我们考虑案例B中有三个不同货币和到期日的CCY。三种外汇掉期投资组合的二维分解近似现在有一个额外的期限来校正欧元兑美元基础风险因素的随机波动性：V1,1=V（F）+Xj=2,3V（F，Fj）+V（F，Rd）+Xj=1,2,3V（F，Rf，j）+V（F，Y），其中使用方程式（40）中的简写符号。对于三维校正，在这种情况下，原则上有= 36个额外条款，因为除了X，我们从d中选择了2个- 1=9个剩余系数。然而，在这个初步测试中，我们只在Black-Scholes案例中贡献最大的四个2D修正中添加了一个随机波动率因子。其中包括对波动性的修正。在修正估计的正不确定性全相关矩阵后，这些相关性可能略微偏于零。本试验中使用的完整相关矩阵可在附录A.1中的方程式（45）中找到。见附录D中的表14。两种额外的外汇汇率（欧元英镑和欧元日元）：V1,2=V1,1+V（F，F，F）+V（F，F，Rd）+V（F，F，Rd）（43）+Xj=1,2V（F，F，Rf，j）+Xj=1,3V（F，F，Rf，j）+V（F，Rd，Rf，1），+Xj=1,2V（F、Fj、Yj）+V（F，Y，Rd）+V（F，Y，Rf），其中使用方程式（41）中的简写符号。请注意，所有无随机波动率的修正均将所有汇率视为随机的，但具有与时间相关的波动率函数，该函数等于对未来波动率的预期，可通过以下方式进行分析计算：Yit | Yi= v0，ie-κit+(R)vi（1- E-κit）。（44）图4（a）和4（b）显示了包括随机波动性在内的风险敞口的一到三维分解近似值，以及全尺寸蒙特卡罗近似值VMC。

同样，这些数据反映了不同的到期日，我们发现二维近似显著优于一维近似，而对于EPE，三维近似显著优于二维近似。0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5-14-12-10-8-6-4-2024（a）赫斯顿的EE，案例B 0.5 1 1.5 2 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52345678910（B）赫斯顿的EPE，案例B。图4：赫斯顿的三个CCY的EE（左）和EPE（右）。欧元兑美元汇率作为基本风险因素，所有汇率均采用随机波动率进行模拟。这在表4中也可以清楚地看到，在表4中，我们显示了不同近似值的各种误差度量。在预期暴露的情况下，二维分解近似值似乎已经接近全尺度蒙特卡罗解。这与Simaitis等人（2016）的观点一致，他们发现，对于预期敞口，可以使用时间依赖性波动函数，而仅对于非线性敞口（如预期正或负敞口），应使用完全随机波动模型。5.6方差减少我们现在通过应用第3.2节的方法纠正前几节结果中的偏差，与标准估计值相比，方差大大减少。为简单起见，我们仅限于对衍生品进行分析定价的情况，因此不需要回归。获得的方差减少量，计算为有无控制变量的两个方差的比率，如图5所示，用于不同的分解近似值和表4：使用Heston模型建模的情况B的暴露近似值误差。用m=80个网格点和500个时间步计算差异近似值。

误差以百分比表示，并与4·10路径和1000个时间步的蒙特卡罗基准的标准误差一起表示。SE在（35）中定义为随时间变化的标准误差的平方根，相对于取样EE或EPE的平方根。eL（%）eL∞（%）MD（bp）SE（%）1D 2D 3D 1D 2D 3D 1D 2D 3DEE 23.40 0.62 0.68 28.03 0.87 0.75 42.79 1.09 1.35 0.18EPE 31.84 8.55 0.96 41.70 12.00 1.08 368.01 15.59 2.13 0.076第5.1节至第5.3节的测试案例。需要明确的是，值为0.5%意味着方差减少了200倍，而值为100%意味着根本没有实现方差减少。在图5（a）和图5（b）中，对于单一CCYS，EE和EPE的方差折减系数在100到1000之间。对于二维控制变量，较短到期日的减少幅度更大，并且随着时间的推移而增加。对于三维控制变量，由于控制变量的精确性，方差减少是恒定的。控制变量和蒙特卡罗估计量之间的唯一区别是（时间）离散化误差，这也解释了为什么方差不等于零。图5（c）和5（d）显示了三个CCY情况下的方差减少。这里，三维分解近似不再精确，因此，在三维情况下，方差也会随时间增加。T=2和T=3的大幅下降是由于欧元日元和欧元英镑CCYS到期。时间3和5之间的差异减少最大，因为在此期间，只有欧元-美元CCYS未终止。当我们使用二维校正时，EE和EPE的减少量分别约为200和50。

当考虑到三维校正时，我们得到Ee减少10倍，EPE减少200倍。图5（e）和5（f）显示了三个CCY和一个IRS情况下的方差减少。EE结果类似于仅三个CCY的结果，因为IRS due toRdis的随机性完全由修正建模，如第5.3节末尾所述。对于EPE，对于二维校正，方差减少约30倍，对于三维校正，方差减少约50倍。选择设置时，应确保最终差异精度与蒙特卡罗精度相当。由于有限差分近似比蒙特卡罗采样收敛的阶数更高（对于低维，通常高达3或4），如果需要更高的精度，蒙特卡罗分量的计算效果将占主导地位。作为补充说明，我们在此指出，不同的偏微分方程和积分问题可以通过完全不同的方法来解决，例如，傅立叶方法可以用于一些低维问题，而拟蒙特卡罗方法可以用于一些中维问题。分解中的不同解也可以完全并行计算，并与蒙特卡罗运行并行。我们在此报告连续运行时间。从表5所示的情况B的运行时间中，我们可以看到，使用2D近似作为控制变量，我们的计算速度提高了50倍，因为有限差2D校正的计算时间可以忽略不计。

使用3D校正为我们提供了一个加速系数12；尽管方差减少幅度更大，但PDE解决方案所用时间的增加会吞噬2D校正带来的任何好处。从后面的图6中可以更清楚地看到EE和3D的极端方差减少，其中数据绘制在对数刻度上。类似地，准蒙特卡罗可用于基准方法，并为模拟中的模拟提供从o（n）到o（n）的潜在简化模拟路径（这很少见），或为回归方法提供从o（n）到o（n）的潜在简化模拟路径。0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 500.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05时间%2D approx3D近似值（a）EE方差减少，单个CCYS0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 500.511.522.5时间%2D approx3D近似值（b）EPE方差减少，单个CCYS0 0.5 1 1.5 2 2 3.5 4 4 4.5 500.10.30.50.60.7EE的时间%2D approx3D近似值（c）方差减少，三个CCYS0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 500.511.522.5时间%2D approx3D近似（d）EPE方差减少，三个CCYS0 0.5 1 1.5 2 2 2.5 3 3.5 4 4 4.5 500.10.20.30.40.50.60.7时间%2D approx3D近似（e）EE方差减少，三个CCYS和IRS0 0.5 1 1 1.5 2.5 3 3 3 3.5 4 4 500.511.522.533.54时间%2D approx3D近似（f）EPE的方差减少，三个CCYS和IRS图5：使用2D和3D校正减少不同测试用例的方差。比较有无控制变量的方差。对于该计算，使用了10条路径。表5：单个解算器的计算时间（秒）。对于有限差分（FD）解算器，我们使用m=60个网格点和100或500个（括号内）时间步长（另请参见附录B.3）。完整的蒙特卡罗（MC）结果是通过4·10路径和100或1000（括号内）时间步获得的。对于控制变量（CV MC）结果，我们减少了与方差减少相关的路径数。

从图5案例B中可以看出，2D情况下方差折减系数为50，3D校正为200。因此，我们在2D校正的情况下选择8·10路径，在3D校正的情况下选择2·10路径。求解时间1D FD 1.53（3.65）2D FD 2.35（10.67）3D FD 344（601.34）Full MC 4251（7738）2D CV MC 81.5（258.4）3D CV MC 30.1（107.6）5.7其他基本风险因素在前面的章节中，基于此汇率驱动的衍生品具有最高到期日的事实，事先选择欧元兑美元汇率作为基本风险因素。然而，不能保证这种选择作为基础在任何意义上都是最优的。通常，人们可能事先知道主要驱动因素是什么。如果做不到这一点，那么在试运行中通过相对较少的样本数来估计不同因素所实现的方差减少，然后用表现最好的基本因子进行实际的大规模估计，实际上是可行的。在图6（a）和6（b）中，当我们选择欧元-英镑或欧元-日元汇率作为基础时，与选择欧元-美元汇率相比，案例b的不同EE和EPE文件显示出来。表6显示，欧元兑美元汇率的误差确实最小。表6：基本风险因素不同选择情况B的风险敞口误差。误差以百分比表示，并与蒙特卡罗基准路径的标准误差一起表示。

SE在（35）中定义为随时间变化的标准误差的平方根，相对于采样EE或EPE的平方根。eLeL公司∞MD（bp）SE2D 3D 2D 3D 3D 3D EURUSDEE 2.02%0.69%1.83%0.59%2.43 0.86 0.23%EPE 1.97%0.36%2.74%0.51%2.64 0.51 0.15%EURBPEE 2.32%1.39%2.26%1.60%2.47 1.26 0.23%EPE 4.01%1.89%4.77%3.05%5.45 2.02 0.15%EURJPYEE 2.44%1.43%2.26%2.60%2.72 1.39 0.23%EPE 7.91%2.03%19.35%3.05%8.95 2.46 0.15%，我们展示了相应控制变量的方差减少。很明显，欧元兑日元汇率作为基准并不会减少T=2后的方差，因为基准风险因素不会影响投资组合中的任何未终止衍生工具。欧元兑美元汇率表现最好，尤其是在时间T>3之后，当欧元兑美元汇率影响到投资组合中唯一的未终止衍生工具时。

请注意，我们使用对数刻度来实现更好的服务标准化。0 1 2 3 4 5-12-10-8.-6.-4.-2024三种不同的三维风险因素组合近似值的时间正敞口EU baseEG baseEJ baseMC（a）EE。0 1 2 3 4 523456789三种不同的三维风险因素组合近似值的时间正暴露EU baseEG baseEJ baseMC（b）EPE。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510-410-310-210-1100101102三种不同二维近似值EE的时间%EU baseEG baseEJ base（c）方差减少。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510-1100101102三种不同二维近似的EPE的时间百分比EU baseEG baseEJ base（d）方差减少。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510-610-510-410-310-210-1100101102对于三种不同的三维近似，EE的时间%EU baseEG baseEJ base（e）方差减少。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510-510-410-310-210-1100101102对于三种不同的三维近似，EPE的时间百分比EU baseEG baseEJ base（f）方差减少。图6：案例B的曝光率（EE和EPE）以及不同基本因子和2D和3D校正的方差减少。对于方差计算，使用了10条路径。6结论本文的动机是根据大量风险因素计算投资组合的风险敞口比例。对于这个问题，行业标准技术是采用前向蒙特卡罗抽样来计算未来场景。这在维度（风险因素）和产品数量上都呈线性扩展。

然而，在所有场景中评估整本书仍然是一个巨大的计算挑战，鉴于样本路径的可行数量相对较低，必须考虑相对较大的标准误差。因此，我们提出了另一种方法，利用PDE近似模式对低维估计问题的准确性，通过锚定ANOVA方式将高维问题分解为一系列低维问题。由于问题是以嵌套的条件期望的形式陈述的，我们使用向前和向后的组合，通过一次向后和向前扫描生成未来所有时间的风险敞口报告。本文提供了一个概念证明，而不是一个完整的黑盒算法。对一个中等规模、真实且完全校准的测试用例的详细分析表明，通过风险因素分解和数值PDE解决方案，可以实现的效益规模，用作独立近似值，或（如有必要）用作MonteCarlo估计器的控制变量。通过使用二维估计量之和作为控制变量，与标准蒙特卡罗估计相比，一些计算节省了巨大的速度，加速因子为50。进一步的测试（此处未报告）表明，对于更长的到期日（10年），分解中的一些三维项对于准确的独立近似值以及有效的方差减少非常重要。在实践中，仍需研究衍生产品组合中风险因素数量和产品数量的可伸缩性。基于偏微分方程的方法与标准蒙特卡罗抽样一样，在导数数量上呈线性扩展。

就风险因素的数量而言，2D校正项的数量是线性的，3D校正项的数量是二次的。对于较大的投资组合，可以考虑使用形式为V0,2或V0,3的近似值，而不是V1,2，或者实际上是两者的组合，因为只有| u |=2和| u |=3的Vu子集被计算并包含在近似值中，通过估计单个项自适应地选择。我们在表14中找到了这方面的证据，它表明只有一部分修正项是重要的。这也表明，并非所有项都必须以相同的相对精度进行计算，可以遵循Griebel和Holtz（2010）的原则，在所有修正项之间优化分配总计算预算。在此过程中，没有必要对所有项使用相同的数值方法。事实上，我们在测试中使用了闭合形式和数值解的组合，并且该框架足够丰富，可以为给定的子问题使用最佳可用方法（例如，基于傅立叶的方法用于一个函数模型，PDE用于早期练习选项，甚至可以想象，蒙特卡罗方法用于强路径依赖导数）。此外，在计算特定修正项时，只需考虑衍生工具的子集，即受该修正中考虑的风险因素影响的衍生工具。因此，可以想象的是，即使对于大型衍生品投资组合，每个修正期也只需要考虑一小部分衍生品。

例如，如果投资组合包含股票、大宗商品和外汇的风险，则风险因素分解可以提供一种将风险计算分解为较小子计算的方法。实际的挑战将是开发一个框架，该框架允许以一般方式实现这一点，并且在输入不同的衍生产品或建模框架发生变化时很容易适应。模型参数过程的全相关矩阵Xt，Xt公司=Ft、Rd、Rf、1t、Ft、Rf、2t、Ft、Rf、3t自（36）起，用于第5节的测试，在正不确定性规范化后（Rebonato，1999）：1.-0.3024 0.1226 0.5815-0.0142 0.5510 0.5351-0.3024 1 0.6293-0.2577 0.6895-0.4554 0.31880.1226 0.6293 1 0.0459 0.7453-0.3049 0.41810.5815-0.2577 0.0459 1 0.1230 0.5490-0.0848-0.0142 0.6895 0.7453 0.1230 1-0.3015 0.35870.5510-0.4554-0.3049 0.5490-零点三零一五一-0.32600.5351 0.3188 0.4181-0.0848 0.3587-零点三二六零一外汇和利率SDE由表7中的参数驱动。表7:Black-Scholes-2-Hull-White（BS2HW）模型的参数（29）。欧元i=1（美元）i=2（英镑）i=3（日元）Fi1。2470 0.7926 147.53Rd1。8157e-04 Rf，i-0.0036 0.0065 0.0011λd0。010λif0。010 0.0523 0.010ηd0。0070ηif0。0092 0.0104 0.0057如第4.3节所述，校准函数Θd（t）和Θif（t），i=1、2、3，以拟合2014年12月2日各市场的正向利率曲线。

表8列出了当日用于σ（t）的外汇汇率的ATM波动率。表8:2014年12月2日ATM波动率，用于引导分段恒定波动率函数，如第4.3节所述。欧元-美元（%）欧元-英镑（%）欧元-日元（%）T=100万8.852 6.570 10.247T=300万8.695 6.635 10.245T=600万8.580 7.350 10.517T=1年8.605 7.447 10.848T=2年8.717 7.865 11.580T=3年8.952 8.068 12.247T=5年9.635 8.383 13.642A。1 Heston模型参数在表9中，我们给出了校准的Heston参数以及平均隐含波动率误差。如图A7（a）、A7（b）和A7（c）所示，欧元兑日元市场的倾斜最为明显（请注意y轴上的不同尺度）。由于这种偏差，自举的ATMvolatility与（44）中对未来波动的预期不同。该平均波动率和自举波动率随时间的变化如图A7（d）所示。过程的全相关矩阵，包括随机波动率Xt，Xt公司=Ft，Yt，Rd，Rf，1t，Ft，Yt，Rf，2t，Ft，Yt，Rf，3t在第5.5节的测试中，在调整后使用表9：根据2014年市场数据校准赫斯顿参数。包括以百分比表示的平均隐含体积误差。

模型校准至10%、25%和50%- 1年、2年、3年和5年到期的外汇看跌期权和看涨期权。参数误差EURUUSDκ0.5449 1.71%v0。0072'v 0.0126ρ-0.2752γ0.1560EURGBPκ0.6740 1.03%v0。0054'v 0.0098ρ-0.0762γ0.1771 Urjpyκ0.0476 2.23%v0。0116？v 0.1428ρ0.1890γ-0.3507表示正不确定性（Rebonato，1999）：1.-0.2644-0.2910 0.1142 0.5673-0.0004-0.0107 0.5243-0.0055 0.5043-0.2644 1 0.0019-0.0018-0.0016-0.0001 0.0009-0.0043-0.0014-0.0052-0.2910 0.0019 1 0.6322-0.2558-0.0001 0.6892-0.4535-0.0015 0.32840.1142-0.0018 0.6322 1 0.0438 0.0001 0.7473-0.3091 0.0014 0.41710.5673-0.0016-0.2558 0.0438 1-0.0740 0.1248 0.5468 0.0013-0.0796-0.0004-0.0001-0.0001 0.0001-零点零七四零一-0.0001 0.0003 0.0001 0.0003-0.0107 0.0009 0.6892 0.7473 0.1248-零点零零零一一-0.3001-0.0007 0.36590.5243-0.0043-0.4535-0.3091 0.5468 0.0003-零点三零零一一-0.3452-0.3103-0.0055-0.0014-0.0015 0.0014 0.0013 0.0001 -0.0007-0.3452 1 0.00410.5043-0.0052 0.3284 0.4171-0.0796 0.0003 0.3659-0.3103 0.0041 1（45）注意，由于正则化，相关矩阵发生了改变，相关性与Black-Scholes案例略有不同。B Kolmogorov偏微分方程的数值近似。我们概述了用于偏微分方程解的有限差分方法，因为通过使用正向和反向方程，该方法有些不标准。特别是，我们将Itkin（2015）的adjointmethod从二维扩展到三维，并将其用于正向分量。

有关金融衍生品定价的具体差异方法的更一般性介绍，请参见Tavella和Randall（2000）的例子，特别是利率衍生品Andersen和Piterberg（2010）。通常，每个风险因素用一个维度定义一个网格，Kolmogorov正向偏微分方程（9）或反向偏微分方程（3）中的偏导数用该网格上的有限差近似。B、 1后向方程我们使用空间域中心的二阶中心差和上风的组合来稳定域外部的大漂移（见附录B.3），为0。6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 8%8.5%9.5%10.5%11%11.5%（a）0欧元。7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 7%7.5%8.5%9%9.5%10%10.5%（b）0欧元。6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.610%11%12%13%14%15%16%17%18%19%（c）欧元日元0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6%8%10%12%14%16%18%20%（d）欧元日元图7：外汇对的隐含波动微笑。这些线是模型fit，钻石是市场隐含波动率。相关误差如表9所示。在图7（d）中，显示了基于自举ATMvolatilities（虚线）和模型随机波动率预期（实线）的分段常数波动率随时间的变化。获得时间变量中的常微分方程系统（in’t Hout和Welfert，2009）。设U（τ）为时间τ处半离散Kolmogorov后向方程的解，其中τ=T-t、 然后我们有以下初值问题dudτ=F（τ）U，τ≥ 0，U（0）=U，（46），给定矩阵F，从PDE导出，初始向量Ugiven由网格点处的payoff导出。边界条件也来自Payoff函数。我们采用交替方向隐式（ADI）分裂方法。

设Fn=F（τn）为离散矩阵，根据（46），在时间步长τn=nτ、 n个∈ Nτ>0均匀步长，则该矩阵首先分解为Fn=Fn+Fn+Fn+Fn，其中单个Fni，1≤ 我≤ d包含第i维中的一阶和二阶导数对F的贡献。继in’t Hout和Foulon（2010）之后，我们定义了一个矩阵F，它解释了混合导数项，并对此进行了充分明确的处理。在这里，我们给出了一个三维问题的格式，通过设置F=0，可以得到特殊情况下的二维情况。Hundsdorfer-Verwer（HV）方案（Hundsdorfer和Verwer，2003），Y=Un-1+τFn-1牛顿-1，（I）-θτFnj）Yj=Yj-1.- θτFn-6月1日-1，j=1，2，3，~Y=Y+τFnY公司- Fn公司-1牛顿-（1）,（一）-θτFnj）~Yj=Yj-1.- θτFnjYj，j=1，2，3，Un=Y，定义了所有θ的二阶一致ADI分裂，并且可以显示为θ的von Neumannstable∈+√3，1, 见Haentjens和in’t Hout（2012）。我们使用θ=0.8>+√3.≈ 计算中为0.789。在上述范围内，精确度和稳定性似乎对θ的选择不太敏感。B、 2正向方程我们使用Kolmogorov正向和反向偏微分方程之间的伴随关系。很容易看出（对于充分光滑的系数），dPdt=FT（t）P，t≥ 0，P（0）=P，（47），上面的F是Kolmogorov正演方程的一致格式。离散密度函数P的初始数据由Dirac delta的近似值给出。我们选择一个网格，使网格点与Dirac delta的位置重合。然后，将所有其他网格点的Pis设置为零，并将该特定点的Pis设置为一个较大的值，从而将数值求积规则应用于Pgives 1。在空间边界处，我们应用zeroDirichlet条件。因此，继Andreasen和Greg（2010）以及Capriotti等人之后。

（2015），我们可以首先建立近似Kolmogorov向后偏微分方程偏导数的矩阵，并将这些矩阵的转换用于Kolmogorov向前偏微分方程。现在我们可以将HV分裂应用于（47），并获得前向PDE的二阶（时间）一致近似值。相反，我们按照Itkin（2015）的方法计算后向方程HV方案的精确伴随，这导致了不同的方案，即换位和近似因式分解不会相互转换。根据Itkin（2015）中分析的二维情况，向前方案适用于三维情况，然后是（I-θtFn）TY=Pn-1，（I）-θtFn）TY=Y，（I-θtFn）TY=Y，~Y=Pn-1+T（Fn）T- θ（Fn）TY- θ（Fn）TY- θ（Fn）TY（一）-θtFn）T▄Y=▄Y，（I-θtFn）T▄Y=▄Y，（I-θtFn）T▄Y=▄Y，Pn=▄Y+T（（Fn-1） T型- θ（Fn-1） T）（Y）- Y）- θ（Fn-1） T（Y）- Y）-θ（Fn-1） T（Y）- Y） +（Fn-1） TY.通过使用此方案，我们得到了伴随关系ptun=PTnU，即使用后向方程计算条件期望函数，然后在Dirac测度的位置（左侧）对其进行计算，或者计算密度，然后对“Payoff”函数进行积分，得到了完全相同的结果。除了使用精确伴随的数学美学之外，该方案还具有以下稳定性优势。正如in’t Hout和Wyns（2016）所述，分裂方案不能为Dirac初始数据提供稳定的、收敛的解决方案。（47）的直接分裂容易引起密度的剧烈振荡，并可能给出无意义的期望。

通过使用上述方案，我们可以确保，即使我们无法保证解的稳定性，导出的感兴趣量（例如，EPE）与具有正则（EPE、Lipschitz和分段平滑）数据的后向方程相同。伴随方程还确保了网格内部离散概率的守恒。通过选择足够大的区域，可将边界处的质量损失降至最低。利用由Kolmogorov前向PDE数值解获得的离散转移概率网格，以及由后向PDE近似得到的投资组合值网格，可以通过应用于（8）的数值求积来提取风险敞口。B、 3网格构造和数值参数用于近似的网格是非均匀的，如Haentjens和in’t Hout（2015），其中使用sinh变换在高程点周围放置高密度的网格点。此外，网格被移动以包括正演方程的非光滑Dirac deltafunction所在的初始点值。在表10中，选择了以Ft、Rdtand和Rftis为单位的计算域。参数ξ控制接近初始点位值的点的分数（见Haentjens和in’t Hout（2015））。表10：有限差分网格参数。最小最大ξ外汇利率（Ft）0 8F国内利率（Rdt）-0.5 0.8 100国外利率（Rft）-0.5 0.8 100以上，我们对较大的绝对利率使用逆风差，即∈ [-0.5，-0.1]∪[0.2，0.8]，否则存在中心差异。三个方向的网格点数mm，min选择为m=2m=2m；另见附录D。对于F网格，间隔【Fleft，Fright】 【Fmin，Fmax】定义为网格均匀且密集，类似于Haentjens和in’t Hout（2012），而在sinh变换之外使用。

我们将该间隔设置为[Fleft，Fright]=[0.95F，1.02F]。基于C回归的蒙特卡罗算法我们使用常数、线性和双线性基函数{ψj：j=1，…，6}={F，Rd，Rf，F Rd，F Rf，RdRf}，来解释风险因素之间的相关性。该算法沿采样路径ωi确定选项值Yi（t）=Y（t；ωk），并可通过以下步骤总结：0。在t=0的所有时间点生成所有路径（Ft（ωi）、Rdt（ωi）、Rft（ωi）），T1、从到期日开始，设定t← T，Yi（T）← φ（FT（Nωi））。但请参见备注1，为什么我们不直接使用后向方程来计算风险敞口。2、设置Yi（t）← 经验值(-tRdt（ωi））Yi（t）。解决线性回归问题EhY（t）Xt公司-ti公司-Xj=1βjψj（Xt-t）我-→ 通过近似路径ω上的期望值来确定最小值β。4。设置t← T-t和Yi（t）←β+βFt（ωi）+βRdt（ωi）+βRft（ωi）+βFt（ωi）Rdt（ωi）+βFt（ωi）Rft（ωi）+βRdt（ωi）Rft（ωi）5。从2开始向后重复。对于所有时间步。D案例B的有限差异误差和单个项。与蒙特卡罗估计值相比，我们显示了案例B中所有相关项的单个FD误差，包括EE（表11）和EPE（表12）。备注4。例如，在下表中，BSHW EU-RU指的是第5节中的V{1,5}（F，Rf，1），即Black-Scholes-Hull-White模型，其中欧元兑美元汇率F允许Black-Scholes模型，但具有Hull-White国外短期利率Rf，1和确定性国内利率，其他术语也类似。表11：具有三个CCY的投资组合的有限差异风险敞口误差（EE）。注释4解释了术语的命名。误差以eL（见方程式（34））为单位，以不同数量网格点的百分比进行测量。时间步数固定为500。在括号内（对于m=40），1000个时间步长的FD解决方案的误差。

Monte Carlobenchmark采用4.10条路径和1000个时间步进行计算。MC SE m=40 m=60 m=80 m=100BS EU 0.15 0.22（0.18）0.064 0.12 0.077BSB EU-EG 0.22 0.23（0.20）0.072 0.13 0.087BSB EU-EJ 0.22 0.22（0.19）0.050 0 0 0.057BSHW EU-RE 0.21 0.24（0.15）0.15 0.20 0.17BSHW EU-RU 0.22 0.22（0.20）0.23 0.18 0.21BSHW EU-RG 0.22 0.22（0.18）0.058 0.11 0.071BSHW EU-RJ 0.22 0.21（0.17）0.061 0.11 0.075BSSBS EU-EG-EJ 0.21 0.24（0.20）0.088 0.14 0.10BSHW EU-RE-RU 0.210.16（0.14）0.14 0.098 0.11BSBSHW EU-EG-RE 0.21 0.23（0.15）0.16 0.21 0.18BSHW EU-EJ-RE 0.21 0.22（0.15）0.13 0.18 0.15BSBSHW EU-EG-RU 0.22 0.24（0.23）0.21 0.17 0.19BSBSHW EU-EJ-RU 0.22 0.22（0.21）0.20 0.16 0.18BSHW EU-EG-RG 0.22 0.25（0.22）0.088 0.14 0.096BSBSBHW EU-EJ-RJ 0.22 0.23（0.19）0.063 0.12 0.074表11（尤其是）和表12中的结果表明FD误差已经与更多样本的MC标准误差的数量级相同（即，表12：具有三个CCY的投资组合的正风险敞口（EPE）的有限差异误差）。注释4解释了术语的命名。误差以不同数量网格点的百分比在eL（见等式（34））中测量。时间步数固定为500。在括号内（对于m=40），1000个时间步长的FD解决方案的误差。

Monte Carlo基准由4·10条路径和1000个时间步计算。MC SE m=40 m=60 m=80 m=100BS EU 0.073 0.30（0.34）0.099 0.042 0.030BSBS EU-EG 0.070 0.23（0.25）0.11 0.078 0.071BSBS EU-EJ 0.084 0.24（0.27）0.070 0 0 0.038 0.048BSHW EU-RE 0.092 0.31（0.37）0.11 0.050 0 0 0 0.041BSHW EU-RU 0.094 0.45（0.42）0.24 0.17 0.14BSHW EU-RG 0.093 0.29（0.32）0.090 0.040 0.043BSHW EU-RJ 0.093 0.30（0.34）0.10 0.054 0.048BSSBSBS EU-EG-EJ 0.064 0.21（0.23）0.090 0 0.056 0.045BSHWHWEU-RE-RU 0.091 0.53（0.51）0.31 0.24 0.21BSBSHW EU-EG-RE 0.069 0.22（0.25）0.12 0.10 0.10BSBSHW EU-EJ-RE 0.083 0.25（0.29）0.080 0 0 0.054 0.062BSSHW EU-EG-RU 0.071 0.33（0.30）0.18 0.13 0.11BSHW EU-EJ-RU 0.085 0.44（0.41）0.26 0.20 0.17BSBSHW EU-EG-RG 0.070 0.26（0.28）0.12 0.076 0.058BSSHW EU-EJ-RJ 0.084 0.29（0.32）0.11 0.051 0.030比实际使用的样品多）。因此，我们在大多数计算中使用m=60个网格点和500个时间步（除非另有说明）。在表13中，我们报告了随着网格点m数量的增加，完整近似值的准确性。作为参考，我们还使用标准的蒙特卡罗（Monte Carloe）估计器计算近似值。备注5。在表13的第一列中，我们报告了一个估值器的结果，其中使用相同的布朗路径来估计给定Vu和括号中的结果，如果在整个美国也使用相同的路径。似乎通常不清楚哪个估计量的方差较小。对不同的u使用独立路径会导致Vu。如果这些项主要是正相关的，那么对不同的u使用相同的路径预计会增加方差，如果它们主要是负相关的，则会减少方差。致谢作者感谢Sumit Sourabh博士提供的有益建议和Shashi Jain博士提供的数据。

此外，感谢荷兰技术基金会STW（12214项目）的财政支持。参考Alexander，S.、Coleman，T.F.和Li，Y.，最小化衍生品组合的CVaR和VaR。《银行与金融杂志》，2006年，30583–605。Andersen，L.B.和Piterbarg，V.V.，利率建模，2010年（大西洋金融出版社：伦敦）。表13：具有三个CCY的投资组合的风险分解近似误差（见表2，案例B），使用不同数量的网格点计算。误差以空间中不同数量网格点的百分比进行测量（见方程式（34））。时间步数固定为500。用4·10路径和1000个时间步计算了这些近似误差的蒙特卡罗估计量。在MC的括号内，所有估计器路径相同的MC模拟的误差，如备注5所述。在m=40的括号内，1000个时间步的FD计算的误差。MC m=40 m=60 m=80 m=100EE2D校正1.27（1.27）1.35（1.31）1.41 1.36 1.393D校正0.19（0.24）0.25（0.27）0.20 0.18 0.20EPE2D校正2.39（2.38）2.20（2.21）2.29 2.32 2.363D校正0.41（0.24）0.31（0.29）0.26 0.26表14：具有三个CCY的投资组合的EE和EPE的个别校正贡献。注释4解释了术语的命名。对于空间中m=60个网格点，以eL（见方程式（34））为单位测量差异。2D条款见EPEBSBS EU-EG 14.58 40.35BSBS EU-EJ 8.74 18.40BSHW EU-RE 1.40 2.73BSHW EU-RU 0.52 0.51BSHW EU-RG 0.0003 0.002BSHW EU-RJ 0.000 0.00933D条款见EPEBSBS EU-EG-EJ 0.000 0.50BSHW EU-RE 1.19 2.37BSHW EU-EG-RE 0.31 1.28BSHW EU-EJ 0.72BSHW EU-EG-RU 0.000 0.083BSBSHW EU-EJ-RU 0.000 0.58BSBSHW EU-EG-RG 0.046 0.066BSSHW EU-EJ-RJ 0.12 0.30Andreasen，J。

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