高斯分形指数的半参数推断

2022-5-25 12:49:45

高斯和条件高斯时间序列分形指数的半参数估计与推断*Mikkel Bennedsen+2018年3月12日摘要我们研究了随机过程分形指数的一个著名估计量。我们的框架非常通用，包含许多感兴趣的模型；我们展示了如何将估计量的理论推广到一大类非高斯过程。特别关注估值器和相关渐近结果的清晰性和易实现性，使从业者易于应用这些方法。此外，我们还研究了观测中的测量噪声如何使估计器产生偏差，从而可能导致在时间序列中发现分形特征的错误。我们提出了一种新的估计器，该估计器对此类噪声具有鲁棒性，并构建了观测中存在噪声的正式假设检验。最后，在两个实例数据集上对这些方法进行了说明；一种是动荡的速度流，另一种是金融价格。关键词：指数分形；粗糙度；估算；推论分数布朗运动；随机波动率。JEL分类：C12、C22、C51、G12MSC 2010分类：60G10、60G15、60G17、60G22、62M07、62M09、65C051引入类分形模型广泛应用于表面粗糙度/粗糙度表征（Constantine and Hall，1994），湍流研究（Corcuera et al.，2013），以及其他许多（例如，Burrou gh，1981；Mandelbrot，1982；Falconer，1990）。最近，这些模型作为随机波动率模型在数学金融领域引起了人们的关注（如Gatheral等人，2018；Bayer等人，2016；Bennedsen等人，2017a，b；Jacquier等人，2017）。在里面*作者要感谢Asger Lunde教授和Mikko S博士。

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2022-5-25 12:49:48

Pakkanen对分形过程进行了深入的讨论。该研究得到了CREATES（DNRF78）的支持，由丹麦国家研究基金会资助。+丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：mbennedsen@econ.au.dksuch在应用中，必须能够估计和推断这些模型中的关键参数，即分形指数。该参数存在许多估计器（调查见Gneiting et al.，2012）；然而，各种估计量背后的基本假设及其渐近性质往往不同，很少以清晰简洁的方式陈述。这些事实可能使从业者和研究人员难以进行分析。本文旨在使实证分析在应用中更容易，例如上述的应用。我们清楚地展示了一个大型且连贯的fr-amework，包括有效的基础假设，用于分析具有潜在分形特征的时间序列数据。我们专注于aspeci fic估计器，这可以说是实践中使用最广泛的估计器，在我们的经验中也是最准确的估计器。此外，该估计器易于实现——它依赖于一个简单的OLS回归——并且其渐近性质易于应用。我们希望这将为使用合理的统计方法分析分形数据提供一个透明的指导。这篇论文的主要贡献是阐述了估计量的理论，并提供了它的理论依据，以一种使结果的应用变得简单明了的方式陈述了结果。为此，我们严重依赖于早期关于分形过程增量的理论工作，最著名的是Barndorff-Nielsen et al.（2009）和Barndorff-Nielsen et al.（2009）。

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2022-5-25 12:49:51

（2011年）。我们进一步从数值上研究了估计量，以衡量其在应用于数据时的性质，从而提出了一些实用的实施建议。最重要的是，我们建议为估计器选择不同的带宽参数，而不是文献中普遍接受的做法，参见第3节。1、Gneiting et al.（2012）第3.1节对分形指数各种估计量的渐近理论进行了调查。，报告称“仍然缺乏一般的非高斯理论”。本文的第二个贡献是将估计理论扩展到高斯范式之外。我们通过v OLAVILITY调制来实现这一点，这是一种将该理论扩展到一大类非高斯过程的方便方法。如图所示，这导致了条件高斯过程，而分形理论仍然适用于此。我们再次明确提出了相关假设，并将重点放在结果的解释和方法的实施上。本文的最终贡献是对数据被噪声（如测量噪声）污染的情况进行了深入研究。我们证明，噪声会使分形指数的估计值向下偏移，从而使受噪声污染的数据看起来比底层过程实际更粗糙。我们提出了一种新的方法来构造对观测值中的噪声具有鲁棒性的估计器。新的估计量还依赖于OLS回归，并且很容易作为本文第一部分研究的标准（非稳健）估计量实现。我们提出了稳健估计的渐近理论，并提出了一个假设检验，该检验可用于正式检验观测值中是否存在噪声。本文其余部分的结构如下所示。

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2022-5-25 12:49:54

第2节介绍了数学设置和假设，并给出了我们所想到的这类过程的一些例子。然后，本节继续考虑对b asic设置的一些扩展，最显著的是对非高斯进程的扩展。第三节介绍了分形指数的半参数估计及其渐近性质。然后，在第3节中。2，我们考虑了观测值被噪声污染的情况，并给出了这种情况下新估计量的渐近理论；第3.2.1节给出了噪声存在的正式测试。第4节包含小型模拟研究，说明了本文给出的渐近结果的有限样本性质。最后，第5节包含了两个方法示例：第一个使用湍流速度场纵向分量的测量，第二个使用金融价格的时间序列。第6节总结并给出了未来研究的方向。附录中给出了技术结果的证明和一些数学推导。2 SetupLet(Ohm, F、 P）是一个满足通常假设并支持X的概率空间，X是一个具有平稳增量的一维零均值随机过程。定义X：γp（h；X）：=E[| Xt+h的p\'阶变量ram- Xt | p]，h∈ R、由于我们打算利用巴恩多夫-尼尔森等人（2009、2011）提出的理论，我们采用了这些论文的假设。这些假设是分形过程文献中的标准假设，如下所示。（A1）对于某些α∈-,,γ（x；x）=x2α+1L（x），x∈ （0，∞), （2.1）式中，L：（0，∞) → [0，∞) 是连续可微的，并且在x=0的高度范围内远离零。

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nandehutu2022

2022-5-25 12:49:58

假设函数L在limx意义下在零处缓慢变化→0L（tx）L（x）=1表示所有t>0。（A2）ddxγ（x；x）=x2α-1L（x）对于一些缓变（零）函数L，它是连续的（0，∞).（A3）存在b∈ （0，1）带LIM supx→0supy∈[x，xb]L（y）L（x）< ∞.（A4）存在一个常数C>0，使得L的驱动L′满足| L′（x）|≤ C1+x-δ, 十、∈ （0，1），对于某些δ∈ （0，1/2）。根据Bennedsen et al.（2016），在α=0的情况下，该假设由以下内容代替：（A2’）ddxγ（x；x）=f（x）L（x），其中Lis如（A2）所示，函数f是| f（x）|≤ Cx公司-对于某些常数C>0和β>1/2。表1：高斯分形过程的参数示例类自相关函数缓变函数参数FBM- L（x）=βα∈ (-1/2，1/2）材料ρ（x）=-α+1/2Γ（α+1/2）|βx |α+1/2Kα+1/2（|βx |）L（x）=2x-2α-1（1- ρ（x））α∈ (-1/2，1/2）A功率试验ρ（x）=试验-|βx | 2α+1L（x）=2x-2α-1（1- ρ（x））α∈ (-1/2，1/2）bCauchyρ（x）=1+|βx | 2α+1-τ2α+1L（x）=2x-2α-1（1- ρ（x））α∈ (-1/2，1/2）b，τ>0Dagumρ（x）=1-|βx | 2τ+11+|βx | 2τ+12α+12τ+1L（x）=2x-2α-1（1- ρ（x））τ∈ (-1/2，1/2）c，α∈ (-1/2，τ）高斯分形过程的参数示例。“fBm”是分数布朗运动；“动力试验”是动力试验过程。β>0是尺度参数，α是分形指数。最右边一栏中给出的参数范围的全过程假设（A1）–（A3）；字母上标表示（A4）下的参数范围是否不同。a：（A4）对α有效∈ (-1/2、1/4）。b：（A4）对α有效∈ (-1/4、1/2）。c：（A4）对τ有效∈ [-1/4、1/2）。重新标记2.1。技术假设（A3）可以用较弱的假设代替γ（（j+1）/n；X）- 2γ（j/n；X）+γ（（j- 1） /n；十） 2γ（1/n；X）≤ r（j），nnXj=1r（j）→ 0，n→ ∞,对于某些序列r（j）。重新标记2.2。

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2022-5-25 12:50:01

技术假设（A4）仅用于α和n ot的估计量的渐近正态性，以获得一致性。参数α∈ (-1/2，1/2）被称为分形指数，因为在温和的假设下，它与分形维数D有关=- 过程X的样本路径的α（Falconer，1990；Gneiting等人，2012）。它也被称为X的粗糙度指数，因为α的值反映了X的路径特性，如下结果形式化。提案2.1。设X为平稳增量满足（A1）且分形指数α的高斯过程∈ (-1/2，1/2）。然后，存在一个X的修正，对于所有φ，该修正具有φ阶局部H¨oldercontinuous轨迹∈0，α+.命题2。1表明α控制X的（H¨older）连续度。尤其是，α的负值对应于具有粗糙路径的X，而α的正值对应于光滑路径。众所周知，布朗运动的α=0。在表1中，我们给出了一些我们想要的过程类型的参数化示例，并对它们如何融入到本文的设置中进行了评论；示例摘自Ingneting等人（2012）的表1。为了直观地了解分形过程的轨迹，尤其是α值如何反映路径粗糙度，图1绘制了三条模拟的Mat'ern过程轨迹。很明显，α的负值对应于非常粗糙的路径，而路径随着α的增加变得更加平滑。表1中的过程都是高斯过程。然而，在许多应用中，最好采用分形和非高斯的粗糙过程（Gneiting et al.，2012，第3.1节）。

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2022-5-25 12:50:05

在下一节中，我们建议对上述设置进行扩展，通过考虑挥发性调制的过程，显式地产生具有分形特性的非高斯过程。0 0.5 1-3.-2.-10123Xtα=- 0.450 0.5 1-3.-2.-10123α=- 0.150 0.5 1-3.-2.-10123α=0.15图1：单位方差Mat'ern过程的模拟，参见表1，β=1，α表示p批次，n=500个单位间隔观察值。所有三个实例都使用相同的随机数。2.1对随机波动过程的扩展引入非高斯过程的一种灵活方法，即通过波动性调制，引入实际指数理论持续适用的过程的非高斯性。继Barndor Off-Nielsen等人（2009）之后，考虑formXt=X+ZtσSDG，t≥ 0，（2.2），其中X∈ R、 σ=（σt）t≥0是一个随机波动过程，G=（Gt）t≥0是一个零均值高斯过程，其平稳增量满足（A1）–（A4），例如表1中的一个过程。随机波动过程对G增量的调制是引入非高斯性的一种方便方法。要看到这一点，请注意，Xt的边际分布，即随机波动率过程过去的条件和起始值X，isXt |（σs，s∈ [0，t]；X）~ N十、 Ztσxdx, T≥ 换句话说，XT的边际分布是正态均值-方差混合分布，其中随机过程σ和初值X的分布决定了混合。为了很好地定义（2.2）中的积分（在路径Riemann-Stieltjes意义上），我们要求σ对于某些q<1/2的情况具有有限的q变化-α。直觉上，这意味着“更粗糙”的G可以是“更粗糙”的σ。在G和dσ的这些条件下，（2.2）中的过程X willinherit描述了驱动过程G的分形性质，如Barndorff-Nielsen等人所示。

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2022-5-25 12:50:09

（2009年）。为了使下面发展的中心极限定理成立，我们还需要另一个关于σ的假设。（SV）对于任何q>0，它认为e[|σt-σs | q]≤ Cq | t- s |ξq，t，s∈ R、对于某些ξ>0和Cq>0。正如Benn edsen等人（2017a）所指出的，对于aq<1/2，σ具有有限的q变化的要求-α可能具有相当大的限制性。例如，如果α<0（即G是粗糙的），则σ不能由标准布朗运动驱动。布朗半平稳过程是一个非常方便的过程，它没有这些限制，也非常容易处理，我们接下来考虑它。2.1.1布朗半平稳过程考虑X，（波动性调制）布朗半平稳（BSS）过程（Barndorff-Nielsen和Schmiegel，2007，2009），定义为asXt=Zt-∞g（t- s） σsdWs，t≥ 0，（2.3）其中W是R上的布朗运动，σ=（σt）t∈Ra平稳过程和g a Borel可测函数，使得Rt-∞g（t-s） σsds<∞ a、参见Bennedsen et al.（2017a），了解BSS过程的更多细节。BSS过程也是正态均值-方差混合：Xt |（σs，s≤ t）~ N0，Z∞g（x）σt-xdx公司, T≥ 有趣的是，Barndorff-Nielsen et al.（2013）指出，对于核函数g和随机波动过程σ的特定选择，X将具有普遍存在的正态逆高斯分布的边缘分布。我们需要对核函数g施加一些技术假设。它们如下所示。（BSS）它认为（a）g（x）=xαLg（x），其中lgs在零处变化很小。（b） g′（x）=xα-1Lg′（x），其中Lg′在零处缓慢变化，对于任何>0，我们有g′∈ L（（，∞)). 此外，对于一些大于0的a，| g′在区间（a，∞).（c）对于任何t>0，Ft：=Z∞|g′（x）|σt-xdx<∞.核函数为BSS框架提供了极大的灵活性。一种特别有用的核函数，已应用于许多研究中，例如Barndorff-Nielsen等人。

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2022-5-25 12:50:14

（2013）andBennedsen（2017）是所谓的gamma核。示例2.1（Γ-BSS过程）。设g为gamma核，即g（x）=xαe-α的λxf∈ (-1/2、1/2）和λ>0。结果进程xt=Zt-∞（t- s） αe-λ（t-s） σsdWs，t≥ 0，称为（波动率调制）Γ-BSS过程。不难看出，这一过程完全是消耗（A1）–（A4）和（BSS），参见示例2.3。Bennedsen等人（2017b）。继Bennedsen等人（2016年）之后，在α=0的情况下，采用了另一种假设：（BSSb’’g′（x）=Lg′（x），其中Lg′与（BSSb）中的一样。重新标记2.3。Bennedsen等人（2017b）表明，满足（A1）–（A3）、（SV）和（BSS）的BSS过程将具有与高斯过程相同的分形和连续性：因为这样的BSS过程命题2.1仍然成立。换言之，对于所有φ，X将修改为φ阶的H¨older连续轨迹∈ （0，α+1/2）。2.2非平稳增量过程的扩展当X的增量为非平稳时，可采用类似于on e inBennedsen et al.（2017b）的方法，如下所示。定义时间相关变差函数γ（h，t）：=e[| Xt+h- Xt |]，h，t∈ R、与（2.1）类似，假设γ（h，t）=C2，t | h | 2α+1L（h），t>0，h∈ R、（2.4）其中C2，t>0，α∈-,, L是一个缓慢变化的函数。本文所考虑的方法也适用于此类过程。一个例子是连续布朗半平稳过程。示例2.2（截断BSS过程，Bennedsen et al.（2017b））。LetXt=X+Ztg（t- s） σsdWs，t≥ 0，其中X∈ R、 W是布朗运动，σ是随机波动过程。Bennedsen等人（2017b）将这种过程称为截断BSS（T BSS）过程。当X满足（A1）–（A3）和（BSS）时，Bennedsen等人（2017b）表明α确实是X的分形指数，在γ（h，t）满足的意义上（2.4）。

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2022-5-25 12:50:17

我们注意到，最近有人提议将类似于T-BSS过程的过程（所有T的σT=1）作为金融资产随机对数波动率的模型，例如Gatheral等人（2018）；拜耳等人（2016）。2.3假设概述。我们介绍了许多过程，在重要方面有所不同，最显著的是通过其分布特性。尽管存在这些差异，本文给出的结果将同样适用于所有这些差异。为了简化注释，我们在此简要总结了假设。分形指数exα估计值的一致性需要第一组假设。（LLN）假设下列条件之一成立：（a）X是高斯函数，满足（A1）–（A3）的α∈ (-1/2，1/2）。（b） X由（2.2）定义，其中G满足度（A1）–（A3）表示α∈ (-1/2、1/2）和σ对于所有q<1/2的情况都有明确的变化-α。（c） X是BSS过程，由（2.3）定义，满足（A1）–（A3）的α∈ (-1/2，1/2）且核函数g满足（BSS）。第二组假设是分形指数α估计量的渐近正态性所必需的。（CLT）假设以下条件之一成立：（a）X是α的高斯满足（LLN）∈ (-1/2、1/4）以及（A4）。（b） X定义为（2.2）满足（LLN）的α∈ (-1/2、1/4）以及（A4）。过程σ额外填充（SV）。（c） X是BSS过程，由（2.3）定义，满足（LLN）的α∈ (-1/2、1/4）以及（A4）。过程σ额外填充（SV）。重新标记2.4。从假设中可以看出，中心极限定理不适用于α≥ 1/4。事实上，在这种情况下，一个中心极限定理确实成立，但其收敛性和极限分布与我们下面推导的不同。当α=1/4时，收敛速度为qnlog，极限分布为零均值高斯分布，渐近方差与α<1/4时不同。

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2022-5-25 12:50:20

当α>1/4时，收敛速度为n1-2α和Rosenblatt型的极限分布，见Taqqu（1979）。如果有人对α范围感兴趣∈ [1/4，1/2）和期望的症状正态性结果类似于我们下面的结果，我们建议使用Corcuera等人（2013）中观察值之间的差距备注4.4；这种方法的缺点是人们被迫放弃观察结果。鉴于下面给出的结果，填写该方法的细节很简单，尽管很麻烦。由于是非常光滑的过程，即α≥ 1/4，似乎具有有限的实用价值，我们在此不再进一步探讨。3分形指数的半参数估计和推断，考虑n个等距观测值X1/n，X2/n，对于随机过程X，观测到的时间间隔过固定，我们在不丧失一般性的情况下将其作为单位间隔，因此观测之间的时间为。作为n→ ∞ , 这就产生了所谓的完全渐近。在下文中，假设过程X满足假设（A1）–（A3）。当X是高斯分布时，根据高斯分布和（2.1）的（绝对）矩的标准性质，它认为γp（h；X）=Cp | h |（2α+1）p/2Lp（h），h∈ R、（3.1）当p>0时，函数Lp（h）：=L（h）p/2在零处缓慢变化，Cp>0是一个常数。这促使回归log^γp（k/n；X）=cp+a log | k/n |+Uk，n+k，n，k=1，2，m、（3.2）其中m∈ N是带宽参数，cp=log cp，a=（2α+1）p，Uk，N=logγp（k/n；X）γp（k/n；X）, an dk，n=对数Lp（k/n）。变异函数γpis直接估计为^γp（k/n；X）：=n- 千牛-kXi=1 | Xi+kn- Xin | p，k≥ 1.（3.3）参数a的OLS估计器自然为^aOLS=xTmxmxTmlog^γmp，“T”表示向量的转置，xm表示m×1向量xm：=日志1-日志m，日志2- 日志m。

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2022-5-25 12:50:24

，对数m- 日志mT、 log m：=mmXk=1log k，whilelog^γmp：=（log^γp（1/n；X），log^γp（2/n；X），log^γp（m/n；X））T。给定a的估计值，我们对分形指数的估计值为^α：=^aOLSp-. （3.4）该估计器是众所周知的，并且在文献中大量使用，例如，片麻岩和Schlather（2004）；Gatheral等人（2018年）；Bennedsen等人（2017a）。下面的命题证明了α的OLS估计的一致性。提案3.1。假设（LLN）成立。固定p>0，m∈ N、设α=αp，mbe为（3.4）中α的OLS估计量。现在，αP→ α、 n个→ ∞,其中“P→” 指P-概率中的收敛性。许多研究考虑了来自（3.4）的OLS估计的渐近性质，例如Constantine和Hall（1994），Dav ies和Hall（1999），以及Coeurjolly（2001，2008）。有关该文献的简要总结，请参见Gneiting et al.（2012），第3.1节。以下理论在本文的背景下描述了细节。定理3.1。假设（CLT）成立。固定p>0，m∈ N、设α=αp，mbe为（3.4）中α的OLS估计量。如果（CLTb）或（CLTc）成立，我们需要ξ·min{p，1}>1/2，参见假设（SV）。现在，作为n→ ∞,√n（α）- α） st公司→ Zp·Sp，Zp~ N0，σm，p,其中σm，p=xTm∧pxm（xTmxm）p，∧p={λk，vp}mk，v=1是一个实值m×m矩阵，其条目为λk，vp=limn→∞n·Cov公司γp（k/n；BH）γp（k/n；BH），γp（v/n；BH）γp（v/n；BH）, k、 v=1，2，m、（3.5）式中，^γ·（·；BH，·）由（3.3）给出，BH是一个分数布朗运动，Hurst参数h=α+。此外，如果（CLTa）保持，则SP=1，而如果（CLTb）或（CLTc）保持，则SP=qRσ2psdsRσpsds。（3.6）上述“st”表示稳定收敛（在法律上），参见g.R’enyi（1963）。重新标记3.1。对于k，v=1，…，存在（3.5）中的限值，m，Breuer和Major（1983），定理1。另见备注3.3。在Corcuera等人。

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2022-5-25 12:50:29

（2013年）。也许令人惊讶的是，理论3。1表明，OLS估计量的渐近分布不取决于基础过程X的精确结构，而仅取决于分形指数α的值，通过分数布朗运动（fBm）增量的相关结构，Hurst的指数H=α+1/2，以及可能的“异方差系数”Sp。其原因是，过程填充假设（A1）的小规模行为将与fBm的增量具有相同的小规模行为。要查看此信息，请写入（j）：=CorrXj+1n- Xjn，Xn- 十、=γ（（j+1）/n；X）- 2γ（j/n；X）+γ（（j- 1） /n；十） 2γ（1/n；X）→|j+1 | 2α+1- 2 | j | 2α+1+| j- 1 | 2α+1, N→ ∞, （3.7）通过假设（A1）和慢变函数的性质。我们认为（3.7）是赫斯特指数H=α+1/2的fBm增量的相关函数。如定理3.1的顶部所示，这意味着对于所有符合假设（A1）–（A4）的高斯过程，包括fBm，估计量σm，p的渐近方差是相同的。然而，正如定理所示，当我们考虑条件高斯过程时，渐近分布会略有不同。在这种情况下，随机波动率分量σ引入了异方差性，这导致了中心极限定理的额外因子自旋。为了使推理在实践中可行，我们需要估计这个因素。为此，定义SP=qm-12p^γ2p（1/n；X）m-1p^γp（1/n；X），ms：=s/2√πΓs+1, p、 s>0，（3.8），其中^γ·在（3.3）中给出。我们可以证明以下几点。提案3.2。（i）假设（LLNa）成立。设p>0。现在，cSpP→ 1，n→ ∞.（ii）假设（LLNb）或（LLNc）成立。设p>0。

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2022-5-25 12:50:32

现在，cSpP→ Sp，n→ ∞,如（3.6）所示。命题3.2表明CSPOF（3.8）对于我们的目的来说是一个合适的估计量：当X是高斯时，因子是渐近无关的，而当X是非高斯（波动率调制）时，它提供了正确的归一化。无论人们是否相信数据是高斯的，至少在任何潜在的非高斯性是由波动性引起的情况下，这都包括了因子Csp。事实上，下面的推论是定理3的直接结果。命题3.2与稳定收敛的性质；推论h明显应用于可行的传导干扰和α的置信区间。推论3.1。假设定理3的假设。1保持。现在√n^α- αcSpqσm，p（^α）d→ N（0，1），N→ ∞,其中，“d”表示分布的收敛性，σm，p（^α）表示使用估计值^α计算的渐近方差。重新标记3.2。使用Corolulary3时。1对于假设检验，我们建议使用空值下的α值来计算σm，p（·），而不是^α。为了应用上述结果，我们需要计算因子σm，p，这归结为计算方程（3.5）中矩阵∧pgiven的条目。不幸的是，这只有在np=2时才可行，并且随着m的增加变得越来越麻烦。（Benn edsen等人，2016年，附录B中给出了P=m=2的繁琐计算。）。因此，我们推荐σm，p的MonteCarlo估计；事实上，我们建议使用该因子的有限样本模拟。程序e详见附录九B；在下一节中，我们将给出一个输出示例，当我们研究带宽选择的影响时，m.3.1选择带宽参数bandwid th参数m的选择通常是一个开放的问题。文献中的标准做法是将m=2（Gneiting等人，2012年，第2.3节）。

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2022-5-25 12:50:35

事实上，Constantine和Hall（1994）认为估计量的偏差随着m的增加而增加，Davies和Hall（1999）提出了最佳值的模拟证据，就平均平方误差而言，m=2。当运行（3.2）中的OLS回归时，设置m=2相当于通过在最接近原点的两个点log^γp（1/n；X）和log^γp（2/n；X）之间绘制一条直线来估计α。从偏差的角度来看，我们推测这会导致σm，2，n×10-3α=-0.2m=2m=5m=10m=25n0的方差增加。40.60.81.2σ2,2，n/σm，2，nα=-0.2nσm，2，n×10-3α=0.2m=2m=5m=10m=25nσ2,2，n/σm，2，nα=0.2图2：α、σm、p、n方差的有限样本模拟的蒙特卡罗近似模拟（B=10000次重复）≈ N-1σm，p，参见定理3.1。图上显示了α的真实值。有关计算的详细信息，请参阅Ap pendix B。估计量，仅依赖于回归中的两点。在下文中，我们将更深入地研究这一点。具体而言，我们考虑了带宽对分形指数估值器的影响；首先是定理3.1（图2）中推导出的^α的理论（有限样本）方差，然后是应用于表1（图3）中各种过程的模拟路径时，估计量的有限样本ias和均方误差。对于这些调查，我们考虑α=- 0.20（粗糙情况）和α=0.20（光滑情况）。图2研究了带宽选择对α估计量方差的影响：我们绘制了有限样本方差的近似值α，σm，p，n，其近似等于n-1σm，p，参见定理3.1。从图中可以看出，选择b和D宽度指数对OLS估计值α的方差有影响。有趣的是，与平滑情况相比，粗糙情况下的效果非常不同。

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2022-5-25 12:50:38

在前者中，从图2的左上图可以明显看出，方差通过中间值m最小化，例如m=5或m=10。为了进一步研究这一点，右上图显示了当m=2时的有限样本方差与当m=2时的有限样本方差之间的比率∈ {5、10、25}。小于1的数字表明，m=2的估计量的方差大于m>2的相应g估计量的方差，0 5 10 15 20 25 m-0.03-0.02-0.01偏差（^α）α=-0.20 5 10 15 20 25 M0。51.5MSE（α）×10-3α=-0.2fBmMatérnPow。Exp.CauchyDagum0 5 10 15 20 25m-0.03-0.02-0.01偏差（α）α=0.20 5 10 15 20 25m0。51.5MSE（α）×10-3α=0.2fBmMatérnPow。实验CauchyDagumFigure 3：表1过程的有限样本偏差（左）的蒙特卡罗近似值（B=10000次重复）和^α的平均误差（MSE，r ight），作为带宽m的函数。我们将p=2，n=1000。文本中给出了参数值。反之亦然。作为样本量n的函数，这些比率似乎相当稳定，从方差的角度来看，最好选择中间值m>2-实际上，当从m=2到m=5时，估计量的方差减少了大约40%。当我们考虑最下面一行中的平滑情况（α=0.20）时，这些结论就被推翻了：在这里，m=2时的th似乎是最优的。我们通过Davies和Hall（1999）中的模拟进一步研究了这一点：图e 3绘制了估计器（3.4）的偏差（左）和平均平方误差（右），作为表1中五个参数过程的带宽m的函数。为了计算估计量的有限样本偏差和平均squ误差，我们模拟每个过程的B=10000个实例，每个实例的n=1000个观察值；本练习中分形指数的真实值为α=-0.2（顶行）和α=0.2（底行）。

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2022-5-25 12:50:41

比例参数设置为β=1。对于Cauchy和Dagum过程，我们分别额外设置τ=1和τ=0。在粗略情况下，α=-0.2，得出了与上述相同的结论：尽管偏差确实如预期的那样随着m的增加而增加，但很明显，当m>2时，均方误差最小。在这种情况下，即对于这些参数值和样本量，所有五个过程的最小值都在m=5和m=10之间。我们再次得出结论，当α<0时，有限样本中带宽的中间值更可取。平滑情况，α=0.2，也与我们上面的发现相匹配：事实上，我们发现偏差和均方误差都随着m的增加而增加，因此这里m=2似乎是最优的。总之，本节的证据表明，当底层过程比较粗糙时，带宽的最佳选择是一些m>2，我们建议使用中间值，如asm=5。相反，当过程平滑时，m=2更可取。虽然将m=2视为文献中认可的实践，但我们认为α<0的粗略情况在经验应用中更具相关性。出于这个原因，我们建议使用带宽参数的中间值，如果不这样，就有理由相信底层数据是平滑的。3.2存在加性噪声时的渐近理论考虑到满足（A1）–（A3）的X的观测值被加性噪声污染的情况；也就是说，我们不是观察X，而是观察过程Z，由zj/n给出：=u+Xj/n+uj，j=1，2，n、（3.9）其中u∈ R为常数，u={uj}nj=1为高斯iid噪声序列，平均值为零，方差σu：=V ar（u）≥ 0。（当σu=0时，我们的意思是在观察中没有噪声）因为我们观察到的是Z，而不是X，与f相关的wh或us是“受污染”或“有噪声”的变异函数，即。

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2022-5-25 12:50:46

观测过程的变异函数Z：γ（h；Z）=E[| Zt+h- Zt |]=γ（h；X）+2σu=h2α+1L（h）+2σu，h∈ R、（3.10）假设（A1）得出最后一个等式。由此我们可以看出，当enσu>0时，logγ（h；Z）在log h中不是线性的，因此α的估计量（3.4）将不适用；事实上，不难证明，在存在噪声的情况下，即当应用于γp（·；Z）时，该估计器将向下偏置。事实上，以下是事实。提案3.3。假设过程Z的观测值由（3.9）给出，σu>0，其中X满足假设（LLN）。固定p>0，m∈ N、并让α=αp，mbe为（3.4）中α的OLS估计量，使用经验变量ram的污染版本γp（·；Z）代替回归（3.2）中的γp（·；X）。现在，αP→ -1/2，n→ ∞.命题3。3表明，如果数据被噪声污染，则参数α的估计值将向下偏移-1/2，即α的最低允许值。换言之，如果数据被噪声污染，那么上述α的估计器将得出结论，即数据比基础过程X的实际情况更粗糙。这是从业者需要注意的一个重要点：当发现数据中的粗糙度证据（即α<0）时，重要的是要考虑这是由于底层数据生成机制的固有特性，还是可能只是噪声的产物，例如测量噪声。更进一步，此处未报告的模拟表明，当α≈ 幸运的是，在估计α以得到一致的估计器时，可以考虑噪声。例如，Bennedsen等人。

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2022-5-25 12:50:50

（2017a）提出了一种基于非线性最小二乘回归的噪声稳健估值器——然而，该估值器不考虑缓慢变化的函数L，需要观察到过程增长的时间间隔。因此，目前，我们提出了一种替代性的噪声鲁棒估计器，该估计器在我们的完全渐近设置中有效，并且增益依赖于简单的OLS回归。首先，对于整数κ≥ 2，定义函数fp（h；Z，κ）：=γp（κh；Z）2/p- γp（h；Z）2/p，h∈ R、根据（3.10）和假设（A1），我们得到fp（h；Z，κ）=C2/pp | h | 2α+1L*p（h；κ），h∈ R、（3.11）很容易显示功能*p（h；κ）：=κ2α+1L（κh）2/p- L（h）2/p, H∈ R、在零处缓慢变化。由此可以清楚地看出，fp（h；Z，κ）的对数处的th等于慢变函数L*p–对数h中的线性。这激发了线性回归，如（3.2）中的线性回归，其中log^fp代替log^γp:log^fp（k/n；Z，κ）=b*+ A.*日志| k/n |+U*k、 n+*k、 n，k=1，2，m、（3.12）式中^fp（k/n；Z，κ）：=^γp（κk/n；Z）2/p- γp（k/n；Z）2/pis是函数f的经验估计，可以根据观测值zj/n进行计算。将α的噪声稳健估计定义为α*:=^a*OLS-, （3.13）其中^a*OLSis a的O LS估计*根据线性回归（3.12），类似于（3.4），用^fpin代替^γp。我们可以证明以下内容。提案3.4。假设过程Z的观测值由（3.9）给出，σu≥ 0，其中X满足假设（LLN）。固定p>0，m∈ N、让^α*= ^α*p、 mbe（3.13）中α的OLS估计量。现在，^α*P→ α、 n个→ ∞.重新标记3.3。命题3。4考虑σu=0时的s，即观察中无噪音。

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mingdashike22

2022-5-25 12:50:53

换句话说，鲁棒估计器是α的一致性估计器，也是在噪声意义下的一致性估计器。0 10 20 30 40 50κ-0.4-0.3-0.2-0.10.1Bias0 10 20 30 40 50κ0.050.10.150.20.250.3rmseolsrobust图4：两个OLS估值器（3.4）和（3.13）的偏差（左）和均方根误差（RMSE，右）；蓝线和红线分别带有十字。偏差和RMSE通过B=10000蒙特卡罗模拟计算得出。α=-0.20，而u=1和σu=0.05用于噪声序列。带宽为m=5。在图4中，我们通过计算（3.4）和（3.13）中给出的两个OLS估计量的偏差和均方根误差（RMSE）来说明命题3.4的使用，当应用于σu>0的过程Z时。图中的标题提供了详细信息。前一种估计器对Z方向的噪声不具有鲁棒性，而后一种估计器符合命题3。很明显，这是如何在OLS估计量（3.4）中的大型b ias中体现出来的。事实上，虽然基础过程的分形指数的真实值是α=-0.20，来自非稳健估计的平均OLS估计为-0.4608，即几乎处于-1/2。这当然是命题3的结果。3、相比之下，本节中提出的robu-st估计器（3.13）对于参数κ的大多数值实际上是无偏的，至少当κ≥ 虽然本节的结果适用于所有整数κ≥ 2，结果的实际有限样本性能可能对该调整参数非常敏感，如图4所示。κ的最佳选择似乎取决于观测次数n和噪声方差σu；对这起案件的确切方式进行调查超出了本论文的范围。

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2022-5-25 12:50:56

在实践中，我们建议研究人员在类似于实际实验的条件下，对模拟数据进行一些数值实验；模拟实验如图4所示。在第5.2节中，我们提供了一个示例，说明如何构建此类模拟实验，以得出κ的合理值，在该节中，我们将稳健估计应用于金融价格的时间序列。下一个结果提供了中心极限定理，因为它与鲁棒估计量有关。定理3.2。假设过程Z的观测值由（3.9）给出，σu≥ 0，其中x满足假设（CLT）。固定p>0，m∈ N、让^α*= αp，mbe（3.13）中α的OLS估计量。如果（CLTb）或（CLTc）对X成立，我们需要ξ·min{p，1}>1/2，参见假设（SV）。现在，以下内容成立。（i）设σu=0。作为n→ ∞,√n（α）*- α） st公司→ Z*p·Sp，Z*P~ N0，σ2，*m、 p,其中SPI如定理3所示。1和σ2，*m、附录C.（ii）中规定σu>0。作为n→ ∞,√n·^α*- α|→ ∞.重新标记3.4。以与推论3.1相同的方式直接构造（i）情况下的可行中心极限定理，包括σ2的蒙特卡罗估计，*m、 p.如定理3.2（ii）中的n所示，噪声的存在将不幸导致^α的方差*, 其衰减速度比√N实际上，^α的精确分布*很难推导，甚至更难进行切实可行的估计。3.2.1噪声存在性测试使用ab ove，我们现在可以构建观察到的时间序列Z是否包含噪声的测试。具体而言，我们有兴趣测试无效假设：σu=0与备选方案H：σu>0。（3.14）在资产价格时间序列的背景下，这类测试被认为是inAit-Sahalia和Xiu（2018），其中作者开发了高频数据中存在市场微观结构噪音的测试。

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2022-5-25 12:50:59

这里提出的测试在精神上类似于Ait-Sahalia和Xiu（2018）的测试，在第5.2节中，我们还考虑测试高频资产价格中的市场微观结构。为了进行检验，我们考虑了稳健估计量α之间的差异*（3.13）和（3.4）中的常用（非稳健）估计量^α。从命题3.1和3.4中可以看出，在H^α下*- ^αP→ 0，作为n→ ∞,在H下，命题3。3另外表示th at^α*- ^αP→ α+1/2>0，如n→ ∞.与定理3.2类似，我们也可以证明以下内容。定理3.3。假设Theorem3的设置。现在，以下观点成立。（i）设σu=0。作为n→ ∞,√n（α）*- ^α）st→ Z**p·Sp，Z**P~ N0，σ2，**m、 p,其中SPI如定理3所示。1和σ2，**m、附录C.（ii）中给出的pis，让σu>0。作为n→ ∞,√n·（α）*- ^α）P→ ∞.定义：=√n^α*- ^α^Spqσ2，**m、 p（α）*). （3.15）以下推论是定理3的直接应用。3、推论3.2。设^Anbe如（3.15）所示。现在，（i）在H下：和→ N（0，1）为N→ ∞.（ii）根据H：^An→ ∞ 作为n→ ∞.推论3的适用性。2用于测试分形过程是否受到噪声的污染，s.Re mark 3.5。上面我们假设噪声序列是高斯的。然而，可以证明，第3.2节和第3.2.1节的所有结果适用于p=2时具有不确定性的一般iid噪声序列。换言之，如果噪声序列u的高斯假设没有得到满足，或者似乎过于严格，则应选择p=2，然后继续应用这些部分的结果。4模拟研究为了检验上述中心极限结果的有限样本特性，我们在此进行了三项小型模拟研究，并将结果收集在表2-4中。

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2022-5-25 12:51:02

在每项研究中，我们将让X代表不同α值的赫斯特指数H=α+1/2的fBm，并在区间[0，1]模拟n个观测值。有关exacts simu-lation设置的其他信息，请参见表中的标题。对于值α∈ (-1/2，1/4），推论3。1允许我们测试无效假设：α=α与备选方案H：α6=α。（4.1）表2的面板A显示了在标称5%水平下，对于不同的n和α值，本试验的经验大小，即Hwhen His true的拒收率。相比之下，B组显示了测试的经验能力，即无效假设的拒绝率0，n：α=α+n-1/2针对备选方案H1，n：α6=α+n-1/2，（4.2）当α是fBm模拟中使用的α的真值，n是观测数时。换言之，我们测试的α值以1/2的速率向α的真值逼近。我们看到，检验的经验大小和幂性质都非常好。特别是，测试的大小大约为f或n≥ 20.（我们推测，一些与标称5%水平的微小偏差可能是由于蒙特卡罗模拟误差造成的。）同样，经验能力也是足够的。我们的结论是，该测试非常精确，可以很好地用于实践，即使是小样本。表3包含定理3.2（i）设置中的类似结果。注意，我们在这里设置σu=0，以便在观测中没有任何噪声。我们为所有样本大小设定κ=10，但这可能通过考虑每个不同n值的不同κ值来优化。这样，表3中给出的试验的经验性质是保守的，因为人们可能通过以数据驱动的方式选择κ来获得更好的性质，参见图4设置中的方法。

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2022-5-25 12:51:06

在考虑这种情况下的局部功率时，我们用n1/4替换率n1/2，也就是说，在表3的面板B中，我们正在测试零假设0，n：α=α+n-1/4相对于备选方案H1，n：α6=α+n-1/4，（4.3），其中α是fBm模拟中使用的α的真实值。我们再次得出结论，该测试的实验性能良好。我们发现，我们需要更多的观察来获得一个适当大小的测试，与上面的情况一样，原因是估计器现在在计算统计量^f时利用了观察值之间大小k=10的差距。经验功率特性似乎也足够了，尽管现在的速度比我们上面看到的要慢一些。但总而言之，这一假设检验的实际相关性并没有上述假设检验的相关性大：在有噪声的情况下（σu>0），我们不具备渐近理论，而在无噪声的情况下（σu=0），正则OL S估计的设置更适合于推断。TheRobrast估计量是一致的，所以对于逐点估计，估计量仍然具有很大的实际相关性。最后，表4包含测试结果（3.14）；也就是说，我们使用推论3.2测试观察中是否存在噪音。现在真正的观测值是Zi=u+Xi+ui，而ui的方差是σu≥ 在面板A中，我们再次得到了测试的大小，这是我们设置σu=0的地方，即他的真值。在面板B中，我们有功率特性，即当σu=0.05时，即当其为真时，Hw的r喷射率。我们发现，在大多数情况下，该测试的大小都稍显不足，尽管相当接近标称水平。n的功率特性是合理的≥ 当α不太负时至少为800；当α≈ -0.50时，测试显然需要许多观察结果才能在无效时拒绝空值。然而，考虑到提案3.3，这是意料之中的。

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