我们现在重新定义了非预期（可能是向量值）泛函F的几个正则性性质对于每个A，F称为保有界if∈ CBV（[0，T]，V）和任何紧致子集KU存在常数C，使得| F（t，X，a）|≤ C代表所有t∈ [0，T]和X∈ D（[0，T]，K）。o如果所有ε>0，则F在固定时间称为连续∈ [0，T]，X∈ D（[0，T]，U）和A∈CBV（[0，T]，V），存在η>0使得| F（T，X，A）-F（t，Y，A）|<ε表示所有Y∈ D（[0，T]，U），其中kXt- Ytk公司∞< η、 o如果对于所有t，F称为左连续∈ （0，T），ε>0，X∈ D（[0，T]，U）和A∈ CBV（[0，T]，V），存在η>0，使得| F（T，X，A）-F（t-h、 Y，A）|<ε对于所有h∈ [0，η）和Y∈ D（[0，T]，U），其中kXt- 年初至今-香港∞< η、 o如果所有ε>0和（t，X，A），则F在X中称为连续的，在t中局部均匀∈ [0，T]×D（[0，T]，U）×CBV（[0，T]，S）有一些η>0使得| F（U，X，A）- F（u，Y，A）|<ε表示所有（u，Y）∈ [0，T]×D（[0，T]，U），其中kX- Y k公司∞< η和| t- u |<η。接下来，我们回顾了水平和垂直导数的概念，它们也被称为双导数，并在[7，3]中提出。以下水平导数的概念从[7，3]中扩展而来，并在[27]中提出。我们说F是水平可微的，如果存在非预期且保有界的泛函DF，DF，[0，T]×D（[0，T]，U）×CBV（[0，T]，V）上的DmF，以便0≤ s<t≤ T和（X，A）∈ D（[0，T]，U）×CBV（[0，T]，V），函数[s，T]3 r 7→ DiF（r，Xs，A）是Borel可测量的，而F（t，Xs，A）- F（s，Xs，A）=mXi=0ZtsDiF（r，Xs，A）Ai（dr），（A.1），其中我们将A（r）：=r。如【27，备注2.2】中所述，F将与水平导数D F=（DF，DF，…）水平不同。

，DmF），如果所有（t，X，A）都存在以下极限，并且如果它们在满足上述可测性要求的[0，t]×D（[0，t]，U）×CBV（[0，t]，V）上产生局部有界和非预期泛函，DF（t，Xt，At）=limh↓0F（t+h，Xt，At）- F（t，Xt，At）h（A.2）DkF（t，Xt，At）=limh↓0F（t，Xt，At，…，At+hk，…，Atm）- F（t，Xt，At）Ak（t+h）- Ak（t）{Ak（t+h）6=Ak（t）}，对于k=1，m、 非预期函数F在（t，X，A）处称为垂直可微，如果映射为Rdv→ F（t，X+v[t，t]，At）在0时可微分。然后，F在（t，X，A）处的垂直导数将是该贴图在v=0时的梯度。它将表示为XF（t，X，A）=(如果（t，X，A））i=1，。。。，d、 （A.3）其中如果（t，X，A）是ITH垂直偏导数，如果（t，X，A）=limh→0F（t，X+hei[t，t]，A）- F（t，X，A）h。如果函数F允许水平和垂直导数D F和XF，我们可以迭代相应的操作，以确定高阶水平和垂直导数。我们用C1,2b（U，V）表示所有非预期泛函F在[0，T]×D（[0，T]，U）×CBV（[0，T]，V）上的集合，这样F是左连续的，水平可微的，两次垂直可微的；水平导数D F在固定时间连续；垂直导数XF和XF是保持左连续有界的。用C1,2c（U，V）表示所有泛函F的类∈ C1,2b（U，V）在X上连续，在t上局部一致且有界保持。C1,2b（U，V）中的泛函满足以下路径It^o公式，该公式取自[27]，并略微扩展了[7，3]中的定理。定理A.1。让我们确定路径x∈ 具有连续二次变化的C（[0，T]，U），路径a∈CBV（[0，T]，V）和函数F∈ C1,2b（U，V）。

对于n∈ N、 确定近似路径Xn∈D（[0，T]，U）byXn（T）：=Xs∈TnX（s）[s，s（t）+X（t）{t}（t），0≤ T≤ T、 （A.4）并让Xn，s-:= limr公司↑sXn，r.然后沿（Tn），ZT的路径It^o积分XF（s，X，A）dX（s）：=limn↑∞Xs型∈田纳西州XF（s、Xn、s-, A） ·（X（s）- 存在X（s）），（A.5），且A（t）=t，F（t，X，A）- F（0，X，A）=ZTXF（s，X，A）dX（s）+mXi=0ZTDiF（s，X，A）dAi（s）+dXi，j=1ZTijF（s，X，A）d[Xi，Xj]（s）。（A.6）参考文献【1】Ananova，A.和Cont，R.（2017）：关于有限二次变化路径的路径积分。《数学与贴花杂志》，107（6）：737-57。[2] Bick，A.和Willinger，W.（1994）：无概率动态跨越。随机过程。应用程序。，50（2）：349-374。[3] Cont，R.和Fournié，D.A.（2010）：路径空间上非预期泛函变量公式的变化。功能分析杂志259 1043-1072。[4] Cont，R.和Fournié，D.A.（2013）：泛函It^o微积分和鞅的随机积分表示。《概率年鉴》第41卷第1期，109-133页。[5] Cox，A.M.G.和Oblój，j.（2011）：双触式障碍期权的稳健对冲。暹罗J.FinancialMath。，2： 141-182。[6] Davis，M.、Oblój，j.和Raval，V.（2014年）。加权方差掉期价格的套利界限。数学《金融》，24（4）：821–854。[7] Dupire，B.（2009）：函数It^o演算。投资组合研究论文2009-04，彭博社。[8] Fernholz，E.R.（1999）：关于股票市场的多样性。数学经济学杂志31393-417。[9] Fernholz，E.R.（1999a）：投资组合生成函数。M.Avellaneda（编辑），《金融市场定量分析》，新泽西州River Edge。世界科学[10]Fernholz，E.R.（2002）：随机投资组合理论。Springer Verlag，纽约。[11] Fernholz，E.R.和Karatzas，I.（2005）：波动稳定市场中的相对套利。《金融年鉴》第149-177页。[12] Fernholz，E.R.，Karatzas，I。

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