另外，虽然我们在0级中使用了两种方案，但在实践中，这种选择的方法速度稍快一些。如前所述，对于Giles-Szpruch方案，我们选择λ=1和λl=5/2，L∈ {1，…，L*}, 平衡水平l=0的较低成本。按照这个想法，对于Ninomiya Victoir方案，如果ZNV=FXNV，1，ηT+ FXNV，1，-ηT, 我们建议选择λ=1和λl=5，L∈ {1，…，L*}, 如果ZNV=fXNV，1，ηT.让我们讨论从0级到L级用GilesSzpruch方案实现多层蒙特卡罗估计*-1以及最后一级的Ninomia Victoir和Giles Szpruch方案之间的耦合*. 实际操作程序略有不同。如已讨论，在^YGS的情况下-nVMLMC偏差由Ninomiya-Victoirscheme的偏差给出，因此我们首先根据Ninomiya-Victoirscheme估计弱误差常数。下一步是估计Giles-Szpruch方案的常数。然后，我们估计VZGS（分别）ZL公司*GS-内华达州) 使用标准蒙特卡罗估值器^VGS（分别为^VL*GS-内华达州）。最后，我们定义*使用（4.9）和setM*=s^VGSλqλ^VGS+L*-1Xj=1qcλjj（1-β） +qλ*LL公司*（1）-β） ^VL*GS-内华达州, (4.44)L∈ {1，…，L*-1} ，M*l=rcλll（β+1）qλ^VGS+L*-1Xj=1qcλjl（1-β） +qλ*LL公司*（1）-β） ^VL*GS-内华达州,（4.45）米*L*=s^VL*GS-NVλL*L*qλ^VGS+L*-1Xj=1qcλjj（1-β） +qλ*LL公司*（1）-β） ^VL*GS-内华达州. （4.46）我们建议选择λ=1，λl=5/2，L∈ {1，…，L*- 1} ，和λL*= 9/2以平衡L级的较高成本*.由于所有参数都是显式的，所以实现多级Richardson-Romberg估计非常简单。如[7]所述，我们只需要估计V（f（XT））和来自方差估计的常数cin（4.8）。

方差V（f（XT））使用crudeMonte-Carlo方法估计。现在，我们给出了我们的数值测试，其中我们比较了每个估计器的计算时间，作为均方根误差上的上界d的函数，用表示。对于我们的测试，我们选择平滑的支付f（u，s）=cos（u）。我们用上述程序估算了这两个常数。为了计算回归，我们估计EZl和VZlforl公司∈ {1，…，4}，使用标准蒙特卡罗方法。必须调整使用的样本量，以获得一个相当好的估计值，但在此步骤中不要花费太多时间。在我们的数值实验中，我们选择了一个样本量M=10。利用这种方法，我们估计了弱收敛阶和方差收敛阶的理论值。更准确地说，我们得到了Giles-Szpruch-sch-eme的α=1，β=2，以及Ninomiya-Victoir方案的α=2，β=2。在图4中，每个多级方法的CPU时间（以秒为单位，以对数标度表示）是（以对数标度表示）的函数。它直接比较了不同受试者的表现。红线代表^YGS-NVMLMC。这条线在其他线的下方，这清楚地表明，对于这个实验，^YGS-NVMLMC比其他估计器更快。此外，我们还观察了多层Richardson-Romber g估计和多层MonteCarlo估计的另一个密切行为。实际上，代表^YNVMLMCis的黑线靠近代表^YNVML2R的黑线。类似地，蓝色线表示^ygsmlmcs，靠近蓝色虚线表示^YGSML2R。

最后，可以注意到所有坡度都等于-2，这表明所有这些估计都达到了O-2.复杂性-16-15-14-13-12-11-10-9-8.-7log2（）-10-5051015log2（CPU-时间）^YGSMLMC^YNVMLMC^YGS-NVMLMC^YGSML2R^YNVML2R图4：Clarl Cameron SDE，f（u，s）=cos（u），秒CPU时间（y轴对数刻度），作为（x轴对数刻度）的函数。衡量^YGS的效率-NVMLMC相对于其他估计器，我们在图5中绘制了以下CPU时间比率：R=CP U-时间^YCP U- 时间^YGS-NVMLMC. （4.47）估计量^YGS-当从2变为2时，NVMLMC大约比^YGSMLMCor^ygsml2r快1.1到1.6-16比2-7、与^YGS相比-NVMLMC、^YNVMLMCand和^ynvml2r表现不佳。为了了解发生了什么，让我们为多层蒙特卡罗估计器提供CPU时间的理论计算。用τl表示level的理论计算时间∈ {0，…，L*}, 一个有τl∝ M*ll。（4.48）-16-15-14-13-12-11-10-9-8.-7log2（）1.01.21.41.61.82.02.2R^YGSMLMC^YNVMLMC^YGSML2R^YNVML2R图5:Clarl Cameron SDE，f（u，s）=cos（u），CPU时间比（y轴）作为（x轴对数标度）的函数。替换*l、 我们可以写出τl=Cl（）2-l（β+1）l=Cl（）2-l（β-1） （4.49）用τ表示的理论计算时间由τ（）=L表示*（）Xl=0τl=l*（）Xl=0Cl（）2-l（β-1). （4.50）在本文研究的多层蒙特卡罗估计中，Cl=C，L∈ {1，…，L*- 1} ，则有τ（）=C（）+C（）1-2.-β-1.-β-1.- 2.-L*()β-1.+ 氯*（）2-L*()β-如果β6=1C（）+（L*() - 2） C（）+CL*（）如果β=1。（4.51）现在，很容易理解为什么^YGS-NVMLMC比^YGSMLMC快。事实上，这两个估计量非常接近，在我们的数值实验中，我们观察到CGS（）≈CGS-内华达州（）。

因为使用具有二阶弱收敛性的格式提供了一个较低的最优最后一级L*, 根据（4.51），我们理解了为什么通常我们可以说，很明显，常数C（）依赖于估计量。对于^YGSMLM和^YNVMLM C，常数由公式（4.42）和（4.43）：C（）=q^VλpλV+L给出*Pj=1pcλjj（1-β)!和Cl（）=qcλlpλV+L*Pj=1pcλjj（1-β） ！，L∈ {1，…，L*}. 对于^YGS-N VMLM c恒量由公式（4.44）、（4.45）和（4.46）给出。τGS-NVMLMC≤ τGSMLMC。^YNVMLMCor^ynvml2的性能不佳反映了ZlNV中使用了六种模式。在我们的第二个实验中，我们只改变了回报。我们选择非光滑payoff f（u，s）=u+。[6]中的定理5.2给出了Giles-Szpruch格式的下界β=3/2。他们的证明在某些方面是通用的，并且可以很容易地适用于Ninomiya Victoirscheme。这足以让O-2.复杂性为了确定β和α的实际值，我们依赖于数值结果。使用相同的自动过程，我们得到了NinomiyaVictoir的化学式α=3/2和β=3/2。支付效应的不规则性影响了weak和方差收敛速度。关于Giles-Szpruch方案，回归过程导致α=1和β=2，但情况相当混乱。实际上，我们注意到l的渐近速率β=3/2≥l=5。图e6说明了这种情况。蓝线是对五、ZlGS公司1.≤L≤7而红线是前四个值的回归。

两条线在标高l=5处分叉，这清楚地显示了内反射。1 2 3 4 5 6 7升-16-14-12-10-8.-6.-4日志2ZlGS公司估计回归图6：Clarl Cameron SDE，f（u，s）=u+，Giles-Szpruch方案的方差（y轴对数标度）作为l（x轴）的函数。这里，为实现^YGSMLMC、^ygsml2r和^YGS分配一个值f或（β，c）-NVMLMC分别使用（4.42）-（4.43），（4.44）到（4.46），d（4.29）到（4.34）可能不方便。我们建议采用以下注释中描述的数值程序来实现多级估计器。备注4.5在Clark Cameron SDEu=1、U=0、S=0且为实现平稳支付的情况下，一切都按照预期进行，但在某些情况下（见Heston模型或Clark Cameron SDE，具有较大u）估计（β，c）可能会有困难，尤其是当达到一个水平的理论收敛速度时≥ 2这可能会影响多层次方法的效率。为了解决这个问题，一个合理的标准是比较“l”和最后一个水平*（）。如果我*（）<\'l，我们决定使用回归得到的值，并使用通常的公式来计算（M*l） 0个≤L≤L*对于这两种方法。如果我*() ≥l，我们估计Zl对于l∈0, . . . ,\'\'l使用标准蒙特卡罗方法。那么，我们近似∈\'l+1，L*, 五、Zl由2β（l-l）V，其中VhZ和β的估计是方差收敛的理论顺序。最后，我们计算M*l或l∈ {0，…，L*}使用（4.10）。关于多级Richardson-Romberg估计量，我们不建议在这种情况下使用它。在我们的第二个实验中，Giles-Szpruch方案似乎只是有问题。