更正（，BC 3）幼稚1 0.57 0.24≈ 1 12.48 2.18 0.94 49.80 10.33 0.78BC 1 0.56 0.24≈ 1 11.16 2.17≈ 1 40.24 9.54 0.98幼稚2 0.57 0.24≈ 1 11.78 2.00 0.98 44.74 8.20 0.89BC 2 0.56 0.24≈ 1 11.12 2.00≈ 1 39.92 7.79 0.99幼稚3 0.56 0.24≈ 1 11.42 1.96 0.99 42.14 7.58 0.92BC 3 0.56 0.24 1 11.10 1.96 1 40.16 7.48 1天真4 0.56 0.24≈ 1 11.22 1.96≈ 1 40.66 7.40 0.96BC 4 0.56 0.24≈ 1 11.07 1.96≈ 1 39.72 7.36 0.94幼稚5 0.56 0.24≈ 1 11.07 1.97 0.99 39.60 7.50 0.94BC 5 0.56 0.24≈ 1 11.01 1.97 0.98 39.14 7.50 0.92MLE 0.55 0.23≈ 1 10.78 2.11 0.95 36.77 8.55 0.91CH 0.55 0.22 0.99 11.69 1.44 0.63 40.50 4.85 0.63+样本平均值、标准偏差和与BC 3的相关性，分别用于具有hn的朴素估计量（朴素1-5）和偏差修正估计量（BC 1-5）=√n、 2√n、 4√n、 8个√n、 16个√n、 2015年，MLE和CH为APPL实施。我们定义了几个确定性关键量，如Fisher信息矩阵，作为依赖于点过程NPt的量的时间平均限值。为每个θ定义回归族∈ K为λ（t，θ）=ν+Zt-ae-b（t-s） dNPs。（10.1）我们假设存在未知参数θ*∈ K，使得NPTI的FNPt强度表示为λP*（t） =λ（t，θ*). （10.2）对数似然过程在常数项下为lT（θ）=ZTlog（λ（t，θ））dNPt-ZTλ（t，θ）dt。（10.3）MLE^θ是lT（θ）的最大化子。我们定义了（θ*) = -TθlT（θ*) ∈ R3×3，（10.4）KT（θ*) =TθlT（θ*) ∈ R3×3×3，（10.5）MT（θ*) =ZT公司θλ（t，θ*)λ（t，θ*){dNPt- λ（t，θ*)dt}，（10.6）和任何指数k，l，m∈ {0，1，2}，CT（θ*)k、 lm=TZTθ、 kλ（t，θ*)θ、 lmlog（λ（t，θ*)) dt，（10.7）和qt（θ*)k、 lm=-MT（θ*)kTZT公司θλ（t，θ*)Lθλ（t，θ*)mλ（t，θ*)dt。（10.8）当T→ ∞因为这个过程是指数混合的。

实际上，对文献[10]中引理6.6的一个轻微推广表明，向量过程（λ（t，θ*), θ（t，θ*), ··· , θ（t，θ*)) 满足引用文件第14页定义的混合条件【M2】，这反过来意味着Γ（θ）的存在*) ∈ R3×3和K（θ*),C（θ*) ∈ R3×3×3任何 ∈ （0，1）和任意整数p≥ 1，E |ΓT（θ*) - Γ（θ*)|p=OT-P, （10.9）E | KT（θ*) - K（θ*)|p=OT-P, （10.10）andE | CT（θ*) - C（θ*)|p=OT-P, （10.11）其中| x |表示pi | xi |表示任何向量或矩阵x。此外，这也是混合特性的一个简单结果，以及MT（θ*) 是一个收敛于QT（θ）的鞅*) - Q（θ*)] = OT-, （10.12）对于某些Q（θ*) ∈ R3×3×3。注意Γ（θ*) 是渐近Fisher信息。特别是，在【10】中，作者展示了MLE矩的收敛性（见定理4.6），Ehf√T（^θT）- θ*)我→ 流行性出血热Γ（θ*)-ξi、 （10.13）式中，f可以是多项式增长的任何连续函数，ξ遵循标准正态分布。此外，很容易看出，（10.9）-（10.13）中的收敛在θ中保持一致*∈ 在[10]的证明有轻微变化的情况下。应将结果（10.13）与定理5.2进行比较。最后，从Γ、K、C和Q，我们定义了任何K∈ {0，1，2}b（θ*)k=Γ（θ*)jkΓ（θ*)lm（K（θ*)jlm+2{C（θ*)l、 jm+Q（θ*)l、 jm}）（10.14），重复指数的隐式求和。函数b出现在第10.4.10.2节“双随机Hawkes过程的构造”中局部极大似然估计偏差的展开式中。我们在参数过程的非常一般的条件下建立了双随机自激过程的存在性。

当参数在紧致空间中取值时，我们还提供了各种随机积分关于该点过程的矩的有界性。对于霍克斯过程的构造，我们遵循了与[6]中相同的过程，即，我们通过一个固定点参数证明了双重随机霍克斯过程的存在性。在下面的内容中，我们让b=(Ohm, F、 F，P），F=（Ft）t∈[0，T]，F=F是一个随机基础，使得过滤F由三维可预测过程（θs）s生成∈[0，T]=（νs，as，bs）s∈[0，T]是分量非负的，并且通过rw上强度为1的泊松过程n，其与θ无关。换句话说，Ft=F（θ，N）t。在下面，可预测性或自适应性等属性将自动引用到F。在我们讨论自激双随机过程的存在之前，我们回顾一下鞅的akey结果。引理10.1。设F=（Ft）t∈[0，T]，F=Ft是独立于F的a过滤和G aσ-场。还考虑由Ht=Ft定义的扩展过滤∨G、 那么任何平方可积Ft鞅也是Ht鞅。特别是，对于任何Ht可预测过程u，使得RTUSDM，MISIintegrable，E[RTUSDM | G]=0。证据让M定义为引理，并为0写≤ s≤ T≤ T，E【Mt | Hs】=E【Mt | Fs】∨ G] =E【Mt | Fs】=毫秒，自G起⊥⊥M和G⊥⊥财政司司长。接下来，rtusdmis是一个Ht鞅，是lemmafollows的第二部分。我们现在证明了与θ相关的双随机Hawkes过程的存在性。定理5.1的证明。我们在二维整数测度N（dt，dx）上使用积分应用固定点参数。让我们首先定义λ（t）=ν和点过程，定义为snt=ZZ[0，t]×R{0≤十、≤λ（s）}N（ds，dx）。（10.15）可以立即看到λ（t）是Nt的Ft强度。

然后，我们递归定义了具有随机强度λnasλn+1（t）=νt+Zt的t适应点过程序列Nnalong-ase公司-bs（t-s） dNns，（10.16a）Nn+1t=ZZ[0，t]×R{0≤十、≤λn+1（s）}n（ds，dx）。（10.16b）注意，λ和nna都随着n的增加而增加，因此都会在点方向上收敛到一些限制值λ和n，它们的值取[0+∞]. 此外，N计算曲线t 7下属于正域的N点→ λ（t），直接应用单调收敛定理。现在，让我们介绍过程序列ρnde，定义为ρnt=Eλn（t）- λn-1（t）| Fθt.然后ρn+1t=EZtase公司-bs（t-s）λn（s）- λn-1（s）ds公司FθT=Ztase公司-bs（t-s） Ehλn（s）- λn-1（s）FθTids=Ztase-bs（t-s） ρnsds，我们在第二等式中使用了富比尼定理。此外，第一个等式由引理10获得。1适用于补偿测量N（ds，dz）-ds公司dz和FNTandFθT之间的独立性。因此，设置Φnt=Rtρnsds，我们通过Fubini定理Φn+1t=ZtZt公司-sase公司-bsudu公司ρnsds。请注意，RT-sase公司-bsudu公司≤ASB公司≤ 根据条件（5.1），r<1。因此，Φn+1t≤ rΦnt，从而将单调收敛定理应用于序列Pnk=0Φkt尼尔斯Ztλ（s）dsFθT≤Ztνsds+rEZtλ（s）dsFθT. （10.17）对（10.17）中的术语进行简单的重新排列，我们得到Ztλ（s）dsFθT≤ （1）- r）-1Ztνsds<∞ P- a、 其中最后一个不等式是条件（5.2）的结果。特别是，我们推断RTλ（s）Ds和Nta几乎肯定都是有限的。我们需要证明λ（t）满足（5.3）。通过单子性，我们通过取极限n得出→ +∞ 在（10.16a）中，λ（t）=νt+Zt-ase公司-bs（t-s） dNs。（10.18）最后，我们展示了如何获得（5.4）。由于N和Fθtar是独立的，它仍然认为在FθT上，N是强度为1的泊松过程。

从N表示为N上的积分，我们得出结论（5.4）成立，这就完成了证明。现在，我们将关于点过程的著名结果应用于双随机Hawkes过程的情况，并导出关于N的随机积分的一些有用的矩估计。写出∧N的补偿测度，即∧（ds，dz）=dsdz。给定一个可预测的函数W，writeW* Nt=RR【0，t】×RW（s，z）N（ds，dz），以及W的相关定义* ∧t.关于随机测度的可预测函数和积分定义，可参见【27】第二段。下面的引理是对[25]中引理I.2.1.5的直接修改，也使用了引理10.1和（5.4）。引理10.2。设W为可预测函数，使得W* ∧t<∞ 几乎可以肯定。然后，对于任何整数p>1，存在一个常数kp，使得e“supt∈[0，T]W* （N）- ∧）tPFθT#≤ KpE公司ZZ[0，T]×R | W（s，z）| pdsdz+ZZ[0，T]×RW（s，z）dsdz！PFθT对于任意（随机）核χ：（s，t）→ χ（s，t），我们说，对于任何t，对于某些过滤，χ是G-可预测的∈ [0，T]过程χ（.，T）为。例如，核χ（s，t）=ase-bs（t-s） 是Fθ-可预测的。尽管如此，在证明过程中，我们还需要处理其他内核。因此，Weintroducing引入了以下引理，以确保在条件（5.13）下双随机Hawkes过程的矩的有界性。引理10.3。

在条件c下：=支持∈[0，T]Rtase-bs（t-s） ds<1 P- a、 在美国，通过（5.3）定义的计数过程允许[0，T]上的矩可以由独立于T的值来限定。此外，对于任何Fθ-可预测核χ，使得rtχ（s，t）ds在t上一致有界∈ [0，T]独立于T，对于任何具有一致有界矩独立于T的可预测过程ψ，我们有（i）supt∈[0，T]Eλ（t）p | Fθtp<Qp（ii）支持∈[0，T]呃Rtχ（s，t）dNsp | FθTip<Qp，χ，其中常数Qp，Qp，χ与T无关。证据我们分三步进行证明。第1步。我们证明（i）对于p=1成立。我们写下[λ（t）| Fθt]=νt+Zt-ase公司-bs（t-s） E[λ（s）| FθT]ds≤ ν+sups∈[0，t]E[λ（s）| Fθt]Zt-ase公司-bs（t-s） ds公司≤ ν+c sups∈[0，t]E[λ（s）| Fθt]，其中我们在最后一步中使用了条件（5.13）。在双方的[0，T]上取上确界，我们得到支持∈[0，T]E[λ（T）| FθT]≤ （1）- c）-1ν。（10.19）这尤其证明了p=1的情况，因为（10.19）的右侧与T无关。第2步。我们证明了（i）对任何整数p＞1都成立。请注意，有必要考虑p=2q，q>0的情况。因此，我们通过对q的归纳来证明我们的结果。在步骤1中已经证明了初始化情况q=0。请注意，对于任何 > 0，E[λ（t）p | Fθt]≤ （1+-1） q-1ν+（1+)Q-1E级Zt公司-ase公司-bs（t-s） dNsPFθT,这里我们使用了不等式（x+y）q≤ （1+)Q-1xq+（1+-1） q-1yq对于任何x，y， > 0.现在，对于固定的t∈ [0，T]，定义W（s，z）=ase-bs（t-s） {0≤Z≤λ（s）}，注意eZt公司-ase公司-bs（t-s） dNsPFθT= 呃W*Nt公司PFθTi≤ （1+-1） q-1EhW* （N）- ∧）tPFθTi+（1+)Q-1EhW* ∧tPFθTi。我们现在将引理10.2应用于getEhW* （N）- ∧）tp | FθTi≤ KpE公司ZZ[0，T]×R | W（s，z）| pdsdz+ZZ[0，T]×RW（s，z）dsdz！PFθT= KpE“Zt-后堂-pbs（t-s） λ（s）ds+Zt公司-ase公司-2bs（t-s） λ（s）dsPFθT#。我们很容易将第一项与归纳假设联系在一起。

对于第二项，H"older不等式的一个初等应用表明，对于任何k>1和任何非负函数f，g，（Rfg）k≤ （Rfkg）（Rg）k-这与归纳假设一起导致了第二项的相似界限。另一方面，我们有W* ∧tPFθTi=EZt公司-ase公司-bs（t-s） λ（s）dsPFθT.我们再次应用与上述相同的H"older不等式，函数f（s）=λ（s）和g（s）=ase-bs（t-s） 到getEZt公司-ase公司-bs（t-s） λ（s）dsPFθT≤ cp公司-1E级Zt公司-ase公司-bs（t-s） λ（s）pdsFθT= cp公司-1Zt-ase公司-bs（t-s） Ehλ（s）p | FθTids≤ cpsups∈[0，t]Ehλ（s）p | Fθt最后，我们已经证明了e[λ（t）p | Fθt]≤ （1+-1） q-1ν+（1+)Q-1（1+-1） q-1Ap+（1+)qcpsups∈[0，t]E[λ（s）p | Fθt]。这就产生了，取集合[0，T]的上确界，并取 > 0足够小，以便（1+)qcp<1，支持∈[0，T]E[λ（T）p | FθT]1.- （1+)质量控制计划≤ （1+-1） q-1ν+（1+)Q-1（1+-1） q-1Ap，除以1.- （1+)质量控制计划双方都得到了结果。第3步。仍需显示（ii）和（iii）。但请注意，它们是λ矩有界性以及引理10.2.10.3 LCLT和2κ阶矩有界性的直接结果。我们重点讨论了模型在每个块上的局部极大似然估计BΘi，no的渐近性质∈ {1，···，Bn}。回想一下，我们得到了全局过滤Ft=F（θ*,N） 具有双重随机Hawkes过程序列的∈[0，T]。我们对每个时间块执行最大似然估计（一）-（1）nT，inT公司, 我∈ 参数Hawkes过程回归族的{1，···，Bn}，并给出了每个局部估计bΘi，nofθ的局部中心极限定理*（一）-（1）n、 在块索引i中均匀。

此外，我们还证明了重标度估计量的所有高达2κ>2阶的矩√hn公司bΘi，n- θ*（一）-（1）N在i中一致收敛。我们没有直接在每个块上导出极限定理，而是表明通过选择适当的时间变化，可以将统计问题简化为长期框架。这样的过程基于以下基本引理。引理10.4。设（Nt）t是一个适应过滤Ft的点过程，Ft随机强度λ（t）。对于γ>0，考虑Nγt=Nγt，它适用于Fγt=Fγt。然后，Nγtλγ（t）=γλ（γt）作为aFγt-随机强度。此外，如果NTI是参数过程（θs）s的双随机Hawkes过程，则Nγtha是参数（γθγs）s的Hawkes过程的分布，即λγ（t）=γνγt+Zt-γaγse-γbγs（t-s） dNγs.（10.20）证明。首先注意，Nγt=Nγ由rγtλ（s）ds补偿。通过变量u=γ的简单变化-1s这个积分可以写成rtγλ（γu）du，它证明了引理的第一部分。在双重随机Hawkes情况下，我们写出时变强度的积分形式，并再次应用变量u=γ的变化-1s，λγ（t）=γλ（γt）=γνγt+Zγt-γ-酶-bs（γt-s） dNs=γνγt+Zt-γaγue-γbγu（t-u） dNγu，我们完成了。根据引理10.4，对于任何块索引i∈ {1，···，Bn}，我们考虑时间变化τni:t7→ N-1t+（i- （1）nand点进程（Nns）{s∈（（一）-（1）n、 我n] }为了得到时间变化点过程Ni，通过公式Ni，nt=NnτNi（t）在时间集[0，hnT]上定义- Nn（i-（1）n、 这种工艺适用于过滤Fi，nt=Fτni（t），对于t∈ [0，hnT]。参数过程如下（θi，n，*t） {t∈[0，hnT]}=（θ*τni（t））{t∈[0，hnT]}其规范过滤可表示为Fθi，n，*t=σ{θi，n，*s | 0≤ s≤ t} ，对于t∈ [0，hnT]。

最后注意，Fi，nt随机强度现在是λi，n的形式*（t） =νi，n，*t+Zt-ai，n，*se公司-bi，n，*s（t）-s） dNi，ns+Ri，n（t），（10.21），其中Ri，n（t）是由关系式Ri，n（t）=Z（i）定义的Fi，n-可测量剩余过程-（1）N-不适用*se公司-nb公司*s（τni（t）-s） dNns。（10.22）Ri，n（t）应解释为前几块诱发的预激。注意，从核的指数形式来看，φt=ae-bt假设，Ri，n（t）可以由i，n（t）限定≤ E-btRi，n（0）（10.23）注意，所有过程Ni，nCa都可以表示为泊松过程序列上的积分Ni，Ras上的nof强度1如下：Ni，nt=ZZ[0，t]×R+{0≤Z≤λi，n*（s） }Ni，n（ds，dz）。（10.24）实际上，Ni，nis是由Ni定义的初始泊松过程的时空变化版本，N（A×B）=N（τNi（A）×nB），对于A和B，R的任何两个Borel集。在时变表示中，我们定义了随机强度的回归族∧i，N（t，θ）=ν+Zt-ae-b（t-s） dNi，ns，（10.25），与λi，n（见（5.5））相关，通过∧i，n（t，θ）=n-1λi，n（τni（t），θ）。此外，第i块（5.6）中定义的准对数似然过程现在具有表示形式（直到常数项对数（n）Ni，nhnT）li，n（θ）=ZhnTlog（∧i，n（t，θ））dNi，nt-ZhnT∧i，n（t，θ）dt，（10.26）注意，在我们的例子中，真实的下伏强度λi，n*不属于回归族（∧i，n（.，θ））θ∈k原因有二：参数过程θ*在第i块上不是常数，回归族不考虑（10.21）中存在的预激项。我们处于一个错误的情况下，但我们希望利用过程θ的连续性*为了证明交感理论仍然成立，即MLE趋向于θi，n的值，*= θ*（一）-（1）nwhich是过程θ的值*在第i个块的开头。

因此，对于随机强度在回归族中且真值θ=θ的模型，该过程渐近等效于执行最大似然估计*（一）-（1）n、 为了将这种想法形式化，我们引入了一个与真值θ生成的参数情况相对应的辅助模型*（一）-（1）n、 更准确地说，我们引入了由Ni生成的常数参数Hawkesprocess Ni，n，cg和初始值θi，n，*, 其随机强度满足λi，n，c（t）=νi，n，*+Zt公司-ai，n，*E-bi，n，*（t-s） dNi，n，cs。（10.27）此外，我们假设Ni，n，ct具有代表性Ni，n，ct=ZZ[0，t]×R+{0≤Z≤λi，n，c（s）}Ni，n（ds，dz）。（10.28）注意，Ni，n，ctis未被观察到，只是作为一个中介来推导MLE的渐近性质，通过系统地显示任何变量Ni，n，|λi，n，li，n等渐近非常接近其由常数参数模型生成的对应物。出于稍后将变得明显的原因，将预激Ri，n（0）局部化并用一些仅依赖于n的确定性值Mn将其约束，对于某些q>1，Mn=O（nq）是至关重要的。为了将我们的局部估计问题简化为参数Hawkes过程的情况，我们还需要对参数过程的初始值设置条件。因此，我们将广泛使用条件期望E[.1{Ri，n（0）≤Mn}| Fi，n，θi，n，*= θ] ，我们用Eθ，i，n表示，其存在性由经典正则分布参数证明（参见第4.3节（第77页-80）in[5]）。本着同样的精神，对于一个可测量的集合∈ F、 Pθ，i，n【A】应理解为Eθ，i，n【1A】。最后，我们需要经常取四重态的上确界（θ，i，n，t）。为此，我们引入了符号E={（θ，i，n，t）∈ K×N×R+1.≤ 我≤ BN和0≤ T≤ hnT}。当n∈ N是固定的，我们将E的子集定义为En={（θ，i，t）∈ K×N×R+| 1≤ 我≤BN和0≤ T≤ hnT}。

本着同样的精神，当出现截断参数时，它也很有用，在前面的方程中考虑Enfor的子集，我们有更强的条件hαnT≤T≤ hnT，其中α∈ （0，1），我们用Eαn表示。下一个引理说明λi，n的矩的一致有界性*λi，n，c，以及Ni，nand Ni，n，c上随机积分的lp估计。引理10.5。对于任意整数p≥ 1和任意Fθi，n，*-可预测核χ，使得rtχ（s，t）dst在t上一致有界∈ [0，hnT]独立于T和n，（i）sup（θ，i，n，T）∈EEθ，i，nλi，n*（t）P≤ MpP-a.s.这是K Ris是一个Borel空间。（ii）sup（θ，i，n，t）∈EEθ，i，nRtχ（s，t）dNi，nsp<Mp，χp-a.s.（iii）sup（θ，i，n，t）∈EEθ，i，nλi，n，c（t）p<MpP-a.s.（iv）sup（θ，i，n，t）∈EEθ，i，nRtχ（s，t）dNi，n，csp<Mp，χp-a.s.其中Mp和Mp，χ分别是仅取决于p和p及χ的有限常数。证据这是引理10.3证明的直接改编，条件期望E[.1{Ri，n（0）≤Mn}| Fi，n∨Fθi，n，*hnT，θi，n，*= θ] 。1{Ri，n（0）的存在性≤Mn}和（10.23）中的指数decay清楚地表明，结果仍然是一致的，在四元组中（θ，i，n，t）。通过直接应用Jensen不等式，替换Fi，n仍然是正确的∨Fθi，n，*hnTby通过较小的过滤Fi，n，即对于算子Eθ，i，n。在我们开始估计两个模型之间的距离之前，我们先说明一个技术引理。引理10.6。设h:s 7→ ae-设f，g是满足不等式f的两个非负函数≤ g+f*h其中（f*h） （t）=Rtf（t- s） h（s）ds是常见的卷积。那么我们就有了≥ 0f（t）≤ g（t）+aG* e（a-b） 。（t） 证明。对任意n的不等式进行迭代∈ N*F≤ g+g*nXk=1h*（k） +f* H*（n+1）。

（10.29）我们≥ 0，注意，通过一个简单的计算，对于任何整数k≥ 1我们有h*（k） （t）=tk-1（k-1） 哦！ake公司-我们推断* H*（n+1）（t）=Ztf（t- s） snn！an+1e-bsds≤tnn！an+1Ztf ds→ 0as n→ +∞. 对于任意整数n≥ 1nXk=1h*（k） （t）=nXk=1tk-1（k- 1） 哦！ake公司-英国电信≤ ae（a-b） 因此，我们通过取极限n得到结果→ +∞ 在（10.29）中，在任意点t处进行评估≥ 在下文中，我们量化了双随机模型与其常参数近似之间的局部误差。我们回忆起关键指数κ=γ（δ- 1） 这已经在（5.16）中产生，并且在下一个结果中起着重要作用，因为它证明了一个模型对另一个模型的收敛速度是h的幂-1n，其中Hn与时间变化后一个区块的典型尺寸成比例。回想一下，γ表示θ的时间正则性指数，而δ通过关系hn=n1/δ控制与n相比的小块大小。注意，在（5.16）中，我们的κ>1。下一个引理显示模型（Ni，n，c，λi，n，c）和（Ni，n，λi，n*) 在Lpsense中是渐近环流。证明遵循与引理10.3证明相同的路径。引理10.7。Letα∈ （0，1）是截断指数，并且 ∈ （0，1）。我们有，对于任何p≥ 1，任何确定性核χ，使得rtχ（s，t）ds在t上一致有界∈ R+，以及任何可预测过程（ψs）s∈矩有界的R+：（i）sup（θ，i，t）∈EαnEθ，i，nλi，n，c（t）- λi，n*（t）p=OP（h-κn）（ii）supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，nRhnThαnTψs{dNi，n，cs- dNi，ns}p=OPhp（马力）-κn（iii）supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，nRhnThαnTχ（s，hnT）{dNi，n，cs- dNi，ns}p=OP（h-κn）备注10.8。对于p=1，如果我们还记得的话n=hnn-1T和κ=γ（δ-1） ，我们得到一个典型的偏差-κn=T-γγn在实际模型与其常参数近似之间。这不是很令人惊讶，因为在一个块上，参数过程θ*完全偏离了那个顺序。

对于p>1，情况相当不同。人们会期望与parameterprocess的偏差具有相同的阶数，即h阶-κpn=T-γpγpn。但正如前面引理所示，两个模型之间的偏差非常小，因为偏差仍然是h阶-κn=T-γ对于任何p，这种损失是由于点过程结构及其相关的Burkholder-Davis-Gundy型不等式的形状造成的（见引理10.2）。这与以下事实中的现象相同。对于强度为λ的泊松过程，我们有E[| Nt- λt | p]~ t时的αpt→ 0，即与所选力矩成线性关系的收敛速度。证据我们将在q上通过递归显示∈ 对于p=2q形式的每一个p，我们有N的主要值∈ N、 t型∈ [0，hnT]和一致in（θ，i），Eθ，i，nλi，n，c（t）- λi，n*（t）Q≤ Ln，q+Mn，qe-b（1-r） t，（10.30），其中Ln，qand Mn，qdepend on n and q only，Ln，q=OP（h-κn）和n中多项式增长的Mn，qis。注意，然后（i）将通过在集合[hαnT，hnT]上取上确界并使用估计Mn，qe自动证明-b（1-r） hαnT=oP（h-κn）我们得到θ，i，n |λn，c（t）- λn*（t） | p=OP（h-κn）在集合Eαn上一致。步骤1。在q=0的情况下，我们给出了我们的索赔，即p=1。写入|λi，n*（t）- λi，n，c（t）|≤ |νi，n，*T- νi，n，*| +Zt公司-ai，n，*se公司-bi，n，*s（t）-s）- ai，n，*E-bi，n，*（t-s）dNi，ns+Zt公司-ai，n，*E-bi，n，*（t-s）dNi、n、cs- dNi，ns+ Ri，n（t）≤ Ai，n（t）+Bi，n（t）+Ci，n（t）+Ri，n（t）（均匀）主成分Eθ，i，nAi，n（t）=OP（h-κn）是[C]-（i）的直接结果。由theinequality | ae-英国电信- ae-bt |≤|A.- a |+| b- b类|E-bt（10.31）表示任何（ν，a，b），（ν，a，b）∈ K、 我们可以写θ，i，nBi，n（t）≤ Eθ，i，nZt-|ai，n，*s- a |+| bi，n，*s- b类|E-b（t-s） dNi，ns≤vuutEθ，i，nsups公司∈[0，t]|ai，n，*s- a |+| bi，n，*s- b类|Eθ，i，nZt公司-E-b（t-s） dNi，ns,其中Cauchy-Schwartz不等式应用于最后一个不等式。

请注意，右项几乎肯定由引理10.5控制的常数控制，因此均匀主项Eθ，i，nBi，n（t）=OP（h-κn）来自[C]-（i）。最后，对于Ci，n（t），writeEθ，i，nCi，n（t）≤ Eθ，i，nZt-ae-b（t-s） d镍、氮、碳- 镍，ns（10.32），其中d镍、氮、碳- 镍，nsis是一个整数度量，它计算不属于dNi，n，cand和dNi，n的跳跃，即位于曲线t之间的Ni，nth点→ λi，n*（t） 和t→ λi，n，c（t）。简单计算表明，该计数过程允许|λi，n，c（s）- λi，n*（s） |作为随机强度。我们现在计算：Eθ，i，nCi，n（t）≤ Eθ，i，nZt-ae-b（t-s） |λi，n，c（s）- λi，n*（s） | ds=Zt-ae-b（t-s） Eθ，i，n |λi，n，c（s）- λi，n*（s） | ds。到目前为止，我们已经证明存在一个序列Ln，使得Ln=O（h-函数f（t）=Eθ，i，n |λi，n，c（t）- λi，n*（t） |满足不平等F（t）≤ Ln+Ri，n（t）+f* h（t），（10.33），其中h是定义为h:t 7的核→ ae-bt.引理10.6，本屈服强度Sf（t）≤ Ln+Ri，n（t）+Zt{Ln+Ri，n（s）}ae（a-b） （t-s） ds。（10.34）现在回想一下b- a> b（1- r） 在集合{Ri，n（0）上≤ Mn}，我们有Ri，n（s）≤ Mne公司-bs<Mne-b（1-r） sto getf（t）≤ （1+（1- r）-1） Ln+Ri，n（t）+Zt{Mne-b（1-r） s}aeb（1-r） （t-s） ds公司≤ （1+（1- r）-1） Ln+（1+at）Mne-b（1-r） t.如果我们回想一下，在上面的表达式中，f（t）代表Eθ，i，n |λi，n，c（t）-λi，n*（t） |，在q=1的情况下，这种统一估计清楚地证明了（10.30）。第2步。我们证明了任意q的结果∈ N*. 让表达式f（t）代表Eθ，i，n |λi，n，c（t）-λi，n*（t） | p。

对于任何η>0f（t）=Eθ，i，n |λi，n，c（t），使用与上一步类似的符号- λi，n*（t） | p≤ Eθ，i，n | Ai，n（t）+Bi，n（t）+Ci，n（t）+Ri，n（t）| p≤ （1+η）-1） q-1Eθ，i，n | Ai，n（t）+Bi，n（t）+Ri，n（t）| p+（1+η）q-1Eθ，i，nCi，n（t）pIt很容易看出，与前一种情况类似的参数导致统一估计θ，i，nAi，n（t）p+Eθ，i，nBi，n（t）p=OPH-κpn.现在，定义W（s，z）=ae-b（t-s） |1{0≤Z≤λi，n，c（s）}- 1{0≤Z≤λi，n*（s） }to getEθ，i，n[Ci，n（t）p]=Eθ，i，nW* Nt公司P≤ （1+η）-1） q-1Eθ，i，nW* （N）- ∧）tP+ （1+η）q-1Eθ，i，nW* ∧tP,将引理10.2应用于getEθ，i，nW* （N）- ∧）tP≤ KpEθ，i，n“ZZ[0，T]×R | W（s，z）| pdsdz#+Eθ，i，nZZ[0，T]×RW（s，z）dsdz！P= Kp公司Eθ，i，nZt公司-猿类-pb（t-s） |λi，n，c（s）- λi，n*（s） | ds+ Eθ，i，n“Zt公司-ae-2b（t-s） |λi，n，c（s）- λi，n*（s） | dsp#！，这很容易用归纳假设来界定，如（10.30）所示。请注意，此处存在积分项|λi，n，c（s）- λi，n*（s） |是获得更高估计值的主要障碍H-κpn这是人们所期望的。最后是θ，i，nW*∧tP= Eθ，i，nZt公司-ae-b（t-s） |λi，n，c（s）- λi，n*（s） | dsP以与引理10.3的证明完全相同的方式处理，以得到θ，i，n的边界W* ∧tP≤ cqf公司* h（t），（10.35），其中h:s 7→ ae-如果η取得足够小，则为bs，cq<1。因此，我们已经证明，对于q=1的情况，f满足类似的卷积不等式，我们可以应用引理10.6得出结论。第3步。仍需显示（ii）和（iii）。它们只是应用引理10的结果。2到情况Wψ（s，z）=ψs | 1{0≤Z≤λn，c（s）}- 1{0≤Z≤λn*（s） }|和Wχ（s，z）=χ（s，t）| 1{0≤Z≤λn，c（s）}-{0≤Z≤λn*（s） }|以及霍尔德不等式。现在，我们可以通过证明与估计相关的任何数量都渐近非常接近于常数参数模型（Ni，n，c，λi，n，c）的对应数量来证明极大似然估计的一致渐近正态性。

为此，我们引入伪候选强度族和伪对数似然过程，如λi，n，c（t，θ）=ν+Zt-ae-b（t-s） dNi，n，cs（10.36）和lci，n（θ）=ZhnTlog（λi，n，c（t，θ））dNi，n，ct-ZhnTλi，n，c（t，θ）dt，（10.37）对于任何θ∈ K、 注意λi，n，c（t，θi，n，*) = 定义λi，n，c（t）。这些量都与（Ni，n，c，λi，n，c）有关，因此无法观测到。作为前面引理的结果，我们陈述了候选强度族的一致lpboundness，以及它们的相对偏差的估计。引理10.9。Letα∈ （0，1）。对于任何整数p，我们都有≥ 1和任意j∈ N即（i）sup（θ，i，N，t）∈EEθ，i，nsupθ∈Kjθλi，n（t，θ）P≤ KjP-a.s.（ii）sup（θ，i，n，t）∈EEθ，i，nsupθ∈Kjθλi，n，c（t，θ）P≤ KjP-a.s.（iii）sup（θ，i，t）∈EαnEθ，i，nsupθ∈Kjθλi，n（t，θ）- jθλi，n，c（t，θ）p=OP（h-κn），其中常数Kjdepend完全基于j.Proof。注意，通过形式为νorRt的项的线性组合，λi，n（t，θ）的导数可以在θ中一致有界-（t- s） 日本脑炎-b（t-s） dNi，ns，j∈ N、 N中一致项矩的有界性∈ 因此，时间间隔[0，hnT]是引理10.3（ii）的结果，其中χ（s，t）=（t- s） 日本脑炎-b（t-s） ，因此（i）如下。（ii）以相同方式证明。最后一场秀（三）。注意supθ∈K级|jθλi，n（t，θ）- jθλi，n，c（t，θ）|可以由formRt项的线性组合来限定-（t- s） 日本脑炎-b（t-s） d | Ni，n- Ni，n，c | s。然后，通过截断参数和引理10.7（iii），可以轻松推导出此类表达式的Lpestimate。现在，我们遵循与[10]中介绍的符号类似的符号，并考虑主要的兴趣量来推导MLE的性质。我们定义了任何（θ，θ）∈ K、 Yi，n（θ，θ）=hnT（li，n（θ））- li，n（θ）），（10.38）i、 n（θ）=√hnT公司θli，n（θ），（10.39）和最终Γi，n（θ）=-hnT公司θli，n（θ）。（10.40）我们以同样的方式定义Yci，n，ci，n和Γci，n。

我们为下一个引理引入集合I={（θ，I，n）∈K×N | 1≤ 我≤ Bn}。引理10.10。允许 ∈ （0、1）和L∈ （0，2κ）。对于任何p∈ N*, 对于任何 ∈ （0，1），我们有theestimatessupθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，ni、 n（θ）- ci，n（θ）L→P0，（10.41）supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，nsupθ∈K | Yi，n（θ，θ）- Yci，n（θ，θ）| p= OP公司H-κn, （10.42）supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，nΓi，n（θ）- Γci，n（θ）p=OPH-κn, （10.43）sup（θ，i，n）∈IEθ，i，nH-1nsupθ∈K级|θli，n（θ）|p<K p-a.s.（10.44）证明。让我们展示一下（10.41）。我们可以将（10.39）中的方程式表示为，并将constantmodel对应的方程式表示为i、 n（θ）=√hnT（ZhnTθИλi，n（s，θ）~λi，n（s，θ）dNi，ns-ZhnT公司θИλi，n（s，θ）ds）（10.45）和ci，n（θ）=√hnT公司ZhnT公司θλi，n，c（s，θ）λi，n，c（s，θ）dNi，n，cs-ZhnT公司θλi，n，c（s，θ）ds. （10.46）引理10.5（i）和（iii），引理10.9（i）和（ii）以及因子的存在√hnT，对于某些α，可以用hαnT替换这些积分的下界∈ （0，）。因此，差异√hnT公司(i、 n（θ）- ci，n（θ））等于三项SzhnthαnT之和θИλi，n（s，θ）~λi，n（s，θ）（dNi，ns- dNi、n、cs）+ZhnThαnT(θИλi，n（s，θ）~λi，n（s，θ）-θλi，n，c（s，θ）λi，n，c（s，θ））dNi，n，cs+ZhnThαnT{θИλi，n（s，θ）- θλi，n，c（s，θ）}ds。因此，我们将引理10.7（ii）和10.9（i）应用于第一项，将引理10.5（iii）和10.9（iii）应用于第二项，最后将引理10.9（iii）应用于最后一项，以获得总体估计supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，ni、 n（θ）- ci，n（θ）L=OPhL公司-κn, （10.47）对于任何 ∈ （0，1）。如果我们能够找到 这样我- κ<0，这可以通过 由于L<2κ，因此非常接近1。等式（10.42）、（10.43）和（10.44）也得到类似证明。引理10.11。对于任意整数p≥ 存在一个常数M，使得sup（θ，i，n）∈IEθ，i，n|cn（θ）| p<M p-a.s.（10.48）此外，存在映射（θ，θ）→ Y（θ，θ），对于任何 ∈ （0，1），supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，nsupθ∈K | Yci，n（θ，θ）- Y（θ，θ）|= OH-pn编号P-a.s。

（10.49）最后，对于任何θ∈ K、 对于任何 ∈ （0，1），supθ∈K、 1个≤我≤-1nEθ，i，nΓci，n（θ）- Γ（θ）p=OH-pn编号P-a.s.（10.50），其中Γ（θ）是（10.9）中引入的参数θ的参数Hawkes过程回归模型的渐近Fisher信息矩阵。证据注意，当θi，n，*= θ、 常数模型Ni，n，cis只是一个参数Hawkes过程，参数为θ，与过滤Fi，n无关。因此，通过正则分布论证，算子Eθ，i，nacts作为Ni，n，cd的简单算子E，作为具有真值θ的Hawkes分布。很明显，在引理3.15和定理4.6的证明中有轻微的变化，这些估计在θ中保持一致∈ K和块索引中。定理10.12。让我∈ （0，2κ）。我们有SUPθ∈K、 1个≤我≤BnnEθ，i，nhfphn（bΘi，n- θ）我- 流行性出血热T-Γ（θ）-ξio→P0，（10.51）对于| f（x）|=O（| x | L）的任何连续函数f，当| x |→ ∞ , ξ服从标准正态分布。证据通过（10.42）和（10.49），我们可以确定一些数字 ∈ （0，1）使SUPθ∈K、 1个≤我≤Bnh公司（p∧κ） nEθ，i，nsupθ∈K | Yi，n（θ，θ）- Y（θ，θ）| p→P0，（10.52）和asbΘi，nis也是θ的最大值→ Yi，n（θ，θ），（10.52）表示块指数i和初始值bΘi，ntoθi，n的一致性，*, i、 e.supθ∈K、 1个≤我≤BnPθ，i，nhbΘi，n- θi→P0，（10.53），因为Y满足[10]中的非简并条件[A4]。从（10.43）和（10.50）我们推导出supθ∈K、 1个≤我≤Bnh公司（p∧κ） nEθ，i，n | i，n（θ）- Γ（θ）| p→P0。（10.54）乘以（10.41），i、 n（θ）和ci，n（θ）具有相同的渐近分布，其形式为Γ（θ）ξ，其中ξ遵循标准正态分布。

根据文献[10]中定理3.11的证明，我们推断√hn（bΘi，n- θ） 在分布上一致收敛于T-Γ（θ）-ξ当θi，n，*= θ、 即supθ∈K、 1个≤我≤BnnEθ，i，nhfphn（bΘi，n- θ）我- 流行性出血热T-Γ（θ）-ξio→P0，（10.55）对于任何有界连续函数f。最后，我们将（10.55）推广到阶数小于L的多项式增长函数的情况。首先注意，通过（10.41）和（10.48），我们得到了∈ （L，2κ）supθ∈K、 1个≤我≤BnEθ，i，n|i、 n（θ）| L=OP（1）。（10.56）我们现在采用[40]的符号和定义β=, β=- β、 ρ=2，0<ρ<1- 2β，0<α<ρ，0<ρ<min{1，α1-α、 2β1-α} 都非常小，因此M=L（1- ρ）-1<L，M=βL（2β1-α- ρ）-1<2γ（δ-1） =κ，M=(- β） L（1- 2β- ρ）-1<κ，最终M=Lα1-α- ρ-1<∞. 然后，通过（10.52），（10.54），（10.56）和最终（10.44），满足了[40]中的条件[A1]、[A4]、[A6]、[B1]和[B2]。很简单，我们可以应用定理3和[40]中的命题1的条件版本（关于算子Eθ，i，n）来获得anyp的条件≤ 五十、 supθ∈K、 1个≤我≤-1nEθ，i，nphn公司bΘi，n- θp=OP（1）。（10.57）这种条件矩的随机有界性以及分布的收敛性显然足以暗示该定理。到目前为止，我们关注的是Ri，n（0）由序列Mn限定的情况。尽管如此，时变参数Hawkes过程有一个残差，该残差在块的开始处先验地没有界。在定理5.2中，我们放松了这个假设。此外，我们使用常规条件分布技术（例如，参见第4.3节（第77页-80）在【5】中），当不通过θ的任何特定起始值进行调节时，获得（10.51）*t、 我们提供以下形式的证明。回想一下E（i-（1）E[.| Fi，n]的nstands。定理5.2的证明。我们可以分解（i-（1）nhf公司√hn（bΘi，n- θ*（一）-（1）n）iasE（i-（1）nhf公司phn公司bΘi，n- θ*（一）-（1）N{Ri，n（0）≤Mn}i（10.58）+E（i-（1）nhf公司phn公司bΘi，n- θ*（一）-（1）N{Ri，n（0）>Mn}i。

（10.59）设ξ如定理5.2所示。一方面，通过正则条件分布参数，如果我们定义负（θ）=Eθ，i，nhf√hn（bΘi，n-θ我-流行性出血热T-Γ（θ）-ξi、 我们可以用i统一表示∈ {1，····，Bn}数量（i-（1）NFphn公司bΘi，n- θ*（一）-（1）N{Ri，n（0）≤Mn}- FT-Γθ*（一）-（1）N-ξ（10.60）作为Gθ*（一）-（1）N通过定义Eθ，i，and，因为ξ⊥⊥F、 我们注意到Gθ*（一）-（1）N≤ supθ∈KEθ，i，nhfphn公司bΘi，n- θ我- 流行性出血热T-Γ（θ）-ξ我, （10.61）取（10.61）中的sup over i，根据定理10.12，我们已经证明（10.60）是oP（1）阶的统一。另一方面，（10.59）以hLnQ1{Ri，n（0）>Mn}为界，对于某些Q>0，我们使用了dthatbΘi，在一个紧空间中获取其值。通过简单的计算，很容易看出p[Ri，n（0）>Mn]≤ P[λn*（（一）- （1）n） >Mn]，而马尔可夫质量则很容易被M控制-1nE[λn*（（一）- （1）n） ]=O（纳米-1n）。我们还记得形式为nqq的mni，其中q可以任意大，因此我们已经证明（10.59）渐近消失。10.4局部极大似然估计的偏差缩减我们进一步研究了局部极大似然估计的渐近条件偏差的性质，即量e（i-（1）nhbΘi，n- θ*（一）-（1）镍。然后，我们推导了偏差修正估计量bΘ（BC）i的表达式，其中期望值趋向于θ的速度更快*（一）-（1）n、 我们首先估计局部极大似然估计偏差的阶数。正如读者所见，以下计算非常复杂。因此，仅在本节中，我们采用以下注释约定。首先，我们删除索引参考i。因此，所有变量Nn，λn*,ln，Eθ，n等应读取Ni，n，λi，n*,li，n，Eθ，i，n等。所有结果都隐式地统一表示在blockindex中。其次，对于允许算子Eθ，n，wedenote x Z的一阶矩的随机变量Z，其中心版本，即随机变量Z-Eθ，n【Z】。

我们采用爱因斯坦的求和约定，即在表达式中重复的任何标记都是隐式求和的。例如，表达式aijbj应为readPjaijbj。最后，如第5节所述，对于矩阵M，我们使用上标指定其逆元素，即M（i，j）位置的元素的Mijstands-1当定义明确时，Mij=0，否则。通过得分函数在似然函数最大化子附近的泰勒展开，可以立即看到存在ξn∈ [bΘn，θ]使得0=θln（bΘn）=θln（θ）+θln（θ）（bΘn- θ）+θln（ξn）（bΘn- θ）2，（10.62）其中θln（ξn）（bΘn-θ）2是第i分量为θ、 ijkln（ξn）（bΘn-θ） j（bΘn- θ） k.出租 ∈ （0，1）。通过应用引理10.7和10.9，它仍然认为θlcn（θ）+θlcn（θ）（bΘn- θ）+θlcn（ξn）（bΘn- θ）2=操作h1-κn, （10.63）其中剩余项OPh1-κn明确承认关于Eθ，n的任意阶矩。我们现在应用操作符Eθ，n除以hnT和obtainEθ，n[Γcn（θ）（bΘn- θ） ]+Eθ，n[Γcn（θ）]Eθ，n[bΘn- θ]- Eθ，nθlcn（ξn）2hnT（bΘn- θ）2.= OP（h-κn），其中，由于cn（θ）in（10.46）。术语Eθ，n[Γcn（θ）]Eθ，n[bΘn- θ] 很有趣，因为它包含我们要评估的数量。因此，必须对第一项和第三项进行评估，以得出偏差的扩展。Westart的第一项，即我们的估计值与Γcn（θ）之间的协方差。为了计算这种协方差的极限值，我们考虑鞅Mcn（t，θ）=Rtθλn，c（s，θ）λn，c（s，θ）{dNn，cs- λn，c（s，θ）ds}，我们定义了经验协方差过程Ccn（θ）和Qcn（θ），其分量为，对于任何三重态（i，j，k）∈ R×R×R，Ccn（θ）i，jk=hnTZhnTθ、 iλn，c（s，θ）θ、 jklogλn，c（s，θ）ds，和qcn（θ）i，jk=-Mcn（T，θ）ihnTZhnTθλn，c（s，θ）jθλn，c（s，θ）kλn，c（s，θ）ds，我们以类似的方式定义Cn（θ）和Qn（θ）。

下一个引理阐明了Ccn（θ）+Qcn（θ）的作用，是一个简单的计算。引理10.13。我们有eθ，n[Ccn（θ）i，jk+Qcn（θ）i，jk]=-phnT Eθ，n[cn（θ）iΓcn（θ）jk]。（10.64）证明。请注意，对于两个Lbounded进程（us），（vs），我们有Z、 美国{dNn，cs- λn，c（s，θ）ds}，Z.vs{dNn，cs- λn，c（s，θ）ds}t=Ztusvsλn，c（s，θ）d取期望值，该屈服θ，nZtus{dNn，cs- λn，c（s，θ）ds}Ztvs{dNn，cs- λn，c（s，θ）ds}= Eθ，nZtusvsλn，c（s，θ）ds公式（10.64）直接从Γcn（θ）和cn（θ）。现在，通过与（10.11）的证明相同的论证，我们得到了任意整数p≥ 1和任何 ∈ （0，1），supθ∈Kh公司pnEθ，n | Ccn（θ）- C（θ）| p→P0，（10.65）和SUPθ∈Kh公司pn | Eθ，n[Qcn（θ）- Q（θ）]| p→P0（10.66），其中C和Q分别在（10.11）和（10.12）中定义。在我们讨论θ，n[Γcn（θ）（bΘn）的极限表达式之前- θ） 在我们用C（θ）+Q（θ）展开偏差时，我们需要控制Γcn（θ）的收敛-1towardΓ（θ）-1、我们定义c=最小θ∈Kmin{c∈ R+|十、∈ R- {0}，xTΓ（θ）x≥ c | x |>0}，所有矩阵的最小特征值Γ（θ）。我们考虑事件序列Bn（θ）={十、∈R- {0}，xTΓcn（θ）x≥c | x |}，及其补码Bn（θ）c.Lemma 10.14。对于任意整数p≥ 1和任何 ∈ （0，1）即（i）supθ∈KPθ，n【Bn（θ）c】=OPH-pn编号.（ii）supθ∈Kh公司pnEθ，nΓcn（θ）-1.- Γ（θ）-1.Bn公司→P0。证据我们从显示（i）开始。我们记得，在我们的符号约定中，符号| x |代表pi | xi |表示任何向量或矩阵。很明显，我们有pθ，n[Bn（θ）c]≤ Pθ，n十、∈ R- {0}，| xT（Γcn（θ）- Γ（θ））x | x |>c, （10.67）和规范| M |和supx的等效性∈R-对称矩阵空间上的{0}| xTMx | | x |，（10.67）表示存在一些常数η>0，使得pθ，n[Bn（θ）c]≤ Pθ，n[|Γcn（θ）- Γ（θ）|>ηc]≤ （ηc）-pEθ，nΓcn（θ）- Γ（θ）| p，其中在最后一步中使用了马尔可夫不等式。（i） 由（10.54）可知。

此外，（ii）可用初等结果| A获得-1.-B-1 |=| B-1（B）-A） A-1 |≤ |A.-1个|∞|B-1个|∞|B-A应用于集合Bn（θ）上的Γcn（θ）和Γ（θ）。引理10.15。允许 ∈ （0，1）和i∈ {0，1，2}。以下扩展适用。Eθ，n[Γcn（θ）（bΘn- θ） ]我=-Γ（θ）jk{C（θ）k，ij+Q（θ）k，ij}hnT+OPH-（κ∧)N. （10.68）证明。首先请注意，根据引理10.14（i）和霍尔德不等式，我们得到了θ，n【Γcn（θ）（bΘn- θ） ]=Eθ，n[Γcn（θ）（bΘn- θ） 10亿（θ）]+oPH-N. 因此，我们可以在不丧失一般性的情况下，假设事件Bn（θ）的指示器存在于（10.15）的左侧。拿 ∈ （0、1）和▄ ∈ (, 1） 。作为（10.63）的结果，我们得到了表示，bΘn- θ=√hnTΓcn（θ）-1.cn（θ）+Γcn（θ）-1.θlcn（ξn）（bΘn- θ）22小时+运营H-κn, （10.69）在集合Bn（θ）上，其中剩余项OPH-κn允许关于算子Eθ，n的任意阶矩。我们在期望中注入（10.69），得到Eθ，n[Γcn（θ）（bΘn- θ） ]=√hnTEθ，n[Γcn（θ）Γcn（θ）-1.cn（θ）1Bn（θ）]+Eθ，n“Γcn（θ）Γcn（θ）-1.θlcn（ξn）（bΘn- θ）22hnTBn（θ）#+OP（h-κn），其中剩余项OP（h-κn）由H"older不等式得出，使用以下事实： < . ByLemma 10.14（ii），第一学期允许扩张√hnTEθ，n[Γcn（θ）Γ（θ）-1.cn（θ）]+OPH-3.N, （10.70）我们使用霍尔德不等式来控制√hnTEθ，nΓcn（θ）（Γcn（θ）-1.- Γ（θ）-（1）cn（θ）我们通过引理10.14（i）忽略了指示函数的影响。对于任何i∈ {0，1，2}，我们在（10.70）中开发了矩阵积，使用引理10.13和（10.65），这导致了估计√hnTEθ，n[Γcn（θ）Γ（θ）-1.cn（θ）]i=Γ（θ）jk{C（θ）k，ij+Q（θ）k，ij}hnT+OPH-3.N. （10.71）仍需控制项Eθ，nΓcn（θ）Γcn（θ）-1.θlcn（ξn）（bΘn-θ）22hnTBn（θ）. 以L为例∈ （2，2κ）。

h矩的有界性nΓcn（θ）ijΓcn（θ）jkθ、 klmlcn（θ）2hnTBn（θ），对于任意（i，j，k，l，m）且一致于θ∈ K、 我们有eθ，n“Γcn（θ）ijΓcn（θ）jkθ、 klmlcn（ξn）（bΘn- θ） l（bΘn- θ） m2hnTBn（θ）#≤ Kh公司-nEθ，n（bΘn- θ） l（bΘn- θ） m级LL=OPH-3.N,其中，H"older不等式用于第一个不等式，定理10.12用于函数f:x→ （xlxm）L，即阶数L的多项式增长，以获得最终估计。最后，我们导出了2hnteθ，n的展开式[θlcn（ξn）（bΘn-θ）2] 。首先要注意的是，对于任何integerp≥ 1和任何 ∈ （0，1），supθ∈Kh公司pnEθ，nhnT公司θlcn（θ）- K（θ）P→P0，（10.72），其中K（θ）在（10.10）中引入。下一个引理被证明与引理10.15相同。引理10.16。允许 ∈ （0，1）和i∈ {0，1，2}。我们有展开式2hnteθ，n[θlcn（ξn）（bΘn- θ）2] i=Γ（θ）jkK（θ）ijk2hnT+OPH-（κ∧)N. （10.73）证明。考虑三个指数i、j、k∈ {0，1，2}和 ∈ （0，1）。我们有分解2hnteθ，n[θ、 ijklcn（ξn）（bΘn- θ） j（bΘn- θ） k]=2hnTEθ，n[θ、 ijklcn（ξn）]Eθ，n[（bΘn- θ） j（bΘn- θ） k]+2hnTEθ，n[θ、 ijklcn（ξn）（bΘn- θ） j（bΘn- θ） k）]。我们现在注意到，第一项允许扩展Γ（θ）jkK（θ）ijk2hnT+OPH-（κ∧)N, （10.74）替换Eθ，n[（bΘn- θ） j（bΘn- θ） k]和2hnteθ，n[θ、 ijklcn（ξn）]，通过其估计θ，n[（bΘn）]- θ） j（bΘn- θ） k]=Γ（θ）jkhnT+OPH-（κ∧)N, （10.75）和2HNTEθ，nθ、 ijklcn（ξn）= K（θ）ijk+OPH-N. （10.76）（10.75）通过注入膨胀的BΘn获得- θin（10.69）仅为一阶，且（10.76）是（10.72）的结果，且力矩一致有界θlcn（θ）hnTinθ∈ Kby引理10.9（ii）。注意，展开式（10.75）不是定理10.12应用于x的直接结果→ xjxk因为这将导致较弱的估计值Γ（θ）jkhnT+oP（h-1n）取而代之。

最后，第二项是OP阶H-3.N根据霍尔德不等式和定理10.12，我们就这样做了。在我们转向最终定理之前，我们回顾一下∈ {0，1，2}表达式b（θ）j=Γ（θ）ijΓ（θ）kl（K（θ）ikl+2{C（θ）K，il+Q（θ）K，il}），（10.77），定义见（10.14）。现在，我们准备陈述关于局部极大似然估计偏差校正的一般定理，我们用块指数i公式化。定理10.17。允许 ∈ （0，1）。估计量bΘi，nhas的偏差为展开式θ，i，nhbΘi，n- θi=b（θ）hnT+OPH-（κ∧)N, （10.78）在i中均匀分布∈ {1，···，Bn}和inθ∈ K、 此外，（5.18）中定义的偏差修正估计量bΘ（BC）i具有（均匀）偏差扩展θ，i，nhbΘBCi，n- θi=OPH-（κ∧)N. （10.79）证明。我们在这个证明中去掉索引i。拿 ∈ （0，1）和一些j∈ {0，1，2}。通过引理10.15和引理10.16，我们得到了eθ，n[cn（θ）]jkEθ，nhbΘn- θik=Γ（θ）kl（K（θ）jkl+2{C（θ）l，jk+Q（θ）l，jk}）2hnT+OPH-（κ∧)N,这是一组联立线性方程组。在对该方程组进行反演并应用引理10.14后，偏差的表达式变为j∈ {0，1，2}，Eθ，nhbΘn- θij=Γ（θ）ijΓ（θ）kl（K（θ）ikl+2{C（θ）K，il+Q（θ）K，il}）2hnT+OPH-（κ∧)N,正好是（10.78）。最后，与引理10.15和10.16的证明类似的计算显示θ，nbbΘn= Eθ，nb（θ）+OPH-N（10.80），所以我们有（10.79），这就是证明。最后，我们用E（i）表示上述定理的版本-（1）n、 定理5.3的证明。这与定理5.2.10.5证明GCLTI的论点完全相同。在本节中，我们使用与[34]中类似的鞅方法来证明定理5.4。使用与所引用著作第22页（34）不同的分解，我们得到了第47-48页（37）中证明的相同推理线，即证明GCL为[C*].

我们一致同意∈ {1，···，Bn}存在 > 0，因此Var（i-（1）nhphn公司bΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）Ni=T-1Γθ*（一）-（1）N-1+oP（1），（10.81）E（i-（1）Nphn公司bΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）N2+= OP（1），（10.82）E（i-（1）nhbΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）ni=oPN-1/2, （10.83）对于任何t∈ [0，T]和任意随机变量X，Vart[X]=Et（十）- Et[X]）.上述方法基于【34】中介绍的技术，但差异很大，而且更深入。事实上，[34]提供的条件在这种特殊情况下很难验证，因为模型的最近相关性。我们选择走不同的道路。更具体地说，citedauthor使用了与（3.3）不同的分解。因此，我们获得了难以验证的不同条件，这是证明的主要目标。定理5.4在[C]下的证明*]. 我们把证据分成两部分。第1步。证明的第一部分在于表明Θ=BnBnXi=1θ*（一）-（1）n+oPN-1/2. （10.84）注意，对于玩具模型，（10.84）要与（3.1）进行比较。此外，【34】第46-47页的（35）中也显示了（10.84），但参数过程被限制为遵循连续的It过程。为了证明（10.84），有必要证明√nBnBnXi=1θ*（一）-（1）N- -1新西兰元n（i）-（1）nθ*十二烷基硫酸钠= oP（1）。（10.85）我们可以用√nBnBnXi=1-1新西兰元n（i）-（1）Nθ*（一）-（1）N- θ*s| {z}OP(γn）ds=oP（1），（10.86），其中我们使用[C]-（i）获得（10.86）中的顺序。因此，我们推断（10.86）中的左侧为OP（hγnn）阶-γ） 。考虑到[BC]中的左不等式以及γ>，这一点将以同情的方式消失。因此，我们证明了（10.84）。第2步。在这里，我们保留了第3节中介绍的技术和符号，并在Mi、nand Bi、n的定义中用局部估计BΘ（BC）i代替BΘi。

为了显示GCLT，我们将显示S（B）n→我们将证明一些vt的存在性，使得Fθ*T-稳定定律，S（M）n→ VTN（0，1）。注意，前者是（10.83）的直接结果。显示后一个S（M）n→ VTN（0，1），我们将使用[24]中第244页的定理3.2。首先，我们展示了条件Lindeberg条件（3.13），即在我们的情况下，对于任何η>0，我们有nbnxi=1E（i-（1）NMi，nn√nBnMi，n>ηo→P0。（10.87）让η>0。首先，请注意nbn=hn。利用H"older不等式，我们得到thathnE（i-（1）NMi，nn√nBnMi，n>ηo≤E（i-（1）NphnMi，n2+2+| {z}ai，nE（i-（1）NN√nBnMi，n>ηo2+| {z}bi，n。一方面，从[C]的（10.82）来看，我们有ai，nis一致有界*]. 另一方面，使用（10.82）和[C]-（ii），我们得到bi，ngoes一致为0。我们这样证明了（10.87）。现在我们证明了条件方差条件（3.11），即：thatnBnBnXi=1E（i-（1）NMi，n→PVT：=T-2ZTΓ（θ*s）-1ds。（10.88）我们得到nbnbnxi=1E（i-（1）NMi，n=TBnXi=1hnE（i-（1）NMi，nn、 我们使用[27]中第51页的命题I.4.44以及[C]中的（10.81*] 显示（10.88）。现在，条件（3.10）和（3.12）自动满足，因为Mi，nis是鞅增量，并且因为我们考虑参考连续鞅M=0。最后给出了稳定收敛的条件（3.14）。因此，我们考虑有界Fθ*-鞅Z，我们证明了√nBnBnXi=1E（i-（1）NMi，nZi，n→P0，（10.89）其中Zi，n：=ZiN- Z（i-（1）n、 利用泰勒展开式（10.63）和Z的有界性，通过类似于引理10.15的计算，我们得到√nBnBnXi=1E（i-（1）NMi，nZi，n=hn公司√nBnXi=1Γθ*（一）-（1）N-1E（i-（1）新罕布什尔州θlci，nθ*（一）-（1）NZi，ni+oP（1）。现在请注意，lci，nθ*（一）-（1）N可以写成正则泊松鞅上的积分：lci，nθ*（一）-（1）N=ZhnTZR公司+θλi，n，c（s，θ*（一）-（1）n） λi，n，c（s，θ*（一）-（1）n） {0≤Z≤λi，n，c（s，θ*（一）-（1）n） }nNi，n（ds，dz）- ∧i，n（ds，dz）o，其中∧i，n（ds，dz）=dsdz。

我们从上述表示中推断出E（i-（1）新罕布什尔州θlci，nθ*（一）-（1）NZi，ni=0，因为σ-场Fθ*独立，因此Z和Ni，n- ∧i，nare正交。因此（10.89）成立。因此，根据[24]的定理3.2，我们得到了Fθ*S（M）n向Fθ律的T-稳定收敛*具有随机方差VT的T-条件高斯极限。特别是，定理5.4中的VTandN（0，1）相互独立。我们现在证明了在条件[C]下可以得到（10.81），（10.82）和（10.83*]. 首先请注意，对于任何L∈ （0，2κ），计算得出（i-（1）Nphn公司bΘ（BC）i，n-bΘi，nL=h-LnT公司-LE（i-（1）NBbΘi，nL=OPH-Ln公司在i中均匀∈ {1，…，Bn}。因此，结合前面的估计和定理5.2，我们已经表明定理5.2仍然是真的ifbΘi，nis被BΘ（BC）i，n代替。我们将在下面使用这个事实。如果我们将条件方差分解为（10.81）asE（i-（1）Nphn公司bΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）N- E（i-（1）nhphn公司bΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）Ni、 然后（10.81）遵循定理5.2。此外，（10.82）是定理5.2的直接结果。最后，根据定理5.3中的（5.21），如果存在，（10.83）成立 ∈ （0，1）使得√n=oPH（κ∧)N. 从关系中√n=hδn，这可以重新表示为δ<κ∧. 如果我们用其表达替换κ，我们得到两个条件δ<γ（δ-1） δ<，即γγ-< δ<3。这就是精确条件[BC]。10.6命题5.8证明的证明。Letγ∈ （0，1）和α∈ （0，γ1+γ）和最终δ∈ （1+γ，α）。我们遵循定理5.4的证明。（10.81）和（10.82）为真，因为δ>1+γ。此外，通过δ和α的假设，（10.83）被E（i）代替-（1）nhbΘ（BC）i，n- θ*（一）-（1）ni=OPN-γ（1-δ-（1）∧δ-1.= oP（n-α） 。写入分解nαBnBnXi=1bΘi，n- θ*（一）-（1）N= nα-nS（B）n+S（M）no，（10.90）我们有nα-S（M）n→P0，因为S（M）nis的中心极限定理仍然有效且α<。Finallynα-S（B）n=oP（1）。这就是BΘn的证明。

偏差修正情况的证明遵循使用E（i）的相同路径-（1）nhbΘ（BC）i，n-θ*（一）-（1）ni=OPN-γ（1-δ-（1）∧δ-1.代替之前的估计。10.7命题6.1的证明注意，对于任何θ∈ K、 我们有ξli，nN-1ξ|ξ=nθ=n-2.θli，n（θ），（10.91）和thusn-1bCn=BnBnXi=1θli，nbΘi，n-1hn=T BnBnXi=1Γi，nbΘi，n-1，这样就可以在i中统一证明∈ {1，…，Bn}估计值Γi，nbΘi，n-1=Γθ*（一）-（1）N-1+oP（1）（10.92）和Γθ*（一）-（1）N-1=-1新西兰元n（i）-（1）nΓ（θ*t）-1dt+oP（1）。（10.93）为了表示（10.92），我们考虑了分解Γi，nbΘi，n-1.- Γθ*（一）-（1）N-1=Γi，nbΘi，n-1.- Γi，nθ*（一）-（1）N-1 |{z}ai，n+Γi，nθ*（一）-（1）N-1.- Γθ*（一）-（1）N-1 |{z}bi，n。我们有| ai，n |≤ supθ∈Khn公司θθli，n（θ）-1.bΘi，n- θ*（一）-（1）N. （10.94）通过一些代数演算，很容易证明supθ项∈Khn公司θθli，n（θ）-1.借助引理10.9（i）和引理10.14（i），isLpbounded。通过BΘi，n的一致稠度，这得到ai，n=oP（1）。此外，我们得到了bi，n=oP（1），这是引理10.14（ii）的直接结果。因此（10.92）成立。最后，近似值（10.93）是引理10.9（i）和引理10.14（i）以及假设[C]-（i）的直接结果。致谢西蒙·克林特的研究部分得到了佳洁士日本科技厅的支持。Yoann Potiron的研究得到了国家科学基金会（DMS 14-07812）、日本青年科学家科学促进会（60781119）和庆应义塾大学的aprivate资助。所有财务数据均由巴黎中央高等专科学校定量财务主席提供。我们要感谢Per Mykland、Nakahiro Yoshida、Frederic Abergel、Feng Chen、Holger Dette（编辑）、一位匿名副编辑和两位匿名推荐人的有益讨论和建议。参考文献【1】E.Bacry、S.Delattre、M.Ho Off mann和J.-F.Muzy。

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