根据Saez和Zucman（2014）的数据，我们考虑的四种情景旨在捕捉财富份额未来可能发生的一系列变化，这些变化的幅度比过去几十年观察到的变化要小。事实上，根据这些数据，在过去30年中观察到的财富份额变化的幅度很难与任何稳定的财富分配相协调，我们将在下面更详细地讨论这一点。表2-5中报告了四种情况下预测的未来稳定财富分布。这些未来分布在波动率σk的低估计值和高估计值之间有所不同，尽管表格显示，在大多数情况下，这两个估计值之间的可能结果范围相当狭窄。这四种情景合在一起表明，如果财富分布在未来趋于稳定，即使当今美国经济中的顶级财富份额出现小幅上升趋势，也可能意味着财富集中度大幅提高。事实上，在情景3中，顶层0.01%和0.01-0.1%持有的财富份额，根据SCF，在同一时期，顶层股份的变化幅度小于Saez和Zucman（2014）的报告。根据SCF数据的调整方式，这些数据与场景2和场景4之间的潜在趋势一致。家庭数量每年分别以1.5%和0.5%的速度适度增长，这意味着未来美国财富分布稳定，σk的低估计值和高估计值的财富集中度都达到了前所未有的水平。

情景4涉及的不平等性上升趋势比情景3更快，因此，根据定理2.4，这种情景意味着分布分成不同的子群体，最高0.01%的户主七分之一地持有所有财富。图2使用波动率σk的高估计值联合绘制了所有四种情况下的财富分布图。该图显示了未来财富分布对当今顶级财富份额上升趋势的敏感性。尽管情景1和情景2的结果之间存在一定差异，但一旦假设顶层0.01%家庭所占财富份额的年增长率超过情景3和情景4中的1%，未来的财富分配将发生巨大变化。这些对美国未来财富分配的假设性估计并不是对未来的精确定量预测。未来是不确定的，影响财富分配的因素（如政策、制度、技术和全球化）会发生无法预测的变化。这些因素将在未来发生变化，这些变化将对回归率产生影响-因此，αk依赖于财富的稳定分布。预测这些因素的变化远远超出了本文的范围。相反，表2-5中对美国未来稳定财富分配的估计，旨在描述未来经济环境没有任何变化的情况下不平等的轨迹。这些估计描述了美国财富分配目前的走向，而不是在其他事情改变其轨迹之前，它是否真的会达到这一目标。情景4中出现的财富绝对集中是财富分配不稳定的一组重要结果的一部分。

如果顶层0.01%的家庭所持财富份额增长足够快，就会出现这种情况，因为这种快速增长意味着基于排名的相对增长率的调整估计αk顶层0.01%的普通家庭（那些拥有k≤ 100）是积极的。太多大于零的αk值违反了定理2.3中的稳定性条件，该定理指出，对于所有k=1，N- 1.在这些不稳定的情况下，我们从定理2.4中知道，一些家庭成员与其他人口不同，形成了一个独立的稳定分布，最终将拥有所有财富。这部分家庭最终与其他人口永久分离，这样就不会有更多的人进入或离开这一顶级群体。在场景4的情况下，这种不同的子群体由最顶层的0.01%的住宅组成，因为大多数参数αkar的调整值对于这个群体是正的，而对于其他人群是负的。图3-4说明了这种情况下美国财富分配的动态。鉴于2012年美国的初始财富份额与Saez和Zucman（2014）报告的财富份额相等，图3显示了经济体中前1%家庭中不同群体持有的总财富份额随时间的模拟演变。虽然这一数字的总体趋势是明确无误的，但也很明显，情景4的差异是不均衡的，最高0.01%的家庭所占的财富份额有时会连续几年下降。然而，随着时间的推移，最顶层的0.01%家庭在总财富中所占的份额逐渐但稳步增加，到2100年，他们拥有超过40%的财富，到2200年，他们拥有超过80%的财富。

图4显示了经济中最顶层1%的家庭和剩余99%的家庭的相同差异情景。当然，在现实世界中，很难想象财富分配会像场景4中那样真正分离和分化。早在这种情况发生之前，我们就预计经济环境的某些方面会发生变化。然而，有趣的是，很难拒绝目前美国财富分配的这种不同轨迹。根据Saez和Zucman（2014）的财富份额数据，自2000年以来，美国0.01%的顶级家庭所持有的财富份额平均每年增长3.5%以上，自1980年以来每年增长4%以上。这种幅度的变化意味着，使用波动率σk的低估计值和高估计值的0.01%以上的家庭，基于等级的相对增长率αkare的调整估计值为正。那么，根据Saez和Zucman（2014）的财富份额数据，美国。美国的财富分配目前处于一个暂时性的分歧轨道上，富裕家庭的耳鸣会不确定地增加其在总财富中的份额。归根结底，这些关于美国财富分配的当前轨迹及其未来方向的难题尚无法得到明确回答。目前，美国顶级财富份额增长的确切速度尚不确定，并且在不同的数据集中有所不同，这可以通过使用收入资本化方法对财富份额的估计与消费者金融调查中未经调整或调整的估计进行比较看出（Saezand Zucman，2014）。只有当更详细和高质量的数据可用时，我们才能以更大的可信度提供答案。

虽然本文确实提供了初步的回答和估计，但更重要的贡献是引入一种灵活的经验方法来解决这些问题。3.3估算累进资本税原则的影响，任何税收政策对财富分配的影响都可以用我们的经验方法近似计算。所需要的只是估计税收政策对基于等级的回归率的影响-α和波动率σk。毕竟，这两个因素单独决定了财富的分配。然而，在许多情况下，很难获得税收对不同家庭财富回归率和波动性影响的可靠估计。一个重要的例外是累进资本税。第2节的实证方法特别适用于估算累进资本税的分配影响，因为此类税收旨在对财富分配中不同家庭的财富增长率产生更可预测的影响。为了简单起见，我们假设经济中某些家庭的资本税税率为1%，会使这些家庭的财富增长率降低1%（因此也会使他们的回归率提高1%）。当然，这一假设并没有直接考虑这种税收可能对家庭储蓄行为产生的均衡影响，以及家庭可能成功逃税的可能性。我们之所以选择这种简化，是因为它代表了一种自然而有用的基准案例，在这种情况下，家庭因资本税（增加税收影响）而减少的储蓄与家庭逃税（减少税收影响）的能力完全平衡。

重要的是要强调，累进资本税影响的替代方案很容易使用我们的经验方法进行评估，只需相应地调整税收对家庭财富增长率的影响。事实上，我们在本文中没有考虑这种替代方案，这只是对布莱维提而言。自Piketty（2014）提出累进资本税以应对日益加剧的收入和财富不平等以来，围绕这一政策的大部分辩论都集中在一个重大挑战上，即估算累进资本税的均衡效应涉及解决家庭在这种环境下面临的投资组合优化问题。在这方面取得的任何进一步进展都将产生这样一个信息，即这种税收可能会如何改变不同等级住宅均衡的财富增长率。然后，可以将这些信息纳入本文的非参数方法，以生成累进资本税分配效应的一般均衡估计。这些税收如何可能增加政府收入或扭曲经济结果，而不是如何影响财富分配。本文的贡献之一是解决后一个问题，并提供累进资本税对美国经济分配影响的估计。这些都是纯粹的经验估计，不依赖于关于不平等的根本原因的任何假设，这一点在第2节的模型介绍中得到了强调。我们分析了一种简单的累进资本税，类似于皮凯蒂（2014）提出的政策。我们对这一税种的解释是，经济中最高的0.5%家庭的资本税税率为2%，最高的0.5-1%家庭的资本税税率为1%，而其余99%的家庭则被假定既不缴纳也不接受任何税收或补贴。

按照顺序，ZF从这一进步的资本税中产生的收入没有一个被重新分配给较不富裕的家庭。根据2012年美国财富分配数据，对于总财富超过约600万美元的家庭，该累进资本税对应2%的税率，对于总财富在400万至600万美元之间的家庭，该税率对应1%。就参数而言，我们假设此capitaltax将纳税家庭（最高1%）的基于等级的相对增长率α降低为纳税率。为了研究广泛的潜在情景，我们使用波动率σk的低估计值和高估计值，考虑了表2-5中情景1-4中存在累进资本税时财富的稳定分布。这些结果如表6-9所示。它们也在图5-8中以图形方式显示，图5-8使用波动率σk的高估计值绘制了四种情况下的财富分布，包括有无累进资本税，表格和图表显示，对经济中只有1%的家庭征收简单的累进资本税，可以极大地改变财富分配，减少不平等。例如，在情景1和情景2中，根据Saez和Zucman（2014）的历史财富份额数据，税后财富分布与20世纪70年代在美国观察到的分布相似。事实上，考虑这种再分配的分配效果是很简单的。

然而，由于我们发现，在我们的美国财富分配模型中，这些影响非常小，因此我们在本节中只关注简单的无需再分配的税收。皮凯蒂（2014）为欧洲提出的基本累进资本税涉及总财富超过500万欧元的家庭税率为2%，总财富在1欧元至500万欧元之间的家庭税率为1%，其余家庭不征税。这一时期是美国上个世纪最平等的时期之一。这一时期突显了不平等现象的减少是多么重要。即使对于情景3和情景4，在没有累进资本税的情况下，财富分配高度或完全集中在顶层，在所有情况下，该税都会将不平等降低到低于2012年在美国观察到的水平。图8清楚地显示了这种巨大的影响。由于在情景4的情况下，不存在使用σK的高估计值的稳定分布，因此该图通过一条垂直线代表了不征收累进资本税的财富分布，表明顶层0.01%的家庭拥有经济中的所有财富。只有税收到位，才存在稳定的分布，如图中的红色虚线所示。为什么只对1%的家庭征收1-2%的累进资本税就能如此大幅度地降低生活质量？有人可能会认为，如此大规模的不平等减少需要对更多的家庭征税。然而，由于缴纳税款的前1%家庭持有总财富的40%至100%（取决于场景），经济体总财富的很大一部分实际上受到了累进资本税的影响。

如模型所示，总财富的这一大部分足以让税收显著重塑财富分配。最后，我们强调，这一结果并不是关于总体福利的声明，也不是对累进资本税的认可。正如导言中所讨论的，我们的统计模型只生成税收和其他政策分配效应的经验估计，它不衡量与此类政策相关的任何扭曲或成本。我们关于累进资本税对不平等性影响的研究结果只是为了增加我们对这一政策总体影响的了解。4结论在本文中，我们建立了一个不平等性的统计模型，其中异质家庭在财富持有方面受到总量和特质的影响。该模型对家庭财富的这些波动几乎没有限制，也没有参数结构。在这种情况下，我们应用新技术来获得一个封闭的形式，逐户描述财富的稳定分布。根据这一特征，财富分布完全由两个因素决定——不同等级家庭的财富回归率和特殊波动率。这一结果的含蓄性和普遍性表明，要理解政策、制度、技术或全球化等因素对不平等的影响，只需要理解这些因素对财富回归率和特质波动性的影响。

因此，更详细的实证工作集中于准确测量财富的回归率和波动率，以及这两个因素随时间和不同地区的任何变化，可能会产生实质性的新见解。我们的统计模型可以精确匹配任何经验分布，我们使用Saez和Zucman（2014）的wealthshares数据来构建2012年美国财富分布的匹配。分析这种分布的一个挑战是，这些财富份额数据显示，在过去30年中，顶级股票有明显的上升趋势。这些上升趋势意味着，任何依赖于财富稳定或稳定状态分布的分析都是错误的。本文介绍了一种可以解决这些稳定性问题的方法。特别是，我们的方法允许我们在存在顶级财富份额趋势的情况下，估计未来财富的稳定分布。我们提出了几种备选方案的此类估计，但最可能的方案可能是，根据Saez和Zucman（2014）的财富共享数据，美国的财富分布处于暂时不稳定的轨道上，分为两个不同的亚群体。我们还对累进资本税的分配影响进行了估计。具体而言，我们考虑对1%的家庭征收1-2%的资本税，类似于皮凯蒂（2014）提出的税收。虽然这项税收的全部影响取决于不确定的未来稳定的财富分配，但在所有情况下，我们都发现这项税收大大减少了不平等，并改变了财富分配。我们在本文中开发的统计模型是基于银行系统的一般方法。尽管这种方法非常适合对财富分布进行建模，但它并不局限于对财富进行建模。

事实上，只有在不稳定的情况下。i、 d类流程是我们的一般方法，显然不合适。这意味着还有其他经济学领域，比如收入分配和世界产出分配，在这些领域，我们的易处理解决方案技术可能会提供新的信息。A假设和正则性条件在本附录中，我们给出了定理2.3中描述稳定财富分布所需的假设和正则性条件。如第2节所述，这些假设承认经济中家庭的一大类连续财富过程。第一个假设建立了连续半鞅和It^o过程的基本可积条件。假设A.1。对于所有i=1，N、 增长率过程为uisatisfyZT |ui（t）| dt<∞, T>0，a.s.（a.1）和波动过程δisatisfyZTδ（t）+··+δM（t）dt<∞, T>0，a.s.，（a.2）δ（T）+···+δM（T）>0，T>0，a.s.（a.3）limt→∞Tδ（t）+··+δM（t）log t=0，a.s.，（a.4）条件（a.1）和（a.2）是定义It^o过程的标准，而条件（a.3）确保家庭财富持有始终包含非零随机成分。条件（A.4）类似于有界条件，因为它确保家庭财富持有的方差不会太快地偏离到单位。我们研究结果的第二个假设是，没有两个家庭的财富持有量会随着时间的推移而完全相关。换句话说，家庭财富动态肯定总有某种特殊成分。最后，我们还假设，任何家庭相对于经济的财富持有量都将过快消失。假设A.2。对称矩阵ρ（t），由ρ（t）=（ρij（t））给出，其中1≤ i、 j≤ N、 对于所有t>0，a.s.假设a.3，都是非奇异的。对于所有i=1。

N，财富分享过程θisatisfylimt→∞tlogθi（t）=0，a.s.（a.5）B证明本附录给出了引理2.1和2.2以及定理2.3和2.4的证明。引理2.1的证明。根据定义，w（t）=w（t）+···+wN（t），对于所有i=1，N、 θi（t）=wi（t）/w（t）。这意味着dw（t）=NXi=1dwi（t）=NXi=1θi（t）w（t）dwi（t）wi（t），从中可以看出dw（t）w（t）=NXi=1θi（t）dwi（t）wi（t）。（B.1）我们希望证明满足方程（2.3）的过程也满足方程（B.1）。如果我们将其^o引理应用于指数函数，那么方程（2.3）yieldsdw（t）=w（t）u（t）dt+w（t）NXi，j=1θi（t）θj（t）MXz=1δiz（t）δjz（t）！dt+w（t）NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t），（B.2）a.s.，其中u（t）由等式（2.5）给出。利用等式（2.2）中ρij（t）的定义，我们可以简化等式（B.1）并写出w（t）w（t）=u（t）+NXi，j=1θi（t）θj（t）ρij（t）！dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.3）类似地，从方程（2.5）中定义u（t）允许我们进一步简化方程（B.3）并写出w（t）w（t）=NXi=1θi（t）ui（t）+NXi=1θi（t）ρii（t）！dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）=NXi=1θi（t）ui（t）+ρii（t）dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.4）如果我们再次将它的^o引理应用于指数函数，那么方程（2.1）产生，a.s.，对于所有i=1，N、 dwi（t）=wi（t）ui（t）+MXz=1δiz（t）！dt+wi（t）MXz=1δiz（t）dBz（t）=wi（t）ui（t）+ρii（t）dt+wi（t）MXz=1δiz（t）dBz（t）。（B.5）将方程（B.5）代入方程（B.4），然后yieldsdw（t）w（t）=NXi=1θi（t）dwi（t）wi（t），这就完成了证明。引理2.2的证明。家庭财富过程是绝对连续的，即随机符号测度ui（t）dt和ρii（t）dt相对于勒贝格测度是绝对连续的。因此，我们可以应用引理4.1.7和命题4。1.11摘自Fernholz（2002），其得出了方程（2.11）和（2.12）。定理2.3的证明。

这个证明遵循Fernholz（2002）第5章的论点。根据方程式（2.14），对于所有k=1，N、 对数θ（k）（T）=ZTupt（k）（t）- u（t）dt+logθ（k）-对数θ（k+1）（T）-λlogθ（k）-1)-对数θ（k）（T）+MXz=1ZTδpt（k）z（T）dBz（T）-NXi=1MXz=1ZTθi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.6）考虑过程对数θ（k）的渐近行为。假设方程（2.18）中的极限存在，则根据方程（2.16）中αk的定义，对数θ（k）的渐近行为满足极限→∞Tlogθ（k）（T）=αk+κk-κk-1+极限→∞TMXz=1ZTδpt（k）z（t）dBz（t）- 极限→∞TNXi=1MXz=1ZTθi（t）δiz（t）dBz（t），a.s.（B.7）假设a.3确保方程（B.7）左侧的项等于零，而假设a.1确保方程右侧的最后两项也等于零（见Fernholz，2002年的引理1.3.2）。如果我们简化方程（B.7），那么我们得到了αk=κk-1.-κk（B.8），这意味着αk- αk+1=κk-1.- κk+κk+1，（B.9）对于所有k=1，N-1.由于方程式（B.8）适用于所有k=1，N、 这建立了一个方程系统，我们可以求解κk。这样做可以得到等式κk=-2（α+··+αk），（B.10）对于所有k=1，N注意，渐近稳定性确保α+·+·αk<0，对于所有k=1，N、 而αN=κN-1= -（α+·α+N）-1） 确保α+··+αN=0。此外，如果α+··+αk>0，对于某些1≤ k<N，那么方程（B.10）产生了一个矛盾，因为κk≥ 定义为0。在这种情况下，它必须是假设A.3被违反和限制→∞对于某些1，Tlogθ（k）（T）6=0≤ K≤ N

定理2.4对这种情况进行了详细的研究。方程（2.15）右侧的最后一项是绝对连续的鞅，因此可以表示为关于布朗运动b（t）的随机积分。这一事实，加上方程式（B.9）和方程式（2.16）-（2.17）中α和σk的定义，促使我们使用稳定版本的过程对数θ（k）-对数θ（k+1）。回想一下，根据方程式（2.19），这个稳定的版本由比亚迪给出对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）= -κkdt+d∧log^θ（k）-对数θ（k+1）（t）+σkdB（t），（B.11）对于所有k=1，N-1.根据Fernholz（2002）引理5.2.1，对于所有k=1，N-1，该稳定版本的时间平均极限满足要求→∞TZT对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）dt=σk2κk=σk-4（α+··+αk），（B.12）a.s.，其中最后一个等式来自等式（B.10）。在一定程度上，对数θ（k）的稳定度- 方程（B.11）中的对数θ（k+1）近似于方程（2.15）中该过程的真实版本，即真实过程对数θ（k）的时间平均极限-对数θ（k+1）近似为-σk/4（α+·+·αk），对于所有k=1，N- 1.这是连续时间随机过程的标准结果（Karatzas and Shreve，1991；Nielsen，1999）。定理2.4的证明。请注意，定理2.4的分歧情景违反了假设A.3，即没有家庭的财富份额下降到零的速度过快。为了证明这个定理，有必要证明假设A.3成立的最大家庭子集也是家庭m<N satisfyingAm=max1的子集≤K≤NAkand Am>Alfor l 6=m。假设≤ N经济体中最富有的家庭构成假设A.3适用的最大家庭子集。