引爆点事件可能对经济产生非常大的影响（见IPCC 2014；Smith et al.2009），但其规模存在很大的不确定性。很少有研究试图估计高潮损害，因为我们依赖于文献中呈现的各种观点。Stern（2007）回顾了现有的模型，其中包括临界点事件的风险，并估计了约占世界总产值5%-10%的影响。诺德豪斯（2008年）假设灾难性损害的金额高达世界总产值的30%，霍普（2011年）校准了倾翻造成的损害范围，将其包括在5%到25%之间，中心水平为世界总产值的15%。偏好参数数据不确定替代ψ的跨时间弹性和风险厌恶参数γ的正确值。Bansal和Yaron（2004）将消费数据和资产收益结合起来，得出ψ在0.5到1.5之间，γ在7.5到10之间。Bansal和Ochoa（2011）使用ψ=1.5和γ=10。Vissing-Jorgensen和Attanasio（2003）发现γ介于5和10之间，ψ>1。Vissing-Jorgensen（2002）和Campbell及Cochrane（1999）发现了ψ<1的证据。Barro（2009）使用sψ=2和γ=4，Pindyckand Wang（2013）使用ψ=1.5和γ=3.066。Nordhaus（2008）的骰子模型是确定性的，其效用函数相当于我们的Epstein-Zin效用函数中的ψ=0.5。不确定性指标的缺失意味着爱泼斯坦-辛偏好不依赖于γ，效用是时间可分离的。由于缺乏关于偏好的精确知识，我们为γ0.5的大范围值求解DSICE≤ γ ≤ 对于ψ，为0.5≤ ψ ≤ 2.0，重新审视碳的社会成本如何取决于风险偏好。在我们的基准参数规范中，我们遵循Bansal和Yaro n（2004），并假设ψ=1.5，γ=10。

然而，由于缺乏对前置词的精确了解，我们将在0.5的范围内求解我们的模型≤ γ ≤ 风险规避参数为20，风险规避参数为0.5≤ ψ ≤ 2.0的跨时期替代弹性。我们将研究碳的社会成本如何取决于风险偏好。5.3数值解方法我们使用值函数迭代法解决（16）中规定的九维问题。将三个状态变量（ζ、χ、J）离散化，并将随机冲击建模为有限状态马尔可夫链的转移。生产率过程状态（ζ，χ）使用具有足够状态的马尔可夫链，以确保产生的消费过程与消费数据中观察到的条件方差和自相关相匹配，并对J进行校准，以代表气候文献中讨论的过程。在（ζ，χ，J）空间的每个离散点上，六个连续状态（K，M，T）上的值函数用多元正交多项式ls近似。选择每个连续状态变量的范围，以便所有模拟路径都在该范围内。这是一个很大的问题，但使用并行编程方法和硬件使其易于处理。有关数学和计算细节的更广泛讨论，请参见本文附录B和E以及Cai et a l.（2015）。5.4 VVUQ文献（如Oberkampf和Roy 2010）中的一个主题的验证测试是检查计算机代码正确性的测试值。一个常见的测试是将代码应用于我们知道解决方案的特殊情况。如果消除了所有的不确定性，那么我们的模型就简化为一个确定性的最优控制问题，这个问题可以用非线性规划方法来解决。

我们将这些最优控制解与我们的值函数迭代结果进行比较，看看值函数是否暗示了一条与非线性规划结果相等的最优路径。我们的测试表明，值函数所暗示的路径至少具有三种数字精度，通常显著更高。详见附录F。5.5结果展示我们对要素生产率增长中随机成分和随机气候的描述都是对气候变化经济学的全新贡献。因此，我们首先单独研究每个组成部分对气候政策的影响，然后再研究它们的相互影响。在第6、7和8节中，我们分别分析了随机增长、随机气候以及随机增长和随机气候组合对气候政策的影响。我们将我们的随机示例与一个确定性基准示例进行比较，其中CRRA实用程序使用ψ=0.5，如No rdhaus（2008）中所述。DICE系列模型基于Schneider和Thompson（1981）的连续时间微分方程系统。基于诺德豪斯（2008）的骰子模型，蔡等人。（2012b）分析替代时间步长，发现一年步长为连续时间系统提供了极好的解决方案。因此，我们的确定性基准示例被选为Cai等人（2012b）中的示例，带有年度时间步长。DSICE在本文的所有示例中也将使用一年的时间段。在以下三个部分中，我们分别定义了基准参数规格，并说明了碳的社会成本和其他变量的最佳动态路径的分布情况。

我们还对一些参数进行了敏感性分析，并在表格中报告了不同参数选择对当今碳和其他变量的社会成本的最佳水平的影响。最佳路径的模拟如下：在时间t=0时，我们根据今天观测到的资本存量水平、大气、上层海洋和下层海洋中的三种碳质量，以及大气和海洋中的两种温度水平，指定六种连续状态的水平。我们还假设今天的随机生产率状态是其观测平均值，其增长率为零。就气候而言，我们还假设一个临界点尚未升高。在初始化状态空间之后，我们使用值函数来计算当前的最优决策（即t=0）。通过最佳社会决策和当前时期冲击的再实现，我们可以获得下一年的状态变量水平（即t=1）。我们继续这个模拟过程直到最后一刻。在我们的基准案例中，我们模拟了10000条这样的路径，以检查状态、决策的分布，尤其是碳的社会成本。6碳的社会成本（仅）随机增长本节分析了随机增长和风险偏好对碳的社会成本以及气候和经济系统组合的其他特征的影响。在本节中的任何模型运行中，我们都不考虑气候转换点的风险。我们首先描述了一个基准示例，其中包含生成与历史数据匹配的消费过程的参数。我们称之为我们的随机增长基准。

这种随机增长基准使我们能够揭示结果动态过程的关键特征，如消费、产出、生产率、气候状态和碳的社会成本。然后，我们对经验上合理的替代偏好参数进行敏感性分析，重点是偏好假设在初始阶段如何影响碳的社会成本。附录A给出了初始时间的九个状态变量（K、M、T、ζ、χ、J）的值。为了与Nordhaus（2008）和类似研究进行比较，我们将2005年作为第一年。我们的经验表明，以2010年为起始日期不会改变定性结果。6.1随机增长基准在这个随机增长基准示例中，我们假设Epstein–Zin偏好ψ=1.5，γ=10，并通过求和来描述随机增长过程 = 0.035，r=0.775，=0.08。作为第一步，我们给出了表1，其中列出了从我们对动态规划问题解决方案的10000条模拟路径得出的变量的平均值和标准偏差，如人均产出增长gy、t、碳SCCt的社会成本（对数标度）和人均消费增长gc，以及2020年、2050年和2100年。在去趋势化之后，我们还进行了la g-1线性自回归分析。也就是说，对于时间序列Xt（可以表示表1中的任何变量），我们假设Xt+1-xt+1=∧（xt- xt）+t，（18）其中，x是时间t时10,00个模拟点的x的平均值。对于每个模拟路径，通过其前100年的数据，我们得到了∧的估计值，以及la g-1自回归残差的标准偏差，表示为σ（），也被称为提前一个周期的条件标准偏差。总之，我们得到了∧和σ（）的10,000个估计。

表1还报告了它们的平均值和标准误差。表1告诉我们，对数的平均值和标准偏差（SCCt）都随着时间的推移而扩大。然而，2020年至2100年之间的对数标准差（SCCt）增加了三倍多，因此其增长速度远快于其平均值的增长速度。此外，log（SCCt）的∧平均值大于1，这意味着log（SCCt）随时间是非平稳的。类似地，减量试验条件与总产量之比ψt/Yt也被证明是非静态的，随着时间的推移，平均值和标准偏差不断扩大。表1还显示，其他四个变量（即人均产出增长gy、t、人均消费增长gc、t、消费与总产出的比率Ct/Yt以及资本投资与总产出的比率It/Yt）的平均值和标准差几乎与时间无关。此外，对于这四个变量中的每一个，它们的∧均值都小于1，标准误差很小，因此它们的95%置信水平也低于1。

这一发现表明，这四个变量是平稳的，具有回复特性。gy，tCt/YtIt/Ytψt/Ytlog（SCCt）gc，t 2020年的平均值为0.013 0.697 0.302 9.0(-4） 2050年的平均值为1.924 0.014 0.013 0.705 0.293 2.1(-3） 2.153 0.013平均值为21000.012 0.704 0.290 6.1(-3） 2.457 0.012 2020年的标准偏差0.038 0.027 0.026 3.2(-4） 0.087 0.024 2050年时的标准偏差0.039 0.028 0.027 1.5(-3） 0.184 0.024 21000.039 0.029 0.027 5.9时的标准偏差(-3） 平均值∧0.184 0.854 0.847 1.008 1.003 0.458标准误差∧0.117 0.057 0.056 0.077 0.015 0.135σ（）平均值0.037 0.014 0.013 2.3(-4） 0.013 0.021σ（）的标准误差0.003 0.001 0.001 2.7(-4） 0.001 0.002表1：来自10000条模拟路径的统计数据（a(-n） 表示a×10-n） 对于gy，t（人均产出增长）、Ct/Yt（消费与总产出之比）、It/Yt（资本投资与总产出之比）、ψt/Yt（减排支出与总产出之比）、log（SCCt）（对数尺度上的碳社会成本）和gc，t（人均消费增长）。请注意，我们对有气候影响的最优控制下的消费增长的统计数据与没有气候影响的消费增长的统计数据非常接近，我们将其用于校准，并在附录B中进行描述。这意味着这些统计数据也接近于美国1930年至2008年的观测数据。经验数据的平均值、标准偏差、∧和σ（）为0.019，分别为0.022、0.46和0.018，完全被我们模拟的统计数据的90%置信区间所覆盖；见附录B中的表14。与纯确定性增长模型相比，我们的模型意味着消费与世界总产出的比率较低，资本积累和减少的投资比率较高。

图1给出了详细信息，显示了前100年三个比率的最佳动态分布，以及10000个分位数的动态编程问题解决方案模拟（16）。例如，黑色虚线代表10%的分位数，表示每个分位数的比值。类似地，蓝色虚线、红色虚线、蓝色实线和绿色实线分别表示每次的2.5%、5.0%、75%和9.0%分位数。黑色实线代表样本平均路径。如前所述，DSICE的一个特例（即所有变量均为零且ψ=0.5）使其与Nordhaus的确定性模型（20 08）具有可比性。我们用红色实线表示这种特殊的决定论情况。灰色区域的下（上）边缘代表1%（99%）分位数；灰色区域re表示每个比率的98%概率范围e。从图1中，我们可以看到，与纯确定性模型（红色实线在黑色虚线下方）相比，其概率大于90%。此外，我们发现，在最初的时候，它/YIT为32%，比确定性增长假设下高出约8%，到本世纪末，预期差异约为5%。

总的来说，假设随机要素生产率增长具有持续性，会导致资本投资的显著预期增长，从而导致资本存量的预防性累积。此外，在对我们的模型进行的10000次模拟中，我们发现它/年的范围大约在22%到33%之间，我们将对所有描述随机过程的图使用相同的图形说明。世界总产出、资本和人均消费增长的模拟路径如附录G中的图8所示。分布结果如表1所示。年份A：投资与总产出之比（%）2020 2040 2060 2080 21002424262830323436年份B：减排支出与总产出之比（%）2020 2040 2060 2080 210000.511.522.5年份C：消费与总产出之比（%）2020 2040 2060 2080 21006466870727678年份D：碳的社会成本与总产出之比（%）2020 2040 2060 2080 21000.060.070.080.090.10.110.120.13！\"#$%&\'(&)\"*+,%&+\"-.)/01&-\'&221345%6\"$%071&89\"#-:,%;<1&89\"#-:,%<71&89\"#-:,%=<1&89\"#-:,%271&89\"#-:,%>\',9-:\'#&\'(&?%-%6*:#:)-:@*\'?%,&/!A7B<3图1：随机增长基准比率与世界总产出的模拟结果面板C呈现了与Ct/Yt完全相反的统计图。我们看到，在超过90%的概率下，Ct/YT将低于纯确定性模型，在本世纪末，Ct/YT似乎稳定在70%左右；与确定性模型相比减少了约6%。总的来说，这一减少并不是由更高的人均投资决定的，正如B小组所指出的，这一差异被分配到了排放量的增加上。我们发现，后者（用ψt/Yt表示）通常非常低，在本世纪确定性情况下不超过0.2%。

然而，正如B组中的黑色实线所示，有50%的可能性表明，到2100年，当对增长进行随机建模时，排放税支出将至少高出三倍。此外，由于超过20%的可能性，到2100年，世界总产出的1%以上应该被缓解。世界总产出的最优分配是一个投资组合选择问题，其中减排支出是一种投资形式。因此，储蓄分为投资股本或减少资本存量。总而言之，图1表明，包含持久性的随机增长将对全球产出的最优分配产生重大影响，确定性规格，甚至确定性等效公式都很可能无法考虑这些影响。我们已经研究了经济变量的动态，现在我们研究了它们之间的关系。表2报告了五个经济变量的增长率的相关矩阵：20年和2100年的全球产出、消费、资本投资、减排支出和碳的社会成本。我们看到，在2020年和2100年，所有报告的相关数几乎相同。

此外，消费支出的增长几乎与其他四个变量无关，消费和资本投资的增长与总产出的增长高度相关，社会碳成本的增长也与消费的增长高度相关。2020年时的相关性2100gY时的相关性，tgC，tgI，tgψ，tgSCC，tgY，tgC，tgI，tgψ，tgSCC，tgY，t1 0.90 0.95-0.02 0.77 1 0.90 0.94-0.00 0.78gC，t0。90 1 0.71-0.02 0.91 0.90 1 0.70-0.00 0.91gI，t0。950.711-0.020.580.940.7010.000.57gψ，t-0.02-0.02-0.021-0.01-0.00-0.00gSCC，t0。77 0.91 0.58-0.01 1 0.78 0.91 0.57 0.00 1表2：世界总产出Yt、消费Ct、投资It、减排支出ψt和碳的社会成本SCCt的增长率之间的相关性我们接下来研究随机增长规格如何影响碳的社会成本、碳税、排放控制率、，还有两种最重要的气候状态：大气碳浓度和地表温度。我们首先考虑图2中的面板C，它显示了排放控制率的分布。我们观察到，在90%的概率下，随机增长表示意味着直到本世纪中叶，排放控制率更高，到2100年，概率降低到75%。排放控制率通常要高得多，这与减排支出占世界总产出的比例增加直接相关。

后者的原因是，更高增长的预期转化为总排放量增加的预期，这反过来增加了大气中的碳储量，并最终加剧了全球变暖，对世界总产出的损害也相应增加。D和E两个面板都表明，平均而言，随机增长表示将导致大气中的碳积累略低，并且对温度也有较小的冷却影响。然而，主要由于本世纪经济增长的不确定性，我们看到2100年的大气温度范围约为1摄氏度，这表明全球变暖的程度及其对世界经济和环境的影响存在很大的不确定性。事实上，在2009年的哥本哈根气候大会上，大多数气候科学家一致认为，将温度水平的变化保持在2摄氏度以下是防止气候变化产生危险影响的必要条件。！“$%&”（&）”*+，%&+“-）/01&-”&221345%6“$%071&89”#-：，%；<1&89”#-：，%<71&89”#-：，%=<1&89”#-：，%271&89”#-：，%>，%9-：“#和”（&%，%6*：：，%，%，%，%，%，%，<1&89”#()$*#+\"\',\"-.\"$#/)$\"0101 0121 0131 0141 0511556700678!\"#$%&\'()*++*,-\'%,-.$,/\'0#.\"1212 1232 1242 1252 162227127827327927427:27527;6.\"#$%&\'()*+,-.\"$/0\'1#$2+3\'1+30\"3)$#)/+34545 4565 4575 4585 49558558:5;55;:5955595:5995599:5945594:59<55!\"#$%&\'()*+,\')-\'.#$/)0\'1#23,3, 3,4, 3,5, 3,6, 3+,,+7833789!“#$%&\'（*+，）-\'）/0#（\'1）23\'）-\'1#$4）56,6,6,7,6,8,6,9,6+，+：；66:；<A：碳的社会成本100031610032100031610032B：碳税图2：随机增长基准气候系统和政策的模拟结果正如前面所解释的，气候变化的货币化影响由我们在A组中描述的碳的社会成本表示（对数标度）。

碳的最佳初始社会成本为每吨碳61美元，比纯粹确定性经济中的碳成本高出约65%，如Nordhaus（2008）中的假设。Nordhaus（2008）的研究目前用于美国气候政策的设计，我们的模型在消除增长不确定性时与之进行了比较。此外，模拟的1%和99%分位数产生的范围随时间大幅增加。在这里，2100年的碳社会成本从每吨碳65美元到每吨碳1200美元不等，甚至2100年的10%和90%分位数显示每吨碳125美元到每吨碳660美元不等。我们分析的一个主要观察结果是，到2100年，我们的模型中约有3%的生产碳ta x（B组），远低于碳的社会成本。这与排放控制率达到100%上限的模拟路径一致，这意味着零排放是最佳选择。我们从社会规划者的优化框架中获得碳排放的社会成本，在没有其他市场缺陷的情况下，可以实施（庇古）碳税政策，使碳的私人成本和社会成本相等，从而实现最佳政策。当排放控制率达到极限时，碳税只需要大到足以消除所有排放，但正如我们的结果所表明的，它可以远远低于碳的社会成本。

碳税和碳的社会成本之间的差距可能很大，2100年最大的碳税每吨碳不到1000美元，而最大的碳社会成本是10000个模拟中每吨碳2000美元。这一结论对气候政策的直接影响是，如果超过3%的可能性，缓解政策将达到其有效性的极限，而且由于碳的社会成本将比碳税内部化的成本更高，碳清除和储存或太阳能工程技术等替代政策可能具有竞争力。我们的发现指出了一个非常重要的事实：经济和气候系统的所有方面都存在巨大的不确定性。对于许多变量，每个时间点的平均值接近于纯确定性模型的解。跟踪平均值是任何确定性模型的全部要求，从这个意义上讲，确定性模型是成功的。然而，每个关键变量的未来价值存在很大的不确定性。这一事实对于理解碳的社会成本尤其重要。碳的社会成本是额外碳在财富方面的边际成本，使其成为缓解支出和实物资本投资支出之间的边际替代率。在边际上，这两种储蓄用途对未来经济变量有不同的影响，使得缓解和投资之间的配置决策本质上是一个投资组合选择问题；碳的巨大社会成本代表着人们愿意为减少十亿吨碳排放而牺牲的新资本投资额。6.2 P参考参数的不确定度量化理论研究表明ψ和γ的值是合理的，但数据没有给出关键参数的精确值。

不确定性量化文献中的一个基本方法是，在反映经济分析范围的一系列参数选择中，重新计算碳的社会成本。我们检验ψ和γ的不同值，以确定碳的社会成本对替代偏好规格的敏感性。由于我们将始终使用基准随机增长生产率过程，因此每个示例仅在偏好规格方面不同于随机增长基准。因此，以下结果仅适用于ψ和γ的变化。我们的敏感性分析将只关注最初的碳成本。模拟结果表明，在所有情况下，碳的社会成本的动态随机过程在质量上与随机增长基准相似。初始时间的碳社会成本可以被认为是碳过程的社会成本的初始值，对于任何偏好参数的选择都是不稳定的。表3列出了随机增长下我们模型中碳的初始最优社会成本，即跨期替代弹性的总和为ψ=0.5、0.75、1.25、1.5和2.0，风险规避参数为γ=0.5、2、6、10和20。回想一下，在我们的基准示例中，ψ=1.5，γ=10，碳的最佳初始社会成本为每n碳61美元。

表3表明，在γ=10的基准情况下，碳的成本几乎与ψ的替代规格保持不变，而在保持ψ=1.5的情况下，γ水平越高，碳在初始阶段的社会成本越小。ψ确定性γ增长情况0.5 2 6 10 200.5 37 35 39 52 61 690.7554 53 55 58 60 621.25 82 83 77 65 61 561.594 95 85 68 61 552.0 111 115 97 71 62 54表3：随机增长条件下碳的初始社会成本（每吨碳的成本）通常，表3显示碳的社会成本对偏好参数敏感，从$35（在ψ=0.5和γ=0.5的情况下）到$115（在ψ=2和γ=0.5的情况下）。我们看到，当替代的跨时间弹性（ψ）小于1时，γ越高，则意味着碳的社会成本越高。然而，当替代的跨期弹性大于1时，碳的社会成本在γ中降低。此外，当γ≤ 6更高的跨期替代弹性意味着更高的碳社会成本，但对于γ=20，情况正好相反。替代的跨时间弹性的增加降低了人们对消费的偏好，但这并不能告诉我们碳的社会成本。碳的社会成本是指与资本投资价值相关的缓解自用资金的价值，两者都是经过选择的。我们的结果表明，在我们的随机增长模型中，替代的时间弹性和风险规避参数之间的相互作用对于碳的社会成本来说是不重要的。从表3中，我们还可以看到当γ≥ 2.对于ψ>1的情况，不确定经济增长的较高波动率意味着较低的碳初始社会成本，或者对于ψ>1的情况，意味着较高的碳初始社会成本（因为确定性情况的波动率为零）。

一般均衡的结果来自收入和价格的混合效应，因此很难得出简单的解释。我们的敏感性分析使我们能够定量地检查替代参数假设的影响。表4和表5分别报告了γ和替代跨期弹性组合下资本投资与世界总产出（It/Yt）的初始比率和软化支出与世界总产出（ψt/Yt）的敏感性。例如，当ψ=1.5，γ=10时，初始值为It/Ytis 0.317，ψt/Ytis 5.5×10-4.从表4我们可以看出，资本投资在增加。表5显示了与表3中碳的社会成本相同的减排支出模式：当替代的跨期弹性小于1时，γ越高意味着比率越高；当替代的跨时间弹性大于1时，该比值在γ中减小；ψ越高并不一定意味着生产支出与世界总产出的比率越高或越低。ψ确定性γ增长情况0.526200.524200.2420.2720.291 0.3210.750.2590.2570.2650.2850.2990.3181.250.2780.2760.2860.3030.3120.3221.50.2840.2830.283 0.310 0.317 0.3242.0.2930.2930.305 0.3220.328 0.0表4：确定性随机增长条件下资本投资与世界总产出的初始比率ψ(-4) 2.4(-4) 2.9(-4) 4.5(-4) 5.7(-4) 7.1(-4)0.75 4.7(-4) 4.7(-4) 4.9(-4) 5.5(-4) 5.7(-4) 5.9(-4)1.259.1(-4) 9.1(-4) 8.4(-4) 6.5(-4) 5.5(-4) 5.0(-4)1.5 1.1(-3) 1.1(-3) 9.8(-4) 6.8(-4) 5.5(-4) 4.8(-4)2.0 1.4(-3) 1.6(-3) 1.2(-3) 7.3(-4) 5.9(-4) 4.7(-4） 表5：随机增长下减排支出与世界总产出的初始比率。

请注意(-n） 表示a×10-我们还研究了替代偏好规格对碳社会成本和人均消费增长动态（水平和分布）的影响。表6仅列出了我们模拟的极端参数情况下的这些影响，即ψ=0.5或2，γ=0.5或20。首先，我们验证了在大范围偏好参数下人均消费的统计结果。其平均增长率在本世纪相当稳定，每年从1.1%到1.4%不等，接近表1所示的基准情况。我们还报告了表1中使用的其他统计数据，例如滞后1自回归的∧和σ（）的统计数据（18）。这些数字表明，ψ越小，人均消费增长gc的波动性就越大。此外，GCA的波动性对风险规避参数的不同值相当稳定。此外，所有案例都显示了消费增长的均值回复特性：∧的95%置信水平始终低于1（对于较低的ψ水平，gchas为较小的∧，意味着更快的回复率），其均值和标准偏差几乎与报告的每个（ψ，γ）组合的时间无关。关于碳的社会成本的敏感性，我们从我们的基准参数案例图e 2中回顾，碳的社会成本是高度不稳定的。在这里，我们表明，当我们假设其他偏好规格时，这种高波动性也是持续的。更准确地说，平均值，尤其是对数标准偏差（SCC）随着时间的推移而增加。

此外，∧的平均值不小于1，这意味着对数（SCC）的非平稳性。在2020年1.632 2 2.5 5 5 2.5 5 5 5 5 5 0 0 0.5 5 5 0 0.5 5 0 0.5 5 0 0.5 5 0.5 5 5 2.5 5 5 2.5 5 5 2.5 5 5 2.5 2 2 2.5 5 2 2.5 5 2 2 2.5 2 2 2 2.5 5 5 2.5 2.5 5 2.5 2.5 2.5 5 2.1 1 1.1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1 1 1 1 1 1 1.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1 1 1 1 1 1 1.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1 1 1 1.8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 0.8 0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0 0 0 0 0.0.0 0 0 0 0.0.0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0.037 0.037 0.023 0.022标准0.039 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.100 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0（b）和四种极端偏好参数情况下的人均消费增长6。3增长参数的影响确定的生产率趋势为增长率αexp(-αt）在方程（2）中的时间t。它有两个重要参数：初始增长率α和生产率趋势增长的下降率α，其默认值分别为0.0092和0.001。

接下来，我们通过α=0（生产率趋势的增长为0，即在≡ A） 或α=0（生产率趋势的增长是恒定的，即At=Aexp（αt）和α=0.0092）。表7列出了上述两种情况下碳的社会成本和人均消费增长的模拟统计数据，随机增长基准情况下的所有剩余参数不变（我们还列出了At=0.0092e的随机增长基准情况下的统计数据）-0.001t）。当Atis为常数（即α=0）时，碳的初始社会成本t仅为每吨碳39美元（对数（SCC）=1.591），远低于随机增长基准情况下的每吨碳61美元。从表7中我们发现，α和α（不同的确定性生产率指标）的值改变了消费增长的平均值gc，但对标准偏差∧和σ（）几乎没有影响。然而，我们仍然观察到消费增长的均值回复特性。相比之下，不同的确定性生产率趋势确实会改变对数的平均值和标准偏差（SCCt）。产量趋势越小，平均值越小，对数标准差（SCCt）也越小。

在这两种情况下，对数（SCC）的非平稳性仍然存在，因为它们的∧平均值仍然大于1。对数（SCC）GC0 0.00 92 0.0092e的增长-0.001t0 0.0092 0.0092e-0.001tinitial-time solution 1.591 1.792 1.785----2020年时的平均值1.662 1.934 1.924 0.002 0.014 0.014 2050年时的平均值1.714 2.1672.1530.000 0.013 0.013 21001.703 2.490 2.457时的平均值-0.000 0.013 0.012 2020年时的标准偏差0.096 0.086 0.087 0.087 0.024 0.024 0.024 0.024 2050.2150.1830.1840.2790.0250.025标准偏差1.005 1.003 1.003 0.431 0.458 0.458标准误差∧0.016 0.015 0.015 0.149 0.134 0.135σ（）平均值0.017 0.013 0.013 0.021 0.021 0.021σ（）标准误差0.001 0.001 0.001 0.001 0.002 0.002表7：在确定性生产力增长率不同的情况下，碳的社会成本（对数标度）和人均消费增长的统计了解推动这一结果的机制，回顾碳的社会成本方程（17），以及碳的社会成本本身是碳的负影子价格和资本的影子价格的比率这一事实。因此，风险结构的任何变化都会影响影子价格。在这里，较低的预期增长率（当趋势设置为零）将降低资本存量水平的预期，因为在这两种情况下，随机因素生产率增长过程是相同的。同时，由于目前经济增长没有一个约为0的积极趋势。每年92%的总排放量，与世界总产出成比例，也将减少该数量的增长。因此，在每个时间点，大气中累积的碳元素会减少。

在一般均衡中，很难仔细比较这些影响，但我们注意到，价值函数在资本中是凹形的，在碳存量中是凸形的，这导致了减少社会碳排放的综合效应。在α=0的情况下，增长只有一个随机分量。因此，在21世纪，全球气候变化平均值的期望值接近于零，而全球气候变化及其残差的标准差接近于具有确定性趋势的随机增长基准情况的标准差。对于α=0的情况，碳的初始时间社会成本为每吨碳62美元（对数（SCC）=1.792），仅略高于随机增长基准。α=0的模型版本实际上意味着更高的确定性趋势，因为趋势的减少被设置为零。因此，观察到与α=0情况相反的效果。在本世纪余下的时间里，碳的预期社会成本也更高，而碳的社会成本及其残差的标准差与随机基准情况类似。通过研究α=0情况下的人均消费增长率，也获得了类似的见解。7.碳的社会成本（仅）随机气候变化我们下一步将研究气候系统中的一个临界因素如何在任何经济不确定性的情况下影响碳的社会成本。首先，我们提出了代表性气候倾翻元素的马尔可夫链规范。基于我们的校准，我们随后建立了一个基准参数规范，并研究了最佳气候政策；我们称之为气候倾斜基准。在最后一步中，我们对每个参数的范围进行了广泛的多维敏感性分析。

根据少数研究中提供的数据，我们得出结论，应仔细评估潜在tippingpoint事件的影响。附录D给出了我们参数选择的更详细推导。7.1气候倾覆过程的马尔可夫链规范如第4.3节所述，我们有一个倾覆前阶段，其中Jt=0，直到气候倾覆过程开始，然后是几个增加损害的阶段。我们假设在预倾覆阶段停留的概率函数为p1,1，t，由公式（15）给出。危险率参数λ和温度过程共同决定了预倾翻阶段的持续时间。我们假设长期倾覆后损伤水平，表示为J∞, 这是不确定的。我们假设我们不认识J∞直到触发气候倾斜过程。这是一个彻头彻尾的简化，但它并没有让我们区分后倾翻过程的扩展持续时间D（通常是已知的）和最终损害水平的不确定性。关于J的不确定性∞当气候倾覆过程被触发时，问题得到解决，这使我们能够陈述倾覆点事件的危险率的相对影响、倾覆后过程的预计持续时间，以及J的平均值和方差∞. J的无条件均值∞是DJ吗∞, 以及J的方差∞是qJ吗∞, 其中q称为“均方方差比”。比率q类似于夏普比率的平方，夏普比率是Portfolio理论中使用的一个概念，在我们对结果的讨论中自然出现。在我们的例子中，我们假设从长远来看，有三种可能的倾覆后损坏级别。对于每个长期损伤等级，倾翻过程会经历五个以上的阶段，第五个阶段是最终状态，每个过渡都以相同的固定速率发生。

因此，如果D是后倾翻过程的预计持续时间，那么每个瞬态阶段都有预期持续时间Di=D/4，所有过渡都有指数分布，这意味着pi，i+1，t=exp-4/D. 实验表明，五个tippingstages足以以相对较低的协同计算成本近似具有更多状态的过程。这些设定值意味着Jt、倾卸前阶段和倾卸后五个阶段或三种长期数据实现中的每一种，总共有16个可能值。附录D.7.2随机气候倾翻基准中包含了JT的完整数学描述。我们选择的参数值大致等于文献中观点范围的平均值。更准确地说，气候倾斜基准情况假设λ=0.0035，J∞= 0.05，q=0.2，D=50。λ=0.0035的选择意味着，在升温1摄氏度时，有条件的年度倾翻概率增加0.35%。在气候倾斜基准情况下，Epstein–Zin偏好参数为ag ainψ=1.5和γ=10。我们首先研究了可能的气候转折点对全球总产出向资本投资、消费和减排支出的最佳分配的影响。

图3显示了消费与世界总产出之比（Ct/Yt）、资本投资与世界总产出之比（It/Yt）以及减排支出与世界总产出之比（ψt/Yt）的动态变化。！“$%&”（&）”*+，%&+“-）/01&-”&221345%6“$%071&89”#-：，%；<1&89”#-：，%<71&89”#-：，%=<1&89”#-：，%271&89”#-：，%>，%9-：“#和”（&%，%6*：：，%，%，%，%，%，%，<1&89”#(#)*+\'+,\'%+-./01)*+-\')+\'2$+..\'3/)1/)\'4567898 7:88 7:98 7788;:;:<9;7.7<9;=;=<9;>;><9;9;9<9;?!\"#$%&\'(#)*+\'+,\'-.#)\"/\"0)\'123\"04*)5$\"\')+\'6$+77\'85)35)\'9:;<=>= <?== <?>= <<====@>??@><!\"#$%&\'(#)*+\'+,\'-./\"0)1\".)\')+\'2$+00\'34)54)\'6789:;: 9<:: 9<;: 99::9=9=>;9;9;>;9?9?>;9@9@>;9图3：随机气候倾斜基准比率与世界总产出的模拟结果作为一个总体结论，我们首先注意到，没有随机增长明显减少了所有比率的分布范围。现在，气候引爆点风险是唯一可以降低产量的因素，我们对引爆后损害水平的校准远低于由于长期持续的随机增长而导致的世界产量的可能变化。我们看到，考虑气候倾斜因素意味着本世纪用于资本投资（平均约3%）和减排支出的产出份额较高，用于消费的产出份额较小（平均约3%）。

因此，应对临界点风险的最佳政策意味着总产出从消费转向预防性资本存量积累，同时减少排放。这些影响的迹象来自引爆点威胁的收入影响，但在此我们也要指出，如果人们认为未来的消费应该以大约50%的市场利率贴现，那么这些变化相对于tippingis造成的损失的预期价值的幅度会很高。例如，如果以每年5%的利率贴现，2150美元中的1美元在2015年的价值约为0.0014美元。接下来，我们将分别考虑气候转折点对碳的社会成本、碳税、排放控制率和两种最重要的气候状态（大气碳浓度和地表温度）的动态影响。图4显示了前200年内这些变量的10000条模拟路径的结果，我们使用了与前几张图相同的颜色和线条约定。由于气候倾斜风险和爱泼斯坦-吉偏好的存在，与非确定性模型相比，具有短期气候倾斜的模型版本会产生更强烈的气候政策。事实上，如图4中的C组所示，最佳排放控制率与前一张图中的减排支出相关。在整个本世纪，作为对气候转折点威胁的回应，排放量可能会增加一倍以上。与确定性模型相比，我们的气候倾斜基准案例的这些巨大减排意味着大气碳浓度（面板D）的严格降低。

表面温度的结果路径（图E）对应于IPCC（2013年）使用的排放量最高情景中最低情景的温度路径，这意味着2100年之前的峰值温度升高约2摄氏度，之后下降。图4中A组的一个显著结果是，碳的初始社会成本为每吨189美元，比忽略气候随机性的模型规格所产生的每吨38美元的碳成本大幅增加。为了强调碳的社会成本大幅增加的重要性，我们对引爆点过程的性质重新进行了保守的假设：我们假设引爆过程的预期持续时间为50年，预计引爆后的损害为5%，均方方差比为0.2。从蓝色虚线可以看出，这些假设表明，在2150年之前，有75%的概率不会触发倾倒过程。然而，今天的最佳社会碳成本是每吨碳189美元，是忽略气候临界点的模型运行值的五倍。

这有力地表明，对气候政策的分析，就像当前的美国政府研究（碳的社会成本跨机构工作组，2010年）那样，忽视了气候系统突然变化的可能性，严重低估了碳的社会成本。！“$%&”（&）”*+，%&+“-）/01&-”&221345%6“$%071&89”#-：，%；<1&89”#-：，%<71&89”#-：，%=<1&89”#-：，%271&89”#-：，%>，%9-：“#和”（&%，%6*：：，%，%，%，%，%，%，<1&89”#()$*#+\"\',\"-.\"$#/)$\"0121 0311 0321 0011334200425542!\"#$%&\'()*++*,-\'%,-.$,/\'0#.\"1232 1422 1432 112225125625725325825925:25;4.\"#$%&\'()*+,-.\"$/0\'1#$2+3\'1+30\"3)$#)/+34565 4755 4765 44558559557555775574557:557;55!\"#$%&\'()*+,\')-\'.#$/)0\'1#23,4, 3+,, 3+4, 33,,+56+5733533583563579953958!\"#$%&\'()*+,\')-\'.)/0#(\'1)23\')-\'1#$4)56,7, 6+,, 6+7, 66,,+89+8:668668;68968:<<86<8;2512158510006313982511581006340A：碳的社会成本2512158510006313982511581006340B：碳税图4：随机气候倾斜基准气候系统和政策的模拟结果碳的社会成本分布动态表明，到2100年，碳的预期社会成本约为每吨碳630美元，这几乎是从确定性模型中获得的每吨160美元碳的四倍。此外，预计2200年碳的社会成本约为每吨1700美元，但我们的模拟产生的碳从每吨1000美元到每吨2500美元不等。与上一节中的分析相关，我们在这里还注意到，到2125年，我们10000条模拟路径中的一些路径将产生碳税，这低于碳的社会成本，这表明增加气候外部性的机会已经耗尽，因为缓解可能不会超过100%。

事实上，似乎以略高于75%的概率，缓解政策将在2125年达到其有效性极限，替代碳管理选项可能是有用的。7.3气候变化过程的不确定性量化接下来，我们通过重新计算反映科学观点的一系列参数选择中碳的社会成本，来研究气候变化过程中的参数不确定性如何影响碳的初始社会成本。我们研究了由以下有限集的张量积定义的参数值的六维集合（2430例）：λ∈ {0.0025,0.0035,0.0045}，J∞∈ {0.025,0.05,0.10}，q∈ {0, 0.2, 0.4},ψ ∈ {0.5, 0.75, 1.25, 1.5, 2.0}, γ ∈ {0.5,2,6,10,14,20}，D∈ {5, 50, 200}.我们计算了所有2430个案例在初始阶段的碳社会成本，表8给出了一些代表性案例的初始碳社会成本。例如，当λ=0.0035时，J∞= 0.05，q=0.2，D=50（即表8中的最后一行）。对于ψ=1.5和γ=10，carb on的初始社会成本为每吨189美元。与忽略气候倾斜过程的确定性情况相比，具有气候倾斜过程的碳的社会成本值总是更大。这是意料之中的事，因为这会增加未来可能的伤害。表8还显示，由于替代ψ的跨期弹性较高，且风险规避参数γ的值较高，carb on的社会成本较大。

此外，我们还观察到，碳的初始时间社会成本随着气候变化过程中预期损害的增加而增加（当前贴现），这可能是由较高的平均损害水平（J∞), 危险率参数（λ）越高，倾翻过程的预期持续时间（D）越短，或预期损伤水平（q）的均方方差比越高。如前所述，从气候科学家如何看待气候转折点的性质的标准来看，我们对经济增长模型中气候转折点的具体描述是独一无二的（如Lenton和Ciscar 2013）。在我们模型的命名法中，以前的研究经常假设∞> 0.15（有时甚至是0.3），D=1，隐含的λ远高于0.0045。应特别小心地评估使用具有如此极端且在某些情况下是错误假设的模型获得的见解。碳的社会成本（SCC）λJ∞dqψ=0.5ψ=1.5γ=0.5γ=10γ=20γ=0.5γ=10γ=200.0025 0.025 0 43 44 45 128 131 1350.4 43 45 45 46 128 134 142200 0 39 39 39 110 111 1120.4 39 39 110 112 1140.10 5 0 65 83 110 260 364 4820.4 65 103 194 261 467 722200 0 47 50 50 54 170 195 2300.4 47 47 62 171 224 3430.0045 0.025 50 50 49 147 150 1540.4 52 155 120 120 1210.411240.10 5 0 85 109 143 369 480 5840.4 85 140 252 370 586 817200 54 58 63 222 259 3050.4 54 62 76 223 306 4450.0035 0.05 50 0.2 48 52 55 171 189 216表8：碳的初始社会成本（$每吨碳）在稳定的气候条件下，当γorJ∞是小的∞这意味着不确定的、最终的、倾覆后的损伤水平有很大的差异，相当于qj∞), 特别是对于预期持续时间较长的情况。