首先，使用与前一章相同的参数在CKLSmodel上测试近似值；结果表明，所提出的问题具有实际应用的可能性。作为另一个例子，考虑了Dothan模型。Dothan模型[20]假设风险中性度量中的短期利率遵循随机微分方程dr=urdt+σrdw。Dothan模型中的零息票债券有一个显式的解，但计算起来很复杂（参见[8]）。因此，我们使用[28]中计算的Dothan债券价格，其误差估计可用。它们精确到给定的四位小数。将u（r）=ur和σ（r）=σr设置到系数的递归公式中，将得到价格及其对数的系数。在数值实验中，我们使用了[28]中的值。作者为零息票债券定价，该债券在到期日T时支付100美元（因此其价格是目前价值的100倍）。使用他们的迭代算法，对于τ=1、2、3、4、5、10，他们获得了所有参数组合的精度为四位小数，在某些情况下，还获得了更高的成熟度。如表5所示，从[28]中选择的值用于测试更广泛参数和到期日的近似值。通过考虑所谓的指数展开，推导出Arrow-Debrew价格的闭合形式短期近似值，债券价格或其他近似解析解27见表5，可以增强短期渐近展开的思想。Dothan模型中的债券价格，具有指定的参数和到期日，且短期利率的初始值r=0.035-Taylorapproximation与精确值的比较。

源Stehl'ikov'a【60】参数τTaylor，J=3 Taylor，J=5 Taylor，J=7精确【28】u=0.005，σ=0.01 1 96.5523 96.5523 96.55232 93.2082 93.2082 93.2082 93.20823 89.9666 89.9663 89.96634 86.8260 86.8251 86.82515 83.7852 83.7830 83.783010 70.0312 69.9977 69.9982 9982u=0.005，σ=0.02 1 96.5525 96.5525 96.5525 96.55252 93.2099 93.2098 93.2098 93.20983 89.9721 89.9715 89.97154 86.8391 86.8370 86.8370 86.83705 83.8362 83.8056 83.8057 83.805710 70.4396 70.1530 70.1551 70.1551u=0.005，σ=0.03 1 96.5527 96.5527 96.5527 96.55272 93.2115 93.2113 93.2113 93.21133 89.9776 89.9767 89.9767 89.97674 86.8521 86.8491 86.8491 86.84915 83.8362 83.8287 83.8287 83.828710 70.4396 70.3112 70.3151 70.3151可以通过单个积分获得导数。这项技术最初由Makri和Miller在《化学物理》中介绍【36】，后来由Capriotti介绍给Financeby【9】。Stehl'ikov'a和Capriotti在[63]中使用它来计算Black Karasinski模型中的债券价格。推导了短期利率模型中债券价格的指数展开式，其中r=r（x），其中辅助过程的形式为dx（t）=u（x）dt+σdw，（38），其中u（x）是漂移函数。请注意，该过程具有恒定的波动率σ，但在一般情况下，可以通过积分变换将一般状态相关的波动率函数映射到这种情况。注意，Ait-Sahalia在[2]中的近似跃迁密度中也使用了这种变换。债券价格不直接计算；相反，所谓的Arrow-Debreuprices由封闭式公式近似，债券价格由单个数值积分得出。

箭头Debreu pricesψ（x，T；x）是作为偏微分方程的解给出的（见【52】）tψ=- r（x）- xu（x）+σ十、ψ、 （39）初始条件ψ（x，0；x）=δ（x- x） 。在28个近似解析解表6中寻找解决方案。当短期利率的初始水平为r=0.06时，比较Black Karasinski模型中六个月（左）和一年（右）到期的债券价格的连续近似值，参数a=1，b=ln 0.04，σ=0.85。阶次泰勒指数展开式泰勒指数展开式1 0.970000 0.969249 0.940000 0.9374312 0.968045 0.968138 0.932179 0.9330373 0.968123 0.968140 0.932807 0.9330774 0.968141 0.968142 0.933097 0.9331055 0.968142 0.968142 0.933118 0.9331066 0.968142 0.968142 0.933110 0 0.933106表7。当空头利率的初始水平为r=0.06时，与蒙特卡罗获得的价格相比，在Black-Karasinski模型中，当参数a=1，b=ln 0.04，σ=0.85时，用六阶指数展开和不同的卷积步骤计算债券价格。资料来源：Stehl'ikov'a和Capriotti，[63]。成熟度卷积步长：5卷积步长：2.5卷积步长：1 MC5 0.65949 0.65955 0.65966 0.659710 0.46139 0.46222 0.46229 0.462320 0.26812 0.26827 0.26831 0.2683形式ψ（x，t；x）=√2πσtexp-（十）-x） 2σt- W（x，t；x）, （40）并将其插入（39）中，得到W（x，t；x）的偏微分方程。

在表格W（x，t；x）中写入=∞Xn=0Wn（x；x）tn，（41）允许递归计算函数Wn（x；x）作为一阶线性常微分方程的解。与前面描述的简单泰勒展开相比，债券价格的这种形式的展开导致了更快的收敛，尤其是对于更长期限的债券，见表6。分离指数展开的一个重要优点是，可以通过卷积方法在大时间范围内系统地提高其精度，参见算法的[63]。这使得即使是到期时间超过20年的零息票债券，产生的结果也能精确到4个重要数字以上。这记录在表7中，其中的结果与蒙特卡罗价格进行了比较。近似解析解295.3。随机波动率模型中波动率的快速时间尺度在Stehl'ikov'a和ˋSevˇcoviˇc的论文【57】中，研究了具有随机波动率的广义CIR模型。瞬时利率（短期利率）r由形式（13）的均值回复过程建模，其中常数σ出现在波动率函数σ中√r被随机色散y的平方根代替，即dr=κ（θ- r） dt公司+√Y√r dwr。（42）短期利率的随机微分方程由dy=α（y）dt+v给出√y dwy，（43）在函数α上给出了某些条件：[0，∞) → R为零和完整，参见[57，假设A]和[57，引理1]中的具体示例。假设维纳过程的微分dwyand和dwrare是不相关的。本文提供了一种建模工具，用于模拟可在实际市场中观察到的快速振荡随机波动率的影响，参见[23]、[24]。如果色散y的时间刻度长度用ε表示，则变量y读数的方程（43）如下：dy=α（y）εdt+v√Y√εdwy。

（44）在下文中，我们假设0<ε 1是一个小的奇异参数。该过程的条件分布的密度由福克-普朗克方程的解给出。然后，其平稳分布的密度g（y）由平稳福克-普朗克方程的归一化解给出，该方程的读数为asvy（yg）- 对于过程（44），y（α（y）g）=0（45）。注意，极限密度函数g与标度参数ε>0无关。风险函数的市场价格被视为形式∧（t，r，y）=λ√R√y、 λ（t，r，y）=λ√y、 式中λ，λ∈ R是常数（请注意，这是原始单因素CIR模型的推广，该模型假设风险的市场价格与短期利率R的平方根成比例）。然后，我们将债券价格P的部分微分方程改写为算子形式：（ε-1L+ε-1/2L+L）Pε=0，（46）本文中考虑的函数α的具体示例模拟了一种波动率聚集现象，其中可以在密度分布的两个局部极大值附近观察到分散。特别是，它使用了一个随机微分方程，该方程导致波动率的极限密度等于两个伽马密度的凸组合，这已在[55]中提出。然而，使用极限分布及其统计矩，得出了一般过程（43）的结果。30近似解析解，其中线性微分算子L，L，lar定义如下：L=α（y）y+Vy、 L=-λvyy、 L=t+（κ（θ-r）-λry）r+ryrr（右后）-r、 接下来我们将解Pε展开为泰勒幂级数：Pε（t，r，y）=∞Xj=0εjPj（t，r，y）（47），终端条件P（t，r，y）=1，对于j，Pj（t，r，y）=0≥ 1到期时t=t。

本文的主要结果是检验了解Pεasε的奇异极限行为→ 0+。更准确地说，它确定了渐近展开式的前三项sp、P、Pof（47）。推导中的主要工具是对极限分布进行平均，其密度g由（45）给出，并由以下括号h·i表示。特别是，以下两个命题是必不可少的：首先，函数ψ满足hLψi=0（见[57，引理3]），其中Lψ有界。其次，[57，引理4]给出了ψ和hLψi的表达式，其中ψ是Lψ=F的解，右侧是满足hF i=0的给定函数。对于奇异参数0<ε的较小值，债券定价方程（46）的解Pε=Pε（t，r，y）可以近似 1，byPε（t，r，y）≈ P（t，r）+√εP（t，r）+εP（t，r，y）+O（ε），本文的主要结果在于函数P，P，P的推导。请注意，前两项P，Pare独立于y变量代表随机波动率。第一项是平均方程hLiP=0的解，该方程是单因素CIR模型中债券价格的偏微分方程，参数设置为此处研究模型的平均值（关于极限分布）。它的形式是p（t，r）=a（t）e-B（t）r，（48），其中函数a和B由常微分方程组给出，该方程组可以以闭合形式求解。第二项Pdependson也不是过程y的瞬时水平。Preads的方程ashLPi=f（t）re-B（t）r，其中函数B来自（48），函数f来自模型参数和闭合形式的解（48）。

解的形式为p（t，r）=（A（t）+A（t）r）e-B（t）r，函数B与（48）中的函数A相同，表示线性常微分方程组。近似解析解31展开式中的下一项P非平凡地取决于y变量。它被分解为其期望值和零均值函数asP（t，r，y）=P（t，r）+P（t，r，y），其中hPi=0。可以使用迄今为止获得的结果，通过积分计算函数▄pC。函数“Psatis”表示方程hl“Pi=（a（t）+b（t）r+c（t）r）e-B（t）r，其中给出了函数a、B、c，因此其形式为'P（t，r）=（a（t）+a（t）r+a（t）r）e-B（t）r其中函数B与（48）中的函数相同，而函数A、A、A是常微分方程线性系统的解。更详细的计算见【57】。回想一下具有随机波动性的Fong-Vasicek模型，其中短期利率由以下一对随机微分方程dR=κ（θ）给出- r） dt公司+√y dw，dy=κ（θ- y） dt+v√y dw。（49）对于风险市场价格的适当选择，债券价格的计算可以简化为求解常微分方程。这种计算的简单性使其成为评估上述近似的质量的合适选择。引入快速波动时间尺度，方程（49）变为（参见方程（44））dy=κε（θ- y） dt+v√ε√y dw。（50）然而，当使用真实数据估计参数时，从（50）的参数中，我们只能得到θ、κ=κε和v=κ√ε。因此，我们无法从两个值κ、v来构造三个参数κ、v、ε。因此，在Seleceniova[47]的硕士论文中，在Stehlikova的监督下，使用了另一种方法，继Danilov和Mandal在[18]和[19]中使用的参数化之后。

波动性过程中的强平均反转可以用大值κy来表征。因此，我们可以定义ε=1/κ，并期望它足够小，可以用作扰动参数。在【47】中，与上述推导类似的推导用于计算债券价格膨胀的前两项，从而得出零级债券价格ε（t，r，y）的近似值≈ P（t，r）和一阶Pε（t，r，y）≈ P（t，r）+√εP（t，r）。32近似解析解表8。Fong-Vasicek模型的利率：0阶和1阶近似值与精确值的比较。参数取等于κ=0.109，κ=1.482，θ=0.0652，θ- 0.000264，v=0.01934，λ=-11，λ=-6，r=0.04。资料来源：Seleˇc'eniov'a，[47]。准确利率近似到期日y=1.6×10-4y=2.4×10-4y=3.2×10-4订单0订单11 0.0424 0.0426 0.0429 0.0427 0.04322 0.0448 0.0451 0.0455 0.0451 0.04583 0.0470 0.0474 0.0478 0.0473 0.04824 0.0491 0.0495 0.0498 0.0493 0.05025 0.0510 0.0514 0.0517 0.0511 0.05216 0.0527 0.0531 0.0534 0.0528 0.05387 0.0543 0.0547 0.0550 0.0543 0.0543 538 0.0558 0.0561 0.0564 0.0557 0.05679 0.0572 0.0575 0.0578 0.0570 0.058010 0.0584 0.0587 0.0590 0.0582 0.0592然后，将得出的利率与精确值进行比较。在表8中，我们给出了样本结果。让我们注意到，即使债券价格的零阶近似值等于具有平均系数的单因素模型中的债券价格，但这不是平均债券价格hP（t，r，y）i。还有一个更强大的结果：平均债券价格hP（t，r，y）i，虽然是t和r的函数，但并不等于任何单因素模型中的债券价格，正如文献[56]所示，这篇论文最后也被重新印行了。5.4。

收敛多因素模型通过将瞬时波动率替换为Vasicek类型的简单模型（即具有恒定波动率）来近似具有一般波动率的模型中的债券价格的想法也成功地应用于多因素模型：收敛模型形成了一类特殊的双因素模型。使用收敛模型（convergencemodel）对被观察国家加入货币联盟（EMU）进行建模。它描述了两种短期利率的行为，即欧洲货币联盟国家的国内短期利率和瞬时短期利率。欧洲短期利率采用单因素模型建模。假设它会影响国内短期利率的演变，因此它会进入SDE进行演变。这种模型是在【16】年首次提出的。该模型基于Vasicekmodel，短期利率的波动率为常数。【34】和【35】中考虑了CoxIngersoll-Ross型的类似模型，其中挥发率与短期利率的平方根成比例。在下面的章节中，我们将描述这两种模型，并展示它们是如何为债券定价的。然后，我们提出了一种非线性波动率的推广，类似于单因素近似解析解33CKLS模型中的波动率。让我们考虑以下SDE系统定义的模型：dr=ur（r，x，t）dt+σr（r，x，t）dw，dx=ux（r，x，t）dt+σx（r，x，t）dw，（51），其中ρ∈ (-1，1）是维纳过程增量与W之间的相关性，即Cov（dW，dW）=ρdt。过程x是一个随机过程，它与瞬时速率有关。它可以是长期利率，也可以是其他国家的短期利率，等等。

实数和风险中性参数之间的关系类似于单因素情况：（风险中性漂移函数）r=（实数漂移函数）r- λr（r，x，t）×（波动率）r，（风险中性漂移函数）x=（实际漂移函数）x- λx（r，x，t）×（波动率）x，其中λr，λx分别是短期利率风险的市场价格和因子x。如果实际衡量中的短期利率满足SDE（51），风险市场价格为λr（r，x，t），λx（r，x，t），则债券价格P满足以下PDE（假设因子x为正）：Pt+（ur（r，x，t）- λr（r，x，t）σr（r，x，t））Pr+（ux（r，x，t）- λx（r，x，t）σx（r，x，t））Px+σr（r，x，t）Pr+σx（r，x，t）Px+ρσr（r，x，t）σx（r，x，t）PR十、- rP=0，对于r，x>0，t∈ （0，T）和终端条件P（r，x，T）=1，r，x>0。使用It^o引理和无风险投资组合的构造导出了该模型，参见，例如[32]，[8]。5.4.1。CKLS类型的收敛模型本文【59】的重点是CKLS类型的收敛模型。回想一下，Vasicek型模型中的债券价格是已知的，在CIR型模型中，其计算可以简化为常微分方程的数值解，且两个维纳过程的增量不相关。在文献[59]中，考虑了具有不相关维纳过程的一般CKLS模型（相关性的影响只能在高阶项中看到，当将τ作为一个小参数时，本文给出的数值结果表明，差异经常出现在小数点处，考虑到市场报价的精度，小数点处的差异是不可观察的）。前一节中描述的[62]中的近似公式用于计算欧洲债券价格，并以类似方式提出了国内债券价格的近似值。

对CIR型模型进行了数值试验，得出了一般精度阶。34近似分析溶液0 50 100 150 200 250 3000.020.0250.030.0350.040.0450.050.055天短期利率欧元短期利率，2008 EONIA估计短期利率0 50 100 150 200 250 3002345678910x 10-3天短期利率2010年欧洲短期利率估计短期利率图10。根据欧元银行同业拆借利率期限结构估算短期利率，并将其与隔夜利率Eonia进行比较。资料来源：Halgaˇsov'a、Stehl'ikov'a、Z'ikov'a，[26]。然后，提出了一种校准程序，在模拟数据上进行了测试，并应用于读取数据。近似的简单形式再次允许相对简单的校准过程。5.4.2。三因素趋同模型单因素模型并不总是足以对欧洲短期利率不趋同模型进行建模（如[59]中的校准结果所示），这也会影响趋同模型对本国货币的适用性。在Stehl'ikov'a和Z'ikov'a的论文【58】中，提出了一个三因素收敛模型，并提供了国内债券价格近似公式分析的第一步。如前一点所述，欧洲短期利率建模为两个CKLS类型因子之和，国内利率遵循一个恢复到欧洲利率的过程。[59]中的收敛模型表明，要寻找更合适的短期利率近似值。Halgaˇsov'a、Stehl'ikov'a和Z'ikov'a的论文[26]研究了短期利率的估计以及Vasicek模型的参数。这是基于注意到，对于Vasicek模型，校准的目标函数（32）不仅在参数α和σ方面是二次的，而且在短期利率r，注册护士。图10显示了欧元银行同业拆借利率期限结构的估计短期利率与市场隔夜利率的比较。

选择校准时间框架的动机是，可能将其用作趋同模型的输入：斯洛伐克于2009年采用欧元，爱沙尼亚于2011年采用欧元。利用CKLS模型中债券价格的近似值，可以修改该算法，以估算CKLS模型中的短期利率。这一点已在Mosn\'y的硕士论文[39]中进行了阐述，Stehl\'ikov\'a监督了这一点。在一般CKLS模型的情况下，目标函数不是二次函数，但建议在目标函数中进行替换yi=σr2γii，这将导致我们最小化关于α、β、σ（模型参数）、r、…、，rn（短期利率），y，yn（在近似分析解35第一步中被视为独立的辅助变量）。这样，对于每个β，就可以解决一个二次优化问题。因此，对于每一个β，都有F的最佳值，然后用它来确定β的最佳值。注意，变量Rian和Yi不是独立的，比率yI/r2γiI等于σ。通过将它们作为自变量处理，在使用实际数据时，yi可以看作σr2γi的近似值。因此，比率yi/r2γ应提供σ的良好近似值。估计为这些比率的中位数。5.4.3。Vasicek类型的收敛模型Corzo和Schwartzin在论文【16】中提出了第一个收敛模型，实际概率测度为：drd=（a+b（re- rd））dt+σddwd，dre=（c（d- re））dt+σedwe，（52），其中Cov（dW，dW）=ρdt。他们考虑了恒定的风险市场价格，即λd（rd，re，τ）=λd和λe（rd，re，τ）=λe。因此，对于欧洲利率，我们有一个单因素Vasicek模型，我们可以轻松地为欧洲债券定价。系数B>0表示将国内短期利率吸引到欧洲短期利率的能力，偏差的可能性由系数a确定。

将模型改写为我们获得的风险中性度量：drd=（a+b（re- rd）-λdσd）dt+σddwd，dre=（c（d- re）-λeσe）dt+σedwe，（53），其中Cov[dWd，dWe]=ρdt。我们考虑了一个更一般的风险中性度量模型，其中国内短期利率的风险中性漂移由变量rd的一般线性函数给出，而欧洲短期利率的风险中性漂移是re的一般线性函数。这意味着国内和欧洲短期利率的演变由以下公式给出：drd=（a+ard+are）dt+σddwd，（54）dre=（b+bre）dt+σedwe，（55）其中Cov[dWd，dWe]=ρdt。请注意，系统（54）对应于系统（53），a=a- λdσd，a=-b、 a=b，b=cd- λeσe，b=-c、 到期时间τ=T的债券价格P（rd，re，τ）- 然后满足PDE：-Pτ+（a+ard+are）Prd+（b+bre）Pre+σdPrd+σePre+ρσdσeP研发部re公司- rdP=0，（56）36 rd，re>0，τ的近似分析解∈ （0，T）和初始条件P（rd，re，0）=1，对于rd，re>0。它的解决方案可以用与原始论文相同的方式找到【16】。假设公式中的解p（rd，re，τ）=eA（τ）-D（τ）rd-U（τ）re，（57）并将其设置到方程（56）中，我们得到了常微分方程组（ODE）：˙D（τ）=1+aD（τ），˙U（τ）=aD（τ）+bU（τ），（58）˙A（τ）=-aD（τ）- 初始条件A（0）=d（0）=U（0）=0时，bU（τ）+σdD（τ）+σeU（τ）+ρσdσeD（τ）U（τ）。这个系统的解由：D（τ）给出=-1+eaτa，U（τ）=aA.- aebτ+b(-1+eaτ）a（a- b） b，（59）A（τ）=Zτ-aD（个）-bU（s）+σdD（s）+σeU（s）+ρσdσeD（s）U（s）ds。注意，函数A（τ）可以很容易地以闭合形式写入，而无需积分。为了简洁起见，我们将其保留为这种形式。此外，我们只考虑a6=b的情况。如果a=b，则U（τ）有另一种形式，但这是一种非常特殊的情况，我们将不进一步考虑。5.4.4。

CIR型收敛模型首先，我们在实际测量中建立了CIR型收敛模型（即波动率与短期利率的平方根成比例）。drd=（a+b（re- rd））dt+σd√rddwd，dre=（c（d- re））dt+σe√redwe，（60），其中Cov【dWd，dWe】=ρdt。如果我们假设风险的市场价格等于λe√re，λd√rdwe获得以下形式的风险中性过程：drd=（a+ard+are）dt+σd√rddwd，dre=（b+bre）dt+σe√redwe，（61），其中Cov【dWd，dWe】=ρdt。在下文中，我们考虑这种一般风险-中性公式（61）。近似解析解37欧洲短期利率由单因素CIR模型描述，因此我们可以使用显式公式对欧洲债券定价。到期日为τ的国内债券价格P（rd、re、τ）满足PDE-Pτ+（a+ard+are）Prd+（b+bre）Pre+σdrdPrd+σerePre+ρσd√rdσe√re公司P研发部re公司- rdP=0，（62）对于rd，re>0，τ∈ （0，T），对于rd，re>0，初始条件P（rd，re，0）=1。[34]中显示（模型的参数化略有不同），只有当ρ=0时，形式（57）中的解才存在。在这种情况下，我们得到了节点系统˙D（τ）=1+aD（τ）-σdD（τ），˙U（τ）=aD（τ）+bU（τ）-σeU（τ），（63）˙A（τ）=-aD（τ）- bU（τ），初始条件A（0）=D（0）=U（0）=0，可通过数值求解。5.4.5。CKLS类型的收敛模型我们考虑一个模型，其中欧洲短期利率的风险中性漂移是re的线性函数，国内短期利率的风险中性漂移是Rd和Rean的线性函数，波动率的形式为σerγee和σdrγdd，即drd=（a+ard+are）dt+σdrγdddwd，dre=（b+bre）dt+σerγeedwe，（64），其中Cov[dWd，dWe]=ρdt。参数a、a、a、b、b∈ R、 σd，σe>0，γd，γe≥ 0是给定的常数和ρ∈ (-1，1）是维纳过程的增量dWda dWe之间的常数相关性。

我们将此模型称为Chan Karolyi Longstaff Sanders（CKLS）类型的双因素收敛模型。到期日τ满足PDE的国内债券价格P（rd、re、τ）：-Pτ+（a+ard+are）Prd+（b+bre）Pre+σdr2γddPrd+σer2γeePre+ρσdrγddσerγeeP研发部re公司- rdP=0，（65）对于rd，re>0，τ∈ （0，T），对于rd，re>0，初始条件P（rd，re，0）=1。与Vasicek和不相关CIR模型不同，在这种情况下，不可能找到可分离形式的解（57）。因此，我们正在寻找近似的解决方案。38近似解析解5。国内债券价格解的近似CKLS型收敛模型中的债券价格不以封闭形式已知。欧洲债券的情况已经如此，即单因素CKLS模型。我们使用[62]中的近似值。在这种近似下，我们考虑了具有相同风险中性漂移的单因素Vasicek模型，并将当前波动率σrγ而不是常数波动率设置为债券价格的封闭式公式。Weobtainln Pape（τ，r）=bb+σr2γ2b1.-ebτb+τ+σr2γ4b1.-ebτ+1.-ebτbr。（66）我们使用这种方法提出国内债券价格的近似值。我们考虑Vasicek收敛模型中的国内债券价格具有相同的风险中性漂移，并将σdrγddin设置为σdand和σerγeen，而不是σeinto（59）。因此，我们有n Pap=A-Drd公司- Ure（67），其中（τ）=-1+eaτa，U（τ）=aA.- aebτ+b(-1+eaτ）a（a- b） b，A（τ）=Zτ-aD（个）-bU（s）+σdr2γddD（s）+σer2γeeU（s）+ρσdrγddσerγeeD（s）U（s）ds。在CIR收敛模型中，国内债券价格PCIR（ρ=0）具有可分离形式（57），函数a、D、U以常微分方程系统（63）为特征。这使我们能够计算其对数在τ=0附近的泰勒展开。

我们可以将其与建议的近似展开式ln PCIR，ρ=0，ap（使用其闭式表达式（67）或常微分方程组（59）计算Vasicek收敛模型）进行比较。更详细的计算可以在【64】中找到。通过这种方法，我们获得了具有零相关的CIR模型的近似精度：lnPCIR，ρ=0，ap- lnPCIR，ρ=0=-aσdrd- aσd- aσdreτ+o（τ）（68）表示τ→ 0+。让我们考虑实际度量参数：a=0，b=2，σd=0.03，c=0.2，d=0.01，σe=0.01和风险的市场价格λd=-0.25，λe=-0.1。在风险中性设置（61）中，我们有a=a- λdσd=0.0075，a=-b=-2，a=b=2，b=cd- λeσe=0.003，b=-c=-0.2，σd=0.03，σe=0.01。利用短期利率的初始值rd=1.7%和re=1%，我们生成了近似解析解39Mat的演化。精确近似差值[年]收益率[%]收益率[%][%]1/4 1.63257 1.63256 7.1 E-0061/2 1.58685 1.58684 1.4 E-0053/4 1.55614 1.55614 4.8 E-0061 1.53593 1.53592 1.1 E-0055 1.56154 1.56155-5.0 E-00610 1.65315 1.65323-8.3 E-00520 1.74696 1.74722-2.5 E-00430 1.78751 1.78787-3.7 E-004Mat。精确近似差值[年]收益率[%]收益率[%][%]1/4 1.08249 1.08250-8.2 E-0061/2 1.15994 1.15996-1.7 E-0053/4 1.21963 1.21964-7.0 E-0061 1.26669 1.26671-1.6 E-0055 1.53685 1.53691-6.2 E-00510 1.65113 1.65127-1.4 E-00420 1.74855 1.74884-2.9 E-00430 1.78871 9 1.78918-3.9 E-004表9。第一（左）个观察日的准确和近似国内产量，rd=1.7%，re=1%；第252（右）个观察日的准确和近似国内产量，rd=1.75%，re=1.06%。使用Euler Maruyama离散化的国内和欧洲短期利率。在表9中，我们比较了精确利率和（67）中给出的近似利率。我们观察到非常小的差异。请注意，欧元银行同业拆借利率市场数据的引用准确度为10-3、选择其他天数，再加上rd、re的其他组合，结果非常相似。

精确利率和近似利率之间的差异几乎保持不变。最后，我们给出了在一般情况下所提出近似的精度阶的详细推导。对于单因素模型，我们使用[62]和[54]中的类似方法，以及[34]中的类似方法来研究收敛CIR模型中相关性ρ对债券价格的影响。设fex=ln Pexbe为CKLS型双因素收敛模型中国内债券的精确价格Pexo的对数。它满足PDE（65）。设fap=ln pap是（67）给出的国内债券价格的近似价格pap的对数。通过将fapto设置为（65）的左侧，我们获得非零的右侧，我们将其表示为h（rd，re，τ）。我们将其展开为泰勒展开式，得到h（rd，re，τ）=k（rd，re）τ+k（rd，re）τ+o（τ），（69）对于τ→ 0+，其中k（rd，re）=σdγdr2γd-2维2ard+2ard+2ardre- r2γddσd+2γdr2γddσd,k（rd，re）=rer-2+γddσd12aγdr2+γddreσd- 16γdr1+3γddreσd+6abγerdr1+γeeρσe+6abγerdr2+γeeρσe+6aγdrdr3+γeeρσe- 3aγdr2γddr2+γeeρσdσe+3aγdr2γddr2+γeeρσdσe+6aγdγer1+γddr1+2γeeρσdσe- 3aγerdr3γeeρσe+3aγerdr3γeeρσe+6aγdrdre2arγddσd+arγeeρσe+ 6aγdre(-1+2γd）r3γddσd+ard2rγddreσd+rdrγeeρσe.40近似解析解我们定义函数g（τ，rd，re）：=fap- fex=ln Pap- ln Pexas是近似值的对数与精确价格之间的差。使用fexand fapwe满足的PDE，获得函数g的以下PDE：-Gτ+（a+ard+are）Grd+（b+bre）Gre+σdr2γdd“G研发部+Grd#+σer2γee“Gre公司+Grd#+ρσdrγddσerγeeG研发部Gre公司+G研发部re公司（70）=h（rd，re，τ）+σdr2γdd“铁氧化物研发部-fap公司研发部铁氧化物rd#+σer2γee“铁氧化物re公司-fap公司re公司铁氧化物re#+ρσdrγddσerγee铁氧化物研发部铁氧化物re公司-fap公司研发部铁氧化物re公司-铁氧化物研发部fap公司re公司.假设g（rd，re，τ）=P∞k=ωck（rd，re）τk。对于τ=0，债券的精确价格和近似价格都等于1，因此fex（rd，re，0）=fap（rd，re，0）=0。

这意味着ω>0，在方程（70）的左侧，最低阶的项是cωωτω-现在我们研究方程右侧的顺序。我们知道fex（rd，re，0）=0。这意味着fex=O（τ）和偏导数铁氧化物rdand公司铁氧化物O（τ）阶的尾部。从近似公式（67）可以看出fap公司rd=O（τ），fap公司re=O（τ）。由于h（rd，re，τ）=O（τ），方程（70）的右侧至少为τ级。方程式（70）的左侧为τω级-1因此ω- 1.≥ 2，即ω≥ 3、表示fap（rd，re，τ）- fex（rd，re，τ）=O（τ）。使用这个表达式，我们可以改进导数的估计铁氧化物reas如下：铁氧化物re公司=fap公司re+O（τ）=O（τ）+O（τ）=O（τ）。我们还估计了等式（70）右侧的项：铁氧化物研发部-fap公司研发部铁氧化物研发部=铁氧化物研发部铁氧化物研发部-fap公司研发部= O（τ）。O（τ）=O（τ），（71）铁氧化物re公司-fap公司re公司铁氧化物re公司=铁氧化物re公司铁氧化物re公司-fap公司re公司= O（τ）。O（τ）=O（τ），（72）铁氧化物研发部铁氧化物re公司-fap公司研发部铁氧化物re公司-铁氧化物研发部fap公司re公司=铁氧化物研发部铁氧化物re公司-fap公司re公司+铁氧化物re公司铁氧化物研发部-fap公司研发部= O（τ）。O（τ）+O（τ）。O（τ）=O（τ）+O（τ）=O（τ）。（73）近似解析解41由于h（rd，re，τ）=O（τ），方程（70）的右侧是O（τ），τ处的系数是函数h（rd，re，τ）在τ处的系数，即k（rd，re）。这意味着ω=4，比较（70）左右两侧τ处的系数，我们得到-4c（rd，re）=k（rd，re），即c（rd，re）=-k（rd，re）。亨斯，我们已经证明了下面的定理。定理6。设Pex（rd，re，τ）为双因素CKLS收敛模型中的国内债券价格，即满足方程（65），Pap为（67）定义的近似解。Thenln Pap（rd，re，τ）- ln Pex（rd，re，τ）=c（rd，re）τ+o（τ）表示τ→ 0+，其中C（rd，re）=-σdγdr2γd-2维2ard+2ard+2ardre- r2γddσd+2γdr2γddσd.

（74）注意，如果我们将γd=和ρ=0替换为定理6，我们将得到（68）中前面推导的CIR模型的公式（68）。在某些情况下，可以通过计算函数g=ln Pap的泰勒展开式中的更多项来改进近似值- 在Pex。在这种情况下也是如此。使用fap- fex=O（τ），我们能够改进估计值（71）和（73），并推断等式（70）右侧τ处的系数仅来自函数h。因此，它等于k（rd，re），由（70）给出。比较（70）左右两侧τ处的系数，我们得出：-5c+（a+ard+are）Crd+（b+bre）Cre+σdr2γddCrd+σer2γeeCre+4ρσdrγddσerγeeC研发部re=k，这使我们能够用已知的量来表示。让我们定义一个近似值ln Pap2by:ln Pap2（rd，re，τ）=ln Pap- c（rd，re）τ- c（rd，re）τ。然后在Pap2中- ln Pex=O（τ），因此新的近似值ln pap2为O（τ）级。5.6。短期利率因素及其演变的财务解释在Sest\'ak博士论文[48]中，在Sev\'coviˇc的监督下，使用[27]中的近似公式来估计欧洲国家的模型。每个国家的利率分解为无风险利率（所有国家通用）和信贷利差（每个国家专用）。[27]中的公式用于定价图11。估计欧洲国家的无风险利率和信用利差。在下图中，希腊的值显示在右轴上，其他国家的值显示在左轴上。资料来源：ˇSest'ak，[48]。此设置中的绑定。作者建议采用一种校准程序，该程序在计算上要求很高，因为它涉及一个大的数据集——同时考虑所有国家的产量（不可能对每个国家进行分割，因为作为输出之一的无风险利率是所有国家共享的）。

因此，债券价格的简单近似公式对于成功估算至关重要。图11显示了[48]的估计结果。请注意，与其他国家获得的值相比，希腊信贷利差的演变是如何从某个时间开始的。结论在本次调查中，我们概述了短期利率模型，并介绍了一些计算债券价格近似值的方法，其中无法获得精确解。首先，我们考虑了单因素模型。Vasicek和Cox Ingersoll-Ross的简单模型承认封闭形式的债券价格，因此可以作为构建分析近似的依据，或者作为评估不同近似公式数值精度的测试案例。将偏微分法用于债券定价，使我们能够推导出它们在剩余到期的小时间内的准确度顺序。在第二部分中，我们讨论了多因素模型——将短期利率的过程写成两个因素的总和，第二个因素是在采用欧元之前对一个国家的利率进行建模时的随机波动率或欧洲利率。在收敛模型的情况下，我们还提供了一个三因素模型的示例，其中欧洲利率由一个双因素模型建模。我们研究了收敛模型的类似解析近似，如单因素模型。在此，我们还提供了所提议近似的准确性证明；类似的推理也适用于其他模型的分析，我们只陈述了结果。此外，我们还研究了随机波动率模型中快速时间尺度波动率的渐近性。参考文献【1】Y.Ait-Sahalia，《检验即期利率的连续时间模型》，《金融研究评论》9（1996）385-426。[2] Y。

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