最小化退休时破产的概率

2022-5-15 13:38:29

2014年10月17日(c)尽可能降低退休人员破产的可能性Christopher J.ROOK*据说，在活着的时候耗尽了积蓄的退休人员会经历财务破产。储蓄通常在生命的积累阶段增长，然后在退休和减量阶段消耗。对投资和收获减少策略进行了广泛的研究，但建议存在明显差异。这可能是退休人员担心和困惑的一个来源。我们的目标是找到迄今为止一直难以捉摸的东西，即最佳的诽谤策略。最优性意味着，在给定固定的通货膨胀调整后的提款率的情况下，不存在或不可能构建具有较低破产概率的替代策略。*作者是史蒂文斯理工学院系统工程系的统计程序员和研究顾问。正文中提到的所有附录都可以在本研究附带的InternetAppendix文件中找到。退休文献包括大量研究，这些研究与优化投资组合选择或生命周期模型的金融经济学家以及遵循经验法则的从业者有着不同的发展（米列夫斯基和黄（2010））。经济学家试图在一个人的收入年和退休年内降低其消费能力，并批评实践神经学是临时的、简单的、低效的、误导的、远未达到最佳状态的，并且可能不安全（见Kotlikoff（2008）；斯科特、夏普和沃森（2009）；Irlam和Tomlinson（2014）；芬克、普福和布兰切特（2013年））。从业人员反驳说，他们在制定和评估客户的财务计划时考虑了风险承受能力（Mitchell和Smetters（2013）），并断言大多数客户在退休期间寻求恒定而非可变的支出和消费。

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2022-5-15 13:38:33

另一个从业者担心的是，效用函数很难准确估计，如果指定错误，会导致错误表达式的最大化（Kitches（2012））。我们这里的重点是最普遍的从业者启发法，即安全退出率（WR）。这种启发性假设退休人员可以在第一年从他们的投资组合中提取WR-，然后每年根据通货膨胀进行调整。这种启发法在实践者中的流行是无可辩驳的。斯科特等人指出，“零售经纪公司、共同基金公司、退休团体、投资者团体、金融网站和受欢迎的金融女性都推荐它。”Milevsky和Huang（2010）补充说，这种启发式方法对现代退休计划的影响“很难夸大”，并指出其结果“在过去20年中”被报道了数千次，这使得它“注定要达到其他经验法则所能达到的相同死亡率”。安全策略的有效性是通过其成功率来衡量的，成功率是投资组合持续一定年限或超过退休人员寿命的百分比。LettingP（破产）表示破产概率，成功率为100%*（1-P（破产））。因此，最大化成功率和最小化P（破产）是等价的优化问题。使用asafe WRstrategy的退休人员面临着设置其初始值和确定适当资产配置的困难决定。撤退太少，生活水平下降；撤资太多会导致财务破产。同样，在股票或债券上投资错误的比例可能会导致过度或不足的风险导致破产。不幸的是，对于退休人员的精确“安全”初始资产或最佳资产配置，还没有达成共识。一般情况下，建议在3%到6%之间进行治疗，但成功率差异很大。

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2022-5-15 13:38:36

“下滑路径”一词指的是随着时间推移系统性地抛售或收购股票的资产配置。一些人主张在退休期间下降，另一些人主张在退休期间上升。鉴于如此庞大的人群（美国婴儿潮一代超过7600万人）正处于消费储蓄的边缘，寻找最佳的消费策略变得越来越重要。第一批65岁退休的婴儿潮一代从2011年开始退休，到2030年，他们的退休率将继续保持在每天1万人。从业者制定退休计划的一般方法是开发基于学费的启发式方法，并使用历史数据、引导或模拟对其进行测试。这些启发式方法通常适用于取款或滑行路径。我们的目标是在文献中介绍安全工作的理论框架。此外，我们还优化了下滑路径，以使退休人员的P（破产）最小。我们证明，当安全WRI得到最佳使用时，它不仅是一种启发式的退休计划方法，而且是一种基于广泛学科理论的学术上合理的退休计划方法。在计算过程中的每个时间点，都存在一个基于最优资产配置的最小P（破产），我们试图找到这些值。我们建立了一个模型，精确地揭示了这些度量是时间和我们称之为破产因子的数量的函数。我们的模型是最优的，因为没有替代策略可以提供较低的P（破产），但在常见的市场假设下，它也是难以处理的。我们使用数值技术来逼近最优解，用户可以通过调整离散精度来达到任何期望的精度。本研究组织如下。

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能者818

2022-5-15 13:38:39

在第一节中，我们回顾了基于从业者的累积策略的文献，在第二节中，我们为固定或随机的退休期限制定并优化了模型。在第三节中，我们使用历史市场收益率来估计随机性，并将随机地平线模型扩展到一组退休人员。在第四节中，我们总结了一个非技术性的总结，并在附录中提供了完整实现的源代码。在整个讨论过程中，我们提出了在不同维度上扩展这些模型的建议，例如通过添加资产分类、调整费用比率，以及使用预测来改变不同时间的回报分布。一、文献综述（1994年）通过分析美国股票和债券投资组合的历史收益序列，确定了退休人员的安全初始净收益率。他得出的结论是，在过去30年中，如果使用50%的股票，经过通胀调整的4.15%的利率是不会耗尽的，因此他认为这是安全的。Bengen（1994）建议在50%和75%之间进行固定的股权分配，只有在退休人员的目标改变时才会改变。这项研究得出了通常被称为“4%规则”的结论。Bengen（2006）更新了这项研究，将小盘股纳入投资组合，并使用SAFEMAX一词来指30年后对所有分析的历史序列产生大于0美元期末余额的最高回报。当投资组合中至少20%的股票投资于小盘股时，SAFEMAX增长至4.42%。Cooley、Hubbard和Walz（1998）也将历史收益序列应用于股票和债券的退休投资组合。他们得出结论，在30年内，持有50%和75%股票的4%WRon账户的成功率（大于0美元的期末余额）分别为95%和98%。2011年，Cooley等人。

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2022-5-15 13:38:43

使用14年的新数据更新了分析，发现持有50%和75%股票的投资组合的成功率分别为96%和>99%。Pye（2000）通过对投资回报进行分布假设，分析了可持续性风险，并通过模拟测试了各种退出策略。使用股票和小费构建投资组合，一旦违反阈值，就减少取款。如果投资组合接近破产取款受到限制，则减少了破产概率。Pye（2000）没有测量破产概率，而是测量了达到极限并面临生活水平下降的概率（成功=不下降）。4%的人使用100%的股票，4.5%的人使用40%的股票，35年的成功率均为81%。Guyton（2004）制定了提款决策规则，并在1973年至2003年的30年期间对其进行了测试，由于高通胀和两次严重的市场衰退，这些规则被认为具有挑战性。使用65%或80%股权的固定投资组合，规则限制在账户余额未下降的年份进行通货膨胀调整。此外，还系统地从股票和债券中提取资金，首先从上一年收益巨大的账户中提取。利用这些规则，Guyton（2004）发现，65%和80%的投资组合权益比率可以在研究的30年加上额外的10年内分别维持5.4%和5.8%的初始资本回报率。因此，与大多数其他研究相比，在预先确定的时间进行通胀调整会导致更高的WRP。Milevsky和Robinson（2005）引入了随机现值（SPV）来推导退休人员预期寿命内的破产概率密度，该概率密度近似于指数RV。SPV是退休人员未来支出的现值，使用随机市场回报贴现。

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nandehutu2022

2022-5-15 13:38:46

如果SPV超过退休人员的起始账户余额，则会发生破产。Milevsky andRobinson（2005）发现，在对数正态投资组合回报的假设下，SPV RVV遵循倒数伽马分布，其参数与对数正态回报（均值和方差）和指数预期寿命（比率）的参数直接相关。该解在本质上是封闭形式，但在使用辅助寿命时，它近似于真正的破产概率。Milevsky和Robinson（2005）发现，50%和100%的股权比率，使用4%的加权平均收益率，成功率分别为91.0%和87.7%。Blanchett（2007）通过自举抽样对股票和债券投资组合的历史收益率进行了分析。布兰切特（Blanchett，2007）将成功率定为95%，发现使用40%股权的aportfolio在30年内的WRP最高，为4.2%。Blanchett（2007）还分析了4条向下倾斜（线性、阶梯、凹形、凸形）的股票下滑路径，并对其进行了恒定分配（无下滑路径）。每一个都用不同的起始条件进行了测试，并在20到40年的时间里分析了43条不同的路径。布兰切特（2007）发现，固定分配的效果最好。具体来说，在30年内，4%的WRA和30%的股票的恒定分配将产生2.06%的最低失败率。Stout（2008）将退休破产作为一个随机优化问题的目标，并通过模拟解决了它。对股票和债券的固定分配比例进行评估，直到找到最小破产概率。因此，目标函数依赖于随机数量，如市场回报和死亡年龄，使用美国的生存概率。美国疾病控制中心。

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能者818

2022-5-15 13:38:49

Stout（2008）发现，65岁的退休人员使用4.25%的WRA，如果在股票中的最佳配置为50.25%，成功率将达到96.75%。此外，随着薪酬的增加，股权比率也必须增加，以保持最佳状态。目标日期（TD）基金是基于退休日期实施股票下滑路径的金融产品。一些人在退休时停止工作，而另一些人则在退休后继续重新分配工作。晨星公司（2009）对金融公司进行了调查，总结了无数TD基金的下滑路径。他们发现，1995年、2000年、2010年和2015年的退休人员目前的股票平均比例分别为20%、34.5%、50.2%和62.1%。这项调查为金融公司在TD基金中使用的下滑路径提供了大量洞察。平均而言，退休人员从大约62%的股权开始，20年后降至20%。然而，对于下跌的股票下滑路径优于固定分配，人们并没有达成广泛共识。与布兰切特（2007年）类似，科恩、加德纳和范（2010年）发现，持续的股票组合几乎普遍优于下跌的股票下滑路径，这引发了人们对TD基金策略的怀疑。Cohen等人（2010年）使用了固定的退休期限，并发现退休人员的股票应该比通常建议的少。也就是说，32%、60%和80%的股权百分比在使用4%的WR时，成功率分别为94%、88%和84%。他们降低股本率的理性是为了防止收益序列（SOR）风险，即退休早期的损失风险。

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2022-5-15 13:38:53

如果再加上经通胀调整的提款，早期损失会增加发生财务破产的可能性。Fan、Murray和Pittman（2013年）开发了一个自适应分配模型，该模型在购买年金之前跟踪泰瑞尔的账户余额，并调整资产分配，以在20年内实现预期财富的最大化。决策树是利用市场回报及其对不同时间点之间不同资产分配的影响的组合构建的。通过折回树，一个最优策略就会显现出来，通过消除次优节点，它可以作为退休人员的指南。使用二次惩罚短缺的objectivefunction在树中的每个节点上优化分配。与固定策略相比，自适应模型的预期盈余更高，预期损失更低。该模型的一个特点是，当流动资产与贴现的未来支出相匹配时，它变得最保守。当Theretrie经历了强劲的回报时，短缺惩罚接近于零，这揭示了一种反馈机制，鼓励随着财富的增长积累更多财富。因此，adaptivemodel主张在表现不佳和表现出色的市场中都要有更高的股权比率。Pfau和Kitches（2014）利用模拟研究了典型和典型（低于标准）回报期的各种股票下滑路径。在测试的三个阶段中，有两个阶段的成功率为4%，使用股票下滑路径的成功率最高，从20%到40%开始，到60%到80%结束。这些下滑路径也导致了所有分析周期的最小短缺量。因此，上涨的股票下滑路径的表现优于静态下滑路径和下跌下滑路径。

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2022-5-15 13:38:56

Pfau和Kitches（2014）提供了这些发现背后的直觉，即当SOR风险最大时，投资组合在开始时会消耗最大的SOR风险，退休人员应该限制他们的需求暴露。随着时间的推移，这种风险降低，增加股票是有必要的。Pfau和Kitches（2014）指出，在市场低迷期间，下滑路径上升，使得退休人员可以在价格较低时积累股票，从而从市场好转中获益。在新兴市场积累股票被视为为为继承人留下遗产的机会。二、制定和解决模型我们在第二节中制定了一个最优退休人数减少模型，并在第三节中实施。该解决方案可以作为减少退休人员人数的路线图。大多数结论在附录中都是合理的，我们也鼓励读者阅读这些章节。A.定义和注释假设退休人员拥有一个由股票和债券组成的投资账户，如果退休人员在活着的时候清空账户，就会发生财务破产。

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2022-5-15 13:38:59

定义：·t=时间点（t=0,1，…，TD），从t=0开始退休。TD=死亡前最后一次提款时间（可以是固定的或随机的）·TD-k=提款前的k个时间点（在t=TD-k时仍有kwithdrawals）·破产（t）=破产事件在t时发生。破产C（t）=破产事件在t时未发生·$A=退休账户在t=0.α时的价值=退休账户在股票中的比例（0≤ α ≤ 1） ·（1-α）=退休账户在债券中的比例·WR=根据每个时间点的通货膨胀率调整的初始提款率·It=t-1和t之间的通货膨胀率·R（t，α）=在t-1和t·R（t，α）之间有100*α%股票和*（1-α）%债券的退休账户的总回报率（RoR）|，R（t，α）=在t-1和t之间有100*α%股票和100*（1-α）%债券的退休账户经通胀调整的RoR，假设它和R（t，α）·ER=金融机构每t次收取的费用比率（固定或α*ER（s）+（1-α）*ER（b），其中ER（s），ER（b）是股票和债券费用比率）·（t，α）=（1-ER）*（1+R（t，α）|It，R（t，α）通货膨胀/费用调整后的复合收益率在t-1和t之间有100*α%的股票和100*（1-α）%的债券的账户上，它、R（t，α）、R（t，α）|It、R（t，α）和（t，α）是连续的RVs，TDS可以是固定的或（离散的）随机的。WRI基于$A，经通胀调整后，在时间t提取。基于α的投资组合在t时的实际RoR是r（t，α）| It，r（t，α），它是在观察到r（t，α）后计算的，因此它是有条件定义的。数量（t，α）反映了时间t时基于α的投资组合的经通胀/费用调整的复合回报。RV（t，α）依赖于5个数量：t，It，R（t，α），α，ER，其中t，α和ERare是确定性的，而It，R（t，α）是随机的。

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2022-5-15 13:39:02

时间t-1的真实余额乘以（t，α）就是时间t的真实余额。最后，破产（t）和破产（t）是以一定概率发生的随机事件。当账户余额无法维持t时的提款时，发生事件破产（t）。它只能发生一次。当表达P（破产（t））时，我们假设t之前没有破产发生。例如，t=3时破产的概率是P（破产（3）|破产c（1）∩ c（2））。条件组分可以表示为P（C（1）∩ RuinC（2））=P（RuinC（1））*P（RuinC（2）| RuinC（1））。破产概率（3）表示为：P破坏3.|破坏1.∩破坏2. ∩∩*破产概率P（破产）随时间而变化。如果退休人员使用固定的基于WRownsanα的投资组合，其实际账户余额在t=0和t=1之间翻倍，那么t=1时存在与t=0时截然不同的P（破产）。我们假设退休人员的目标是（1）最小化P（破产），而不是在给定WR的情况下积累财富。因此，破产概率会很快消失，退休人员应该定期重新评估破产概率。B.退休顺序我们假设退休人员从时间t=0开始，账户余额为$A。取款率基于$A，并根据每个时间点的通货膨胀进行调整。在时间t=1时，退休人员尝试从具有一个时间点的复合回报的账户中首次提取（$A）*（WR）*（1+I）。如果账户无法维持提款，则发生破产（1），否则发生破产（1）。提款前账户余额为（$A）*（1+R（1，α））*（1-ER），其中R（1，α）是t=0和t=1之间投资组合的总RoR。

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2022-5-15 13:39:06

在最优策略下，假设破产C（1），退休人员应在未来任何时间点（t=2，3，…，TD）重新评估P（破产），并以最佳方式重新分配投资组合的资产。该场景假设在t=0时没有进行取款。我们将模型建立在这个假设的基础上，并将其称为标准形式。在标准形式中，第一次资产配置决策发生在时间t=0，第一次提款发生在时间t=1。如果退休人员的表现不同，他们将在应用模型之前转换为标准形式。例如，时间t=0余额为$B的退休人员在时间t=0和t=1之间需要资金，可以通过使用时间t=0提取率W=WR/（1+WR）转换为标准形式。时间t=0的提取率为（W）*（$B），剩余余额为$a=$B*（1-W）。然后使用$A和WR应用标准形式模型。请注意，这种转换保留了退休人员从时间t=0到时间t=1的追踪能力，因为（W）*（$B）*（1+I）=（WR）*（$A）*（1+I）。C.破产系数我们现在定义了一个数量，它包含了评估P（破产）所需的大量信息。退休人员应在每个时间点对其进行更新，并可采取行动，因为它有助于揭示精确的资产配置，从而将退休剩余时间的P（破产）降至最低。Letr（t，α）表示r（t，α）| It，r（t，α）。对于t=0，将破产系数RF（t）定义为wr，对于t=1，2，…，TD，定义为：RF（t）=RF（t-1）/[（1+r（t，α））（1-ER）–RF（t-1）]=RF（t-1）/[（t，α）–RF（t-1）]。（2b）（2a）假设在时间t之前没有破产，我们证明了事件破产（t）发生为：破产（t）|破产c（1）∩ … ∩ Runc（t-1）<-> （1+r（t，α））*（1-ER）≤ 射频（t-1）<-> （t，α）≤ RF（t-1）（见附录B）。在t=t-1时，RF（t-1）已知，且破产（t）发生在If（t，α）时≤ 射频（t-1）。假设已知或估计了（t，α）的CDF，可以计算RF（t-1），并在t=t-1时对不同α的P（破产（t））进行评估。

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2022-5-15 13:39:11

假设（t，α）是适当的回报，则可以使用任何时间单位定义RF（t）。注意，RF（t）为正，直到破产发生（如果发生）时变为负（或∞). 看看这个注释，在任何时间t，RuinC（t）发生<->:（t，α）>RF（t-1）这种情况表明，即将到来的时间点的返回（t，α）必须超过RF（t-1）才能避免。如果这不成立，则（t，α）≤ RF（t-1）和RF（t）要么是负的（当（t，α）<RF（t-1））要么是未定义的（当（t，α）=RF（t-1））。如果RF（t）在两个时间点之间下降，退休人员已经改善了他们在破产方面的地位，反之亦然。当分母超过1时，即（t，α）>1+RF（t-1），RF（t）下降。如果退休人员产生的回报（r（t，α）-ER-r（t，α）*ER）恰好等于WR=RF（0），那么RF（t）是常数，随着时间的推移等于WR。如果发生RUNC（t），则t时的实际账户余额为（$A）*RF（0）/RF（t）。（见附录A。）这表明RF（t）的倒数等于t时刻剩余的实际取款次数。在t时刻，RF（t）被计算并已知。未来的破产因素是未知的，因为它们是未观察到的市场回报的函数，因此它们是房车。退休之初，RF（0）=WRI是唯一已知的破产因素。退休人员通过选择α对未来的RF（t）值进行一些控制，因为RF（t）=RF（t-1）/[（t，α）–RF（t-1）]。如果在t-1和t之间使用低α投资组合，退休人员对（t，α）更有信心，因此对RF（t）更有信心。相反，如果使用高α投资组合，则（t，α）具有更大的不确定性，RF（t）也具有更大的不确定性。D.两名退休人员面临不同SOR的示例考虑两名退休人员的再平衡α=0.5投资组合。让时间单位为年，TD=30。两者的开始时间t=0，账户余额为$A，使用WR=4%，ER=0.5%。为了避免这种情况，退休人员在提取TD=30的时间后，账户余额必须大于0美元。

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2022-5-15 13:39:15

在（4）（3a）（3b）每年年初（t≥ 1）计算RF（t）并进行所需提取。图1追踪了两名退休人员在退休期限内的RF（t）（线条平滑），并表明退休人员1在资金不足时经历了事件破产（20），时间t=20。退休人员2没有经历过破产事件，30次成功提款以供支付。请注意，在第10年，退休人员1的财务状况比退休人员2好（RF（10）为0）。067对0.077）。需要考虑的一个问题是：α=0.5的投资组合是否适用于退休人员1在计算期间的所有时间点？图1两名退休人员的破产路径该图详细说明了退休人员在减额期间可能经历的破产路径，并显示了破产因子RF（t）是如何随时间跟踪的。我们从（3b）中知道，对于给定的α，P（t）是RF（t-1）的递增函数。对于固定t，较大的RF（t）对应较高的P（破产（>t））。退休人员1表示，一旦RF（t）开始抛物线上升，就很难恢复。RF（t）的初始值为RF（0）=WRand，我们试图随着时间的推移使其处于抑制状态。如果破产发生，RF（t）变为负值或∞ （未显示）。我们把破产定义为时间t的财务破产事件(≤ t）表示在时间t或之前发生的财务破产事件，让破产（>t）表示在时间t之后发生的财务破产事件，t=1，2，…，TD。（见图2。）图2破产事件维恩图该图将金融破产表示为一个事件，并展示了不同时间点破产事件之间的关系。例如，如果破产（1）发生，那么破产(≤ 2）自破产后发生（1）毁灭(≤ 2).然而，毁灭(≤ 2）可以在不发生毁灭的情况下发生。请注意，椭圆形的圆环代表在该时间点发生的破产事件。

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2022-5-15 13:39:19

在即将到来的归纳过程中，当我们面对有限的样本空间时，这种视觉帮助我们制定概率陈述和假设。因此，毁灭（t）≡ 毁灭(≤ （t）∩ 瑞恩克(≤ t-1），代表图2中的一个椭圆形环。注意，P（破产）可以表示为：P（破产（>0））=1–P（破产C(≤ TD=1–P（c（1）∩ C（2）∩ … ∩ RuinC（TD））=1–P（RuinC（1））*P（RuinC（2）∩ … ∩ RuinC（TD）|RuinC（1）），其中，对于任何事件A、B和C，最后一个表达式为自∩ B∩ C） =P（A）*P（B∩ C | A）。退休人员的目标是最小化P（破产）=P（破产(≤ TD））=P（破产（>0）），给定WR。如前所述，关于P（破产）真正价值的争论尚未解决。此外，优先选择的下滑路径也存在很多分歧。这将有助于退休人员了解每次t时每个可能的WRat的精确最优（最小）P（破产），以及（5）（6c）（7）（6b）（6a）实现该最优所需的α。退休人员将受益于一个路线图，该路线图告诉他们他们的RP（破产）如何随时间变化，以及维持最佳状态所需的行动。最终，这种aroadmap应该在时间t=0时可用，指导退休人员进行推算。F.在下一个时间点最小化P（破产）退休人员的目标是在递减期间最小化P（破产），每个时间点的αa的选择必须考虑剩余的时间范围。一个相关的子问题是在下一个时间点t最小化p（破产）≤ TD（固定）。假设在t-1时提取，并且计算出RF（t-1）>0。通过检查所有（t，α）PDF的尾部，找到使P（破产（t））最小化的α，其中破产（t）<-> （t，α）≤ 射频（t-1）。

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2022-5-15 13:39:23

图3显示了此类PDF的集合。图3各种资产分配的一般（t，α）PDF（α）。该图展示了我们如何评估PDF集合，并选择一个使P（破产（t））最小化的PDF，以回忆破产（t）<-> （t，α）≤ 射频（t-1）。随着α的增加，（t，α）的PDF向右移动，方差增加，导致分布更短、更广。注意P（破产（t））=F（t，α）（RF（t-1）），其中Fx（·）代表RV x的CDF。因此破产概率是PDF（t，α）下的左尾区域。在图3中，具有低峰值和厚尾的密度可能代表α=1的投资组合，而具有高峰值和最小方差的密度可能代表Markowitz（1952）描述的最小波动性投资组合。给定RuinC（t-1），通过选择RF（t-1）左侧尾部面积最小的PDF，可以确定使P（ruint（t））最小的α。这个尾部区域由F（t，α）（RF（t-1））定义，其中Fx（x）=P（x≤ x）表示RV x.G.在固定TDP的任何时间点最小化P（破产）的CDF为了在递减过程中的任何时间最小化P（破产），我们使用反向归纳法。诱导过程从时间t=tD开始，每一步的展开方式类似于（6）中的表达式。也就是说，我们假设退休人员到达了那个时间点，并成功地完成了他们的抽签，然后重新计算自RUNC（t）发生以来大于0的RF（t）。在t=0时，过程结束，并显示所有WR的精确最优（最小）P（破产），以及在整个递减过程中保持最优所需的动态资产配置。

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2022-5-15 13:39:26

设V（t，RF（t））=时间t后的最优（最小）破产概率给定RF（t）>0α（t，RF（t））=达到V（t，RF（t））所需的α值。对于破产事件，价值函数V（t，RF（t））用（6c）定义为：V（t，RF（t））=Min（α）P（破产（>t））=Min（α）P（破产（t+1）∪毁灭（t+2）∪… ∪破产（TD））=Min（α）1-P（破产（t+1）*P（破产（t+2）∩ … ∩ RuinC（TD）|RuinC（t+1）），我们假设基于α的投资组合在不同时间点的回报是独立的，这与有效市场理论一致。也就是说，过去收益模式中包含的任何预测能力都被视为已经考虑在内，从而使其对退休投资者毫无价值。G.1固定时间段的入职流程假设退休人员在t=t时到达，并最终退出。受限样本空间S={C(≤ TD）}包括单个事件。无需计算RF（TD）（>0），因为未来无需提款。当t=TD，P（破产（>TD））=0，V（TD，RF（TD））=0，RF（TD）>0用作边界条件（B.C.）。在任何其他时间点t，假设退休人员进行了拉锯，并根据刚刚观察到的回报率（t，α）更新RF（t）（>0）。退休人员面临严格的样本空间S={ruint（t+1），ruint（t+2），…，ruint（TD），RuinC(≤ 并寻求α-Tomimize P（破产（>t））。

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2022-5-15 13:39:29

使用（8c），这相当于：（见附录C）（8a）（8c）（8b）V（t，RF（t））=分钟1-（1-F（t+1，α）（RF（t））*（1-E（t+1，α）+五、T1.,)适用范围：0≤ T≤ TD-1，RF（t）>0，V（TD，RF（TD））=0。最优性在α（t，RF（t））处实现，期望值为wrt（t+1，α）+=（t+1，α）|（t+1，α）>RF（t）。假设f（t+1，α）是f（t+1，α）的PDF，而RF（t）是已知的，则f（t+1，α）+有PDF:f（t+1，α）+=（t+1，α）|（t+1，α）>RF（t））~,,,, 对于,射频T0，O.W.（9）中α的选择在下一个时间点和下一个时间点之后使P（破产）最小化。在退休早期选择一个低波动率的投资组合以避免在下一个时间点破产是有代价的，因为该投资组合会导致更高的预期破产因子，这会在下一个时间点后增加P（破产）。在α（t，RF（t））处达到平衡。H.在任意时间点最小化随机TDP（破产）对于随机TD，选择P（TD>SMax）=0的SMax，并建立离散时间危险概率P（TD=t | TD）≥ t）对于t=0，1，2，…，SMax。感应开始于t=Smax，但现在必须认识到，任何时间t都可能代表TD。随机TDvalue函数定义为：VR（t，RF（t））=时间t后的最优（最小）破产概率给定RF（t）>0αR（t，RF（t））=实现VR（t，RF（t）所需的α值。考虑到TD≥ t、如果在时间t退出成功，且RUNC(≤ SMax）如果退出是最后一次尝试，则占用卫星时间t。第二节F中提出的子问题必须改变以反映这一点。我们假设Td和（t，α）是独立的RVs t=1，…，SMax。H.1随机TDP的入职流程假设退休人员在t=Smax时到达并退出。无需计算RF（SMax）（>0），因为不再有取款和破产(≤ SMax）已经发生。Att=SMax，P（破产（>SMax））=0和a B.C。

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2022-5-15 13:39:32

VR（SMax，RF（SMax））=0，射频（SMax）>0。对于任何其他时间t，假设退休人员到达该时间点，退出并更新RF（t）>0。（9）（10）将价值函数VR（t，RF（t））定义为：VR（t，RF（t））=Min（α）P（破产（>t））=Min（α）1-P（破产c（t+1）∩ P（C（t+2）∩ … ∩ runc（SMax））=Min（α）P（TD>t | TD≥ t） [1-{P（（t+1，α）>RF（t））*P（runc（t+2）∩ … ∩ Runc（SMax）|（t+1，α）>RF（t））]我们在附录D中显示了（0）上的最小化≤ α ≤ 1）相当于：VR（t，RF（t））=MinP（TD>t | TD≥ t） *{1-（1-F（t+1，α）（RF（t）））*（1-E（t+1，α）+五、T1.,)}适用范围：0≤ T≤ SMax-1，RF（t）>0，VR（SMax，RF（SMax））=0。最优性在αR（t，RF（t））处实现，并且期望值超过条件RV（t+1，α）+。（12）中的VR（·）与（9）中的V（·）相似，只是因子P（TD>t | TD）不同≥ t），当TDI是随机的时，它会从上面包围SP（毁灭）。这是直观的，因为P（破产）在未来任何时间点都不能超过试图再次退出的概率。我们看到（9）中的固定TDM模型是（12）的特例，其中P（TD=SMax）=1或P（TD>t | TD）≥ t） =1，t=0,1，…，SMax-1和P（TD>SMax | TD≥ SMax=0。V（t，RF（t））和VR（t，RF（t））表示动态程序（DPs）的值函数，其中V（0，RF（0））和VR（0，RF（0））是给定RF（0）=WR的任何时刻的最佳（最小）P（破产）。时间t被认为是DP的阶段，而RF（t）被认为是状态。因为解找到了最小P（破产）（t，RF（t））这也是一个长期保持最佳状态的路线图。V（·）和VR（·）都是精确的，不是模拟的，并且是最优的，这意味着在使用WR=RF（0）和相同股票/债券的任何其他策略下，不可能实现较低的P（破产）。我们面临的挑战是在每个t上解决所有RF（t）>0的DPs。V（·）和VR（·）的性质将取决于对通货膨胀/费用调整回报的分配假设。

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能者818

2022-5-15 13:39:36

如果被最小化的表达式具有已知的形式，那么寻找α（·）将通过微积分来处理。然而，V（·）和VR（·）的封闭式表达式不太可能出现。为了克服这个问题，我们对0的α和RF（t）维进行离散化≤ α ≤ 1和RF（t）>0，生成与非基于模拟的最优解的数值近似。通过提高离散化精度，用户可以获得任意精度的近似。（12）（11c）（11a）（11b）I.沿α和RF（t）维离散定义α{·}和R{·}作为离散精度Pα和PRalongtheα和RF（t）维分别产生的集合，最大RF（t）=RFMax t、也就是说，α{·}={0，1/Pα，2/Pα，…，1-（1/Pα），1}R{·}={1/PR，2/PR，3/PR，…，RFMax-（1/PR），RFMax}。沿着破产因子维度，集合R{·}中的每个值（>1/PR）将作为围绕其构造的abucket的中点。每个RF（t）>0映射到（PR）*RFMax+1个桶中的一个，最后一个桶包含所有破产因子>RFMax+1/（2PR）。（见图4。）图4正破产因子维度的划分（9）和（12）中提出的DPs不太可能呈现封闭形式的解决方案，因为用于模型市场回报的RVs CDF通常没有封闭函数形式。为了实现这些DPs，我们对α和RF（t）的连续维数进行了分解。离散化α很简单，但离散化RF（t）更为复杂。在这幅图中，我们展示了给定破产因子精度PRandmaximum破产因子RFMax的RF（t）离散化策略。离散化是连续的（没有间隙）。当离散DP实现需要单RF（t）值时，我们将使用桶中点。由于存储桶是连续的（没有间隙），因此该解决方案提供了allRF（t）>0的覆盖范围。

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2022-5-15 13:39:39

对于（t，i/PR），i=1,2,3，…（PR）*RFMax，以及对于RF（t）>RFMax+1/（2PR）的V（t，RF（t））=1，导出了值函数V（·）和VR（·）。作为公关→∞ 桶体塌陷到中点，沿RF（t）维的离散化接近连续解。我们通过以与桶边界一致的方式离散（t+1，α）+的概率分布来处理条件期望。在时间t，考虑到RF（t+1）>0完全由CDFof（t+1，α）确定，RF（t+1）落入桶i的概率，i=1，2，…（PR）*RFMax，（PR）*RFMax+1。落入任何桶中的概率精确地为P（c（t+1））=P（RF（t+1）>0）（13a）（13b），这也由（t+1，α）的CDF决定。（9）和（12）中对（t+1，α）+的期望值变成V（t+1，RF（t+1））和VR（t+1，RF（t+1））的值乘以适当的离散条件概率的总和（见附录E）。设Vd（t，RF（t））和αd（t，RF（t））分别表示（9）中V（·）和α（·）的离散化版本。那么，Vd（t，i/PR）=Min∈1-（1-F（t+1，α）（i/PR））*（1-∑PJ*五、T1，j/P*)为了0≤ T≤ TD-1，i=1,2,3，…（PR）*RFMax，w/B.C.的Vd（TD，RF（TD））=0RF（TD）>0，对于RF（t）>RFMax+1/（2PR），Vd（t，RF（t））=1。给，PJ表示桶中的P（RF（t+1）|j（t+1，α）>RF（t））具有最佳=αd（t，RF（t））。用户可以选择Pα和PR，在任何编程语言中解决该DP。该代码在（t，RF（t））维度上的网格上运行（见图5）。对这个DP进行编码的一个基本（但效率低下）策略是从菱形开始，按照箭头，然后在正方形结束。Vd（·）和αd（·）的值被导出并保留在网格中的每个单元格中。如图所示，（9）中的V（·）展示了t和RF（t）维度的结构。给定RF（t），V（·）随t减小，给定t，V（·）随RF（t）增大。

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2022-5-15 13:39:44

辩护是间接的。假设一个单位的时间过去了，RF（t）并没有改变，但V（t，RF（t））增加了。如前所述，时间t的实际账户余额为（$A）*RF（0）/RF（t）。因此，t+1时的实际账户余额等于t时的实际账户余额，但P（破产）增加了。这是一个矛盾。类似地，假设在时间t，RF（t）<RF（t），但V（t，RF（t））>V（t，RF（t））。这也是两个投资组合的矛盾之处（$a）*RF（0）/RF（t）>（$a）*RF（0）/RF（t）和WR=RF（0）。V（·）和VR（·）是最优的，因为在给定WR的情况下，没有替代策略可以使用相同的股票/债券产生较低的RP（破产）。离散DP是最优策略的数值近似，其实现需要大量的CPU，尤其是对于较大的Pα和PR。一般来说，较大的Pα会减少P（破产），而较大的Pα会证明近似的准确性。（14）图5按破产因子网格编码为时间的离散化DP（9）中的离散化DP在（14）中给出，可直接扩展到（12）中的随机TDM模型。我们可以使用多种策略解决这些DPs，但通常倾向于处理时间较短的解决方案。图中显示了一个基本但低效的策略。在这里，我们的代码将迭代时间和RF（t）维度，从菱形开始，到正方形结束。图中显示了最终取款的时间、破产因子精度和DP的价值函数V（·）。三、固定和随机TDN的实现我们使用（14）中的技术对固定TDin（9）的DP进行编码，Pα=1000，PR=5000，RFMax=2.75，ER={0.5%，0.0%}。在这种离散化下，每个时间t都有13751个RF（t）BucketSexister。我们将时间单位设置为年，TD=30，得到一个由426281个单元组成的图5网格，其中填充了（V，α）。每年，退休人员都会计算RF（t），将其分配到一个Bucket上，并咨询网格。

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2022-5-15 13:39:47

V（·）的值反映了在任何未来时间点，使用资产配置α，直到t=tD的最优（最小）P（破产）。请注意，DPs要求在当前和所有反映最优原则的未来时间点遵循最优策略。为了便于DP编码，我们必须对股票/债券收益进行分配假设。A.分配假设在本分析中，我们分别使用历史年度标准普尔500指数总回报率、10年期国债总回报率和1928-2013年的CPI-U来代表股票回报率、债券回报率和通货膨胀率。我们隐含地假设，未来股票/债券收益来源于与过去收益相同的基本概率分布，并且考虑了N=86年的历史收益。在对通货膨胀进行调整后，我们发现股票和债券的实际总回报率是来自基本正态分布的随机样本，其（u，σ）分别为（0.0825,0.2007）和（0.0214,0.0834）。此外，每次t时，这些收益之间都存在ρ=0.04387的小正相关关系（见附录F）。（9）和（12）中的模型没有对资产类别收益的基本分布进行假设。唯一的要求是，相关股票/债券收益的凸组合的尾部概率已知，或者可以在集合α{·}上的Bucket边界处模拟/近似。一旦选择了pr，桶边界是固定的和已知的，因此可以对尾部概率进行预处理。数组引用将替换代码中的CDF函数调用。此外，桶中点处的CDF调用可以由平均边界CDF概率代替，而不会影响离散DP收敛到其连续对应点。在这个实现中，我们假设股票/债券回报率随时间变化为iid，但不需要相同分布假设。

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2022-5-15 13:39:50

用户可以在均值和方差随时间变化的情况下应用预测。此外，我们的模型假设有两个资产类别，但如果可以获得多个资产类别（可能相关）回报的线性组合CDF，这也可以放松。可能需要巧妙的编码来保持运行时的合理性，因为优化将超过每个（t，RF（t））的α。B.固定TDP的离散DP结果第三节中描述的固定TDP的离散DP实现在426281个单元和46个单元的网格中填充（V，α），如图6所示。这里，V是未来任何时间点的最小P（破产），α是所需的股票比例。由于RF（0）=WR，时间t=0表明初始WR的最优P（破产）介于3.5%和4.5%之间，以及第一年的最优所需α。值得注意的是，4%的通货膨胀调整后的WRER=0.5%在股票中产生的最佳P（破产）为0.065（成功率=93.5%），起始α为41.4%。图6使用费用比ER=0.5%选择离散实施单元该图显示了426281单元优化解决方案中46个单元的样本，用于（固定）TD=30年、Pα=1000、PR=5000和ER=0.5%。我们在时间t=0时，使用WR=RF（0）的单元中的资产分配（α）开始优化策略。对于标准形式的退休人员，第一次提款发生在时间t=1，最后一次提款发生在时间t=TD=30。每次t时，退休人员都会尝试退出，如果成功更新了SF（t），则会咨询网格以获得新的最优值（α）。在时间t时，最优P（破产（>t））是随时间变化的V。三条路径为阴影，表示可能通过网格的路径（即下滑路径）。当我们的投资组合表现良好时，RF（t）下降，我们向左跟踪。当表现不佳时，RF（t）增加，我们向右跟踪。

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2022-5-15 13:39:54

当TD=30时，第一个和最后一个α决策分别在时间t=0和t=29。第一次和最后一次提款时间分别为t=1和t=30。为了便于说明，图6中有三条路径用阴影表示。如果退休人员最初使用4%的回报率，RF（t）会随着时间的推移而降低，退休人员会沿着一条可能与路径1类似的路径向前走。稳定的回报率接近于零，导致RF（t）恒定，退休人员的路径可能类似于路径2。不利回报增加RF（t），退休人员可以沿着路径3向右跟踪。如路径1和2所示，P（破产）在有利/稳定市场中下降，α下降。因此，路径1和路径2大致遵循TDF基金中使用的下滑路径策略，该策略一直延续到退休日期。然而，路径3表明，在不利市场中，最优股权配置大致保持不变或增加。这与研究人员的发现是一致的，他们警告说，退休早期的回报序列很差。参见Cohen等人（2010年），以及Pfau和Kitches（2014年）。请注意，如果第一年的通货膨胀/费用调整回报率为1.799%，则当RF（0）=0.040时，四舍五入的RF（1）=0.041。图7显示了ER=0.0%的结果。使用4%初始WRis0的最优P（破产）。043（成功率=95.7%），股票的起始α为36.8%。股票在有利市场中减少，在不利市场中增加，这一模式同样适用。95岁。7%的成功率适用于任何同意在所有时间点采取最佳行动的退休人员。图7使用无费用比率（ER=0.0%）选择离散实施单元该图显示的信息与图6相同，只是针对ER=0.0%的解决方案。

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2022-5-15 13:39:57

在无支出比率的情况下，时间t=0的破产概率（V）较低，资产配置（α）也较低，这是预期的。图6和图7中的网格适用于使用任何初始WR的所有退休人员。如果两个退休人员在时间t开始时间t=0时，具有不同的回报，在时间t结束时，具有相同的RF（t），那么他们的回报以及（V，α）在退休的剩余时间内是相同的。这也意味着他们将在交叉点后通过网格绘制出正确的同一路线图，而在分析中不起作用。这一结论背后的直觉是，退休人员必须经历可避免的回报，并在交叉点之前绘制一条向左的路径。在绘制这条向左的路径时，退休人员积累了足够的财富，以支持更大规模的提款。然而，我们在此不评估此类交叉口发生的可能性。B.1解的数值精度我们通过将PR5000加倍到10000来评估数值近似的精度。这种离散化每次创建27501个桶，在图5grid中创建852531个总单元。该溶液与图7（ER=0.0%）具有直接可比性。较大的PRP（破产）和α变化不大，但从实际意义上讲，使用PR=5000的结果比使用TD=30时的结果更合适。（见表一）表I PR=5000 vs.PR=10000，ER=0.0%时的V和α比较该表比较了PR=5000 vs.PR=10000的模型在t=0时的最小破产概率Vd（0，RF（0））和最优资产配置αd（0，RF（0）），使用3个提取率（WR）。这里，PRis-theRF（t）离散化精度。当我们对（9）和（12）中的DPs进行离散化时，pr值越高，数值近似越精确，但也会导致更长的运行时间。我们表明，将PR5000翻一番到10000，几乎没有什么好处。

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2022-5-15 13:40:01

当α精度为Pα=1000时，使用PR=5000的最佳解决方案有426281个总单元，使用PR=10000的最佳解决方案有852531个总单元。时间（t）RF（t）（=WR）Vd（0，RF（0））[αd（0，RF（0））]PR=5000apr=100000 0.035 0.01638[0.314]0.01637[0.314]0 0.040 0 0.04252[0.368]0.04251[0.368]0.045 0.08455[0.445]0.08454[0.445]aFrom图7，t=0行。B.2次优策略的后果我们通过将其与次优策略进行比较，评估（9）中的模型及其在第三节BB中的实施的实际价值。具有α的固定投资组合∈ {0.00,0.25,0.50,0.75,1.00}在第III-A节所述相同假设下考虑，TD=30，ER=0.0%，WR=4%。当α是固定的时，可以使用模拟来估计P（破产），或者可以对每个α分别求解|α{·}|=1的dp。每个单元的最小值超过一个α，v（0，0.04）表示使用该策略的P（破产）的数值近似值。结果根据图7中的V（0,0.04）进行评估。α=0.50的投资组合产生的P（破产）最低，成功率为91.5%，而最优策略下的成功率为95.7%。（见表二。）表II使用固定α策略的可比P（破产）该表列出了各种固定资产配置（α）策略使用TD=30年、ER=0.0%和WR=4%的P（破产）值。这些破产概率与图7中的破产概率直接可比。我们可以使用模拟或带有单个α的DP生成这些概率。两种方法都被使用，结果显示几乎相同。我们的目的是展示最佳固定α策略和最优策略之间P（破产）的差异。最佳固定α为α=0.5，相应的P（破产）=0.0850（成功率=91.5%）。我们在图7中看到，最优策略的成功率为95.7%。

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