投资组合理论的一般框架。第一部分：理论与各种

2022-6-1 13:01:37

投资组合理论的一般框架。第一部分：理论与各种模型斯坦尼斯劳斯·梅尔·帕佩*Qiji Jim Zhu+2017年10月11日AbstractUtility和risk是衡量投资成功的两个经常相互竞争的指标。我们表明，这两种投资组合度量之间的有效权衡通常发生在效用和风险二维空间的凸曲线上。这是一种相当普遍的模式。马科维茨（Markowitz）[15]的现代投资组合理论及其自然推广的资本市场定价模型[22]是我们的一般框架的特例，当风险度量采用标准差，效用函数采用恒等式映射时。利用我们的一般框架，我们还恢复了[20]中的结果，该结果扩展了资本市场定价模型，允许使用更一般的偏差度量。这种广义资本资产定价模型也适用于，例如，当最大提款的近似值被视为风险度量时。此外，考虑到一般效用函数，通过使用对数效用，可以超越“加法”性能度量，而成为累积回报的“乘法”性能度量。因此，在我们的一般框架下，也可以理解增长最优组合理论[9]和杠杆空间组合理论[28]。因此，这个总体框架允许对几个重要的现有组合理论进行统一，而且远远不止于此。关键词。凸规划、金融数学、风险度量、效用函数、有效前沿、马科维茨投资组合理论、资本市场定价模型、成长最优投资组合、分数凯利分配。AMS分类。52A41、90C25、91G99。确认

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2022-6-1 13:01:41

我们感谢Andreas Platen在阅读了早期版本的手稿后提出的建设性建议。*亚琛理工大学数学研究所，52062亚琛，坦普尔格拉本55，Germanymaier@instmath.rwth-亚琛。de+西密歇根大学数学系，1903 West Michigan Avenue，Kalamazoo，MI 49008，zhu@wmich.edu1马科维茨现代投资组合理论开创了金融经济学的定量分析。该理论中提出的最重要的想法是，人们应该关注预期回报和标准差衡量的风险之间的权衡。从数学上讲，现代投资组合理论导致了一个具有线性约束的二次优化问题。利用这一简单的数学结构，马科维茨给出了回报和风险权衡的有效边界的完整描述。托宾（Tobin）[26]表明，有效投资组合是预期回报的一个函数。马科维茨投资组合理论后来在资本资产定价模型（CAPM）中被林特纳（Lintner）[9]、莫森（Mossin）[17]、夏普（Sharpe）[22]和特雷诺（Treynor）[25]推广，涉及无风险债券。在CAPM模型中，有效前沿和相关的有效投资组合区域在预期回报方面都是相同的【22，26】。现代投资组合理论和CAPMmodel中解决方案的良好结构提供了许多应用。例如，CAPM模型旨在为市场上的风险资产提供合理的价格。夏普利用超额回报率与风险之比（称为夏普比率）来衡量投资绩效【23】。此外，有效投资组合在预期回报方面的一种结构导致了市场投资组合的概念以及双基金定理[26]和单基金定理[22，26]。

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2022-6-1 13:01:44

这些结果为被动投资策略提供了理论基础。虽然使用预期收益率和标准差作为投资组合回报和风险的衡量标准在数学分析中带来了许多便利，但许多其他衡量标准更为现实。自从伯努利研究圣彼得堡悖论[2]以来，凹效用函数已被广泛接受为更合适的报酬衡量标准。一般预期效用在许多情况下被用来衡量投资组合的表现。另一方面，在实践中，当前水位下降【13】、最大水位下降及其近似值【10、12、30】、偏差度量【20】、条件值atrisk【19】和更抽象的一致性风险度量【1】被广泛用作风险度量。这些风险度量的一个共同点是，它们是凸面的，反映了多元化降低风险的信念。本文的目标是将现代投资组合理论扩展到一个通用框架中，在此框架下，人们可以分析在凸风险度量和预期收益之间进行权衡的有效投资组合。我们将原始问题表述为一个凸投资组合优化问题，即在投资组合的预期效用高于一定水平的约束下，最小化凸风险度量。因此，凸对偶起着至关重要的作用，原始问题和对偶问题的解决方案的结构往往具有重大的财务影响。我们表明，在风险度量和预期效用的空间中，效率的权衡发生在一条不断增加的凹曲线上。我们还表明，有效投资组合持续依赖于预期效用的水平。当然，马科维茨现代投资组合理论和资本资产定价模型是这一一般理论的特例。

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2022-6-1 13:01:46

Markowitz确定了purelyrisky资产的投资组合，这些资产在预期收益和风险之间提供了一种有效的权衡，这种权衡是通过标准差（或相当于方差）来衡量的。从数学上讲，这是一类凸规划问题，其目的是最小化由预期收益水平参数化的投资组合的标准偏差。资本资产定价模型（capital asset pricingmodel）实质上扩展了马科维茨（Markowitz）的现代投资组合理论，在投资组合中加入了无风险债券。我们观察到，风险预期收益的空间实际上是对应于Markowitz投资组合问题对偶的空间。著名的马科维茨子弹的形状表明了一个众所周知的事实，即凸规划问题的最优值函数相对于约束水平是凸的。如上所述，马科维茨投资组合问题是一个具有线性约束的二次优化问题。问题的这种特殊结构决定了作为预期回报函数的最优投资组合的一种结构（见定理4.1）。这一结构引出了重要的双基金定理，为被动投资方法提供了理论基础。对于资本资产定价模型，这种结构出现在解决方案的原始和双重表示中，这导致投资组合空间中的两个基金分离定理和风险回报交易的双重空间中的资本市场线（参见定理4.5）。选择不同风险度量的灵活性使我们能够将马科维茨首创的基本二次风险度量的分析扩展到更广泛的范围。例如，当风险度量值是偏差度量值[20]时。

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kedemingshi

2022-6-1 13:01:49

当考虑当前提取的近似值时（见[14]），并使用预期回报来衡量绩效，我们表明经典资本市场定价模型中效率解决方案的有效结构得到了保留（参见定理5.1），尤其是恢复了[20]中的结果。这一点很重要，因为它表明，大规模投资战略在各种环境下都是合理的。然而，考虑到一般效用函数，我们可以超越现代投资组合理论中的“加法”绩效衡量标准，转而考虑“乘法”绩效衡量标准，包括累积回报，例如，使用对数效用。因此，在我们的一般框架下，也可以理解增长最优投资组合理论[9]和杠杆空间投资组合理论[28]。最优增长投资组合追求期望对数效用最大化，即期望累积复合收益最大化。众所周知，增长最优投资组合通常风险太大。因此，从业者通常会从增长最优投资组合中缩减风险敞口。在我们的一般框架中，我们考虑在给定固定水平的预期对数效用的情况下，使风险度量最小化的投资组合。在合理的条件下，我们证明了此类投资组合形成了一条路径，该路径由投资组合空间中的预期对数效用水平参数化，该路径连接了最优增长投资组合和无风险债券投资组合（见定理6.4）。一般来说，对于不同的风险度量，我们将得出不同的路径。这些路径为杠杆空间投资组合理论中提出的风险降低曲线提供了依据【28】。

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2022-6-1 13:01:52

双重问题将效率交易路径投影到风险预期对数效用空间中的凹曲线中，平行于马科维茨子弹在现代投资组合理论中的作用和资本资产定价模型中的资本市场线。与现代投资组合理论和资本资产定价模型不同，在无套利假设下，这里的有效边界通常是一条有限的递增凹曲线。曲线的左下端点对应于纯无风险债券投资组合，右上端点对应于增长最优投资组合。曲线的递增性质告诉我们，我们承担的风险越大，我们可以预期的累积回报就越多。然而，曲线的凹度表明，随着风险的增加，预期累积收益的边际增长将减少。因此，风险厌恶型投资者通常不会选择最优的增长投资组合。还值得注意的是，考虑与增长最优投资组合问题相对应的对偶问题将导致资产定价基本定理的一个版本（见定理6.10），该定理将等价鞅测度的存在性与无轨性联系起来。除了统一上面列出的几个重要结果之外，通用框架还有许多新的应用。在本文的第一部分中，我们对框架进行了布局，得出了至关重要的理论结果，并用几个例子加以说明。更多新的应用将出现在随后的论文中【3，14】。我们将论文安排如下：首先，我们将在下一节讨论必要的准备工作。第3节介绍了我们的主要成果：一个在投资组合及其属性的风险和效用之间进行权衡的框架。在第4节中，我们对马科维茨投资组合理论、资本资产定价模型和夏普比率进行了统一处理。

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2022-6-1 13:01:55

第5节专门讨论了最佳交易组合拥有单一结构的条件。第6节讨论了增长最优投资组合理论和杠杆投资组合理论。我们还强调了一些相关的重要应用，如资产定价的基本定理。我们在第7节中得出结论，指出了值得进一步研究的应用。2准备工作2.1投资组合模型我们考虑一个简单的单期金融市场模型，该模型基于一个经济体，其不动产由一个样本空间表示Ohm = {ω，ω，…，ωN}。我们使用概率空间(Ohm, 2.Ohm, P）代表经济状态及其相应的发生概率，其中2Ohm是的所有子集的代数Ohm. 上的随机变量空间(Ohm, 2.Ohm, P）表示为RV(Ohm, 2.Ohm, P）用于表示风险金融资产的支付。由于采样空间Ohm 是有限的，RV(Ohm, 2.Ohm, P）是有限维向量空间。我们使用RV+(Ohm, 2.Ohm, P）表示RV中非负随机变量的圆锥体(Ohm, 2.Ohm, P）。介绍内部产品十、 Y型 = E[XY]，X，Y∈ RV(Ohm, 2.Ohm, P），RV(Ohm, 2.Ohm, P）成为（有限维）希尔伯特空间。定义2.1。（金融市场）我们说，St=（St，St，…，SMt），t=0，1是一个单周期经济中的金融市场，前提是∈ RM+1+和S∈ (0, ∞) ×RV+(Ohm, 2.Ohm, P）M。这里，S=1，S=R>0表示无风险债券，当R>1时，收益为正。其余部件Smt，m=1，M表示时间t时第M个风险金融资产的价格。我们将使用符号当我们需要关注风险集合时，St=（St，···，SMt）。我们假设Sis是一个常数向量，表示t=0时该金融市场的资产价格。风险通过假设S=（S。

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2022-6-1 13:01:58

，SM）是概率空间上的非负随机向量(Ohm, 2.Ohm, P），即Sm∈RV+(Ohm, 2.Ohm, P），m=1，2，M、对开本是列向量x∈ RM+1，其组成部分XM代表投资组合中第m项资产的份额，SMTXM是在时间t时投资于资产m的资本份额。因此，X对应于无风险债券的投资，以及x=（x，…，xM）是危险的部分。我们经常需要限制投资组合的选择。例如，在许多应用中，我们只考虑单位初始成本的投资组合，即S·x=1。因此，以下定义。定义2.2。（可接受的投资组合）我们说 RM+1是一组可容许投资组合，前提是a是一个非空的闭凸集。我们说，A是一组具有单位初始价格的可容许投资组合，前提是A是{x的闭凸子集∈ RM+1:S·x=1}。2.2凸规划问题let X是有限维Banach空间。回想一下，集合C X是凸的，如果对于任何X，y∈ C和s∈ [0，1]，sx+（1- s） y型∈ C、对于扩展值函数f:X→ R∪{+∞} 我们通过dom（f）：={x定义其域∈ X:f（X）<∞}和它的铭文byepi（f）：={（x，r）∈ X×R:R≥ f（x）}。如果epi（f）是闭集，我们说f是下半连续的。以下命题描述了函数的题记图。提案2.3。（铭文的特征）设F是X×Rsuch的闭子集，inf{r：（X，r）∈ F}>-∞ 对于所有x∈ R、那么F是一个下半连续函数F:X的题记→ (-∞, ∞], i、 e.F=epi（F），当且仅当（x，r）∈ F=> （x，r+k）∈ Fk>0。（2.1）证明。关键是要观察到，对于结构为（2.1）的集合F，函数F（x）=inf{r：（x，r）∈ F}（2.2）定义良好，然后F=epi（F）成立。Q、如果epi（f）是凸集，我们说函数f是凸的。

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2022-6-1 13:02:01

或者，f是凸的ifand仅当，对于任何x，y∈ dom（f）和s∈ [0，1]，f（sx+（1-s） y）≤ sf（x）+（1-s）f（y）。考虑f:X→ [-∞, +∞). 我们说f是凹的，当-f是凸的，我们说f是上半连续的，如果-f是下半连续的。用hypo（f）={（x，r）定义函数f的下标图∈ X×R:R≤ f（x）}。然后，命题2.3的对称版本是命题2.4。（下位图的刻划）设F是X×Rsuch的闭子集，其sup{r：（X，r）∈ F}<+∞ 对于所有x∈ R、那么F是上半连续函数F:X的下标图→ [-∞, ∞), i、 e.F=hypo（F），当且仅当（x，r）∈ F=> （x，r- k）∈ Fk>0。（2.3）此外，函数f可由f（x）=sup{r：（x，r）定义∈ F}。（2.4）备注2.5。命题2.3（命题2.4）中函数f在给定点x的值为-∞ (+∞ ) 当且仅当{x}×R F由于效用函数是凹的，风险度量通常是凸的，因此分析效用和风险之间的一般权衡自然会导致凸规划问题。这类凸规划问题的一般形式是v（y，z）：=infx∈X[f（X）：g（X）≤ y、 h（x）=z]，对于y∈ RM，z∈ RN，（2.5），其中f、g和h满足以下假设。假设2.6。假设f:X→ R∪{+∞} 是一个下半连续的扩张值凸函数，g:X→ RMis是一个具有凸分量的向量值函数，≤ 意味着组件化和h:X→ RN是自然数M，N的一个有效映射。此外，g的至少一个分量具有紧子级集。凸规划问题由于具有凸结构，因此具有很好的性质。Webrie fly回顾了与凸规划相关的结果。首先，最优值函数v是凸的。这是一个众所周知的结果，可以在凸分析的标准手册中找到，例如[4]。

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2022-6-1 13:02:04

然而，它对于我们下面的应用程序至关重要，因此，我们将其列为引理，并在下面简要证明其完整性。提案2.7。（最优值函数的凸性）设f、g和h满足假设2.6。然后，凸规划问题（2.5）中的最优值函数v是凸的且下半连续的。证据考虑（易、子）∈ dom（v），i=1，2在v和任意ε>0的域中。我们可以发现xiε对问题v（yi，zi）的约束是可行的，使得f（xiε）<v（yi，zi）+ε，i=1，2。（2.6）现在对于任何λ∈ [0，1]，我们有f（λxε+（1- λ） xε）≤ λf（xε）+（1-λ） f（xε）（2.7）<λv（y，z）+（1-λ） v（y，z）+ε。很容易检查λxε+（1- λ）对于问题v（λ（y，z）+（1），xε是可行的-λ）（y，z））。因此，v（λ（y，z）+（1- λ）（y，z））≤ f（λxε+（1- λ） xε）。结合不等式（2.7）和letε→ 0我们到达atv（λ（y，z）+（1-λ）（y，z））≤ λv（y，z）+（1-λ） v（y，z），也就是说v是凸的。v的下半连续性更容易验证。Q、大体上，有两种（等效的）通用方法可以帮助解决对流编程问题：使用相关的对偶问题和拉格朗日乘子。这两种方法是等效的，因为对偶问题的解就是拉格朗日乘子（见[5]）。对于凸分析特殊领域之外的实践者来说，使用拉格朗日乘子更容易。我们将采取这种做法。拉格朗日乘数法告诉我们，在温和的假设下，我们可以预期存在一个拉格朗日乘数λ=（λy，λz）和λy≥ 0使得'x是凸规划问题（2.5）的解，当且仅当它是最小化l（x，λ）的无约束问题的解：=f（x）+λ、（g（x）-y、 h（x）- z） = f（x）+λy，g（x）-y + λz，h（x）- z.（2.8）函数L（x，λ）称为拉格朗日函数。

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2022-6-1 13:02:07

为了理解为什么以及何时会存在es-aLagrange乘数，我们需要回顾次微分的定义。定义2.8。（次微分）设X为有限维Banach空间，X*它的双重空间。下半连续凸函数的次微分→R∪ {+∞} 在x处∈ dom（Д）定义如下：Д（x）={x*∈ 十、*: ^1（y）- ^1（x）≥ x个*, y- x个 y∈ 十} 。几何上，次微分的一个元素为我们提供了相关点处凸函数的支撑超平面的法向量。结果表明，问题（2.5）的拉格朗日乘数只是V的次微分元素的负值。我们总结并证明了引理的有效性，下面我们将实际使用引理。定理2.9。（拉格朗日乘数）设v:RM×RN→ R∪ {+∞} 是f、g和h满足假设2.6的约束优化问题（2.5）的最优值函数。假设，对于固定（y，z）∈ RM×RN，-λ = -（λy，λz）∈ v（y，z）和'x是（2.5）的解。然后（i）λy≥ 0，（ii）（2.8）中定义的拉格朗日L（x，λ）在'x处达到全局最小值，并且（iii）λ满足互补松弛条件λ、（克（(R)x）- y、 h（(R)x）- z） = λy，g（(R)x）- y = 0.（2.9）证明。观察v（y，z）是关于最小化的非递增函数≤ 在y中。

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2022-6-1 13:02:10

使用-λ ∈ v（y，z），对于任何向量y≥ 0，我们有0≥ v（y+y、 z）-v（y，z）≥ -λ, (y、 0）.因此λy≥ 0正在验证（i）。根据次微分的定义以及v（g（\'x），h（\'x））=v（y，z），wethen have0=v（g（\'x），h（\'x））- v（y，z）≥ - λ、（克（(R)x）- y、 h（(R)x）- z） ≥ 因此，互补松弛条件λ、（克（(R)x）- y、 h（(R)x）- z） = 0（2.10）英寸（iii）保持。最后，通过定义次微分，我们得到了v（g（x），h（x））- v（y，z）≥ -λ、（g（x）-y、 h（x）- z）.因此，对于任何x，L（x，λ）=f（x）+λ、（g（x）- y、 h（x）- z） (2.11)≥ v（g（x），h（x））+λ、（g（x）- y、 h（x）-z）≥ v（y，z）使用“x”是（2.5）中问题的解这一事实，以及我们得到的互补松弛条件（2.10），v（y，z）=f（\'x）=f（\'x）+λ、（克（(R)x）- y、 h（(R)x）-z） = L（(R)x，λ）。（2.12）合并（2.11）和（2.12）验证（ii）。Q、 E.D.备注2.10。根据定理2.9，当（2.5）有解x且v（y，z）= . 精明的v（y，z）需要知道v在（y，z）邻域中的值，这是不现实的。幸运的是，著名的Fenchel-Rockafellar定理（参见[4]）告诉我们当（y，z）属于dom（v）的相对内部时，那么v（y，z）= .这是一个非常有用的有效条件。一个特别有用的特例是Slatercondition（另见[4]）：当只有不等式约束g（x）时≤ y、如果存在x∈ dom（f）使得g（x）<y已经暗示v（y）= .3风险与效用之间的有效权衡我们考虑定义2.1中描述的金融市场，并考虑一组可接受的投资组合a RM+1（见定义2.2）。每个投资组合x的收益∈ 时间t=1是S·x。投资组合x的价值通常由其预期效用e【u（S·x）】来判断，其中u是一个递增凹效用函数。UModel的性能越高，收益就越好。

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2022-6-1 13:02:13

凹度反映了一个事实，即随着支付的增加，其对投资者的边际效用降低。另一方面，投资者往往对投资组合的风险很敏感，而投资组合的风险可以通过风险度量来衡量。因为版本化可以降低风险，所以风险度量应该是凸函数。3.1技术假设在下面更技术性的讨论中，通常需要对效用和风险函数进行一些标准假设。我们在这里收集它们。假设3.1。（风险度量条件）考虑持续风险函数：a→ [0, +∞) 其中A是定义2.2中规定的一组可接受的投资组合。我们通常会参考以下一些假设。（r1）（无风险资产无风险）风险度量r（x）=r(x）是仅投资组合风险部分的函数，其中x=（x，x）.（r1n）（归一化）A中至少有一个纯债券投资组合。此外，r（x）=0当且仅当x仅包含无风险债券，即x=（x，0)对于somex∈ R、（r2）（多元化降低风险）风险函数R是凸函数。（r2s）（多样化严格降低风险）风险功能r是严格凸的。（r3）（正均质）对于t>0，r（tx） =tr(x）。备注3.2。（偏差度量）满足假设（r1）、（r1n）、（r2）和（r3）的风险度量与【20】中的偏差度量密切相关。它还与[1]中介绍的不同风险度量有关。假设3.3。

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2022-6-1 13:02:17

（效用函数条件）效用函数u:R→ R∪{-∞}通常假定满足以下一些特性。（u1）（利益寻求）效用函数u是一个递增函数。（u2）（边际效用递减）效用函数u是凹的。（u2s）（严格边际效用递减）效用函数u是严格凹的。（u3）（禁止Bankrupcy）对于t<0，u（t）=-∞.（u4）（无限增长）→ +∞, 我们有u（t）→ +∞.另一个经常出现在金融文献中的重要条件是无风险。定义3.4。（无套利）我们说的是投资组合x∈ RM+1是金融市场上的套利- RS）·x≥ 0和- RS）·x= 0.如果金融市场St不存在任何套利组合，我们认为市场St没有套利。套利是一种在不承担任何亏损风险的情况下获得高于无风险利率的回报的方法。如果存在这样的机会，那么投资者将试图利用它。在这一过程中，他们将抬高风险资产的价格，导致套利机会消失。因此，人们通常认为金融市场不存在任何套利行为。以下是比套利更弱的要求：定义3.5。（没有非平凡的无风险投资组合）我们说投资组合x∈ RM+1无风险if- RS）·x≥ 0、我们认为，如果不存在无风险运动投资组合x，那么市场就没有非平凡的无风险投资组合x个=存在一个将一切投资于无风险资产Stalways的微不足道的无风险投资组合。然而，一个非平凡的无风险投资组合是不可预期的，我们将经常使用这个假设。事实证明，无重大无风险投资组合与无套利之间的区别如下：定义3.6。

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2022-6-1 13:02:20

（非平凡的债券复制投资组合）我们说x=（x，x）是否是一个私募债券复制投资组合，如果x个=0和- RS）·x=0。定义3.4、3.5和3.6中的三个条件如下：命题3.7。考虑金融市场Stof定义2.1。在Stif中不存在非平凡的无风险投资组合，并且只有当STF没有套利投资组合和非平凡的债券复制投资组合时。证据结论直接来自定义3.4、3.5和3.6。Q、 E.D.推论3.8。没有非平凡的无风险投资组合意味着没有套利投资组合。假设金融市场没有套利，则没有非平凡的无风险投资组合，相当于没有非平凡的债券复制投资组合，并具有以下特征。定理3.9。（无重要债券复制投资组合的特征）假设金融市场定义2.1没有套利。那么以下断言是等价的：（i）不存在非平凡的债券复制投资组合。（ii）对于每个非平凡的投资组合xx个=0，存在一些ω∈ Ohm 使得（S（ω）-RS）·x<0。（3.1）（ii*）针对每个风险投资组合x个=0，存在一些ω∈ Ohm 因此(S（ω）-RS） ·x<0。（3.2）（iii）矩阵G：=S（ω）- RSS（ω）- RS。SM（ω）- RSMS（ω）- RSS（ω）- RS。SM（ω）- RSM。。。。。。。。。。。。S（ωN）- RSS（ωN）- RS。SM（ωN）- RSM公司∈ RN×M（3.3）的秩为M，尤其是N≥ M、证明。我们使用循环证明。（一）→ （ii）：如果（ii）失败，则- RS）·x≥ 对于一些非平凡的x，By（i）x必须是套利，这是一个矛盾。（二）→ （ii*）：显而易见。（二*）→ （iii）：如果（iii）不正确，则G·x=0有一个与（3.2）相矛盾的非平凡解。（三）→ （i）：假设存在投资组合x*具有x个*=它复制了键。然后-RS）·x*= 0。这意味着(S-RS）·x个*= 0以便Gx个*= 0与（iii）相矛盾。

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2022-6-1 13:02:23

Q、 E.D.3.9定理的一个非常有用的推论是，该定理的任何条件（i）–（iii）确保风险资产的协方差矩阵为正定义。推论3.10。（正定义协方差矩阵）假设金融市场定义2.1没有非平凡的无风险投资组合。那么therisky资产的协变矩阵∑：=E[(S- E类(S）（）(S- E类(S））]（3.4）=（E[（Si- E（Si））（Sj- E（Sj））]）i，j=1，。。。，M、为正定义。证据我们注意到，在推论的假设下，对于任何非平凡风险组合x，S·x不能是常数。否则(S- RS） ·x将是一个常数，它与ST没有非平凡的无风险投资组合相矛盾。因此，对于任何非平凡的风险投资组合x、 V配置总成(S·x） =x个Σx>0。因此，∑是正定义。Q、 E.D.备注3.11。推论3.10表明，作为风险度量的标准差满足假设3.1.3.2风险效用权衡的有效边界中的性质（r1）、（r1n）、（r2）和（r3）。我们注意到，要增加效用，通常必须承担更多风险，因此风险增加。反之亦然。例如，如果一个人将所有资本分配给无风险债券，那么就没有风险，但要付出的代价是，他必须放弃所有获得高风险资产回报的机会，以降低预期效用。因此，选择合适的投资组合的投资决策成为投资组合预期收益和风险之间的一种权衡。为了了解这种效应，我们定义了一组可接受的投资组合 RM+1在定义2.2中，setG（r，u；A）：={（r，u）：x个∈ A s.t.r≥ r（x），u≤ E[u（S·x）]} R、（3.5）关于给定风险测度R和效用u的二维风险期望效用空间。如果金融市场是投资组合x，我们通常通过观察·x来衡量风险。推论3.12。

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kedemingshi

2022-6-1 13:02:26

（诱导风险度量）（a）在定义2.1中确定金融市场STA。假设ρ：RV(Ohm, 2.Ohm, P）→ [0, +∞) 是一个下半连续凸正齐次函数。此外，假设ρ（S·x）=ρ(S·x）。然后：A→ [0, +∞), r（x）：=ρ（S·x）是满足假设3.1中性质（r1）、（r2）和（r3）的下半连续风险度量。（b）如果金融市场没有非平凡的无风险投资组合，且ρ严格凸，则对于一组具有单位初始成本的可接受投资组合，r：A→ [0, +∞)假设3.1中的满意度（r2s）。证据自x起→ S·x是一个线性映射，风险度量r继承了ρ的性质，因此它满足假设3.1中的性质（r1）、（r2）和（r3）。^r保持ρ的严格凸性的一个有效条件是（3.3）中的矩阵G为全秩，因为所有投资组合都有单位初始成本。从定理3.9可以看出，该条件源于金融市场中没有非平凡的无风险投资组合。St.Q.E.D.备注3.13。以下是确保ρ（S·x）=ρ的两个有效条件(S·x）这很容易验证：（1）当ρ在加常数下不变时，即ρ（x）=ρ（x+c），对于任何x∈RV(Ohm, 2.Ohm, P）和c∈ R、一个有用的例子是ρ是标准偏差。（2）当ρ被限制为一组具有单位初始成本的可容许投资组合a时。在这种情况下，我们可以看到r(x）：=ρ（R+(S- RS） ·x） =ρ（S·x）。（3.6）同样，我们感兴趣的是预期效用x 7→ S·x的E[u（S·x）]在x中是严格凹的。下面是一组有用的条件。引理3.14。

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2022-6-1 13:02:30

（预期效用的严格凹性）假设（a）金融市场没有非平凡的无风险投资组合，（b）效用函数满足假设3.3中的条件（u2s），以及（c）a是一组可接受的投资组合，单位初始成本如定义2.2所示。那么作为投资组合x函数的期望效用E[u（S·x）]是严格凹于a证明的。因为u是凹的，所以x 7也是凹的→ E[u（S·x）]。为了证明这个函数在A上是严格相关的，考虑两个不同的投资组合x，x∈ A、根据假设（c），X和X都有单位初始成本，因此x个= x、假设（a）和命题3.7意味着对于（3.3）中定义的矩阵G，Gx个= Gx、因此，再次使用x和x都有单位初始成本这一事实，我们得到S·x=R+(S- RS） ·x个= R+(S- RS） ·x=S·x。x的严格凹度→ E[u（S·x）]现在遵循（b）中假设的效用函数u的严格凹性。Q、如推论3.12所示，当r（x）=ρ（S·x）由ρ诱导时，我们也使用符号（ρ，u，A）。显然，如果A′ A然后G（r，u；A′） G（r，u；A）。在具体应用中需要以下假设。假设3.15。（压缩水平集）对于每个u（a）∈ R、 {x∈ RM+1：u≤E【u（S·x）】，x∈ A} 是紧凑型或（b）对于每个r∈ R、 {x∈ RM+1：r≥ r（x），x∈ A} iscompact。提案3.16。假设A是一组可接受的投资组合，如定义2.2所示。我们声称：（a）假设风险度量满足假设3.1中的要求（r2），效用函数满足假设3.3中的要求（u2）。那么集合G（r，u；A）是凸的且（r，u）∈ G（r，u；A）表示，对于任何k>0的情况，（r+k，u）∈ G（r，u；A）和（r，u- k）∈G（r，u；A）。（b）此外，假设假设3.15成立。然后G（r，u；A）闭合。证据

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2022-6-1 13:02:34

（a）特性（r，u）∈ G（r，u；A）表示，对于任何k>0的情况，（r+k，u）∈G（r，u；A）和（r，u-k）∈ G（r，u；A）直接源自G（r，u；A）的定义。假设（r，u），（r，u）∈ G（r，u；A）和s∈ [0, 1]. 然后存在x，x∈ Asuch thatri公司≥ r（xi）和ui≤ E[u（S·xi）]，i=1，2。x Yieldsr+（1）中r的凸性- s） r≥ sr（x）+（1-s） r（x）≥ r（sx+（1- s） x）和（u2）给出u+（1- s） u≤ sE[u（S·x）]+（1-s） E[单位（s·x）]≤ E[u（S·（sx+（1- s） x））]。因此，s（r，u）+（1-s）（r，u）∈ G（r，u；A）使得G（r，u；A）是凸的。（b）假设（rn，un）→ （r，u），对于G（r，u；a）中的序列。然后存在一个序列xn∈ 这样的人≥ r（xn）和un≤ E[单位（S·xn）]。（3.7）根据假设3.15，xn的子序列（再次用xn表示）收敛到，比如说，x∈ A、考虑（3.7）中的限制，我们到达atr≥ r（(R)x）和u≤ E【u（S·'x）】。（3.8）因此，（r，u）∈ G（r，u；A），因此G（r，u；A）是一个闭集。Q、 E.D.现在我们可以表示一个p-Portfolio x∈ A. RM+1为a点（r（x），E[u（S·x）]）∈二维风险期望效用空间中的G（r，u；A）。如果预期效用相同，投资者更喜欢风险较低的投资组合，或者在风险水平相同的情况下，预期效用较高的投资组合。定义3.17。（有效投资组合）我们说投资组合x∈ A是帕累托系数，前提是不存在任何投资组合x′∈ A使得eitherr（x′）≤ r（x）和E[u（S·x′）>E[u（S·x）]或r（x′）<r（x）和E[u（S·x′）]≥ E[单位（S·x）]。定义3.18。（有效边界）我们将二维风险预期效用空间中所有有效投资组合的图像集称为有效边界，并用geff（r，u；A）表示。下一个定理描述了风险预期效用空间中的有效投资组合。定理3.19。

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2022-6-1 13:02:37

（有效前沿）二维风险预期效用空间中表示的有效投资组合均位于集合G（r，u；A）的（非垂直或水平）边界。证据如果风险预期效用空间中表示为（r，u）的投资组合x不在G（r，u；a）的（非垂直或水平）边界上，那么对于εsmall enough，我们有（r- ε, u ) ∈ G（r，u；A）或（r，u+ε）∈ G（r，u；A）。这意味着x可以改进。Q、 E.D.以下关系很简单，但非常有用。定理3.20。（子系统的有效边界）考虑可接受的投资组合A、B。如果B A然后Geff（r，u；A）∩ G（r，u；B） Geff（r，u；B）。证据结论直接来自G（r，u；B） G（r，u；A）。Q、 E.D.备注3.21。（空有效边界）如果（α，0) ∈ A代表所有α∈ 在假设3.1中，对于满足（r1）和（r1n）的任何风险度量R，{0}×R，增量函数u没有上界 G（r，u；A）。根据提案3.16[0+∞) ×RG（r，u；A），表示Geff（r，u；A）=. 因此，实际有意义的G（r，u；A）总是对应于一组可接受的投资组合A，这样初始成本S·x对于allx∈ A有限。此外，如果初始成本有一个范围，且无风险债券包含在投资组合中，那么我们将在u轴上看到一条垂直线段，有效投资组合对应于该垂直线段的上限。因此，有必要考虑具有单位初始成本的投资组合A。3.3有效前沿的表示鉴于备注3.21，在本节中，我们将考虑一组可接受的portfoliosA，其单位初始成本如定义2.2所示。根据命题3.16，我们可以将setG（r，u；A）视为预期效用风险空间上的一个上位图或风险预期效用空间上的一个下位图。

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2022-6-1 13:02:40

根据命题2.3和2.4，集合G（r，u；A）自然定义了两个函数γ（u）：=inf{r：（r，u）∈ G（r，u；A）}（3.9）=inf{r（x）：E[u（S·x）]≥ u，x∈ A} ，和ν（r）：=sup{u：（r，u）∈ G（r，u；A）}（3.10）=sup{E[u（S·x）]：r（x）≤ r、 x个∈ A} 。提案3.22。（与效率边界相关的函数）假设，风险度量r满足假设3.1中的要求（r2），效用函数u满足假设3.3中的要求（u2）。此外，假设假设3.15适用于一组具有单位初始成本的可受理投资组合a。然后功能u7→ γ（u）和r 7→ ν（r）分别是增加的下半连续凸和增加的上半连续凹。证据结论直接来自命题2.3和2.4，因为根据命题3.16，G（r，u，A）是闭的和凸的。或者，我们也可以直接将命题2.7应用于第二个表示in（3.9）和（3.10），以分别导出γ和ν的凹凸性。γ和ν的递增性质分别直接来自（3.9）和（3.10）中的第二个表示。Q、 E.D.它也遵循推论3.23。（有效边界的表示）假设假设假设3.1中的风险度量条件（r2）和假设3.3中的效用函数满足条件（u2）。然后，对于具有定义2.2中定义的单位初始成本的任何一组可接受投资组合A，预期效用风险空间中表示的帕累托有效投资组合Geff（r，u；A）都位于γ或ν的图上，即Geff（r，u；A）=图γ（u）=图ν（r）。3.4有效投资组合我们已经看到，投资组合的风险和预期效用之间的有效权衡可以表示为下半连续凸函数u7的图形→ γ（u），将预期回报水平u与最小风险联系起来。

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2022-6-1 13:02:43

或者，预期效用风险空间中的这些点也可以表示为上半连续凹函数r 7的图→ ν（r），将风险水平r与最大可能效用联系起来。现在，我们来分析相应的有效投资组合的表现。理想情况下，我们希望高效贸易边界上的每个点都对应一个投资组合。为此，我们需要对风险度量和效用函数进行额外的假设。定理3.24。（有效投资组合路径）假设金融市场定义2.1中没有非平凡的无风险投资组合，并且A是一组可接受的投资组合，其单位初始成本如定义2.2所示。我们还假设假设3.15成立。此外，假设以下条件之一成立：（c1）风险度量满足假设3.1中的条件（r1）和（r2s），效用函数满足假设3.3中的条件（u1）和（u2）。（c2）风险度量满足假设3.1中的条件（r1）和（r2），效用函数满足假设3.3中的条件（u1）和（u2s）。如果存在x∈ A使用E[u（S·x）]定义，我们可以定义umax：=sup{E[u（S·x）]，x∈ A} >-∞, （3.11）rmin：=inf{r（x），x∈ A}∈ [0, +∞), （3.12）umin：=limr↓rminsup{E[u（S·x）]：r（x）≤ r、 x个∈ A} ，（3.13）和Rmax：=limu↑umaxinf{r（x）：E[u（S·x）]≥ u，x∈ A} （3.14）并要求如下：（A）对于u∈ （umin，umax）在有效前沿ff（r，u，A）上正好存在一个投资组合x（u），对应于（γ（u），u）。此外，映射u→ x（u）连续打开（umin，umax）。此外，当通过一些x∈ A上述语句适用于间隔（umin，umax），[umin，umax]或[umin，umax]。（b）对于r∈ （rmin，rmax）在有效前沿ff（r，u，A）上正好存在一个投资组合y（r），对应于（r，ν（r））。

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2022-6-1 13:02:46

此外，映射r→ y（r）在（rmin，rmax）上连续。此外，当Rmin为最小值和/或rmaxare/由一些x获得时∈ A、上述陈述适用于区间【rmin，rmax】，【rmin，rmax】或【rmin，rmax】。（c）此外，如果r满足假设3.1中的要求（r1n），则rmin=0，umin=u（r），x（umin）=y（rmin）=（1，0)（见图2）。证据（a）我们关注的是满足条件（c1）的情况，并将对满足条件（c2）的类似情况所需的修改进行评论∈ （umin，umax）。然后我们可以找到一个投资组合“x”∈ A带E[u（S·'x）]≥ u.（3.12）rmin≤ r（(R)x）。因此，设置Au：={x：u≤ E[u（S·x）]，r（x）≤ r（(R)x），x∈ A} 是非空的。此外，假设3.15确保u是紧凑的。因此，至少存在一个投资组合x（u），使得r（x（u））=inf{r（x）：x∈ Au}=inf{r（x）：u≤ E【u（S·x）】，x∈ A} 。显然，x（u）对应于有效前沿Geff（r、u、A）上的点（γ（u），u）。接下来，我们将展示公文包x（u）是唯一的。假设投资组合x= xboth对应于（γ（u），u）并且属于A。那么我们必须有r（x）=r（x）=γ（u）和[u（S·xi）]≥ u，xi∈ A、 i=1，2。因为A是凸的，所以x*= （x+x）/2∈ A、条件（r2s）和（u2）意味着E[u（S·x*)] ≥ u和由于r和（r1），r（x*) =r(x个*) < γ（u），矛盾。因此，映射u→ x（u）定义良好。最后，我们通过矛盾证明了x（u）的连续性。假设此映射在u处不连续。然后，对于固定正数ε>0，存在一个序列un→ u以便∥x（un）- x（u）∥ ≥ ε其中e【u（S·x（un））】≥ unand r（x（un））=r(x（un））≤ γ（un）。（3.15）根据假设3.15，我们可以在不丧失一般性的情况下假设x（un）收敛于某个投资组合x*具有∥x个*- x（u）∥ ≥ ε. 此外，根据命题3.22，γ（u）是凸的，因此在其域中是连续的（参见例如[18，定理10.4]）。

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2022-6-1 13:02:49

（3.15）屈服极限*)] ≥ u和r(x个*) = γ(u). （3.16）但有效投资组合（3.16）的唯一性意味着*= x（u），这是矛盾的。如果uminand/或umaxis有限，并在x∈ A然后，使用与上述相同的参数，唯一连续投资组合扩展到（umin，umax）的各自界限。条件（c2）成立时的证明类似。唯一的区别是，效率组合的唯一性现在来自于mappingx的严格凹度→ E[u（S·x）]（引理3.14）和r（x）的凸性。（b）我们通过定义图γ（u）=图ν（r）知道。此外，γ（u）是凸的，因此在（umin，umax）上是连续的。最后，根据假设（u1），γ（u）是（umin，umax）上的严格递增函数。因此，γ（u）在（umin，umax）上是可逆的。显然，γ（u）的倒数是ν（r），其对应的域是（rmin，rmax）。关系sr=γ（u）和u=ν（r）表征了一对反函数γ和ν。定义y（r）=x（ν（r））（b）的结论如下。（c）由于A仅包含单位初始成本的投资组合，（1，0)∈ A当（r1n）满足时，我们可以直接验证（c）中的结论。Q、 E.D.备注3.25。（a）当假设3.15（b）成立时，Rmin=min{r（x）：x∈ A} 和umin=sup{E[u（S·x）]：r（x）=rmin，x∈ A} 由（3.13）确定。图1所示为与此案例相对应的典型有效边界。（b） umaxand/或rmaxto可能是+∞. 假设umaxis有限且在有效投资组合x（umax）下达到。在定理的条件下，投资组合κ：=x（umax）是唯一的，并且与风险度量无关。图3给出了一个图解。（c）因此，效用和风险之间的权衡是通过投资组合x（u）来实现的，它在文斯的杠杆空间中画出了一条曲线【28】。

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2022-6-1 13:02:52

请注意，曲线x（u）取决于风险度量r以及效用函数u。这为在杠杆空间中系统地选择投资组合以减少风险敞口提供了一种方法。ruG（r，u，A）Geff（r，u，A）图1：终点和终点的有效前沿。ruG（r，u，A）Geff（r，u，A）图2：与（1，0)∈ A、 ruG（r，u，A）Geff（r，u，A）图3：当rmin>0和umaxis有限且达到最大值时的有效前沿。4马科维茨投资组合理论和CAPM模型现在让我们转向一般理论的应用。我们表明，前一节的结果为几种常见的投资组合理论提供了一个通用的统一框架。它们是马科维茨投资组合理论、CAPM模型、增长最优投资组合理论和杠杆空间投资组合理论。当然，在处理与这些具体理论相关的具体风险度量和预期效用时，解决方案中通常会出现额外的有用结构。虽然文献中对这些理论已经有许多不同的阐述，但为了方便读者，我们使用拉格朗日乘子方法进行了简要的论述。在本节中，我们将假设marketStfrom定义2.1没有非平凡的无风险投资组合。4.1马科维茨投资组合理论马科维茨[15]只考虑风险资产的投资组合理论可以理解为第3节讨论的框架的特例。风险度量是标准差σ，效用函数是身份函数。所以我们面临的问题是minσ(S·x）（4.1）根据E[S·x]≥ u,S·x=1。我们假设E[S] 与不成比例S、也就是说，对于任何α∈ R、 E类[S]= αS

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2022-6-1 13:02:56

（4.2）由于方差是标准偏差的单调递增函数，为了方便起见，我们可以最小化方差的一半。minbx公司∈RMr(x）：=变量(S·x） =σ(S·x）=x个Σx（4.3）以E为准[S·x]≥ u,S·x=1。优化问题（4.3）的形式已经是（3.9），A={x∈ RM+1:S·x=1，x=0}。我们可以检查定理3.24中的条件（c1）是否满足。此外，推论3.10暗示，∑是正定义，因为ST没有非平凡的无风险投资组合。因此，风险函数r具有紧凑的水平集。因此，假设3.15满足，理论3.24适用。允许x（u）是u对应的最佳投资组合。以洛杉矶为例(x、 λ）：=x个Σx+λ（u- E类[S] ·x） +λ（1-S·x），（4.4）式中λ≥ 感谢定理2.9，我们有0=bxL=x个(u)Σ - （λE[S] +λS）。（4.5）换句话说x个（u）=（λE[S] +λS） ∑-1.（4.6）我们必须使λ>0，否则x个（u）与支付无关S、完全松弛条件意味着E[S·x（u）]=u。右乘（4.5）乘以x（u）我们有σ（u）=λu+λ。（4.7）为了确定拉格朗日乘数，我们需要数字α=E[S] ∑-1E级[S], β=E[S] ∑-1.S和γ=S∑-1.S. 右乘以E（4.6）[S]和S我们有u=λα+λβ（4.8）和1=λβ+λγ。（4.9）求解（4.8）和（4.9），我们得出λ=γu- βαγ - β和λ=α- βuαγ - β, (4.10)σuβ/γ√γ图4:Markowitz Bullettwhereαγ- β=detE类[S]SΣ-1[E[S],S]> 自∑起0（4.11）-1为正定义，条件（4.2）成立。将（4.10）代入（4.7），我们可以看到有效边界由曲线σ（u）确定=γu- 2βu + ααγ - β=γαγ - βu -βγ+γ≥√γ（4.12）因其形状通常被称为马科维茨子弹。图4显示了一个典型的马科维茨子弹，其渐近线u=βγ+σ（u）αγ - βγ. （4.13）注意G（Var，id，{S·x=1，x=0}）=G（σ，id，{S·x=1，x=0}）。

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2022-6-1 13:02:59

因此，关系式（4.12）和（4.13）描述了定义3.18中的有效前沿Geff（σ，id，{S·x=1，x=0}）。还要注意，（4.12）表示umin=β/γ，rmin=1/√γ.因此，作为定理3.24的推论，我们有定理4.1。（马科维茨投资组合定理）假设金融市场没有非平凡的无风险投资组合[S] 与不成比例S（见（4.2））。（4.1）的Markowitz有效投资组合表示为（σ，u）-平面由geff（σ，id；{S·x=1，x=0}）给出。它们对应于由σ（u）给出的马科维茨子弹的上边界=γu- 2βu + ααγ - β, u ∈βγ, +∞.最优投资组合x（u）可由（4.6）和（4.10）确定为x（u）=u∑-1（γE[S] - βS)αγ - β+Σ-1(αS- βE[S])αγ - β、（4.14），单位为u。（4.14）中最优投资组合的结构暗示了托宾（Tobin）在[26]中导出的著名的两个基本定理。定理4.2。（双基金定理）在Markowitz有效前沿选择两个不同的投资组合。那么，马科维茨有效前沿上的任何投资组合都可以表示为这两个投资组合的线性组合。备注4.3。双基金定理可以看作是买入并持有广义指数的被动投资策略的理论基础。由于大多数共同基金和对冲基金的表现逊于基础广泛的指数，根据经验，我们可以将SP500和纳斯达克等基础广泛的指数视为马科维茨有效的投资组合。根据双基金定理，被动持有两个此类基础广泛的指数，我们可以在马科维茨子弹上产生任何有效的投资组合。4.2资本资产定价模型资本资产定价模型（CAPM）是由Lintner【9】、Mossin【17】、Sharpe【22】和Treynor【25】独立提出的理论模型，用于根据风险资产的预期收益和市场风险对其进行定价，通常称为贝塔。

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2022-6-1 13:03:02

资本资产定价模型的核心是对马科维茨投资组合理论的扩展，包括无风险债券。因此，我们可以使用与第4.1节相同的设置来应用第3节中的一般框架。与上一节类似，我们可以考虑minx的等价问题∈RM+1σ（S·x）=x个Σx=：r(x）（4.15）根据E【S·x】≥ u，S·x=1。与上一节类似，问题（4.15）的形式为（3.9），A={x∈ RM+1:S·x=1}。我们可以检查定理3.24中的条件（c1）是否满足。同样，风险函数r具有紧凑的水平集，因为∑是正定义。因此，假设3.15满足，定理3.24适用。此凸规划问题的拉格朗日isL（x，λ）：=x个Σx+λ（u- E[S]·x）+λ（1- S·x），（4.16），其中λ≥ 0。同样，我们有0=xL=（0，x个(u)Σ) - （λE[S]+λS）。（4.17）使用S=R和S=1，（4.17）的第一个分量表示λ=-λR.（4.18），使（4.17）变为0=xL=（0，x个(u)Σ) - λ（E[S]- 卢比）。（4.19）对于x（u）= 使用互补松弛条件E[S·x（u）]=u，我们得出σ（u）=x个(u)Σx（u）=λ（u- R），（4.20）乘以（4.19）中的x（u）。正在解决x个（u）从（4.19）我们有x个（u）=λ（E[S]- RS） ∑-1.（4.21）右乘以E[S] 和S利用前一节中介绍的α、β和γ，我们得出u- x（u）R=λ（α- Rβ）（4.22）和1- x（u）=λ（β- Rγ），（4.23）。将（4.23）乘以R，再从（4.22）中减去，得到u- R=λ（α- 2βR+γR）。（4.24）结合（4.20）和（4.24），我们得出σ（u）=（u- R） α- 2βR+γR.（4.25）只有当我们可以预期超额回报时，才有必要涉及风险资产。因此，u≥ R、关系式（4.25）定义了（σ，u）-平面上的直线σ（u）=u- R√或u=R+σ（u）√, （4.26）其中 := α - 2βR+γR>0 ifE[S]- RS= 0（4.27），因为∑是正定义。

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