与前一节中的反问题（5）相比，问题（22）可能更为复杂，因为（22）中的约束需要满足所有排列的随机损失，因为定律不变性。即ρ（σ（~ Lk））≤ ρ（σ（~ Uk）），σ、 σ∈ ∑，K∈ K、 ρ（σ（~ W*（d） ））≤ ρ（σ（~W）），σ、 σ∈ ∑，~W∈ W（d），d=1。。。，D、 （24）其中~ W*（d） =~ Z（x*（d） ）和W（d）：={~Z（x）| x∈ X（d）}。集合{σ（~W）|σ的非凸性∈ ∑，~ W∈ W（d）}对于（24）中的任何固定d，可能会导致凸分析的使用困难。在下文中，我们将展示如何继续扩展前一节中的分析，以及如何将反问题（22）简化为有限维凸规划。这里也采取了类似的分析步骤，我们首先证明了最优解的结构，然后展示了如何通过线性和/或凸约束进一步表征该解。在下面的命题中，我们首先证明了最优解可以表示定律不变的对偶C-分段线性风险函数。提案4.7。假设假设假设4.3成立。给定解决方案x*（d）∈ X（d），d=1。。。，D、 和一个律不变的对偶C-分段线性参考风险函数ρFcvx∈由顶点集{σ（~ Yv）}σ支持的RFCVX∈∑，v∈对于次梯度集Cσ，考虑问题infρ| |ρ- §ρFcvx||∞以ρ为准∈ RFcvx（{（Lk，英国）}k∈K） （25）~西*（d）∈ 参数最小值~ W∈W（d）ρ（~ W）d=1。。。，D、 其中~ W*（d） =~ Z（x*（d） ）和W（d）：={~Z（x）| x∈ X（d）}。设{~Xj}j∈J： ={~W*（d） }Dd=1∪{~Yv}v∈五、∪ {~Lk}k∈K∪ {~英国}k∈K、 如果存在最优解，则其形式为alaw不变的对偶C分段线性风险函数ρl，p由顶点集{σ（~Xj）}σ支持∈∑，j∈Jand次梯度集Cσ。证据

我们证明了这一点，如果存在一个律不变的风险函数ρlthat，则对于上述问题，它是最优的，且最优值为u*< ∞, 必须存在一个律不变的对偶C-分段线性风险函数ρl，p采用以下形式并达到相同的最优值ρl，p（~Z）=supp∈Cσp>~ Z- 最大σ∈∑，j∈J{p>σ（~ Xj）- ρl（~ Xj）}。（26）这可以通过遵循命题3.5中完全相同的步骤来证明，因为上述公式是ρp（~Z）的特例，其中集合{~Xj}j∈在Proposition 3.5中的J（resp.C）被{σ（~Xj）}σ集替换∈∑，j∈J（分别为Cσ）和数量ρ（~ Xj）被ρl（σ（~ Xj））代替，由于ρl的法律不变性，可以将ρl进一步简化为ρl（~ Xj）。显然，根据命题3.6，定律不变的对偶C分段线性风险函数集也可以由有限维约束系统完全表征。最重要的是，请注意，给定最优解的结构，无需考虑约束ρ（~ W*（d） （）≤ ρ（~ W），W∈ W（d）覆盖所有随机损失排列。相反，如果给定一个律不变的对偶C分段线性风险函数ρl，则只需考虑约束ρl，p（~ W*（d） （）≤ ρl，p（~ W），~W∈ W（d），whichin turn立即表示不等式ρl，p（σ（~W*（d） ））≤ ρl，p（σ（~W）），~W∈W（d），σ、 σ∈ ∑。这种简化允许我们应用基于次梯度的最优性条件，并将给定解的最优性约束重新表示为凸约束。我们在附录中提供了这些步骤的详细信息，并给出了最终的配方。提案4.8。

命题4.7中给出的问题的最优解包含ρl，p（~Z）=supp∈R|Ohm|+∩Cσp>~ Z- 最大σ∈∑，j∈J{p>σ（~ Xj）-\'-δj}，（27）其中{~Xj}j∈J： ={~W*（d） }Dd=1∪ {~Yv}v∈五、∪ {~Lk}k∈K∪ {~英国}k∈Kand ~ Xd=~ W*（d） ，d=1。。。，D和δjc可通过以下凸规划计算n，δ，yσ，ju-U≤ δj- §ρFcvx（~ Xj）≤ u j∈ Jy>σ，j（σ（~ Xi）- σ（~ Xj））≤ δi- δj，（σ，j）∈ ∑×J，i 6=j，σ∈ ∑yσ，j∈ R|Ohm|+∩ Cσ，（σ，j）∈ ∑×J，（28）y>σ*,d～Xd≤ hd（yσ*,d） ，d=1。。。，Dδi≤ δj，（i，j）∈ B、 其中σ*yσ中*,D与置换相关，使得σ*（~ X）=~ X和u∈ R、 δ∈R | J |，yσ，J∈ RM，集合B：={（i，j）∈ {1，2，…，J}|（~ Xi，~ Xj）∈ {（~ Lk，~英国）}k∈K} ，and hd表示函数hd（y）：=minx{y>~ Z（x）| x∈ X（d）}。到目前为止，我们已经展示了如何将反问题（22）简化为有限维凸规划（27）和（28）。然而，这两个程序相对于~Xj的输入数据呈指数增长。在下一个命题中，我们进一步表明，可以将这两个程序缩减为仅以~Xj的规模进行多项式增长的程序。提案4.9。

命题4.8中给出的两个优化问题可以简化为ρl.p（~Z）=supp，t，vi，wip>~Z- t服从~>vi+~>wi≤ t+(R)δi，i∈ J（29）~ Xip>- vi ~>-~1w>i≤ 0，i∈ 日本∈ R|Ohm|+∩ Cσ，其中p∈ RM，t∈ R、 六∈ RM，wi∈ RM和δ可以通过以下优化问题来计算：minu，δ，yj，vi，j，wi，ju-U≤ δj- §ρFcvx（~ Xj）≤ u j∈ J（30）～>vi，J+～>wi，J≤ δi- δj+y>j ~ Xjj∈ Ji 6=j ~ Xiyj- vi，j ~>-~1w>i，j≤ 0 j∈ Ji 6=jyj∈ R|Ohm|+∩ Cσ，J∈ Jy>d ~ Xd≤ hd（yd），d=1。。。，D、 δi≤ δj（i，j）∈ B、 （31）其中yj∈ RM，u∈ R、 δ∈ R | J |，vi，J∈ RM、wi、j∈ RM，集合B：={（i，j）∈{1，2，…，J}|（~ Xi，~ Xj）∈ {（~ Lk，~英国）}k∈K} ，hd表示函数hd（y）：=minx{y>~ Z（x）| x∈X（d）}。基于上述简化程序和前一节中关于应用椭球方法的相同论点，我们还可以确定，如果满足定理4.4中所述的条件，则逆问题（22）可以在多项式时间内求解。这就完成了定理4.4的证明。对于情况R：=RFcvxm（{（Lk，Uk）}k∈K） 只包含定律不变的凸风险度量，逆问题（2）具有参考风险函数|ρ∈ RFCVxM也可以简化为类似的凸规划。由于步骤相似，我们仅给出最终结果。注意，凸规划也可以通过推论3.9中给出的相同条件进一步表示为子囊规划。我们跳过了它的演示。定理4.10。

定理4.4的结果可以推广到法律不变性凸风险测度的情况，即R：=Rcvxm（{（Lk，Uk）}k∈K） 和|ρ∈ Rcvxmin（2），考虑命题4.9中相同的凸规划，附加约束~>p=1 in（29）和~>yj=1，j∈ J英寸（30）。证明了当结果空间考虑一致概率测度时，反问题是多项式可解的Ohm, 我们将在下文中讨论，当仅作出以下温和假设时，如何普遍应用结果。假设4.11。所有随机损失的概率分布都采用有理数作为概率值。在这种情况下，给定任何离散概率分布FZ=Pτo=1'poDirac（zo），其中Dirac是Dirac度量，其所有权重均在zo上，人们总是可以等效地表示概率值'po，o=1。。。，τ乘以比率no/M，no∈ {1，…，M}对于someM∈ Z+。随机损失Z~ 因此，FZ可以等效地定义为结果空间的映射Ohm 对于满足z（ω）的R，M个均匀分布的结果∈ {z，…，zτ}和{ω∈ Ohm | Z（ω）=zo}|=(R)poM，o=1。。。，τ。然而，由于常数M可能需要更大，从而显著增加了优化问题（29）和（30）的规模，因此实施这样一个过程可能会有成本。在下面的命题中，我们表明，优化问题总是可以进一步简化为程序，其大小（几乎）仅取决于分布支持的大小，即| supp（FZ）|=τ，而不是结果空间的大小，即M。请注意，虽然下面的结果是基于定律不变的凸风险函数的情况给出的，通过增加定理4.10中给出的约束，它同样适用于法律不变凸风险度量的情况。提案4.12。考虑在Proposition 4.7中制定的逆优化问题（25）。

设{Fj}Jj=1是顶点{~Xj}j的支撑集中随机损失的分布∈J： ={~W*（d） }Dd=1∪ {~Yv}v∈五、∪ {~Lk}k∈K∪ {~英国}k∈K、 每个分布FJI由一对（~ Sj，(R)pj）指定∈ Rτj×Rτjsuch，即Fj=Pτjo=1'pjoDirac（（~Sj）o）。假设4.1和4.11成立，反问题（25）的最优解（如果存在）允许以下优化表示supp，t，vj，wjPτo=1'poZ（x，ξo）- t服从~>vj+~>wj≤ t+(R)δj，j∈ J ~ Sjp>- ∧jo （vj ~>）-~1w>j≤ 0，j∈ 日本∈ C Rτ+，其中p∈ Rτ，vj∈ Rτj，wj∈ Rτ，t∈ R、 以及o 是阿达玛产品。由（λj）m计算的系数∧jis，n=\'pξn/\'pjm，n=1。。。，τ、 m=1。。。，τj。可通过求解以下优化问题来计算参数δminu，δ，yj，vi，j，wi，ju-U≤ δj- §ρFcvx（~ Xj）≤ u j∈ J ~>vi，J+~>wi，J≤ δi- δj+y>j ~ Sjj∈ Ji 6=j（32）~ Siyj- ∧i，jo （六、j ~>）-~1w>i，j≤ 0 j∈ Ji 6=j（33）yj∈ Cj公司 Rτj+，j∈ Jy>d ~ Sd≤ hd（yd），d=1。。。，D、 （34）δi≤ δj（i，j）∈ B、 其中vi，j∈ Rτi，wi，j∈ Rτj，u∈ R、 yj公司∈ Rτj，~ Sd：=（Z（x*（d） ，ξ）。。。，Z（x*（d） ，ξτ））>，d=1。。。，D、 集合B：={（i，j）∈ {1，2，…，J}|（~ Xi，~ Xj）∈ {（~ Lk，~英国）}k∈K} ，hd表示函数hd（y）：=minx{Pτo=1yoZ（x，ξo）| x∈ X（d）}。系数∧i，jis由（∧i，j）m，n=’pjn/’pim，n=1。。。，τj，m=1。。。，τi.最后，上述设置Cj，j∈ {0}∪ J可以从cj中导出：={y | LFj（（λFj）-1.o y）∈ R|Ohm|+∩ Cσ}，（35），其中y∈ Rτj，λFj=（(R)pj|Ohm|, ..., (R)pjτj|Ohm|)>和（λFj）-1.o λFj=~ 1，且LFj:Rτj→ R|Ohm|表示与FJT关联的运算符，FJT在R中生成向量|Ohm|从尺寸为| supp（Fj）|的向量。具体而言，它复制给定向量的每个条目▄yo（▄y，▄yτj）>∈ Rτjby？pjo|Ohm| 很多时候，我们用~ yo表示复制，并生成一个向量（Y（ω）。。。，Y（ω|Ohm|)) 在R中|Ohm|通过串联复制向量，即。

（~y>，…，~y>τj）：=（▄y，▄y，▄y，▄y，▄y，▄y，▄yτj，▄yτj）。上述命题表明，通常反问题（22）可以通过具有中等维数的优化问题来解决。集合CJ的复杂性似乎仍然取决于结果空间的大小|Ohm|.如以下示例所示，在许多情况下，集合CJ允许不再取决于大小的公式|Ohm|, 因此，整个问题实际上可以独立于样本空间的精确构造来表述。特别是，我们考虑第2节中所述风险功能的实施。2作为反问题中的参考风险函数ρfcvx。根据我们的分析，我们首先推导出它们的顶点支持集{σ（Yv）}σ∈∑，v∈Vand次梯度Cσ通过应用统一概率测度，即P（{ωi}）=|Ohm|, ωi∈ Ohm 对于第2.3节中给出的SUPREUM表示。它们有相同的顶点支持集，即{~0}，相应的分布很简单，F=狄拉克（0）。我们在其次梯度支撑集Cσ和相应的约化集Cj下给出Cj：={y | LFj（λFj）-1.o y）∈ R|Ohm|+∩ Cσ}，其中Fjis通常由Fj=Pτjo=1'poDirac（（~S）o）表示。对于最大损失、期望值、平均上半偏差（平均绝对偏差）、条件风险值等情况的推导非常简单，我们给出了它们，以便本文能够自足。示例4.1。（最大损失）集合Cσ：={q | q>~ 1=1}，因此集合C={q | q>~ 1=1}。示例4.2。（期望）集合Cσ：={q | q=（1/M）~ 1}，因此集合C={q | q=(R)p}。示例4.3。（平均上半偏差）集合Cσ：={q | qi=M（1+γ（hi-Mh>~ 1）），MPi | hi | t≤ 1，h≥ 0}。

约束LFj（（λFj）-1.o y）∈ R|Ohm|+∩ 对于满足（LFj（（λFj））的任何i，j，Cσ导致hi=hj-1.o y） ）i=（LFj（（λFj）-1.o y） 因此，C={q | qo=(R)po（1+γ（ho-Pτjo=1'poho）），Pτjo=1'po'ho't≤ 1，h≥ 0}。示例4.4。（条件风险值）集合Cσ：={q | qi≤（1）-α） M，1>q=1}容易导致C：={q | qo≤1.-α′po，1>q=1}。而上面的例子导致了与样本空间无关的约化集COhm, 光谱风险度量在其全部通用性方面并非如此。这是因为人们总是可以通过增加样本空间的大小来寻求更“详细”的光谱φ。即便如此，出于实际目的，“逐步”频谱通常是有效的，可以将任何一般频谱近似到任何预定精度。我们给出了逐步谱的定义，并表明相应的约化集C不再依赖于Ohm.示例4.5。光谱φ-如果允许φ的表示，则称为逐步-（p） =KXk=1？φk（pk-1，pk]（p），对于一些0<φ<··············································································································································。在这里，PKI是一个理性的数字。基于表示式Cσ：=Conv（{σ（φ），σ∈ ∑}）从示例2.6中，我们在附录中显示LFj（（λFj）-1.o y）∈ R|Ohm|+∩ Cσ可以等效地表示为asy∈ C、 其中C：={q | q=\'q\'φ，\'q~1=\'p，\'q>约1=pφ，\'q≥ 0.}，其中\'Q∈ Rτj×Kand（pφ）k=（pk- 主键-1） ，k=1。。。，K、 5数值研究在本节中，我们将说明反向优化在投资组合选择问题上的应用。我们模拟了这样一种情况，即基金经理需要构建符合客户个人偏好的投资组合，但评估客户风险偏好的机会相当有限。快速且相对直观的评估方法是首先了解客户愿意在平均回报和下行风险之间进行的权衡。

我们假设客户同意经理的意见，即CVaR-90%为下行风险提供了一个合理的代理，他/她对以平均回报和下行风险的百分比形式提供相对权重表示可接受的交易效果感到满意。基于这些百分比，管理者可以将平均回报和下行风险结合起来，构建一个光谱风险度量，作为代表客户风险函数的初始代理。具体而言，百分比为0≤ λ≤ 1由客户给出，以指定以下光谱风险度量作为参考风险函数ρFcvx：ρSpec（~Z）=λE[~Z]+（1- λ） ρCV aR-90%（~ Z），在本节的其余部分中，我们假设客户选择λ=0.2。当然，鉴于该措施的特殊性质，客户和经理都不会也不会完全信任该措施。或者，客户可以进一步提供他/她过去的投资记录，以表明过去他/她认为什么样的投资机会更可取，并期望管理者构建的投资组合能够分担类似的风险。经理可以通过首先与客户确认他/她是否同意单调性、凸性和平移不变性条件来实现这一点。我们假设客户同意法律不变性条件，因为光谱风险度量是法律不变性的。最后，经理可以假设客户过去的投资x*根据以下远期风险最小化问题得出：minx{ρ(-Xixi ~ Ri）| ~>x=1，x≥ 0}，其中~ Ri∈ R|Ohm|表示资产i的随机回报，xistands表示投资于资产i的总财富的比例。

非负性约束x≥ 0假设客户只考虑多头头寸。我们假设在整个实验过程中，客户的真实风险偏好可以通过以下具有指数二效用函数的OCE风险度量（Ben tal和Teboulle（2007））：ρsOCE（~Z）：=inft{t+E[u（~Z- t） ]}，其中u（x）：=s（esx- 1） s是一个控制风险厌恶程度的参数。值得注意的是，选择这种风险度量的部分原因是其对偶形式ρsOCE（~Z）=supp{p>~Z的数量- sXiqiln（piqi）}，这是在分布稳健优化（DRO）领域进行研究的结果，显示了在面对不确定性分布时可能寻求最小化的最坏情况数量（Gotoh et al.（2015））。由于在我们的实验中，假设测量值是先验未知的，因此也有兴趣将实验视为一种尝试，以解决DRO的确切规格不确定且只能观察到相应的最优解的情况。在第5.1节中，我们首先提供一个小示例，直观地说明通过求解命题4.9中的逆模型获得的插补风险函数。第5.2节将提供基于模拟和历史数据的实验。所有计算均在Matlab 2014a中进行，使用GUROBI 5.0作为优化解算器。YALMIP（Lofberg（2004））用于在Matlab中实现我们的模型。5.1估算风险函数的说明请让我们首先考虑一个只有两种资产和两种可能结果的简单示例，即：。Ohm := {ω，ω}，这同样可能发生。

我们生成以下返回sr，R：Ohm → 根据0.1的标准正态分布，两项资产的RR（ω）R（ω）=0.0325-0.0755,R（ω）R（ω）=0.1370-0.1712.利用这些回报，我们首先基于谱风险度量ρspec解决正向问题，然后基于OCE风险度量ρsOCE解决正向问题。在前者中，最优解是xSpec=, 而在后者中，关于参数s的各种选择的最优解如下所示。s=0.01 s=0.1 s=1 s=10 s=50 s=100xsOCE=十、*十、*      0.34220.6578.然后，我们通过假设xsOCEand的最优性，使用ρspec作为参考风险函数，计算上述每种情况下的估算风险函数ρsic。为了阐明将最优解xSocein纳入估算风险函数的效果，我们在图1（分别图2）中给出了计算风险函数ρSic和光谱风险度量ρSpec的3D曲面图（分别为等高线图）。请注意，虽然绘制这些度量的接受集也有助于进行比较，但我们在这里提供了更详细的图形，希望为读者提供更好的直觉。从三维图中可以看出，虽然光谱风险度量具有圆锥体形状，它遵循其相干特性，但计算的风险函数往往会“弯曲”圆锥体的中心区域，从而降低与上述最优解xsOCE对应的值。

这种“弯曲”是以不对称的方式进行的，因此由此产生的插补风险函数保持法律不变。同时，估算的风险函数类似于光谱风险度量，其斜率以类似的方式延伸到侧面-R（ω1）0.50-0.5ρSpec-0.500.50-0.50.5-R（ω2）-R（ω1）0.50ρIC（s=0.01）-0.5-0.500.50-0.50.5-R（ω2）-R（ω1）0.50ρIC（s=0.1）-0.5-0.500.50-0.50.5-R（ω2）-R（ω1）0.50ρIC（s=1）-0.5-0.500.50-0.5-R（ω2）-R（ω1）0.50ρIC（s=10）-0.5-0.500.50-0.50.5-R（ω2）-R（ω1）0.50ρIC（s=50）-0.5-0.500.50-0.50.5-R（ω2）-R（ω1）0.50ρIC（s=100）-0.5-0.500.50-0.50.5-R（ω2）图1：光谱风险的三维表面图测量ρspec和基于ρspec的计算风险函数ρsic，并计算s.5.2输入数据和结果的不同值。我们在本节中介绍了基于模拟和历史数据的实验。前者用于研究收益率分布平稳的情况，而后者可能涉及非平稳情况。采取以下步骤模拟管理者如何使用估算风险函数。首先，为了模拟过去的投资，我们基于OCE风险度量ρsoce和不同的参数选择来解决正向问题。然后，我们将获得的Portfolioxsocetother与预先指定的光谱风险度量ρspec一起输入到Proposition 4.9中的模型中，以生成估算的凸风险度量ρsIC。

最后我们求解ρSpec-R（ω1）-0.2 0 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.10.2ρIC（s=0.01）-R（ω1）-0.2 0 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.10.2ρIC（s=0.1）-R（ω1）-0.2 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.10.2ρIC（s=1）-R（ω1）-0.2 0 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.10.2ρIC（s=10）-R（ω1）-0.2 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.10.2ρIC（s=50）-R（ω1）-0.2 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.2ρIC（s=100）-R（ω1）-0.2 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.10.2图2：轮廓谱风险度量ρspec和基于ρspec的插补风险函数ρsic的图表，以及不同s值的XSoce。再次基于插补风险度量ρsic的远期风险最小化问题，获得投资组合xsIC。我们根据OCE风险度量ρsOCE、谱风险度量ρSpec和估算的凸风险度量ρsICin，分别比较了组合xsOCE、xSpec和XSicoptimized的样本内和样本外性能。在建立成果空间方面Ohm 以及相关的分配在任何这些风险度量中，假设客户和管理者都可以使用基于过去三十天的联合回报构建的统一分配。5.2.1结果基于模拟数据我们使用模拟数据进行了k=5000个实验。在每个实验中，一对平均uk∈ 兰德协方差∑k∈ R5×5是第一个分别由标度为0.1的标准正态分布和具有均匀分布系数的相关矩阵随机生成的。所有∑kare中的标准偏差均等于0.1。Wethen从正态分布n（uk，∑k）中随机生成5项资产的60天回报。前30天的回报用于样本内目的，后一半用于评估样本外绩效。所有投资组合xSpec、xsOCE和XSica均基于真实风险度量（即ρsocean）和参考风险函数（即ρSpec）进行评估。表2和表3给出了评估结果。

在读取表格时，当一个条目对应于组合xsICor xsOCEand/或由s参数化的度量ρsOCEparameterized时，s-每列顶部的值是指定参数的值。表中的所有值都是通过对5000次实验的性能进行平均计算得出的。（s）s）s）s（s）s（s）s（s）s）s（s）s（s）s（s）s）s（s）s）s）s（7）s）s）s（7）s）s（s）s）s）s（s）s）s）s（s）s）s）s）s）s（s）s）s）s）s）s（s）s）s）s）s）s）s（s）s）s）10.7.7.7.7.7.7）s）s）s）s）s）s（s）s）s）s）s）s）s）s（s）s）s）s）s）s）s）s）s）s）3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3）3）3.3.3）3.3.3.36-3.42xsOCE0。27 0.08-1.00-2.74-3.19-3.22表2:xSpec、xsIC、，根据参数s和参考风险函数ρSpec的不同选择，根据真实风险度量ρsoce对x进行评估。在表2中，不足为奇的是，就样本绩效而言，表现最好的投资组合是根据用于绩效评估的度量进行优化的投资组合。然而，我们应该注意到，如果根据真实风险度量ρsOCE对基于参考风险函数（即xSpec）优化的投资组合进行评估，则可以认为这些投资组合不令人满意。对于一些s值而言，它们的表现低于最佳投资组合XSoce近300个基点，即3个基点，这很难证明它们与客户期望的表现一致。另一方面，基于估算风险度量优化的投资组合，即xsIC，表现更接近最优投资组合XSoce，差异小于100个基点。

请注意，尽管通过构造估算风险度量ρsic保证了投资组合xsOCE的最优性，但最小化正向问题中的ρsICin并不一定会得到相同的最优解，即xsIC6=xsOCE。即便如此，当考虑到计算风险度量ρs相对于参考风险函数ρspec在各自投资组合绩效方面的改进时，将解决方案XSoce纳入估算风险度量的好处仍然很明显。同样，从我们对逆问题的表述中可以预期，估算的风险度量ρSic与谱风险度量ρSpec之间的差异不会太大。我们可以看到基于ρSpec的评估结果提供了证据，即在这种情况下，组合XSIC的表现也更接近最优组合，即X谱比组合xsOCE。这也证实了估算风险度量ρsic的有效性，以考虑参考风险函数ρSpec中包含的信息。表3中的样本外结果通常与表2的观察结果密切相关。有些例外情况是，投资组合xsICoutperform xsOCEin的ρsOCE（当s=50时）和优于xSpecin的ρSpec（当s=10、50、100时）。

虽然我们无法提供一个明确的答案来解释为什么ρsOCE（p.p.）s=0.01 s=0.1 s=1 s=10 s=50 s=100xSpec-9.56-9.47-8.77-5.88-2.02-0.87xsIC-11.48-11.30-10.12-6.24-2.08-0.87xsOCE-12.14-11.99-10.66-6.30-2.06-1.05ρSpec（p.p.）s=0.01 s=0.1 s=1 s=1 s=1 10 s=50 s=100xSpec-1.87-1.87-1.87-1.87-1.87-1.87xsIC-0.82-0.95-1.26-1.93-1.94-1.88xsOCE0。89 0.64-0.32-1.90-1.78-1.70表3：组合xSpec、xsIC和XSoce的平均样本外绩效（以百分比为单位）的比较，基于真实风险度量ρsocew，对参数s的不同选择进行评估，参考风险函数ρSpec为so，我们推测，估算风险度量ρsic的建立不仅基于度量ρsOCEorρSpec，而是基于两者中包含的偏好信息，即ρsocean的最优选风险文件和ρSpec的其他一般结构，提供了一定程度的保护以防止过度拟合。5.2.2结果基于历史数据根据历史数据集，我们考虑了1997年1月至2013年11月期间标普500指数中335家公司的每日历史回报。共进行了5000个实验，每个实验包括从335家公司中随机选择60天的时间窗口和5只股票。与基于模拟数据的实验一样，前30天的数据用于样本内计算，而后30天用于样本外评估。表4中给出的样本内性能比较与基于模拟数据的性能比较非常相似。对于任何s-价值，投资组合XSIC的绩效始终介于投资组合xsOCEand xSpec之间。

如果根据真实风险度量ρsOCE进行评估，那么在大多数情况下，组合XSpec的绩效仍然非常不令人满意，而组合xsICsigni显著改善了绩效。这表明，利用观察到的解决方案估算的风险度量的有效性对数据的生成方式并不特别敏感。然而，就组合XSpec和xsOCE之间的比较而言，表5所示的样本外绩效似乎不太一致。当基于ρsOCE进行评估时，portfolioxsOCEno在所有情况下都优于XSpec，并且对于基于ρSpec进行评估的每个情况，XSpec也没有优于XSoce。。尽管样本外错误导致了这种不一致性，但总体而言，XSICstill的性能始终介于XSpec和xsOCE之间，这可以作为估算风险函数的一个重要特征得出结论。ρsOCE（p.p.）s=0.01 s=0.1 s=1 s=10 s=50 s=100xSpec-0.19-0.19-0.16 0.00 0.19 0.20xsIC-0.63-0.61-0.47-0.17 0.12 0.16xSoC-0.71-0.68-0.51-0.18 0.11ρSpec（p.p.）s=0.01 s=1 s=10 s=50 s=100xSpec0。77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77xsIC2。04 2.03 1.73 1.25 0.90 0.80xsOCE2。68 2.64 2.09 1.34 0.94 0.80表4:xSpec、xsIC、，基于真实风险测度ρSocew，对参数s的不同选择和参考风险函数ρSpec.6的结论进行了评估。本文提出了一个涉及凸风险函数的风险规避优化问题的非参数逆优化框架。我们的重点是确保搜索可以在一组有意义的候选风险函数上执行，这很好地描述了一个人在风险方面的偏好系统。

Weat通过利用凸风险函数理论实现了这一点，凸风险函数为勾勒候选风险函数的一般属性提供了合理的基础，偏好诱导方案通过观察到的偏好关系缩小了候选风险函数集。我们确定了最终解的（lawinvariant）对偶C分段线性风险函数的表示形式，这有助于解释已知的初始风险函数（假设它也是（lawinvariant）对偶C分段线性）、凸可行集给定解的最优性以及表征候选风险函数集的条件。共轭对偶理论极大地促进了我们的分析，它将反问题转化为有限维凸规划。我们还通过数值实验证明，包含最优解信息的插补风险函数确实可以生成明显更接近真实风险水平的风险估计值。参考Acerbi，约2002年。风险的光谱度量：主观风险厌恶的一致表示。《银行与金融杂志》26（7）1505–1518。ρsOCE（p.p.）s=0.01 s=0.1 s=1 s=10 s=50 s=100xSpec-0.04-0.03 0.02 0.24 0.70 0.99xsIC-0.07-0.06 0.06 0.34 0.69 0.89xsOCE-0.08-0.06 0.10 0.37 0.69 0.85ρSpec（p.p.）s=0.01 s=0.1 s=10 s=50 s=100xSpec1。61 1.61 1.61 1.61 1.61 1.61 1.61xsIC2。59 2.55 2.34 1.89 1.59 1.52xsOCE3。18 3.15 2.68 1.97 1.61 1.49表5：组合xSpec、xsIC和XSoce的平均样本外绩效（以百分比为单位）的比较基于真实风险度量ρsocew，根据参数s的不同选择和参考风险函数ρSpec Ahuja，R.K.，J.B.Orlin进行评估。逆优化。

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命题4.7意味着反问题可以等价地写成infρl，p | |ρl，p- §ρFcvx||∞以x为准*（d）∈ arg minx∈X（d）ρl，p（~ Z（X））d=1。。。，D、 ρl，p（~ Lk）≤ ρl，p（~英国）K∈ K、 （37）其中ρl，pdenotes是一个由顶点集{σ（~ Xj）}σ支持的律不变对偶C分段线性风险函数∈∑，j∈Jand次梯度集Cσ。可以仔细遵循命题3.7证明中的论点，将目标函数重新表述为maxσ∈∑，j∈J{|ρl，p（σ（~ Xj））- §ρFcvx（σ（~ Xj））|}，（38），然后通过验证命题3.7中的所有步骤是否适用于此处，重新制定第一组约束条件。实际上，我们可以将第一组约束中的优化问题重写为min（x，~ W）∈π（d）ρl，p（~ W）对于任何固定的d，其中集合∏（d）：={（x，~ W）| ~ W≥~Z（x），x∈ X（d）}自ρl起，pis单调。π（d）是凸的~W（d）*∈ {σ（~ Xj）}σ∈∑，j∈Jallows让我们写出最优性条件，即必须存在次梯度y∈ ρl，p（~ W*（d） ）如此>（~ W）-~W*（d） （）≥ 0，（x，~ W）∈ ∏（d）<=> y> ~W*（d）≤ minx公司∈X（d）y>~ Z（X）。自ρl，p∈ RFcvx，根据定理3.3，我们得到ρl，p（~ W*（d） ）=ρ**l、 p（~ W）*（d） ）=arg maxy{y>~ W*（d）- ρ*l、 p（y）}。等效地，对于任何固定的dy∈ ρl，p（~ W*（d） （）<=> {y:y>~ W*（d）- ρ*l、 p（y）≥ ρl，p（~ W*（d） ）}<=> {y:y>~ W*（d）- 最大σ∈∑，j∈J{y>σ（~ Xj）- ρl，p（σ（~ Xj））}≥ ρl，p（~ W*（d） ），y∈ R|Ohm|+∩ Cσ}<=> {y:y>~ W*（d）- y> σ（~ Xj）+ρl，p（σ（~ Xj））≥ ρl，p（~ W*（d） ），σ∈ ∑，J∈ J，y∈ R|Ohm|+∩ Cσ}，（39），其中引理3.4应用于第二行以推导共轭。最后，应用命题3.6，将（38）、（39）和（37）中的ρl、p（σ（~ Xj））替换为δj，为我们提供了最终公式。D命题4.9证明。我们首先考虑第二个问题（28）的减少。

首先注意，与yσ相关的约束*,Dc可以等效地写为，yσ*,d替换byyd，y>d ~ Xd≤ hd（yd）y>d（σ（~ Xi）-~Xd）≤ δi- δd，我∈ J \\{d}，σ∈ ∑，d=1。。。，D（40）码∈ R|Ohm|+∩ Cσ。我们证明了其他约束，即（28）中的第二个和第三个约束，通常也可以简化为toy>j（σ（~ Xi）-~Xj）≤ δi- δj，j∈ Ji 6=j，σ∈ ∑（41）yj∈ R|Ohm|+∩ Cσ，j∈ J我们通过证明给定任何可行解（u*, δ*, 第二个问题（28）的yσ，j）我们总是可以构造一个可行解（u*, δ*, yσ，j）与yσ，j满足yσ，j：=∑σ（Xσ∈∑σ-1（yσ，j）），σ∈ ∑，给出相同的最优值u*. 将此解代入（28）的第二个约束，我们得到y>σ，j（σ（~ Xi）- σ（~ Xj））=|∑|（σ（Pσ∈∑σ-1（yσ，j））>（σ（~ Xi）- σ（~ Xj））=|∑|（Pσ∈∑σ-1（yσ，j））>（σ00-1（σ（~ Xi））-~Xj）=∑|（Pσ∈∑y>σ，j（σ（σ00-1（σ（~ Xi）））- σ（~ Xj））≤|∑|（Pσ∈∑（δi- δj））=δi- δj，其中最后一个不等式是由于yσ，j的可行性。对于（28）的第三个约束，可以如下验证。自yσ，j∈ R|Ohm|+∩Cσ，我们有σ-1（yσ，j）∈ R|Ohm|+∩ Cσ。我们还有pσ∈∑∑∑∑σ-1（yσ，j）∈ Cσ，因为求和是凸组合，集合Cσ是凸的。鉴于此，我们还有yσ，j∈ Cσ定义为Cσ。。因此，我们可以用yσ，jbyσ（yj）代替某些yj∈ RMin在（28）中的第二个和第三个常数中，并得出减少值（41）。现在，约束（41）和（40）都可以重新安排为以下一般形式>jσ（~ Xi）≤ δi- δj+y>j ~ Xj，σ∈ ∑，j∈ J（42）我们一般展示了y>jσ（~ X）形式的约束≤ Bσ∈ ∑对于某些X和b可以被约化，然后可以应用于约化（41）和（40）。首先回想一下，置换矩阵Qσ是满足σ（~ X）=QσX和（Qσ）m，n的矩阵∈ {0，1}和Q>σ1=~ 1，Qσ1=~ 1。

因此，y>jσ（~ X）≤ Bσ∈ ∑可写为最大σ∈∑y>jQσ~X≤ b和asmaxQ∈Conv（{Qσ}σ∈∑y>jQ~X≤ b、 应用Birkho ff（1946）的结果，我们可以将所有置换矩阵的凸包重新表示为线性约束，并得出以下公式Maxq{y>jQ~X | Q>~1=~1，Q~1=~1，Q∈ RM×M+}≤ b、 通过推导上述线性规划的对偶问题，我们得到了minv，w{->v+->w | ~ Xy>- v ~>-~1w>≤ 0}≤ B<=> v、 w：~>v+~>w≤ b、 ~ Xy>- v ~>-~1w>≤ 由于总是存在满足上述约束的置换矩阵，因此上述线性规划具有强对偶性。我们现在考虑减少问题（27）。优化问题可以等价地表示为ASUPP∈R|Ohm|+∩Cσ，tp>~ Z- t受p>σ（~ Xj）影响≤ t+(R)δj，σ∈ ∑，j∈ J（43）我们可以应用上述相同的技术再次减少约束（43），这将导致最终公式。E命题证明4.12证明。假设4.11成立，我们始终可以转换Z（x，ξ）（满足假设4.1）分布和分布集{Fj}j中规定的概率值∈对于某些固定M，以n/M形式表示的Jto比率∈ Z+和n∈{1，…，M}。通过考虑具有M个均匀分布结果的结果空间，我们可以等效地将随机损失Z（x）定义为Ohm := {ωi}Mi=1满足Z（x，ξ（ω））∈ {Z（x，ξo）}τo=1和|{ω| Z（x，ξ（ω））=Z（x，ξo）}|=(R)pξoM，类似地Xjas a映射Xj：Ohm → 满足Xj（ω）的R∈ {（~Sj）o}τjo=1和{ω| Xj（ω）=（~Sj）o}pjoM。假设优化问题（29）和（30）是基于上述随机损失的定义而制定的。我们将在下文中说明如何进一步减少这些问题。

首先请注意，优化问题（29）可以等效为supp、s、vj、wjs，服从~>vj+~>wj- p> ~Z≤\'\'δj- s、 j∈ J（44）~ Xjp>- vj ~>-~1w>j≤ 0，j∈ 日本∈ R|Ohm|+∩ Cσ。还请注意，如果给定任何固定的u*, {δ*j} j∈J、 优化问题（30）中的约束可以等效地写成asyd∈ G（~ Xd，δ*d、 {δ*i} 我∈J）∩ {y | y>~ Xd≤ hd（y）}，d=1。。。，D、 （45）yj∈ G（~ Xj，δ*j、 {δ*i} 我∈J） ，则，J∈ J \\{1，…，D}，（46）其中G（~ Y，t，{δi}i）∈J） 是由y上的以下约束系统表示的参数化集：vi，wisuch that ~>vi+~>wi- y> ~是的≤ δi- T我∈ J（47）~ Xiy>- vi ~>-~1w>i≤ 0我∈ J（48）y∈ R|Ohm|+∩ Cσ。（49）可以看出，第一个优化问题中的约束条件（44）也可以用P表示∈ G（~Z，s，{δi}i∈J） 。（50）由于samesteps可用于减少约束（46）（使用（47）-（49））和（50）（使用（47）-（49）），因此我们仅给出约束的减少（45）和（47）-（49））。由于需要考虑任何固定d的（45），因此从这里开始，我们只考虑d=1，并删除变量的索引d，以简化表示。给定{δ}的固定集*j} j∈J、 让y*, 五、*i、 w*注意满足（45）和（47）-（49）的可行解决方案。Foro=1。。。，τ、 让我（1）注意到~X的索引集n，例如（~X）n=（~S）o，因此| I（1）o |=(R)p（1）oM。我们声称解决方案v*我有以下几点**∈ RM，w**我∈ RMS满足任何n∈ I（1）o（y**)n=| I（1）o | Xa∈I（1）o（y*)A和（w**i） n=| i（1）o | Xa∈I（1）o（w*i） a，o=1。。。，τ、 也将满足（45）和（47）-（49）。

为了验证第一个约束（47），我们有~>v*i+~>w**我- （y）**)>~X=~>v*i+Pτo=1 | i（1）o | i（1）o | Pa∈I（1）o（w*i） a-Pτo=1（~S）o | I（1）o | I（1）o | Pa∈I（1）o（y*)a=~>v*i+Pτo=1Pa∈I（1）o（w*i） a-Pτo=1（~S）oPa∈I（1）o（y*)a=~>v*i+~>w*我- （y）*)>~十、≤ δ*我- δ*.为了验证第二个约束（48），我们对任何n∈ I（1）o，o=1。。。，τXi（y**)N- 五、*我-~1（w**)n=（| I（1）o）（~ XiXa）∈I（1）o（y*)A.- （| I（1）o |）v*我-~Xa公司∈I（1）o（w*i） （a）≤ 0，其中最后一个不等式可通过对（48）中的列求和得到，即，对于o=1。。。，τXn∈I（1）o（~ Xiy*>- 五、*i ~>-~1瓦*i> ）（：，n）≤ 为了验证第三个约束（49），我们将构造一系列解y（1）*, ..., y（τ）*满足（τ）*= Y**y（τ）*∈ R|Ohm|+∩ Cσ。对于o=1。。。，τ、 设∑o注意满足（σ（y）的所有置换算子σ的集合*))a=（y*)A.a/∈ I（1）o。换言之，集合由所有置换组成，这些置换只置换条目a∈ I（1）o.Seto=1，我们构造y（1）*按y（1）*:=Pσ∈∑I（1）o |！σ（y*). 可以确认y（1）*满意度（y（1）*)n=| I（1）| Xa∈I（1）（y）*)aforn∈ I（1）和（y（1）*)n=（y*)没有。考虑到y*∈ R|Ohm|+∩ Cσ，我们必须有σ（y*) ∈ R|Ohm|+∩ Cσ由Cσ和y（1）的定义确定*∈ Cσ，因为求和是凸组合。对于o≥ 2，我们可以构造y（o）*=Pσ∈∑o | I（1）o |！σ（y（o-（1）*). 通知（o）-（1）*∈ R|Ohm|+∩ Cσ，y（o）*∈ R|Ohm|+∩ Cσ必须保持且y（o）*满足任何∈ I（1）o，o=1。。。，o（y（o）*)n=| I（1）o | Xa∈I（1）o（y*)a、 和（y（o）*)n=（y*)没有。通过归纳，y（τ）*∈ R|Ohm|+∩ Cσ和y（τ）=y**.对于约束y>~ X≤ h（y）in（45），自（y）起**)>~X=τXo=1（~S）o | I（1）o | I（1）o | Xa∈I（1）o（y*)a=（y*)>~十、 和（y）**)>~Z（x）=τXo=1Z（x，ξo）| I（1）o | | I（1）o | Xa∈I（1）o（y*)a=（y*)>~Z（x），我们已经满足了。因此，我们可以通过施加一些y来减少约束（45）和（47）-（49∈ Rτ，~w∈ Rτ表示a∈ I（1）o，o=1。。。，τ、 （y）a=（￠y）o和（wi）a=（￠wi）o。

这导致以下约束~>vi+1>（λo wi）- （λo ~y）>~S≤ δi- δ（51）~ Xiy>- vi ~>-~1w>i≤ 0（52）LF（y）∈ R|Ohm|+∩ Cσ（53）（λo ~y）>~S≤ minx公司∈X（λo y）>~ Z（x）（54），其中λ：=（| I（1）||I（1）τ|）和~Z（x）：=（Z（x，ξ）。。。，Z（x，ξτ））>。我们现在表明，可以进一步减少上述四个约束。让我（I）注意~Xisuch的指数集n，（~Xi）n=（~Si）o，o=1。。。，τI因此| I（I）o |=(R)pioM。不难看出，对于任何（vi）asuch∈ I（I）与（vi）相关的其他约束在（52）中相同。由于减少了（vi）a，a对于（51）总是可行的，如果存在任何（v*i） a6=（v*i） b对于a、b∈ I（I）o，我们总是可以通过减少较大的一个来使它们相等（不违反任何约束）。因此，我们可以得出这样的结论：我们总是可以为某些人强加∈ Rτithat（vi）a=（vi）或任何a∈ I（I）o。这导致将第一个约束（51）重新表述为~>（λIo vi）+1>（λo wi）- （λo ~y）>~S≤ δi- δ、 式中λi：=（| i（i）||I（I）τI |）和（52）至~Si▄y>- vi ~>-~1w>i≤ 0、出租（λio vi）=^vi，（λo wi）=^wi，和（λ）o y）=^y，我们已经（52）变成~Si（（λ）-1.o ^y）>- （（λi）-1.o ^vi）~>-~1（（λ）-1.o ^wi）>≤ 0（55）和（53）变为（λ）-1.o ^y）∈ R|Ohm|+∩ Cσ和（51），（54）减少到（32）（j=1）和（34）（d=1）。最后，乘法（~ 1λ>）o （~ Si（（λ）-1.o ^y）>- （（λi）-1.o ^vi）~>-~1（（λ）-1.o ^wi）>）≤ 0得出（33）的最终公式（j=1）。F示例4.5的证明。让M∈ Z+是一个常数，使得pk，k=1。。。，K和'pjo，o=1。。。，τjc可表示为n/M，n∈ {1，…，M}。首先，给出阶跃谱φ-（p） ，为了应用示例2.6中的表示式Cσ，我们得到φj=RjMj-1Mφ-（t） 对于任何j，dt=(R)φKm∈ {1，…，M}这样pk-1.≤J-1M<jM≤ pk，因此|{j |φj=(R)φkM}|=（pk- 主键-1） M。

查看约束LFj（（λFj）如何-1.o y）∈ R|Ohm|+∩ Cσ可以减少，我们首先应用Birkhoff（1946）的结果将Cσ重新表示为Cσ：={q | q=qφ，q ~ 1=1，q>~ 1=1，q≥ 0}。设I（j）o，o=1。。。，τjdenote LFj（（λFj）的指数n的集合-1.o y） 使得（LFj（（λFj））-1.o y） ）n=（（λFj）-1.o y） o因此| I（j）o |=（λFj）o。很明显，约束LFj（（λFj）-1.o y）∈ R|Ohm|+∩ 当且仅当以下约束集Qi=qj时，Cσ有可行解，i、 j∈ I（j）o，o=1。。。，τj，q=qφ，q ~ 1=1，q>~ 1=1，q≥ 0（56）具有可行的解决方案。我们首先展示了如何减少（56）。Let（q*, Q*) 表示上述约束的可行解决方案。我们声称解决方案q*以及以下Q的构造**（Q）**)（n，：）=| I（j）o | Xn∈I（j）o（Q*)（n，：），~n∈ I（j）o，o=1。。。，τj也是可行的。我们现在验证此声明。替换（q*, Q**) 在约束q=qφ中，我们得到了任意▄n∈ I（j）o，o=1。。。，τj（Q**φ） n=MXm=1φm（| I（j）o |）Xn∈I（j）o（Q*)（n，m）=（| I（j）o |）Xn∈I（j）oMXm=1φm（Q*)（n，m）=（| I（j）o |）Xn∈I（j）oq*n=q*n（由于q*i=q*Ji、 j∈ I（j）o，o=1。。。，τj）。我们可以验证Q**~1=1，采用上述相同步骤，φ替换为~1。替换Q**在约束Q>~ 1=1中，我们有Q**>~1=（MXn=1（Q**)（￠n，：）>=（τjXo=1 | I（j）o | I（j）o | Xn∈I（j）o（Q*)（n，：）>=~ 1。因此，我们可以通过对任何▄n施加该值来减少（56）∈ I（j）o，o=1。。。，τj，（Q）（n，：）=（\'Q）（o，：）对于某些\'Q∈ Rτj×M，导致Qi=\'qo，我∈ I（j）o，o=1。。。，τj，\'q=\'qφ，\'q~1=1，（（λFj ~>）o\'\'Q）>~ 1=1，\'\'Q≥ 0，（57）其中\'q∈ Rτj。

此外，约束LFj（（λFj）-1.oy）∈ R|Ohm|+∩Cσ可等效为y∈ Rτj+∩ C、 式中，C：={q | q=（（λFj ~>）o\'Q）φ，\'Q~1=~1，（（λFj ~>）o\'\'Q）>~ 1=1，\'\'Q≥ 0.}让^Q=（λFj ~>）oQ，我们有c：={Q | | Q=Qφ，Q ~ 1=λFj，Q>~ 1=1，Q≥ （58）接下来，让I（φ）kdenoteφ的指数集j，使得φj=(R)φkmk，对于k=1。。。，Kand因此| I（φ）k |=（pk- 主键-1） M.鉴于此，我们证明（58）中的约束可以进一步减少。让“q”*,^Q*是（58）的可行解决方案。我们声称*连同以下^Q施工**^Q**（：，~n）：=| I（φ）k | Xn∈I（φ）k^Q*（：，n），~n∈ I（φ）k，k=1。。。，Kis对于约束也是可行的。代入约束\'q=^qφ，我们得到了^q**φ=KXk=1 | I（φ）k |φkM | I（φ）k | Xn∈I（φ）k^Q*（：，n）=KXk=1Xn∈I（φ）k'φkM^Q*（：，n）=^Q*φ=(R)q*通过将φ替换为上述1，可以轻松验证约束条件^Q~1=λfjc。为了验证约束^Q>~ 1=1，我们有∈ I（φ）k，k=1。。，K（（^Q**)>~1） n=| I（φ）k |τjXo=1Xn∈I（φ）k^Q*（o，n）=| I（φ）k | Xn∈I（φ）kτjXo=1^Q*（o，n）=| I（φ）k | Xn∈I（φ）k=| I（φ）k | | I（φ）k |=1。因此，我们也可以将其用于任何▄n∈ I（φ）k，k=1。。，K、 ^Q（：，n）=Q（：，K），对于某些▄Q∈ Rτj×Kin（58），这导致将C中的第一个和第二个约束重新表述为“q=（~ 1λ>φ）oQ）（M？φ）和（~ 1λ>φ）oQ）~ 1=λFj，其中（λφ）k=（pk- 主键-1） M，因此也就是集合C intoC={q | q=（M）（~1λ>φ）o<<Q>>φ，（（~1λ>φ）o~Q）~1=λFj，~Q>~1=1，~Q≥ 0}。让˙Q=（M）（~ 1λ>φ）oQ，我们得出最终的简化形式。