，间隔为3sN（Y；K）V（Y；K；s；2）V（Y；K；2）0.2 0.4 0.6 0.8 1假阳性率（I型误差）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91真阳性率（1-II型误差）5天数据的ROC曲线，间隔为5sn；s；K；2）0.2V（Y；K；2）ROC曲线显示II型是如何随着I型误差的变化而变化的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:15:12

ROC曲线再次表明，当微结构噪声表现出日变化模式时，N（Y，Kn）对于1天的数据是最佳的，V（Y，Kn，sn，2）对于多天的数据是最佳的。表1：测试统计的优缺点N（Y，Kn）nTV（Y，Kn，sn，2）nTV（Y，Kn，2）NTI型误差控制最准确最不准确中等准确检测强度全局变化局部变化局部变化（次优）长度要求1/多日数据多日数据频率要求b≤ 20多岁/≤10秒≤ 60多岁≤ 50S计算成本相对较小相对较大相对较大根据统计功效进行评估。b最小阈值用连续观测之间的平均时间间隔表示。它们是根据我们的模拟估算的，其配置相当真实（第8.1小节）。表2:Hn1/4n1/6n5/24量级Hn1/4n2/3n3/86下Hn1/4n1/6n5/24衡量总流动性风险6的测试sn（Y，Kn）nV（Y，Kn，sn，2）nV（Y，Kn，Kn，2）nKnn1/2n2/3n7/12sn-n1/6的收敛速度和统计幂。1“总流动性风险”的概念一方面，[g，g]是{gt}t的二次变化≥0over（0，T）是过程{gt}T的“聚合”变化的合理度量≥0.另一方面，微观结构方差是市场质量的衡量标准[Hasbrouck，1993]，或者更具体地说，是市场流动性[ait-Sahalia和Yu，2009]。因此，将[g，g]定义为“总流动性风险”并非完全不合理。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:15:15

在本节中，我们将定义“总流动性风险”的概念，并提供相关CLT的估计器。6.2估算总流动性风险[g，g]回顾定理6，并注意NKNRTHTDT→ 0,3n2KnU（Y，Kn，2）nti是[g，g]T的一致估计，即3n2KnU（Y，Kn，2）nTP-→ [g，g]T（35）然而，我们可以重写（34）asrnKn3n2KnU（Y，Kn，2）nT- [g，g]T-3n3/2K5/2nTZThtdtL-s-→ 锰0,3TZT（σ（g）t）dt根据块数和每个块内观测数之间的关系，我们有不同的二阶性质。如果我们让NN3/5→ ∞, 我们有一个估计[g，g]的无偏中心极限定理。否则，万一 n3/5（或Kn/n3/5→ 0），我们有一个带有有限（或发散）偏差的CLT。推论4。假设假设1,2,5,6,7以及假设8,9。从某种意义上说，LetCorolution 4是Mykland and Zhang[2016]中“点积分装置”的一个扩展：对于[0，t]上的半鞅{θt}，让Θ（Ti，Ti+q]=RTi+qTiθtdt，QVq（Θ）=qPrn-qi=qθ（Ti，Ti+q]- θ（Ti）-q、 Ti], 然后在一些正则条件下（为了保证标准稳定收敛，再加上对边缘效应的额外限制），作为q→ ∞ qT→ 0，（q）T）QVq（Θ）P→[θ，θ]T-定义Gi≡阿尔蒂蒂-1gtdt和BGI≡T2Kn[Y，Y]Si。在一定的规律性条件下，根据Mykland和Zhang[2016]2中的“Integratoro spot装置”(T）bn/KncXi=1（Gi- Gi-1） P-→ [g，g]但是，在交换GiforbGi之后，我们不知道Gi在应用程序中的真实值(T）bn/KncXi=1华大基因-华大基因-1.P-→ [g，g]T-+ （可能附加条款）（36）请注意，NKNU（Y，Kn，2）nT=(T）Pbn/Knc-1i=1华大基因-华大基因-1., 推论4揭示了可能的附加项，并提供了与（36）相关的中心极限定理。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-11 18:15:17

在适当地选择Knap后，（36）右侧的附加项为零，我们有一个无偏中心极限定理。Knn3/5→ ∞,Knn2/3→ 0，那么我们已经知道了3n2KnU（Y，Kn，2）nT- [g，g]TL-s-→ 锰0,3TZT（σ（g）t）dt（37）备注5。例如，为了获得更好的有限样本绩效，为了获得更准确的总流动性风险置信区间，我们建议使用3TZT（σ（g）t）dt |{z}由于离散化（非消失）+54nKnTZTht- htgt+gt噪声引起的dt |{z}（消失）x KNA是有限样本方差的近似值，以避免我们低估有限样本方差并对估计的准确性过于乐观的情况。我们衡量“总流动性风险”的95%置信区间为3n2KnU（Y，Kn，2）nT- 1.96×bΓ，3n2KnU（Y，Kn，2）nT+1.96×bΓ（38）其中bΓ=128 lnKnbn/Knc-lnXi=1lnXj=1[Y，Y]Si+j- [Y，Y]Si+j-1.+8 Knbn/KncXi=1Kn[Y；4]Si-Kn[Y；4]Si[Y，Y]Si+Kn[Y，Y]Si还有pn/Kn。7噪声函数依赖性和模型扩展微观结构噪声的规律通过马尔可夫核Qt（ω（0），dy）表示每个时间t，通过它噪声的二阶矩根据时间gt（ω（0））=E的随机函数演化(t | F（0））（ω（0））=RR | y- 概率空间上的Zt（ω（0））|Qt（ω（0），dy）(Ohm（0），F（0），{F（0）t}t≥0，P（0））。随机函数gt（ω（0））可能取决于各种潜在变量，更一般地说，Qt（ω（0），dω（1））的形式允许有效的价格过程和微观结构噪声之间存在广泛的相关性。在本节中，我们讨论了gt（ω（0））对σt（ω（0））依赖性的基本经验证据，以及违反我们的识别假设的含义，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 18:15:20

假设4.7.1回归：市场微观结构噪音和现货波动在本小节中，我们不仅认识到微观结构波动的第二个时刻随着时间的推移而演变，还记录了GTO对波动率σt的依赖性，我们对潜在变量σti进行gti的时间序列线性回归。我们假设潜在市场微观结构噪声方差和潜在波动率相关：假设10。概率为1，我们有T≥ 0，gt=βσt+α+ζt（39），其中ζtσt。由于gt和σt都不可观测，我们需要对这两个变量进行一些初步估计。在这里，我们使用比例样本加权TSRV和从局部样本计算的实现方差，分别估计现货波动率σti和局部噪声水平，即bστi-1=τi-τi-1\\hX，Xi（W T SRV）（τi）-1，τi]和bgτi-1=2 |Hi |[Y，Y]Hi，其中{τ，τ，···} G、 Hi=G∩ （τi）-1，τi]，|Hi |是Hi的基数。然后，我们可以通过普通最小二乘法对这对挥发性噪声估计值（bgτi，bστi）进行线性回归：bgτi=bβmbστi+bαm+η（m）τi（40），其中m是小时间间隔（τi，τi+1）内的观察次数，η（m）t是挥发性估计器bστi未捕获的噪声方差中的一个分量。此外，我们在估计量α和βmt的下标中使用m来强调估计量sin（40）的值取决于样本量n，η（m）的分布取决于m引理3。假设假设1,3,4,5,6,7 ae以及假设10保持，letmin | Hi |→ ∞ 麦克斯|嗨|/n→ 0，然后是bβmP-→ βbαmP-→ 根据引理3，如果噪声方差和波动率之间存在线性关系，则回归（40）提供了线性系数的一致估计。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝