矩阵值因子模型的长期最优投资

2022-5-21 15:33:29

矩阵值因子模型Scott ROBERTSON和HAO XINGAbstract的长期最优投资。研究了具有矩阵值状态变量的因子模型中的长期最优投资问题。获得了明确的参数限制，对于等弹性投资者，随着投资期限的接近，有限期价值函数和最优策略将收敛到其长期对应项。这种融合还产生了一般公用事业的投资组合收费标准。通过使用关于半线性偏微分方程大时间行为的结果，我们的分析将Wishart过程驱动投资机会的a ffene模型扩展到了非a ffene环境。此外，在a ffine设置中，构建了一个示例，其中valuefunction不是指数函数，与具有向量值状态变量的模型相比。当投资机会随机且市场不完全时，投资组合选择问题中的最优策略很少采用明确形式s。困难的主要来源是套期保值需求严重依赖于投资期限。这一困难激发了近似的最优策略，并且通过考虑长期运行限制，出现了一个有用的近似值。这种近似使最优策略具有可操作性，并阐明了投资者偏好、潜在经济因素和动态资产需求之间的关系。

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2022-5-21 15:33:33

长期近似通常有两种形式：第一，长期最优投资或风险敏感控制问题旨在确定等弹性公用事业的增长优化政策；其次，portfolioturnpike问题寻求将一般公用事业的最优政策与相应的等弹性公用事业的最优政策联系起来。本文在一个多资产因素模型中研究了长期最优投资和投资组合收费公路问题，其中状态变量取正定义空间中的值。这些模型推广了Wishart模型[8，27]（以及许多其他模型），该模型已成功应用于数学金融领域的广泛问题。除了确定最佳的长期政策和巡回收费公路项目外，我们还特别关注将有限期和长期问题联系起来。在这里，目标是提供条件，使有限期的最佳政策与其长期对应政策趋同。这个方向上的积极结果对于验证长期分析是必要的。虽然启发法表明了趋同，但从技术角度来看，长期政策是否会作为有限期政策的限制而出现尚不明确。对于等弹性效用，风险敏感控制或长期最优投资，问题旨在使预期效用增长率最大化。许多作者已经解决了这个问题：日期：2018年1月21日。关键词和短语。投资组合选择、长期、风险敏感控制、投资组合收费公路、Wishart流程。2矩阵值因子模型的长期最优投资，例如，[5、6、4、17、18、35、16、39、13、23、26]。在这些研究中，分析了一个遍历的Hamilton-JacobiBellman（HJB）方程。

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2022-5-21 15:33:36

该遍历方程通常通过启发式推理获得，其中首先推导出有限水平HJB方程，然后推测在长水平上（约化）值函数分解为空间分量和时间增长分量之和。因此，如果v（T，·）表示有限水平值函数，则长运行值函数的形式为λT+v（·）。然后遍历HJB方程通过将后一个函数替换为有限水平HJB方程。上述启发式推导表明，有限期和无限期最优投资问题在许多方面是平行的。最重要的是将这两类问题联系起来。随着投资期限T的接近，期限价值函数v（T，·）是否会收敛到其长期模拟值λT+v（·）？如果是，在什么意义上？有限期问题的最优策略是否收敛到长期极限？如前所述，对这些问题的肯定回答验证了风险敏感控制研究的直觉，并提供了有限期和长期问题之间的一致性。远离等弹性情形，投资组合收费公路为一般效用函数的最优策略提供了另一种近似。从定性上讲，收费公路定理表明，在成长型市场（即无风险资产趋于成熟的市场）中，随着投资范围变大，一般公用事业的最优交易策略在任何有限的时间窗口内都会收敛到其等弹性对应物的最优交易策略（有关“对应物”的精确公式，请参见假设2.8）。

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2022-5-21 15:33:39

[38]首先研究了具有良好风险承受能力的公用事业的收费公路定理，并对其进行了广泛研究：特别是我们提到了[36、44、25、30、10、32、29、15、14]，其中收费公路定理在不同的通用性水平上得到了改进。对于风险敏感控制和收费公路近似，我们分别在报表2.7和2.10中总结了有限期和长期期问题之间的关系。这些声明的验证使具有长期视野的投资者能够用明确的长期近似值代替其最优但隐含的策略，从而将其财富和效用的损失降到最低，同时提供相当大的可处理性。报表2.7和2.10中的每一项都已在一个因子模型中得到证明，该模型具有单变量状态变量以及可对冲和不可对冲冲击的恒定相关性。本文将这些结果扩展到一个多变量设置，该设置允许统计利率、波动率和相关性。在此，在我们的主要结果、命题3.2和定理3.10、3.12中，我们根据陈述2.7和2.10所持的模型系数提供了明确的参数假设。如前所述，我们关注一个f因子模型，其中状态变量为矩阵值。这是通过考虑Wishart过程（参见[7]和下面的示例2.4）实现的，该过程已应用于期权定价（参见[20、21、11、12]）。[8]率先将其应用于投资组合优化，强调了多元状态变量对套期保值需求的影响。特别是，使用实际相关参数，其中第B.3节中的数值示例表明，当投资期限超过5年时，套期保值需求收敛到稳态水平。我们的结果证实了这一观察结果。

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2022-5-21 15:33:43

在[27]中，投资组合优化问题通过矩阵Riccati微分方程在Wishart情况下求解。在[2]中，研究了对数效用，并在[42]中讨论了不同定价。矩阵值因子模型的长期最优投资3与上述利用Wishart过程的有效结构的结果相比，我们的结果依赖于梯度中具有二次非线性的偏微分方程的大时间渐近分析。使用【43】中开发的技术，我们能够考虑非有效模型，因此可以讨论一般矩阵值状态变量，如第2.1节所述。此外，可以处理状态变量和风险资产之间的随机相关性，因此需要一个特殊的（恒定的）相关性结构来确保该结构。此外，当我们的分析应用于a ffne模型时，产生了新的见解：我们构建了一个反例（例3.4），以证明长期以来的信念，即最优政策在a ffne模型中是有效的。实际上，本例中的模型是一个函数，但相关的值函数不是指数函数，因此最优策略不是一个函数。当状态变量的维数大于风险资产的数目时，就会发生这种情况，这是由于矩阵产品的非单调性。论文组织如下：在第2节介绍了模型和报表2.7和2.10之后，第3节介绍了主要结果。为了便于说明，一般结果首先是在状态变量遵循第3.1节中的Wishart过程时指定的。在这里，投资模型可能有效，也可能无效，这取决于资产漂移和协方差。

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2022-5-21 15:33:46

命题3。2提供了简单、温和的参数限制（尤其是在投资者风险厌恶程度超过alogarithmic投资者的情况下），主要结果如下。当模型进一步指定为[8，27]中考虑的“经典”Wishart模型时，Proposition 3.3明确确定了长期限额政策，示例3.4构建了非指数反例。在考虑Wishart情况后，第3.2节给出了一般矩阵值状态变量的主要结果：长期极限结果见定理3.10，收费公路结果见定理3.12。所有的证明都推迟到附录A、B和C。最后，我们总结了本文中使用的几种符号：oMd×kde表示d×k矩阵的空间，其中Md：=Md×d。对于x∈ Md×k，用x′表示x的转置。对于x∈ Md，用Tr（x）表示x的轨迹，kxk=pTr（x′x）。Forx，y∈ Md，x和y的克罗内克积用x表示 Y∈ Md.用1 Md中的身份矩阵和1每个分量的d维向量表示Sd表示d×d对称矩阵的空间，Sd++表示正定义矩阵的锥。对于x∈ Sd++，表示为√x唯一元素y∈ Sd++使得y=x。对于x，y∈ Sd++，x≥ x时为y- y为正半定义。o对于E Md×k，F Mm×n和γ∈ （0，1），用C表示l,γ（E；F）的空间l 从E到F的时间连续可微函数，其阶导数高达l 指数γ为2的局部H¨older连续。设置upLet(Ohm, （Ft）t≥0，F，P）是具有（Ft）t的过滤概率空间≥0a右侧连续过滤。在【22】中进行处理后，所有可忽略的N组（参见【3，定义1.3.23】和【40】）都包含在F中。

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kedemingshi

2022-5-21 15:33:50

对于所有的≥ 0，即(Ohm, （英尺）0≤T≤T、 FT，P）满足通常条件。考虑一个具有一项无风险资产和n项风险资产（S，…，Sn）的财务模型。投资机会由Sd++值的状态变量X驱动。在写下矩阵值因子模型中4项长期最优投资的动态之前，有必要引入状态变量X，因为X的动态涉及矩阵表示法。2.1。一个Sd++值的状态变量。设B=（Bij）i，j=1，。。。上的一个Md值布朗运动(Ohm, （Ft）t≥0，F，P）。状态变量X具有动力学（2.1）dXt=b（Xt）dt+F（Xt）dBtG（Xt）+G（Xt）′dB′tF（Xt）′，X∈ Sd++。这里，b∈ C1、γ（Sd++；Sd）和F、G∈ C2、γ（Sd++；Md）是给定的函数。我们需要b、F、G来证明X具有唯一的非爆炸性stron G溶液，即PxhXt∈ Sd++， T≥ 0i=1，对于所有x∈ Sd++，其中px是X=X a.s.的概率。。为了通过对b、F和G的限制来强制执行该要求，使用了结果和符号[37]。即定义（2.2）f（x）：=f f′（x）和g（x）：=g′g（x），x∈ Sd++。接下来，给定b，f，g:Sd++→ Sdandδ∈ R、定义Hδ：Sd++→ R通过（2.3）Hδ（x；b）：=Trb x-1.- （1+δ）Tr外汇-1gx-1.- Tr公司f x-1.Tr公司g x-1., 十、∈ Sd++。这里，我们省略了b、f、g中的函数参数，但t明确地确定了Hδ中的d riftfunction b，因为在续集中，Hδ将与各种b一起使用。要理解Hδ，请注意，如果（2.1）中的X有一个满足（2.1）的强解，那么它的o\'s公式意味着log（det（Xt））的动力学漂移是H（Xt；b）。因此，以下假设确保（2.1）中的X既不是范数爆炸，也没有退化确定性，因此具有唯一的全局强解（Xt）t∈Sd++上的R+，cf。

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2022-5-21 15:33:53

[37，定理3.4]。假设2.1。i） G′ F和b是局部Lipschitz和线性增长。ii）infx∈Sd++H（x；b）>-∞.备注2.2。使用【28，第4.2节】进行的直接计算表明，kg′ F（x）- G′ F（y）k≤ 2.kG（x）kkF（x）- F（y）k+kF（y）kkG（x）- G（y）k,千克\' F（x）k=kF（x）kkG（x）k=Tr（F）Tr（g），对于x，y∈ Sd++。因此，G′F将是局部Lipschitz，并且一旦F和G是局部L ipschitz和KF（x）kkG（x）k，则F将是线性增长的≤ C（1+kxk）或等效，如果Tr（f）Tr（g）≤ C（1+kxk）。假设2.1建立了（2.1）的适定性。下一个假设意味着X的波动性在Sd++内部是非退化的。假设2.3。对于每个x∈ Sd++，f（x）>0，g（x）>0。实际上，请注意（2.1）是以下g系统的简写：dXijt=bij（Xt）dt+dXk，l=1F（Xt）ikdBkltG（Xt）lj+dXk，l=1F（Xt）jkdBkltG（Xt）li，i，j=1。。。，d、矩阵值因子模型5的长期最优投资，对于i，j=1。。。，确定矩阵aij:Sd++→ Mdbyaijkl（x）：=（FikGlj+FjkGli）（x），k，l=1。。。，d、 x个∈ Sd++。然后，上述系统采用dxijt=bij（Xt）dt+Tr的形式aij（Xt）dB′t.然后[43，引理5.1]表明，在假设2.3下，对于任何x∈ Sd++和θ∈ Sd，（2.4）dXi，j，k，l=1θijTraij（akl）\'（x） θkl=4Tr（f（x）θg（x）θ）≥ c（x）kθk，对于某些常数c（x）>0。示例2.4。要记住的主要示例是，当X是Wishart进程时，请参见[7]：（2.5）dXt=LL′+KXt+XtK′dt+pXtdBt∧′+dB′tpXt，其中K，L，∧∈ Md.那么当（2.6）LL′时，假设2.1和2.3均满足≥ （d+1）∧∧′>0。实际上，这里b（x）=LL′+Kx+xK′，f（x）=x，d g（x）=∧∧′。使用备注2.2得出b，G′F是局部Lipschitz和线性增长。此外，计算表明，H（x；b）=Tr（LL′）- （d+1）∧∧′x-1.+2Tr（K）。因此，（2.6）中的第一个不等式意味着H（x；b）≥ Sd++上的2Tr（K），假设2.1成立。

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nandehutu2022

2022-5-21 15:33:57

假设2.3很容易遵循（2.6）中的第二个不等式。2.2。财务模型。有了固定的符号和状态变量的适定性，我们现在可以定义财务模型。如上所述，有一个无风险资产和n个风险资产（S，…，Sn），其动态由dstst=r（Xt）dt，S=1，（2.7）dSitSit=（r（Xt）+ui（Xt））dt+mXj=1σij（Xt）dZjt，Si>0，i=1。。。，n、（2.8）此处，r∈ Cγ（Sd++；R），u∈ C1，γ（Sd++；Rn），σ∈ C2，γ（Sd++；Mn×m）和Z=（Z，…，Zm）是一个rm值布朗运动。σ是满秩的，以及风险市场价格的存在，即ν：Sd++→ Rn这样，通过以下假设，可以确保Sd++上的u=σ′ν：假设2.5。i）当m>n时，∑（x）：=σσ′（x）>0表示x∈ Sd++。则ν：=∑-1u。ii）当m<n时，x的σ′σ（x）>0∈ Sd++存在ν∈ C1，γ（Sd++；Rn），使得u=∑ν。iii）当m=n时，x的∑（x）>0∈ Sd++和σ=√∑。这里，ν=∑-1u。为了考虑资产回报和状态变量之间潜在的随机瞬时相关性，我们根据驱动X的布朗运动B和独立的rm值布朗运动W来定义Z。具体来说，让C∈ C2、γ（Sd++；Mm×d）和ρ∈ C2，γ（Sd++；Rd）是矩阵值因子模型中的长期最优投资方案2.6。ρ′ρ（x）CC′（x）≤ 每x 1∈ Sd++。集合D：=√M-ρ′ρCC′∈ C2，γ（Sd++；Sd）。我们可以通过（2.9）Zjt来定义Z：=dXk，l=1ZtCjk（Xu）dBkluρl（Xu）+mXk=1ZtDjk（Xu）dWku，t≥ 0，j=1。。。，m、通过构造，Z是m维布朗运动。此外，对于1，Z和B之间的瞬时相关性为dhZj，Bklit=Cjk（Xt）ρl（Xt）dt≤ J≤ m、 1个≤ k、 l≤ d、特别是，当m=d，C=1和ρ∈ Rdis常数，dhZi，Bjlit=δijρldt，其中δij=1表示i=j，其他为0。[8、27、2、42]中假设了这种特殊的相关结构。

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何人来此

2022-5-21 15:34:00

这里，矩阵C引入了一般的相关结构，并允许其依赖于状态变量X.2.3。最优投资问题。考虑一个投资者，其偏好由概率函数U:R描述+→ 严格递增、严格凹、连续变化且满足INDA条件U′（0）=∞ 和U′(∞) = 特别是，我们特别关注具有恒定相对风险厌恶（此后CRRA）U（x）=xp/p的实用程序，0 6=p<1。从初始资本开始，该投资者在市场上交易，直到时间范围T∈ R+。她把自己财富的一部分（πt）t≤Tinto将风险资产和剩余部分转换为无风险资产。考虑到她的策略π，（2.7）和（2.8）中的价格动态意味着财富过程wπ具有动态（2.10）dWπtWπt=（r（Xt）+π′t∑（Xt）ν（Xt））dt+π′tσ（Xt）dZt。容许策略集是那些π是F适应的，并且使得Px[Wπt>0，T≤ T]=1表示所有x∈ Sd++。在下面的（A.1）中，构造了正s超鞅M，使得M Wπ是任何可容许策略π的一个超鞅。在存在这种超鞅定义的情况下，套利被排除在模型之外（参见[33]）。投资者通过选择可接受的策略，即（2.11）e[U（WπT）]，寻求最大化其终端财富在T的预期效用→ Max.在本节的其余部分，我们将重点讨论CRR的最优投资问题，并通过启发式参数推导出相关的HJB方程。为此，通过（2.12）supπ容许值确定函数v的（减少）值p（WπT）pWt=w，Xt=x=pwpev（T-t、 x），0≤ T≤ T、 w>0，x∈ Sd++。将L设置为（2.1）的最小生成器：（2.13）L：=dXi，j，k，L=1Traij（akl）\'D（ij），（kl）+dXi，j=1bijD（ij），矩阵值因子模型中的长期最优投资7，其中D（ij）=xijand D（ij），（kl）=xijxkl。

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大多数88

2022-5-21 15:34:04

标准动态规划参数为v提供了以下HJB公式：tv=Lv+dXi，j，k，l=1D（ij）vTraij（akl）\'D（kl）v+pr+supπpπ′∑ν+dXi，j=1σCaijρD（ij）v+p（p- 1） π′∑π, t>0，x∈ Sd++，0=v（0，x），x∈ Sd++。（2.14）前面方程中的op-timizerπ可以逐点获得，并由（2.15）π（t，x；v）给出：=1.-p∑-1.∑ν+Pdi，j=1σCaijρD（ij）v（t，x），m>n1-pσ（σ′σ）-1.σ′ν+Pdi，j=1CaijρD（ij）v（t，x），m≤ n、 t>0，x∈ Sd++。定义q：=p/（p- 1）作为p和函数Θ：Sd的共轭++→ Sd++通过（2.16）Θ（x）：=σ′∑-1σ（x）m>nmm≤ n、 x个∈ Sd++。将（2.15）中的π公式插入（2.14）中，经过长时间的计算，得出了v的以下半线性Cauchy问题：vt（t，x）=F[v]（t，x），0<t，x∈ Sd++，v（0，x）=0，x∈ Sd++。（2.17）这里，微分算子F定义为（2.18）F：=dXi，j，k，l=1A（ij），（kl）D（ij），（kl）+dXi，j=1'bijD（ij）+dXi，j，k，l=1D（ij）'A（ij），（kl）D（kl）+V，带A（ij），（kl）（x）：=Traij（akl）\'（x），\'A（ij），（kl）（x）：=Traij（akl）\'（十）- qρ′（aij）′C′Caklρ（x），\'bij（x）：=bij（x）- qν′σCaijρ（x），V（x）：=pr（x）-qν′∑ν（x），i，j，k，l=1。。。，d、 x个∈ Sd++。（2.19）注意，πin（2.15）和F in（2.18）根据m>n或m采取不同的形式≤ n（两种形式在m=n时重合），使用L f的定义，从（2.13）我们得到（2.20）f=L- qdXi，j=1ν′σCaijρD（ij）+dXi，j，k，l=1D（ij）(R)A（ij），（kl）D（kl）+V。在第3节中，在适当的参数假设下，证明了（2.17）的适定性，并证明了（2.17）的解V，在适当的增长约束下，是（2.12）中矩阵值因子模型的长期最优投资。此外，（2.12）的最优策略由（2.21）πTt：=π（T）给出- t、 Xt；v），0≤ T≤ T、对于π（·，·；v），从（2.15）。2.4。长期收敛。

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2022-5-21 15:34:07

如导言所述，本文关注最优投资问题的大时间行为。CRRAinvestor的这种行为与（2.17）的遍历模拟密切相关，由λ=F[v]（x），x给出∈ Sd++。（2.22）将（2.22）的解定义为一对（λ，v），其中λ∈ R和v∈ C（Sd++；R），满足（2.22）。因为F[v]只依赖于v的导数，所以溶液中的v只能在加和常数下确定。特别是，我们对最小λ感兴趣，使得（2.22）允许一个解。在长期最优投资和风险敏感控制问题的研究中，当状态变量为E Rd，在适当的限制条件下【31，23】，存在一个最小的^λ，例如（2.22）有一个解^v，因此考虑增长率的候选缩减长期值函数为^λT+^v（x）。候选长期最优策略为（2.23）^πt：=π（Xt；^v），t≥ 0，其中π（·；^v）来自（2.15），v替换为没有时间参数的^v。现在，当状态变量是矩阵值时，下面的命题3.9确定了这种（λ，v）的存在性。比较有限和长期问题，我们有兴趣证明以下说法：声明2.7（长期收敛）。i）定义h（T，x）：=v（T，x）-^λT- ^v（x），对于T≥ 0和x∈ Sd++。然后（T，·）→ C和h（T，·）→ C（Sd++）中的0，作为T→ ∞.这里C是一个常数， = （D（ij））1≤i、 j≤对于梯度算子，C（Sd++）中的d收敛表示Sd++中的局部一致收敛。ii）作为x的函数∈ Sd++有限期策略与长期对应策略（即limT）趋同→∞π（T，·；v）=C（Sd++）中的π（·；^v）。iii）让πTand^π如（2.21）和（2.23）所示。设wt和^W分别是从初始资本W开始采用π和^π的财富过程。

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2022-5-21 15:34:10

那么对于所有x∈ Sd++和所有t≥ 0：像素- 限制→∞sup0≤U≤TWTu^Wu- 1.= 0，（2.24）像素- 限制→∞Zt（πTu- ^πu）′∑（Xu）（πTu- ^πu）du=0。（2.25）此处为Px- lim代表聚合能力Px。在声明2.7中，i）声称有限地平线p问题的约化值函数收敛于其有限地平线对应物；此外，ii）表明有限期最优策略也以反馈形式收敛到短视的长期极限。除这些分析结果外，iii）概率收敛状态：即矩阵值因子模型9中的最优财富过程长期最优投资与最优策略之间的距离之间的比率，当在有限时间窗口[0，t]中测量时，概率收敛为零。因此，当报表2.7成立时，具有长期视野的CRRA投资者可以稍微修改其最优策略πTto^π，在投资期开始时，并导致财富和效用的最大损失。事实上，在适当的参数假设下，语句2。当状态变量为R值且d与风险集具有常数相关性时，在[22]中证明了7。在下面的第3节中，我们将在矩阵设置中验证语句2.7。2.5。俄勒姆高速公路。为了说明收费公路的结果，我们考虑了两个投资者：第一个是关于满足第2.3节开头条件的一般效用函数u的投资者；第二个投资者的CRRA效用U（x）=xp/p为0 6=p<1。这两个投资者通过其边际效用U′（x）/xp的比率联系在一起-1根据以下假设：假设2.8。R（x）：=U′（x）/xp-由此得出（2.26）limx↑∞R（x）=1。假设2.8确保两位投资者对大型财富的偏好相似。下一个假设确保了第2.2节中描述的市场随着时间的推移而增长。假设2.9。

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2022-5-21 15:34:14

对于（2.7）中的r（x），存在常数0<r<r，因此r≤ r（x）≤ 所有x的r∈ Sd++。为了呈现收费公路结果，对于具有一般效用U的投资者，设定π1，Tas为（2.11）的最优策略，W1，Tas为从初始财富w开始的相关最优财富过程。我们有兴趣证明收费公路理论：报表2.10（收费公路理论）。对于所有x∈ Sd++和所有t≥ 0，像素- 限制→∞supu公司≤TW1，Tu^Wu- 1.= 0，（2.27）像素- 限制→∞Zt公司π1，Tu- ^πu′∑（Xu）π1，Tu- ^πudu=0，（2.28），其中^π来自（2.23），而^W是从W开始，然后是^π的财富过程。上述t趋同表明，当在有限时间窗口内衡量时，一般投资者的最佳财富过程与CRRAinvestor的长期财富过程的比率在概率上一致接近1，因为期限变大。第二次趋同背后的信息是，随着时间跨度变长，一般公用事业投资者的最佳投资策略接近CRRA投资者的长期限额策略。使用[22]中的术语，这种结果被称为“显式”tur npike，其中陈述2.10在具有R值状态变量和常数相关性的因子模型中得到证明。在下面的第3节中，我们将把这个结果推广到状态变量为矩阵值时。这里排除了对数效用情形，因为【22，命题2.5】已经表明收费公路理论应在一般半鞅设置中，包括当前情形。10矩阵值因子模型的长期最优投资标记2.11。报表2.7和2.10不适用于具有矩阵值状态变量的模型。如引言所述，证实这些陈述的主要技术是【43】中（2.14）的大时间渐近分析。

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2022-5-21 15:34:17

特别是，在[43，第2节]中介绍了一个一般框架，其中获得了一般状态空间E的收敛结果（参见其中的定理2.9和2.11）。其中的主要信息是，当存在两个“Lyapunov”函数φ和ψ并满足适当的假设时，则所需的收敛结果成立。在指定状态空间时，φ和ψ的假设转化为明确的参数限制。特别是，当状态空间为Rd时，这些参数限制在【43，第3.1节】中给出。因此，在这种情况下，对语句2.7和2.10的证明遵循与矩阵情况基本相同的推理路线，事实上更为简单。3、主要结果3。（广义）Wishart因子模型。在第2.1节中给出一般矩阵设置的结果之前，让我们强调一下示例2.4中的情况，即en X是Wishart过程。我们将第2.2节中的财务模型规定为：m=d，C（x）=1d，d（x）=p1- ρ′ρ（x）1d，r（x）=r+Tr（rx），σ（x）=ζ（x）√x、 u（x）=ζ（x）xζ′（x）ν（x）；对于x∈ Sd++，其中r∈ R和R∈ Md.我们假设ν∈ C1，γ（Sd++；Rn），ζ∈ C2、γ（Sd++；Mn×d）和ρ∈ C2，γ（Sd++；Rd）都是有界函数和supx∈Sd++ρ′ρ（x）<1。当这些函数不是常数时，与[8、27、2、42]相反，前面的模型不是一个函数。对于给定σ，假设2.5采用形式假设3.1。i）当d>n时，x的ζζ′（x）>0∈ Sd++。ii）当d<n时，x的ζ′ζ（x）>0∈ Sd++。iii）当d=n时，对于x，ζ（x）=ζ′（x）>0∈ Sd++。以下命题在明确的参数限制下验证了当前模型中的陈述2.7和2.10。命题3.2的证明见附录C命题3.2。假设3.1成立。

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2022-5-21 15:34:20

假设以下参数限制：i）LL′>（d+1）∧∧′>0。ii）当p<0时，rsatis fies r+r≥ 0且存在>0，使得-p（r+r′）+qζ′νν′ζ（x）≥ 1d，x∈ Sd++；或（K- q∧ρν′ζ）（x）+（K- q∧ρν′ζ′（x）≤ -1d，x∈ Sd++。iii）当0<p<1时，存在>0，使得（K- q∧ρν′ζ）（x）+（K- q∧ρν′ζ′（x）≤ -1d，x∈ Sd++；和（3.1）>8（1- q）√d Tr∧∧′型supx公司∈Sd公司++p（r+r′）- qζ′νν′ζ（x）.矩阵值因子模型的长期最优投资11然后，报表2.7中的长期收敛结果成立。此外，当r=0时，语句2.10中的Turnpike定理适用于满足假设2.8的所有效用函数U。在前面的参数限制中，第i部分）略强于适定性条件（2.6）。p<0病例的限制是轻微的。当r+r′>0时，它如下-p（r+r′）+qσ′νν′σ（x）≥ 自qζ′ν′ζ起，对于某些>0≥ 因此，第二部分）成立。当r+r′为非负但可能退化时，考虑一个（广义）Wishart进程x和dynamicsdXt=LL′+K（Xt）Xt+XtK（Xt）′dt+qXtdBt∧′+dB′tqXt，其中K（x）：=K- q∧ρν′ζ（x）。然后我们要求X是均值回复，以验证第二部分）。当0<p<1时，我们要求均值回复力足够强。在这种情况下，（3.1）是必要的，因为电势V（x）=pr+pTr（rx）-qν′ζ（x）xζ（x）′ν=pr+Trx（p（r+r′）- qζ′νν′ζ（x））,如果在Sd++.3.1.1上从上方进行ormly绑定，则可能不为un。一个明确的长期最优策略和一个反例。我们现在关注“经典”Wish-art模型，其中前一节中的ρ、ν和ζ是分别取Rd、Rnand Mn×d值的常数。这里，可以证明，如果Wishart过程的维数d小于或等于风险资产的数量n，则解v到（2.22），且λ最小，是x的一个函数：即。

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2022-5-21 15:34:24

对于满足以下（3.3）中给出的R-iccati方程的对称矩阵^mS，直到加性常数，^v（x）=Tr（^Mx）。然而，令人惊讶的是，如果d>n，则^v可能不是a ffene，因此（2.23）中的^π也不是a ffene。这是由于矩阵积的非交换性质。为了简化表述，我们假设p<0，r+r′>0。因此，如果LL′>（d+1）∧∧′>0且常数矩阵ζ满足假设3.1，则命题3.2遵循。我们考虑由（3.2）v（x）=Tr（M x），M=M′给出的（2.22）的候选解。首先，当d≤ n：提案3.3。假设d≤ n和ρ，ν，ζ是常数。设ζ满足假设3.1，且假设p<0，r+r′>0，LL′>（d+1）∧∧′>0。考虑以下矩阵Riccati方程，单位为M：（3.3）0=2M∧（1- qρρ′）∧′M+（K- q∧ρν′ζ）′M+M（K- q∧ρν′ζ）+p（r+r′）- qζ′νν′ζ.存在唯一的^M∈ SDE解算（3.3），使得（λ，v），λ=Tr（LL′M）+prand^v（x）=Tr（^Mx），解算（2.22），且λ是伴随v的最小λ。该SDE允许唯一的全局强解x。这是因为H（x；b）≥ 2TrK（x）由于ρ、ν和ζ在Sd++上的有界性假设，它从下面统一了。因此，存在性源自【37，定理3.4】。我们可以假设M=M′，而不损失一般性，因为x∈ Sd++意味着Tr（Mx）=Tr（M′x）=（1/2）Tr（（M+M′）x）。12矩阵值因子模型的长期最优投资接下来在d>n的情况下给出了一个反例，说明（λ，v）到（2.22）的解不能是（3.2）中的唯一形式。然而，命题3.2仍然保证了（2.22）解的存在。示例3.4。取n=1，d=2，∧=1，L=l1用于l >√3，K=1，C=1，ζ=1 0, ν=ν∈ R、 ρ=ρ1 1′对于0<2ρ<1，r>0，r=r或r>0。（3.4）考虑（3.2）中的函数v。

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2022-5-21 15:34:28

编写泛型元素X∈ Sd++和矩阵M为（3.5）X=X yy z！，x、 z>0，y<xz，M=毫米！，我们得到∑（X）=ζXζ′=X>0，因此假设3.1成立。Fur thermore，LL\'- 3∧∧’=(l- 3） 1>0，对于p<0，-p（r+r′）+qζ′νν′ζ（x）≥ -2pr>0。因此，建议3.2的假设适用于p<0。冗长的计算表明（参见附录B中的L emma B.2）F[v]=x2（米+米）- 2qρ（M+M）+2M-2qρν（M+M）+pr-qν+ Y4M（M+M）- 4qρ（M+M）（M+M）+4M- 2qρν（M+M）+ Z2（M+M）+2M+pr+yx公司-2qρ（M+M）+ pr+l（M+M）。（3.6）从下面引理B.1的（B.4）中可以看出，在评估“Afrom”（2.19）时，出现了问题项y/x，因为对于d>n：（3.7）√XΘ（X）√X=Xζ′（ζXζ′）-1ζX=xX！1 0X=X yyyx！；然而，对于任意模型系数，如果d≤ n那么√XΘ（X）√X=X。因此，对于某个常数λ，如果F[v]=λ，则（3.6）中X，y，z，y/X的每个系数必须等于零。通过考虑y/x，可以得出M+M=0。将其插入y的系数中，得到M=0，因此M=0。那么z为零的系数产生0=pra矛盾，因为r>0。因此，函数^v不能是一个函数。3.2。一般状态变量。我们现在考虑一般情况，当X h为（2.1）中的动力学时，除了上述正则性限制外，模型系数满足假设2.1和2.3。如前一节所述，目标是根据模型系数提供条件，在该条件下，报表2.7和2.10适用。为了列出系数假设，假设f、g如（2.2）所示，b、V如（2.18）所示，并从（2.3）中调用Hδ（x；b）。下面的假设3.5给出了一些主要收敛结果适用的限制条件。虽然下面的列表很长，但可以很容易地检查特定的兴趣模型。矩阵值因子模型中的长期最优投资13假设3.5。

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2022-5-21 15:34:31

存在n>0，因此kxk保持以下状态≥ n： 1）“b最多呈线性增长。2）存在α>0，因此Tr（f（x））Tr（g（x））≤ αkxk。3） T存在β∈ R、 C>0，以便Tr\'b（x）\'x≤ -βkxk+C.4）T此处存在γ，γ∈ R和C>0，以便-γkxk- C≤ V（x）≤ -γkxk+C。对于kxk，V（x）从上方均匀分布≤ n、 5）最大{γ，β}>0。此外，如果γ>0，β≤ 0，则存在α>0，C∈ R使Tr（f（x）xg（x）x）≥ αkxk- C、 ii）如果γ<0，β>0，则β+16καγ>0，其中α来自第2部分），当p<0时，κ=1，且κ=1- 当0<p<1时q。iii）如果γ≥ 0，β>0，则无需附加限制。存在ε，c，c>0，使得a）infx∈Sd++Hε（x；(R)b）>-∞ （注意：这里我们使用的是“b”，而不是（2.3）中的b）。B） lim infdet x↓0Hε（x；\'b）+堵塞（det x）> -∞ .C）边缘x↓0H（x；\'b）+cV（x）= ∞.备注3.6。当p<0且利率函数r（x）在Sd++（例如r（x））上有界时≥ 0），然后是γ≥ 0，因此是复杂的第5部分-ii）在假设中，不需要3.5。假设3.5中的参数限制与命题3中的参数限制具有类似的解释。2、事实上，考虑一个Sd++值的微分X，其动力学：（3.8）d'Xijt='bij（'Xt）dt+Traij（(R)Xt）dW′t, i、 j=1，··，d。与（2.1）相比，漂移被调整为“b”。给定的规律性假设和第1部分）和第2部分）意味着“X”的系数是局部Lipschitz系数，并且具有最多的线性增长。另一方面，由于（2.4）中的第二个不等式，Hδ在δ中减小。因此，A）部分意味着H（x；(R)b）在Sd++上从下方有界。因此，假设（3.8）中的2.1特定toX成立，【37，定理3.4】确保（3.8）具有唯一的全局强解。在假设3.5第3）部分和第4）部分中，如果β>0，则'X为均值回复，如果γ>0，则电势V衰减为-∞ 统一为kxk→ ∞. 因此，第5部分要求平均回复或衰减电位。

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kedemingshi

2022-5-21 15:34:35

如果两者都发生，则无需附加参数限制。然而，如果均值回归失败，我们要求A（x）在x方向上具有一致的椭圆度。如果γ<0，则在5-ii）在A的增长和简并之间，需要b的平均反射和V的增长。最后，假设3.5第B）部分和第C）部分是“X”的行列式较小时的限制条件。这两个假设有助于从上到下限制值函数v，确保v在边界{x附近是有限的∈ Sd++：状态空间的det（x）=0}。从技术角度来看，假设3.5有助于构建解决方案to（2.17）的上限。如【43，第3节】所示，（2.17）的适定性是在由φ（x）从上方（直到一个加性常数）限定的解之间建立的：=-clog（det（x））+c kxkη（kxk）+c，14矩阵值因子模型中的长期最优投资，其中选择c，c>0和c>0，以便φ对Sd++非负。这里，η∈ C∞（0，∞) acuto OFF函数是否满足0≤ η≤ 1，当x>n+2时，η（x）=1，对于给定的n，当x<n+1时，η（x）=0。假设3.5有助于验证第2.3节中的启发式论证：[43，命题2.5，2.7和定理3.9]证明命题3.7。假设2.3、2.5、2.6和3.5成立。然后存在唯一的解决方案v∈ C1,2（（0，∞) ×Sd++）∩ C（[0，∞) ×Sd++）到（2.17），这样SUP（t，x）∈[0，T]×Sd++（v（T，x）- φ（x））<∞, 对于每个T≥ 0.结合以下验证结果（其证明推迟到附录A），我们得出（2.12）中的优化问题对于任何水平T>0都是适定的。提案3.8。假设2.3、2.5、2.6和3.5成立。

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2022-5-21 15:34:40

那么对于命题3.7中的v和任何T>0，（2.12）成立，πTfrom（2.21）是（2.12）的最佳策略。上述参数假设也确保了（2.22）的适定性：[43，命题2.3和引理5.3]证明了命题3.9。假设2.3、2.5、2.6和3.5成立。存在（^λ，^v）解（2.22），使得^v是唯一的（直到加性常数），并且^λ是最小的λ，使得存在相应的v解（2.22）。我们现在准备陈述我们的第一个主要结果，其证明见附录C定理3.10。假设2.3、2.5、2.6和3.5成立。然后，长期结果稳定在2.7倍。为了说明投资组合收费公路的结果，我们需要做一个额外的假设，这是假设2.6：假设3.11的一部分。对于假设2.6中的ρ和C，对于所有x，ρ′ρCC′（x）<1m∈ Sd++。在前面的假设下，对于所有T>0的情况，不仅可以构造超级鞅定义（参见下面的（A.1）），还可以构造等价的局部鞅度量QT；i、 e.QTi等于F和e上的P-R·R（Xu）duS是[0，T]上的QTlocal鞅。这需要利用[34]中的双重结果来确定（2.11）的最优策略的存在性，以获得一般效用。我们现在准备陈述以下收费公路结果：定理3.12。假设2.1、2.3、2.5、3.5和3.11成立。然后收费公路定理2.10成立。附录A.命题证明3.8对于任何T>0，我们首先在[0，T]上定义了一类超可分解因子。

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nandehutu2022

2022-5-21 15:34:43

给定Md值处理η与RTKηukdu<∞ a、 s.，定义Mηvia（注：对于Sd++的函数g，我们将在矩阵值因子模型中为g（Xu）编写古龙术语最优投资15）：Mηt：=e-RtruduE公司Z-ν′uσuCudBuρu+TrηudB′u- ρ′uη′uC′uΘuCudBuρut×E-Zν′uσuDu+ρ′uη′uC′uΘuDudWu公司t、 =e-RtruduE公司ZdXk，l=1dBklu-（C′σ′ν）kρl+ηkl- （C′ΘCηρ）kρlUt×E-ZdXk=1dWku（D′σ′ν）k+（D′Cηρ）kUt、 t型≤ T、（A.1）如果随机指数确实是鞅，当η=0时，eR·ruduMη定义了最小鞅测度，请参见[19]。因此，我们称η为风险溢价。对于任何可容许策略π，MηWπ都是正超鞅。事实上，使用（2.9）、（2.10）和（A.1），零件随机积分公式表明，MηWπ的漂移具有以下被积函数（忽略函数参数和时间下标）：MηWπ′∑ν+σC-C′σ′νρ′+η- C′ΘCηρ′ρ- σDD′σ′ν+D′ΘCηρ=MηWππ′∑ν- σCC′ρ′ρ+DD′σ′ν+σCηρ- σCC′ρ′ρ+DD′ΘCηρ,=MηWππ′[σCηρ- σΘCηρ]，=0，其中第二个恒等式来自（CC′ρ′ρ+DD′）（x）=1，第三个恒等式适用于σΘ=σ。因此MηWπ是正局部鞅，因此是超鞅。在证明命题3.8之前，我们必须引入一些符号。对于固定φ∈ C（1,2），γ（（0，∞)（2.4）中系数的正则性假设和椭圆性假设确保了（A.2）Lφ，T-t： =dXi，j，k，l=1A（ij），（kl）D（ij），（kl）+dXi，j=1bij+dXk，l=1 A（ij），（kl）D（kl）φ（T- t、 ·）D（ij），t≤ T、有独特的解决方案Pφ，T，x十、∈Sd++参考文献[41]。当φ不依赖于t时，我们将写出Lφ，并将解表示为Pφ，x十、∈Sd++。Lφ，T的鞅问题-·如果坐标过程X没有到达任何X的T之前的边界Sd++，Pφ，T，X-a.s.，则是适定的∈ Sd++。

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2022-5-21 15:34:49

类似地，如果φ不依赖于时间，那么如果坐标过程在有限时间Pφ，x-a.s.内没有到达边界，则适定性就随之而来∈ Sd++。16矩阵值因子模型的长期最优投资对于给定φ，定义随机指数zφ，Tt：=eZ·dXk，l=1dBklu-q（C′σ′ν）kρl+dXi，j=1aijkl公司- q（C′ΘCaijρ）kρlD（ij）φ（T- u、徐）t×EZ·mXk=1dWku-q（D′σ′ν）k- qdXi，j=1（D′ΘCaijρ）kD（ij）φ（T- u、徐）t、 t型≤ T、（A.3）对于φ不取决于时间的情况，请将Zφ写为Zφ，并注意Zφ是为所有T定义的≥ 从第2.1节中重新调用，假设2.1确保了（2.1）的适定性。因此，（2.13）中L的鞅问题是适定的。现在如果Lφ，T的鞅问题-·也是适定的，从（[9，备注2.6]）可以看出，（A.3）右侧的第一个随机指数是[0，T]上的Px鞅。另一方面，由于X和W是Px独立的，因此从[33，引理4.8]可以看出，Zφ也是[0，T]上的Px鞅。因此，我们可以通过dPφ，T，x/dPx | FT=Zφ，TT来确定一个新的测量值Pφ，T，xon-FT。此外，Girsanov定理得出X hasgenerator Lφ，T-·在Pφ，T，x下，当φ没有时间变元且Lφ的鞅问题适定时，与上述相同的变元得出Zφ是[0]上的Px鞅，∞).因此，通过dPφ，x/dPx | FT=ZφT，T定义了新的测量值Pφ，xis≥ 注意，Pφ，xis一致定义为∨T≥0英尺。最后，我们回顾，如果X在Pφ下重复，并且存在不变概率测度，则Pφ是遍历的。备注A.1。从命题3.9中设置φ=^v，如果P^v，xis定义良好，则Girsanov定理与（2.8）和（A.3）一起得出P^v，x下s的以下动力学：dSitSit=r（Xt）+1- P∑ν+dXk，l=1σCaklρD（kl）^v（T- t、 Xt）dt+mXj=1σij（Xt）d^Zjt，i=1，n、式中，^Z是P^v，xBrownian运动。

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何人来此

2022-5-21 15:34:52

将前面的动力学与（2.23）中的^π进行比较，得出^π是对数投资者在P^v，x下的最优策略。因此，其相关的财富过程^W具有num'eraire性质，即，对于任何可容许财富过程W，W/W是P^v，x-超鞅。为了证明命题3.8，我们准备了以下两个引理，证明推迟到命题3.8的证明之后。引理A.2。假设2.3、2.5和2.6成立。设A和A如（2.19）所示。设定（A.4）κ=（1，0<p<11- q、 p<0，κ=（1- q、 0＜p＜11，p＜0。那么，对于所有x∈ Sd++和θ∈ Sd：（A.5）κdXi，j，k，l=1θijA（ij），（kl）（x）θkl≤dXi，j，k，l=1θijA（ij），（kl）（x）θkl≤ κdXi，j，k，l=1θijA（ij），（kl）（x）θkl。η的矩阵值因子模型17的长期最优投资∈ C（1,2），γ（（0，∞) ×Sd++，R），定义函数η：Sd++→ Mdvia（A.6）ηkl（t，x；φ）：=dXi，j=1aijklD（ij）φ（t，x），k，l=1。。。，d、 t型≥ 0，x∈ Sd++。定义ηTt：=η（T-t、 Xt；φ），t∈ [0，T]。当φ是命题3.7中的v（分别是命题3.9中的^v），则η（T- ·, X·；v）（分别为η（X·；^v））预计将是（2.12）双重问题（分别为其长期模拟）的最佳风险溢价。以下结果是证明命题3的关键。引理A.3。Letφ∈ C（1,2），γ（（0，∞)×Sd++，R）在（0，∞)×Sd+，其中F i定义为（2.18）。对于任何T≥ 0，设πt=π（t-t、 Xt；φ），ηt=η（t-t、 Xt；φ），对于t∈ [0，T]，设Wπ和mη分别为相关财富过程和超鞅deflicator。那么，以下恒等式成立：p log（WπT）- p log（Wπt）+φ（0，XT）- φ（T- t、 Xt）=日志Zφ，TT- 日志Zφ，Tt,q日志MηT- q log（Mηt）+（1- q）（φ（0，XT）- φ（T- t、 Xt））=日志Zφ，TT- 日志Zφ，Tt,（A.7）式中，Zφ，t在（A.3）中给出。利用引理A.2和A.3，现在给出命题3.8的证明。命题3.8的证明。注意，在（A.4）中，0<κ<κ对0<p<1和p<0都适用。

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2022-5-21 15:35:00

因此，[43，假设3.4]由假设2.3和引理A.2保证。此外，[43，假设3.5和3.6]正是此处的假设3.5。当[43，引理4.1]的假设得到验证时，Lv，T的鞅问题的适定性-·参见[43，L emma 4.1]。由于L的鞅问题也是适定的，因此在（A.3）之后的讨论中得出，zv是Px鞅。将引理A.3应用于v，则从（A.7）和v（0，x）=0得出（A.8）EWπTWπtP英尺= ev（T-t、 Xt）=EMηTMηtQ英尺1/(1-q），对于所有t≤ T、因此，π的最优性来自于[23，引理5]，并且（2.12）在之前的恒等式中得到了验证。引理A.2的证明。从（2.18）：dXi，j，k，l=1θijA（ij），（kl）（x）θkl=dXi，j，k，l=1θijTraij（akl）\'（x） θkl- qdXi，j，k，l=1θijρ′（aij）′C′Caklρθkl。通过Ykl确定矩阵Y：=Pdi，j=1aijklθij，对于k，l=1。。。，d、然后得出dxi，j，k，l=1θijρ′（aij）′C′Caklρθkl=ρ′Y′C′CYρ。我们声称（A.9）0≤ ρ′Y′C′CYρ≤ Tr公司Y Y′.18矩阵值因子模型中的长期最优投资考虑到这一f行为，再插入Y收益率（A.10）0≤dXi，j，k，l=1θijρ′（aij）′C′Caklρθkl≤dXi，j，k，l=1θijTraij（akl）\'（x） θkl。如果p<0，则q>0且（A.5）适用于κ=1- q和κ=1。如果0<p<1，则q<0，因此（A.5）适用于κ=1和κ=1- q、它仍有待显示（A.9）。当ρ（x）=0d，即所有元素均为0的d维向量时，很明显ρ′Y′C′CYρ=0和（A.9）成立。当ρ（x）6=0d时，从Θ开始≥ 0表示ρ′Y′C′CYρ≥ 0、另一方面，自施工以来≤ 1（见（2.16）），我们有ρ′Y′C′CYρ≤ ρ′Y′C′CYρ≤ρ′ρ′Y′Yρ=ρ′ρTrYρρ′Y′,其中第二个不等式通过假设2.6成立，并且C′C和CC′具有相同的特征值。注意，（1/ρ′ρ）ρρ′的特征值是1和0，Tr（NMN′）≤任意n的λ+，MTr（NN′）∈ MDA和M∈ 当eλ+，Mis为M的最大特征值时。

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nandehutu2022

2022-5-21 15:35:04

因此，（1/ρ′ρ）Tr（Yρρ′Y）≤ Tr（Y Y′）和（A.9）被确认，完成了证明。引理A.3的证明。证明类似于[24，引理B.3]。然而，由于我们在此处理半线性方程和矩阵值状态变量，因此计算中的符号差异非常明显，为清楚起见，我们将给出详细的证明。首先，setA：=p log（WπT）- p log（Wπt）+φ（0，XT）- φ（T- t、 Xt），B：=q日志MηT- q log（Mηt）+（1- q）（φ（0，XT）- φ（T- t、 Xt））。（A.11）（A.7）中的身份通过以下四个步骤进行验证。1）使用Wπin（2.10）、Mηin（A.1）的定义以及π、ηin（2.15）和（A.6）的定义来编写A=ZTtA1udu+dXk，l=1ZTtA2kludBklu+mXk=1ztta3kudu，B=ZTtB1udu+dXk，l=1ZTtB2kludBklu+mXk=1zttb3kudu，（A.12），其中A1，B1：[，T]×Sd++→ R、 A2，B2：[0，T]×Sd++→ Md和A3、B3：[0，T]×Sd++→ Rm。这些函数随时间变化，例如，A1u=A1（T- u、 Xu）。2）Ad d和减法dxk，l=1ZTtA2kludu+mXk=1ZTtA3kudu，dXk，l=1ZTtB2kludu+mXk=1ZTtB3kudu，（A.13）矩阵值因子模型19中的长期最优投资，分别位于A和B的右侧，以获得A=ZTtA1u+dXk，l=1A2klu+mXk=1A3kudu+对数（ZT）- 对数（Zt），B=ZTtB1u+dXk，l=1B2klu+mXk=1B3kudu+对数（~ZT）- 对数（▄Zt），其中z=EZdXk，l=1A2kludBklu+ZmXk=1A3kudWlu,Z=EZdXk，l=1B2kludBklu+ZmXk=1B3kudWku.（A.14）3）显示f或u≤ T和x∈ Sd++：A1+dXk，l=1A2kl+mXk=1A3k飞机（T- u、 x）=(-φt+F[φ]（t- u、 x）=0，B1+dXk，l=1B2kl公司+mXk=1B3k型（T- u、 x）=(-φt+F[φ]（t- u、 x）=0.4）表明Z=~Z=Zφ，T。然后结合上述四个步骤（A.7）进行验证。备注A.4。

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2022-5-21 15:35:08

为了便于记法，使用了以下约定：1）我们将从所有积分中省略积分器du和积分器du；2）我们将抑制争论（T-u、（徐）从所有功能；3）我们还将删除所有时间下标。因此，例如，我们将writef+g′dBρ+h′dW=ZTtf（T- u、徐）杜+ZTtg（T- u、 Xu）′dBuρ（Xu）+ZTth（T- u、徐）dWu。现在显示（A.7）中的第一个标识。利用ρ′ρCC′+DD′=1和Wπ在（2.10）中的动力学，It^o的公式给出（A.12），其中1=pr+pπ′∑ν-pπ′∑π- φt+Lφ，A2kl=p（C′σ′π）kρL+dXi，j=1aijklD（ij）φ，A3k=p（D′σ′π）k.（A.15）20矩阵值因子模型的长期最优投资当第二步从Z和▄Z的定义开始后，我们进入第三步。福鲁≤ T和x∈ Sd++，其结果如下：a1+dXk，l=1（A2kl）+mXk=1（A3k）=pr+pπ′∑ν-pπ′∑π- φt+Lφ+pπ′σCC′σ′πρ′ρ+pπ′dXi，j1σCaijρD（ij）φ+dXi，j，k，l=1D（ij）φTraij（akl）\'D（kl）φ+pπ′σDD′σ′π，=p（p- 1） π′∑π+pπ′∑ν+pπ′dXij=1σCaijρD（ij）φ+ 公关部- φt+Lφ+dXi，j，k，L=1D（ij）φTraij（akl）\'D（kl）φ。（A.16）上述包含πarep（p- 1） π′∑π+pπ′∑ν+dXi，j=1σCaijρD（ij）φ.使用（2.15），我们得到上一行中二次函数的以下表达式：-qν′∑ν- qdXi，j=1ν′σCaijρD（ij）φ-qdXi，j，k，l=1D（ij）φρ′（aij）′C′CaklρD（kl）φ，对于这两种情况，m≥ n或m<n。因此，将前面的表达式替换为（A.16），使用表达式A，V in（2.19）和F in（2.20）给出sa1+dXk，l=1（A2kl）+mXk=1（A3k）=pr-qν′∑ν- qdXi，j=1ν′σCaijρD（ij）φ-dXi，j，k，l=1D（ij）φρ′（aij）′C′CaklρD（kl）φ- φt+Lφ+dXi，j，k，L=1D（ij）φTraij（akl）\'D（kl）φ=- φt+Lφ- qdXi，j=1ν′σCaijρD（ij）φ+dXi，j，k，l=1D（ij）φ′A（ij），（kl）D（kl）φ+V=- φt+F[φ]=0，（A.17）矩阵值因子模型21的长期最优投资，完成第三步。最后一步，回顾（A.3）中Zφ，t的定义。

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