我们采用L-范数来衡量我们所考虑的基于价格和基于体积的辅助模型的差异，通常为第k辅助模型byDk（θ）=D给出bβk，bβ*k（θ）=qkXi=1hbβkii-血红蛋白β*k（θ）Ⅱ. （17） 对于每个qk维辅助模型，k=1，K.4.2.3多目标优化和帕累托最优的作用当我们搜索应满足多目标函数的最优参数向量θ时，向量（θ）：=[D（θ），…，DK（θ）]要最小化，在许多情况下，每个单独目标都不会有全局最小值。在这种情况下，可以考虑将帕累托最优的概念作为优化方法产生的单一最优值的替代方案，并参考帕累托效率前沿。非正式地说，这是对解决方案的搜索，因此在搜索空间中没有任何解决方案可以在不恶化另一个标准的情况下单方面改进单个标准（目标函数），这在我们的估计框架的定义4中正式定义。定义4（参数解的帕累托最优优势）。考虑产生参数向量{βK}K的K辅助模型集∈{1,2，…，K}，每个都基于一个基本参数向量θ∈ Ohm, 对于选定的目标函数，产生值D（θ）：=[D（θ），…，DK（θ）]。然后选择θ∈ Ohm 对于可行区域内的解集，称为局部最优或（非支配）最优Ohm, if@eθ ∈ Ohm s、 td（eθ） D（θ），（18）这里我们说D（θ）支配D（eθ），用D（θ）表示 D（eθ），ifDk（θ）≤ Dk（eθ）K∈ {1,2，…，K}和k s.t.Dk（θ）<Dk（eθ）。

（19） 由此，我们可以陈述总体目标，包括所有K个辅助模型和基于随机代理的模型的参数向量θ的L2范数目标函数的共同选择，如下所示Bθ=arg minθ∈Ohm[D（θ），…，DK（θ）]=arg minθ∈Ohm钕^β,^β*(θ), . . . , DβK，β*K（θ）o=arg最小θ∈Ohm（qXi=1）h^βii-h^β*（θ） 二,, . . . ,qKXi=1h^βKii-h^β*K（θ）Ⅱ)受制于θL≤ θ≤ θU。。。，θnL≤ θn≤ θnU（20），其中[θiL，θiU]，表示可行域的边界Ohm.为了完成我们提出的基于多目标间接推理模拟的估计框架，我们需要一种搜索约束参数空间的方法Ohm 求可行解和帕累托最优解。在这种情况下，可以使用多种随机搜索方法，参见Coello等人[2007]中的讨论。为此，我们提出了一种进化遗传搜索方法，在文献中称为多目标进化算法（MOEA）。我们开发了这种随机搜索框架的一个版本，它结合了Deb等人[2002]广泛使用的NSGA-II遗传搜索算法，这是一种基于Pareto Ranking的方法，以及我们根据Peters等人[2012]开发的框架专门为协方差矩阵变异算子设计的额外变异核。这一额外的突变成分与NSGA-II框架相结合，以确保在搜索的每一步提出的随机代理LOB模型中的协方差矩阵保持正定义和对称。该遗传搜索算法的详细信息见附录A.5随机代理LOB模型评估和校准realLOB数据我们描述了我们开发的基于随机代理的LOB模型，用于建模贸易往来及其依赖关系。

此外，我们还开发了一种根据观测到的LOB数据校准模型参数的方法。在本节中，我们通过一系列旨在实际评估随机代理模型规范中每个组件重要性的研究，说明了实际数据的校准结果。为了实现这一点，我们进行了大量的模型简化，并逐步放松这些简化假设，以便理解我们提出的模型的每个特征在模拟框架中所起的作用。参考模型是我们比较模型更详细版本的基本框架，如下所述。5.1开发一个基线简化参考随机代理人LOB模型在基于随机代理人的LOB模型中，流动性提供者代理人有限额订单提交和取消组件，每个组件都需要为买卖双方指定四个独立的lt维多元斜t分布，lp=5“被动”水平，ld=3“直接”，或总oflt的积极级别=书的每一面的8个积极建模级别。对于每个随机模型组件，我们需要估计参数：m∈ Rd，平均强度向量的位置；γ ∈ Rd，随机强度向量的偏度；ν ∈ R+直接影响随机强度向量的重尾性，∑∈ Rd×d阶数到达的随机强度向量的协方差矩阵。我们在10秒的时间间隔内考虑聚集活动，对于所考虑资产的8.5小时交易日，我们在一天中有T=3060个时间间隔。基本参考模型的特点是以下模型假设：o我们假设投标和询价的相关限额订单提交分布具有公共参数值设置。

此外，还假设买卖区域的市场订单提交分布具有公共参数值设置。这与在整个交易日观察交易大厅两侧的提交活动时，对大量资产的经验观察是合理一致的由于绝大多数订单在执行前被取消，我们认为取消分配的参数也与限额订单的分配相匹配我们还设置了m=0，并考虑了偏态向量γ，以便在所有级别的bid和SK中取一个公共值，使得γ=γ1，其中1是1的向量单调映射F（·），将随机变量ΓLO，k，s，ΓC，k，s，ΓMO，kinto-intensity随机变量∧LO，k，s，∧C，k，s，λMO，kis转换为标准正态分布的CDF。为了确保强度为正，并限制事件计数，这种转换是必要的对于每一级别的限价单活动的基线强度，我们假设双方的“被动”限价单的强度相同，即uLO，a，1=…=uLO，a，lp=uLO，b，1=…=uLO，b，lp=uLO，p，而“积极”限制指令将具有不同的限制指令强度，即uLO，a，0=…=哦，a，-ld+1=uLO，b，0=…=λb，-ld+1=uLO，d。市场订单基线强度在任何一方都是相等的，即uMO，a=uMO，b=uMO。取消基线活动将与提交基线活动相同。o最后，我们假设订单大小不变，即所有i的OLO、k、si、t=c=OMO、kj、tf∈n1，NLO，k，sto，j∈n1，NMO，kto，k∈ {a，b}，s∈ {-ld+1，lp}和t∈ {1, . . .

，T}。因此，基本参考模型具有以下参数向量：uLO，p，uLO，d，uMO，γ，ν，σMOo，以及待估计的协方差矩阵∑。取消由一个动态变化的批量过程建模，即按照NC、k、st在模型中的规定，将Cox过程截断为每个级别的可用订单数|~VLO，k，st=v~po（λC，k，st）I（NC，k，st<v），其中我们用VLO，k，st表示-1第二阶段开始时的音量[t]- 1，t）间隔~VLO，k，sti是在时间t到达限制订单后，但在取消和执行之前的可用量。可以从模型中进行模拟，以获得时间t，L时LOB的状态*t、 然后计算可用交易量v，这样就可以从截尾极限为v的截尾泊松分布中得出结论。在我们开始研究基于随机代理的LOB模型及其校准和模拟行为之前，我们首先展示了代表性交易日的价差演变，以及书顶附近交易量过程的强度，图5显示了CAC40中最具流动性的股票之一，即bnparibas。这提供了一个LOB动态的例子，一旦精确校准，我们应该利用模型恢复LOB动态。我们根据当天的数据估算模型，作为校准程序的说明。5.2参考模型：校准我们在表1中给出了使用本文提出的多目标II方法的估算结果。在帕累托最优前沿分布着8个非支配解，每个解都有一个相关的协方差矩阵，由于空间的考虑，这里不包括协方差矩阵，而是作为总结提供跟踪。

在表中，我们还提供了另外4个非支配秩为2的解，即在两个目标函数中仅由一个其他参数向量支配的参数向量。我们在图6中给出了非支配秩，以及整个最终参数填充的目标函数值。我们注意到，根据与这些参数向量相关的两个目标函数值，它们分布在帕累托前沿。我们通过将模拟结果与估计参数进行定性比较来评估FIT。在图7中，对于表1中参数向量的前2个帕累托最优解，我们总结了重复模拟的定价过程，以及一整天LOB演变的示例。我们发现，两个帕累托最优解参数向量产生了各种不同的价格轨迹。特别是，这个基本参考模型的解的帕累托前沿上的一些点产生了一个模拟价格的时间序列，它复制了一个交易日相对波动的交易活动，而帕累托前沿上的其他点则支持更受约束的交易模拟价格活动。为了了解这种情况是如何发生的，我们注意到，这可能是因为与第二组帕累托最优解决方案相比，第一组帕累托最优解决方案中的市场订单基准利率相对较高。在附录B中，我们提供了参考模型在15个交易日的延长期内对多个资产的进一步校准结果。

总结这些结果，我们表明，在我们的估计程序产生的一组解决方案中，通常有一个子集产生的模拟在价格和交易量行为方面与实际交易观察结果类似，这是我们的辅助模型所涉及的Lob的总结。5.3放松参考随机因素LOB模型的假设基线模型结果令人鼓舞，但我们仍需确定参考模型规范中的简化统计模型假设对校准性能有何影响。现在将通过逐步放松假设和减少限制性模型假设来评估这一点。相对于参考模型，我们的改进标准是减少帕累托最优前沿上解的目标函数的值。我们只会建议，如果我们观察到这样的改进，就应该放松特定的功能。5.3.1结合订单规模分布在我们的基本参考模型中，我们假设订单规模是恒定的，即所有限价订单提交、取消和执行来自相同数量的股份。这与Cont等人[2010]的模型类似，该模型假设所有订单都是单位大小的，它们将单位大小设置为对应于为资产提供的限制订单的平均大小。为了简化模型，将订单大小方面抽象出来是一种近似方法。然而，如图8所示，数据不太可能支持这种简化假设。

显然，人们注意到，不同资产的订单大小有一系列分布形状。很明显，订单大小的分布将受到诸如交易所最小订单大小（股票数量、批次或重量，取决于交易内容）等特征的影响。我们从经验上观察到，对于在多个国家交易的一系列股票而言，订单规模的分布在轮图上有明显的峰值——例如，图8显示了以100股的倍数聚集订单量的证据。这似乎与提交订单的级别无关，无论是购买订单还是销售订单，以及该期间提交订单的强度。因此，我们提出了一个案例研究，通过考虑一个随机模型，我们放松了固定订单规模的假设，在该模型中，我们假设订单规模来自混合分布。在这种情况下，我们假设限额和市场订单规模都是通过从以下伽马混合样本中获得的：~ wγ（κ，θ）+（1）- w） γ（κ，θ），i、 t，k，s（21），其中γ（O；κ，θ）=Γ（κ，θκ）Oκ-1exp-Oθ; O∈ R+，（22）具有正的形状参数κ，κ和正的尺度参数θ，θ。我们设置κ=1，κ=2，因为我们观察到在订单大小的经验分布中存在一个模式，我们估计每个混合物成分的比例参数，以将模式放置在适当的位置。因此，我们额外估计了参数θ、θ和混合权重w。我们使用相同的设置（40个候选解决方案的参数总体和40代以上的进化）运行随机优化框架，并使用随机模型对松弛参考模型进行校准，以使订单大小与参考模型fit中使用的相同数据集一致，即法国巴黎银行一整天的LOB数据。

我们得到了一个帕累托最优前沿，其中再次包含多个参数向量解，这些解分布在帕累托前沿上，表明遗传搜索框架进行了成功的探索性搜索。重要的是，如图9所示，我们观察到relaxedreference模型的已实现目标函数值，我们观察到，在订单大小固定的情况下，这明显改善了通过比较基本参考模型实现的目标。图10显示了从帕累托最优前沿选择的两个参数向量在模拟交易日的成交量过程强度和价差演变。与参考模型类似，在本次校准中获得的不同可行帕累托最优解之间，价格和产量轨迹仍然非常灵活。5.3.2通过去除参考模型，引入不对称和偏度来限制订单强度，我们假设多元skew-t分布的偏度参数向量γ与LOB各级的限制订单数和取消数固定为公共偏度。这种节省的选择是通过参考模型假设γLO、a=γLO、b=γ=γ和γMO=γ编码在模型中的，即只有一个偏度参数，在投标和投标的所有级别上都是通用的。该假设对参考模型中价格和成交量动态的影响，现在可以通过将该特征延迟，并根据法国巴黎银行当天的数据对参考模型的放松版本进行校准来评估。我们现在允许γLO，a=γLO，b=γ={γLO，-ld+1，γLO，lp}=γC，a=γC，b，以便在对限值顺序和取消数据的多元计数中的偏度进行建模时获得额外的灵活性。我们还允许γMO，a=γMO，b=γMOto，以便分别对市场订单数据的偏度进行建模。

这将需要估计额外的ld+lp参数。再次，我们评估帕累托最优解在参考模型假设中的约束条件放松下，在最小化目标函数方面是否有所改善。表2显示，在多目标II估计方法产生的参数向量中，没有一个是偏态向量的元素彼此接近，这表明在多变量skew-t分布中，在LOB的每个级别使用具有不同偏态的偏态向量来进行bid和ask，适用于对真实数据进行校准。正如预期的那样，与参考模型相比，对于模拟的随机代理LOB模型实现，通过帕累托最优前沿中的解决方案实现的目标函数值来衡量，结合这些功能可以提高模型的威力和适用性。6监管干预通过SR-ABM随机LOB代理模型建立我们基于随机代理的LOB模拟模型，我们的动机是监管机构、交易所和经纪公司越来越希望更好地理解干预在电子交易所中的作用。在这方面，欧洲和美国各地已经出台了一系列新法规，以进一步管理电子交易所交易的处理、配售和清算。《金融工具市场指令》（MiFID）旨在为欧洲经济区31个成员国的投资服务制定统一的监管。通过我们在本文中进行的分析类型，可以更好地理解MIFID的几个组成部分。

例如，与经纪软管有关的一个方面涉及本指令的关键方面，通常称为“最佳执行”实践。根据该指令的这一特点，MiFID将要求企业采取一切合理措施，在为客户执行订单时取得最佳结果。最佳可能结果不仅限于执行价格，还包括成本、速度、执行可能性和结算可能性，以及这些法规中认定的任何其他因素，在欧洲属于“拉姆法鲁西指令”的因素包括招股说明书指令、市场滥用指令、，《透明度指令》和《金融工具市场指令》（MiFID）MiFIDs最佳执行制度在《指令》中规定如下。第1级第21条和第2级第44条和第46条规定了代表客户为MiFID金融工具提供执行指令服务的投资公司的要求，以及通过第45（7）条间接规定的代表客户投资组合执行交易决定时提供投资组合管理服务的投资公司的要求。相关的显而易见，本指令直接涉及LOB中的流动性，需要更好地了解市场中代理人的哪些特征和市场行为会影响流动性，无论是在数量上还是价格上。这一过程的一个固有部分是考虑LOB不同级别的容量。除了更好地理解LOB随机过程外，监管者在试图确定如何最好地管理代理人的某些类型的潜在不良市场行为方面也发挥着重要作用。

在这方面，我们指的是在给定资产的LOB中，在整个交易日内可能具有破坏性、导致价格过度波动或流动性不足的行为。6.1监管干预的相关ABM研究MiFID的引入增加了竞争，并允许在泛欧多边贸易设施（MTF）中进行股票交易。通过跨市场套利者的活动，一个地点的交易无疑会影响另一个地点的交易利益。此外，有可能对一个市场实施监管，而不是另一个市场，这将对监管本身的效力产生影响。Mannaro等人[2008]和Westerhoff和Dieci[2006]都在ABM的背景下考虑了这一点，但采用了比本文考虑的模型更简单的模型，该模型没有考虑代理人的流动性。我们使用本文中开发的基于随机代理的LOB仿真模型来扩展这些研究。与研究金融市场交易税影响的ABM模型Westerhoff[2003]不同，在我们的模型中，代理人的策略不依赖于盈利能力。这是因为我们的交易代理人根据他们的流动性考虑进行了划分：交易员通常出于考虑而非利益，比如重新平衡他们在基金中所持股份的权重，从而消耗流动性。

他们不能简单地选择成为流动性提供者，因为这些代理人的优越性，原因有很多。其中包括在毫秒级环境中实施这一战略所需的技术投资、他们需要持有的库存，以及他们可能必须遵守的监管或交换义务。6.2报价与交易比率作为使用我们的模型可以进行的实验类型的一个例子，我们将在这里考虑的干预是施加报价与交易比率。这一比例已经在某些交易所得到考虑，比如伦敦证券交易所，它允许每笔交易有500个报价。伦敦证交所允许进一步报价，但每笔订单需支付5便士的附加费。在我们的模型中，我们假设每个级别的基线限制订单提交（或报价）强度uLO、a、iis等于基线取消强度uC、a、i。也就是说，在执行之前，可能可以取消在一个时间间隔内提交的所有订单。考虑到我们模型的设置，对过度交易实施随机限制比（比如）100个限制指令对1个市场指令的硬限制更方便。对于报价与交易比率q=，我们通过指定取消活动uC，a，it=（1）来施加限制-q） 哦，a，它。这一方法与Ait-Sahalia和Saglam（2013）所采取的方法类似，他们没有强制执行500毫秒的严格最小休息时间，而是将每个订单服从指数分布的随机最小休息时间，但平均值相同。http://www.londonstockexchange.com/products-and-services/trading-services/pricespolicies/tradingservicespricelisteffective2december2013.pdfWe在我们的模拟LOB中，针对3种不同的报价与交易比率，评估这种干预的结果，即q∈,,.

图13显示了监管对个人日常活动实现的影响，以及重复实现的价格过程。我们从基本模型的估计中选择了一个参数向量，该模型通常表现出过度的波动性。我们注意到，在我们的模型中，增加Q（从而减少取消的相对数量）具有约束中间价过程的效果，从而抑制过度波动。虽然无法通过ABM模拟得出关于此类干预效果的明确结论，但这是监管机构可能考虑的步骤，尤其是在比较不同方法时。例如，即使在实施报价与交易比率时，监管机构也可能有许多选择，例如，关于他们考虑该比率的期限。我们认为，我们的模型可以为此类考虑提供信息，鉴于其灵活性，可以引发大量计算实验和情景分析研究，从而更好地告知决策者他们的政策可能对交易员的市场行为产生的影响。7结论我们提出了一种新形式的基于主体的模型，以捕捉复杂随机过程的特征，即极限订单簿。我们考虑的代理类型代表了现代金融市场中的市场参与者类别：在电子LOB中，交易员可以根据其流动性要求大致分为流动性提供者和流动性需求者。与过去所考虑的图表主义和原教旨主义模型相比（例如。

Farmer和Joshi[2002]、Frankel和Froot[1988]、Kirman[1993]、Manzan和Westerho ff[2007]、Westerho ff和Reitz[2003]）。我们已经对整个代理类别产生的活动进行了建模，这使我们能够直接对LOB不同级别之间的事件（限价订单提交、取消和市场订单）活动的依赖性进行建模，考虑单个代理策略的简单公式是不可能的。我们对事件强度采用了一个灵活的多元斜t模型，该模型独特之处在于它能够捕捉不对称和异质依赖性，以及它在高维度上的可伸缩性[Demarta和McNeil，2005年，Fung和Seneta，2010年]。这导致了ABM的一个非常通用的公式，这使得我们能够按照订单大小对异质性进行建模。在我们对模型的评估中，我们提出了基于标准模拟的方法的扩展，在多目标问题中考虑了多个辅助模型（与价格和数量过程有关）。我们开发了一种新的间接推理多目标优化方法，该方法在校准随机代理LOB模型时，使用随机排序和帕累托最优的概念来选择最合适的候选参数向量解。我们已经证明，即使是一个简单的、基线版本的模型，它假设订单大小固定，并且限制订单安排和取消的分布强度的偏度没有异质性，仍然能够产生一系列合理的LOB随机动态行为。

然而，放松基线模型假设通常会导致模型估计的改进，因为它们能够生成模拟，从而密切反映在典型交易日实际数据中观察到的价格和成交量动态，即非重大事件的冲击或流动性干旱。本文提出的灵活的LOB框架，以及一种新的基于仿真的估算方法的提议，是对LOB建模的重要贡献。我们提出了一个模型，可以捕捉罕见的LOB特征，例如不同水平的LOB活动强度的依赖性。此外，我们已经证明，该模型非常详细，因此可以将其用作拟议监管的试验平台。我们证明，对取消次数进行足够高的随机限制（类似于实施报价与交易比率）可以减少模拟LOB中的过度波动。AcknowlementSP感谢Mark Harman教授对基于代理的建模和通过多目标优化进行初始修井校准的讨论的支持。EP和GWP感谢日本东京统计数学研究所（Institute of Statistical Mathematic，Tokyo，Japan）和松井友子（Tomoko Matsui）教授在研究访问期间对本文的支持。EP和GWP还感谢LSE系统风险中心在本手稿期间进行的广泛讨论。GWP感谢牛津大学牛津曼学院的支持。参考资料。Ait-Sahalia和M.Saglam。高频交易者：利用速度。技术报告，国家经济研究局，2013年。C.Andrieu，\'E.Moulines等。关于一些自适应mcmc算法的遍历性性质。《应用概率年鉴》，16（3）：1462-15052006。W·亚瑟、J·霍兰、B·勒巴隆、R·帕尔默和P·泰勒。

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它们的流行有几个原因：它们本质上是并行的，它们的特点是使用运算符组合和变异候选解决方案，以快速获得改进的解决方案，并能够在优化过程中捕获多个帕累托最优解决方案[Zitzler等人，2000]，这些解决方案可以分布在整个帕累托前沿。此外，为了更好地理解这种优化搜索框架和随机遗传搜索方法之间的关系，最近取得了一些进展，例如，见Emmerich等人[2013]中的讨论。在本文中，我们探索了在基于模拟的多目标II框架中利用自适应变异核来有效地探索参数空间，我们的方法将传统的遗传搜索算法与自适应MCMC方法中使用的自适应马尔可夫核相结合，如Haario等人[2006]、Roberts andRosenthal[2009]和Andrieu等人[2006]所研究的方法。本文中使用的MOEA基于Deb等人[2002]开发的NSGA-II（非支配排序遗传算法II）。这是一个精英主义的MOEA，在每一次迭代中，都会将最好的父解决方案与最好的解决方案结合起来，产生一系列新的候选解决方案。它产生了一个具有低计算要求（O（mN）计算复杂度，其中m是目标数，N是总体大小）的多样性的Paretooptimal front（即，由于算法使用了拥挤距离算子，解在整个front上分布良好）。该算法可能是最受欢迎的MOEA，经常被用作其他算法的性能基准[Coello等人，2007]。它已被用于各种应用，包括电力系统中的发电扩建规划问题[Kannan等人，2009]，以及地下水监测设计中的平衡目标Reed和Minsker[2004]。

此外，为了解决离散的多目标可分解问题，它在贝叶斯环境中得到了进一步的发展（见Khan[2003]，Khan等人[2002]，Laumansand Ocenasek[2002]）。在该算法中，我们还通过对基于随机代理的LOB模型参数θ的子集加入自适应全局和局部变异核来扩展特征。我们首先概述了优化算法的结构：1。首先，从可行域中随机初始化N个候选解的族或总体。2.对于每个解，计算目标函数，并获得反映帕累托优势的秩。也就是说，解决方案分为多个方面，第一个方面由不受任何其他解决方案支配的解决方案组成，第二个方面由仅受单一解决方案支配的解决方案组成，依此类推。解决方案还指定了一个拥挤距离值，表示与同一战线上其他解决方案的欧几里德距离。3.从这个解族中，应用拥挤比较算子，并根据它们的等级选择最佳解，如果是领带，则根据拥挤距离值选择最佳解。4.然后，应用一个或多个进化算子（在下一节中详细介绍）来进化所选的解决方案集。5.将新的解决方案与当前的解决方案系列相结合，并从第二步开始重复该过程，进行一定次数的迭代。该算法输出排名最高的非支配解集。我们将在下一节详细介绍多目标间接推理过程中使用的运算符。A.1算法设置和进化算子MOEA中使用的大量进化算子的详细信息可在Coello等人[2007]中找到。

在NSGAII中，除了迭代次数（在经济部术语中称为代数）之外，还必须首先为算法的每次迭代选择候选解的总体规模。在我们的优化中，我们使用了N=40个参数集的总体规模，并对总共40代进行优化。我们提到了一些用于在解决方案集中进化和选择的运算符，我们在这里提供了有关其功能的进一步信息：o选择运算符：从算法的第二次迭代开始，步骤3中将有2N组候选解。根据a）优势和b）拥挤距离，或解与相邻解的距离，选择最佳N个解。如果第一条战线上的解决方案数量少于N，则所有解决方案都会被选中，剩余的解决方案则取自其他战线。如果选择的解决方案数量必须少于某一特定战线上的解决方案数量，则选择拥挤距离值最高的解决方案交叉算子：使用模拟二进制交叉（SBX）算子。从两个候选解θ，θ，形成两个新解θ，θ，其中第k元素如下：θ1，k=[（1- αk）θ1，k+（1+αk）θ2，k]（23）θ2，k=[（1+αk）θ1，k+（1- αk）θ2，k]（24）这里，αkis是密度（α）=（η+1）αηcif 0<α的分布中的随机样本≤ 1（η+1）αηc+2如果α>1，我们使用概率为0.7且分布指数ηc=5的交叉算子变异算子：使用多项式变异算子。变异算子根据与边界的距离扰动解的元素。θk=θk+δk（θkU）- θkL），其中我们有δkδk=（（2γk）ηm+1- 1如果γk<0.51- [2(1 - γk）]ηm+1ifγk≥ 0.5这里，γkis均匀分布在（0，1）上，分布指数ηm=10。

多项式变异算子的使用概率为0.2。协方差矩阵变异和采样：上面讨论的NSGA-II算法只能为输出解向量生成二进制、整数或实数编码。然而，流动性提供者提交limitorder活动的随机过程需要指定一个正定义和对称性方差矩阵，用于从多元斜t分布生成强度。我们不能天真地扩展上述进化算子（交叉和变异），以产生新的协方差矩阵交叉解集，从而保证协方差矩阵的正不确定性和对称性约束得以保留。因此，我们提出了对MOEA的一个扩展，有效地是另一个将生成协方差矩阵的条件解的算子，这样每一个新的一代都保持在正有限矩阵的流形中。一旦应用了前面讨论的进化算子，该算子将生成新的候选协方差矩阵。为了确保优化算法能够高效地搜索可行解空间，并且不会陷入可能解空间的次优区域，我们的协方差矩阵采样算子有两个组件来执行探索和利用类型的移动。根据Peters等人[2012]的建议，变异核由具有不同参数的逆Wishart分布的混合组成，一个混合组件用于提供全局搜索（探索），另一个混合组件用于提供局部搜索（利用）。为了有效地做到这一点，它基于一种针对局部混合成分的自适应学习策略。

在这种情况下，该算法将以较高的概率探索局部区域，但以较小的概率进行可能较大的移动。我们现在描述一个完整的协方差变异步骤。在第n代MOEA中，我们生成{∑n，i}，i=1。N来自混合物分布q（N，∑i），定义如下：q（N，∑i）=（1- w） IW（ψn，p）+wIW（ψ，p），其中p，pare自由度参数与p<p，其中wi较小，因此从第二个分布进行采样的频率较低。这里，ψ表示一个无信息的正定义矩阵，其影响是，从第二个分布中取样会导致远离正在探索的局部区域。ψ也是一个正定义矩阵，根据与多目标优化前一阶段中成功提出的候选解决方案的样本平均值的矩匹配来确定，如下所示：ψn=Pnt=1wtnXt=1wtPNi=1rt，iNXi=1rt，i∑t，其中rt，ii是第t代中第i个解决方案的非支配秩，w<1是一个指数权重因子。B进一步的结果在第5.2节和第5.2节中，我们分别给出了参考模型和模型的校准结果，其中我们分别采用了某些假设。该校准使用单一资产（BNP Paribas）一天内的数据进行，以便能够提供有关目标函数值的详细结果、使用帕累托前沿上的单个解决方案的单个模拟的LOB演变，以及重复模拟的总结。在本节中，我们在2012年2月1日至2012年2月21日的每个交易日重复校准5项资产的参考模型（法国巴黎银行、法国农业信贷银行、道达尔股份有限公司、德希尼布股份有限公司和Sano Fi）。这些股票选自法国CAC40股票，因此是该国流动性最强的股票之一。

具体而言，我们选择了代表不同行业（银行、能源和制药）的资产，这些资产具有不同的规模（最低价格增量）和市值，因为这些都是影响日常交易活动的因素。我们将结果总结如下：我们首先分别校准每天和每个资产的参考模型，从中我们每次都获得一组J解（即帕累托前沿的非支配解）。对于每个解（参数向量^θj，j∈ 1.J） ，我们对LOB模型N=50次进行模拟，并将辅助模型与模拟数据进行匹配，以获得N个辅助模型参数向量βi，J，*βi，j，*, 我∈ 1.N.前者是ARIMA模型参数，适用于买卖双方的交易量过程，后者是GARCH模型参数，适用于原木收益。然后，我们可以为这些向量中的每个参数构造经验分布，并确定95%的置信区间。由此，我们可以确定，对于帕累托前沿的每项资产，辅助模型的参数系数是否与实际数据相符。在图14和图15中，我们显示了对于每个日期、每个资产和每个辅助模型参数，帕累托前沿上的解的比例，其中辅助模型系数与真实数据的比值在辅助模型系数与模拟数据的95%置信区间内。我们注意到，这一比例随着时间的推移而变化，正如人们所预期的，因为并非帕累托前沿的所有解决方案都会产生LOB动态，从而密切反映真实数据中观察到的结果。然而，我们注意到，对于大多数参数和大多数天数，该比例通常超过25%。