3.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-3.5-3.5-3-3.5-3.5-2.5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-2.5-2.5-2.5-2.5-2.5-2.5-2-2.5-2-2.5-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-5-4-5-5-4-4-5-5-5-4-4-4-4-4-5-4-4-4 5.5-18-17.5对数噪声级电池图在2013049:30-11:0011:00-14:3014:30-16:00-7-6-5-4-3-2-1log现货波动率估计-20.5-20-19.5-19-18.5-18-17-17-16.5-16log-noise Levelatter图中，logE（02）v.s.log 1/Ts0T<t2 dt为MCD在2013049:30-11:0011:00-14:30-16:007模型的扩展，我们允许任意形式的噪声过程，直到时变马尔可夫核Qt（·，·）加上识别假设（假设4）。正如Jacodet等人（2009年）所述，身份识别假设非常严格。如果有人对{t} t型≥0，无论身份假设是否成立，我们的方法都是有效的。然而，如果有人关心{et}t≥0如果违反识别假设，我们的方法将失效。尽管如此，这种扩展在理论上兼容的建模中是不可或缺的，它允许内生微观结构噪声（与有效价格相关的噪声[Hansen and Lunde，2006]）。注意，在第2.1小节中，所有潜在变量的条件，这是一个平均值为零的随机变量，即RR（y- Zt（ω（0））Qt（ω（0），dy）=0正弦Qt（ω（0），dy）=Zt（ω（0））。然而，由于E（et | F（0））=E（Yt），ETI的条件平均值不一定为0-Xt | F（0））=Zt-Xt。这一观察结果使我们能够非参数地将内生噪声引入我们的模型。我们可以允许潜在过程{Xt}t之间的瞬时/实现关联≥0和噪声过程{et}t≥0

虽然E（et | F（0））不一定是0，但我们假设无条件平均值EP（et）为零，然后计算显示scov（Xt，et）=EP（0）[XtZt]- EP（0）[Xt]Cov（Zt，et）=EP（0）[Zt]- EP（0）[XtZt]Cov（Xt，t） =0Cov（Zt，t） =0【Jacod等人，2009年】假设Zt=Xt，因此其模型中没有内生噪声。然而，只要EP（0）[XtZt]6=EP（0）[Xt]，潜在过程{X}t之间就存在相关性≥0由（1）定义，噪声过程{et}t≥0由（2）定义。直观的解释是，如果潜在概率空间与潜在随机变量XT和Zt相关，则E会显示一些关于潜在概率空间中定义的过程的相关信息。相反这是一种纯粹的噪音，无法传递有关最近过程的有用信息，它们之间的相关性任何潜在随机变量均为零。因此，我们称et为“内生微结构噪声”，并称其为t“外部微观结构”。YtXtZt=E（Yt | F（0））ett信息备注6。当人们试图估计综合波动率时，实际估计的数量是hZ，ZiT，而不一定是通常期望的目标hX，XiT。[Li和Mykland，2007]对此进行了讨论。与[Jacod等人，2009年]相反，我们不假设Qt（ω（0），dy）=Xt（ω（0））。换句话说，在Zt6=Xt的情况下，积分波动率hX，xit是不可识别的；然而，如果我们对估计hZ、ZiT感到满意，那么我们就能够在有效价格和微结构噪声之间引入一些条件相关性。模型扩展的一个概念性发现是微观结构噪声{et}t中的信息内容≥0关于金融术语中的有效价格（或统计术语中的潜在过程），其被建模为It^o半鞅。这种解释来自市场微观结构理论[O\'Hara，1995年和2003年]。

与经典的资产定价理论一样，我们将价格视为给定的和外生的，并进行交易和对冲策略、投资组合配置和风险管理。但是，价格发现和价格形成取决于市场参与者的行为，没有各种市场参与者的投资活动，就不会产生价格。决定价格的是投资者的需求和供给之间的平衡，是市场中人们的心理，是市场参与者的信仰和行为的微观影响的综合。因此，效率定价应该是金融市场中的一个内生过程。这是资产定价和市场微观结构理论之间的一个显著区别：经典资产定价理论是无摩擦和竞争的市场，人们不必担心价格影响和流动性约束。

然而，在市场微观结构理论中，建模者需要查看交易过程的“黑匣子”，并将做市、价格发现、流动性形成、库存控制、不对称信息考虑在内。由于我们认为价格是内生的，例如，受交易成本（如买卖价差）、库存控制、价格离散调整、新信息纳入滞后、内幕交易和不对称信息带来的逆向选择、上述一个或多个因素造成的流动性不足等影响，It^o过程仅仅是高频观察到的有效价格的近似值，在这种情况下，市场微观结构的影响表现为累积的噪音超过了潜在It^o过程的综合波动性，微观结构的变化主导了总方差。因此，至少从微观结构理论的角度来看，扩展我们的模型以允许内生微观结构噪声是合理的（甚至是必不可少的），并且为了低延迟和毫秒级的真实建模。

这个主题不是本文的重点；我们将在未来的研究中对内生微观结构噪声进行深入的讨论和处理。8.模拟。1模拟场景我们模拟设计的配置是=Xti+tiαα（41）dXt=udt+σtdWt+JXtdNXt（42）dσt=κ（(R)σ- σt）dt+ΔσtdBt+σt-JVtdNVt（43），其中E（dWt·dBt）=ρdt，nx和nv分别是参数λx和λv的泊松过程w，B，跳跃大小满足JX~ N（θX，νX）和JVt=ez和Z~ N（θV，νV）。静态微观结构噪声表现为（s） tii。i、 d。~ N（0，a），而非平稳微观结构噪声分布如下（ns）ti=qh在里面- 0.5+ 0.2i×etieti=zi+PMj=1u+j-1jzi公司-jzki。i、 d。~ N0，ω, ω=anPnj=1σitj（44）你在哪里∈ (-0.5,0.5），n是一个工作日内的高频观察次数。在（44）中，噪声方差{（ns）ti}i根据U型曲线变化，这意味着在开放和关闭时间前后噪音水平相对较高。U型曲线是这样的：一天内的平均噪声方差为ω。噪声符合微观结构噪声方差随波动性水平增加的经验特征[？]。选择的参数应与Ait-Sahalia和Yu【2009】一致：X参数XuρλXθXνXln（100）0.03-0.6 0.0016 0.004σ参数κ|ΔVθVνV6 0.16 0.5 12-5 0.8噪声参数aaαM u5×10-31.54×10-41×10-510 0.3此外，σ从Cox-Ingersoll-Ross过程的平稳分布中取样【Cox等人，1985年】，即γ2κσδ,δ2κ所以波动率的无条件平均值是∑。ais的选择应确保Var(（s） ）=风险值(（ns）的平均值。

我们还根据非齐次泊松过程泊松（λt×）采用了随机抽样方案) 哪里 是平均采样持续时间，交易强度周期性演化λt=1+0.5×cos（2πt/t），t为1个工作日的长度。图4：N（Y，Kn）N-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 500.20.40.6具有平稳噪声（0,1）临界值的1天数据的经验密度-5 0 5 10 1500.10.20.30.40.5具有[-形状非平稳噪声（0,1）临界值的1天数据的经验密度-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 500.20.40.6具有平稳噪声（0,1）的5天数据的经验密度临界值-10-5 0 5 10 15 20 25 30 3500.020.040.060.080.1具有[-形状非平稳噪声（0,1）临界值的5天数据的经验密度这些图显示了N（Y，Kn）的经验密度，当它适用于具有静态/非平稳噪声的1天/5天数据时。与其他测试的模拟相比，我们可以看到N（Y，Kn）收敛到N（0，1）当微观结构噪声稳定时。另一方面，如果微观结构噪声是非平稳的，并且表现出日变化模式，则N（Y，Kn）对于1天的数据是最好的。8.2模拟结果在图4、图5和图6中，我们展示了N（Y，Kn）nT、V（Y，Kn，sn，2）NTV（Y，Kn，2）NTT的模拟结果，其中T被视为1个工作日（每个图中的左面板）和5个工作日（每个图中的右面板）。对于每个测试和每个时间跨度，模拟在2种不同的情况下进行：静止噪声（每列中的上图）、U形噪声（44）（每列中的下图）。图中显示了我们提出的测试的各种经验密度函数与N（0，1）的密度。

每组测试从3000个样本路径计算，平均采样间隔1秒。9实证研究9。1非平稳微观结构噪声的经验证据图7显示了2008年微观结构噪声水平的每日变化。图8展示了2013年头4个月单个股票微观结构噪声的日变化。9.2实证测试在本小节中，我们将我们的测试应用于股票的高频金融交易数据。我们选取道琼斯工业平均指数（DJIA30）的几个组成部分：英特尔公司（INTC）、国际商业机器公司（IBM）、高盛公司（GS），JPMOR图5：V（Y，Kn，sn，2）n-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 500.20.40.6具有平稳噪声（0,1）临界值的1天数据的经验密度-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 500.20.40.6具有[-形状非平稳噪声（0,1）临界值的1天数据的经验密度-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 500.20.40.6具有平稳噪声（0,1）的5天数据的经验密度临界值-50 0 50 100 150 200 250 300 35000.0050.010.0150.02具有[-形状非平稳噪声（0,1）临界值的5天数据的经验密度V这些图显示了V（Y，Kn，sn，2）n的经验密度，当它适用于具有静态/非平稳噪声的1天/5天数据时。与其他测试的模拟相比，我们可以看到V（Y，Kn，sn，2）当微观结构噪声处于静止状态时，NIS由于其相对较大的边缘效应而更加保守。

另一方面，如果微观结构噪声是非平稳的，并且表现出日变化模式，则V（Y，Kn，sn，2）对于多日数据而言是最好的，并且具有最大的统计功率。图6：V（Y，Kn，2）n-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 500.20.40.6具有平稳噪声（0,1）临界值的1天数据的经验密度-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 500.20.40.6具有[-形状非平稳噪声（0,1）临界值的1天数据的经验密度-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 500.20.40.6具有平稳噪声（0,1）的5天数据的经验密度临界值-5 0 5 10 15 20 25 30 35 4000.050.10.150.2具有[-形状非平稳噪声（0,1）临界值的5天数据的经验密度V这些图显示了当应用于具有静态/非平稳噪声的5天/10天数据时V（Y，Kn，2）的经验密度。与其他测试的模拟相比，我们可以更准确地看到V（Y，Kn，2）nControllstype-I误差当微观结构噪声稳定时，NDOE。另一方面，如果微观结构噪声是非平稳的，并且表现出日变化模式，则N（Y，Kn）对于多日数据更好。图7:2008年每日噪声方差估计，以及简单的事件历史分析。在金融危机的动荡中，市场微观结构噪音激增，市场质量显著恶化。2008年2月3日4月5日6月7日9月10日11月12日2009月00日。511.522.5噪声方差估计#2008年GSJPmintcibmxomwmtcvxhdmsftjnjunhmrkbagenkejan中每日噪声方差估计的10-6时间序列。2008年9月市场下滑。14 2008年雷曼兄弟破产图8：经济危机的时间动态(t） 在美国东部时间9:30-16:00的不同交易时段。例如，蓝线是2013年前4个月不同工作日上午前后估计噪声水平的时间序列图。

从左到右，从上到下，公司分别是高盛（GS）、雪佛龙公司（CVX）、波音（BA）、沃尔玛（WMT）。0 10 20 30 50 60 70 80个工作日0 123456噪声估计值#10-8 GS在前4个月的噪声方差20139:30-11:0011:00-14:3014:30-16:000 10 20 30 50 60 80个工作日0。511.522.533.544.5噪声估计值#10-8前4个月CVX的噪声方差20139:30-11:0011:00-14:3014:30-16:000 102040405050607080BUEINESS DAYS0124567噪声估计值#10-8前4个月BA的噪声方差20139:30-11:0011:00-14:3014:30-16:000 10204050506070BUEINESS Days00。511.522.533.544.5噪音估计#10-8 2011年前4个月WMT的噪音方差39:30-11:0011:00-14:3014:30-16:00gan Chase（JPM）、埃克森美孚公司（XOM）、通用电气（GE）和沃尔玛（WMT）。我们计算了4月22个工作日内这些股票的测试统计数据和p值，如表3所示。此外，在图9中，我们绘制了2006年1月3日至2013年12月31日期间测试统计数据N（Y，K）的整体趋势，作为流动性度量。10结论本文主要研究隐It^o半鞅模型中微观结构噪声平稳性的假设检验。零假设是微观结构噪声是静态的，另一个假设是微观结构噪声是非平稳的，套利动态可达马尔可夫核。

我们的测试工作在相当普遍的环境中，其中潜在的It^o半鞅可能具有任何程度的活动跳跃，微观结构降低白噪声和舍入误差，观测时间可以不规则地间隔。第一个测试的动机是非平稳噪声的双尺度估计器（TSRV）的欠量化行为，在我们的一般模型下，通过修改TSRV[Kalnina and Linton，2008]可以消除其负面影响。基于非平稳微观结构噪声的修正，第一个检验N（Y，Kn）被设计为波动率估计器的函数，其I型误差可以在零假设下由相关的中心极限理论控制。我们还证明了当微结构噪声是非平稳的时，N（Y，Kn）在高频渐近中下跳。此外，我们还有其他补充测试，即V（Y，Kn，sn，2）nt和V（Y，Kn，2）n。它们分别定义为n（Y，Kn）n的函数和实现方差，在不同的本地时间窗口中计算。V（Y，Kn，sn，2）与V（Y，Kn，2）在零假设下渐近等价且具有相同的收敛速度。在无效假设下，对V（Y，Kn，2）有限样本的渐近逼近比V（Y，Kn，sn，2）的渐近逼近更准确，然而，在替代假设下，V（Y，Kn，sn，2）nHa更具优势，因为它具有更大的统计功效。与更适合于一天数据的N（Y，Kn）N相比，V（Y，Kn，sn，2）N和V（Y，Kn，2）N更适合于多天数据。详细讨论了如何选择这些补充测试。由于微观结构噪音可以衡量市场质量（市场流动性、市场深度等）[哈斯布鲁克，1993年，奥哈拉，2003年，ait-Sahalia和Yu，2009年]，我们的测试统计数据可以衡量流动性风险。

特别是，假设微观结构噪声方差像It^o扩散一样演化，不仅可以得到替代假设下测试统计量的渐近分布，还可以得到“总流动性风险”的符号和具有相关中心极限定理的一致估计量。纽约证券交易所的一些高频财务数据通过测试进行了分析。正如2006年至2013年的someDJIA组件所示，微观结构噪声的方差确实在日内和日内发生变化，这与经验文献一致。此外，我们发现，2008年9月噪声方差突然增加的时间与抵押贷款次贷危机引发的全球金融灾难的开始时间一致。我们测试统计数据的时间序列揭示了一种模式，表明金融动荡期间每日和每周交易成本的增加。11附录所有计算均以F（0）为条件。假设命题1和引理4，5可以在Zhang等人[2005]中找到，Li和Mykland[2007]：命题1。假设E（|An | F（0））是Op（1）。然后是阿尼斯作品（1）。引理4。根据模型（1）、（3）和（4）以及第2.3节中的假设，我们有：[Y，Y]G=[, ]G+Op（1）（45）[Y，Y]（平均，K）T=[Z，Z]（平均，K）T+[, ]（平均，K）T+Op（1）/√K） （46）此外，定义G（min）K+1为全网格G中最大G（min）的右近邻，定义负（max）为全网格G中最小G（max）的左近邻。为了描述以下一些测试统计的边缘效应和行为，我们需要引入一些随机变量：M（1）T≡√nPni=0钛- gtiM（2）T≡√nPni=1钛钛-1M（3）吨≡√nPK-1k=0Pti∈G0（k）钛钛-K（47），表示ht（ω（0））≡ E(t | F（0））（ω（0））。注意，M（1）T，M（2）和M（3）皮重是鞅关于过滤Fi=σ的端点(tj，j≤ 我Xt，t） 。根据Ait-Sahalia等人附录A.2中的论点。

[2005]我们有引理5。M（1）T，M（2）和M（3）皮重是渐近条件独立的混合正态，它们具有条件方差- 分别为gtdt、TRTgtdt、TRTgtdt。11.1噪声推理跳跃的稳健性在证明测试定理，即定理2、定理3、推论2和定理4时，我们可以假设Jt=0，只要噪声与连续部分和跳跃部分均不相关，则t>0 in（1），且不丧失一般性。在假设1、2下，已实现方差中有3个分量：（1）不连续It^o半鞅[X，X]T=hX，XiT+Pt的有限二次变化≤T|Xt |，其中Xt=Xt- lims%tXs（随机演算中的一个著名结果）；（2） 噪声引起的变化，其阶数为Op（n）；（3） 渐近可忽略项，即噪声、连续鞅和跳跃之间的交叉项。在假设5下，通过与Li和Mykland[2007]中引理1的证明中类似的论证，我们得到了与引理4相似的结果：[Y，Y]G=[, ]G+2nXi=1（Jti- Jti-1)(钛- 钛-1） +[X，X]T |{z}Op（1）+Op（1）（48），这表明最快时间尺度的归一化实现方差2n[Y，Y]Gis是E(|F（0）），假设噪声是静止的，即使存在跳跃，即引理4静止不动。因此，即使存在跳跃，检验统计量的渐近分布也保持不变。引理1在Li and Mykland[2007]的第606页上[11.2]引理1的证明。根据我们的假设，我们可以写出[Y，Y]（avg，K）T=[Z，Z]（avg，K）T+√nK公司M（1）T- M（3）T+KKXk=1Xti∈G00（k）gti+KXti∈G（最小）gti+KXti∈G（最大）gti+Op√K利用条件李雅普诺夫条件和引理5M（1）T- M（3）TP-→ MN0，TZThtdt！因此（11）如下。11.3定理1的证明。

在Kalnina和Linton[2008]中，新版本的已实现方差可以渐近地写成如下：[Y，Y]{n}T=[Y，Y]G（min）+[Y，Y]SKk=1G00（k）+[Y，Y]G（min），因为对于任何网格H，[Y，Y]H=[Z，Z]H+2[Z，]H+[, ]H、 我们有[Y，Y]{n}T=[Z，]G（最小）+2[Z，]SKk=1G00（k）+[Z，]G（最大值）+[, ]G（最小值）+[, ]SKk=1G00（k）+[, ]G（max）+Op（1）注意[Z，]G（min）+2[Z，]SKk=1G00（k）+[Z，]G（最大值）≤ 2[Z，]G.定义Zti=Zti- Zti公司-1，thenE（[Z，]G） I{τl>T}|F（0）= I{τl>T}nXi=1nXj=1Zti公司ZtjEh公司钛- 钛-1.tj- tj-1.|F（0）Ib假设，噪声在最新过程X，thusEh的整个路径上是相互独立的条件作用(钛- 钛-1)(tj- tj-1） | F（0）i=-gti∧j、 | i- j |=1gti-1+gti，j=i0，否则，如果τl>T，我们有nxi=1nXj=1ZtiZtjEh公司钛- 钛-1.tj- tj-1.|F（0）i=n-1Xi=0Zti+1gti+nXi=1(Zti）gti- 2n-1Xi=1ZtiZti+1gti≤ 4M（2，l）·[Z，Z]G=Op（1）警告为G和G（min）SSKk=1G00（k）SG（最大值）可能不相等，差异是tbn/Kc·K+1，···，tn. 然而，在适当选择K时，这种差异是渐近不可忽略的。由命题1和P（0）{τl>T}-→ 1作为l-→ ∞, 我们知道，]G=Op（1）。

因此，以下关系成立：[Y，Y]{n}T=[, ]G-([, ]G（最小值）+[, ]G（max））+Op（1）根据我们的假设，我们有以下结果：K[, ]（平均值，K）T=2√NM（1）T- M（3）T+ 2KXk=1Xti∈G0（k）gti+Xti∈G（最小）gti-Xti公司∈G（最大）gti+Op(√K） （49）[, ]G=2√NM（1）T- M（2）T+ 2nXi=0gti+Op（1）（50）确定以下数量：m（1）T≡√KPKi=1G（min）i- gG（最小）im（2）T≡√KPKi=1G（最小）i+1G（最小）im（1）T≡√KPKi=1G（最大）i- gG（最大）im（2）T≡√KPKi=1G（max）iG（最大）i-1（51）类似于（50）[, ]G（最小）=2√Km（1）T- m（2）T+ 2Xti∈G（最小）gti+Op（1）[, ]G（最大）=2√Km（1）T- m（2）T+ 2Xti∈G（max）gti+Op（1）将引理4与这些结果结合起来，样本加权TSRV与理论过程Z的平均实现方差之间的差异为hX，Xi（W T SRV，K）T- [Z，Z]（平均，K）T=√nK公司M（2）T- M（3）T+√Km（1）T- m（2）T+m（1）T- m（2）T+ Op√K因此√N\\hX，Xi（W T SRV，K）T- [Z，Z]（平均，K）T= 2.M（2）T- M（3）T+ op（1）L-s-→ MN0，TZTgtdt！讨论离散化引起的误差项的剩余参数[Z，Z]（avg）T- hZ，ZiTtowhich A same technology in Appendix A.3 in Zhang et al.（2005）application，which we get the claimof定理1.11.4 the Proof the定理2的证明。

回想一下原始TSRV的定义（51）、by（52）和渐近行为[AitSahalia等人，2005年，Li和Mykland，2007年]，在空Hwe have\\hX，Xi（W T SRV，K）T-\\hX，Xi（tsrv，K）T=2（K- 1） K级√NM（2）T- M（1）T+√Km（1）T- m（2）T+m（1）T- m（2）T+ OpKi、 当hh变大时，我们有N（Y，K）nT=m（1）T- m（2）T+m（1）T- m（2）T+ 作品（1）。为了证明极限分布是正态分布，我们将再次利用（51）中离散的可预测二次变化使用鞅极限中心。hm（1）T，m（1）TiT | F（0）=KKXi=0EG（最小）i | F（1）G（最小）i-1，F（0）- gG（最小）i=KKXi=0hhG（min）i- gG（最小）ii-→ H- 通过同样的计算，我们知道hm（1）T，m（1）TiT | F（0）=KPni=0hG（最大）i- gG（最大）i-→ hT公司- 燃气轮机。此外，hm（2），m（2）iT | F（0）=KKXi=1G（min）iEG（最小）i+1 | F（1）G（最小）i，F（0）=KKXi=1G（最小）igG（最小）i+1=KKXi=1hG（min）i- gG（最小）iigG（最小）i+1+KKXi=1gG（最小）igG（最小）i+1Since G（最小）-→ 0是一个收缩子网格，soKPKi=1gG（min）igG（min）i+1-→ g、 此外，EKKXi=1(G（min）i- gG（min）i）gG（min）i+1{τl>T}|F（0）==KKXi=1EG（min）i- gG（最小）i|F（0）gG（min）i+1{τl>T}≤KKXi=1M（4，l）·M（2，l）=OpK根据命题1和P（τl>T）P-→ 1作为l-→ ∞, 我们知道kpki=1(G（min）i-gG（最小）i）gG（最小）i+1P-→ 0，因此hm（2），m（2）iT-→ g、 类似地，hm（2），m（2）iT-→ gT。利用鞅中心极限定理，我们知道m（1）T，m（1）T，m（2）T，m（2）Tare渐近混合正态。

因为G（min）和G（max）是不相交的观测时间集，所以m（2）和m（2）T，或者m（2）和m（2）T独立于F（0），所以m（1）T+m（1）TL-s-→ 锰0，h- g+hT- 燃气轮机和m（2）T+m（2）TL-s-→锰0，g+gT.此外，hm（1），m（2）iT | F（0）=KKXi=1EG（min）i- gG（最小）i·G（min）iG（最小）i+1|F（0），F（1）G（min）i=KKXi=1G（min）i- gG（最小）iG（最小）i·EG（min）i+1 | F（1）G（min）i|F（0）= 0和hm（1），m（2）iT | F（0）=KPKi=1G（max）i-1EG（最大）i | F（0），F（1）G（最大）i-1..Ehm（1），m（2）iT· I{τl>T}| F（0）=KKXi=1gG（最大）i-1·EE(G（max）i |ω（0））| F（1）G（max）i-1.· I{τl>T}≤K·M（2，l）·M（3，l）·I{τl>T}通过命题1和P{τl>T}的事实-→ 1作为l-→ ∞, 我们知道hm（1），m（2）iT=Op√KP-→ 因此，m（1）T、m（2）T、m（1）和m（2）皮重是渐近独立的混合正态，而m（1）T- m（2）T+m（1）T- m（2）TL-s-→ MN（0，h+hT）11.5引理2Proof的证明。自{Zt}t起≥0是一个It^o半鞅[Y；4]G=nXi=1(钛-钛-1） +4nXi=1(钛-钛-1） （Zti）-Zti-1） +4nXi=1(钛-钛-1） （Zti-Zti-1） +Op（1）EnXi=1(钛- 钛-1） （Zti- Zti-1） 哦！{τl>T}|F（0）=nXi=1Eh(钛- 钛-1） （Zti- Zti-1） |F（0）i{τl>T}≤nXi=1Eh(钛- 钛-1） | F（0）i1/2·Eh（Zti- Zti-1） | F（0）i1/2{τl>T}≤ (990)1/2max2≤K≤12米（k，l）∨ 1.{τl>T}nXi=1Eh（Zti- Zti-1） | F（0）i1/2=Op（1）EnXi=1(钛- 钛-1） （Zti）- Zti-1） 哦！{τl>T}|F（0）=1enxi=1enxi(钛- 钛-1） （Zti）- Zti-1） |F（0）i{τl>T}≤nXi=1Eh(钛- 钛-1） | F（0）i1/2·Eh（Zti- Zti-1） | F（0）i1/2{τl>T}≤√max2≤K≤4M（k，l）∨ 1.{τl>T}·nXi=1Eh（Zti- Zti-1） | F（0）i1/2=op（1），因此，[Y；4]G=Pni=1(钛- 钛-1） +Op（1）。注意Nxi=1(钛- 钛-1） =2nXi=1hti+6nXi=1gti-1gti+√N2L（1）T+6L（2）T- 4L（3）T- 4L（4）吨+ Op（1）（53），其中L（1）T=√nPni=1钛- htiL（2）T=√nPni=1h钛-1.钛- E(钛-1.ti | F（0））iL（3）T=√nPni=1钛-1.tiL（4）T=√nPni=1钛-1.我们可以证明L（1）T、L（2）T、L（3）和L（4）皮重是混合法线。

观察nnxi=1hti=TnXi=1htiTn-→TZThtdtnnXi=1gti-1gti=TnXi=1gti-1提顿-→TZTGTDTTTHEN（16）如下。对于每个i=1，2，···，rn，我们定义mi≡ m（1）i- 我在这里≡√KnPKnk=1t（i）-1） Kn+k- gt（i-1） Kn+km（2）i≡√KnPKnk=1t（i）-1） Kn+kt（i）-1） Kn+k-为了证明定理3，我们需要一个额外的引理：引理6。假设微观结构噪声是平稳的，并且在噪声过程的力矩假设下{t} t型≥0，我们为每个i∈ {1,2，··，rn}，E（mi | F（0））=E(|F（0））E（mi | F（0））=6hE(|F（0））- E(|F（0））E(|F（0））+E(|F（0））i+OpK证据为了便于记法，让我们抑制记法K=Kn，并表示（一）-1） Kn+kbyξi、k和g（i-1） Kn+kby gi，K各i∈ {1，2，···，rn}和k∈ {0，1，2，····，K}。请注意，在我们的新注释M（1）下≡√KPKk=1ξi，k- gi，km（2）i≡√KPKk=1ξi，k-1ξi，kandEm（1）i|F（0）=KPKk=1Ehξi，k- gi，k | F（0）i=E(|F（0））- E(|F（0））Em（2）i|F（0）=KPKk=1Ehξi，k-1ξi，k | F（0）i=E(|F（0））Ehm（1）im（2）i | F（0）i=KPKk=1PKj=1Ehξi，k- gi，k· ξi，j-1·ξi，j | F（0）i=0thus E（mi | F（0））=E(|F（0））。

注意，我=m（1）i+m（2）i- 2米（2米）1米=m（1）i- 4.m（1）im（2）i+6m（1）im（2）i- 4m（1）im（2）i+m（2）i一些计算结果m（1）i|F（0）=KKXk=1Eξi，k- gi，k+ 6KXk=1Xj6=kEξi，k- gi，kEξi，j- gi，j= 6hE(|F（0））- E(|F（0））i+OpKEm（1）im（2）i | F（0）=柯KXk=1Xj6=k（ξi，k- gi，k）（ξi，j- gi，j）·KXj=1ξi，j-1ξi，j|F（0）=KKXk=2Eh（ξi，k-1.- gi，k-1） ξi，k-1·（ξi，k- gi，k）ξi，k | F（0）i=OpKEm（1）im（2）i|F（0）=柯KXk=1ξi，k- gi，k·KXj=1ξi，j-1ξi，j|F（0）| {z}（m21）+KEKXk=1Xj6=kξi，k- gi，kξi，j- gi，j·KXj=1ξi，j-1ξi，j|F（0）| {z}（m22）注意（m21）=KEKXk=1Xj6=k，k+1ξi，k- gi，k· ξi，j-1ξi，j | F（0）+KE“KXk=1ξi，k- gi，k· ξi，k-1ξi，k | F（0）#+KE“k-1Xk=1ξi，k- gi，k· ξi，kξi，k+1 | F（0）#=hE(|F（0））- E(|F（0））iE(|F（0））+OpK和（m22）=KEKXk=1Xj6=kξi，k- gi，kξi，j- gi，j·KXj=1ξi，j-1ξi，j+K-1Xj=1ξi，j-1ξi，jξi，j+1|F（0）=KE“KXk=2ξi，k-1.- ξi，k-1gi，k-1.ξi，k- ξi，kgi，k|F（0）#+KE“K-1Xk=2ξi，k-1.- ξi，k-1gi，k-1.· ξi，k·ξi，k+1- ξi，k+1gi，k+1|F（0）#=OpK所以我们有m（1）im（2）i|F（0）=他(|F（0））- E(|F（0））iE(|F（0））+OpKEm（1）im（2）i|F（0）=KKXk=2Ehξi，k-2ξi，k-1ξi，k | F（0）i+KK-2Xk=1Ehξi，kξi，k+1ξi，k+2 | F（0）i+KKXk=1Ehξi，k- ξi，kgi，k· ξi，k-1 | F（0）i+KK-1Xk=1Ehξi，k- ξi，kgi，k· ξi，k+1 | F（0）i=OpKEm（2）i|F（0）=KKXk=1Eξi，k-1ξi，k | F（0）+KKXk=1Xj6=kEξi，k-1ξi，kξi，j-1ξi，j | F（0）= 6E(|F（0））+操作K因此，根据上述计算，我们得到了E（mi | F（0））=Em（1）i|F（0）+ 6Em（1）im（2）i|F（0）+ Em（2）i|F（0）+ OpK= 6hE(|F（0））- E(|F（0））E(|F（0））+E(|F（0））i+OpK11.6定理的证明。在这个定理的假设下，我们知道gt（ω（0））=E(|F（0））（ω（0））具有恒定值。通过定理2的证明，我们知道miL-s-→ 锰0，E(|F（0））在无效假设下。根据连续映射定理，miL-s-→ E(|F（0））·χ，其中χ表示自由度为1且独立于F（1）的中心卡方分布。

注意u（Y，Kn，sn，2）nT=rn- 序号+1“rn-sn+1Xi=1mi+rn-序号+1Xi=1mi+序号-1+2rn-sn+1Xi=1mimi+sn-1#+作品Kn_Knn我们可以写作√注册护士- 序号+1U（Y，Kn，2）nT- 2E类(|F（0））= 2H（1）T+2H（2）T+RT+Op√rnKn_√注册护士（55）其中（1）T=√注册护士-sn+1pn-sn+1i=1（mi- E（mi | F（0）））H（2）T=√注册护士-sn+1pn-sn+1i=1mimi-sn+1RT=√注册护士-sn+1hPrni=rn-sn+2（mi）- E(|F（0）））-Psn公司-1i=1（mi- E(|F（0）））如果进一步，请注意，在更粗的过滤概率空间上Ohm（1） ，F（1），{F（1）t（i-1） Kn}i∈N、 P（1）, H（1）和H（2）是两个离散鞅，H（1）和H（2）t的增量，namelyn√注册护士-序号+1惯性矩- E（mi |ω（0）在…上∈N+，i∈N个+≤注册护士-sn+1n√注册护士-序号+1（咪咪+sn）-1） 在上∈N+，i∈N个+≤注册护士-sn+1是两个三角形序列，我们可以应用鞅中心极限定理。根据引理6hH（1）的结果，H（1）iT | F（0）=rn- 序号+1rn-序号+1Xi=1Emi | F（1）t（i-1） K级- Emi | F（0）∪ F（1）t（i）-1） K级|F（0）=5E(|F（0））- 6E(|F（0））E(|F（0））+6E(|F（0））和hh（2），H（2）iT | F（0）=rn- sn+1rn-sn+1Xi=1E（mi | F（0））·Emi+sn-1 | F（0）+注册护士- 序号+1rn-序号+1Xi=1惯性矩- E（mi | F（0））· Emi+sn-1 | F（0）因为P（τl>T）P（0）-→ 1作为l-→ ∞ 安第斯山脉注册护士- 序号+1rn-序号+1Xi=1惯性矩- E（mi | F（0））· Emi+sn-1 | F（0）{τl>T}|F（0）=（注册护士- sn+1）rn-sn+1Xk=1V ar惯性矩- E（mi | F（0））Emi+sn-1 | F（0）{τl>T}≤（注册护士- 序号+1）rn-sn+1Xk=1M（4，l）·M（2，l）=Op注册护士- sn+1根据命题1，我们知道-序号+1PN-序号+1i=1惯性矩- E（mi | F（0））· Emi+sn-1 | F（0）P-→ 0，thuwe havehH（2），H（2）iT | F（0）P-→ E(|此外，hH（1），H（2）iT | F（0）=rn- 序号+1rn-sn+1Xi=1（mi- miE（mi | F（0））·Emi+sn-1 | F（0）= 因此，对于H（1）和H（2）T，我们有以下联合渐近分布：H（1）TH（2）T！L-s-→ MN！，ζ0 E(|F（0））！！（56）式中，ζ=5E(|F（0））-6E(|F（0））E(|F（0））+6E(|F（0））。

最后，注意RT=op（1），这是因为P（τl>T）P（0）-→ 1作为l→ ∞, andE（RT{τl>T}|F（0））=rn- 序号+1“序号-1Xi=1E（mi | F（0））+rnXi=rn-sn+2E（mi | F（0））- 2（序号- 1） E(|F（0））#=Opsnrn公司- sn+1= op（1）将这些结果插入（55），我们可以得到√注册护士- sn+1U（Y，Kn，sn，2）nT- 2E类(|F（0））= 2.H（1）T+H（2）T+ op（1）L-s-→ 锰0，η式中η=24[E(|F（0））- E(|F（0））E(|F（0））+E(|F（0））]。根据注1关于E的一致估计(|F（0）），bη-η=Op（1）/√n） 由于（16）以及2n[Y，Y]G，噪声处于静止状态时- E(|F（0））=Op（1）/√n） ，加上U（Y，Kn，sn，2）nT（27）的稳定收敛。11.7定理5和定理6的证明。在这个证明中，我们写K和r时不使用下标n，以避免使用聚集表示法。我们首先给出定理6的证明，并说明如何修改证明来证明定理5.11.7.1大数定律：极限量在定理6的假设下，从引理4，我们得到2K[Y，Y]Si=2K[, ]Si+OpK=KXtj公司∈（Ti）-1，Ti]gtj+√Km（1）i- m（2）i+ OpK其中m（1）和m（2）定义在（54）中，它们是渐近混合正态。因此，2K[Y，Y]Si+1-2K[Y，Y]Si=KKXj=1KXl=1gt（i-1） K+j+l- gt（i-1） K+j+l-1.| {z}（A）+√K（mi+1）- mi）+OpK注意：（A）=KKXj=1（j-1)gt（i-1） K+j+2KXj=K+1（K- （j）- 1))gt（i-1） K+j=KXj=1（j-1） K(gt（i-1） K+j）+2KXj=K+1（K- （j）- 1） ）K(gt（i-1） K+j）+（I）+（II）+（III），其中（I）=PKj=1Pl6=j（j-1） （l）-1） K级gt（i-1） K+jgt（i-1） K+l（II）=PKj=1Pl6=j（K-（j）-1） ）（K-（l）-1） ）KgtiK+jgtiK+l（III）=PKj=1PKl=1（j-1） （K）-（l）-1） ）Kgt（i-1） K+jgtiK+l（57）是均值-0鞅。通过标准的定位程序，我们可以通过假设σ（g）t来加强条件≤ σ（g）+，T∈ [0，T]，因此，E[（I）]≤T（σ（g）+）nKXj=1KXl=1（j）-1） （l）- 1） K级=T（σ（g）+n·KXj=1（j）-1） K·KXj=1（l- 1） K=操作千牛通过切比雪夫不等式，（I）=Op千牛. 类似地，（II）、（III）=Op千牛. 此外，我们可以知道（A）=OpqKn.

因此，r-1Xi=12K[Y，Y]Si+1-2K[Y，Y]Si=KXj=1（j-1） K(gtj）+KXj=1（K- （j）- 1） ）K(gt（r）-1） K+j）+r-2Xi=2KXj=1（j-1） +（K）- （j）- 1） ）K(gt（i-1） K+j）+r-1Xi=1[（I）+（II）+（III）]|{z}Op√rKn公司=Op√R+ OprK| {z}噪声引起的误差注意，噪声引起的误差（随机阶OprK) 通过定理3的证明，近似等于2rt krthtdtb。

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