因此，经过有限的步骤，可以得到简单的actr~AoD。。。在…上-1Dn-1onBnh，通过构造，相当于A处的g，通过归纳假设和%A和%Bn的定义，满足~A\\Bnfr~Bnf，所以，通过确定一致性，r~Af。上面的引理已经证明了，对于每个简单的彩票L，每个∈ ∑\\{} 每对简单动作f和g，LfA=LgA=L==> F~股份公司。定义11(≧A） 。对于每个A∈ ∑\\{} 还有彩票L和L′，L≧AL′，如果存在f和g，则LfA=L，LgA=L′，f%Ag。(≡A和28雨果·克鲁兹·桑切斯如上所示，每一张简单的彩票都是由一张简单的彩票生成的。此外，如上所示，产生相同彩票的两个简单行为是等价的。因此，如果一对简单动作f和G满足f%Ag，LfA=L和LgA=L′，那么满足LhA=L和LkA=L′的每对简单动作f和k必须满足h%Ak。一、 e。≧Ais定义良好。此外≧Ais是一种弱偏好。引理29（彩票的必然一致性）。对于每个A、B∈ ∑这样B A、 和彩票地≧布兰德L≧A\\BL==> L≧ALandB在==>L布兰德L≧A\\BL==> LAL公司.证据通过引理26、27、28和确定事物一致性，结果如下。引理30（彩票保序）。对于每个A、B∈ ∑这样的B A、 B在A处不为空，彩票L和L′，L≧BL′型<=>PA（B）L+（1- PA（B））L′\'≧APA（B）L′+（1- PA（B））L′，对于每个L′。证据采取行动f和g，使LfB=L，LgB=L′。观察，对于每个动作h，LfBhA=PA（B）L+（1- PA（B））LhA\\Band LgBhA=PA（B）L′+（1- 现在，通过保序引理，并使用引理26和28，结果如下。注意，通过维持秩序的f或彩票，对于每个A∈ ∑，if，对于某些B A使得B在A，L处不为null≧BL′，那么，对于eachC A使得C=AB，L≧CL′。

一、 例如，批次之间的排序取决于某个非零事件发生的概率atA而非其他。引理31。对于每个A、B、C∈ ∑这样B，C A、 B=AC>A,和彩票地≧基本法<=> L≧CL.证明。通过保序f或lotteries引理，L≧基本法<=>PA（B）L+（1- PA（B））L≧APA（B）L+（1- PA（B））L对于每个LLEXICOGRAPHIC预期用途29<=>PA（C）L+（1- PA（C））L≧APA（C）L+（1- PA（C））L每个L<=>L≧CL。引理32（彩票的小事件连续性）。对于每个A∈∑\\{}, 还有彩票，土地等ALand Lconstant，存在一个有限分区，{Ak}nk=1 ∑，因此A（1- PA（Ak））L+PA（Ak）土地（1- PA（Ak））L+PA（Ak）LAL，对于每个k=1。。。，n、 证明。通过引理26和小事件连续性，结果如下。请注意，彩票的sure thing一致性和小事件连续性版本比原始版本更简单。引理33（独立性）。对于每个A∈ ∑\\{}, 每个ρ∈ （0，1）和每对彩票土地L，L≧AL公司<=> ρL+（1- ρ） L≧AρL+（1- ρ） L对于每个L.证明。首先，观察引理可以重写为：对于eachA，B∈ 因此B A和B在A处不为null，≧A和≧巴格利。给定A、B∈ ∑这样B 通过引理31，A和B在A和奖券地L处不为null，无论L≧AL公司<==> L≧blisture独立于B，尽管它依赖于PA（B）。因此，从今以后，符号B（α）用于A中的匿名事件，其中pa（B（α））=α。鉴于上述讨论，应证明，对于每个α>0，土地L，L≧AL公司<==> L≧B（α）L.If，f或每个α>0，L≡B（α）L，没有什么可以证明的，因为%a和%B（1）同意，因此，对于每个动作f和g，LfA=Land LgA=L，那么LfB（1）=L，LgB（1）=Land f~B（1）g，so，f~Ag和L≡因此，从今以后，假设存在α>0，使得LB（α）L。

( 类似）如果α+β≤ 1，B（α）和B（β）是这样的≧B（α）陆≧B（β）L然后，通过引理31，它们可以不相交，通过30 HUGO CRUZ SANCHEZlemma 26，有f和g的动作，使得LfB（α）=LfB（β）=landGB（α）=LgB（β）=L，这意味着f%B（α）g和f%B（β）g，并且通过确定的一致性，f%B（α）B（β）g。As，按构造，LfB（α）B（β）=L，LgB（α）B（β）=土地B（α） B（β）是一个事件B（α+β），L≧B（α+β）L≧B（α）Lthen，取B（α）的n倍均匀部分，北京αnnj=1，根据引理26，存在LfBj（αn）=Land LgBj（αn）=lf的动作f和g，对于每个j=1。。。，n、 因此，对于某些j，LfB（α）=L，LgB（α）=L，f%B（α）g，并且通过确定的一致性，f%Bj（αn）g，即≧B（αn）L.上述段落和LB（α）很清楚，L每个q的B（qα）lf∈ Q∩0，α.就像普通彩票一样B（α）L，取{w:L（w）+L（w）>0}，v中最优先的结果，通过引理26，有f和g的作用，使得LfB（α）=Land LgB（α）=L，并且通过小事件连续性，给定常数a ct v，存在B（α）的有限划分{Bj（α0j）}nj=1，例如t hatvBj（α0j）fB（α）gf对于每个j=1。。。，n、 观察到，通过定义v，如果需要，使用确定的一致性，每j=1，…，v%Bj（α0j）g。。。，n、 并且，通过再次确定一致性，v%B（α）g。此外，对于每个j，α0j<α，否则，PB（α）（Bj（α0j））=1，因此，%B（α）和%Bj（α0j）一致，并且vBj（α0j）g，一个荒谬的。此外，对于某些j，α0j>0，否则，α=0，是荒谬的。因此，给定一个j，使得0<α0j<α，给定v的定义，如果f%B（α）\\Bj（α0j）g，那么vBj（α0j）f%B（α）\\Bj（α0j）g。AsvBj（α0j）f%Bj（α0j）g，通过确定事物的一致性，vBj（α0j）f%B（α）g，一个荒谬的，即B（α）\\Bj（α0j）g.Now，ta ke anyβ∈ （0，α0j）。

因此，对于每个B（β） Bj（α0j），给定v的定义，如果需要，使用确定性一致性，v%B（β）和v%Bj（α0j）\\B（β）f，因此，vB（β）f%B（β）g和vBj（α0j）f%Bj（α0j）\\B（β）vB（β）f，因此，作为vBj（α0j）f~B（α）\\Bj（α0j）vB（β）f，通过确定一致性，vBj（α0j）f%B（α）\\B（β）vB（β）f。现在，如果vBj（α0j）Flexigographic预期效用31%B（α）\\B（β）g，那么，作为vBj（α0j）f%B（β）g，通过确定一致性，vBj（α0j）f%B（α）g，一个荒谬的，因此，vB（β）fB（α）\\B（β）vBj（α0j）fB（α）\\B（β）g，即fB（α）\\B（β）g.如上所示，如果0<β<α0j<α和LB（α）L，然后通过引理26和引理27，LB（α-β） l上述步骤意味着，对于每个β∈ （0，α0j），LB（q（α-β） ）L每个q∈ Q∩0，α- β,因此，LB（x）L每个x∈ （0，1），表示LAL。推论1。对于每个A、B∈ ∑\\{} 这样B≈ A.≧A和≧巴格利。证据采取行动∪ 应用独立引理。引理34。对于每个A∈ ∑\\{}, 如果LAL和0≤ ρ<σ≤ 1，然后ρL+（1- ρ） LAσL+（1- σ） L.证明。它直接遵循独立引理（渗流72，[8]）。这只是代数。引理35（阿基米德）。对于每个A∈ ∑\\{}, 如果L阿兰德尔≧AL公司≧对于一些固定彩票L，则只有一个ρ∈ [0，1]这样L≡AρL+（1- ρ） L.证明。它直接遵循引理26和34、Dedekindcut和小事件连续性（见第73页，[8]）。Fishburn的版本更加完整（见第205页[4]）。定理9。对于每个A∈ ∑\\{}, 有一个实值函数uAon O satisfyingL≧AL′型<=>Xo:L（o）>0uA（o）L（o）≥Xo:L′（o）>0uA（o）L′（o），适用于所有简单彩票L和L′on o。此外，ua在正a ffne变换上是唯一的。32雨果·克鲁兹·桑切斯普罗夫。对于每个A∈ ∑\\{}, 像≧Ais是一个弱参考，满足独立性和阿基米德性质，使用定理8.2，第107页，结果如下。引理36。

对于每个A、B∈ ∑\\{} 这样B≈ A、 UAN和UBA通过积极的A ffine转换而重新关联。证据这是推论1的直截了当的结果。引理37。对于连续不断的彩票，≧A和≧巴格利。foreach A、B∈ ∑\\{}.证据这是事件单调性和≧A和≧B定义12（混合空间）。结构空间是一个2偶（X，m），X是一个非空集，m：[0，1]×X→ X使得m（1，X，y）=X，m（α，X，y）=m（1- α、 y，x）和m（α，m（β，x，y），y）=m（αβ，x，y）。定理10。对于混合空间（X，m）和X上的弱偏好%，存在唯一的、最多一个变换的实值函数v:X→ R因此x、 y型∈ X（X%y<=> v（x）≥ v（y））和x、 y型∈ 十、α∈ [0，1]（v（m（α，x，y））=αv（x）+（1- α） v（y）），当且仅当，（1）x、 y，z∈ 十、α∈ （0，1）（x Y=> m（α，x，z） m（α，y，z））和（2）x、 y，z∈ X（X Y Z=> α、 β∈ （0，1）（m（α，x，z） Y m（β，x，z）））。证据见第112页定理8.4，[4]。引理38。如果O是凸的，则常数集与m（α，O，O′）=αO+（1）作用- α） o′型∈ O是一个混合空间。此外，如果这个混合空间的%s满足1和2，那么≧A和≧巴格利。对于每个A、B∈ ∑\\{}.证据两个常数动作o和o′的凸组合是常数动作αo+（1- α） o′表示某些α∈ [0，1]，因此，第一部分紧随其后。词典预期效用33如果这个混合空间的%满足1和2，那么，根据定理10，存在一个唯一的、最多有一个变换的实函数v:O→R这样的塔o、 o′型∈ O（O%So′）<=> v（o）≥ v（o′）和o、 o′型∈ Oα∈ [0，1]（v（αo+（1- α） o′）=αv（o）+（1- α） v（o′）。根据引理37和定理9，对于每个∈ ∑\\{}, UAV与v之间存在正变换关系。因此，第二部分如下。推论2。

在引理3-8的条件下，O上有一个实值函数v，对于每个a∈ ∑\\{},L≧AL′型<=>Xo:L（o）>0v（o）L（o）≥Xo:L′（o）>0v（o）L′（o）对于所有简单彩票L和L′on o。此外，v对于正a ffne变换是唯一的。证据这是从引理38直接得到的。如上所示，在引理38的条件下，存在一个唯一的、最多有一个变换的、与事件无关的弱参考，用于o上的简单彩票。即，n代理在简单彩票上有一个唯一的良好排序，不同类别之间的差异仅由不同的形合条件信念暗示。这一想法在下面正式化。定义13(≧). 在引理38的条件下，对于每对简单彩票L和L′on O，L≧ L′<=> L≧AL′，对于一些A∈ ∑\\{}.引理39。在引理38的条件下，f或每对单纯形f和g，以及每对A∈ ∑\\{},f%Ag<=>LfA公司≧ LgA公司<=>Po：LfA（o）>0v（o）LfA（o）≥采购订单：LgA（o）>0v（o）LgA（o）<=>RSv（f（s））dPA（s）≥RSv（g（s））dPA（s）。34 HUGO CRUZ SANCHEZProof。定义为≧ 和推论2。Anscombe和Aumann[2]假设了类似于引理38的性质，但在这项工作中，对于非常量行为没有明确的混合空间结构（即需要Savag e的公理），并且假设了常量行为上的这些性质，因为它们暗示了上述的唯一性。参考文献[1]Amarante，M.（201 3）条件预期效用，密苏里州莫特雷尔大学。[2] Anscombe和Aumann（1963）《主观概率的定义》，《数理统计年鉴》34199-205。[3] Blume、Bra-Anderburger和Dekel（1991）《不确定性下的词典概率和选择》，计量经济学59，61-79。[4] Fishburn，P.C（1971）《决策效用理论》，Wiley。[5] Hausner，M.（1954）多维效用，在决策过程中，Wiley。[6] LaVallle I.H和Fishburn，P.C。

（1998）《具有有限状态集的主观预期词典编纂效用》，数学经济学杂志30，323346。[7] Machina和Schmeidler（1992）《主观预测能力的更稳健定义》，《计量经济学》60745–780。[8] Savage，L.J.（1954）《统计学基础》，Wiley。[9] Skiadas，C.（2014）《具有常数源依赖相对风险厌恶的动态选择》，mimeo，Kellogg管理学院。