仔细检查弧长延拓的副产品BVP（25）的线性化，然后得出有关解路径行为的重要信息。此外，这些中间解决方案路径可用于确定差异阈值等。A、 2.1不满足SPP的平衡的稳定流形在上一节中，我们假设^X满足SPP，即dim es（^J）=n。接下来，我们将BVP（25）用于dim es（^J）=ns<n的情况。因此，我们假设^X是双曲线，dim Eu（^J）=nu，因此2n=ns+nu。此外，状态空间中的两个点x（n）ii是固定的，n- nsvectorsvi∈ R重新选择。然后，用于计算收敛到^Xbecomes˙X（t）=t F（X（t），u），t的稳定路径的相应BVP∈ [0，1]（29a）X（n）（0）=X（n）+（1- κ） （x（n）- x（n））+n-nsXi=1κivi（29b）Ohm>（^X- X（1））=0∈ Rnu（29c）带等级（x（n）- x（n））v··vn-ns系列= N- ns+1（29d）Ohm⊥ Es（^J）=0和Ohm ∈ R2n×nu。假设κj=0，j=0，…，的解Y（·），N- nsis已知。那么，式（29b）可以解释为我们沿着x（n）方向搜索解的条件- x（n）。此外，我们必须小心，让足够的自由，由29d保证，从稳定的歧管开始。A、 2.2差异阈值点的延续对于ρ>0且目标值有限的模型（1），给出了哈密顿量和目标值之间的有用关系【比照Michel，1982年】。然后，我们发现正则系统方程（3）J（x）=ρH（x（0），λ（0））（30）的任何解x（·），λ（·），其中H根据方程（3d）定义，且省略了条。设^Yi，i=1，2是等式（3）的两个CSS，而xind xIbe是模型（1）的两个不同阈值点。此外，设Z1,2（·）是对应于xind的两个解，Z3,4（·）是对应于xI的两个解。

为了从xIto XI继续差异阈值点，我们解决以下同伦问题˙X（t）=TF（X（t）），t∈ [0，1]（31a）˙X（t）=TF（X（t）），t∈ [0，1]（31b）X（n）（0）=X（n）（0）∈ Rn（31c）H（X（0））- H（X（0））=0∈ R（31d）Ohm>（^Y）- X（1））=0∈ Rn（31e）Ohm>（^Y）- X（1））=0∈ Rn（31f）X（n）（0）=xI+（1- κ） （十一）- xI）+κV∈ Rn（31g）带AV+a（xI- xI）=0且| a |+| a | 6=0Ohm我⊥ Es（^Ji），i=1，2。方程式（31a）和（31b）表示从相同初始状态开始的两条不同路径的动力学，方程式（31c）。可以不同地选择截断时间T>0和T>0。两条路径sx（·）和X（·）产生相同的目标值，根据公式（30）可以表示为公式（31d）。方程（31e）和（31f）分别表示路径X（·）收敛到^和X（·）收敛到^Y的渐近边界条件。最后，等式（31g）规定了状态空间中的延续，其中第一部分xI+（1- κ） （十一）- xI）描述目标方向的变化。dκV是一个修正项，因为稳定流形的一维小于状态空间。计算未知数和方程的数量，我们发现4n+2个未知数，是状态和共状态Xi（·）的两倍，以及两个自由参数κi，i=1，2和4n+1方程。此外，对于（Z1,2（·），0，0）和（Z3,4（·），1，0）求解等式（31）。因此，我们可以从之前检测到的其中一个解决方案开始一个延续过程。B OCMatIn的使用本节详细说明了模型（20）数值分析的基本步骤。这使用户能够再现显示的结果，并学习CMAT的基本命令和结构。B、 1初始化文件为了得到在空间维度上相当平滑的结果，如Grassand Uecker【2015】中使用的离散化，我们选择N=51。

在OCMat的语法逻辑中，我们必须提供一个由N+1个ODE、N+1个状态项和控制变量Pi、ui、i=0、…、，N和相应的目标函数。