无模型投资组合理论及其函数主公式

2022-5-25 09:10:39

无模型投资组合理论及其功能主公式Alexander Schied*Leo Speiser§Iryna Voloshchenko**第一个版本：2016年6月10日该版本：2018年5月23日摘要我们使用路径It^o演算来证明主公式inFernholz随机投资组合理论的两个严格路径版本。我们的第一个版本是在F"ollmer\'spathwise It^oCalculation的框架内设置的，适用于由功能生成的投资组合，这些功能可能取决于市场投资组合的当前状态和其他有限变化路径。第二个版本是在Dupire（2009）和Cont&Fournié（2010）的功能路径It^o演算中制定的，允许生成可能额外依赖于市场投资组合整个路径的投资组合函数。我们的结果通过几个例子进行了说明，并在实证市场数据上进行了展示。关键词：路径It^o演算；F"ollmer积分；功能It^o公式；投资组合分析；市场投资组合；投资组合生成泛函；路径空间上的函数主公式；熵权1简介本文的目的有两个。一方面，将随机投资组合理论中的主公式推广到路径相关的投资组合生成函数。另一方面，它产生了一个新的案例研究，其中连续时间交易策略可以通过路径it^o演算以无概率的方式构建。随机投资组合理论（SPT）由Fernholz（8，9，10）提出；参见Karatzas和Fernholz【13】的概述。其目标是构建优于特定参考投资组合（如市场投资组合u（t））的投资策略；例如，参见[12、30、18、22]。在这里，我们主要关注功能生成的投资组合，在标准SPT中，这些投资组合是从市场投资组合当前状态的功能G（t，u（t））生成的。

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nandehutu2022

2022-5-25 09:10:42

功能生成投资组合相对于市场投资组合的表现可以用所谓的SPT主公式非常方便地描述。有关主公式对*滑铁卢大学统计与精算学系，aschied@uwaterloo.ca§斯佩塞尔曼海姆大学数学系。leo@gmail.com**曼海姆大学数学系，irynaice@gmail.comA.S.感谢德意志联邦储备银行（Deutsche Forschungsgemeinschaft DFG）通过RTG 1953和加拿大自然科学与工程研究委员会（Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada）通过RGPIN-2017-0405提供的部分支持。一、 V.感谢Deutsche Forschungsgemeinschaft DFG通过研究培训组RTG 1953提供的支持。G还可能取决于有界变化连续轨迹的当前状态的情况。本文的第一个贡献涉及SPT建模框架的基础。虽然SPT的价格过程通常被建模为It^o过程，但人们经常注意到，主公式的两个方面都可以以严格的路径方式理解。因此，问题是，在建立SPT的过程中，到底需要多大程度的随机模型。价格过程真的需要建模为布朗运动驱动的It^o过程吗，或者是否有可能放宽这个条件，考虑更一般的过程，甚至可能超越半鞅类？一个人能摆脱随机模型中固有的空集吗？也就是说，一个人能逐条严格地证明主公式吗？我们的方法对上一段中提出的问题给出了肯定的答案。

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2022-5-25 09:10:45

为此，我们证明了SPT可以在F"ollmer[14]引入的路径It^o演算中进行公式化，并由Dupire[7]和Cont及Fournié[3，4]进一步发展为路径依赖泛函。因此，关于价格演变轨迹的唯一假设是，它们是【14】意义上的连续、容许变化和协变量。连续半鞅的所有典型样本路径都满足此假设，但非半鞅也满足此假设，例如具有赫斯特指数H的分馏布朗运动≥ 1/2和许多确定性分形曲线【19，25】。从这个意义上说，我们的论文也是对稳健金融的贡献，其目的是减少对概率模型的依赖，从而减少对不确定性的建模；有关其他财务问题的类似分析，请参见[2、5、6、23、24、26]。之前，byPal和Wong也获得了离散时间SPT的稳健性结果【20】，其中使用离散时间能量熵框架分析了投资组合相对于某个基准的相对绩效【21、32、33】。为了讨论本文的第二个贡献，请注意，在实践中，投资组合通常不仅根据当前市场价格或资本化，而且还根据过去的数据构建，如经济计量估计、移动或滚动平均、运行最大值、已实现协方差、Bollingerbands、，因此，很自然的问题是，是否有可能为由整个过去演变的泛函生成的投资组合开发一个主公式，ut：=（u（s∧ t））s≥市场投资组合的0，可能还有其他因素。本文对此问题给出了肯定的回答。

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2022-5-25 09:10:48

我们的主要结果，即定理2.16，包含了由G（t，ut，At）形式的充分光滑泛函生成的投资组合的主公式，其中a是有界变化的额外m维连续轨迹，可能以自适应方式取决于u。然后，我们将分析由当前市场投资组合权重及其移动平均值的混合函数生成的投资组合的几个具体示例。我们的分析是在数学层面和实证市场数据上进行的。本文的组织结构如下。在第2.1节中，我们首先提供了基于F"ollmer[14]路径It^o演算的主公式。它适用于由函数生成的投资组合，如Strong[29]所述，这些函数可能取决于市场投资组合的当前状态和有界变化的额外连续轨迹。在这种情况下，SPT的许多结果的公式和证明，包括主公式，都可以相对容易地扩展到路径设置。在第2.2节中，我们将第2.1节的结果扩展到可能取决于市场投资组合和A的整个过去演变的投资组合。为此，我们使用了Dupire【7】和Cont及Fournié【3】开发的路径函数It^o演算。实现这一扩展的主要困难在于，现在的Ite^ointegral是基于“Riemann和”，涉及积分器路径的近似。因此，必须在被积函数中保留对积分器路径的函数依赖，并且需要新的参数来证明，例如，相应的主公式。我们在第3节中讨论了上述示例。第4节给出了所有证明，附录中回顾了函数It^o演算的关键概念。2主要结果陈述在本文中，我们是在严格的路径设置下工作的。

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2022-5-25 09:10:52

我们的目标是首先推导出随机投资组合理论（SPT）的pathwisemaster公式【8、9、10、13】。为此，我们将使用F"ollmer开发的路径It^o演算[14]。在第二步中，我们将使用Dupire【7】和Cont以及Fournié【3】开发的路径It^o演算的函数扩展，以便将路径主公式也扩展到路径依赖泛函。在续集中，我们考虑了由d风险资产和本地无风险债券组成的金融市场模型。债券价格由b（t）=exp给出Ztr（s）ds,其中r:[0，∞) → R是满足rt | R（s）| ds<∞ 对于所有T>0。风险资产的价格由单d维连续路径S描述：[0，∞) → Rd.我们强调，没有对r和S的动力学作出概率假设。我们需要的是，S的组成部分除了严格为正外，还允许F"ollmer提出的路径意义上的连续协变量[14]。回想一下这个概念，让（Tn）n∈Nbe[0，∞), 这将在本文的其余部分保持不变。也就是说，对于固定的n，分区Tn={t，t，…}0=t<t<。和tk→ ∞ 作为k→ ∞. 此外，我们还有 T · · · , tn的网格在每个紧致区间上趋于零，如n↑ ∞. 对于fixedn，可以方便地表示t的继任者∈ t乘以t，即t=min{u∈ Tn | u>t}。然后我们假设1≤ i、 j≤ d和t≥ 0序列XS∈Tns≤t（Si（s）- Si（s））（Sj（s）- Sj（s））（2.1）收敛到一个有限的极限，称为Si和Sj的路径协变量，用[Si，Sj]（t）表示，因此→ [Si，Sj]（t）是连续的。像往常一样，我们写[Si]：=[Si，Si]，并将其称为实值路径Si的路径二次变化。

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大多数88

2022-5-25 09:10:55

所有连续函数的类：[0，∞) → 满足上述要求的RD将用QVd表示。如上所述，我们将要求所有i和t的Si（t）>0。QVd的相应子集将由QVd+表示。注意，qvd强烈依赖于分区序列（Tn）n的选择∈Nand通常不是向量空间[25]。此外，（2.1）中和的极化意味着[Si，Sj]存在于Si，Sj∈ QV，当且仅当二次变差[Si+Sj]存在且[Si，Sj]（t）=【Si+Sj】（t）- 【Si】（t）- 【Sj】（t）. （2.2）因此，对于d>1，协变量[Si，Sj]存在的假设不能简化为二次变量[Si]=[Si，Si]的存在。如果S是连续半鞅的典型样本路径，那么[Si，Sj]显然与通常意义上的二次变化一致，前提是该样本路径不属于某个空集，而该空集又强烈依赖于分区序列（Tn）n∈N、事实上，所有这些空集的并集等于整个样本空间Ohm, 因为对于每个连续函数，都存在一些划分的重新定义序列，沿着该序列，该函数具有消失的二次变化；见[16，第47页]。一些作者，如[1]或[3]，将路径二次变差（和路径It^ointegral）依赖于划分序列（Tn）n∈下一步，在符号中包含相应的符号。为了不加重记谱法的负担，我们对此有所回避。根据【14】，要求S∈ QVD保证其公式在路径意义上成立。通过从It^o的公式中提取那些自然出现在It^o积分中的函数，我们得到了一类具有积分s的It^o积分的自然可容许被积函数。

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可人4

2022-5-25 09:10:58

在第2.1节中，我们将使用相应的积分理论来发展严格的SPT路径理论，并陈述相应的主公式。在这种情况下，可以扩展使用的参数，例如，在[13]中。在第2.2节中，我们将考虑进一步扩展路径依赖型Portfoliost，该Portfoliost出现在Dupire[7]和Cont andFournié[3]最近给出的It^o公式的功能扩展中。在这里，在建立问题公式时需要额外的注意，并且相应的主公式需要新的证明策略。2.1 F"ollmer的pathwise It^ocalculus中的主公式我们参考[28]和[24，第3节]了解F"ollmer的pathwise It^ocalculus的背景，包括[28]附录中提供的[14]的英译本。对于开放集U RDV和V Rn，C2,1类（U，V）将包括所有功能f:U×V→ 在（x，a）中连续不同的R∈ U×V和两次连续可微分x∈ U、我们将写入fxk=f级/xkandfak=f级/Ak表示f对x=（x，…，xd）和a=（a，…，an）的kth分量的偏导数。f在x=（x，…，xd）方向上的梯度将表示为xf车型=外汇，fxd公司, 我们将写出关于向量x的分量xk和xm的二阶偏导数fxk，xm。两个向量v和ww的欧几里德内积将用v·w表示。我们让Rd+是rds中所有只有严格正分量的向量的集合。空间CBV（[0，T]，V）将包括所有连续函数A：[0，T]→ V组件具有有界变化。以下定义摘自【24，定义11】。定义2.1。

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kedemingshi

2022-5-25 09:11:01

函数ξ：[0，∞) → Rdis称为S的可容许被积函数，如果每个T大于0，则存在n∈ N、开放集合U RDV和V Rn，函数f∈ C2、1（U、V）和A∈ CBV（[0，T]，V）使得S（T）∈ U和ξ（t）=0的xf（S（t），A（t））≤ T≤ T如果ξ是S的可容许被积函数，则F"ollmer的路径It^o公式（例如，以[24，定理9]的形式）意味着，对于每一个T>0，路径It^o积分存在如下黎曼和极限：ZTξ（T）dS（T）=limn↑∞Xt公司∈Tn，t≤Tξ（T）·（S（T）- S（t））。（2.3）这个积分在续集中将被称为F"ollmer积分。假设ξ是S的可容许被积函数，η是[0]上的实值可测函数，∞) 使Rt |η（s）| d | B |（s）<∞对于所有的t>0，其中d | B |（s）表示关于B的总变化的Stieltjes积分。那么这对（ξ，η）被称为交易策略。通常的解释是，ξi（t）对应于t时持有的ithstock股份数量，η（t）是t时持有的无风险债券股份数量。定义2.2。设ξ为S的可容许被积函数，η为[0]上的实值可测函数，∞) 使Rt |η（s）| d | B |（s）<∞ 对于所有T>0。如果相关财富V（t）：=ξ（t）·S（t）+η（t）B（t）满足身份V（t）=V（0）+Ztξ（S）dS（S）+Ztη（S）dB（S），t，交易策略（ξ，η）称为自我融资≥ 0。（2.4）注意，（2.4）中的第一个积分是F"ollmer积分，其中，在Riemann–Stieltjes意义下，可以理解为η（s）dB（s），因为η（t）和B（t）都是t的连续函数。实际上，V（t）是通过t 7的连续性连续的→Rtξ（s）dS（s）和（2.4），ξ（t）的连续性源自可容许被积函数的定义，因此η（t）=（V（t）- ξ（t）·S（t））/B（t）也是连续的。引理2.3。假设X是从[0]开始的连续函数，∞) 至Rd+。然后是X∈ QVd+当且仅当log X：=（log X。

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2022-5-25 09:11:04

，log Xd）>∈ QVd。在这种情况下，[log Xi，log Xj]（t）=ZtXi（s）Xj（s）d[Xi，Xj]（s）。（2.5）前面的引理特别暗示log S=（log S，…，log Sd）>∈ QVd。以下引理是随机微积分中的标准引理。然而，在我们的路径设置中，他们的证明需要一些额外的注意。引理2.4。函数π：[0，∞) → Rdi是对数S的可容许被积函数当且仅当π（t）S（t）：=π（t）S（t），πd（t）Sd（t）>是S的可容许被积函数。在这种情况下，Ztπ（S）d log S（S）=Ztπ（S）S（S）dS（S）-dXi=1Ztπi（s）Si（s）d[Si]（s）。（2.6）前面的引理产生了一类特殊的自我融资交易策略：引理2.5。假设π是对数S的可容许被积函数。如果我们设vπ（t）：=expZtπ（S）S（S）dS（S）-dXi，j=1Ztπi（s）πj（s）Si（s）Sj（s）d[Si，Sj]（s）+Zt1.-dXi=1πi（s）r（s）ds！，（2.7）那么ξi（t）：=πi（t）Vπ（t）Si（t），i=1，d、和η（t）：=1.-Pdi=1πi（t）Vπ（t）B（t）（2.8）定义了一种与财富Vπ相关的自我融资策略。前面的引理只是以下定义。定义2.6。函数π：[0，∞) → 如果S是对数S的可容许积函数，且π（t）+····+πd（t）=1，t，则称为S的投资组合≥ 0。（2.9）只有当πi（t）时，S的投资组合才称为多头投资组合≥ 所有t均为0。来自（2.7）的函数Vπ将被称为π与单位初始财富的组合值。如【13，第2节】所述，我们将市场正常化，即我们假设在任何时候，每只股票只有一股流通股。然后，股票价格Si（t）代表单个公司的资本化。引理2.7。数量ui（t）：=Si（t）S（t）+···+Sd（t），i=1，d、形成S的投资组合，称为市场投资组合。单位初始财富对应的投资组合值由Vu（t）=S（t）+···+Sd（t）S（0）+··+Sd（0）给出。（2.10）如【13】和【29】中所述，我们现在可以考虑由投资组合生成函数生成的投资组合的路径动力学。

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2022-5-25 09:11:08

这些是C2,1-函数，可能取决于市场组合的当前组成u（t）和某些其他路径A（t），（局部）有限变化的Am（t）。这些额外路径的示例包括时间，A（t）=t，运行最大值，Aj（t）=最大值≤tSi（s），移动平均值，Ak（t）=θRtt-θSi（0∨ s） ds，或实现的二次变化，A`（t）=[Si]（t）；另请参见第3节。我们表示为D Rdand let中的标准单纯形d+：=D∩ Rd+。引理2.8。让V d+和W Rmbe开集，G是C2,1（U，W）中的严格正函数，andA:[0，∞) → 一个连续函数，其对紧区间的限制是有限变化的。那么πi（t）=ui（t）+ui（t）xilog G（u（t），A（t））-dXj=1ui（t）uj（t）xjlog G（u（t），A（t）），1≤ 我≤ d、（2.11）是S的投资组合，称为G生成的投资组合。此外，π是logu的容许积分，其中logu（t）：=（logu（t），logud（t））的定义类似于log S。以下定理将“主方程”从Fernholz[9]和Strong[29]扩展到严格的路径设置。定理2.9（路径主方程）。对于引理2.8中的G，G生成的投资组合π相对于市场投资组合的相对财富由以下主方程log给出Vπ（T）Vu（T）= 日志G（u（t），A（t））G（u（0），A（0））+ g（[0，T]）+h（[0，T]），0≤ T<∞,其中（可能有符号的）氡测量值g和h由g（dt）给出：=-dXi，j=1Gxi，xj（u（t），A（t））G（u（t），A（t））d[ui，uj]（t）和h（dt）：=-mXk=1Gak（u（t），A（t））G（u（t），A（t））dAk（t）。2.2路径依赖型投资组合的主公式本节的目标是将路径投资组合理论从第2.1节扩展到路径依赖型投资组合，并证明相应的主公式。

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2022-5-25 09:11:12

我们在这里遇到的主要困难是，路径It^o积分不再是（2.3）中普通黎曼和的极限。相反，近似“黎曼和”（A.5）中的被积函数涉及积分路径的近似。因此，要么需要像[1，Theorem3.2]中那样做出强正则性假设，以便能够用标准黎曼和替换（A.5），要么保留被积函数中的函数依赖性。在这里，我们走后一条路。它需要一种不同于我们用来证明定理2.9的证明策略。让我们∈ QVd+，并从附录中回顾pathwisefunctional It^o演算的基本定义和符号。为了保持符号简单且接近[7、3、27]，我们将在后续工作中确定时间范围T>0。很容易将我们的结果推广到T=∞ 通过使用本地化。用D（[0，T]，U）表示U值cádlág函数的一般Skorokhod空间。对于开集V Rmand a非预期泛函F:[0，T]×D（[0，T]，U）×CBV（[0，T]，V）→ R、我们表示byDF，Dmft（A.1）中定义的相应水平导数和XF=(如果）i=1，。。。，D（A.3）中定义的垂直衍生工具，前提是存在所有这些衍生工具。F的第二部分垂直导数将表示为ijF公司。我们还需要C1,2c（U，W）空间，其定义见附录。以下定义基于【1】中的建议。定义2.10。让U Rdbe是一个开放集。

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可人4

2022-5-25 09:11:16

A泛函ξ：[0，T]×D（[0，T]，U）→ 如果存在m，则称为U上的容许函数被积函数∈ N、开集W Rm，A∈ CBV（[0，T]、W）和F∈ C1,2c（U，W），使得ξ（t，X）=XF（t，X，A）用于t∈ [0，T]。如果ξ是U上的容许泛函被积函数 Rdand和X∈ QVdis U值，则ξ（t，X）对X的积分可通过（A.5）确定。此外，可以表明T 7→Rtξ（s，X）dX（s）是一个连续函数[27，引理3.1（c）]。定义2.11。如果π（t，X）+···+πd（t，X）=1，则Rdis上的可容许函数被积函数π称为函数组合∈ [0，T]和X∈ D（[0，T]，Rd）和if T 7→Rtπ（s，log s）d log Sadmits二次变化Zπ（s，log s）d log s（t） =dXi，j=1Ztπi（s，log s）πj（s，log s）d[log Si，log Sj]（s）（2.12）与没有路径依赖的情况相比，（2.12）的有效性不再是路径依赖设置中的优先项，这就是为什么（2.12）被作为要求包含在前面的定义中。关于S和π（2.12）成立的充分条件，请参见[1，定理2.1]。备注2.12。如果π是一个功能组合，那么π（t，log Y）Y（t）：=π（t，log Y）Y（t），πd（t，log Y）Yd（t）>, Y∈ D（[0，T]，Rd+）是Rd+上的可容许函数被积函数，我们有以下变量变化公式：Ztπ（s，log s）D log s（s）=Ztπ（s，log s）s（s）dS（s）-dXi=1Ztπi（s，log s）（Si（s））d[Si，Si]（s）。这源于[27，推论2.1]。

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nandehutu2022

2022-5-25 09:11:20

此外，（2.5）和Riemann–Stieltjes积分的关联性（参见，例如，[31，定理I.6b]）产生了恒等式ZtπI（s，log s）πj（s，log s）d[log Si，log Sj]（s）=ZtπI（s，log s）πj（s，log s）Si（s）Sj（s）d[Si，Sj]（s）。如果π是一个功能性投资组合，我们可以类比（2.6）和（2.7）定义相应的组合价值，单位初始财富asVπ（t）：=expZtπ（s，log s）d log s（s）+dXi，j=1Ztδijπi（s，log s）- πi（s，log s）πj（s，log s）d[对数筒仓Sj]（t）！=expZtπ（s，log s）s（s）dS（s）-dXi，j=1Ztπi（s，log s）πj（s，log s）Si（s）Sj（s）d[Si，Sj]（s）！（2.13）其中δij是Kronecker三角洲，其中我们使用备注2.12作为第二个恒等式。然而，在我们的路径依赖环境中，与引理2.5类似，Vπ（t）可以作为自我融资交易策略的财富，这并不明显。对于这样的语句，需要Vπ的函数扩展。引理2.13。对于函数组合π，设W Rmbe开放式，F∈ C1、2c（Rd、W）和A∈CBV（[0，T]，W）是π（T，X）=XF（t、X、A）。X的定义∈ D（[0，T]，Rd+）Vπ（T，X，（A，Bπ））：=expF（t，对数X，A）- F（0，对数X，A）- Bπ（t）,式中，对于A（t）=t，Bπ（t）=mXi=0ZtDiF（s，log s，A）dAi（s）（2.14）+dXi，j=1Zt(ijF）（s，log s，A）+πi（s，log s）πj（s，log s）- δijπi（s，log s）d[对数Si，对数Sj]（s）。然后Vπ∈ C1,2c（Rd+，W×R），泛函ξ：[0，T]×D（[0，T]，Rd+）→ 通过ξi（t，X）=πi（t，log X）Vπ（t，X，（A，B））Xi（t），i=1，d、是Rd+，and Vπ（t，S，（A，Bπ））=1+Ztξ（S，S）dS（S）=Vπ（t）上的可容许被积函数≤ T≤ T（2.15）我们还需要对市场组合进行以下功能扩展。对于X∈ D（[0，T]，Rd），让ui（T，X）：=eXi（T）eX（T）+···+eXd（T），i=1，d、（2.16）然后u（t，X）∈ d+，和u（t，log S）等于引理2.7中的市场组合u（t）。引理2.14。

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2022-5-25 09:11:24

功能u是一个功能组合，Vu（t，X，Bu）=eX（t）+···+eXd（t）eX（0）+···+eXd（0），X∈ D（[0，T]，Rd）。下面的引理将引理2.8扩展到我们当前的函数设置。引理2.15。让U d+和W∈ Rmbe开放集。对于严格正G∈ C1,2c（U，W）和A∈ CBV（[0，T]，W）we letgi（T，X）：=ilog G（t，X，A）。（2.17）然后πi（t，X）：=ui（t，X）1+gi（t，u（·，X））-dXj=1uj（t，X）gj（t，u（·，X））（2.18）是Rd上满足π+···+πd=1的可容许被积函数。如果π由（2.18）satifies（2.12）定义，那么它是一个函数投资组合，将被称为G生成的函数投资组合。现在我们可以陈述定理2.9的路径依赖版本。定理2.16。（路径相关路径主公式）设G和π如引理2.15所示，并假设（2.12）成立。此外，Vπ如（2.13）所示，Vu为市场投资组合u的投资组合值（2.10）。然后记录Vπ（T）Vu（T）= 日志G（T，u，A）G（0，u，A）+ g（[0，T]）+h（[0，T]），0≤ T<∞,式中，对于A（t）：=t，g（dt）：=-dXi，j=1ijG（t，u，A）G（t，u，A）d[ui，uj]（t）和h（dt）：=-mXk=0DkG（t，u，A）G（t，u，A）dAk（t）。3示例在本节中，我们将讨论一类示例以及实证分析。一般思路是使用市场投资组合u（t）及其移动平均值（由α（t）=θZtt定义）的凸组合的投资组合生成函数-θu（0∨ s） ds，其中θ>0。然后，投资组合生成函数的形式为Д（λu（t）+（1- λ） α（t）），其中ν是一个严格正且两次连续可微的函数，定义在d+。可以在第2.1节和第2.2节的上下文中考虑。在第一节中，α（t）可被视为有界变化的额外组成部分，因此我们可以使用函数g（u（t），α（t））=Дλu（t）+（1- λ） α（t）.

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2022-5-25 09:11:27

（3.1）然而，在第2.2节的背景下，我们可以考虑依赖于u通过α路径的非预期功能性LBG。为了使后一个想法更精确，我们让X∈ D（[0，T]，U），bG（T，X）：=ДλX（t）+1- λθZtt-θX（0∨ s） ds公司.然后bg∈ C1,2c（U，) andG（t，u（t））=bG（t，u）。（3.2）以下命题特别指出，两个描述（3.1）和（3.2）导致相同的结果。提案3.1。设π（t）是由（3.1）中的函数G和（3.2）中bg的2.15中的bπ（t，X）生成的投资组合。那么，forgi（t）：=λνxiλu（t）+（1- λ） α（t）^1λu（t）+（1- λ） α（t）, i=1，d、我们有bπi（t，log S）=πi（t）=ui（t）1+gi（t）-dXj=1uj（t）gj（t）. （3.3）此外，bπ满足（2.12），因此是一个功能组合。此外，我们有Vπ（T）=Vbπ（T）和logVπ（T）Vu（T）=^1λu（T）+（1- λ） α（T）^1λu（0）+（1- λ） α（0）+ g（[0，T]）+h（[0，T]），（3.4），其中h（[0，T]）=-1.- λλdXi=1ZTgi（t）αi（t）dtg（[0，t]）=-λdXi，j=1ZTДxi，xj（λu（t）+（1- λ） α（t））Д（λu（t）+（1- λ） α（t））d[ui，uj]（t）（3.5）在以下示例中，我们根据经验分析了Д的特定选择情况。为此，可以方便地使用简写符号eui（t）=λui（t）+（1- λ） αi（t）i=1，d、例3.2（几何平均值）。考虑Д（x）=Qdi=1x1/di，其生成组合πi（t）=1+λdeui（t）-dXj=1λuj（t）deuj（t）！ui（t），i=1，d、（3.6）根据命题3.1，我们有，δij再次表示Kroneckerδ，g（[0，T]）=λ2ddXi，j=1ZTdXi=1δij（eui（T））-deui（t）euj（t）！d[ui，uj]（t）h（[0，t]）=-1.- λddXi=1ZTαi（t）eui（t）dt。在图1和图2中，我们展示了对此类几何加权投资组合的实证分析结果，参数θ=60天，λ=0，7。我们使用了ReutersDatastream的股票数据库，并考虑了2015年5月DAX的30支股票。

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2022-5-25 09:11:30

我们的30个时间序列代表这些股票在2005年1月31日至2015年5月15日期间的每日收盘价，我们沿着相应时间点形成的有限分区进行工作。在图1中，我们可以看到投资组合（3.6）相对于该股票指数的相对表现。在图2中，我们根据主方程（3.4）在左侧面板中看到了曲线的分解。蓝色曲线是生成函数的变化，而红色和绿色曲线是各自的漂移项。每条曲线显示了由资本利得和损失引起的相应数量每日变化的累积值。可以看出，累积二阶漂移项在这一时期占主导地位，对相对收益的总贡献约为15%。二阶漂移项在所考虑的时期内相当稳定，但在2008年金融危机期间除外。图1：几何平均主公式（3.4）的LHS与RHS图2：几何平均主公式（3.4）的RHS分量表示例3.3（函数多样性加权）。这里取p∈ （0、1）和Д（x）=Pdi=1xpi1/p，生成权重为πi（t）=1+λ（eui（t））p的投资组合-1Pdk=1（euk（t））p-dXj=1λuj（t）（euj（t））p-1Pdk=1（euk（t））p！ui（t），i=1，d、（3.7）根据命题3.1，我们得到g（[0，T]）=λ（1- p） dXi，j=1ZTδij（eui（t））p-2Pdk=1（euk（t））p-（eui（t））p-1（euj（t））p-1.Pdk=1（euk（t））pd[ui，uj]（t）h（[0，t]）=-ZT1- λPdk=1（euk（t））pdXi=1（eui（t））p-1αi（t）dt。对于多样性加权投资组合的实证分析，我们再次使用路透社数据流获得我们的数据库；2015年5月，我们考虑了207只标普500指数成分股。我们的207个时间序列代表1973年2月2日至2015年4月2日期间的月平均价格。

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kedemingshi

2022-5-25 09:11:33

使用参数θ=12个月、λ=0、6和p=0、1对投资组合（3.7）进行模拟的结果如下所示。图3显示了该投资组合相对于该过滤指数的相对表现，图4显示了其根据主方程（3.4）在三个组成部分中的分解。每条曲线表示资本利得和损失在相应数量中引起的每月变化的累积值，但与例3.2相比，现在是生成函数中的累积变化在这一时期产生了主导部分，对相对回报的总贡献约为70个百分点。二阶漂移项在此期间相当稳定，总贡献率约为30%，而水平漂移项的贡献率为负。图3：多样性加权主公式（3.4）的LHS与RHS图4：多样性加权主公式（3.4）的RHS组件表示例3.4（函数熵加权）。这里取ν（x）=-Pdi=1xilog xi，它生成权重为πi（t）=1的投资组合-λlog（eui（t））Д（eu（t））+dXj=1λuj（t）log（euj（t））Д（eu（t））！ui（t），（3.8）和相关漂移率g（[0，t]）=-λdXi=1ZTД（eu（t））eui（t）d[ui，ui]（t），h（[0，t]）=（1- λ） dXi=1ZT1+对数eui（t）Д（eu（t））αi（t）dt。使用与例3.3相同的数据集，我们针对过滤指数对投资组合（3.8）进行了实证分析，参数θ=6个月，λ=0，9，分别如图5和图6所示。请注意，与经典Fernholz设置中的熵加权投资组合相比（参见[13，示例11.1]），附加漂移项h（[0，T]）可以是正的或负的。

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2022-5-25 09:11:38

从这个意义上讲，水平漂移项h（[0，T]）可以被视为量化了跑赢大盘和更一般框架内更大灵活性之间的权衡。这也得到了实际市场数据的支持，如图5和图6所示。实际上，累积二阶漂移项正在不断增加。此外，水平漂移项似乎对熵权投资组合的相对绩效没有太大影响，总贡献率不到1个百分点。因此，熵权应在考虑的时间间隔内显著优于市场，这在图5的案例研究中得到证实。图5：熵权重主公式（3.4）的LHS与RHS图6：熵权重主公式（3.4）的RHS组件表示4证明。引理的证明来自第2.1节引理的证明。我们首先让Z：[0，∞) → R+是任何连续路径。根据[28，命题2.2.10]，Z∈ QV+if且仅记录Z∈ QVand，在这种情况下，[对数Z]（t）=ZtZ（s）d[Z]（s）。（4.1）现在假设S∈ QVd+。根据极化恒等式（2.2），我们可以得出以下结论：∈ QVd，如果我们可以证明f（Si（t），Sj（t））属于所有i，j的qvf，其中f（x，x）：=log x+log x。应用于f（Si（t），Sj（t））的沿路径It^o公式得出f（Si（t），Sj（t））=f（Si（0），Sj（0））+Ztf（Si（s），Sj（s））dSi（s）Sj（s）+Xk，`=1Ztfxk，x`（Si（s），Sj（s））d[Sk，s`]（s）。[24]中的备注8和命题12现在暗示f（Si，Sj）∈ qv二次变量[f（Si，Sj）]（t）=Xk，`=1Ztfxk（Si（s），Sj（s））fx`（Si（s），Sj（s））d[Sk，s`]（s）=ZtSi（s）d[Si]（s）+ZtSj（s）d[Sj]（s）+2ZtSi（s）Sj（s）d[Si，Sj]（s）。因此，日志S∈ QVdand（2.5）现在是（2.2）和（4.1）之后的版本。日志S∈ QVDS意味着∈ QVd+后面是一个类似的参数，其中对数被指数函数替换。引理2.4的证明。

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2022-5-25 09:11:41

设X：=记录S并写入exp（X），用于包含组件eX，eXd。也就是说，exp（X）=S。现在假设π是X的可容许被积函数，并且T>0。然后存在n∈ N、开放集合U RDV和V Rn，函数f∈ C2、1（U、V）和A∈ CBV（[0，T]，V）使得X（T）∈ U和ξ（t）=0的xf（X（t），A（t））≤ T≤ T我们让g（z，a）：=f（log z，a）。然后g∈ C2,1（eU，V）对于开放集eU={exp（x）| x∈ U} 和gzi（z，a）=fxi（log z，a）/zi。因此，gzi（S（t），A（t））=πi（t）/Si（t），i=1，d、是S的可容许被积函数的分量。Converse断言如下所示。为了证明公式（2.6），我们使用了F"ollmer的路径It^o公式，该公式的yieldsd log Si（t）=Si（t）dSi（t）-2Si（t）d[Si]（t）。（4.2）因此，结合性规则【24，定理13】暗示了（2.6）。引理2.5的证明。从引理2.4中可以清楚地看出，（2.7）中的It^o积分定义得很好。此外，（2.7）中最右边的两个积分以Riemann–Stieltjes积分的形式存在，因为π（t）/S（t）作为S的容许被积函数，尤其是t的连续函数。因此，Vπ被很好地定义并定义为（ξ，η），因为Vπ（t）=ξ（t）·S（t）+η（t）B（t）乘以（2.8。设Z（t）：=Rtπ（s）s（s）dS（s）和R（t）：=Rt（1-Pdi=1π（s））r（s）ds，（2.7）可以重写为Vπ（t）=expZ（t）-[Z] （t）+R（t）.因此，应用路径It^o公式可以得到dVπ（t）=Vπ（t）dZ（t）+Vπ（t）dR（t）。因此，结合性规则【24，定理13】意味着Vπ（t）π（t）/S（t）=ξ（t）是沙的可容许被积函数，Vπ（t）dZ（t）=ξ（t）dS（t）。此外，恒等式Vπ（t）dR（t）=η（t）dB（t）源自Riemann–Stieltjes积分的关联性（例如，参见[31，定理I.6b]）。引理2.7的证明。对于x=（x，…，xd），设h（x）：=对数（ex+···+exd）。那么hxi（x）=exi-h（x）等h（对数S（t））=u（t）。因此，u是对数S的容许被积函数。

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2022-5-25 09:11:44

此外，u（t）+···+ud（t）=1这一事实是显而易见的。因此，u是定义2.6意义上的投资组合。为了证明Vu的公式，设g（x，…，xd）：=log（x+···+xd），xi>0。路径It^o公式yieldsg（S（t））- g（S（0））=Ztu（S）S（S）dS（S）-dXi，j=1Ztui（s）uj（s）Si（s）Sj（s）d[Si，Sj]（s）。根据引理2.5，右侧等于对数Vu（t）- log Vu（0），证明了这一说法。引理2.8的证明。很明显，π（t）+···+πd（t）=1。接下来，我们证明π是对数S的可容许被积函数，因此是S的组合。为此，让h与引理2.7的证明一样，因此u（t）=h（X（t）），其中X（t）=对数S（t）。请注意xh（x）∈ d+代表所有x∈ 因此，我们可以定义γ（x，a）：=log G(h（x），a），x∈ Rd，a∈ W、那么γxi（x，a）=dXj=1xjlog G(h（x），a）hxi，xj（x）。Sincehxi，xj（X（t））=δijeXi（t）-h（X（t））- eXi（t）+Xj（t）-2h（X（t））=δijui（t）- ui（t）uj（t），我们得到π（t）：=γxi（X（t），A（t））=ui（t）xilog G（u（t），A（t））-dXj=1ui（t）uj（t）xjlog G（u（t），A（t））（4.3）是对数S的可容许被积函数。利用引理2.7，我们现在可以得出结论，π=u+eπ是对数S的可容许被积函数。现在我们证明π是对数u的可容许被积函数。为此，首先观察h（logu（t））=logPiui（t）=0。因此，hxi（logu（t））=elogui（t）-h（logu（t））=ui（t），因此h（对数S（t））=u（t）=h（对数u（t））。因此，等式（4.3）也适用于X：=logu，因此eπ也是logu的可容许被积函数。因此，只需证明u是对数u的可容许被积函数。为此，设f（x）：=eh（x），并注意fxi（x）=exi。因此f（logu（t））=u（t），因此u确实是logu的可容许被积函数。4.2无路径依赖的路径投资组合动力学在本节中，我们分析投资组合的动力学和投资组合值。

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2022-5-25 09:11:49

在标准的随机投资组合理论中，这些结果中的许多是众所周知的（参见，例如，[13]），但在我们的路径设置中偶尔需要额外的注意。本节中的结果将作为证明泛函主公式定理2.9的准备，但它们也是独立的。在本节中，π将是S∈ QVd+在定义2.6和Vπ的意义上，指（2.7）中给出的单位初始财富对应的投资组合价值。由于π（t）+···+πd（t）=1的条件，公式（2.7）简化为vπ（t）=expZtπ（s）s（s）dS（s）-dXi，j=1Ztπi（s）πj（s）Si（s）Sj（s）d[Si，Sj]（s）！。（4.4）在我们的投资组合理论的无模型版本中，除了协变量的存在（2.1），我们不希望对协变量的结构进行假设。特别是，我们不假设[Si，Sj]（t）在t中是绝对连续的。增长率和协方差（在[13]中可以作为函数）来考虑，因此需要作为度量来建模。定义4.1。市场中股票的协方差由正半细矩阵值Radon测度a=（aij）1描述≤i、 j≤定义为asaij（dt）：=d[对数Si，对数Sj]（t）=Si（t）Sj（t）d[Si，Sj]（t），i，j=1，d、组合π的超额增长率定义为有符号的氡测量γ*π（dt）：=dXi=1πi（t）aii（dt）-dXi，j=1πi（t）πj（t）aij（dt）！。对于任何投资组合π，我们将单个股票相对于投资组合π的协方差定义为i，j=1，d、 τπij（dt）：=（π（t）- ei）>a（dt）（π（t）- ej）。（4.5）引理4.2。我们有log Vπ（t）=Ztπ（s）d log s（s）+γ*π（[0，t]）。证据

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2022-5-25 09:11:53

分别使用（4.2）、引理2.3、Vπ（0）=1的事实以及[31，定理I.6 b]和[24，定理13]中Stieltjes和F"ollmer积分的关联性，我们得到了log Vπ（t）=Ztπ（s）d log s（s）+dXi=1ZtπI（s）d[log Si]（s）-dXi，j=1Ztπi（s）πj（s）d[log Si，log Sj]（s），这意味着通过定义γ进行断言*π。将前面的引理应用于市场投资组合会产生以下结果。引理4.3。我们有以下市场权重ui.（a）d logui（t）的动态公式=ei公司- u（t）d日志S（t）- γ*u（dt）。（b） τuij（[0，t]）=[对数ui，对数uj]（t）和d[ui，uj]（t）=ui（t）uj（t）τuij（dt）。（c） dui（t）=ui（t）ei公司- u（t）d日志S（t）- ui（t）γ*u（dt）+ui（t）τuii（dt）。证据（a） ui的定义和引理2.7中Vu的公式得出对数ui（t）=对数Si（t）- log（S（t）+···+Sd（t））=log Si（t）- 对数Vu（t）- 对数（S（0）+···+Sd（0））。（4.6）使用微分和引理4.2证明了这一说法。（b）首先，例如，从（4.6）中可以看出，logu∈ QVd。接下来，从t 7开始→ γ*u（[0，t]）是有界变化的连续变量，它具有消失的二次变化。因此，（a）和[24，备注8和命题12]意味着[对数ui]（t）=hZ·ei公司- u（s）d对数S（S）i（t）=dXk，l=1Zt（ei）k- uk（s）（ei）l- ul（s）d[对数Sk，对数Sl]（t）（4.7）=Ztu（t）- ei公司>a（dt）u（t）- ei公司= τuii（[0，t]）。极化恒等式（2.2）现在产生了（b）中的第一个主张。第二个接引理2.3。（c）设置i（t）：=Ztei公司- u（s）d log S（S）=log Si（t）- 对数Si（0）-Ztu（s）d log s（s）和积分（a）得出ui（t）=ui（0）expI（t）- γ*u（[0，t]）. 使用t 7→ γ*u（[0，t]）是有界变化，因此具有消失的二次变化，路径It^o公式给出ui（t）=ui（0）+Ztui（s）dI（s）+Ztui（s）d[i]（s）-Ztui（s）γ*u（ds）。为了处理右侧的第一个积分，【24，定理13】的关联性规则yieldsthattrtui（s）dI（s）=Rtui（s）ei公司-u（s）d个日志。

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2022-5-25 09:11:57

对于第二个积分，（4.7）和Stieltjes积分的关联性【31，定理I.6 b】意味着RtuI（s）d【I】（s）=RtuI（s）τuii（ds）。这将产生（c）。下面引理的证明留给读者，因为它通过改编引理3.3中的证明直接遵循。引理4.4。对于任意一对投资组合π和ρ，我们具有以下numéraire不变性性质γ*π（dt）=dXi=1πi（t）τρii（dt）-dXi=1dXj=1πi（t）πj（t）τρij（dt）！。如果π是S的组合，并且是logu的可容许积分，则以下引理有效。引理2.4（使用logu代替log S）指出，后一个要求等同于πu是u的可容许被积函数。根据引理2.8，对于（2.11）中的功能生成的投资组合，满足了这一要求。引理4.5。假设π既是S的组合，也是logu的可容许被积函数。然后记录Vπ（t）Vu（t）=Ztπ（s）u（s）du（s）-dXi，j=1Ztπi（s）πj（s）τuij（ds）。（4.8）证明。首先，如上所述，πu是u的容许被积函数。使用引理4.3和[31，定理I.6 b]中Stieltjes积分的关联性以及F"ollmerintegral的关联性[24，定理13]得出π（t）u（t）du（t）=π（t）- u（t）d日志S（t）- γ*u（dt）+dXi=1πi（t）τuii（dt），因为投资组合权重总和为1。此外，应用引理4.4中的num'eraire不变性性质，我们得到π（t）u（t）du（t）=π（t）- u（t）d日志S（t）- γ*u（dt）+dXi，j=1πi（t）πj（t）τuij（dt）！+γ*π（dt）。另一方面，引理4.2产生thatd logVπ（t）Vu（t）= （π（t）- u（t））d对数S（t）+（γ*π- γ*u）（dt）。现在，将这些公式相互相减即可得出断言。作为定理2.9证明的准备，下面的引理进一步计算（4.8）的右侧，如果π是（2.11）中函数生成的投资组合。引理4.6。

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2022-5-25 09:12:01

设G如引理2.8中所示，π是G生成的投资组合，让我们写出eg（t）=（G（t），gd（t））>：=xlog G（u（t），A（t））。（4.9）然后记录Vπ（t）Vu（t）=Ztg（s）du（s）-dXi，j=1Ztui（s）uj（s）gi（s）gj（s）τuij（ds）。证据首先，我们在（4.8）中处理It^ointegral。使用速记法（4.9），π的定义（2.11）变为πi=ui（t）（gi（t）+1- u（t）>g（t）），soπ（t）u（t）=g（t）+（1- u（t）>g（t））1，其中1：=（1，…，1）>∈ Rd表示其条目均为1的向量。由于πu和g都是u的可容许被积函数，因此函数πu- g=（1- u>g）1也必须是u的容许被积函数。但>（u（t）- u（s））=所有s和t的0，因此，F"ollmer积分RT（1）的近似值（2.3）中的黎曼和- u（s）>g（s））1 du（s）必须全部消失。因此，该积分为零，因此RTπ（s）u（s）u（ds）=Rtg（s）u（ds）。为了处理（4.8）中最右边的积分，我们首先注意到τuij（dt）=aij（dt）-dX`=1u`（t）ai`（dt）-dXk=1uk（t）akj（dt）+dXk，`=1uk（t）u`（t）ak`（dt）。因此，利用u的分量之和等于1的事实，我们得到dxj=1uj（t）τuij（dt）=0，i=1，d、（4.10）使用πi=ui（t）（gi（t）+1- u（t）>g（t）），前面的恒等式产生dXi，j=1πi（t）πj（t）τuij（dt）=dXi，j=1gi（t）gj（t）ui（t）uj（t）τij（dt）。这证明了引理。4.3定理2.9的证明设g如（4.9）所示，并使用以下事实：log G）xi，xj=Gxi，xjG- gigjthe pathwise It^oformula and引理4.3（b）yieldlogG（T，u（T），A（T））G（0，u（0），A（0）=ZTg（t）du（t）+mXk=0ZTaklog G（t，u（t），A（t））dAk（t）+dXi，j=1ZTijG（t，u（t），A（t））G（t，u（t），A（t））- gi（t）gj（t）ui（t）uj（t）τuij（dt）。将此公式与引理4.6进行比较，现在给出了断言。4.4引理2.13第2.2节结果的证明。链式法则[27，引理3.3]给出了Vπ∈ C1,2c（Rd+，W×R）和XVπ（t，X，（A，Bπ））=ξ（t，X）。因此，ξ确实是Rd+上的可容许被积函数。

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2022-5-25 09:12:04

接下来，再次应用链式法则[27，引理3.3]给出ijVπ（t，X，（A，Bπ））=iξj（t，X）=Vπ（t，X，（A，Bπ））Xi（t）Xj（t）(ijF）（t，log X，A）+πi（t，log X）πj（t，log X）- δijπi（t，log X）andDiVπ（t，X，（A，Bπ））=Vπ（t，X，（A，Bπ））DiF（t，log X，A），i=0，m、 Dm+1Vπ（t，X，（A，Bπ））=-Vπ（t，X，（A，Bπ））。函数It^o公式、公式（2.5）和Stieltjes积分的关联性现在给出（2.15）。引理2.14的证明。函数H（t，X）：=log（eX（t）+····+eXd（t））显然属于C1,2c（Rd，),我们有u（t，X）=XH（t，X）。因此，u确实是一个可容许的函数被积函数。u+···+ud=1也是很清楚的。接下来，我们认为Ztu（s，log s）d log s（s）=Ztu（s）d log s（s）。（4.11）也就是说，功能It^ointegrantu（s，log s）d log s（s）与市场投资组合u（t）相对于log s的F"ollmer积分相一致。（这一事实并不完全明显，因为两个指数都定义为不同“黎曼和”的各自限值）。为了证明（4.11），请注意dh（t，X）=0和ijH（t，X）=iuj（t，X）=δijui（t，X）- ui（t，X）uj（t，X），（4.12），其中δij再次是克罗内克三角洲。因此，Ztu（s，log s）d log s（s）=H（t，log s）- H（0，对数S）-dXi，j=1Ztδijui（s）- ui（s）uj（s）d[对数Si，对数Sj]（s）=Ztu（s）d对数s（s），其给出（4.11）。恒等式（4.11）和[24，命题12]反过来暗示Zu（s，log s）d log s（s）（t） =dXi，j=1Ztui（s）uj（s）d[log Si，log Sj]（s）=dXi，j=1Ztui（s，log s）uj（s，log s）d[log Si，log Sj]（s），这就完成了u是功能组合的证明。最后，从DH（t，X）=0和（4.12）可以看出，在引理2.13中定义的Bu，F：=H同样消失。因此，lemmayields提出了Vu的公式。引理证明2.15。LetΓ（t，X，A）：=对数G（t，u（·，X），A）。

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nandehutu2022

2022-5-25 09:12:07

链式法则【27，引理3.3】意味着∈ C1,2c（Rd，W）及其ITH垂直偏导数由下式给出iΓ（t，X，A）=dXj=1gj（t，u（·，X））iuj（t，X）（4.13）=ui（t，X）gi（t，u（·，X））-dXj=1uj（t，X）gj（t，u（·，X））= πi（t，X）- ui（t，X），其中我们在第二步中使用了（4.12）。因此，π- u是Rd上的可容许函数被积函数。最后，通过引理2.14，u和π是Rd上的可容许函数被积函数。我们还需要在证明递减引理时引入泛函Γ的第二个垂直导数。引理4.7。对于引理2.15中的G和Γ（t，X，A）=log G（t，u（·，X），A），我们有ijΓ=dXk，`=1`kGGu`ukuj- δj`ui- δik- πiπj+uiuj+δij（πi- ui）。（4.14）证明。使用（4.13）和链式法则【27，引理3.3】，我们发现ijΓ（t，X，A）=jdXk=1gk（t，u（·，X））iuk（t，X）=dXk=1dX`=1`gk（t，u（·，X））ju′（t，X）iuk（t，X）+gk（t，u（·，X））ijuk（t，X）.到（4.12），我们已经juk=δjkuk- ukujand因此ijuk=ukδikδjk- ukuiδkj- ujukδki- ukuiδij+2uiujuk。因此，当eπ=π时- u，dXk=1gkijuk=δijui- uiujgi公司-dXk=1gkuk- uiujgj公司-dXk=1gkuk= eπiδij- ujeπi- uieπj.此外，`gk公司=`千克- g`gk和sodXk，`=1`gk公司ju`iuk=dXk，`=1`千克δj′u`- u`ujδikuk- ukui- uiujgi公司-dXk=1gkukgj公司-dXk=1gkuk.将所有内容放在一起，经过一小段计算后即可得出断言。定理2.16的证明。在引理2.13中，我们考虑泛函Vπ和Vu。如表2.15所示，Bu=0，vu（t，X）=expH（t，对数X）- H（0，对数X）,式中，H（t，X）=log（eX（t）+····+eXd（t））。此外，引理2.15的证明表明π=X（Γ+H），其中Γ如引理4.7所示。因此，引理2.13，logVπ（T）Vu（T）= Γ（T，log S，A）- Γ（0，对数S，A）- Bπ（T）=对数G（T，u，A）G（0，u，A）- Bπ（T）。因此，仍然需要计算Bπ（T）。

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2022-5-25 09:12:10

通过（2.14），（4.12）和（4.14），我们得到dBπ（t）+h（dt）=dXi，j=1(ijΓ）（t，log S，A）+(ijH）（t，log S）+πi（t，log S）πj（t，log S）- δijπi（t，log S）d[对数Si，对数Sj]（t）=dXi，j，k，`=1(`kG）（t，log S，A）G（t，log S，A）u`（t）uj（t）- δj′u′（t）uk（t）ui（t）- δikuk（t）d[对数Si，对数Sj]（t）。回顾符号aij（dt）=d[对数Si，对数Sj]（t）和τu\'k（dt）=Pdi，j=1（uj- δj`）aij（ui- δik）以及引理4.3得出的d[u`，uk]（t）=u`（t）uk（t）τ'k（dt）这一事实，我们最终得出所需的恒等式Dbπ（t）+h（dt）=-g（dt）.4.5命题3.1的函数导数链规则证明，[27，引理3.3]，logbG∈ C1,2c（U，), 其垂直导数如下所示：ilogbG（t，X）=λbG（t，X）ДxiλX（t）+1- λθZtt-θX（0∨ s） ds公司. （4.15）当在X=u时评估该表达式时，它等于gi（t）。因为我们知道u（t）=u（t，log S），所以等式（3.3）如下。在这个证明的后面，我们还需要水平导数logbg（t，X）。由（A.2）得出，由dlogbg（t，X）=1得出- λθbG（t，X）dXi=1ДxiλX（t）+1- λθZtt-θX（0∨ s） ds公司Xi（t-) - Xi（0∨ （t）- θ）-),我们把X（0-) = X（0）。因此，DlogbG（t，u）=1- λλdXi=1gi（t）αi（t），（4.16）类似于引理2.14的证明，有必要建立identityZtbπ（s，log s）d log s（s）=Ztπ（s）d log s（s）（4.17），从而得出bπ满足（2.12），因此是一个功能组合。为此，回想引理2.15的证明，bπ（t，X）=XΓ（t，X）+XH（t，X），其中Γ（t，X）=logbG（t，u（·，X）），H（t，X）=H（X）（对于H（X）=log（ex+···+exd）。因为我们已经从Lemma 2.14的证明中知道XH（s，log s）d log s（s）=Rtu（s）d log s（s），足以显示ztXΓ（s，log s）d log s（s）=Ztxγ（log S（t），α（t））d log S（S），（4.18），其中γ（x，a）=log G(xh（x），a）与引理2.8的证明相同。

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kedemingshi

2022-5-25 09:12:13

函数It^o公式意味着（4.18）的左侧由Γ（t，log S）给出- Γ（0，对数S）-ZtDΓ（s，log s）ds-dXi，j=1ZtijΓ（s，log s）d[log Si，log Sj]（s）。很明显，我们有Γ（t，log S）=γ（log S（t，α（t））。此外，引理4.7意味着ijΓ（t，log S）=γxi，xj（log S（t），α（t））。接下来，功能衍生物的链式法则[27，引理3.3]得出dΓ（t，X）=（DlogbG）（t，u（·，X））+dXi=1(ilogbG）（t，u（·，X））Dui（t，X）=（DlogbG）（t，u（·，X）），因为Dui=0。与（4.16）一起，我们得到dΓ（t，log S）=1- λλdXi=1gi（t）αi（t）。（4.19）通过γ的It^o公式（log S（t），α（t）），在（4.18）的右侧重新书写F"ollmer积分，并将所有内容放在一起，从而得出（4.18）。接下来，通过我们在这个证明中已经完成的计算，很明显H（[0，T]）=-ZTGa（u（t），α（t））G（u（t），α（t））dα（t）=-1.- λλdXi=1ZTgi（t）αi（t）dt=-ZTDbG（t，u）G（t，u）dt，G（[0，t]）=-dXi，j=1ZTGxi，xj（u（t），α（t））G（u（t），α（t））d[ui，uj]（t）=-dXi，j=1ZTijbG（u（t），α（t））bG（u（t），α（t））d[ui，uj]（t）=-λdXi，j=1ZTДxi，xj（λu（t）+（1- λ） α（t））Д（λu（t）+（1- λ）此外，由于G（u（t），α（t））=bG（t，u），定理2.9和2.16暗示Vπ（t）=Vbπ（t）。备注4.8。如前所述，处理函数路径It^o计算的一个主要困难是，路径It^o积分不再是普通Riemann和asin（2.3）的极限。相反，近似“黎曼和”（A.5）中的被积函数涉及积分器路径的近似。Ananova和Cont【1，定理3.2】对被积函数和积分器都提供了很强的正则性假设，以保证（A.5）可以被普通黎曼和代替。

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