基于惩罚分位数回归的资产配置策略

2022-5-16 11:49:20

不同的是，学术界关注马科维茨方法在不同研究领域的发展：将其与夏普（1964）、林特纳（1965b）、林特纳（1965a）和莫辛（1966）所做的市场均衡联系起来；当目标函数被设置为效用函数或采用性能度量时，修改目标函数（Alexander and Baptista，2002；Farinelli et al.，2008）；开发评估和预测马科维茨模型输入的工具，重点关注回报和风险。在各种方法上的进步中，我们关注的是那些与目标函数的变化有关的，或者更普遍地说，基于资产配置问题的替代表示。过去几十年中提出的一些不同的资产配置方法有一个共同特点：它们以回归模型的形式有一个伴随表示，其中系数对应或与投资组合中的资产权重相关联。通过资产超额收益率常数的线性回归估计有效投资组合权重（Britten Jones，1999）和通过特定回归模型的解决方案估计全球最小方差投资组合权重给出了两个例子，参见例如Fan等人（2012）。在前面提到的案例中，投资组合方差起着基础性作用。然而，即使我们同意方差（或波动性）与风险度量和管理的相关性，财务文献现在也包含了大量可能更合适的其他指标。例如，对于一个投资者来说，如果其对风险的偏好或态度是由一个效用函数总结的，并且存在极端风险，那么波动性可能会被尾部预期所取代。

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2022-5-16 11:49:23

类似地，我们可以很容易地确定奖励措施和绩效指标，区别于简单平均（或累计）回报和夏普比率。一方面，我们的目标是牢记这些元素，但另一方面，我们希望在分配方法中保持一致，权重可以与线性模型相关联。在这样一个框架中，可以证明，采用非标准方法估计线性模型参数（和组合权重）会产生相当于优化性能指标或风险指标的解决方案，与夏普比率和波动性不同。因此，脱离最小二乘回归方法来估计投资组合权重相当于优化非标准目标函数。巴塞特等人（2004年）给出了一个领先的例子，他们根据科恩克和巴塞特（1978年）提出的分位数回归方法，提出了一种悲观的资产配置策略。特别是，Bassett等人（2004年）从线性模型开始，其解提供了全局最小方差投资组合权重。然后，他们表明，通过分位数回归方法估计响应变量的低分位数（α-分位数），可以最小化他们称为α-风险的投资组合极值风险度量。因此，估计方法的改变允许从全局最小方差投资组合转移到最小α风险投资组合。α-风险的变体有多种名称，如“预期短缺”（Acerbi和Tasche，2002年）、“条件风险值”（Rockafellar和Uryasev，2000年）和“尾部条件预期”（Artzner等人，1999年）。因此，Bassett等人（2004年）的悲观资产配置策略对应于极端风险最小化方法。Bas sett等人的工作。

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2022-5-16 11:49:27

（2004年）也是我们贡献的起点。在分位数回归方法的基础上，我们的目标是引入创新的资产配置策略，使风险回报交易效果最大化。此外，我们将分位数回归与正则化方法相结合，如LASSO（Tibshirani，1996），以应对大投资组合维度带来的问题。我们的贡献回答了一些特殊的研究问题，在金融行业有潜在的应用。第一个研究问题源于Bassett等人（2004）的悲观资产配置方法的局限性，这是一种风险最小化驱动的策略。是否有可能像Bassett等人（2004）那样，保持对α-风险的关注，同时最大限度地提高绩效指标，从而同时考虑奖励？我们的第一个贡献在于表明，分位数回归模型不仅可以用于构建极端风险最小的金融投资组合，这在金融计量经济学文献中是众所周知的，而且还可以通过利用响应变量条件分布的整个支持中包含的信息来优化其他风险和绩效度量。我们关注线性模型表示，其系数与全局最小方差投资组合权重相关，如Bas sett等人（2004年），其中线性模型系数的分位数回归估计导致最小α风险投资组合。我们用两种方法推广了结果。首先，表明在合理的假设下，在中值水平上，线性模型的分位数回归解对应于组合车次平均绝对偏差的最小化。

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2022-5-16 11:49:30

其次，在高分位数水平上，分位数回归解决方案提供了投资组合权重，在可操作性和风险调整回报方面表现突出。这种解决方案对应于特定奖励措施的最大化，该措施作为最有利结果的条件预期回报净额给出；因此，这是一种悲观的分配，如Bassett等人（2004年）所述，但f焦点在右尾而不是左尾。作为副产品，我们引入了一种全新的性能度量；这是一个风险调整后的比率，它量化了所有负回报的幅度，由一部分正结果（扣除最有利的结果）平衡。第二个研究问题来自经验证据和从业者的需求。金融投资组合通常具有较大的横截面维度，即它们（可能）包含大量资产。假设我们有兴趣维持一种悲观的资产配置策略，可能与投资者偏好一致，我们面临一个明确的权衡：一方面，大的横截面维度允许利用多元化利益，即使在悲观的分配方法中，这种利益也具有相关性；另一方面，随着投资组合维度的增加，分位数回归方法估计的参数数量迅速增加。因此，估计误差的累积成为一个必须解决的问题。问题如下：我们能否通过保持对悲观资产分配方法的关注来控制估计误差？为了提供一个可能的解决方案，我们对l-Tibshirani（1996）在标准线性回归框架中引入的最小绝对收缩和选择算子（LASSO）沿线的分位数回归系数范数。

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mingdashike22

2022-5-16 11:49:34

最近的研究表明，套索在均值-方差投资组合框架中的应用提供了投资组合的稀疏性（间接与多元化/集中度和营业额相关）和良好的样本外性质的好处，参见Brodie et al.（2009）、DeMiguel et al.（2009）、Fan et al.（2012）、Yen and Yen（2014）和Fastrich et al.（2014）。在统计文献中lpenaltybecame是一种广泛使用的工具，不仅适用于线性回归，也适用于分位数回归模型，如Koenker（2005）、Belloni和Chernozhukov（2011）、Li和Zhu（2008），但在资产定位方面的应用仍然很少。H"ardle等人（2014年）在指数跟踪框架中将惩罚分位数回归用作证券选择工具，而投资组合权重是通过优化目标函数Cornish Fisher风险值来估计的。不同的是，在我们介绍的方法中，分位数回归模型在一步中自动选择和估计相关资产权重。据我们所知，这种方法从未在金融计量经济学文献中进行过研究。因此，我们建议对Bassett等人（2004年）的悲观资产配置策略和本文介绍的悲观资产配置策略进行评估，对l资产权重的标准。我们通过广泛的实证分析来评估之前概述的两种方法学贡献，其中我们比较了在不同分位数水平上，从量子位回归模型构建的资产配置策略和普通最小二乘法的性能。与Bassett等人（2004年）不同，我们既使用模拟数据，也使用真实数据。

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2022-5-16 11:49:37

此外，我们还通过实现一个滚动窗口程序来分析样本内和样本外的性能。最后，我们关注的投资组合具有相当大的横截面维度，因此接近金融行业的实际需求。对真实数据和模拟数据的样本内结果表明，每种策略的表现都与预期一致，优化了各自的目标函数、α-风险、平均绝对偏差或基于上尾的奖励度量。事实上，在低概率水平下应用的量化回归在极端风险方面优于其他策略。最小二乘和中值回归模型被证明是波动性方面的最佳策略，因为前者使投资组合方差最小化，而后者使投资组合收益的平均绝对偏差最小化。最后，高概率水平的分位数回归在稳定性和风险调整回报方面提供了最佳结果。样本外结果表明，分位数回归模型保持其样本内性质，但仅在高概率水平上。尽管从从业者的角度来看，这样的结果可能很有趣，但从方法论的角度来看，这是相当令人惊讶的。我们研究了这一现象，并提供了一种与模型截获作用相关的解释。最后，我们强调了规范化分位数回归问题对于改善具有大截面维度特征的投资组合的样本外绩效的关键重要性。这项工作的结构如下。在第2节中，我们展示了如何使用分位数回归模型来构建资产配置策略，在不同的分位数水平上优化不同的目标函数。

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何人来此

2022-5-16 11:49:41

在第3节中，我们提供了有关数据集、性能指标、rollingwindow程序和经验集的详细信息。在第4节中，我们讨论了实证结果，第5节得出结论。2基于分位数回归的资产配置2。1.投资组合绩效作为分位数水平的函数几种资产配置策略通过优化标准函数来估计投资组合权重。后者可以采取效用函数、风险度量、绩效度量或不同度量的组合形式。这些资产配置方法的一个子集具有回归模型形式的公司表示，其中估计系数对应于投资组合权重。最主要的例子是全球最小方差投资组合（GMV P），它是普通最小二乘回归模型的解。对于由n只股票组成的金融投资组合，R=[R，…，Rn]是资产收益的行向量，协方差矩阵V[R]=∑∑∑，而权重的行向量用w=[w，…，wn]表示；给定行向量1，长度n，元素等于1，1w′=1，以满足预算约束。投资组合的回报率为Rp=Rw′，但我们也可以使用一个伴随的表示来包含预算约束。首先是t，我们设定R*i=Rn- Ri，fori=1。。。，N- 1，然后使用这些偏差来计算投资组合回报率，即Rp=Rn- 西铁*- ... - wn-1R*N-1，n在哪里-资产权重确保权重总和为1。从这样的表示出发，可以证明Portfolioviance的最小化可以表示为minw∈Rnw∑∑∑w′=min（w-n、 ξ）∈罗恩Rw′- ξ= min（w）-n、 ξ）∈罗恩注册护士- 西铁*- ...

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2022-5-16 11:49:44

- wn-1R*N-1.- ξ, （1）式中，ξ是线性回归模型的截距，w-n忽略权重向量，不包括wn和wn=1-Pn-1i=1wi，以满足预算约束。在方程（1）中，投资组合方差w∑∑∑w′被改写为E[Rn- 西铁*- ... - wn-1R*N-1.-ξ].后者对应于资产n收益Rn与R的线性回归误差方差*i、因此，通过最小化线性回归模型的平方误差之和，以及响应变量RN和协变量R，可以最小化w∑∑∑w′*, ..., R*N-1.因此，估算系数w。。。，wn-1和截距ξ相当于确定GMV P权重（Fan等人，2012年）。在模型（1）中，响应变量等于第n个资产回报率Rn。然而，结果并不取决于基准资产的选择。尽管投资组合差异是一个相关的风险衡量指标，但财务文献提供了大量其他指标，可用于可行性和风险分析。如果我们不再使用前面提到的标准线性回归框架，就有可能通过优化其他性能指标来估计PortfolioCompanies。例如，Bassett et al.（2004）提出了一种基于分位数回归的悲观资产配置策略，以最小化简化符号，从而抑制回报对时间的依赖性。风险度量：所谓的α-危险通过从单调递增的效用函数u（·）开始，将货币结果转化为效用项，Bassett等人。

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2022-5-16 11:49:48

（2004）确定与RpasE[u（Rp）]=Z相关的预期效用∞-∞u（rp）dFRp（rp）=ZuF-1Rp（θ）dθ，（2）其中，FRp（rp）表示在rp处评估的rp的分布函数，密度FRp（rp），而θ是分位数指数，因此θ∈ U、和你 (0, 1).这种框架与Choquet预期效用（Schmeidler，1989）直接相关，定义了基ν[u（Rp）]=ZuF-1Rp（θ）dν（θ），（3）式中ν（.）是一个畸变函数，它修改了最初的概率评估。特别是，ν（.）允许反映与最小f可避免（即ν（.）是凹面的）或最可避免的结果（即ν（.）是凸的）。Bassett等人（2004年）建议使用函数να（θ）=min{θ/α，1}，其中α是一个非常低的概率水平，例如α={0.01,0.05,0.1}，与fRp（rp）左尾的（负）回报相关。然后，（3）可以重写为εα[u（Rp）]=α-1ZαuF-1Rp（θ）dθ，（4）其中Eνα[u（Rp）]表示悲观，因为它反映了与α最不利结果相关的可能性，而剩余的1- α比例完全降低。等式（4）与极端风险的度量直接相关，να（Rp），由Bassett等人（2004）定义为α-风险：να（Rp）=-采埃孚-1Rp（θ）dν（θ）=- α-1ZαF-1Rp（θ）dθ。（5）根据Artzner等人（1999年）的定义，该数量是风险的一致度量。许多变量在财务文献中，以各种名称讨论了να（Rp）：预期短缺（Acerbi和Tasche，2002年）、条件风险价值（Rockafellar和Uryasev，2000年）和尾部条件预期（Artzner等人，1999年）。值得注意的是，（5）可以作为投资组合配置的目标风险度量，参见Basak和Shapiro（2001）、Krokhmal等人（2002）、Ciliberti等人（2007）、Mansini等人（2007）。

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2022-5-16 11:49:51

在这种情况下，根据Bassett等人（2004）的建议，在类似于（1）中GMV P权重估计的框架内，通过分位数回归方法，可以最小化να（Rp），其中Rn是响应变量，而R*, ..., R*N-1是协变量。在分位数回归框架内，条件长度να（Rp）可以用不同的方式命名，在本文中我们称其为α风险。通过最小化不对称损失函数的期望值来估计Rn的第个分位数：ρθ（）=[θ- I（<0）]，（6）式中=Rn- ξ(θ) - w（θ）R*- ... - wn-1（θ）R*N-1，ξ（θ）是模型截距，I（·）表示指示函数，如果（·）中的条件为真，则取值1，否则取0。RN的估计第θ-次条件分位数等于tobξ（θ）+bw（θ）R*+ ... + bwn-1（θ）R*N-其中hbξ（θ），bw（θ）。。。，bwn-1（θ）是特定分位数水平下向量最小化的系数（6）（Koenker和Bassett，1978）。在θ=α的情况下，Bassett等人（2004）表明，min（ξ（α），w-n（α））∈RnE[ρα（）]=α（up+να（Rp）），（7）式中：-n（α）=[w（α），…，wn-1（α）]，up=E[Rp]和να（Rp）如（5）所示。让rn，tand r*i、 tbe分别是RNA和R的观察值*i、对于i=1。。。，N- 1，在时间t，然后，从（7）开始，分位数回归模型min（ξ（α），w-n（α））∈RnTXt=1ραrn，t- w（α）r*1，t- ... - wn-1（α）r*N-1，t- ξ(α)s、 t.up=c（8）允许最小化金融投资组合的经验α-风险，且约束条件是预期投资组合回报等于目标c，且资产权重之和等于1。类似地，toModel（1），[bw（α），…，bwn-1（α）]，协变量R的估计系数向量*, ..., R*N-1在分位数回归模型中，则是R的权重向量。。。，注册护士-1对于α风险最小的投资组合。

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2022-5-16 11:49:54

请注意，第n个资产的权重随后从预算约束中导出：wn（α）=1-Pn-1i=1wi（α）。在这个公式中，如果我们改变计价单位，资产权重不会改变。由于（8）中的约束up=c需要估计预期收益，这是一项具有挑战性的任务，因为存在较大的估计误差，参见Brodie（1993）和Chopra and Ziemba（1993），我们在此选择关注min（ξ（α），w-n（α））∈RnTXt=1ραrn，t- w（α）r*1，t- ... - wn-1（α）r*N-1，t- ξ(α), （9）这是投资组合α-风险的最小化，仅受预算约束。由于投资组合的绩效不仅取决于极端风险，而是取决于在其整个密度支持下的回报率，我们推广了Bassett等人（2004）的方法，并允许构建基于不同绩效衡量标准的投资组合。首先，我们介绍了一种使用两种新的绩效指标的方法，该方法在绩效评估领域也有潜在的应用。其主要思想源于观察到，如果我们用高概率水平取代低概率水平α，那么（5）可能与可靠性相关，而不仅仅是与极端风险相关。根据这一直觉，我们将介绍两个不同的指标，如下所述。如果我们用ψ表示高概率值，例如ψ={0.9,0.95,0.99}，（5）中的α-风险转化为ψ（Rp，ψ）=-ψ-1ZψF-1Rp（θ）dθ。

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2022-5-16 11:49:57

（10a）鉴于-ψ（Rp，ψ）=E[Rp | Rp≤ F-1Rp（ψ）]，分位数回归模型，应用于ψ，允许最小化ψ（Rp，ψ），从而最大化条件投资组合预期收益。因此，通过最小化ψ（Rp，ψ），代理人采取了一种悲观的资产配置策略，因为区间（ψ，1）不包括在目标函数中，因此这种选择会导致最可避免结果的投资组合预期收益净额最大化→1.-ψ（Rp，ψ）=RψF-1Rp（θ）dθ，考虑到我们最大化了一个近似于[Rp]的数量，有可能获得无条件投资组合预期回报方面的收益。我们介绍的第二个性能指标是通过分解方程（10a）中的积分得到的。特别地，让“θ”为θ的值，使得F-1Rp（\'θ）=0，此时积分rθF-1Rp（θ）dθ达到最低值；例如，当分布在0对称时，\'θ=0.5。给定θ<ψ<1，（10a）可以重写为ψ（Rp，ψ）=-ψ-1ZψF-1Rp（θ）dθ=-ψ-1“ZθF-1Rp（θ）dθ+Zψ′F-1Rp（θ）dθ#，（10b）其中-1Rp（θ）dθ是从负实现中计算出来的，并量化其大小。不同的是，RψθF-1Rp（θ）dθ量化部分积极结果的大小，不包括最有利的结果，因为不考虑ψ以外的区域。分位数回归模型应用于ψ-th水平，最小化了ψ（Rp，ψ），因此也- = -RθF-1Rp（θ）dθ+Rψ′F-1Rp（θ）dθ. 当fRp（rp）以零度或负偏度为特征时，为负，而在正偏度的情况下，可能为正。在第一种情况下，可以被视为净损失；不同的是，在后一种情况下，是净利润。因此，分位数回归模型导致损失最小化（<0）或利润最大化（>0），因为在（10b）中，乘以常数-ψ-1< 0.

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2022-5-16 11:50:01

换句话说，分位数回归模型最小化||，如果<0，或最大化|，如果>0，其收益为：ψ（Rp，ψ）=RψθF-1Rp（θ）dθRθF-1Rp（θ）dθ. （11）因此，比率ψ（Rp，ψ）是一个风险调整后的指标，因为它量化了所有负面结果的大小，这些负面结果由一部分正面结果（扣除最有利的结果）平衡。尽管高的ψ（Rp，ψ）值对应于低的ψ（Rp，ψ）水平，但当比较不同的策略时，不能保证使ψ（Rp，ψ）最小的策略是使ψ（Rp，ψ）最大的策略。换句话说，不同策略的排名建立在ψθF之间的和之上-1Rp（θ）dθandRθF-1Rp（θ）dθ可能与基于其比率建立的排名不一致。例如，假设对于某个策略a，RθF-1Rp（θ）dθ=-34.04安德烈ψθF-1Rp（θ）dθ=8.13；不同的是，策略B返回SRθF-1Rp（θ）dθ=-33.74安德烈ψθF-1Rp（θ）dθ=7.95。B在ψ（Rp，ψ）方面更好，但A在ψ（Rp，ψ）方面优于B。因此，（10a）和（11）中的两个指标，除了在基于分位数回归的投资组合分配策略中的作用外，也是业绩衡量文献的新贡献。我们强调，虽然（10a）类似于基于尾部的风险度量，并且不是一个合适的绝对绩效度量，但参见Caporin等人（2014），指标（11）是新颖的。有趣的是，注意到ψ（Rp，ψ）与基廷和沙德威克（2002）提出的欧米茄度量以及修正的拉切夫比率（Ortobelli et al.，2005）有关。然而，这些数量之间存在一些重要的差异。欧米茄度量（基廷和沙德威克，2002年）定义为：Ohm（Rp）=R∞1.- FRp（rp）drpR-∞FRp（rp）drp。（12） ψ（Rp，ψ）不同于ω，因为后者分别比较了与负面和正面结果相关的整个区域。

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2022-5-16 11:50:09

不同的是，（11）更具限制性，因为只要sψ<1，它的数字只考虑了积极结果的一部分。修正后的Rachev比率（Ortob elli等人，2005），MR（Rp，α，ψ），equalsMR（Rp，α，ψ）=-α-1RαF-1Rp（θ）dθ（1）- ψ)-1RψF-1Rp（θ）dθ。（13）在这种情况下，这种差异是因为（13）比较了与分布尾部相关的极端结果，通常是α={0.01,0.05,0.1}和ψ={0.9,0.95,0.99}，因此完全忽略了投资组合收益分布中心部分的影响。在经验应用中，我们计算ψ（Rp，ψ）和ψ（Rp，ψ）的样本对应项如下：bψ（Rp，ψ）=-PTt=1rp，tIrp，t≤bQψ（rp）PTt=1Irp，t≤bQψ（rp）, （14） bψ（rp，ψ）=PTt=1rp，tI0≤ rp，t≤bQψ（rp）PTt=1rp，tI（rp，t<0）, （15）式中，rp，t表示在t处观察到的投资组合收益，bQψ（rp）表示投资组合收益的估计ψ-th分位数，I（·）是指标函数，如果（·）中的条件为真，则取值1，否则取0。除了强调分位数回归模型在ψ（Rp，ψ）和ψ（Rp，ψ）方面的影响外，我们还进一步考虑了中心θ值。现在我们关注投资组合的波动性，由Konno和Yamazaki（1991）引入的平均绝对偏差进行量化：MAD（Rp）=E[|Rp- E[Rp]|]，（16）在经验应用中估计为\\MAD（Rp）=TTXt=1 | Rp，t- “\'rp|，”（17）式中，\'rp是区间[1，T]内投资组合收益的样本平均值。假设组合平均值E[Rp]和中位数回归截距ξ（θ=0.5）均等于零，我们证明中位数回归允许最小化（16）中的数量。事实上，分位数回归模型在θ=0.5时最小化了E[|Rn- w（0.5）R*- ... - wn-1（0.5）R*N-1.-ξ（0.5）|]=E[|Rp- ξ(0.5)|].

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2022-5-16 11:50:12

因此，在假设E[Rp]=0和ξ（0.5）=0的情况下，中间回归使投资组合收益的平均绝对偏差最小化。总而言之，分位数回归模型允许达到不同的目的。首先，当我们想要最小化极端风险时，我们应该选择一个低概率水平α，用α-风险来量化。当注意力集中在通过MAD量化的波动性最小化时，我们应该使用中值回归。最后，利用高概率水平ψ，我们最小化了ψ（Rp，ψ），对ψ（Rp，ψ）产生了积极影响。2.1.1模拟练习Bassett et al.（2004）通过使用4种资产的模拟回报，应用了（8）中的模型，显示了它在极端风险方面相对于经典的Markowitz（1952）投资组合的更好表现。然而，在现实世界中，投资者交易由更多资产组成的金融投资组合，主要是为了达到令人满意的多元化水平，以便更好地处理风险回报交易（Markowitz，1952）。为了进一步激发分位数回归方法对投资组合分配的相关性，并展示前面描述的方法改进的影响，我们考虑对包含94项资产的投资组合进行模拟。从峰度和偏度等不同特征的分布中模拟收益，以验证这些差异如何影响所考虑策略的性能。特别是，我们测试了4种不同的分布：多元正态分布、具有5个自由度的多元t-Student分布、具有负偏态的多元偏态正态分布和具有正偏态的多元偏态正态分布。

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2022-5-16 11:50:16

在多元偏正态分布的情况下，我们使用偏态参数的两个不同值，得到平均偏态分别为0.02和-0.02的收益序列。投资组合的维度来自这样一个事实：我们模拟了一个分布的收益，该分布的协方差矩阵和平均向量是根据真实数据估计的。这里我们指的是2014年11月21日标准普尔100指数的组成部分，其时间序列从2004年11月4日持续到2014年11月21日。有关数据集的更多详细信息，请参见第3.1节。我们从每个分布中模拟了500个时期94项资产收益的1000个样本，比较了四种策略：如（1）所示的标准，表示为OLS，以及在三个概率水平上应用的分位数回归模型产生的策略，即θ={0.1,0.5,0.9}，分别表示为QR（0.1）、QR（0.5）和QR（0.9）。根据1000个模拟样本中的每一个估计四种策略确定的投资组合权重，并通过样本内方法计算投资组合回报。因此，对于每个策略和每个样本，我们获得了500个投资组合回报，从中我们计算了以下统计数据：方差、平均绝对偏差、α-风险（α=0.1）、ψ（Rp，ψ）和ψ（Rp，ψ），ψ=0.9。我们在图1-2中展示了从多元正态和偏正态（右偏）分布中获得的结果。图1：多元正态分布模拟收益的样本结果，其协方差矩阵和平均向量是根据真实数据估计的，即2014年11月21日标准普尔100指数的组成部分，其时间序列从2004年11月4日至2014年11月21日连续可用。该分析是在1000个模拟样本上进行的，其中94个资产收益率为500个周期。

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2022-5-16 11:50:19

从左到右，子图报告了以下统计数据的箱线图：方差（a）、平均绝对偏差（b）、α=0.1（c）时的α-风险、ψ=0.9（d）时的bψ（rp，ψ）和ψ=0.9（e）时的bψ（rp，ψ）。A、 B，C表示从分位数回归模型构建的策略，分别应用于0.1、0.5和0.9的概率水平，而D表示普通最小二乘回归模型。正如预期的那样，OLS和QR（0.5）在投资组合波动性方面提供了最好的结果，因为前者最小化了投资组合方差（子图（a）），而后者最小化了投资组合变量（子图（b））。QR（0.1）将α=0.1（子图（c））时的α风险降至最低，不同的是，QR（0.9）在可支持性方面是最佳策略。事实上，从子图（d）中可以看出，它以bψ（rp，0.9）的形式执行其他三种策略，它量化了小于或等于其第90百分位的portfolioreturns的平均值。有趣的是，当资产见第3.2节了解关于样本内分析的更多细节时。其他发行版的箱线图可根据要求提供。结果在质量上与从多元正态分布中获得的结果相似：在多元t-S学生中存在更胖的尾巴，或在具有负偏度的多元偏正态中存在负不对称，不会导致不同的结果。图2：多元偏正态分布（平均偏态为0.02）模拟收益的样本结果，其协方差矩阵是根据实际数据估计的，即2014年11月21日标准普尔100指数的组成部分，其时间序列从2004年11月4日至2014年11月21日连续可用。分析是在1000个模拟样本上进行的，其中94个资产收益率为500个周期。

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2022-5-16 11:50:23

从左到右，子图报告以下统计数据的箱线图：方差（a）、平均绝对偏差（b）、α=0.1（c）时的α-风险、ψ=0.9（d）时的bψ（rp，ψ）和ψ=0.9（e）时的bψ（rp，ψ）。A、 B、C表示根据分位数回归模型建立的策略，分别适用于0.1、0.5和0.9的概率水平，而D表示普通最小二乘回归模型。收益分布是正偏态的（图2（d）），bψ（rp，0.9）取负值，主要是在QR（0.9）的情况下；这意味着，平均而言，正回报率高于负回报率，即使分布右尾最有利的结果被丢弃。最后，在四分之三的情况下，QR（0.9）在bψ（rp，0.9）方面提供了最好的结果；图2（e）中出现了例外情况，其中收益的特征是显著的正偏态，这通常是对财务收益序列的不真实假设，通常受到负偏态的影响，如Cont（2001）所述。结果还表明，基于ψ（Rp，ψ）的排名可能与基于ψ（Rp，ψ）的排名不一致。事实上，我们检查了QR（0.9）始终提供等式（11）中定义的比率的分子和分母之间差异的最高值，这也是在多元偏正态分布（右偏）的情况下。然而，在所有情况下，除了收益分布被假定为右偏的情况（金融时间序列就是这种情况），就ψ（Rp，ψ）而言，QR（0.9）也是最好的策略。2.2列入l-norm penaltyLarge投资组合允许利用多元化收益。然而，Statman（1987）和最近的Fan等人。

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2022-5-16 11:50:26

（2012）表明，在投资组合中包含额外资产涉及相关收益，但仅限于一定数量的资产。另一方面，随着投资组合维度的增加，需要估计的参数数量也会增加。因此，估计误差的累积成为一个必须认真解决的问题。例如，Kourtis等人（2012年）将估算误差定义为多样化的代价。此外，当通过回归模型建立大型投资组合时，如第2.1节所示，资产回报通常高度相关；然后，估计的投资组合权重确定得很差，方差很大。我们在此提出了对Bassett等人（2004）方法的进一步扩展，以处理具有大截面维度特征的金融投资组合，即大量资产。我们的解决方案建立在惩罚技术的基础上，如黑斯蒂等人（2009年），广泛应用于最近的财务文献中，如德米格尔等人（2009年）、范等人（2012年）、法斯特里奇等人（2014年）、颜和颜（2014年）、安藤和白（2014年）。在所有可能的方法中，我们利用了l范数惩罚，在变量选择中很有用，通过范数惩罚，我们惩罚回归系数的绝对大小。在过去的十年里，它不仅在线性回归中，而且在分位数回归模型中成为了一种广泛使用的工具，参见，例如Koenker（2005）、Belloni和Chernozhukov（2011）、Li和Zhu（2008）。H"ardle等人（2014年）使用了l-分位数回归模型中的范数惩罚，其中响应变量是核心资产，由标准普尔500指数表示，而协变量是对冲卫星，即一组对冲基金。

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2022-5-16 11:50:30

根据精确模式设定分位数水平后，目标是购买根据惩罚分位数回归模型估计的系数不同于零的对冲基金。因此，在H"ardle et al.（2014）的工作中，分位数回归被用作指数跟踪框架中的安全选择工具。在第二步中，通过将重点放在下行风险上，H"ardle et al.（2014）通过优化Cornish Fisher值atRisk（CF VaR）给出的目标函数，确定了之前选择的基金的最佳权重。不同的是，我们使用了一个惩罚分位数回归模型，只需一步就能解决证券选择和资产配置问题。响应和协变量是根据投资组合中的资产确定的，不考虑外部变量（如市场指数），目的是根据不同的θ水平优化不同的绩效指标。特别是，如果≤ K≤ n、我们提出了基于以下模型的资产配置策略：arg-min（w-k（θ），ξ（θ））∈RnTXt=1ρθrk，t-Xj6=kwj（θ）r*j、 t- ξ(θ)+ λXj6=k | wj（θ）|，（18），其中参数（ξ（θ），w-k（θ））取决于概率水平θ，w-k（θ）是权重向量，不包括wk，即在（18）中选择的第k个资产的权重，作为数值，而λ是惩罚参数；λ越大，投资组合的稀疏性越大。因此，通过惩罚绝对系数的总和。l-正常情况下，一些权重可能会收敛到零。此外，从财务角度来看，这会导致选择活跃头寸较少的投资组合，并对营业额和交易成本产生相关影响。与模型（8）不同，（18）的解取决于数值Rk的选择。

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2022-5-16 11:50:33

事实上，如果体重等于wk（θ）=1，则不会受到惩罚-Pj6=kwj（θ），以满足预算约束。因此，我们需要确定一个标准，在所有可用证券中选择计价资产。我们提出了一个简单但直观的解决方案：我们建议选择样本ψ（Rp，ψ）值最低的资产作为计价单位。这种选择是因为数字在其他选定资产中扮演着重要角色，因此它必须记录特定指标的最佳预期绩效。另一个重要问题是最佳λ值的选择；我们提醒大家，λ越高，投资组合就越稀疏。为此，我们遵循贝洛尼和切尔诺朱科夫（2011）提出的方法。他们考虑了处理大量解释变量的问题，关于样本量T，其中最多只有s≤ n回归器对响应变量的每个条件分位数都有非零影响。在这种情况下，如果普通的分位数回归估计值不一致，他们表明l-在回归系数的范数下，估计在紧集U上一致一致 (0, 1). 为了确定最佳λ值，他们提出了一种具有最佳渐近性质的数据驱动方法。该方法考虑了模型中涉及的变量之间的相关性，并根据θ水平得出不同的最佳λ值。惩罚参数由随机变量∧=T supθ建立∈Umaxj6=kTTXt=1“r*j、 t（θ- 1{et≤θ}）^σjpθ（1）- θ)#, （19）其中e。。。，独立于协变量分布的eTare i.i.d.均匀（0，1）随机变量，r*, ^σj=T-1PTt=1（r*j、 t）。按照贝洛尼和切尔诺朱科夫（2011）的建议，我们通过运行100000次迭代来模拟∧值。

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2022-5-16 11:50:36

因此，最佳惩罚参数计算为λ*=τpθ（1）- θ）T，（20）式中τ=2bQ0。9（λ| r）*) 和bq0。9（λ| r）*) 是以解释变量值为条件的∧的第90百分位。公式（20）给出的方法用于实证分析，如第4节所述，以确定惩罚参数λ.3的最佳值。1数据描述虽然Bassett等人（2004年）在他们的工作中仅使用模拟数据，但我们更进一步，在考虑两个不同数据集的情况下，基于真实数据进行了实证评估。它们包括从2004年11月4日到2014年11月21日，分别在标准普尔100指数和标准普尔500指数篮子中包含的公司每日收益。在第一个数据集中（标准普尔100），我们处理94项资产，而在第二个数据集中（标准普尔500），我们处理452项资产。图3允许分析最大的标准普尔500数据集的主要描述性统计数据。图3：根据标准普尔500指数成分股产生的每项资产收益计算得出的统计数据。从左到右，方框图指的是：（a）平均回报率，（b）资产回报率的标准差，（c）峰度指数，（d）偏度指数，（e）回报率的第10百分位，（f）初始财富等于100美元时，每家公司在分析结束时产生的最终财富。从图3（a）中，我们可以看到，平均回报率接近于零，并且倾向于为正，在中值0.055%左右对称分布；其最大值和最小值分别等于0.242%和-分别为0.044%。标准偏差的分布以2.137%的中值输入，范围为1.013%至5.329%（图3（b）），存在一些与极端右尾值相关的特别不稳定的公司。

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2022-5-16 11:50:40

峰度指数分布是右偏的，右尾的值非常大（图3（c））：中值等于12.379，而最小值和最大值分别等于5。948和72.867，指出收益分布受厚尾的影响，正如预期的那样（参见Cont（2001）f关于财务收益的程式化事实）。图3（d）显示偏度指数在中值0.209左右对称分布。其范围为-3.088至2.640，数据来自汤森路透数据流。两个尾部都存在一些极值；因此，收益具有轻量级和不对称分布。如第3.3节所述，图3（e）显示了收益率系列的第10个百分位数，这是一种极端风险的度量，我们将其用作风险价值的估计值。从图3（e）中，我们可以看到，第10百分位的分布受到轻微的负不对称的影响，集中在-2.044%，最小值和最大值等于-3.703%和-分别为1.004%。图3（f）所示的最后一项指标显示了我们在2014年11月21日从单一资产中获得的财富分布情况，2004年11月4日，我们在每项资产中投资了100美元。右偏的最终财富分布受其右尾相关极值的影响。其范围为2。423至7757.073，中值为221.650美元；因此，平均而言，我们记录了库存值的增加。3.2带样本内和样本外评估的滚动分析我们使用第2节中介绍的最小二乘法和分位数回归模型估计投资组合权重。在建立投资组合的那一刻，预测他们未来的表现是完全可能的，而实际的结果并不能保证，只能事后评估。

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2022-5-16 11:50:44

由于我们表现得像一个投资者，我们进一步扩展了Bassett et al.（2004）的工作，实现了一个rollingwindow程序，该程序允许分析样本外的表现。此外，我们可以评估估计值随时间的稳定性。滚动窗口程序描述如下。迭代地，原始资产返回维度为T×n的时间序列被划分为窗口大小为ws的子样本。第一个子样本包括从第一天到第六天的每日收益。第二个子样本是通过删除最古老的观测值，包括（ws+1）天的观测值而获得的。这个过程继续进行- 1） -第天到了。在实证分析中，我们使用两个不同的窗口，即ws={500，1000}，来检查投资组合绩效如何依赖于投资组合维度和样本量。对于每个窗口，我们估计投资组合权重，用BWT表示，t=ws。。。，T- 1.通过给定的资产配置策略。让rt-ws+1，t为ws×n矩阵，其行为资产，返回t之间期间记录的向量- ws+1和t。然后，在样本内和样本外计算投资组合回报。在第一种情况下，对于每个滚动子样本，我们将每行RT相乘-ws+1，tbybwt，获得样本投资组合回报中的ws，从中我们可以计算第3.3节中描述的绩效指标。

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2022-5-16 11:50:47

总的来说，从所有的T-ws子矩阵rt-ws+1，t，我们得到t-第4节分析了每个绩效指标的分布情况。与样本内分析不同，我们评估估计的绩效指标，样本内分析的目的是检查预期是否与实际结果相符。因此，样本外表现起着关键作用，因为它对应于投资者每天修改其投资组合所获得的财富的实际影响。特别是fort=ws。。。，T- 1，bwtis乘以rt+1，即在t+1观察到的资产回报向量，以获得样本外的投资组合回报。这样，对于每个资产配置策略，我们从样本投资组合收益中获得一个经验，即长度为T的向量- ws，我们从中计算第3.3.3.3节绩效指标中所述的绩效指标。在实证分析中，我们比较了几种资产配置策略，这些策略都是基于有序最小二乘和分位数回归模型构建的。我们使用几个指标来评估和比较它们的表现，以提供有关交易费用对投资组合的可行性、风险和影响的信息。每个指标都是根据样本内和样本外返回计算得出的。第2.1节描述了一些性能指标，即α-风险、MAD、ψ（Rp，ψ）和ψ（Rp，ψ）。此外，我们还考虑了财务研究中通常使用的其他指标。第一个是夏普比率，这是一种风险调整后的回报衡量指标，定义为“rp^σp”（21），其中“rp”和“σpdenote”分别是投资组合回报的样本平均值和标准偏差。如第3.2节所述，在样本情况下，计算每个轧制子样本的^Rp和^σpare-ws+1，t，对于t=ws。。。，T- 1.因此，我们获得了T- ws-Sharpe比率。

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2022-5-16 11:50:50

不同的是，在样本外的情况下，我们每个窗口有一个投资组合回报，得到一个总的投资组合回报向量，长度等于T- 我们从中计算夏普比率。除α-风险外，我们还考虑了风险价值，定义为阈值，即在给定时间范围内，投资组合损失超过该值的概率等于α。风险价值的重要性不仅是因为金融机构广泛使用风险价值来分配资本，而且金融机构也使用风险价值来确定监管活动中的资本要求。在目前的工作中，风险价值被估计为样本内和样本外投资组合收益的第α分位数，α=0.1。最后，我们通过计算asT urn=T的转换来评估交易费用对投资组合再平衡活动的影响- wsTXt=ws+1nXj=1 | bwj，t- bwj，t-1 |，（22）式中，bwj是第t天资产分配策略确定的第j项资产的权重。营业额越高，再平衡活动产生的成本影响越大。准确地说，（21）的分子应该等于无风险超额收益。为简单起见，我们假设无风险回报等于零。参见巴塞尔银行监管委员会的“资本计量和资本标准的国际趋同”，可在http://www.bis.org/publ/bcbs118.pdf.4实证结果我们分析的第一个方面是指l-投资组合权重的标准惩罚。对于分位数回归模型，我们根据Belloni和Chernozhukov（2011）提出的方法估计最佳收缩参数λ。对于每个分位数水平，我们使用标准普尔100和标准普尔500的完整样本数据计算（20）。

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2022-5-16 11:50:55

因此，在实施滚动窗口程序后，我们计算每个滚动样本的活跃和空头头寸数量，其平均值分别用“Na”和“ns”表示。根据模型（18）构建的资产配置策略被命名为P QR（θ），用于∈ (0, 1). 我们还应用l-模型（1）上的范数以及由此产生的资产定位策略被表示为套索。对于套索，λ*进行校准，以获得与分位数回归模型在θ=0.5时产生的结果相比较的结果（以“na”为单位）。为了简单起见，我们在表1中显示了λ*仅P QR（0.1）、P QR（0.5）、P QR（0.9）和套索在滚动窗口上的有效和空头位置的值和平均数量。表1：项目的影响l-对活跃和空头头寸的标准惩罚。策略λ*（标准普尔100）λ*（标准普尔500）‘na（标准普尔100）’na（标准普尔500）’ns（标准普尔100）’ns（标准普尔500）ws=500 ws=1000 ws=500 ws=1000 ws=500 ws=1000 ws=500 ws=1000 ws=1000 ws=1000 ws=1000 P QR（0.1）0.3644 0.6964 24 43 32 74 6 19 8 26P QR（0.5）0.6073 0.1608 29 44 42 77 8 10 28P QR（0.9）0.3644 0.6964 27 36 71 15 7 230。0004 0.0004 28 45 42 77 9 20 12 32该表报告了最佳收缩参数（λ*), 对于普通最小二乘法（LASSO）和分位数回归（P QR（θ））模型，通过l-标准惩罚，通过使用不同的数据集和窗口大小。我们注意到λ*根据θ水平变化，在θ域中心达到相对较高的值。这导致分位数回归法的衰减，即中位数周围活跃状态增加的趋势，见表1。此外，我们还分析了普通最小二乘法和分位数回归法估计的投资组合权重的演化时间。

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2022-5-16 11:50:59

我们检查了重量是否随着时间的推移变得更稳定l-标准惩罚，ws=1000时效果更明显。这一结果是由于l-范数惩罚将高度相关资产的权重缩小为零，窗口大小越大，估计误差的影响就越小。现在我们分析和比较各种分配策略的样本内性能。根据第3.2节所述计算的样本投资组合回报，我们获得以下绩效指标：平均值、标准差、夏普比率、α=0.1时的风险值（见第3.3节）、α=0.1时的α-风险、ψ（Rp，0.9）、ψ（Rp，0.9）和MAD，分别定义为（5）、（10a）、（11）和（16）。如第3.2节所述，总体而言- 由滚动过程产生的ws子样本，我们得到T- 每个绩效指标的ws值。我们利用箱线图来观察样本内统计数据在滚动子样本上的分布情况。如图4-5所示，在目前的工作中，如果某一股票的重量绝对值大于0.0005，则认为该股票的仓位较长。同样，如果重量小于-0.0005，则认为位置较短。值介于-0.0005和0.0005之间的权重设置为零。从普通最小二乘法和分位数回归（应用于θ={0.1,0.5,0.9}）模型中获得，无论是否施加l-标准惩罚，使用标准普尔500指数（S&P500）作为数据集，并应用窗口大小为500个观测值的滚动技术。图4：在没有处罚的情况下获得的样本结果，来自2010年标准普尔500指数的收益序列。窗口大小为500个观察值的滚动分析。

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