（90）形式为：dXi=ξidt+dWi（t）+ζiJidNi（t），（91）相应的科尔莫戈罗夫向后算子的形式为l（N）f=NXi=1NXj=1ρijfXiXj+ξifXi（92）+Pπ∈π（N）λπYi∈πJif~十、-Pπ∈π（N）λπf~十、≡ρf+ξ·f+Jf- Γf，其中j~十、=Pπ∈π（N）λπYi∈πJif~十、, （93）Jif~十、= iZXif（X，…，Xi）- JXN）e-ijdj，（94）和i=σiθi/σ。我们可以在正锥R（N）+中建立一个典型的定价方程。我们有电视t、 ~X+ L（N）Vt、 ~X= χt、 ~X, （95）Vt、 ~X0，k= φ0，kt、 ~Y, 五、t、 ~X∞,K= φ∞,Kt、 ~Y, （96）VT、 ~X= ψ~十、, （97）其中~X，~X0，k，~X∞,k、 ~N和N- 一维向量，~X=（X，…，xk，…，xN），~X0，k=十、0k。。。xN,~十、∞,k=十、∞KxN,~Yk=（x，…xk）-1，xk+1。。。xN）。（98）这里是χt、 ~X, φ0，k（t，~y），φ∞,k（t，~y），ψ~十、是已知的函数，是合同专用的。例如，联合生存概率Qt、 ~X我们有t、 ~X= 0，φ0，kt、 ~Y= φ∞,Kt、 ~Y= 0, ψ~十、= 1~X∈D（1，…，1）。（99）对应的伴随算子isL（N）+g~十、=ρg- ξ · g+J+g- νg，（100），其中j+g~十、=Pπ∈π（N）λπYi∈πJ+ig~十、, （101）J+ig~十、= iZ∞g（X，…，Xi+j，…，xN）e-ijdj，（102）很容易检查Zr（N）+hJif~十、G~十、- F~十、J+ig~十、id~X=0。（103）我们通过引入格林函数G来解方程（95）-（97）t、 ~X, 或者更明确地说，Gt、 ~x；0，~X, 以至于tG（t，~x）- L（N）+G（t，~x）=0，（104）Gt、 ^X（k）= 0，克t、 ^X（k）∞= 0，（105）克0，~X= δ~十、-~十、. （106）很明显，（VG）t+LV G- 一些相对简单的代数产生（VG）t+ ·~F（V，G）+ JV G- vj+G=χG，（108）式中~F=（F，…，Fi，…，FN）（109）=F（1）。。。，F（1）我。。。F（1）N+F（2）。。。，F（2）我。。。F（2）N≡~F（1）+~F（2），F（1）i=VXiG+ξiV G+Xj<iρijVXjG、 F（2）i=-五国集团- 五、Xj>iρijGXj.格林定理0，~X=ZR（N）+ψ~十、GT、 ~Xd~X（110）+XkZTdtZR（N）-1） +φ0，kt、 ~YgKt、 ~Yd~Y-ZTZR（N）+χt、 ~XGt、 ~Xdtd~X，其中gkt、 ~Y=GXkt、 X。。。，0k。。。，XN.

（111）因此，为了解决具有非均匀右手边和边界条件的反向定价问题，可以有效地解决具有均匀右手边和边界条件的格林函数的正向传播问题。特别是对于联合生存概率，我们有Q0，~X=Z~X∈D（1，…，1）GT、 ~XdX。。。dXN。（112）同样，对于第一家银行的边际生存概率，我们有0，~X=Z~X∈D（0，…，1）GT、 ~Xd~X（113）+XkZTdtZR（N）-1） +Qt、 ~YgKt、 ~Yd~Y.7银行资产负债表优化本节旨在增加我们模型的粒度。让我们回顾一下，首先我们将简单经济视为一个整体，并假设它是由商品和货币的随机需求驱动的，并描述了相应的货币回路。在这个框架中，实物和货币被统一对待。接下来，我们进入一个更精细的层次，描述了一个由相互关联的银行组成的系统，这些银行通过适应外部需求的变化来创造货币。现在，我们已经达到了我们理论中最精细的层次，考虑一家银行。我们强调，本文描述的MMC理论是一种自上而下的理论。然而，一旦从整体经济的主要一致性模式追溯到单个银行的水平，对银行盈利能力和风险管理的影响就很难估计。许多论文和专著涉及银行资产负债表优化问题的各个方面。这里我们只提几个。Kusy and Ziemba（1986）开发了一个多周期随机线性规划模型，用于解决小型银行资产负债管理（ALM）问题。dos Reiss和Martins（2001）开发了一个优化模型，并使用它来选择资产和负债的最佳类别，从而形成一个可靠可靠的银行资产负债表。

在一系列论文中，彼得森和合著者通过随机最优控制分析银行管理，并提出最优投资组合选择和银行资本流入率，以保持贷款水平接近精算确定的参考过程，参见Mukuddem Petersen和Petersen（2006）。Dempster等人（2009）展示了如何使用动态随机规划在长时间范围内执行最优动态ALM；他们的想法可以扩展到银行资产负债表优化。Birge和Judice（2013）提出了一个动态模型，该模型包含了银行资产负债表中的主要风险，并使用它来模拟给定清算策略的银行资产负债表随时间的变化，并内生地确定最佳银行ALM策略。Halaj（2012）提出了一个银行资产负债表优化结构模型，该模型结合了银行在压力情景下的战略和优化行为。Astic和Tourin（2013）提出了一个金融机构投资于流动资产和非流动资产的结构模型，并使用随机控制技术推导出价值函数满足的变分不等式，并计算资产的最优配置。Selyutin和Rudenko（2013）基于贷款和存款动态的运输方程，开发了一种解决ALM问题的新方法。为了补充现有文献，我们通过数学分析各种经济情景下的财务和风险指标，开发了一个优化企业业务组合的框架，总体目标是最大化风险调整后的回报，同时保持各种约束。

监管对银行业施加了多种资本要求和约束（如B3S和B3A资本比率、杠杆比率、流动性覆盖率等）。单个银行资产负债表优化的经济目标是选择贷款、存款、投资、债务和资本的水平，以满足巴塞尔协议III的规定，同时最大限度地增加股东的现金流。资产负债表优化归结为解决一个非常复杂的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼问题。优化问题可以用两种方式来表述：（a）在不使用风险偏好效用函数的情况下优化现金流，或者，等效地，与损失与收益的概率无关；（b） 在优化问题中引入效用函数，并按照默顿最优消费问题的精神进行求解。尽管通常，资产负债表优化必须进行数值计算，但有时，根据所选的效用函数，可以获得半解析解。7.1符号和主要变量请让我们介绍键符号。出于必要，我们必须重复使用之前使用的一些符号；我们希望这不会让读者感到困惑。按流动性递增顺序排列的银行资产有xπk，到期未偿还贷款和质量p，I，股票和债券投资，C，现金。我们假设T<…<Tk<…<TK，p=1。。。，P贷款质量由各种因素决定，如借款人的评级、抵押等。银行的负债按粘性的递增顺序依次为D、存款、Yql、到期未偿债务和质量q、E、权益（或资本）。我们假设T<…<Tl<…<TL，q=1。。。，Q

借款的质量取决于各种因素，如资历、抵押等。资产和负债具有以下性质：（a）贷款和债务的特点是偿还/损失率λpk和uql，以及利率νpk和ξql；（b） 同样，对于存款，我们分别有利率α和β；（c） 最后，对于投资而言，相应的增长率是随机的，并且具有- ζ+σχ（t），其中r是预期增长率，ζ是股息率，σ是投资回报的波动率，χ（t）=dW（t）/dt是白噪声，或标准布朗运动的“导数”，因此di=（r）- ζ） Idt+σIdW。（114）资产负债表平衡方程的形式为：Xk，pXpk+I+C=D+Xl，qYql+E。（115）为了简洁起见，我们省略了上下两个字母，并将平衡方程改写如下：X+I+C- D- Y-E=0。（116）有几种控制和杠杆可用于确定银行的总体方向：（a）发放新贷款的利率φ（t）；（b） 获得新借款的利率ψ（t）；（c） 进行新投资的速率ω（t）；（d） 获得新矿床的速率π（t）；（e） 以股息或股份回购的形式将资金返还给股东的比率δ（t）。如果δ（t）<0，则发行新股。当然，新股发行时不应派发股息。银行资产和负债的演变受以下等式的制约：X（t）=-λX（t）+Φ（t），（117）I（t）=（r）- ζ+σχ（t））I（t）+ω（t），C（t）=-X（t）+νX（t）+ζI（t）- ω（t）+D（t）- βD（t）+Y（t）- ξY（t）- δ（t）=（λ+ν）X（t）- Φ（t）+ζI（t）- ω（t）-（α+β）D（t）+π（t）- （u+ξ）Y（t）+ψ（t）- δ（t）和d（t）=-αD（t）+π（t），（118）Y（t）=-uY（t）+ψ（t），E（t）=νX（t）+I（t）+ζI（t）- ω（t）- βD（t）- ξY（t）- δ（t）=νX（t）+（r+σχ（t））I（t）- βD（t）- ξY（t）- δ（t）分别为。

这里，为了方便起见，我们使用Φ（t）和ψ（t）代替φ（t）和ψ（t），定义如下Φ（t）=φ（t）- E-λTφ（T- ψ（T）=ψ（T）- E-uTψ（T）- T），（119）。在银行的资产方面，未偿还贷款的减少与其偿还率成决定性的比例，并因新发放的贷款减去偿还的旧贷款而增加。现有投资如等式（114）所示随机增长，并由新投资补充。现金余额的变化受到几个因素的影响。一方面，预付贷款、未偿还贷款的利息、投资股息、新存款和新贷款对现金余额有积极贡献。另一方面，新的投资、存款和借款支付的利息、提取的存款和贷款损失，以及作为股息和/或股份回购返还给股东的资金，导致银行现金头寸减少。在银行的负债方面，存款的衰减与取款率成决定性的比例，并随着新存款的到来而增加。未偿银行债务按其偿还率决定性地衰减，并因新借款减去已偿还的摊余旧债务而增加。与资产方面的现金变化类似，负债方面的资本（权益）变化也受到未偿贷款利息、随机投资回报（包括股息）的积极影响，而受到存款利息、借款和支付给股东的股息的消极影响。微分成X+I+C后的平衡方程（116）- D- Y- E=0。

（120）并且由于等式（117）、（118）自X+I+C以来同样令人满意- D- Y- E=X+I- X+νX+ζI- ω+D- βD+Y- ξY- δ-D- Y- νX- 我- ζI+ω+βD+ξY+δ=0。（121）7.2优化问题在某个终止时间T之前（含该时间）归属于普通股的现金流CF（T）由权益变动的贴现预期值加上在某个特定时间段内返还给股东的资金的贴现值确定。通过使用等式（118），CF（T）可以如下计算：CF（T）=e-RTE{E（T）}- E（0）+RTe-Rtδ（t）dt=e-RTEnRTE（t）+e-R（t）-T）δ（T）dto=e-RTEnRT（νX（t）+（r+σχ（t））I（t）-βD（t）- ξY（t）- δ（t）+e-R（t）-T）δ（T）dt= E-RTRT（νX（t）+rJ（t）- βD（t）- ξY（t）+E-R（t）-（T）- 1.δ（t）dt。（122）这里R是贴现率，J（t）是投资I（t）的预期价值，股息再投资。J的确定性控制方程的形式为：J（t）=rJ（t）+ω（t）（123）。因此，为了在最基本的层面上优化资产负债表，我们需要最大化CF（t），视为一个函数，取决于φ（t）、ω（t）、π（t）、ψ（t）和δ（t）：CF（t）→φ（t），ω（t），π（t），ψ（t），δ（t）max。（124）然而，该优化问题受制于各种监管约束，如资本、流动性、杠杆等，其中一些约束在下文中明确描述。显然，这个问题有许多自由度，可以通过假设φ（t）、ω（t）、π（t）、ψ（t）、δ（t）与时间无关来减少自由度。7.3资本约束监管资本计算相当复杂。它们的基础是将银行投资组合的资产系统化和聚合为风险组，并为每个组分配风险权重。

因此，为了确定风险加权资产（RWA），有必要将贷款和投资分类为持有至到期（HTM）、可供出售（AFS）或属于交易账簿（TB）。我们从HTM和AFS债券开始。我们可以使用标准模型（SM）或基于内部评级的模型（IRBM）。SM表示RWA的形式为：RW ASM=rwaSM·X，（125），其中权重为rwaSM=rwapSM，k是法规规定的，并且rwasm·X=Xk、prwapSM、kXpk。（126）或者，IRBM为RWA提供以下表达式：RW AIRBM=rwaIRBM·X，（127），其中权重为rwaIRBM=卢瓦皮姆，k由相对复杂的公式给出，为简洁起见省略了这些公式。在这两种情况下，相应的监管资本由K（1）=κRW A（128）提供。另外，还需要K（2）、K（3）、K（4）分别用于覆盖交易对手、运营和市场风险，因此银行需要持有的资本总额由K=K（1）+K（2）+K（3）+K（4）提供。（129）很明显，银行要想持续经营，必须满足以下不平等性- K>0。（130）7.4流动性约束我们根据以下数量制定流动性约束：（a）所需稳定资金（RSF）RSF=rsfX·X+rsfI·I+0·C；（131）（b）可用稳定资金（ASF）ASF=asfD·D+asfY·Y+1·E.（132）这里的rsfX=（rsfpk），和rsfX·X=Xk，prsfpkXpk。（133）此外，我们定义了：（c）风格化的30天现金流出（CO）CO=coD·D+coY·Y+0·E；（134）（d）风格化的30天现金流入（CI）：CI=ciX·X+ciI·I+1·C。（135）此处的权重rsfX、rsfI、asfD、asfY、coD、coY、ciX、CIIAR由监管机构规定。为了符合巴塞尔协议III的要求，必须具备以下条件：ASF>RSF、（136）CI>CO、（137）或同等条件，- rsf·X- rsfI·I+asfD·D+asf·Y+E>0，（138）ci·X+ciI·I+C-鳕鱼·D- co·Y>0。

（139）换句话说，等式（138）和（139）表明，拥有大量股权、E和资本，C有利于银行的流动性状况（但不利于其收益！）。7.5数学公式：一般优化问题一般优化问题可以用独立变量X、I、C、D、Y来表示，这些变量定义在相应约束给出的多维域中。存在满足互补变分不等式的相邻域。相应的HJB方程为：maxφ，ω，π，ψ，δVt+σIVII+(-λX+Φ）VX+（r- ζ） IVI+（（λ+ν）X-Φ+ζI- ω-（α+β）D+π- （u+ξ）Y+ψ）VC+(-αD+π）VD+(-uY+ψ）VY- RY，1- 风险投资= 0.（140）在T的极限内→ ∞ 这个问题简化为（但仍然非常复杂）：maxφ，ω，π，ψ，δσIVII+(-λX+Φ）VX+（r- ζ） IVI+（（λ+ν）X-Φ+ζI- ω-（α+β）D+π- （u+ξ）Y+ψ）VC+(-αD+π）VD+(-uY+ψ）VY- RY，1- 风险投资= 0.（141）7.6数学公式：简化优化问题，而不是处理多个自变量，X。。。，Y，我们集中在资本结构的股权部分，E，它遵循效率演化方程：dE=（u）- d） dt+σdW-JdN- JdN，（142）其中u是累积率，d是我们希望优化的股息率，σ是收益的波动性，W是布朗运动，N1,2是两个频率为λ1,2的独立泊松过程，J1,2是指数分布的跳跃，Ji~ δiexp(-δij）。

选择具有两个独立泊松驱动因素的跳跃扩散动力学反映了一个事实，即银行股本的增长由留存收益决定，留存收益受算术布朗运动的支配，并受到两种跳跃的负面影响，即，更频繁（但由于中央银行的潜在行动，危险性稍低）的流动性跳跃由N表示，较不频繁（但更危险）的偿付能力跳跃由N表示。相应地，λ>λ，δ<δ。下面我们假设股息率可能是无限的，因此一次性付款可以立即支付。在一家对股息支付最大化感兴趣的保险公司的背景下，也考虑了一个只有一个跳跃来源的类似问题（例如，参见Taksar 2000和Belhaj 2010以及其中的参考文献）。当E超过零时，银行违约。我们很快就会看到，在E达到某个最佳水平之前，银行不支付任何股息是最理想的*,当达到这个水平时，立即支付所有超额股本股息。考虑到所有的具体情况，股息优化问题（140）可以用以下数学公式表示：Vt+σV+（u- d） VE- （R+λ+λ）V+λδREV（E）- J） e-δJdJ+λδREV（E）- J） e-δJdJ+d= 0，（143）V（T，E）=E，E≥ 0，（144）V（t，0）=0，0≤ T≤ T.（145）求解等式（143）并辅以终端和边界条件（144）（145）相当于求解以下变分不等式：Vt+σVEE+uVE- （R+λ+λ）V+λδREV（E）- J） e-δJdJ+λδREV（E）- J） e-δJdJ，1- VE= 0，（146）加上条件（144），（145）。我们使用一般符号将等式（146）改写如下：max{Vt+aVE+aVE+aV+λI+λI，1- VE}=0，（147），其中ii（t，E）=δiZEV（t，E）- Ji）e-δiJidJi=δiZEV（t，j）e-δi（E）-j） dj，i=1，2。（148）象征性地，我们可以代表Eq。

（147）在形式max{Vt+L（V）中，1- VE}=0，（149），其中l（V）=aVEE+aVE+aV+λI+λI。（150）这个变分不等式的解V（t，E）不能用解析方法计算，必须用数值方法确定。为此，我们使用Lipton（2003）提出的方法，并用下面的onemax替换有问题的变分不等式{-Vτ+aVEE+aVE+aV+λI+λI，1- VE}=0，Ii，E+δiIi- δiV=0，V（0，E）=E，V（τ，0）=0，（151），其中τ=T-t、 通过计算iI并执行max{，.}运算，以一种相对简单的方式解决了相应的问题明确地说，当以通常的Crank-Nicolson方式计算V时。相应的解决方案如图12所示。图12在这附近。为了T→ ∞ 极限条件下，与时间无关的最大化问题的最大值为{L（V），1- VE}=0，V（0）=0，（152）或者，等价地，L（V）（E）=0，0<E≤ E*,V（E）=E+V（E）*) - E*, E*< E<∞,V（0）=0，VE（E）*) = 1，VEE（E）*) = 这里是E*事先不知道，必须作为计算的一部分确定。结果表明，与时间无关的问题可以解析求解。由于我们正在处理征税程序，我们有eξe= ψ（ξ）eξe-λΔξ+δe-δE-λΔξ+δe-ΔE，（154），其中ψ（ξ）是伪微分算子L的符号，ψ（ξ）=aξ+aξ+a+λΔξ+δ+λΔξ+δ。（155）用ξj表示，j=1。。。，（多项式）方程的根ψ（ξ）=0。（156）图13显示了一组代表性参数的相应函数ψ（ξ），它清楚地显示了等式的所有根。

（156）是真的。图13在这附近。然后，线性组合v（E）=XjCjeξjE，（157）解决了定价问题和边界条件（153），前提是1 1 1 1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1ξeξe*ξeξe*ξeξe*ξeξe*ξeξe*ξeξe*ξeξe*ξeξe*中交=.（158）等式（158）应被视为五个未知数的五个方程组，即（C，C，C，C）和E*. 相应的文件V（E）如图14所示。图14在这附近。这张图显示，在区间[0，E]上*) 我们的VE>1。因此，系数（1- 式（143）中d前面的VE）为负，因此最佳d必须为零。换句话说，在E达到最佳水平E之前，银行最好不支付任何股息*. 在间歇期（E）*, ∞) 我们已经得到了大于1的结果，所以d是不确定的。然而，这并不特别重要，因为当E超过最佳水平E时*支付所有超额股息是最佳选择。出现这种情况是因为我们允许进行有限的分割，从而一次性付款。当d有界时，相应的优化问题有所不同，但仍然可以沿着类似的路线解决。图14（a）和图14（b）的比较表明，对于较长期限的T，V（E）是V（T，E）的最佳近似值。8结论在本文中，我们提出了一个简单而一致的理论，使我们能够在三个粒度级别上检查银行系统，即作为一个整体，作为一个相互负债的相互关联的银行集合；最后，作为一家个人银行。

我们证明了银行系统在货币循环中起着关键作用，是经济成功的必要条件。即使是在一个相对简单的背景下，我们也对银行创造的资金及其后果，包括自然发生的银行间联系，以及银行运营所面临的多重约束的作用，获得了一些非平凡的见解。在模型中引入随机消费因素后，连续时间内货币循环的一致定量描述成为可能，这使我们能够将方程与经济现实相协调。我们建立了货币循环的定量描述，可以根据实际宏观经济数据进行校准，我们用数学方法进行了求解。通过增加不同的经济部门，可以进一步扩展已开发的框架。显然，更先进的模型自然会提供更深入的可操作的见解，这些见解可用于多种目的，如制定货币政策、为银行负责任的增长定位以及宏观投资。在最高层，我们将银行体系视为一个整体，因此掩盖了银行业的结构，并排除了对其内部违规行为的调查。很难高估量化方法的重要性，这种方法能够描述2007-2009年危机后相互关联的银行系统中可能发生的一系列事件！因此，我们将分析扩展到了中间层面，并展示了资产负债平衡法如何在各银行之间建立非平凡的联系。我们使用为信用违约定价开发的技术表明，这些联系可能会在整个系统中造成意外的不稳定性。

我们的模型可以向多个方向扩展，例如，通过将银行间衍生品（如掉期）纳入图片中。它可以提供有关银行系统中多个同时（或几乎同时）违约的滚雪球效应的见解。最后，从最底层来看，银行和所有其他公司一样，有责任最大限度地提高其盈利能力。鉴于银行业务的特殊性，这种可盈利性的最大化与资产负债表优化有着内在的联系，资产负债表优化用于选择资产和负债的最佳组合。我们在最一般的情况下，以及在资本结构股权部分的特殊情况下，制定了约束优化问题。虽然简化了，但简化后的问题仍然包括流动性和偿付能力跳跃等股权动态的显著因素。然后，我们提出了一个方案来有效地解决相应的约束优化问题。我们希望，我们的MMC理论将沿着本文提出的路线推动进一步的研究。特别是，帮助预测未来的经济危机，这些危机在提议的框架内自然发生。感谢作者感谢罗素·巴克、阿戈斯蒂诺·卡波尼、迈克尔·登普斯特、安德鲁·迪金森、达雷尔·杜菲、保罗·格拉斯曼、汤姆·赫德、安德烈·伊特金、玛莎·利普顿和拉吉夫·维尔马尼进行了有益的交谈。本论文在纽约彭博定量研讨会系列、阿姆斯特丹全球衍生品会议、莱顿洛伦兹中心金融数学模型和数值研讨会、纽约哥伦比亚大学系统性风险研讨会以及洛桑第七届金融和瑞士通用高级数学方法会议上发表。非常感谢这些活动参与者的反馈和建议。

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（162）很明显，在D（1，1）中，两家银行都存活，在D（1，0）中，第一家银行存活，第二家违约，在D（0，1）中，第二家银行存活，第二家违约，在D（0，0）中，两家银行都违约。相应的域如图15（a）所示。在对数坐标中，域Di的形式为（δi，1，δi，2）={Xi>Θi（Xi），0<Xi<M=i}，（163），其中Θi（Xi）=rσiσiln - Lii（Ri（Li+Lii）- Lii）exppσ′i/σiX′i（Ri（Li+Lii）- Lii（Li+Lii）. （164）我们强调域Di有一个依赖于Ai值的曲线边界。值得注意的是，Θi（0）=M=i，Θi（u=i）=M=i。（165）相应的域如图15（b）所示。图15在这附近。不同选项的支付如下所示。对于联合生存概率q（T，A，A）=1（A，A）∈D（1,1），（166）Qt、 δi，1∧<i+δi，2A′i，δi，2∧<i+δi，1A′i= 0，i=1，2。对于边际生存概率Qi（T，A，A）=1（A，A）∈D（1,1）+D（δi，1，δi，2），（167）对于第一银行和第二银行的CDS，支付如下CI（T，A，A）=0，（A，A）∈ D（1，1）+D（δi，1，δi，2），1-Ai+LiiLi+Lii（A，A）∈ D（δ′i，1，δ′i，2），1-Ai+κiLiiLi+Lii∈ D（0,0），（168），其中系数κi由详细的平衡方程A+κL=κ（L+L），（169）A+κL=κ（L+L）确定，因此κi=LiAi+Lii（Ai+Ai）. （170）最后，对于FTD，支付的形式为F（T，A，A）=0，（A，A）∈ D（1，1），1-Ai+LiiLi+Lii（A，A）∈ D（δi，1，δi，2），maxn1-A+κLL+L，1-A+κLL+Lo，（A，A）∈ D（0,0），（171）为简洁起见，我们只考虑联合概率和边际生存概率的计算。

联合生存概率Q（t，X，X）解决了以下终端边值问题qt（t，X，X）+LQ（t，X，X）=0，（172）Q（t，X，X）=1X∈D（1,1），Q（t，X，0）=0，Q（t，0，X）=0，第一银行对应的边际生存概率，例如，Q（t，X，X），它是X和X的函数，解决了以下终端边界值问题q1，t（t，X，X）+LQ（t，X，X）=0，（173）Q（t，X，X）=1X∈D（1,1）+1X∈D（1,0），Q（t，0，X）=0，Q（t，X，0）=（Q（t，X），X）≥ M（2），<，0，X<M（2），<，这里q（t，X）是1D生存概率，它解决了以下终端边值问题q1，t（t，X）+q1，XX+ξq1，X=0，（174）q（t，X）=1nX>M（2），=o，qt、 M（2）<= 0，很容易表示q（t，X）=N-M（2）=- 十、- ξτ√τ!(175)-E-2ξ十、-M（2）<N-M（2），=+X- 2米（2）<- ξτ√τ!,式中τ=T-t、 相应的二维格林函数的形式为（例如，参见Lipton 2001、Lipton和Savecu 2014）：g（t，X，X）=e-（θ，ξ）t/2+θ·（X）-十） \'G（t，X，X），\'G（t，X，X）=2e-（R+R）/2t′ρ$t∞Xn=1IνnRRtsin（νnφ）sinνnφ,（176）其中c=1 ρρ 1, C-1=ρ1.-ρ-ρ 1,θ=C-1ξ，ρ=p1- ρ、 $=arctan-ρρ, νn=nπ$>n，R=p（C-1X，X），R=p（C-1X，X），φ=arctanρX-ρX+X, φ=arctanρX-ρX+X.（177）很明显，gx（t，X，0）=e-（θ，ξ）t/2+θX-θ·X\'GX（t，X，0），\'GX（t，X，0）=2e-（X/’ρ+R）/2t$tX∞Xn=1(-1） n+1νnIνnXR′ρt罪νnφ.（178）将这些公式代入等式（112）、（113）中，得到Q和Q的半解析表达式。QI的相应表达式类似。我们给出了Q（0，X，X）和差异Q（0，X）- 图16（a）和图16（b）中的Q（0，X，X）分别为。