更一般地，f（ψ（t；t））t的自协方差函数∈[0，T]isEψ（t；t）ψ（t′；t）= C(（t，t′；t）），C() =R∞杜u+||+1.√1.-H-- UH-u+||+1.√1.-H--u+2||√1.-H-R∞杜（1+u）H-- UH-,具有（t，t′；t）=t′- t | 2T- （t+t′）|，（6.2）表明过程的相关函数（ψ（t；t））t∈[0，T]依赖于这种相对分离，给出了一种仅依赖于到达概率τ=T的时间的标准相对解相关情况- t、 τ′=t- t′。因此，我们引入（ψ（τ；T））τ过程∈ [0，T]定义为ψ（τ；T）=ψT-τ、 T，τ∈ [0，T]。（6.3）过程（ψ（τ；T））τ∈ [0，T]是具有均值为零和自协方差函数的高斯函数ψ（τ；T）ψ（τ′；T）= C(（τ，τ′），C如上所述(τ, τ′) =τ - τ′|τ + τ′|. （6.4）对于|τ- τ′| << τ，过程在时间尺度τ上解相关，从而使过程波动更快地接近成熟。接近成熟期时，价格波动会影响s购物中心。然而，当我们放大它们时，我们看到当到期时间较短时，sma所有时间曲线上的波动，这反映了提取波动系数的自相似性。如图6所示。1.我们展示了相关函数7.→ C()作为相对分离时间的函数∈ [-1，1]和H=0.6。这一过程在短时间内与马尔可夫过程无关；事实上，作为1-0.5倍0.5倍不同到期日之一。20.40.60.8相关性图。6.1. t-t过程的自协方差函数ψ（τ；1）作为相对成熟时间间隔的函数= (τ - τ′）/|τ+τ′|，H=0.6。

这种相关性在起源处近似衰减，当其中一个成熟时间变为零时则迅速衰减。到到期日为零（相对于其他到期日），相关性迅速变为零。请注意，它是由以下表达式（6.4）得出的：它是尺度不变的（aτ，aτ′）=（τ，τ′）对于a>0，在短时间内对成熟度进行快速波动。这个过程确实有一个自相似的特性。我们在分销方面取得了成功ψ(τ; 1)τ ∈ [0,1]~ψ（τT；T）τ ∈ [0,1]，对于任何T>0。如图6所示。2，我们展示了过程ψ（τ；1）的两种实现，作为成熟时间τ的函数。我们还可以研究固定时间成熟度τ的t-t过程的结构，作为时间t的函数。因此，如果我们观察给定时间成熟度的价格，我们想知道相对于当前时间或时间转换，价格修正（以及隐含波动率）将如何变化。相应地，-6-4-2相对成熟度-2-1.5-1-0.50.5t-T过程图。6.2. 过程ψ（τ；1）作为成熟时间τ的函数的实现，在H=0.6的情况下，执行成熟度T=1。我们考虑过程ψ（t；τ）=ψt，τ+t，t≥ 0，（6.5）表示固定τ>0。过程（ψ（t；τ））t∈[0,∞)是具有均值和自协方差函数的高斯函数ψ（t；τ）ψ（t′；τ）= C(（t，t′；τ）），（6.6）C() =R∞杜（u+1）H-- UH-（u+1+||)H-- （u+||)H-R∞杜（1+u）H-- UH-,具有（t，t′；τ）=t′- tτ。（6.7）f的表达式表明该过程的相干时间与成熟时间τ成正比。我们再次看到，重新调整后的隐含波动率表面波动在接近成熟时更为迅速。我们还可以看到，在t，t平面上，与成熟度边界平行的变化，这些变化是-1-0.5 0 0.5 1差异时间0。40.50.60.70.80.9表面相关性图。6.3.

t-t过程的自协方差函数ψ（t；1）作为时间t′的函数- t固定到期时间τ=1，H=0.6。在短时间尺度上，该过程与马尔可夫过程不相关；在长时间尺度上，它表现出长程相关性。不动的这与我们有一个具有平稳波动驱动因素的基本一致性模型这一事实是一致的。这些函数本身也有类似的性质。我们在分销方面取得了成功ψ（t；1）T∈[0,∞)~ψ（τt；τ）T∈[0,∞),对于任何τ>0的情况。（ψ（t；1））t的自协方差函数∈[0,∞)如图6所示。3.在图中，我们可以看到原点处的快速衰减，然后是长程行为。这显示了随着时间的推移，隐含的表面是如何变化的。图6。4.我们在对数图中显示了自动相关函数，其中虚线对应于相关衰减| t′- t | 2H-2.在图6.5中，我们展示了过程ψ（t；1）的两种实现。最后，考虑一下我们评估随机差分时间-5-4-3-2表面相关性的情况是有意义的。6.4. t-t过程ψ（t；1）的自协方差函数如图6.3所示，但在对数刻度上，虚线显示衰变| t′- t | 2H-2.0相对电流时间t-3-2-1t-t过程图。6.5. H=0.6的过程ψ（t；1）的实现。修正系数作为固定电流时间t的到期时间的函数，ψ（τ；t）=ψt，t+τ，τ≥ 0.（6.8）过程（ψ（τ；t））τ∈ [0,∞)具有均值为零和自协方差函数的高斯分布ψ（τ；t）ψ（τ′；t）= C(（τ，τ′），C() =R∞杜（u+1/p1+||)H-- UH-（u+p1+||)H-- UH-R∞杜（1+u）H-- UH-,具有(τ, τ′) =τ - τ′τ ∧ τ′. （6.9）该协方差函数如图6所示。6.

请注意，它来自于这是尺度不变的（aτ，aτ′）=（τ，τ′）对于a>0，因此对于小到期日，该过程也会更快地进行。过程（ψ（τ；t））τ的分布∈ [0,∞)不依赖于t，并且它具有自相似性。对于任何a>0的情况，我们都有分布ψ（τ；t）τ ∈ [0,∞)~ψ（aτ；t）τ ∈ [0,∞).如图6所示。7我们展示了过程（ψ（τ；t））τ的两种实现∈ [0,1）.结论。我们考虑了一个具有长期相关性的连续时间随机波动模型。我们讨论了fas tmean回归的机制。这使得我们能够导出近似欧洲看涨期权价格和隐含波动率的显式表达式。具体而言，波动率是分数Ornstein–Uhlenbeck的光滑函数过程分析这种非马尔可夫情况是一项挑战。据我们所知，当波动率波动为一阶时，我们给出了一般到期日价格近似值的第一个解析表达式。到目前为止，此类交易的价格计算都是基于数值近似。从应用的角度来看，主要结果是我们得到的隐含波动率表面的分数期限结构的形式。事实上，我们得到了一个隐含的波动率，它的到期日相差10-50天。860.880.90.920.940.960.98表面相关性图。6.6. t-t过程的自方差函数ψ（τ；1）作为相对成熟度分离的函数= (τ - τ′)/(τ ∧ τ′），H=0.6。请注意，相关函数呈现缓慢衰减-6-4-2相对成熟度-0.50.51.5t-T工艺图。6.7.

对于固定的当前时间t=1和H=0.6，过程ψ（τ；1）的实现，其中相关性的平滑和缓慢衰减给出了平滑的成熟时间依赖性。随着时间的成熟，同时产生了一个强烈的短期成熟时间倾斜，这与常见的观察结果是一致的。我们强调，在我们的公式中，由于我们考虑了快速的mea回复过程，与任何固定成熟度相比，平均回复时间都很短。最后，让我们注意到，我们考虑了具有长程相关特性的过程的情况，Hurst指数H>1/2解释了大期限隐含波动率的增长。致谢。本文基于古诺中心、古诺基金会和巴黎萨克莱大学（chaire D’Alembert）部分支持的研究。A.随机波动率模型的Hermite分解。我们表示ef（z）=F（σouz）。（A.1）因为E[eF（Z）]<∞ 当Z是标准正态变量时，函数F可以用Hermite多项式mialsHk（Z）=(-1） kez/2dkdzke-z/2（A.2）和系列∞Xk=0Ckk！Hk（z），（A.3）带ck=E香港（Z）eF（Z）=ZRHk（z）eF（z）p（z）dz，（A.4）收敛于L（R，p（z）dz）toeF（z）。Hermite-po-lynomicals-satisfyE[Hk（Z）Hj（Z）]=ZRHk（Z）Hj（Z）p（Z）dz=δkjk！，我们有∞k=0Ckk！=E[eF（Z）]<∞. 注意C=F.引理A.1。如果存在α>2，则（A.1）定义的函数满足∞Xk=0αkCkk！<∞, （A.5）然后随机过程iεt=ZtF（Zεs）-Fds（A.6）满意度∈[0，T]E[（IεT）]≤ Kε4-4H，（A.7）对于一些常数K证明。

表示εt=σ-1 uzεt，这是一个协方差函数E[eZεteZεt+s]=CZ（s/ε）的零均值高斯过程，我们有iεt=ZteF（eZεs）-Fds=∞Xm=1CmIεt，m，其中iεt，m=m！ZtHm（eZεs）ds，m≥ 1.从（Taqqu，1978，引理2.2）开始，Iεt的四阶矩可以展开为[（Iεt，m）]=m（2m）！XZt··ZTDTMYl=1CZ钛l- tjlε,其中总和超过所有指数i，j，i）i，j，i2m，j2m∈ {1,2,3,4}，ii）i6=j。，i2m6=j2m，iii）每个数字1，2，3，4在（i，j，…，i2m，j2m）中正好出现m次。因此，这个总和中的N2mof项的数量小于（4m）/M（如果没有第二个条件，它就是这个基数；因此它比这个数小）。因为CZ（s）≤ 1.∧ K | s | 2H-对于常数K，我们有，对于任何t∈ [0，T]，E[（IεT，m）]≤2米（2米）！XZT··ZTDT2MYl=11∧ K|钛l- tjl|ε2小时-2.对于和的每个项，我们应用变量s=ti，s=tj，s=tmin（{1,2,3,4}{i，j}），s=tmax（{1,2,3,4}{i，j}）的变化。在产品中，我们保留首字母：K（| s）- s |/ε）2H-2，第一个有罪恶感的词：K（| s）- sj |/ε）2H-2，这样我们就可以为任何∈ [0，T]，E[（IεT，m）]≤N2mK2m（2m）！ZT··ZTDSDS|s- s |ε2小时-2小时|s- s |ε2小时-2+|s- s |ε2小时-2+|s- s |ε2小时-2i≤ K′（4m）！2米（2米）！Mε4-4H，对于某些常数K′（取决于H和T），b由s2H决定-2在[0，T]上可积。通过斯特林公式，我们得到（4m）！2米（2米）！M2毫米！√因此，根据Minkowski不等式，对于任何t∈ [0，T]，E[（IεT））]1/4≤∞Xm=1 | Cm | E[（Iεm））]1/4≤ K′ε1-H∞Xm=1 |厘米|嗯！1/2≤ K′ε1-H∞Xm=1αmCmm！1/2∞Xm=1mαm1/2，对于某些常数K′，这会给出期望的结果。L emma A.1中的假设（A.5）要求函数F具有一定的光滑性。下面的引理给出了一个充分条件。引理A.2。

如果（A.1）定义的函数的形式为ef（x）=Zx-∞f（y）dy，（A.8），其中函数f的傅里叶变换满足|^f（ν）|≤ C经验(-ν） 对于某些c>0，则存在K>0，对于任何K≥ 0，Ckk！≤ K3-k、 （A.9）不平等性（A.9）足以确保假设（A.5）得到满足。例如，我们可以考虑f（x）=Zx-∞E-y/4dy或F（x）=Zx-∞sinc（y）dy（A.10）证明。函数F为C类∞, 而且我们有，对于任何k≥ 1，使用分部积分，Ck=ZReF（z）Hk（z）p（z）dz=ZReF（k）（z）p（z）dz=ZRf（k）-1） （z）p（z）dz。通过Parseval公式，我们得到haveCk=2πZRe-ν/2（iν）k-1^f（ν）dν。因为| f（ν）|≤ C经验(-ν） ，我们得到| Ck |≤ 捷克人-3ν/2 |ν| k-1dν=CkZ∞E-ssk-1ds=CkΓK,使用斯特林公式Γ（z）得出了期望的结果~ zz-1/2e-Z√2π.B.技术引理。我们表示g（z）=F（z）-σ. （B.1）（4.12）定义的鞅ψεt的形式为ψεt=EhZTG（Zεs）dsFti。（B.2）引理B.1。（ψεt）t∈[0，T]是一个平方可积鞅，d hψε，W it=εtdt，εT=σouZTtEG′（Zεs）|FtKε（s）- t） ds。（B.3）括号hψε，W的另一个表达式在（B.5-B.6）中给出。证据对于t≤ s、 Zεs的条件分布服从高斯分布Zεs | Ft= σouZt-∞Kε（s）-u） 由VaR给出的数据和确定性方差Zεs | Ft= （σε0，s）-t） ，我们定义的任何0≤ T≤ s≤ ∞,（σεt，s）=σouZstKε（u）du。（B.4）因此我们得到σε0的分布-TZεs- σouZt-∞Kε（s）-u） dWu英尺这很正常。因此，我们有G（Zεs）| Ft=ZRGσouZt-∞Kε（s）-u） dWu+σε0，s-tzp（z）dz，其中p（z）是标准正态分布的pdf。作为t中的一个随机过程，它是一个连续鞅。

根据它的公式，对于任何t≤ s、 EG（Zεs）| Ft=ZRGσouZ-∞Kε（s）-v） dWv+σε0，szp（z）dz+ZtZRG′σouZu-∞Kε（s）-v） dWv+σε0，s-乌兹zp（z）dzuσε0，s-udu+σouZtZRG′σouZu-∞Kε（s）- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s）-u） dWu+σouZtZRG′的σouZu-∞Kε（s）- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s）-u） duandG（Zεs）=GσouZs-∞Kε（s）-v） dWv=ZRGσouZs-∞Kε（s）-v） dWv+σε0,0zp（z）dz=ZRGσouZ-∞Kε（s）-v） dWv+σε0，szp（z）dz+ZsZRG′σouZu-∞Kε（s）-v） dWv+σε0，s-乌兹zp（z）dzuσε0，s-udu+σouZsZRG′σouZu-∞Kε（s）- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s）-u） dWu+σouZsZRG′的σouZu-∞Kε（s）- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s）-u） 杜。因此，ψεt=ZtG（Zεs）ds+ZTtEG（Zεs）| Ftds=hZRZTGσouZ-∞Kε（s）- v） dWv+σε0，szdsp（z）dzi+ZthZTuZRG′σouZu-∞Kε（s）- v） dWv+σε0，s-乌兹zp（z）dzuσε0，s-udsidu+σouZthZTuZRG′σouZu-∞Kε（s）-v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s）-u） dsidWu+σouZthZTuZRG′\'σouZu-∞Kε（s）-v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s）-u） dsidu。这给出了hψε，W it=εtdt，（B.5），其中εt=σouZTtZRG′σouZt-∞Kε（s）-v） dWv+σε0，s-tzp（z）dzKε（s）- t） ds，（B.6），也可以写成引理。随机过程ε的重要性质在下面的引理中说明。引理B.2。无论如何∈ [0，T]，我们有εT=ε1-Hθt+eθεt，（B.7），其中θ是确定性的，由θt=θ（t）定义- t） H-,θ=hG′iΓ（H+）（B.8）和θε是随机的，但小于ε1-H、 lim supε→0εH-1中断∈[0，T]E（eθεt）1/2= 0. （B.9）证据。首先回顾Eq。

（2.8）thatKε（t）=√εKtε, K（t）=σouΓ（H+）htH--Zt（t- s） H-E-sdsi。θε的期望值等于εt= σouhG′iZT-tKε（s）ds=σouhG′i√εZ（T）-t） /εK（s）ds。因此，差异εt- ε1-Hθt=σouhG′iε1/2Z（t-t） /εK（s）-嘘-σouΓ（H）-)可以用Eεt- ε1-Hθt≤ Cε1/2，（B.10）在t中均匀分布∈ [0，T]，对于某些常数C，因为ek（s）-嘘-σouΓ（H）-)在L中，我们有var（εt）=σouZTtdsZTtds′Kε（s-t） Kε（s′）- t） 冠状病毒EG′（Zεs）|Ft, EG′（Zεs′）|Ft≤ σouZTtdsKε（s）- t） 变量EG′（Zεs）|Ft1/2= σouZT-tdsKε（s）VarEG′（Zεs）|F1/2.Zεt的条件分布Zεt | F= σouZ-∞Kε（t）- u） dWuand方差VarZεt | F= （σε0，t）=σouZtKε（u）du。因此，VarEG′（Zεt）|F= 变量ZRG′EZεt | F+ σε0，tzp（z）dz.随机变量EZεt | F是均值为零且方差（σεt）的高斯分布，∞)= σouZ∞tKε（u）du，所以EG′（Zεt）|F=zrdzdz′p（z）p（z′）zrdudu′p（u）p（u′）×hG′σt，∞u+σε0，tz- G′σt，∞u′+σε0，tzi×hG′σt，∞u+σε0，tz′- G′σt，∞u′+σε0，tz′我≤ kG′k∞（σεt，∞)Zrdudu′p（u）p（u′）（u- u′=kG′k∞（σεt，∞). （B.11）因此，Var（εt）1/2≤ kG′k∞σouZT-tdsKε（s）Z∞sduKε（u）1/2≤ kG′k∞σouε1/2Z（T-t） /εdsK（s）Z∞sduK（美国）1/2.因为K（s）≤ 1.∧ KsH-, 这给了svar（εt）1/2≤ Cε1/2如果H<3/4，ε1/2ln（ε）如果H=3/4，ε2-2Hif H>3/4，（B.12）在t中均匀分布∈ [0，T]，对于某些常数C，这就完成了引理的证明。由（4.7）定义的随机项φεt的形式为φεt，t=EhZTtG（Zεs）dsFti。（B.13）在这里，我们在计算不同到期日的这些随机项的相关性时，明确地写下参数T（到期日）。引理B.3.1。无论如何≤ T，φεT，是一个标准偏差为ε1级的零均值随机变量-H、 ε2H-2E[（φεt，t）]ε→0-→ σφ（T）- t） 2H，（B.14），其中σφ由（4.10）定义。

φεt的协方差函数是任意t的下列极限≤ T，T′≤ T′，带T≤ t′，ε2H-2E[φεt，tφεt′，t′]ε→0-→ σφ（T）- t） H（t′）- t′）HCφ（t，t′；t，t′，（B.15），其中极限相关性为∞杜（u+r）H-- UH-（u+s）H-- （u+q）H-R∞杜（1+u）H-- UH-,（B.16）用q=t′表示- tp（T- t） （t′）- t′），r=√T- T√T′- t′，s=t′- tp（T）- t） （t′）- t′）3。Asε→ 0，随机过程εH-1φεt，t，t≤ T，在分布上（在有限维分布的意义上）收敛为高斯随机过程φT，T，T≤ T，平均值为零，协方差ε2（H-1） E[φt，tφt′，t′]=σφ（t-t） H（t′）- t′）HCφ（t，t′；t，t′）对于任何t∈ [0，T]，T\'∈ [0，T′，带T≤ t′.4。εH的四阶矩-1φεt，皮重一致有界：存在一个与ε无关的常数kt，因此∈[0，T]E[（φεT，T）]1/4≤ KTε1-H.（B.17）注意，对于t，t+H，极限过程φt，Tsatis fies的均方增量∈[0，T]，E（φt，t）- φt+h，t）=Γ（H+）Z∞杜（T）- T- h+u）h-- UH--（T）- t+u）H-- （u+h）h-+（u+h）h-- UH-=（T）- t） 2小时-1Γ（H+）H+o（H），H→ 0.（B.18）这表明极限高斯过程φt是标准布朗运动的局部正则性（作为t的函数）。我们也有，对于任何t<t≤ T+h，E（φt，t+h）- φt，t）=（T）- t） 2小时-2(2 - 2H）Γ（H）-)h+o（h），h→ 0.（B.19）这表明极限高斯过程φt是光滑的（均方可微分），作为成熟度t的函数。证据让我们假设T>0。对于t∈ [0，T]，T\'∈ [0，T′，带T，T′≤ T、 和T≤ t′，φεt的协方差，TisCov（φεt，t，φεt′，t′）=EhEhZTtG（Zεs）dsFtiEhZT′t′G（Zεs）dsFt′ii=ehzttg（Zεs）dsFtiEhZT′t′G（Zεs）dsFtii=ZT-tdsZT′-tt′-tds′CovEG（Zεs）|F, EG（Zεs′）|F.然后，继续证明previo-us引理，我们得到var（φεt，t）≤ZT-tdsVarEG（Zεs）|F1/2≤ 千克∞ZT-tdsσεs，∞.因为K（s）≤ 1.∧ KsH-, 这给出了（φεt，t）≤ CTε2-2H，均匀地在t中≤ T≤ T、 对于一些恒定的CT。