保险中copula模型的一种重要抽样方法

2022-5-12 00:37:13

InsurancePhilipp-Arbenz中copula模型的一种重要抽样方法*, Mathieu Cambou+，Marius Hoffert2015年4月7日摘要介绍了copula模型抽样的一种重要抽样方法。我们提出了两种算法，当感兴趣的函数主要取决于基本随机向量的行为时，当至少一个分量较大时，改进蒙特卡罗估计。这些问题通常来自金融和保险中的依赖模型。我们提出的ImportancesSampling框架是通用的，可以很容易地应用于所有类别的copula模型，从中可以进行采样。我们展示了如何优化这两种算法的建议分布，以减少采样误差。在一个典型的多变量保险应用启发下的案例研究中，我们得到了与标准蒙特卡罗估值器相比，在10到30之间的方差缩减因子。关键词：Copula，依赖模型，重要性抽样，保险，风险度量，taileven1简介许多保险应用，参见我们的动机第2节，导致计算形式为E[ψ（X）]的函数的问题，其中X=（X，…，Xd）：Ohm → RDI是概率空间上的随机向量(Ohm, F、 P）和ψ：Rd→ R是一个可测函数。如果不能假设X的分量是独立的，那么通常用copula来模拟X的分布，比如p[X]≤ 十、除息的≤ xd]=C（FX（x），FXd（xd）），x∈ 其中FXj（x）=P[Xj≤ x] ，j=1，d、是边际累积分布函数（cdf）和C:[0,1]d→ [0，1]是一个连接词。copula可以将依赖结构从边缘分布中分离出来，这有助于构建多元随机模型。我们假设读者对连词有基本的了解，并参考麦克尼尔等人。

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kedemingshi

2022-5-12 00:37:16

（2005）或尼尔森（2006）的介绍。估计E[ψ（X）]的常用方法是通过蒙特卡罗模拟。在精算实践中，通常一组低概率的X的结果对E[ψ（X）]有很大的贡献。在这种情况下，重要性抽样可以增加该集合中的样本数。通过加权方法，可以得到方差减小的无偏估计量。*SCOR全球P&C，Guisan Quai将军26号，瑞士兹里希8022号：philipp。arbenz@gmail.com+瑞士洛桑1015号EPFL 8号站数学研究所：mathieucambou@gmail.com加拿大滑铁卢大学统计与精算科学系：马吕斯。hofert@uwaterloo.caAnGlasserman和Li（2005）以及Huanget al.（2010）分别对Gauss copula和Bee（2011）的绝对连续copula进行了研究。这些论文的灵感来自金融应用中的copula模型，并假设copula是高斯函数或具有已知密度。然而，保险中使用的连接词往往偏离这些假设。本文的主要贡献是研究了不依赖特定copula结构的重要抽样技术。我们考虑的情况是，当至少一个分量较大时，感兴趣的函数ψ主要取决于随机向量X的行为。此类问题通常来自金融和保险领域的依赖模型，其中涉及重尾分布的扭曲预期。我们为这个设置提出了一个新的重要抽样框架，它可以用于所有类别的copula模型，从中抽样是可行的。本文的组织结构如下。在第2节激励我们的工作之后，我们将在第3节介绍重要性抽样方法。

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2022-5-12 00:37:21

第4节介绍拒绝采样算法，第5节介绍直接采样算法。对于每一个问题，我们展示了建议分布的抽样、重要性抽样权重的计算，并讨论了建议分布的最佳选择。第6节讨论了我们的算法在罕见事件环境下的效率。第7节给出了一个案例研究，第8节得出结论。2动机在copula模型中，我们可以写成[ψ（X）]=E[ψ（U）]，其中U=（U，…，Ud）：Ohm → RDI是一个具有分布函数C，ψ：[0，1]d的随机向量→ R定义为ψ（u，…，ud）=ψF-1X（u），F-1Xd（ud）,和F-1Xj（p）=inf{x∈ R:FXj（x）≥ p} ，对于j=1，d、如果C和裕度FXjare已知，我们可以使用蒙特卡罗模拟来估计E[ψ（U）]。对于U的随机样本{Ui:i=1，…，n}，E[ψ（U）]的蒙特卡罗估计由un=nnXi=1ψ（Ui）给出。（2.1）在本文中，我们考虑的情况是，只有当其至少一个参数为1时，ψ才是大的，或者如果X的至少一个分量是大的，则是等价的。这一假设受到了保险业若干应用的启发，如以下示例所示：o具有免赔额T的止损险的公平保费为EhmaxnPdj=1Xj- T、 0oi。

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2022-5-12 00:37:24

相应的函数为ψ（u）=maxnPdj=1F-1Xj（uj）-T、 0o；关于两个帕累托边缘的ψ等高线图，参见图1的左侧总体S=Pdj=1Xj的风险度量，如风险价值、VaRα或预期短缺、ESα、α∈ （0，1），一般不能写成E型期望[ψ（X）]。然而，它们是聚合分布函数FS（x）=P[S]的泛函≤ x] =E[ψ（x）（U）]，其中ψ（x）（x）∈ R）指示函数ψ（x）（u）=1F-1X（u）+··+F-1Xd（ud）≤ 十、.保险3u1u20中copula模型的一种重要抽样方法。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.21512051010020050010005000图1：左：超额函数的等高线ψ（u，u）=max{F-1X（u）+F-1X（u）- 10，0}，其中利润率是帕累托分布，FX（x）=1-（1+x/4）-2和FX（x）=1-（1+x/8）-2.灰色区域表示ψ为零的位置。右：乘积函数ψ（u，u）=F的等高线-1X（u）F-1X（u），其中X~ LN（2，1）和X~ LN（1,1.5）。因此，我们可以将rα（S）=infnx写入∈ R:E[ψ（x）（U）]≥ αo，ESα（S）=1- αZαVaRu（S）du，它只依赖于E[ψ（x）（U）]≥ α保持不变。这是由S的尾行为决定的，当至少一个音调分量接近1时，它强烈地受到copula C属性的影响。请注意，资本分配方法，如预期缺口的Euler原则，表现类似，见Tasche（2008）和McNeil等人（2005），第260页计算两个正重尾随机变量xandx的协方差（或相关性）需要计算E[XX]。隐含的泛函是ψ（u，u）=F-1X（u）F-1X（u）。对数正态（LN）裕度的ψ等高线图如图1右侧所示。与前面的例子相比，这个ψ不仅取决于（X，X）的尾部行为。

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2022-5-12 00:37:27

然而，当至少一个参数接近1时，E[ψ（U）]主要取决于copula行为，因为在这种情况下，ψ变大。请注意，在这个框架中，我们遵循（McNeil等人，2005年，备注2.1）的约定，即外部参照是指损失和-在精算背景下，这一点更为常见。人们也可以很好地处理损益随机变量-通过将感兴趣的区域更改为X的分量较小的区域。3重要性抽样重要性抽样背后的理念是从不同于目标分布C的提案分布Fv中抽样。提案分布将更多样本集中在该区域，从而对E[ψ（U）]做出更大贡献。通过适当的加权方法，可以得到方差较低的无偏估计量。假设所考虑的函数ψ在上述类别中：如果至少有一个参数接近1，则ψ是大的。在这种情况下，估计器unin（2.1）的一个缺点是，保险中copula模型的重要抽样方法通常，对于许多样本Ui，没有一个分量接近1。因此，大多数样本位于低兴趣区域。因此，即使n很大，uncan的估计误差也会很大。设V=（V，…，Vd）：Ohm → [0,1]d注意一个随机向量的分布函数FV。我们可以重写积分E[ψ（U）]asE[ψ（U）]=Z[0,1]dψ（U）dC（U）=Z[0,1]dψ（U）dC（U）dFV（U）dFV（U）=Eψ（V）dC（V）dFV（V）, （3.1）式中，dC/DFV表示C相对于FV的氡-Nikodym导数。Radon–Nikodym导数存在的充要条件是copula C相对于FV是绝对连续的。我们将在本节后面提供有关此问题的更多详细信息。如果C和fV与Lebesgue测量的密度C和fV绝对连续，则氡-尼科德姆导数C/dFVis只是密度C/fV的比值。身份证。

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kedemingshi

2022-5-12 00:37:30

样本{Vi:i=1，…，n}对于V，我们可以确定重要性抽样估计器bun=nnXi=1ψ（Vi）w（Vi），（3.2），其中w（Vi）=dC（Vi）/dFV（Vi）是样本权重。然后，我们的目标是找到FV，使得bu的方差小于nu的方差。为了确定建议分布FV，我们建议采用一种混合方法，即采用多变量cdf C[λ]：[0,1]d的加权平均值→ [0,1]在λ的不同值上。设F∧表示随机变量∧的分布函数：Ohm 7.→ [0,1）。然后我们定义了C[λ]的混合物在分布F∧：FV（u）=ZC[λ]（u）dF∧（λ），u上的分布∈ [0,1]d.应将分布C[λ]理解为copula C的扭曲版本，其将样本集中在采样空间的特定区域。然后，这些区域将通过λ的值进行参数化。更准确地说，我们将构造C[λ]，使其仅将质量置于区域[0，1]d\\[0，λ]d中。在续集中，我们将提出C[λ]的两个可能定义，这将定义两个重要的采样算法，即第4节中的拒绝采样算法和第5节中的直接采样算法。我们将看到这种混合方法是自然的，以允许C相对于FV是绝对连续的。特别是，如果满足以下条件，则任何copula C都可以保证绝对连续性。条件A.随机变量∧满足P[∧=0]>0。为了获得明确的权重函数w（V）和无偏估计量bun，必须满足条件a。这种情况不需要对C进行特别的假设。虽然它看起来有限制性，但我们将看到它也需要有一个一致的估计量bun。

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2022-5-12 00:37:33

为此，我们要求满足以下条件。建议分布FVas a C[λ]混合物的构造直接产生采样方法，因为人们可以通过第一次绘制∧来绘制FVas的实现~ F∧然后是V~ C[λ]。因此，可以使用以下算法来计算bun：算法3.1。修理∈ N.对于i=1，n、做：1。画∧i~ F∧；2.画Vi~ C[i]；3.计算w（Vi）；保险中copula模型的一种重要抽样方法-1Pni=1ψ（Vi）w（Vi）。下面的引理建立了估计量bun的一致性和渐近正态性。引理3.2。假设var[ψ（U）]<∞ 而w（·）≤ 对于某些常数B<∞. 然后1。bun几乎肯定会使P收敛到u；2.σ=var[ψ（V）w（V）]<∞ 和n1/2（bun- u）在分布上收敛到N（0，σ）。证据1.由于E[ψ（V）w（V）]=E[ψ（U）]，一致性直接来自强拉金数定律。2.注意ψ（V）w（V）= Eψ（U）w（U）≤ Eψ（U）B<∞,如果第一个平等是通过改变衡量标准来确定的，请参见（3.1）。我们可以通过中心极限定理立即降低bun的渐近正态性，例如，参见第2节。4在Durrett（2010）中，第110页。我们随后将证明，在F∧的一些温和假设下，权函数确实会在[0,1]上有界。4.一种拒绝采样算法对于该算法，我们提出C[λ]来表示U的分布，条件是其至少一个分量超过λ：C[λ]（U）=P[U]≤ UUd≤ ud | max{U，…，ud}>λ]=P[U≤ UUd≤ ud | U/∈ [0，λ]d]=C（u）- C（min{u，λ}，…，min{ud，λ}）1- C（λ1），其中λ1=λ（1，…，1）=（λ，…，λ）∈ [0,1）d.注意，只有当C（λ1）=0时，C[λ]才是copula，但我们的算法不需要C[λ]是copula。通过在（0，1）上加上∧的质量，我们可以在至少有一个分量较大的copula区域上加上更多的权重。

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2022-5-12 00:37:37

例如，如果F∧是离散的，且P[λ=0]=P[λ=0.9]=0.5，则V的50%样本仅限于位于[0，1]d \\[0，0.9]d，而其他50%样本将位于[0，1]d。请注意，[0，1]d \\[0，0.9]d上的质量将高于50%。另一方面，在P[λ=0]=1 yieldsFV=C.4.1抽样方案分布的情况下，我们现在将描述如何从Fv中提取样本。由于FVis是通过混合分布定义的，因此通过绘制第一个∧来绘制FVis的实现~ F∧然后是V~ C[λ]，见算法3.1。不幸的是，对于众所周知的copula类，条件分布C[λ]在分析上是不可处理的。我们只知道一类冲击copula，即Marshall–Olkincopula，可以直接从条件分布C[λ]中采样。附录A中提供了详细信息和相应的算法。然而，对于任意copula C，从C[λ]进行采样始终可以通过rejectionalgorithm实现，该算法实现简单，但由于拒绝步骤的存在，可能会很耗时。因此，使用下面的拒绝算法，可以从fv中提取任何copula C的样本。唯一的条件是，从F∧和C中提取实现是可行的。没有必要了解C的进一步性质，例如其密度。其基本思想是首先从f∧中画出一个实现∧，然后从C迭代地画出实现，直到得到大于∧的最大分量。保险6算法4.1中copula模型的一种重要抽样方法。得出FV的一个实现：1。画∧~ F∧；2.反复画V~ C直到max{V，…，Vd}>∧；3.返回V.算法4.1的一个缺点是，由于步骤2中的接受条件，通常会丢弃许多C样本。

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大多数88

2022-5-12 00:37:40

在实践中，有两个重要原因可以证明这种方法比标准蒙特卡罗方法更合理。首先，如果需要计算边际分位数函数，或者如果ψ没有闭合形式，那么计算ψ在数值上可能比从copula采样更昂贵。第二，在计算机内存中存储大量U样本可能比生成U样本的成本更高。例如，这种情况可能出现在估算分配资本时，这需要存储整个多元样本。特别是在高维问题中，内存约束可能非常令人望而却步。为便于说明，请考虑以下示例：对于在有大量尾随保证金的情况下计算风险资本和风险贡献，10\'000\'000的样本通常不足以产生足够小的估计误差。然而，在1000维的双精度浮点数设置中，该样本需要大约80G的内存，这比目前计算机的平均RAM容量还要多。算法4.1可能需要从U中得到几个实现，以生成一个V的实现。下面的引理给出了获得V的实现的预期U数的表达式。引理4.2。让nv表示模拟fv的一个实现所需的从C抽取的次数。预期的牵引次数isE[NV]=Z1- C（λ1）dF∧（λ）。证据从U中抽取的概率~ C满足max{U，…，Ud}>λ是P[max{U，…，Ud}>λ]=1- C（λ1）。因此，从C[λ]模拟固定λ所需的绘图数量是随参数1几何分布的- C（λ1），并具有期望值1/[1- C（λ1）]。为了模拟V，从F∧中得出∧。因此，E[NV]通过平均1/[1]给出- C（λ1）]overF∧。使用Fr’echet–H¨offing界限（见McNeil等人的定理5.7）。

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2022-5-12 00:37:43

（2005）），我们可以给出E[NV]的以下界限，它只依赖于F∧和维数d，与copulaC无关。定理4.3。我们有1.- Λ≤ E[NV]≤ E1.- Λ.证据由于上Fr′echet–H¨offding界，我们有C（λ1）≤ 最小{λ，…，λ}=λ。因此，E[NV]=Z1- C（λ1）dF∧（λ）≤Z1- λdF∧（λ）=E1.- Λ.类似地，由于较低的Fr\'echet–H–o影响范围：E[NV]≥Z1- 最大{0，dλ- d+1}dF∧（λ）=Zmax1，d（1- λ)dF∧（λ）≥判定元件1.- Λ. 根据定理4.3，从V中得出一个实现所需的从C中得出的次数，当且仅当E[（1- Λ)-1] < ∞. 直觉上，这意味着∧不应该有质量集中在1附近，以便能够使用算法4.1。我们将在下一节中看到，copula c和F∧的特定选择将允许我们找到E[NV]的解析表达式。保险中copula模型的一种重要抽样方法74.2样本权重的计算本节概述了如何计算算法3.1中使用的权重w（Vi）。我们首先推导出一个有用的表示。定理4.4。Radon–Nikodym导数w（u）=dC（u）/dFV（u）可以写成w（u）=Zmax{u，…，ud}1- C（λ1）dF∧（λ）！-1.证据。根据莱布尼茨积分规则，我们得到了dFV（u）=RdC[λ]（u）dF∧（λ）。从C[λ]的定义，我们可以推导出微分C[λ]（u）=（0，u）∈ [0，λ]d，dC（u）1-C（λ1），否则。利用这两个恒等式，我们得到了dfv（u）=dC（u）Z1{λ≤ max{u，…，ud}1- C（λ1）dF∧（λ），得到期望的结果。我们方法的有效性来自于术语dC（u）没有出现在w（u）中这一事实。例如，如果C相对于Lebesgue测度是绝对连续的，则不必计算Cdoes的密度来计算w（u）。

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2022-5-12 00:37:46

与大多数其他重要的采样算法相比，这是一个优势，因为这些算法需要存在C的密度。为了简化符号，让ew（t）：[0，1]→ [0, ∞) 定义为新（t）=Zt1- C（λ1）dF∧（λ）-1，使得w（u）=ew（max{u，…，ud}）。引理4.5。在条件A下，ew从上方以P[∧=0]为界-1on[0,1]。证据因为C（λ1），λ∈ [0,1]，copula C的对角线部分和分布函数f∧都是递增函数，权重函数ew（t）在[0,1]上递减，因此它的上界为ew（0）=P[∧=0]-1< ∞. 因此，条件a不仅有助于获得权重的存在性，而且还能保证它们是有界的。根据引理3.2，这是重要抽样估计的一致性和合意正态性所必需的。对于一般的C和F∧，权重函数ew的计算可能会很困难。一般来说，可以使用数值积分格式。为了避免这些问题，我们提出了两个案例，其中电子战的评估是直接的。第4.2.1节说明了F∧离散的情况。在第4.2.2节中，我们假设copula C位于满足对角线上多项式条件的一大类copula中。对于这一类，有一个特定的F∧选择，这将导致ew的分析表达。4.2.1离散F∧本节表明，在离散F∧的情况下，计算ew（t）很快，并且很容易实现。为此，假设F∧是离散的，原子数为n∧：P[∧=xk]=pk，k=1，n∧，n∧Xk=1pk=1，p>0，0=x<···<xn∧<1。保险中copula模型的一种重要抽样方法8请注意，条件A是满足的。在这种情况下，ew可以写成阶跃函数ew（t）=n∧Xk=11{Xk≤ t} 一,- C（xk1）pk！-1.

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2022-5-12 00:37:49

（4.1）为了评估ew（t），有必要计算（或近似计算）k=1，n∧。对于整个样本，这些值只能计算一次。这种离散F∧的方法可以用于任何copula C。对于E[NV]，我们得到显式表达式E[NV]=n∧Xk=1pk[1]- C（xk1）].4.2.2连续F∧对于连续F∧，通常只能通过数值计算权函数ew。在下文中，我们假设C和F∧都是一种特殊的多项式形式，这导致了一个明确的结果。假设C在其对角线上表现为单项式：C（u1）=uα，0≤ U≤ 1.由于Fr’echet–H–offing界限，α必须满足1≤ α ≤ d、这类连接词相当大。下面的列表显示了一些流行的copula族满足这个条件Marshall–附录A示例A.2中提出的Olkin连接函数。相应的指数为α=Pmj=1mini:j∈二级（sj/esi）Sibuya copulas，如Hoffert和Vrins（2013）所定义，其违约率过程是一个非齐次泊松过程具有Pickands依赖函数a的极值连接函数。相应的指数α=dA（1/d，…，1/d）；关于极值连接函数的定义，请参见McNeil等人（2005）的第7节。注意，例如，这个类包含著名的Gumbel copula。除了copula C，我们还对F∧[0,1]做了一些特殊的假设→ [0, 1].假设f∧（λ）=（1）- γ) + γ1.- (1 - λα)β, β > 1, 0 ≤ γ ≤ 1.参数α由copula对角线的指数给出，因此不能自由选择。此外，F∧有一个重量为1的原子- γ等于零。这种分布类似于库马拉斯瓦米（1980）的分布。在这种情况下，权重函数可以很容易地计算为w（t）=1.- γ+γβZtαλα-1(1 - λα)β-2dλ-1=β - 1β- 1 + γ (1 - β(1 - tα）β-1). （4.2）作为E[NV]=1/ew（1）（c.f。

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kedemingshi

2022-5-12 00:37:52

引理4.2），我们得到了E[NV]：E[NV]=1+γβ的显式表达式- 1.（4.3）为了满足条件A，我们假设γ<1。事实上，利用超几何函数的性质，可以证明对于γ=1，权函数是无界的，且权的方差var[w（V）]总是有限的。有许多copula类有明确的对角线。例如，克莱顿家族是对角线C（t1）=（dt-θ-d+1）-对于某些0<θ<∞. 在未来的研究中，我们可能会指出，找到连接函数的“共轭”F∧是一件有趣的事情，它也允许W（·）的显式形式。保险中copula模型的一种重要抽样方法94.3最优建议分布本节给出了一种针对当前问题校准分布F∧的方法。基本方法是选择建议分布Fv，使bunHa的方差小于un。在我们的例子中，这减少到最佳选择分布F∧。一般来说，F∧必须在0处有一个原子才能满足条件A。如果使用算法4.1进行采样，我们还需要满足E[1/（1）的约束- ∧）]不是太大，尤其是有限。对于bunifψ（u）w（u）=e[ψ（u）]，u，将获得零方差（即无估计误差）∈ [0,1）d，（4.4）见Asmussen和Glynn（2007）第128页第4.1节。由于[ψ（U）]未知，显然不可能做出这种选择。为了得到一个小的方差，我们应该选择∧，这样w（u）-1与ψ（u）近似成正比。根据定理4.4，我们可以把这个关系写成kzmax{u，…，ud}1- C（λ1）dF∧（λ）≈ ψ（u），（4.5）对于某些未知常数K∈ R+。为了得到一个易于处理的优化方案，我们假设ψ（u）是大的，如果它至少有一个分量是大的，即ψ（u）≈ Ψmax{u，…，ud}1. （4.6）将（4.6）插入（4.5），我们得到了ZT1- C（λ1）dF∧（λ）≈ ψ（t1），t∈ [0, 1].

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2022-5-12 00:37:56

（4.7）在下文中，我们提出了校准F∧的方法，以满足近似关系（4.7）。我们用F∧的两个选项来说明这种校准，即离散和连续。4.3.1离散F∧在离散情况下，如第4.2.1节所定义，指定分布F∧将减少到设置原子xk，并将其权重pk=P[∧=xk]用于k=1，n∧。通过将F∧插入（4.7），我们得到kn∧Xk=11{Xk≤ t} pk1- C（xk1）≈ ψ（t1），t∈ [0,1）。（4.8）我们建议通过强制等式（4.8）仅适用于t=x，…，xn∧来设置pk。在不丧失普遍性的情况下，假设xk<xk+1对于所有k，等式（4.8）导致Tokxl=11- C（xl1）pl=ψ（xk1），k=1，n∧。这就产生了一个三角形线性方程组，可以用以下算法轻松求解：；我们建议选择有限对数网格上的xk，密度朝1变大。算法4.6.1。选择n∧∈ N2.定义xk=1- （1/2）k-1，k=1，n∧；3.定义ep=ψ（0，…，0）和epk=（ψ（xk1）- ψ（xk）-11)) (1 - C（xk1）），对于k=2，n∧；4.定义pk=epk/（Plepl）。保险中copula模型的一种重要抽样方法使用1/2的幂来设置xk是任意的；可以使用（0，1）中的任何其他因子。在数值实验中，这种选择的影响通常很小，因为计算结果会相应改变。在以下情况下，算法4.6可能会失败：o如果p=0，则F∧不满足条件A；o如果t 7→ ψ（t1）不是单调的，那么算法4.6会导致一些pk为负如果函数ψ在（0，…，0）处没有达到一个限定值。自n∧<∞, 条件E[1/（1）]- Λ)] < ∞ 是自动满足的。当然，我们也可以对∧使用离散分布，由无数点支持。

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能者818

2022-5-12 00:37:59

然而，在第7节所述的案例研究的实验中，这导致等待时间E[NV]变大，但在使用拒绝采样时没有提供额外的准确性。4.3.2连续F∧在连续情况下，如第4.2.2节所述，不幸的是，优化不能像离散情况那样简单明确地进行。通过将F∧，见等式（4.2）代入（4.7），我们得到k1+γ1.- β(1 - tα）β-1.β - 1.≈ ψ（t1），t∈ [0, 1]. （4.9）为了优化F∧，我们需要找到参数K∈ R、 γ∈ （0,1）和β>1，使（4.9）左右两侧之间的距离最小化。例如，作为距离函数，可以使用二次范数。这种最小化可以通过标准的数值最小化程序来实现。回想一下，α是通过copula的对角线固定的。为了使E[NV]不过高，可能需要通过将E[NV]限定为1+γ/（β）来施加进一步的参数约束- 1） .5直接采样算法如前一节所述，拒绝采样算法可能会由于拒绝步骤而导致较大的采样时间。由于C[λ]定义中条件作用事件的复杂性，这一步骤是必要的。我们现在考虑c[λ]（u）=d-1dXi=1P[U≤ UUd≤ ud | Ui>λ]（5.1）=d-1dXi=1C（u）- C（u，…，ui）-1，min{ui，λ}，ui+1，ud）1- λ、 u∈ [0，1]d.该分布仅涉及条件连接，其中条件事件仅在随机向量U的一个元素上。这将具有实际优势，即可以提供直接采样算法，即没有拒绝步骤。5.1抽样建议分布et us表示条件copula，假设第k分量等于uk，即isCuk（u，…，uk）-英国+1，ud）=P[U≤ U英国-1.≤ 英国-英国+1≤ 英国+1。

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大多数88

2022-5-12 00:38:02

，Ud≤ ud | Uk=Uk]。然后，可以使用以下算法从FVS中进行采样。算法5.1。给出FV的一个实现：保险业中copula模型的一种重要抽样方法。画∧~ F∧；2.我画∈ {1，…，d}，其中P[I=I]=d-1.3.画VI~ U（λ，1）；4.画（V，…，VI）-1，VI+1，Vd）~ CVI；5.返回V=（V，…，Vd）。该算法的主要优点是不拒绝任何样本，因此，与算法4.1相比，其运行时间不依赖于分布F∧。此外，我们可以证明，使用拒绝算法从（5.1）生成样本将产生预期的等待时间E[（1）- Λ)-1] ，这将高于第4节中给出的拒绝采样的预期等待时间，见定理4.3。这证明了一个事实，即我们为这两种算法中的每一种提出了两种特定的C[λ]分布。在算法5.1的步骤4中，需要一个条件copula Cuk的采样算法，其中k可以是任意一个d分量。根据copula Cuk的形式，可以使用有效的抽样算法，例如见下面的示例5.3和5.4，或者可以使用条件分布法。请注意，条件分布方法应用于，例如，对藤连接函数进行采样；参见VineCopula R软件包。按照Embrechts等人（2003年）的思路，我们随后提出了以下通用算法来从Cuk中进行采样。算法5.2。鉴于英国∈ R、要实现Cuk，请执行以下操作：1。吸引你=U英国-英国+1，Ud~ U（0，1）d-1.2、setU=C-1（英国）。。。英国-1=C-1（英国）-1 | U，英国-2，英国）英国+1=C-1（英国+1 | U，…，英国）-2、英国-1、英国）。。。Ud=C-1（Ud | U，…，英国）-1，英国，英国+1，Ud-1)3. 返回（U，…，英国）-英国+1，Ud）。根据Schmitz（2003）的定理2.27和备注2.29，我们得到了k>jC（uj | u。

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2022-5-12 00:38:05

，uj-1，英国）=D1，。。。，J-1，kC1，。。。，J-1，j，k（u，…，uj）-1，uj，英国）D1，。。。，J-1，kC1，。。。，J-1，k（u，…，uj）-1，英国），（5.2）哪个简化了toC（uj | u，…，uj-1） =D1，。。。，J-1C1，。。。，J-1，j（u，…，uj）-1，uj）D1，。。。，J-1C1，。。。，J-1（u，…，uj）-1）当k<j.这里，D1，。。。，j、 kdenotes关于组分1，…，的偏导数，j、 k和C1，。。。，j、 kdenotes对应于这些成分分布的copula。一般来说，条件分布（5.2）的易处理反演并不总是可用的，需要应用数值根查找。然而，在某些情况下，人们可以明确地推导出这样的反例，例如，参见示例5.5。因此，尽管该算法不涉及拒绝步骤，但可能需要更多的实现工作。保险中copula模型的重要抽样方法12例5.3（Farlie–Gumbel–Morgenstern copula的直接抽样）。Farlie–Gumbel–Morgenstern（FGM）copula由cθ（u）=dYi=1ui定义1+θdYj=1（1- （uj）, U∈ Rd，带θ∈ [-1，1]，参见，例如Genest等人（2011年）。这个连接词是更一般的伊劳-法利-甘贝尔-摩根斯坦连接词的一种特殊形式，参见Jaworski等人（2010）的第19页。这很容易看出ukCθ（u）=dYi=1，i6=kui1 + θ(1 - 2uk）dYi=1，i6=k（1- 用户界面）= Cθ（1）-英国，英国-英国+1，其中Cθ（1）-2uk）是一个具有参数θ（1）的FGM copula- 2英国）∈ [-1, 1]. 因此，从CθUK的采样减少为从Cθ（1）的采样-2英国）。为此，可以使用条件分布方法。制作样本~ Cθ确实可以简化为U~ U（0，1）并设置U=U，Ud-1=Ud-1，andUd=2Ud1+W+p（1+W）- 4W Ud，其中W=θQd-1j=1（1- 2Uj），详见Remillard（2013）第8.7.12节。例5.4（Frank copula的直接抽样）。

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2022-5-12 00:38:09

根据Mes FIOUI和Quessy（2008）第6节，如果C（u）=ψψ-1（u）+··+ψ-1（ud）是一个d维阿基米德copula，带生成元ψ，然后- 1）多元分布Cukis的维copulac也是阿基米德分布，生成元ψuk（t）=ψ（t+ψ）-1（uk））ψ（ψ-1（英国）），t∈ [0, ∞].这可以用来证明如果C是一个带有参数α的Frank copula∈ R和发生器ψα（t）=-α-1日志（1）- (1 - E-α） e-t）然后，CUKC可以用参数θ（α，uk）=1的Ali–Mikhail–Haq型copula的多元分布建模- E-αuk，生成元ψθ（α，uk）（t）=1- θ（α，uk）et- θ（α，uk）（5.3）和具有分位数函数的边际分布-1α，英国（u）=-α对数E-α- 11+e-αuk（u-1.- 1)+ 1, U∈ [0, 1]. （5.4）因此，从Cukis的采样减少为从带有生成器（5.3）的Ali–Mikhail–Haq copula的采样，例如使用快速马歇尔–奥尔金算法，参见Hofer（2010）中的第2.4节和第2.5节，然后将分位数函数（5.4）应用于copula样本。以类似的方式，如果Cis阿基米德算法使CUKI易于使用马歇尔-奥尔金算法进行采样（许多示例和技术都是已知的），并且边缘分布易于反转，则可以获得算法5.1中步骤4的快速采样技术。示例5.5（Clayton copula的条件分布方法）。克莱顿copula由cθ（u）=1+dXi=1（u）定义-θi- 1)!-1/θ，u∈ Rd，θ>0时保险中copula模型的一种重要抽样方法。使用（5.2），我们可以表示cθ(-1）（uj | u，…，uj-1，英国）=1+1- （j）- 1） +j-1Xk=1u-θk！（uj）-J-1+1/θ- 1.!-1/θ，这使我们能够轻松实现算法5.2.5.2样本权重的计算。对于拒绝采样方法，我们推导了算法5.1中使用的权重w（Vi）的表示。定理5.6。

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2022-5-12 00:38:12

Radon–Nikodym导数w（u）=dC（u）/dFV（u）可以写成w（u）=d-1dXi=1Zui1- λdF∧（λ）！-1.证据。注意到dC[λ]（u）=dC（u）d（1- λ） dXi=11{ui>λ}，我们进行类似于定理4.4的证明。在拒绝采样算法中，我们注意到dC（u）不出现在w（u）中，因此C的密度的存在不是推导权重的要求。为了确保重要性抽样估计的一致性和渐近正态性，我们还将检查权函数的有界性。引理5.7。在条件A下，权函数w从上到下的界为P[λ=0]-1on[0,1]。证据我们注意到所有成分的w（u）都在减少。因此，它在byw（0，…，0）=P[λ=0]上有界-1< ∞. 对于一般的F∧，权重函数w的计算可能会很困难。一般来说，可以使用数值积分方案。为了避免这些问题，我们建议对F∧使用与第4节相同的设置，即离散情况和连续情况。5.2.1离散F∧如果F∧是离散的，使得P[∧=xk]=pk，P>0，k=1，n∧，0=x<···<xn∧<1，则可以写成w（u）=ddXi=1n∧Xk=11{Xk≤ ui}1- xkpk！-1.（5.5）5.2.2连续F∧取∧asF∧（λ）=（1）的cdf- γ) + γ1.- (1 - λ)β, β > 1, 0 ≤ 对于任何copula C，γ<1给出了权重sw（u）=β的以下闭合形式- 1β- 1 + γ - γβd-1Pdi=1（1- ui）β-1.（5.6）注意，我们不需要对copula对角线进行任何限制，与第4.2.2节不同的是，保险145.3最优方案分配中copula模型的重要抽样方法为了获得较小的方差，我们应该选择∧，以便w（u）-1与ψ（u）近似成正比。根据定理5.6，我们可以把这个关系写成kd-1dXi=1Zui1- λdF∧（λ）≈ ψ（u），（5.7）对于某些未知常数K∈ R+。

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2022-5-12 00:38:15

根据拒绝抽样方法，我们将把校准限制在对角线上，以获得一个易于处理的优化方案，我们使用假设ψ（u）≈ Ψmax{u，…，ud}1. 因此（5.7）降低了toKZt1- λdF∧（λ）≈ ψ（t1），t∈ [0, 1]. （5.8）在下文中，我们提出了校准F∧的方法，以满足近似关系（5.8）。我们用第5.2.1节和第5.2.2.5.3.1节中概述的F∧的两种选择来说明这种校准，在离散情况下，我们得到KN∧Xk=11{Xk≤ t} pk1- xk≈ ψ（t1），t∈ [0,1]。（5.9）我们建议通过强制（5.9）中的等式来确定pk，该等式仅适用于t=x，…，xn∧，这导致三角形系统kkxl=11- xlpl=ψ（xk1），k=1，n∧。在拒绝抽样方法中选择xk，我们可以使用以下算法求解pk：算法5.8.1。选择n∧∈ N2.定义xk=1- （1/2）k-1，k=1，n∧；3.定义ep=ψ（0，…，0）和epk=（ψ（xk1）- ψ（xk）-11)) (1 - xk），对于k=2，n∧；4.定义pk=epk/（Plepl）。5.3.2连续F∧在连续情况下，不幸的是，优化不能像离散情况下那样容易和明确地完成。在这种情况下，K上的优化∈ R、 γ∈ （0,1）和β>1被执行为“1+γ”1.- β(1 - t） β-1.β - 1#≈ ψ（t1），t∈ [0, 1]. （5.10）罕见事件分析中copula模型的重要抽样方法由于重要抽样技术旨在用于与罕见事件相关的函数ψ为大集合的情况，我们可能希望在罕见事件设置中研究算法的效率。我们将把ψ（s）（u）看作一个只在小概率集上取非零值的函数。设p（s）=Eψ（s）（U）是兴趣的可能性。罕见的事件背景假设LIM→1p（s）=0。

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2022-5-12 00:38:19

对于每个s，我们将选择一个新的混合分布F（s）∧，因此改变建议分布F（s）的校准及其采样成本，我们将表示T（s）。在直接抽样算法中，见第5节，该抽样成本在s中是有限且恒定的，其阶数为E[（1- Λ)-1] ，参见第4节“拒绝采样算法”中的定理4.3。设bu（s）n=n-1Pni=1ψ（s）（Vi）w（s）（Vi）为重要抽样估计。在罕见的事件设置中，我们理想的目标是有界相对误差，如s→ 参见Asmussen and Glynn（2007）中的第六章，islim sups→1varhbu（s）nip(s)T（s）<∞. （6.1）用其上限n替换varhbu（s）NiB-1Eψ（s）（V）w（s）（V）, 我们的目标是找到一种能够满足需求的算法→1n-1Eψ（s）（V）w（s）（V）p(s)T（s）<∞. （6.2）首先注意，最优性条件（4.4）保证ψ（s）（V）w（s）（V）/p(s)∝ 1.我们现在假设F（s）∧的校准条件温和，这将是获得效率标准（6.2）所需的条件。条件B.对于所有s>0，构造∧的离散分布，使得存在sk∈ {1，…，n∧}，其中xk=s，pk>0。我们首先研究了第4节中的拒绝抽样情况，将我们自己局限于∧的离散分布设置。虽然文献中典型的罕见事件集考虑了边缘的总和，但我们将考虑最大值，这使我们能够保持在{maxiui>s}的罕见事件框架内 {Piui>s}，u∈ [0,1]d.定理6.1。假设ψ（s）（u）=1{maxiui>s}，并且建议分布fv和相应的权重函数w（u）如第4节所示。此外，假设F∧是一个离散分布，原子数n∧为P[∧=xk]=pk，k=1，n∧，0=x<···<xn∧<1，按照算法4.6进行校准，条件B保持不变。表示k*u=max{1≤ K≤n∧：xk≤ maxiui}，u∈ [0,1）d。

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能者818

2022-5-12 00:38:22

那就吃吧→1Eψ（s）（V）w（s）（V）p(s)< ∞.保险证明中copula模型的一种重要抽样方法。在条件B下，我们有xk*U≥ 事件{maxiui>s}上的s。因此，Z[0,1]dψ（s）（v）w（s）（v）dFV（v）=Z[0,1]dψ（s）（u）w（s）（u）dC（u）=Z[0,1]dψ（s）（u）n∧Xk=1epk！n∧Xk=11{Xk≤ maxiui}epk1- C（xk1）！-1dC（u）=Z[0,1]dψ（s）（u）n∧Xk=1ψ（s）（xk1）（C（xk1）- C（xk-11))!ψ（s）（xk）*u1）-1dC（u）=Z[0,1]dψ（s）（u）（C（xn∧1）- C（s1））dC（u）≤ (1 - C（s1））Z[0,1]dψ（s）（u）dC（u）=（p（s）），（6.3）证明了该定理。请注意，定理6.1保证了（6.1）中的有界相对误差→1吨（s）<∞. 对于拒绝算法来说，这是不成立的。事实上，自从E[（1- Λ)-1] =Pn∧k=1pk/（1）-xk），我们根据定理4.3得出→1T（s）=∞ 在条件B下，在直接抽样的情况下，我们可以证明定理6.1的相应版本，对任何i=1，…，取ψ（s）（u）=1{ui>s}，d和k*u=max{1≤ K≤ n∧：xk≤ ui}，u∈ [0,1）d.由于该算法的计算成本T（s）常数为s，因此在罕见事件设置中，应优先使用该算法，而不是拒绝采样算法，尽管它可能需要更多的实施效果。建议分布Fv的校准是基于以下假设进行的：≈ψ（maxiui1）。在定理6.1中，我们已经能够证明当ψ（u）=1{maxiui>s}对于一些s∈ （0，1），即当假设成立且相等时，则e[ψ（V）w（V）]≤ E[ψ（U）]。ByJensen不等式我们得到了E[ψ（V）w（V）]≤ E[ψ（U）]，因此var（bun）≤ var（un），因此估算值的方差较小。尽管假设ψ（u）≈ ψ（maxiui1）是保险数学中的典型应用，它通常不具有相等性，因此不容易合并到一个分析框架中，以证明某种方差折减因子。

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2022-5-12 00:38:25

然而，我们在第7节的数值案例研究中说明，对于几个典型的保险问题，我们得到了实质性的方差减少。7案例研究在本节中，我们将说明与保险应用相关的泛函ψ的重要性抽样算法的性能。我们将在同一示例中使用第4节和第5节中定义的两种重要抽样算法。我们使用三个随机向量，分别为d=2、d=5和d=25。我们的案例研究将假设X=（X，…，Xd）的边际分布为对数正态分布，参数化为Xj~ LN（10-0.1j，1+0.2j），j=1，d、每个利润率的预期收益率，即e[Xj]=36315.5和标准偏差e[Xj]√e1+0.2j- 1.我们将考虑两个连接词的例子，即Clayton和Gumbel。Kendall的tau值，例如，见Nelsen（2006）中的第5.1.1节，每对边距之间的值为1/3，由此得出Clayton参数为1，Gumbel参数为1.5。请注意，我们的重要性抽样方法并不依赖于对copula的特定假设。因此，算法的一般行为不会随着依赖程度的增加而发生显著变化。本案例研究已使用R包copula实现。我们研究了以下五个X函数的估计。所有这些函数都是根据总损失S=Pdj=1Xj制定的，这是受精算实践中经常出现的风险聚合问题启发得出的：oE[max{S- T、 0}]，这是具有免赔额T的止损保险的公平保费。

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大多数88

2022-5-12 00:38:28

对于T，我们使用T=10d，约为S预期值的3倍；保险中copula模型的一种重要抽样方法17oVaR0。995（S）和ES0。99（S），分别是确定偿付能力资本低于偿付能力II和瑞士偿付能力测试的风险度量（见FOPI（2006）和CEIOPS（2010））E[X | S>F-1S（0.99）]和E[Xd | S>F-1S（0.99）]，代表根据欧拉原理分配给第一个和最后一个保证金的资本，见Tasche（2008）。为了便于校准和模拟，我们使用F∧的离散框架。由于我们希望使用相同的样本来估计所有目标函数，因此我们只对每个问题维度进行一次F∧校准。回想第2节，VaRα和ESα不能写成E型[ψ（X）]的预期。因此，我们使用停止损失目标函数eψ（u）=max{Pdj=1F来校准F∧-1j（uj）-T、 0}。仅当Pdj=1F时，该值为非零-1j（uj）高于免赔额T，因此使用此功能进行校准将有利于我们的应用感兴趣区域内高浓度的畸变样品。注意，F∧的校准取决于copula和重要抽样算法的选择，见第4.3.1节和第5.3.1节。离散点的数量设置为n∧=10。如表1所示，最高点x=1- (1/2)≈ 0.998，远远超出了考虑中的最高VaR水平。为了满足条件A，我们手动将XT的重量设置为p=0.1，并按比例减少其他重量。pkk=1的权重。

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2022-5-12 00:38:32

，n∧由使用Gumbel copula和拒绝采样方法进行的校准产生，如表1所示，尺寸d=2、5和25。k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10xk0。000 0.500 0.750 0.875 0.937 0.968 0.984 0.992 0.996 0.998d=2 pk0。100 0.000 0.000 0.000 0.115 0.325 0.206 0.128 0.787 0.048d=5 pk0。100 0.000 0.000 0.000 0.129 0.302 0.202 0.131 0.084 0.053d=25 pk0。100 0.000 0.000 0.000 0.022 0.252 0.216 0.174 0.135 0.102表1：使用Gumbel copula校准的概率权重pk。图2中绘制了权重函数ew（·）=w（·1）和5000个V样本的散点图，其中参考copula为Gumbel，并使用了拒绝采样方法。考虑到本案例研究的设置，很容易检查引理3.2是否满足要求。由于FV的构造，与copula样本相比，更多样本位于上边界或右边界附近。由于目标函数使用S分布函数的估计，我们将样本权重归一化为和1。这进一步减少了Geweke（2005）第4.2.2节或Liu（2008）第2.5.2节中提出的估算误差。为了评估重要性抽样带来的改进，我们对d∈ {2, 5, 25}. 我们使用n=10000的样本量来计算两种算法中每一种算法的重要性抽样器bu，以及所有目标函数的标准蒙特卡罗估计值u。总共500次重复被用来获得这些估计器的经验分布，从而估计它们的方差。虽然样本大小对样本方差的值有影响，但在算法效率的研究中，它不应扮演重要角色。表2、3给出了使用拒绝算法的Gumbel和Clayton情况的结果，表4、5给出了使用直接算法的Gumbel和Clayton情况的结果。

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