最优停车的平均场对策

2022-5-25 08:25:09

这项工作通过与布鲁诺·布查尔德、勒内·卡莫纳、伊奥尼斯·卡拉萨斯、丹尼尔·拉克尔、何塞·谢因克曼、尼扎尔·图齐的讨论以及两位匿名裁判的详细评论得到了极大的支持，作者对此深表感谢。回报（以及可能的差异）取决于u，而u又取决于所有代理的行动。在分析理论中，此类系统由非线性偏微分方程（PDE）耦合系统描述：当给定u时，Hamilton–Jacobi–Bellman方程描述最优控制问题，Kolmogorov型方程描述u随时间的演化作为最优控制的结果。其中一个主要困难是，前一个方程自然地从终端条件开始，并在时间上向后运行，而后一个方程向前运行，以确保u的一致性；我们参考[6，17]了解背景。在该理论的概率版本中，使用了随机极大值原理，并将偏微分方程系统替换为耦合的前向-后向随机微分方程；参见[4、7、8、9]。在最简单的情况下，代理暴露于特殊的i.i.d.噪声（本质上，每个扩散方程都是一个独立的布朗运动），因此平衡被表述为确定性的。最近，额外的公共噪声和随机均衡的存在受到了相当大的关注；参见【10、13、16、22、28】。过去十年中，从生产模型到人口动态，出现了各种各样的应用，其中有几项在[18]中进行了总结；有关系统风险的最新模型，请参见[12]，有关金融中的价格影响，请参见[13]。虽然平均场游戏是作为大型游戏的一个易于处理的模型引入的，但它们仍然相当复杂。

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2022-5-25 08:25:12

据我们所知，唯一可以显式解决的情况是线性二次控制（线性动力学，二次成本）。对此情况进行了详细研究；参见[2、3、5、12]。在其他情况下，通常必须通过非线性方程耦合系统来解决f或抽象描述。本论文的主要目的是制定一个可处理的平均场型博弈，其中可以更直接地理解均衡的性质。在我们的案例中，代理将解决最佳停止问题，而不是扩散控制。虽然在标准的平均场游戏中，玩家的（空间）位置很重要，但这里的状态空间是二进制的：每个玩家要么已经停止，要么仍然在游戏中，而互动是通过已经停止的玩家的数量发生的。由于其简单的解释和从银行挤兑模型到交易优化的广泛可能应用，这种结构似乎很有吸引力。勒内·卡莫纳（Rene Carmona）首先向作者指出了这种游戏的可能兴趣。【18】的第2节可以看作是一个前身，至少在精神上是这样的：在一个托耶的例子中，叫做“会议什么时候开始？”代理人间接控制其到达预定地点的时间。另一方面，它在游戏中产生了一个固有的不连续性：经济学中众所周知（例如，[14，27]），最佳时机的游戏可能很容易退化，因为所有玩家都在同一时间停止。因此，其中一个挑战是产生一类典型平衡不平凡的模型。具体来说，我们将研究一个连续时间的随机博弈，其中有一个连续的参与者。在平衡状态下，每个代理i将解决formsupτE的最优停止问题经验值ZτRSD{θ>τ}∪{θ=∞};它有两种相互竞争的力量。

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2022-5-25 08:25:15

过程r可以解释为只要代理不停止，就应计的报酬利率，从而激励代理留在游戏中。另一方面，还有一个违约时间θ（利息支付机构）：如果θ发生在代理离开游戏之前，代理将失去一切。虽然违约对代理人来说是一个“惊喜”，但θ的分布受代理人已知的强度过程γ的控制：γi越大，违约越有可能很快发生。更准确地说，θ被建模为强度为γi的Cox过程的第一次。这导致了单主体最优停止问题的可处理解决方案，我们从金融文献（例如，[23，第5章]）中获得了灵感，众所周知，类似环境下的可违约债券将像不可违约债券一样定价，但利率调整后r- γi。代理人对犯规分布的看法是不一致的。我们认为强度γias取决于代理人i使用的主观概率。因此，球员面临不同的最优停球问题，可能在不同的时间达到顶点。经纪人对违约强度的看法也将受到多少球员已经停赛的影响；更精确地说，比例ρt∈ [0，1]的玩家在时间t之前离开游戏。所有代理都会观察到这一过程，并创建平均场类型的交互：如果ρ越大，任何玩家的强度也会越大，这意味着感知到的违约会发生得越快。正如在银行挤兑模型中一样，这表明，如果有更多的客户弃船，那么机构违约的可能性更大。虽然我们将设定的一般公式推迟到第5节，但非典型模型可能会假设γiis的形式为γit=Xt+Yit+cρt。

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2022-5-25 08:25:19

（1.1）这里，X起着共同噪声的作用（所有代理都是一样的），而Yi是一种特殊噪声，在人群中是i.i.d。根据应用情况，可以将X和yi分别解释为公共信号和专用信号，或者将它们的总和视为真实信号X的噪声观测值≥ 0控制交互强度；也就是说，代理的观点在多大程度上受到ρt的影响。假设τiis是代理i选择的停止时间，代理的连续统由无原子概率空间（i，i，λ）表示。那么，ρt（ω）=λ{i：τi（ω）≤ t} （1.2）是在时间t之前停止的玩家的“比例”。这也可以被视为在时间t的累积分布函数（c.d.f.），用于描述系统在I×{0，1}上的演化，记录每个代理I是否停止（1）（0）。如果我们从一个给定的过程ρ开始，就可以确定试剂的强度γiof。假设相关的最优停止问题有解（τi）i∈一、默认假设一个合适的可测性，我们可以考虑过程λ{I：τI（ω）≤ t} ，如果满足（1.2），我们应表示ρ和（τi）i∈形成平衡。由于我们正在处理一系列的参与者，单个代理的决策不会影响ρ，因此这个概念对应于纳什均衡：给定其他参与者的策略，每个参与者的行为都是最优的。我们的主要结果（定理5.1）将平衡ρ与有限维方程的解联系起来。例如，在（1.1）的情况下，它的读数为1- u=英尺（r- 十、- cu），u∈ [0，1]，（1.3），其中FTI是特殊噪声Yt的c.d.f，r是（恒定）利率。

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kedemingshi

2022-5-25 08:25:22

如果ρ（t，x）是时间t的（最大）解u，xts是公共噪声，那么ρ（t，Xt）描述了一个平衡，也建立了一个相反的平衡。这个简单的方程允许我们更详细地理解平衡的结构和多重性。有两个因素对我们环境的可处理性很重要。一方面，我们使用精确的大数定律来完全消除特殊的随机性（后面将讨论相关的数学设置）。这一思想及其许多体现在经济学中是众所周知的；请参见[1、15、21、31]以引用一些示例。另一方面，我们假设γi- r在增加，正如我们将看到的，这导致了单代理问题的简单解决方案。与平均场对策文献中常见的耦合前向后向方程组相比，可以说汉密尔顿-雅可比-贝尔曼部分变得无关紧要，因为我们知道反馈形式的单主体问题（给定ρ）的解，而我们的方程实际上代表了科尔莫戈罗夫前向方程，我们可以使用（1.3）中的时间导数来找到ρ的偏微分方程，或者在没有常见噪声的情况下找到ODE。虽然本论文的主要目的是模拟一个最佳停车平均场博弈的可处理示例，但有一些重要方面没有讨论。三个主要问题是从一个有n个玩家的游戏到极限的通道，当单调性条件被放弃时会发生什么，以及应用程序的分析。关于这些方面的最新结果可以在[11]中找到，我们想强调的是，这些工作中的大部分是平行进行的，或者在我们之前进行的。特别是，在我们第5.1节的模型中，连续统公式中的均衡策略是大n的n人博弈中的ε-均衡策略。

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2022-5-25 08:25:25

此外，还介绍和分析了最优停止（或“定时”）平均场博弈的一般框架，并讨论了其在银行挤兑模型中的应用。本文的其余部分组织如下。在下一节中，我们将更严格地描述游戏，并详细分析单人问题，而第3节将介绍允许精确大数定律的数学设置。第4节分析了一个没有常见噪音的有洞察力的toymodel；我们讨论了（非）唯一性的例子，以及噪声和相互作用强度对平衡时间连续性的影响。最后，第5节处理具有常见噪声的一般模型。2配子（I，I，λ）是概率空间的描述；每个i∈ 我将与一名代理人通信。此外，让(Ohm, F、 P）是另一个概率空间，用作样本空间。我们支持(Ohm, F、 P）配备了右侧连续过滤Gi=（Git）t∈R＋和一个指数分布的随机变量，它独立于giforall i∈ 一、我们将GIA解释为代理I可用的信息。最后，让r是一个实值且局部可积的过程（即，在有界区间上的Lebesgue可积），对于所有I∈ 我也就是说，所有代理都会观察到。2.1单代理问题我们首先考虑固定代理的优化问题i∈ 我和我们用十分之一表示所有Gi停止时间的集合。Letγi≥ 0是局部可积的Gi渐进可测过程，并考虑随机时间θi=inft:Ztγisds=E.人们可能会认为θias是强度为γi的Cox过程的第一个跳跃时间。默认时间θide依赖于i，这将允许我们在公共概率测度P下写出所有最优停止问题。或者，我们可以处理正则空间上的单个随机时间，并赋予代理主观概率Pi。

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2022-5-25 08:25:29

我们发现前面的解更容易写，它们是等价的，因为主体的决定（和平衡）只取决于强度的分布。出于技术原因，我们假设R+在[0]上是可积的，∞), P-a.s.，orinf{t：γit- rt公司≥ 0}<∞, P-a.s。（2.1）关于此类条件的必要性，另见下文备注2.2。然后，我们得到了关于单代理问题的以下结果。引理2.1。假设γi- r增大且（2.1）保持不变。那么，τi：=inf{t：γit- rt公司≥ 0}∈ Ti是最优停止问题SUPτ的解∈领带经验值ZτRSD{θi>τ}∪{θi=∞}. （2.2）如果（2.2）的值为有限，则τiis在所有溶液中最小，此外，如果γi- r严格递增，则τiis为唯一解。证据由于γi的增加- r与Gi的右连续性，γi的右极限过程ζ- r存在，且Gi可逐步测量。As{τi≤ t} ={ζt≥ 0}∈ Git，我们有τi∈ Ti。Letτ∈ 使r+在[0，τ），P-a.s上可积。利用E和Gi的独立性，我们得到了{θi>τ}∪ {θi=∞}Giτ= PZτγisds<EGiτ= E经验值-ZτγisdsGiτ.在本文中，增长是从非严格意义上理解的。我们使用的惯例是∞RSD：=-∞ ifR公司∞r+sds=r∞R-sds=∞.因此，E经验值ZτRSD{θi>τ}∪{θi=∞}Giτ= E经验值Zτ（rs- γis）dsGiτ最后经验值ZτRSD{θi>τ}∪{θi=∞}= E经验值Zτ（rs- γis）ds. （2.3）如果我们是（2.1）的第一种情况，我们的可积条件适用于所有τ∈ Tiand as r- γiis减小，右侧的表示表明τiis最优。在（2.1）的第二种情况下，由于r是局部可积的，因此对于每个有限值τ，我们仍然有（2.3）∈ 我们推导出，在所有这些停止时间中，τiis是最优的。

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2022-5-25 08:25:33

如果τ是一般停止时间，N∈ N、 Fatou引理和最优性yieldE经验值ZτRSD{θi>τ}∪{θi=∞}≤ lim信息→∞E经验值Zτ∧Nrsdsθi>τ∧N≤ E经验值Zτirsdsθi>τi,因此，τiis实际上是所有s打顶时间中的最佳值。其余的断言也可以从（2.3）中推断出来。我们从引理2.1的证明中可以看出，γi的增加- r导致最优停止问题的简单解，这将有助于平衡点的可处理性。对于这种情况，我们没有什么可说的了。备注2.2。与有限区间停车问题一样，为了确保最优停车时间的存在，需要一个可积性假设。特别是，如果r>γi>0为常数，则τi=∞ 这显然不是最理想的P（{θi>τi}∪ {θi=∞}) = 如果我们考虑地平线为T的相同问题∈ （0，∞), 无需额外假设。备注2.3。在引理2.1和本文的其余部分中，我们使用了γi的严格单调性- r作为τi唯一性的简单有效条件。在特定情况下，可能需要使用更尖锐的条件；例如，离散时间问题可以通过使用分段常数过程嵌入到我们的结果中，但随后需要适应严格单调性的概念。2.2交互当第i个代理选择在τi处停止时∈ Ti，代理将通过已经停止的代理的“比例”进行交互。实际上，我们应该根据过程ρ指定γias为泛函，然后平衡将是停止时间τi的集合∈ 对于λ-几乎所有i，其解（2.2）∈ ρt=λ{I：τI≤ t} 。（2.4）当λ为无原子时，单个主体的决策不会影响该数量，因此我们确实存在纳什均衡。很明显，过程ρ必然会增加且[0，1]值。

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2022-5-25 08:25:36

此外，我们认为ρ是由所有代理观察到的，因此ρ将适用于所有i。在（2.4）中，我们默认右侧的集合是可测量的P-a.s.，这对于i.i.d.随机变量的连续统来说非常重要。下一节将讨论可以保证这一点的设置。然而，在此之前，让我们通过一个非常简单的示例来说明迄今为止引入的概念，其中代理不使用除ρ以外的任何信号。示例2.4（太阳黑子）。（i）设λ为i=[0，1]上的勒贝格测度，设r>0为常数，设X为上的右连续递增过程(Ohm, F、 P），对于普通、右侧连续过滤Gi=G（即，所有试剂均相同）可逐步测量，并且X∞> 1、假设代理人一∈ [0，1]相信强度γit=（r- i+ρt）∨ 因此，我是“乐观主义”或“风险容忍度”的指数——指数较高的代理相信θi会在以后发生。我们声称ρt=（Xt∧ （1）∨ 0产生平衡。实际上，最佳停止时间由τi=inf{t：γit给出- R≥ 0}=inf{t：ρt=i}=inf{t：Xt≥ i} 结果是λ{i:τi≤ t} =λ{i:Xt≥ i} =（Xt∧ （1）∨ 0=ρt；请注意，满足（2.1）的第二个条件。例如，选择Xt=t会导致ρt=t∧1和τi=i，表明代理在确定性时间停止，这些时间均匀分布在时间间隔上[0，1]。如果Xis严格为正，我们会看到一些代理在t=0时立即停止，而如果Xis严格为负，则任何代理都需要一段时间才能停止。（ii）有限人博弈中存在类似的均衡。让n∈ N并设λ为I={1/N，2/N，…，1}上的归一化计数测度；这对应于n个权重相等的代理。在与（i）相同的设置中，非平衡由τi=inf{t:Xt描述≥ i} 和ρt=（Xt）∧ （1）∨ 0,哪里十、 := 最大{s∈ I:s≤ x} 。备注2.5。

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2022-5-25 08:25:39

（i）在前面的例子中，过程X不是γi的函数形式的一部分；本质上，任何过程X都会产生一个平衡。这种解释是，如果所有主体都同意一些通常观测到的信号X是相关的，那么它确实变得相关了，这就是“太阳黑子平衡”这个名称本身所暗示的。我们将在示例4.3中看到，这种情况是模型的一个生成极限，其中唯一性是典型情况。（ii）如果所有代理完全相同，问题将退化，因为它们（通常）将同时停止。因此，在上述示例中，通过改变风险容忍度，使代理具有异构性。当代理由于privatesignals而已经是异构的时，如后面的章节中所述，这是不必要的。3数学设置和精确的Largenumbers定律在本节中，我们介绍了设置以适应连续的试剂及其专用信号。设（I，I，λ）为无原子（因此为不可数）概率空间，且(Ohm, F、 P）是另一个概率空间。定义3.1。A家庭（fi）i∈Iof随机变量开启(Ohm, F、 P）基本上是成对独立的，如果λ-几乎所有i∈ 一、对于λ-几乎所有j，fi与fjj无关∈ 一、此外，如果所有fi的分布都相同，则该家族基本上是成对的I.I.d。类似地，对于σ-字段C F、家庭（fi）i∈如果λ-几乎所有i∈ 一、对于λ-almostall j，fi在条件上独立于fjgiven C∈ 一、在下面的内容中，我们需要研究一个比通常乘积（I×）更大的概率空间Ohm, 我 F、 λ P），因为后者在此处和下方不起作用，我们使用产品σ-字段I F已完成。支持i.i.d.随机变量的相关系列。更准确地说，我们有以下事实：；参见，例如，【31，提案2.1】。备注3.2。

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2022-5-25 08:25:42

如果f:I×Ohm → R是I F-可测函数，使得F（i，·），i∈ I本质上是成对的I.I.d.，那么f是常数λ P-a.s.根据[31]，我们说概率空间（I×）Ohm, ∑，u）是产品（I×）的扩展Ohm, 我 F、 λ P）如果∑包含I F和u到I的限制 F与λ重合 P此外，如果任何u-可积函数f:I×Ohm → 满足Fubini\'stheorem的主张；也就是说，（i）对于λ-几乎所有i∈ 一、函数f（I，·）是P可积的，（ii）对于P几乎所有ω∈ Ohm, 函数f（·，ω）λ-可积，（iii）i 7→Rf（i，·）dP是λ-可积的，ω7→R（·，ω）dλ是P可积的，且zf du=ZZf（i，ω）P（dω）λ（di）=ZZf（i，ω）λ（di）P（dω）。让（I×）Ohm, ∑，u）是（I×）的Fubini扩展Ohm, 我 F、 λ P）。然后，基本上成对独立的族满足大数定律的精确版本。最简单的版本大致如下：格里文科-坎特利定理的正确版本成立；参见[31，推论2.9]。命题3.3（精确大数定律）。设f:I×Ohm → R为u-可积。如果f（i，·），i∈ I本质上是I.I.d，其di分布的平均值为m，则rf（·，ω）dλ=m表示P-几乎所有ω∈ Ohm.我们还需要[30，推论2]提供的有条件版本。命题3.4（条件精确大数定律）。让C Fbe是一个可数生成的σ-场，设f:I×Ohm → R为u-可积分。Iff（i，·），i∈ I基本上是成对条件独立的，给定C，则rf（·，ω）dλ=REu[f | I C] P的（·，ω）dλ-几乎所有ω∈ Ohm.鉴于备注3.2，不明显的是，前面的命题不是真空的，这是由接下来的两个结果保证的。空间（I×）Ohm, 如果存在∑-可测函数f:I×，则∑，u）称为富Ohm → R使得f（i，·），i∈ 我基本上是成对的I.I.d。

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2022-5-25 08:25:46

也就是说，f是可测量的u-完成∑andR | f | du<∞.因为∑可能严格大于I F、这不是自动的。[0，1]上的均匀分布。与无原子概率s空间支持任意给定分布的随机变量一样，富Fubini扩展本质上支持任意给定分布的成对i.i.d.族；参见[31，推论5.4]。引理3.5。让（I×）Ohm, ∑，u）是（I×）的富比尼扩展Ohm, 我F、 λ P），设S是一个Polish空间，设ν是一个Borel概率测度。存在∑-可测函数f:I×Ohm → 这样f（i，·），i∈ I本质上是成对独立的，f（I，·）对所有I都有分布ν∈ 一、引理3.6。存在无原子概率空间（I，I，λ）和(Ohm, F、 P）以便（I×）Ohm, 我 F、 λ P）允许丰富的Fubini扩展。这是[31，命题5.6]断言的一部分，它也表明人们可以接受I=[0，1]和Ohm = R[0,1]。[32]的主要结果表明，此外，可以将λ作为Lebesgue测度的扩展（但不是Leb-esgue测度本身）。[29]中介绍了一种不同的结构，即避免非标准分析。4一个玩具模型在本节中，我们讨论了一个简单的设置，其中代理的信号是。i、 d。；也就是说，纯粹的特殊噪音。虽然不适合大多数应用，但这将使我们能够在模型中解释精确的大数定律的影响，并在没有太多干扰的情况下讨论一些更为明确的唯一性和非简并性问题。考虑第2节中介绍的具有无原子概率空间（I，I，λ）和(Ohm, F、 P），并让（I×）Ohm, ∑，u）是其产品的富比尼拉伸。对于每个i∈ 一、让易≥ 0是一个正确的、连续的、递增的、Gi逐步可测量的过程。我们假设对于每个t≥ 0，（i，ω）7→ Yit（ω）是∑-可测的，并且Yit，i∈ 我基本上是成对的。i、 d。

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2022-5-25 08:25:50

此外，我们认为，Yithas的分布没有原子；也就是说，其c.d.f.y 7→ Ft（y）：=P{Yit≤ y} 是连续的。提案4.1。让r∈ R和c∈ R+。方程式1- u=英尺（r- cu），u∈ [0，1]（4.1）有一个最大解ρ（t）∈ [0，1]每t≥ 0和t 7→ ρ（t）是右连续的。还确定γit=Yit+cρ（t），τi=inf{t：Yit+cρ（t）=r}，并假设（2.1）满足所有i.（i），则ρ和（τi）i∈定义平衡：τi∈ Ti是agent i的最佳停止时间，映射（i，ω）7→ τi（ω）是∑-可测的，λ{i：τi≤ t} =ρ（t）P-所有t的a.s≥ 相反，设ρ是与非平衡相对应的右连续函数。如果γiis对所有i严格递增，则ρ（t）对于每个t是（4.1）的解≥ 0、证明草图。这个命题是定理5.1的一个特例，稍后将予以证明，因此我们只解释最重要的步骤。（a）我们首先认为ρ是定义良好的、递增的和右连续的。让我们考虑，对于右连续增函数F:R→ [0，1]，g（u）的零：=F（r- 铜）- 1+u，u∈ [0，1]。我们有G（0）=F（r）- 1.≤ 0和G（1）=F（r- c）≥ 此外，G是左连续的，其跳跃满足G≤ 因此，G在[0，1]中必须至少有一个零。如果联合国↑ u是[0，1]中的最大化零序列，通过左连续性，G（u）=0，u是最大零。接下来，写入Gt（u）：=Ft（r- 铜）- 1+u，设ρ（t）为每个t的最大值零≥ 0.t 7的增加和右连续性→ ρ（t）可以从Y的增加、Y的右连续性和Y的连续性7中推断出来→ Ft（y），我们分别推迟细节。（b）接下来，我们验证ρ和（τi）i∈确定一个平衡点。

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2022-5-25 08:25:53

从（a）可以看出，γi=Yi+cρ是递增的且右连续的；因此，引理2.1得出τi∈ 这是一个最佳的s打顶时间∈ I和{（I，ω）：τI（ω）≤ t} ={（i，ω）：Yit（ω）+cρ（t）≥ r}∈ ∑。利用命题3.3的精确大数定律、fta的连续性和ρ（t）的定义，我们得到了ρ（t）：=λ{i：τi的P-a.s≤ t} =λ{i:Yit+cρ（t）≥ r} =ZP{Yit+cρ（t）≥ r} λ（di）=1- 英尺（右- cρ（t））=所有t的ρ（t）≥ 0。（c）设ρ：R+→ R是与非平衡相对应的右连续函数；也就是说，ρ（t）=λ{i：τi≤ t} 对于某些最优τi∈ Ti，i∈ 一、那么|ρ明显增大，[0，1]取值。由于γi的严格增加，我们从引理2.1知道τi=inf{t：γit≥ r} 。因此，ρ（t）=λ{i：τi≤ t} =λ{i:Yit+c'ρ（t）≥ r} =ZP{Yit+c'ρ（t）≥ r} λ（di）=1- 英尺（右- c′ρ（t））；也就是说，(R)ρ（t）是所有t的（4.1）解≥ 我们从一些关于唯一性的观察开始讨论。备注4.2。（i）方程（4.1）可能有多个解；参见示例4.4。如果t 7→ ρ（t）是（4.1）的任意右连续递增解，不一定是最大的，然后ρ通过上述命题4.1的证明中的相同论证得出平衡。（ii）方程（4.1）也有一个最小解，它在t中自动递增。然而，它不一定是右连续的；另见下文示例4.3（iii）。相反，如果Y为，则它保持连续。如果解是唯一的且Y是连续的，则解是最小和最大的，因此是连续的。接下来，我们分析命题4.1的一个特例，它是可解的，并且揭示了常数c的影响≥ 0参数化交互强度。

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能者818

2022-5-25 08:25:56

一种直觉是，如果代理之间的交互太强，一些代理的停止将导致多米诺骨牌效应，所有其他代理都会立即停止。示例4.3。让r≥ 1并让Ui、i∈ I本质上是成对的I.I.d.，在[r]上均匀分布- 1，r]。此外，让a:R+→ R+是严格递增的右连续函数，a（0）=0，a(∞) > 1-后者将确保（2.1）保持不变。然后我们考虑严格递增的过程it=Ui+a（t），并注意到Ft（y）=F（1+y-a（t）-r），其中F是均匀分布的c.d.F.【0，1】。因此，方程式（4.1）变为1- u=F（1- 铜- a（t）），u∈ [0，1]。（4.2）（i）无相互作用，c=0。显然，唯一解是ρ（t）=a（t）∧ 这是命题4.1最后一部分的唯一均衡。（ii）适度互动，c∈ （0，1）。很容易看出，（4.2）有唯一解ρ（t）∈ [0，1]；即ρ（t）=[（1- c）-1a（t）]∧ 这是唯一的平衡。特别是，对于c∈（0，1）。交互作用系数c越大，代理数越早。（iii）临界相互作用，c=1。使用a（t）>0表示t>0，我们可以检查ρ（t）=1是（4.2）表示t>0的唯一解。因此，ρ≡ 1是唯一的右连续解；也就是说，所有代理都在t=0时停止。这也是唯一的权利连续均衡。值得注意的是∈ [0，1]是t=0时（4.2）的溶液；回想一下，a（0）=0。直观地说，解ρ（t）=u1{0}+（0，∞)不连续的部分对应于平衡，其中部分u在时间零点停止，而其余部分在“零点之后”立即停止。这可以说明为什么我们的结果中存在强光连续性。（iv）超临界相互作用，c>1。

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kedemingshi

2022-5-25 08:25:59

我们直接看到ρ（t）=1是（4.2）对于所有t的唯一解≥ 0.4.1关于平衡的多重性，以下是一个表现良好的非唯一性示例。示例4.4。我们再次考虑示例4.3的设置，例如，r=1，a（t）=t，但我们现在用分配质量ε的测量值替换Ui的均匀分布∈ （0，1/4）均匀到[0，ε]和[1-ε、 1]和剩余质量1- 2ε均匀至[1/2- ε、 1/2+ε]。对于足够小的ε>0和c∈ （0，1），我们看到方程（4.1）在一定区间内有三个t的内部解，而所有解都位于t=0的原点。我们可以选择这些解中的任何一个来形成一个与合法平衡相对应的递增右连续过程ρ。为了理解这种分歧，让我们首先看看γit=r的更简单的情况- c+cρ（t）f或所有i。在时间t=0时，两个明显的平衡是：无药剂停止，然后ρ（t）=0，γit=r- c<r，所以最好不要停下来。或者，所有代理都立即停止，然后ρ（t）=1，γit=r，因此确实最好停止。（该协调问题与[14，27]中讨论的现象非常相似。）当γ是随机的时，对于与γi分布中的一个原子相对应的种群子集，可以在中间时间出现类似的选择。更一般地说，当随机变量有效地集中在某个点周围（相对于c的大小）而不是有原子时，分叉通道也会以连续的方式发生，这是示例4.4中所见证的。以下观察结果是对相同相互作用的不同看法。备注4.5。Let（t，y）7→ Ft（y）be Cand写入Ft=yftf时间t的概率密度。假设uFt（r- cu）6=-1.即cft（r- cu）6=1在（4.1）的解ρ（t）附近的u。

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2022-5-25 08:26:02

然后，隐函数定理表明ρ是局部唯一的，并且C。对于C>0，这是真的，特别是如果0≤ 英尺<c-1开[右]- c、 r]。或者，换言之：如果FTI不太集中，或者c足够小，则局部唯一性成立。下面提供了示例2.4的更广泛视角，并表明在某些制度下，唯一性可能会更严重地失效。示例4.6。我们再次考虑示例4.3的设置，除了我们现在取a（t）=（0，t<T2，t≥ T、其中T∈ （0，∞) 充当时间范围。事实上，这一定义意味着γit≥ 所有t的r+1≥ T和i∈ 一、这样所有代理都将在T处停止，如果不更早的话。因此，我们对[0，T]的情况感兴趣，其中（4.2）变成1- u=F（1- cu）。（i）对于c∈ [0，1），唯一解是u=0，因此ρ（t）=1[t，∞)是相应的平衡：在t=0时，只有一组零代理停止，直到t才改变。我们可以检查这种平衡是唯一的，即使γi没有严格增加。（ii）在临界值c=1时，唯一性丢失，情况完全不同。事实上，这个方程变成了重言式1- u=1- u、因此，任何右连续递增函数X（t）的值在[0，1]中，通过ρ（t）=X（t）1[0，t）+1[t确定平衡，∞).这就是我们在示例2.4中遇到的情况：就平衡分布而言，分配风险规避-i至试剂i，并从[r]均匀取样-1，r]对于当前示例中的每个代理。后者基本上与例2.4.5中试剂标签的随机排列相对应。在本节中，我们通过指定i.i.d.信号Yi和a公共信号X的强度γias（可能是非线性函数）来概括上一节中的模型。

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2022-5-25 08:26:06

因此，强度是条件独立的，而不是独立的，平衡成为X的函数。如上所述，我们考虑第2节中引入的设置，即原子无概率空间（I，I，λ）和(Ohm, F、 P），并让（I×）Ohm , ∑，u）是其产品的Fubiniextension。对于每个i∈ 一、让易≥ 0是一个正确的、连续的、递增的、Gi逐步可测量的过程。我们假设≥ 0，（i，ω）7→ Yit（ω）是∑-可测的，并且Yit，i∈ I是本质上的airwise I.I.d.此外，我们假设Yithas的分布没有原子；也就是说，其c.d.f.y 7→ Ft（y）：=P{Yit≤ y} 是连续的。此外，letX是一个d维的、右连续的（组件式）递增过程，对于所有i，它是Gi逐步可测量的，因此对于所有t，Xt和Yitareindependent都是独立的≥ 0.因此，X被解释为公共信息，而YI是仅对代理i可用的专用信号。（第5.1节讨论了略有不同的设置和解释。）设r:r+×Rd→ R是右连续递减函数。假设利率过程的形式为RT=r（t，Xt）。最后，试剂i的强度形式为γit=g（t，Xt，Yit，ρt），其中g:R+×Rd×R×[0，1]→ 此外，还可以包括其他特殊信号。具体而言，可以使用时间零点处的信号来分配试剂中γito的不同功能形式，类似于示例4.3的结尾。由于X可以是多变量的，因此相对于引入另一个随机过程而言，这不会失去一般性。是具有g（t，Xt，Yit，0）的连续函数≥ 0，在其所有参数中递增，因此对于所有（t，x，u），y 7→ g（t，x，y，u）允许倒7→ G-1（t，x，y′，u），为简单起见，我们假设其范围为R。我们支持g-1再次连续。定理5.1。

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2022-5-25 08:26:11

方程式1- u=英尺（g-1（t，x，r，u）），u∈ [0，1]（5.1）有一个最大解ρ（t，x，r）∈ [0，1]对于每（t，x，r）∈ R+×Rd×R，ρt：=ρ（t，Xt，R（t，Xt））是一个右连续的递增过程。定义γit=g（t，Xt，Yit，ρt），τi=inf{t：γit=rt}，并假设（2.1）满足所有i.（i）Then，ρ和（τi）i∈定义平衡：τi∈ Ti是agent i的最佳停止时间，映射（i，ω）7→ τi（ω）是∑-可测的，λ{i：τi≤ t} =ρtP-所有t的a.s≥ 更一般地，这适用于（5.1）的任何可测解ρ（t，x，r），因此ρ（t，Xt，r（t，Xt））是右连续且递增的。（ii）相反，设t 7→ ρt是一个与平衡相对应的右连续过程，并假设ρt=ρ（t，Xt，r（t，Xt））对于某个可测函数ρ。如果γi对于所有i严格递增，那么对于每个t≥ 0，(R)ρ（t，x，r（t，x））求解（P）的（5.1）o 十、-1t）-几乎所有x∈ Rd证明。（a）我们声称ρ（t，x，r）定义良好，在（t，x）中增加，在（r）中减少，在（t，x）中（共同）右连续，在（r）中左连续。实际上，在函数gt，x，r（u）：=Ft（g-1（t、x、r、u））- 1+u，u∈ [0，1]。由于Fttakes的值在[0，1]中，因此我们有Gt，x，r（0）≤ 0和Gt、x、r（1）≥ 0、Asu 7→ Gt，x，r（u）是连续的，因此在[0，1]中至少有一个零，并且由于所有零的s et是紧的，所以它有一个最大值。我们将ρ（t，x，r）写成Gt，x，r的最大零点。随着Y的增加，函数t 7→ Ft（y）在减小，然后t 7也在减小→ Gt，x，r（u）；请注意，g-1在（t，x，u）中减少，在r中增加。因此，如果s≤ t、 gt，x，r>0 on（ρ（t，x，r），1）这一事实意味着Gs，x，r>0 on（ρ（t，x，r），1），因此ρ（s，x，r）≤ ρ（t，x，r）。x和r中的单调性类似。让tn↓ t和xn↓ x和rn↑ r、设置ρn=ρ（tn，xn，rn）和ρ*= ρ（t，x，r）。如上所述，ρnis减小，ρn≥ ρ*.

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2022-5-25 08:26:14

因此，我们只需要验证ρ∞:= limρn≤ ρ*. 鉴于ρ的定义*作为最大零，必须显示ρ∞是Gt，x，r的零，并且作为Gtn，xn，rn（ρn）=0，如果（t，x，-r、 u）7→ Gt，x，r（u）共同右连续。（5.2）实际上，y 7→ Ft（y）是连续的，加上y的右连续性，t 7→ Ft（y）为右连续。同时使用g的continuityof-1，我们看到（5.2）符合预期。这就完成了ρ上定理的证明。（b）接下来，我们验证了平衡条件。根据（a），过程t 7→ ρt=ρ（t，Xt，r（t，Xt）），γi增大且右连续，引理2.1得出τi∈ 这是一个最佳的停车时间。注意（i，ω）7→ γi（ω）是∑-可测的，（i，ω）7也是∑-可测的→ rt（ω）。因此，{τi≤ t} ={γi≥ rt}∈ ∑对于所有t≥ 利用命题3.4的条件精确大数定律，y 7的连续性→ Ft（y）和ρt的定义，我们得到了ρt：=λ{i：τi的P-a.s≤ t} =λ{i:g（t，Xt，Yit，ρ（t，Xt，r（t，Xt）））≥ r（t，Xt）}=ZP{g（t，Xt，Yit，ρ（t，Xt，r（t，Xt）））≥ r（t，Xt）| Xt}λ（di）=1- 英尺（克-1（t，Xt，r（t，Xt），ρ（t，Xt，r（t，Xt）））=ρ（t，Xt，r（t，Xt））=ρt.（c）设ρ是一个与平衡相对应的右连续过程；也就是说，ρt=λ{i：τi≤ t} 对于某些最优τi∈ Ti。然后ρ明显增加，并且有[0，1]值。由于γi的严格增加，我们从引理2.1知道τi=inf{t：γit≥ rt}，这也确保{τi≤ t}∈ ∑。由于我们假设ρt=？ρ（t，Xt，r（t，Xt）），我们得到了（b）中的ρt=λ{i：τi≤ t} =1- 英尺（克-1（t，Xt，r（t，Xt），’ρ（t，Xt，r（t，Xt）））P-a.s≥ 0、备注5.2。定理5.1（ii）中的结果先验地假设平衡ρ是马尔可夫的；即（t，Xt）的确定函数。（i）首先，让我们观察到，情况并非自动如此：随机均衡可能存在。

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2022-5-25 08:26:17

考虑示例4.4的设置，其中X是确定性的，等式（5.1）有几个（确定性的、递增的、右连续的）解；特别地，一个最大解ρ（t）和一个最小解ρ′（t）。假设有一个泊松过程N，它是Gi适应的，与所有i的yi无关，σ是它的第一个跳跃时间。那么，’ρt=1【0，σ）（t）ρ′（t）+1【σ，∞)（t） ρ（t）定义了（5.1）的另一个右连续递增解，该解决定了平衡。然而，’ρ不是上述马尔可夫形式。相反，代理可以同意根据独立随机化σ改变其行为。关于标准平均场博弈中随机（或“弱”）均衡的进一步见解，我们也参考了[10，22]。（ii）其次，让我们证明，如果等式（5.1）中的唯一性成立，则不会出现（i）中提到的现象。在定理5.1（ii）的设置中，即使我们没有先验地假设ρ是（t，Xt）的函数，我们也有ρt=λ{i：τi≤ t} =λ{i:g（t，Xt，Yit，ρt）≥ r（t，Xt）}=ZP{g（t，Xt，Yit，’ρt）≥ r（t，Xt）| Xt}λ（di）=1- 英尺（克-1（t，Xt，r（t，Xt），’ρt））。如果ρ（t，x，r）是（5.1）在定理中构造的（5.1）的最大解，且唯一性对（5.1）成立，则ρt=ρ（t，Xt，r（t，Xt））P-a.s。从这个意义上说，ρ必然是马尔可夫形式。备注5.3。在由随机微分方程驱动的平均场博弈的文献中，时间t的私有状态通常独立于全路径（Xs）s≤tof时间t之前的常见噪声。在当前设置中，我们假设强度γ以马尔可夫方式依赖于Xin，因此它适合于当前值Xt。

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2022-5-25 08:26:22

我们可以设想一个类似的结果，其中γide以依赖于a的方式依赖于X，然后我们将以X.5.1加性模型和噪声观测的整个过去为条件。在本节中，我们通过合并公共信号来增强命题4.1中的玩具模型，并从定理5.1中获得一般模型的可处理规范。考虑第2节中介绍的具有无概率空间（I，I，λ）和(Ohm, F、 P），并让（I×）Ohm, ∑，u）bea Fubini对其产品的扩展。对于每个i∈ 一、让易≥ 0是一个正确的、持续的、可测量的过程。我们认为≥ 0，（i，ω）7→ Yit（ω）是∑-可测的，并且Yit，i∈ 我基本上是两两独立的。此外，我们假设Yit（·）的分布没有原子；也就是说，其c.d.f.Ftis连续。此外，让X≥ 0是一个正确的连续、递增、可测量的过程，以便XT和Yitareindependent for all t≥ 0、我们取r∈ R为常数（为简单起见），γit=Xt+Yit+cρt，其中c≥ 0是控制交互强度的常数；另见示例4.3。对于信息结构，我们可以考虑两种情况。要么我们看到给出的GIA，并假设oX和yi是Gi逐步可测量的所有i∈ 一、这就是上面的观点。或者，我们假设代理只观察X+yi和ρ，因此我们认为ogi是由X+yi和ρ生成的正确的连续过滤，对于所有∈ 一、这允许将X解释为“真实信号”，而代理ican只能用I.I.d.噪声Yi观察噪声信号X+Yi。尽管代理在第一种情况下有更多的信息，但两者都产生了相同的平衡。下面给出的τ的形式表明代理只使用γi的观测。事实上，定理5.1产生了以下结果。推论5。4.

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2022-5-25 08:26:25

方程式1- u=英尺（r- 十、- cu），u∈ [0，1]有一个最大解ρ（t，x）∈ [0，1]对于每（t，x）∈ R+×R，ρt：=ρ（t，Xt）是右连续过程。还定义γit=Xt+Yit+cρt，τi=inf{t:Xt+Yit+cρt=r}，并假设（2.1）满足所有i.（i），则ρ和（τi）i∈定义平衡：τi∈ Ti是agent i的最佳停止时间，映射（i，ω）7→ τi（ω）是∑-可测的，λ{i：τi≤ t} =ρtP-所有t的a.s≥ 0。（ii）相反，设t 7→ ρt是一个与平衡相对应的右连续过程，并假设ρt=ρ（t，Xt）对于某个可测函数ρ。如果γi对于所有i严格递增，那么对于每个t≥ 0，(R)ρ（t，x）求解（P）的（5.1o 十、-1t）-几乎所有x∈ R、可以按照示例4.3的思路构造一个可解的示例。示例5.5。让r≥ 1并让Ui、i∈ I本质上是成对的I.I.d.，在[r]上均匀分布- 1，r]且Ui和Xt对于所有t都是独立的≥ 0.M或以上，假设X严格随X=0和X增加∞> 1、对于c∈ （0，1），考虑强度过程γit=Xt+Ui+cρt。然后，方程有唯一解ρ（t，x），ρ（t，Xt）=[（1- c）-1Xt]∧ 1对应于唯一（马尔可夫）平衡。特别是，这种平衡以非退化的方式发展，就像X一样。参考文献【1】R.J.Aumann。具有连续交易者的市场。《计量经济学》，32:39–501964。[2] 巴尔迪先生。一些线性二次平均场对策的显式解。网络。Heterog公司。媒体，7（2）：243–2612012。[3] M.Bardi和F.S.Priuli。具有遍历成本的线性二次N人和平均场博弈。暹罗J.控制优化。，52（5）：3022–30522014。[4] A.Bensoussan、J.Frehse和S.C.P.Yam。平均场博弈与平均场型控制理论。斯普林格简要介绍数学。斯普林格，纽约，2013年。[5] A.Bensoussan、K.C.J.Sung、S.C.P.Yam和S.P.Yung。线性二次平均场游戏。J

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2022-5-25 08:26:28

Optim公司。理论应用。，169（2）：496–5292016年。[6] P.Cardaliaguet。关于平均场比赛的说明（摘自P.-L.Lions’lec tur es Atcollege de France）。2013年【7】R.Carmona和F.Delarue。平均场博弈的概率分析。西亚姆杰。控制优化。，51（4）：2705–27342013年。[8] R.Ca rmona和F.Dela rue。大种群平衡的马斯特方程。在《随机分析与应用2014》中，SpringerProc第100卷。数学《统计》，第77-128页。Spring e r，Cham，2014年。[9] R.Carmona和F.Delarue。正反向随机微分方程和受控McKean-Vlasov动力学。安。概率。，43（5）：2647–2700，2015年。[10] R.Carmona、F.Delarue和D.Lacker。具有常见噪声的平均场对策。安。概率。，44（6）：3740–380 320015年3月。[11] R.Carmona、F.Delarue和D.Lacker。银行挤兑时间和模型的平均场博弈。一个ppl。数学优化。，76（1）：217–260，2017年。[12] R.Carmona、J.-P.Fouque和L.-H Sun。平均场游戏和系统风险。公社。数学Sci。，13（4）：911–9 33，2015年。[13] R.Carmona和D.Lacker。平均场对策的概率弱公式及其应用。安。应用程序。概率。，25（3）：1189–12312015。[14] D.W.Diamond和P H.Dybvig。银行挤兑、存款保险和流动性。J、政治。经济。，91（3）：401–4191983年。[15] D.Duffee和Y.Sun。独立随机匹配的精确大数定律。J、经济学。《理论》，147（3）：1105–1139，2012。[16] M.Fischer。关于对称N人对策与平均场对策之间的联系。安。应用程序。概率。，27（2）：757–8102017年。[17] D.A.Gomes和J.Saúde.平均场游戏模型——简要调查。Dyn公司。游戏应用程序。，4（2）：2014年第110–154页。[18] O.盖恩特，J-M、 Lasry和P.-L.Lions。平均场游戏和应用程序。在巴黎普林斯顿2010年数学金融讲座，《数学建筑笔记》2003卷。，第205-266页。柏林斯普林格，2011年。[19] M.Huang、P.E.Caines和R.P。

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2022-5-25 08:26:33

马尔哈梅。具有非均匀代理的大群体成本耦合QG问题：个体质量行为和分散的-纳什均衡。IEEE Trans。自动装置。对照组，52（9）：1560–15712007。[20] M.Huang、R.P.Malhamé和P.E.Caines。大群体随机动态博弈：闭环McKean-Vlasov系统和纳什确定等价原则。公社。在f.系统中。，6（3）：221–251，2006年。[21]I.Karatzas、M.Shubik和W.D.Sudderth。在战略市场博弈中构建平稳马尔可夫均衡uilibr ia。数学操作。第19（4）号决议：975–10061994年。[22]D.拉克。随机差分遗传算法平均场极限的一般特征。概率。《理论相关领域》，165（3-4）：581–6482016。[23]D.兰多。信用风险建模：理论与应用。普林斯顿大学出版社，普林斯顿，2009年。【24】J-M、 Lasry和P.-L。狮子。Jeuxáchamp moyen。一、勒卡斯车站。C、 R.数学。阿卡德。Sci。巴黎，343（9）：619–6252006。[25]J-M、 Lasry和P.-L.狮子。Jeuxáchamp moyen。二、Ho rizon Fini等人。C、 R.数学。阿卡德。Sci。巴黎，343（10）：679-684206。[26]J-M、 Lasry和P.-L.狮子。平均场比赛。日本。J、数学。，2（1）：229–2602007。【27】S.Morris和H.S.Shin。协调风险和债务价格。欧元。经济。Rev，48（1）：133–153，2004年。【28】H.Pham。具有随机系数的条件McKeanVlasov方程的线性二次型最优控制及其应用。预印本XIV:1604.06609v1，2016年。[29]K.波德切克。关于富Fubini扩张的存在性。经济学。《理论》，45（12）：2010年1月至22日。[30]L.Qiao，Y.Sun，a和Z.Zhang。条件精确大数定律与具有广义不确定性的对称信息经济。经济学。理论，第1-22页，2014年。【31】Y.Sun。通过Fubini扩展和可保风险的表征，得出拉格数的精确定律。J经济学。《理论》，126（1）：31–692006年。[32]Y.Sun和Y.Zhang。

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