引爆点事件可能对经济产生非常大的影响（见IPCC 2014；Smith et al.2009），但其规模存在很大的不确定性。由于我们依赖于文献中所代表的观点范围，因此很少有研究试图估计顶点损害。斯特恩（2007）回顾了现有的模型，其中包括引爆点事件的风险和估计为世界总产值的5%-10%的影响。Nordhaus（2008年）假设灾难性损害的金额高达世界生产总值的30%，Hope（2011年）校准了倾翻造成的损害，将其包括在5-25%的范围内，中心水平为世界生产总值的15%。偏好参数数据不确定替代的跨时间弹性ψ和风险厌恶参数γ的正确值。Bansal和Yaron（2004）将消费数据和资产收益结合起来，得出ψ在0.5到1.5之间，γ在7.5到10之间。Bansal和Ochoa（2011）使用ψ=1.5和γ=10。Vissing-Jorgensen和Attanasio（2003）发现γ介于5和10之间，ψ>1。Vissing-Jorgensen（2002）和Campbell及Cochrane（1999）发现ψ<1的证据。Barro（200 9）使用sψ=2和γ=4，Pindyckand Wang（2013）使用ψ=1.5和γ=3.066。Nordhaus（2008）的DICE模型是确定性的，其效用函数相当于我们的Epstein-Zin效用函数中的ψ=0.5。不确定性指标的缺失意味着爱泼斯坦-辛偏好不依赖于γ，效用是时间可分离的。由于缺乏关于偏好的精确知识，我们为γ0.5的大范围值求解DSICE≤ γ≤ 20，对于ψ，0.5≤ ψ≤ 2.0，重新审视碳的社会成本如何取决于风险偏好。在我们的基准参数规范中，我们遵循Bansal和Yaro n（2004），并假设ψ=1.5，γ=10。

然而，由于缺乏对引用的精确知识，我们将为覆盖0.5的br oad值范围求解我们的模型≤ γ≤ 风险规避参数为20，0.5≤ ψ≤ 2.0替代的跨时间弹性。我们将研究碳的社会成本如何取决于风险偏好。5.3数值解方法我们使用值函数迭代法解决（16）中规定的九维问题。将三个状态变量（ζ、χ、J）离散化，并将随机冲击建模为有限状态马尔可夫链的转移。生产力过程状态（ζ，χ）使用具有足够状态的马尔可夫链，以确保结果消费过程与消费数据中观察到的条件方差和自相关相匹配，并校准J以表示气候文献中讨论的过程。在（ζ，χ，J）空间的每个离散点上，六个连续状态（K，M，T）上的值函数用多元正交多项式ls近似。选择每个连续状态变量的范围，以便所有模拟路径都位于该范围内。这是一个大问题，但使用并行编程方法和硬件使其易于处理。有关数学和计算细节的更广泛讨论，请参见本文附录B和E以及Cai et a l.（2015）。5.4 VVUQ文献中一个主题的验证测试（如Oberkampf和Roy 2010）是检查计算机代码正确性的测试值。一个常见的测试是将代码应用于我们知道解决方案的特殊情况。如果消除了所有的不确定性，那么我们的模型将简化为一个确定性最优控制问题，可以用非线性规划方法来解决。

我们将这些最优控制解与我们的值函数迭代结果进行比较，看看值函数是否意味着一条与非线性编程结果相等的最优路径。我们的测试表明，值函数所隐含的路径至少有三种数字精度，通常更高。详见附录F。5.5结果呈现我们对要素生产率增长中随机成分的描述和随机气候都是对气候变化经济学的全新贡献。因此，我们首先单独研究每个组成部分对气候政策的影响，然后再研究它们的相互影响。在第6、7和8节中，我们分别分析了随机增长、随机气候以及随机增长和随机气候相结合对气候政策的影响。我们将随机示例与一个确定性基准示例进行比较，其中CRRA效用使用ψ=0.5，如No rdhaus（2008）中所述。DICE系列模型基于Schneider和Thompson（1981）的连续时间微分方程系统。基于Nordhaus（2008）的骰子模型，Cai等人。（2012b）分析替代时间步长，发现一年步长为连续时间系统提供了极好的解决方案。因此，我们的确定性基准示例被选为Cai等人（2012b）中的示例，具有年度时间步长。DSICE在本文的所有示例中也将使用一年的时间段。在以下三个部分中，我们分别定义了基准参数规范，以及碳的社会成本和其他变量的最优动态路径的分布情况。

我们还对一些参数进行了敏感性分析，并在表格中报告了不同参数选择对当今碳和其他变量的社会成本的最佳水平的影响。最佳路径的模拟如下：在时间t=0时，我们根据今天观测到的资本存量水平、大气、上层海洋和下层海洋中的三种碳质量以及大气和海洋中的两种温度水平，指定六种连续状态的水平。我们还假设今天的随机生产率状态处于其观察到的平均值，其增长率为零持续性。就气候而言，我们还假设尚未达到临界点。在初始化状态空间之后，我们使用值函数来计算当前的最优决策（即t=0）。通过最佳社会决策和当前冲击的再实现，我们可以获得下一年的状态变量水平（即t=1）。我们将继续此模拟过程，直到结束时间。在我们的基准案例中，我们模拟了10000条这样的路径，以检查状态、决策的分布，尤其是碳的社会成本。6（仅）随机增长的碳社会成本本节分析了随机增长和风险偏好对碳社会成本的影响以及气候和经济系统组合的其他特征。我们不会在本节中的任何模型运行中纳入气候映射点的风险。我们首先描述了一个基准示例，该示例具有生成与历史数据匹配的消费过程的参数。我们将此称为我们的随机增长基准。

这种随机增长基准使我们能够揭示结果动态过程的关键特征，如消费、产出、生产率、气候状态和碳的社会成本。然后，我们对经验上合理的替代偏好参数进行敏感性分析，重点是偏好假设在初始阶段如何影响碳的社会成本。附录A给出了九个初始状态变量（K、M、T、ζ、χ、J）的值。我们将2005年作为第一年，以便与Nordhaus（2008）和类似研究进行比较。我们的经验表明，以2010年为开始日期不会改变定性结果。6.1随机增长基准在这个随机增长基准示例中，我们假设Epstein–Zin偏好ψ=1.5和γ=10，并通过 = 0.035，r=0.775，=0.0 08。作为第一步，我们给出了表1，其中列出了从我们的10000条动态规划问题解决方案模拟路径得出的变量的平均值和标准偏差，如人均产出增长gy、t、碳SCCt的社会成本（对数标度）和人均消费增长gc（2020年、2050年和2100年）。在去趋势后，我们还进行了la g-1线性自回归分析。也就是说，对于时间序列xt（可以表示表1中的任何变量），我们假设xt+1-xt+1=∧（xt- xt）+t，（18），其中xt是时间t时10,00个模拟点的xt平均值。对于每个模拟路径，通过其前100年的数据，我们得到∧的估计值，以及la g-1自回归残差的标准偏差，表示为σ（），也称为提前一个周期的条件标准偏差。总之，我们得到了∧和σ（）的10,00个估计。

表1还报告了它们的平均值和标准误差。表1告诉我们，对数的平均值和标准偏差（SCCt）都在随时间扩展。然而，2020年至2100年之间的对数标准差（SCCt）增加了三倍多，因此其增长速度远远快于其平均值的增长速度。Mor e over，log（SCCt）的∧平均值大于1，这意味着log（SCCt）随时间是非平稳的。类似地，减排支出与总产出的比率ψt/Yt也显示为非静态的，平均值和标准偏差随时间而扩大。表1还表明，其他四个变量（即人均产出增长gy、t、人均消费增长gc、t、消费与总产出Ct/Yt的比率以及资本投资与总产出It/Yt的比率）的平均值和标准差几乎与时间无关。此外，对于这四个变量中的每一个，其∧的平均值均小于1，标准误差较小，因此其95%的置信水平也低于1。

这一发现表明，这四个变量是平稳的，具有阿美回复特性。gy，tCt/YIT/Ytψt/Ytlog（SCCt）gc，2020年的平均值0.013 0.697 0.302 9.0(-4） 2050年平均值1.924 0.014 0.013 0.705 0.293 2.1(-3） 21000.012 0.704 0.290 6.1时的平均值为2.153 0.013(-3） 2.457 0.012 2020年的标准偏差0.038 0.027 0.026 3.2(-4） 0.087 0.024 2050年的标准偏差0.039 0.028 0.027 1.5(-3） 0.184 0.024 21000.039时的标准偏差0.029 0.027 5.9(-3） 平均值∧0.184 0.854 0.847 1.008 1.003 0.458标准误差∧0.117 0.057 0.056 0.077 0.015 0.135σ（）平均值0.037 0.014 0.013 2.3(-4） 0.013 0.021σ（）的标准误差0.003 0.001 0.001 2.7(-4） 0.001 0.002表1：来自10000条模拟路径的统计数据（a(-n） 表示a×10-n） 对于gy、t（人均产出增长）、Ct/Yt（消费与总产出之比）、It/Yt（资本投资与总产出之比）、ψt/Yt（减排支出与总产出之比）、log（SCCt）（对数尺度上的碳社会成本）和gc、t（人均消费增长）。请注意，我们对有气候影响的最优控制下的消费增长统计数据与没有气候影响的消费增长统计数据非常接近，我们将其用于校准，并在附录B中进行描述。这意味着这些统计数据也与美国1930年至2008年的观测数据接近。经验数据的平均值、标准偏差、∧和σ（）为0.019，分别为0.022、0.46和0.018，完全被我们模拟的统计数据的90%置信区间所覆盖；见附录B中的表14。与纯确定性增长模型相比，我们的模型意味着消费与世界总产出的比率较低，资本积累和减少的投资比率较高。

图1给出了详细信息，显示了前100年三个比率的最佳动态分布，其中各分位数为10000，模拟了动态编程问题的解决方案（16）。例如，黑色虚线表示e ach比率的10%分位数。类似地，青色虚线、红色虚线、蓝色实线和绿色实线分别表示每次的2.5%、5.0%、75%和9.0%分位数。黑色实线表示样本平均路径。如前所述，DSICE的一个特例（即所有变量均为零，ψ=0.5）使其与Nordhaus的确定性模型（20 08）具有可比性。我们用红色实线表示这个特殊的决定论情况。灰色区域的下（上）边缘表示1%（99%）分位数；灰色区域表示每个比率的98%概率范围。从图1中，我们可以看到，在90%以上的概率下，它/y将大于纯确定性模型的情况（红色实线位于黑色虚线下方）。此外，我们发现，在最初的时候，它/Ytis为32%，比确定性增长假设下高出约8%，到本世纪末，预期差异约为5%。

总的来说，假设随机要素生产率增长具有持续性，会导致资本投资的显著预期增长，从而导致资本存量的预防性积累。此外，在我们模型的10000次模拟中，我们发现它/年的范围大约在22%到33%之间，我们将对所有描述随机过程的图使用相同的图形说明。附录G中的图8显示了世界总产出、资本和人均消费增长的模拟路径。分布结果如表1所示。年份A：投资与总产出之比（%）2020 2040 2060 2080 21002424262830323436年份B：减排支出与总产出之比（%）2020 2040 2060 2080 210000.511.522.5年份C：消费与总产出之比（%）2020 2040 2060 2080 21006466870727678年份D：碳的社会成本与总产出之比（%）2020 2040 2060 2080 21000.060.070.080.090.10.110.120.13！“\\$%&\'（&）”*+，%&+“-）/01&-\'&221345%6“$%071&89”\\；-：，%；<1&89”\\；-：，%<71&89”\\；-：，%=<1&89”\\；-：，%271&89“\\；-：，%>”，9-：“\\；&”（&？%-%6*：\\；：）-：@*\'？%，&/！A7B<3图1：随机增长基准比率与世界总产出的模拟结果面板C呈现了与Ct/Yt完全相反的统计图。我们看到，在90%以上的概率下，Ct/YT将低于纯确定性模型，而在本世纪末，Ct/YT似乎稳定在70%左右；与确定性模型相比，减少约6%。总的来说，这一减少并不是由更高的人均投资决定的，正如小组B所指出的，这一差异分配给了排放量方面的支出。我们发现，后者（用ψt/Yt表示）通常很低，在本世纪确定性情况下不超过0.2%。

然而，正如图B中的黑色实线所示，有50%的可能性表明，到2100年，排放税支出将至少高出三倍，而增长是随机模拟的。此外，有20%以上的可能性，到2100年，全球总产出的1%以上应该得到缓解。世界总产出的最优分配是一个投资组合选择问题，其中减排支出是一种投资形式。因此，储蓄分为投资股本或减少资本存量。总而言之，图1表明，包含持久性的随机增长将对全球产出的最优分配产生重大影响，确定性规格，甚至确定性等效公式都很可能无法解释这些影响。我们已经研究了经济变量的动态，现在我们研究了它们之间的关系。表2报告了五个经济变量增长率的相关矩阵：2020年和2100年的全球产出、消费、资本投资、减排支出和碳的社会成本。我们看到，所有报告的相关数在202 0和2100中几乎相同。

此外，资产支出的增长几乎与其他四个变量无关，消费和资本投资的增长与总产出的增长高度相关，社会碳成本的增长也与消费的增长高度相关。2020年时的相关性2100gY时的相关性，tgC，tgI，tgψ，tgSCC，tgY，tgC，tgI，tgψ，tgSCC，tgY，t1 0.90 0.95-0.02 0.77 1 0.90 0.94-0.00 0.78gC，t0。90 1 0.71-0.02 0.91 0.90 1 0.70-0.00 0.91gI，t0。95 0.71 1-0.02 0.58 0.94 0.70 1 0.00 0.57gψ，t-0.02-0.02 1-0.01-0.00-0.00 0.00 1 0.00gSCC，t0。77 0.91 0.58-0.01 1 0.78 0.91 0.57 0.00 1表2：世界总产出增长率Yt、消费Ct、投资It、减排支出ψt和碳的社会成本SCCt之间的相关性我们接下来研究随机增长规格如何影响碳的社会成本、碳税、排放控制率、，还有两种最重要的气候状态：大气碳浓度和表面温度。我们首先考虑图2中的面板C，该面板显示了排放控制率的分布。我们观察到，在90%的概率下，随机增长表示意味着直到本世纪中叶，排放控制率更高，到2100年，概率降低到75%。排放控制率通常高得多，这与减排支出占世界总产出的比例增加直接相关。

后一种情况之所以会出现，是因为对更高增长的预期转化为对总排放量增加的预期，这反过来又会增加大气中的碳储量，并最终加剧全球变暖，从而对世界总产出造成越来越大的损害。D和E两个面板都表明，平均而言，随机增长表示将导致大气中碳的积累略低，并且对温度也有较小的冷却影响。然而，主要由于本世纪经济增长的不确定性，我们看到2100年的大气温度范围约为1摄氏度，这表明全球变暖的程度及其对世界经济和环境的影响存在很大的不确定性。事实上，在2009年的《哥本哈根气候公约》（Copenhagenclimate convention）上，大多数气候科学家一致认为，为了防止气候变化产生危险的影响，将温度水平的变化保持在2摄氏度以下是必要的。！“\\$%&\'（&）”*+，%&+“-）/01&-”&221345%6“$%071&89”\\-：，%；<1&89”\\-：，%<71&89”\\-：，%=<1&89”\\-：，%271&89”\\-：，%>\'，9-：“\\&\'（&？%-%6*：）-：）-：@*？%，&/。A7B<3！“\\$%&”（）$*\\；+“\'，”-。“$\\；/）$”0101 0121 0131 0141 0511556700678！“#$%&\'（）*++*，-\'%，-.$，/\'0#。”1212 1232 1242 1252 16222712782732792747:27527；6.“#$%&\'（）*+，-。”$/0\'1#$2+3\'1+30“3）$\\）/+34545 4565 4575 4585 49558558:5；55；：5955595:5995599:5945594:59<55！\\$%&\'（）*+，\'）-\'。#$/）0\'1#23,3,3,4,3,5,3,6,3+，+7833789！“#$%&\'（）*+，\'）-”）/0#（\'1）23\'-\'1#$4）56,6,6,7，6,8，6,9，6+，+：；66：；<A：碳的社会成本100031610032100031610032B：碳税图2：随机增长基准气候系统和政策的模拟结果如前所述，气候变化的货币化影响由我们在A组中描述的碳的社会成本表示（对数标度）。

碳的最佳初始社会成本为每吨61美元，比纯粹确定性经济中的碳成本高出约65%，如Nordhaus（2008）的假设。Nordhaus（2008）的研究目前用于美国气候政策的设计，我们的模型在消除增长不确定性时与之进行了比较。此外，模拟的1%和99%分位数产生的范围随时间大幅增加。在这里，2100年的碳社会成本从每吨65美元到每吨1200美元不等，甚至2100年的10%和90%分位数显示每吨125美元到每吨660美元不等。我们分析的一个主要观察结果是，到2100年，大约3%的模型运行产生的碳ta x（图B）远远低于碳的社会成本。这与排放控制率达到100%上限的模拟路径一致，这意味着零排放是最佳选择。我们从社会规划师的优化框架中获得碳排放的社会成本，在此情况下，可以实施（皮戈维亚）碳税政策，在没有其他市场缺陷的情况下，将碳的私人和社会成本等同起来，从而实现最佳政策。当排放控制率达到极限时，碳税只需大到足以消除所有排放，但正如我们的结果所示，它可以远远低于碳的社会成本。

碳税和碳的社会成本之间的差距可能很大，2100年最大的碳税每吨碳不到1000美元，而在10000个模拟中，最大的碳社会成本是每吨碳2000美元。这一结论对气候政策的直接影响是，在超过3%的可能性下，缓解政策将达到其效力的极限，而且由于碳的社会成本将比碳税内部化的成本更高，碳去除和储存或太阳能工程技术等替代政策可能会具有竞争力。我们的发现指出了一个非常重要的事实：经济和气候系统的各个方面都存在很大的不确定性。对于许多变量，每个时间点的平均值接近于纯确定性模型的解。跟踪平均值是任何确定性模型的全部要求，从这个意义上说，确定性模型可以成功。然而，每个关键变量的未来价值存在很大的不确定性。这一事实对于理解碳的社会成本特别重要。碳的社会成本是额外碳在财富方面的边际成本，使其成为缓解支出和实物资本投资支出之间的边际替代率。在边际上，这两种储蓄用途对未来经济变量有不同的影响，使得缓解和投资之间的配置决策本质上是一个投资组合选择问题；碳的巨大社会成本代表着人们愿意为减少十亿吨碳排放而牺牲的新资本投资额。6.2 P参考参数的不确定度量化理论研究表明ψ和γ的值是合理的，但数据并没有给出关键参数的精确值。

不确定性量化文献中的一种基本方法是，在反映经济分析范围的一系列参数选择上重新计算碳的社会成本。我们检验ψ和γ的不同值，以确定碳的社会成本对替代偏好规格的敏感性。由于我们将始终使用基准随机增长生产率过程，因此每个示例仅在偏好规格方面不同于随机增长基准。因此，以下结果只是ψ和γ变化的比较动力学。我们的敏感性分析将只关注最初的碳成本。模拟结果表明，在所有情况下，碳的社会成本的动态随机过程在质量上与随机增长基准相似。初始时间的碳社会成本可以看作是碳过程社会成本的初始值，对于任何偏好参数的选择都是不稳定的。表3列出了随机增长条件下我们模型中碳的初始最优社会成本，即跨期替代弹性值的总和为ψ=0.5、0.75、1.25、1.5和2.0，风险厌恶参数γ=0.5、2、6、10和20。回想一下，在ψ=1.5和γ=10的基准示例中，碳的最佳初始社会成本为每n碳61美元。

表3表明，在γ=10的基准情况下，碳的成本几乎与ψ的替代规格保持不变，而在保持ψ=1.5的情况下，γ水平越高，碳的初始社会成本越小。ψ确定性γ增长案例0.5 2 6 10 200.5 37 39 52 61 690.7554 53 55 58 60 621.25 82 83 77 65 61 561.594 95 85 68 61 552.0 111 115 97 71 62 54表3：随机增长下碳的初始社会成本（每吨碳），通常情况下，表3表明碳的社会成本对偏好参数敏感，从35美元（ψ=0.5，γ=0.5）到115美元（ψ=2，γ=0.5）。我们看到，当替代的跨期弹性（ψ）小于1时，γ越高，则意味着碳的社会成本越高。然而，当替代的跨期弹性大于1时，碳的社会成本以γ为单位递减。此外，当γ≤ 6更高的跨期替代弹性意味着更高的碳社会成本，但对于γ=20，情况恰恰相反。替代的跨时间弹性的增加减少了对消费的偏好，但这并不能告诉我们碳的社会成本。碳的社会成本是相对于资本投资价值的缓解自用价值，两者都是经过选择的。我们的结果表明，在我们的随机增长模型中，替代的时间弹性和风险规避参数之间的相互作用对于碳的社会成本来说是不重要的。从表3中，我们还可以看到，当γ≥ 2、不确定经济增长的较高波动性意味着ψ>1的情况下碳的初始社会成本较低，或者意味着ψ>1的情况下碳的初始社会成本较高（因为确定性情况的波动性为零）。

一般均衡的结果来自收入和价格的混合效应，因此很难得出简单的解释。我们的敏感性分析使我们能够定量检查替代参数假设的影响。表4和表5分别报告了γ和替代跨期弹性组合下资本投资与世界总产出（It/Yt）和软化支出与世界总产出（ψt/Yt）初始比率的敏感性。例如，当ψ=1.5，γ=10时，初始It/Ytis 0.317，ψt/Ytis 5.5×10-4、从表4可以看出，γ中的资本投资正在增加。表5显示了与表3中碳的社会成本相同的减排支出模式：当替代的跨时间弹性小于1时，γ越高意味着比率越高；当替代的时间间隔弹性大于1时，该比率在γ中递减；ψ越高，并不一定意味着生产支出与世界总产出的比率越高或越低。ψ确定性γ增长案例0.5 2 6 10 200.5 0.242 0.240 0.249 0.272 0.291 0.3210.75 0.259 0.257 0.265 0.285 0.299 0.3181.25 0.278 0.276 0.286 0.303 0.312 0.3221.50.284 0.283 0.293 0.310 0.317 0.3242.0.293 0.305 0.322 0.328 0.331表4随机增长ψ确定性γ增长0.5 2 6 10 200.5 2.6(-4） 2.4(-4） 2.9(-4） 4.5(-4） 5.7(-4） 7.1(-4） 0.75 4.7(-4） 4.7(-4） 4.9(-4） 5.5(-4） 5.7(-4） 5.9(-4） 1.259.1(-4） 9.1(-4） 8.4(-4） 6.5(-4） 5.5(-4) 5.0(-4） 1.5 1.1(-3） 1.1(-3） 9.8(-4） 6.8(-4） 5.5(-4） 4.8(-4） 2.0 1.4(-3） 1.6(-3） 1.2(-3） 7.3(-4） 5.9(-4） 4.7(-4） 表5：随机增长下减排支出与世界总产出的初始比率。

请注意(-n） 表示a×10-我们还研究了替代偏好规范对碳社会成本和人均消费增长动态（水平和分布）的影响。表6仅列出了我们模拟的极端参数情况下的这些影响，即ψ=0.5或2，γ=0.5或20。首先，我们验证了在大范围偏好参数下人均消费的统计结果。其平均增长率在本世纪相当稳定，每年在1.1%到1.4%之间，接近表1所示的基准情况。我们还报告了表1中使用的其他统计数据，如lag-1自回归的∧和σ（）统计数据（18）。这些数字表明，ψ越小，人均消费增长gc的波动性越大。此外，GCS的波动性对于风险规避参数的不同值是相当不变的。此外，所有案例都显示了消费增长的均值回复特性：∧的95%置信度水平始终低于1（对于较低的ψ水平，gchas asmaller∧，意味着更快的回复率），其均值和标准偏差几乎与所报告的每个（ψ，γ）组合的时间无关。关于碳的社会成本的敏感性，我们从基准参数案例的图e 2中回忆起，碳的社会成本是高度不稳定的。在此，我们表明，当我们假设其他偏好规格时，这种高波动性也是持续的。更准确地说，平均值，尤其是对数标准偏差（SCC）随时间而增加。

此外，∧的平均值不小于1，这意味着对数（SCC）的非平稳性。log（SCC）gcψ0.5 2 0.5 2γ0.5 20 0.5 20 0.5 20 0.5 20 2020年平均值1.632 2.045 2.171 1.858 0.011 0.014 0.013 0.014 2050年平均值1.878 2.369 2.372 2 2.069 0.013 0.013 0.013平均值21002.211 2.763 2.656 2.347 0.012 0.012 0.012 0.012 2020年标准差0.068 0.113 0.097 0.074 0.036 0.035 0.023 0.021 2050年的标准偏差0.181 0.251 0.189 0.161 0.037 0.037 0.023 0.022标准2100时的偏差0.283 0.370 0.282 0.249 0.039 0.039 0.025 0.023∧1.008 1.005 1.000 1.005 0.100 0.091 0.584 0.708∧0.012 0.014 0.017 0.014 0.116 0.118 0.148 0.101σ（）的平均值0.009 0.016 0.017 0.011 0.036 0.036 0.018 0.015σ（）的标准误差（2）0.001 0.001 0.001 0.001 0.003 0.003 0.003 0.002表6：碳的社会成本统计（对数标度）和偏好参数4种极端情况下的人均消费增长GC6。3增长参数的影响确定性生产率趋势作为增长率αexp(-αt）在方程（2）中的时间t。它有两个重要参数：初始增长率α和生产率趋势增长的下降率α，默认值分别为0.0092和0.001。

接下来，我们通过α=0对其进行敏感性分析（生产率趋势的增长为0，即≡ A） 或α=0（生产率趋势的增长是恒定的，即At=Aexp（αt），α=0.0092）。表7列出了上述两种情况下碳的社会成本和人均消费增长的模拟统计数据，随机增长基准情况的所有剩余参数保持不变（我们还列出了随机增长基准情况下的统计数据，其中At=0.0092e-0.001吨）。当Atis为常数（即α=0）时，碳的初始时间社会成本仅为每吨碳39美元（对数（SCC）=1.591），远低于随机增长基准情况下的每吨碳61美元。从表7中我们发现，α和α的值（不同的确定性生产率指标）改变了消费增长的平均值gc，但对标准偏差∧和σ（）的影响很小。然而，我们仍然观察到消费增长的均值回复特性。相反，不同的确定性生产率趋势确实会改变对数的平均值和标准偏差（SCCt）。较小的生产率趋势将导致较小的平均值和较小的对数标准差（SCCt）。

在这两种情况下，对数（SCC）的非平稳性仍然存在，因为它们的∧平均值仍然大于1。对数（SCC）GC0增长0.00 92 0.0092e-0.001t0 0.0092 0.0092e-0.001tinitial-time solution 1.591 1.792 1.785----2020年平均值1.662 1.934 1.924 0.002 0.014 0.014 2050年平均值1.714 2.167 2.153 0.000 0.013 0.013 21001.703 2.490 2.457-0.000 0.013 0.012 2020年标准偏差0.096 0.086 0.087 0.024 0.024 0.024 2050年标准偏差0.215 0.183 0.184 0.025 0.025 0.024 5 0.024 21000.393 0.278 0.279 0.025 0.025 0.025∧的平均值时的标准偏差1.005 1.003 1.003 0.431 0.458 0.458∧0.016 0.015 0.015 0.149 0.134 0.135σ（）的平均值0.017 0.013 0.013 0.021 0.021 0.021σ（）的标准误差0.001 0.001 0.001 0.002 0.002 0.0022表7：碳的社会成本（对数标度）和人均消费增长的统计数据对于确定性生产力趋势中增长率不同的情况，更好了解驱动这一结果的机制，回顾碳的社会成本方程（17），以及碳的社会成本本身是碳的负影子价格和资本影子价格的比率这一事实。因此，风险结构的任何变化都会影响影子价格。在这里，较低的预期增长率（趋势设置为零）将降低与我们的静态增长基准相比的资本存量水平预期，因为在这两种情况下，随机要素生产率增长过程是相同的。同时，由于目前经济增长没有一个大约0的积极趋势。每年92%的总排放量，与世界总产出成比例，也将减少这个数量的增长。因此，在每个时间点，大气中累积的碳元素会更少。

在一般均衡中，很难仔细比较这些影响，但我们注意到，价值函数在资本中是共面的，在碳存量中是凸的，这导致了减少社会碳排放的综合效应。在α=0的情况下，只有随机增长成分。因此，在21世纪，全球气候变化平均值的期望值接近于零，而全球气候变化的标准差及其残差则接近于具有确定性趋势的随机增长基准情况的标准差。对于α=0的情况，碳的初始时间社会成本为每吨碳62美元（对数（SCC）=1.792），仅略高于随机增长基准。α=0的模型版本实际上意味着更具确定性的趋势，因为趋势的减少被设置为零。因此，观察到与α=0情况相反的影响。在本世纪余下的时间里，碳的预期社会成本也较高，而碳的社会成本及其残差的标准差与随机基准案例的标准差相似。通过研究α=0情况下的人均消费增长率，也获得了类似的见解。7（仅）随机气候变化下的碳社会成本我们下一步将研究气候系统中的倾斜因素如何在任何经济不确定性的情况下影响碳的社会成本。首先，我们提出了代表性气候倾翻元素的马尔可夫链规范。基于我们的校准，我们建立了一个基准参数规范，并研究了最佳气候政策；我们称之为气候倾斜基准。在最后一步中，我们对每个参数的范围进行了广泛的多维敏感性分析。

根据少数可用研究中提供的数字，我们得出结论，应仔细评估潜在tippingpoint事件的影响。附录D给出了我们参数选择的更详细推导。7.1气候倾覆过程的马尔可夫链规范如第4.3节所述，我们有一个倾覆前阶段，其中Jt=0，直到气候倾覆过程开始，然后是几个阶段的损害增加。我们假设预倾翻阶段的概率函数为p1,1，t，由公式（15）给出。危险率参数λ与温度过程共同决定了预倾翻阶段的持续时间。我们假设长期倾翻后损伤水平，表示为J∞, 不确定。我们假设我们不知道J∞直到触发气候倾斜过程。这是一个彻头彻尾的简化，但它并没有让我们区分后倾翻过程的扩展持续时间D（通常是已知的）和最终损害水平的不确定性。关于J的不确定性∞当气候倾翻过程发生变化时，问题得到解决，这使我们能够陈述倾翻点事件的危险率的相对影响、倾翻后过程的预计持续时间以及J∞. J的无条件平均值∞表示为dj∞, 和J的方差∞是qJ∞, 其中q称为“均方方差比”。比率q类似于夏普比率的平方，夏普比率是Portfolio理论中使用的一个概念，在我们对结果的讨论中自然出现。在我们的示例中，我们假设从长远来看，有三种可能的倾翻后损坏级别。对于每个长期损伤等级，倾翻过程会经历五个以上的阶段，第五个阶段是最终状态，每个过渡都以相同的固定速率发生。

因此，如果D是倾翻后过程的预计持续时间，那么每个瞬态阶段的预计持续时间Di=D/4，所有过渡都有指数分布，这意味着pi，i+1，t=exp-4/天. 实验表明，五个tippingstages足以以相对较低的协同计算成本近似具有更多状态的过程。这些设定值意味着Jt、预倾翻阶段和五个后倾翻阶段共有十六个可能的值，或三种长期数据图像实现中的每一种。附录D.7.2随机气候倾斜基准中包含了JT的完整数学描述。我们选择的参数值大致等于文献中观点范围的平均值。更准确地说，气候倾斜基准案例假设λ=0.0035，J∞= 0.05，q=0.2，D=50。λ=0.0035的选择意味着，在1摄氏度的变暖过程中，有条件的年度倾翻概率增加0.35%。气候倾斜基准案例中的Epstein–Zin偏好参数为ag ainψ=1.5和γ=10。我们首先研究了可能的气候转折点对全球总产出到资本投资、消费和减排支出的最佳配置的影响。

图3分别显示了消费与世界总产出之比（Ct/Yt）、资本投资与世界总产出之比（It/Yt）和减排支出与世界总产出之比（ψt/Yt）的动态变化。！“\\$%&\'（&）”*+，%&+“-）/01&-”&221345%6“$%071&89”\\-：，%；<1&89”\\-：，%<71&89”\\-：，%=<1&89”\\-：，%271&89”\\-：，%>\'，9-：“\\&\'（&？%-%6*：）-：）-：@*？%，&/。A7B<3！“\\$%&”（#）*+\'+，\'%%+-/01）*+-\'）+\'2$+..\'3/）1/）\'4567898 7:88 7:98 7788；：；：<9；7.7<9；==<9、 >；><9；9；9<9；？！“#$%”&“（#）*+”+，“-.#”）”/“0）“123”04*）5$”）+“6$+77\'85）35）“9：；<=>=<？========================================！”“\\$%&”（#）*+\'+，\'-/“0）1”。“）+”2$+00\'34）54）“6789：；：9<：：9<；：99：：9=9=>；9；9、 >；9个？9？>；9@9@>；9图3：随机气候倾斜基准比率与世界总产出的模拟结果作为一个一般性发现，我们首先注意到，没有随机增长明显缩小了所有比率的分布范围。现在，气候引爆点风险是可以减少产出的唯一因素，我们对引爆后损害水平的校准远低于由于长期持续的随机增长导致的全球产出可能发生的变化。我们看到，考虑气候倾斜因素意味着整个本世纪用于资本投资（平均约3%）和减排支出的产出份额较高，用于消费的份额较小（平均约3%）。

因此，消除临界点风险的最佳政策意味着总产出从消费中重新分配，以预防性地积累资本存量，同时减少排放。这些影响的迹象来自引爆点威胁带来的收入影响，但在此我们还指出，如果人们认为未来的消费应以约50%的市场利率贴现，那么这些变化相对于蒂皮吉斯造成的预期损失价值的幅度将很高。例如，如果按每年5%的利率贴现，2015年2150美元中的1美元价值约为0.0014美元。接下来，我们将分别考虑气候引爆点对碳的社会成本、碳税、排放控制率和两种最重要的气候状态（大气碳浓度和地表温度）动态的影响。图4显示了前200年这些变量的10000条模拟路径的结果，我们使用了与前几张图相同的颜色和线条约定。由于气候倾斜风险和爱泼斯坦-津偏好的存在，与确定性模型相比，具有仓促气候倾斜的模型版本会产生更强烈的气候政策。事实上，如图4中的C组所示，最佳排放控制率与前一图中的减排支出相关。在整个本世纪，作为对气候转折点威胁的回应，排放量有望增加一倍以上。与确定性模型相比，我们气候倾斜基准案例的这些巨大减排意味着大气碳浓度的严格降低（图D）。

表面温度的结果路径（图E）对应于IPCC（2013）使用的排放量最高情景中最低情景的温度路径，这意味着2100年之前的峰值温度上升约2摄氏度，之后下降。图4中A组的一个显著结果是，碳的初始社会成本为每吨189美元，这比忽略气候随机性的模型规格所产生的每吨38美元的碳成本有了很大的增长。为了强调碳的社会成本大幅增加的重要性，我们对引爆点过程的性质重新进行了较为保守的假设：我们假设引爆过程的预期持续时间为50年，预计引爆后损害为5%，均方方差比为0.2。从蓝色虚线可以看出，这些假设表明，2150年前不会触发倾翻过程的概率为75%。然而，今天的最佳社会碳成本是每吨碳189美元，是忽略气候临界点的模型运行值的五倍。

这有力地表明，与当前美国政府的研究（碳的社会成本跨机构工作组，2010年）一样，对气候政策的分析忽视了气候系统突然变化的可能性，这严重低估了碳的社会成本。！“\\$%&\'（&）”*+，%&+“-）/01&-”&221345%6“$%071&89”\\-：，%；<1&89”\\-：，%<71&89”\\-：，%=<1&89”\\-：，%271&89”\\-：，%>\'，9-：“\\&\'（&？%-%6*：）-：）-：@*？%，&/。A7B<3！“\\$%&”（）$*\\；+“\'，”-。“$\\；/）$”0121 0311 0321 001133420425542！“#$%&\'（）*++*，-\'%，-.$，/\'0#。”1232 1422 1432 1122251256257253255925:25；4.“#$%&\'（）*+，-。”$/0\'1#$2+3\'1+30“3）$\\）/+34565 4755 4765 4458559557555775574557:557；55！“\\$%&”（）*+，\'）-\'。#$/）0\'1#23,4，3+，，3+4，33，，+56+5733533583563579953958！“#$%&\'（）*+，\'）-”）/0#（\'1）23“）-”1#4美元）56,7,6+，、6+7,66，，+89+8:668668；68968：<<<86<8；2512158510006313982511581006340A：碳的社会成本2512158510006313982511581006340B：碳税图4：随机气候倾斜基准气候系统和政策的模拟结果碳的社会成本分布动态表明，到2100年，碳的预期社会成本约为每吨碳630美元，这几乎是从确定性模型中获得的每吨160美元碳的四倍。此外，预计2200年碳的社会成本约为每吨1700美元，但我们的模拟计算得出的碳成本范围为每吨1000美元至2.50亿美元。与前一节中的分析相关，我们在这里还注意到，到2125年，我们10000条模拟路径中的一些路径将产生碳税，碳税将低于碳的社会成本，这表明解决气候外部性的机会已经耗尽，因为缓解可能不会超过100%。

事实上，似乎以略高于75%的概率，缓解政策将在2125年达到其有效性极限，替代碳管理选项可能有用。7.3气候变化过程的不确定性量化接下来，我们通过重新计算反映科学观点的一系列参数选择中碳的社会成本，来研究气候变化过程中参数不确定性对碳的初始社会成本的影响。我们检查了由以下有限集的张量积定义的参数值的六维集合（2430例）：λ∈ {0.0025，0.0035，0.0045}，J∞∈ {0.025，0.05，0.10}，q∈ {0，0.2，0.4}，ψ∈ {0.5，0.75，1.25，1.5，2.0}，γ∈ {0.5、2、6、10、14、20}，D∈ {5，50，200}。我们计算了所有2430个案例的初始碳社会成本，表8给出了一些代表性案例的初始碳社会成本。例如，当λ=0.0035时，J∞= 0.05，q=0.2，D=50（即表8中的最后一行）对于ψ=1.5和γ=10，carb的初始社会成本为每吨189美元。具有气候倾斜过程的碳的社会成本值总是大于忽略气候倾斜过程的确定性情况。这是意料之中的，因为倾斜会增加未来可能的伤害。表8还显示，由于替代ψ的跨期弹性较高，风险规避参数γ的值较高，carb on的社会成本较大。

此外，我们观察到，碳的初始时间社会成本随着气候变化过程中预期损害的增加而增加（目前已贴现），这可能是由较高的平均损害水平（J∞), 危险率参数（λ）越高，倾翻过程的预期持续时间（D）越短，或预期损坏水平（q）的均方方差比越高。如前所述，我们在经济增长模型中对气候转折点的定义是独一无二的，因为气候科学家如何看待气候转折点的性质（如Lenton和Ciscar 2013）。在我们模型的命名法中，以前的研究通常假设∞> 0.15（有时甚至0.3），D=1，隐含λ远高于0.0045。应特别小心地评估使用具有这种极端假设（在某些情况下是错误的假设）的模型获得的见解。碳的社会成本（SCC）λJ∞D qψ=0.5ψ=1.5γ=0.5γ=10γ=20γ=0.5γ=10γ=200.0025 0.025 5 0 43 44 128 131 1350.4 43 45 46 128 134 142200 0 39 39 110 111 1120.4 39 39 110 112 1140.10 5 0 65 83 110 260 364 4820.4 65 103 194 261 467 722200 0 47 50 54 170 195 2300.4 47 62 171 224 3430.0045 0.025 5 0 47 49 50 147 150 1540.4 50 52 147 164200 0 40 41 41 119 120 1210.4 40 41 119 1211240.10 5 0 85 109 143 369 480 5840.4 85 140 252 370 586 817200 54 58 63 222 259 3050.4 54 62 76 223 306 4450.0035 0.05 50 0.2 48 52 55 171 189 216表8：碳的初始社会成本（每吨碳的成本）在斯托恰斯气候条件下，当γorJ∞是小的∞意味着不确定、最终、倾翻后损坏水平的较大方差，等于Qj∞), 特别是对于较大的预期持续时间。