我们的显式加权Heston模拟方法在期权定价方面优于Euler和Milstein方法，因此我们将重点放在比较SA和LSM算法，以及使用不同数量和类型的函数{ek}Jk=1。在本小节中，我们将使用模型参数：u=0.0319，ρ=-0.7， = 6.21，κ=0.61，K=100，S=100，V=0.0102，T=50，ν=κ/2，因此显式算法适用。在10000的情况下，我们分别使用γ=2.115、0.195、0.0095表示J=2、3、4，在100000的情况下，我们分别使用γ=1.068、0.762、0.0082表示J=2、3、4，因为这些都是合理的选择。所有价格均采用100个独立实验的平均值计算。首先，我们证明了当添加更多权重的拉盖尔函数以达到更高的价格精度时，LSM算法在数值上可能会失败。表12、13显示了这一点以及性能。24 M.KOURITZINSA Price SA Time LSM Price LSM TimeJ=28.44858 0.11298 8.40775 0.124679J=48.49936 0.14411 8.38028 0.258755J=88.41892 0.2566856 5.58625 2.13897表12。使用SA和LSM获得的美国看跌期权价格，N=10000份。增加基函数J的数量可以更好地估计8.59美元的公平价格，但LSM的数值不稳定。SA价格SA时间LSM价格LSM时间J=28.4213 1.24712 8.39404 1.51143J=48.50788 1.79924 8.51376 2.7524J=88.51644 2.64996 7.18587 20.1488表13。使用SA和LSM获得的美国认沽价格，n=100000个粒子。增加基本函数的数量J应该可以更好地估计8.59美元的公平价格，但LSM的数字不稳定。我们可以从表12和表13中得出几个结论。

首先，与流行的LSM算法相比，我们的SA算法在执行时间上有很大优势，尤其是当J增大且矩阵反演变得困难时。对于少量的基函数，SA比LSM快约10%。然而，当基函数数增加时，SA时间性能变得更加优越。例如，当J=8时，SA算法的速度快了近十倍，但精度更高。接下来，给定零个粒子（例如，这里的N=100000），随着我们添加更多的基函数，价格和定价精度都应该增加，因为我们将获得最佳停止时间的更好估计。表13表明，当J从2增加到8时，SA期权价格会增加，SA算法不会中断。事实上，它不应该中断，因为它避免了矩阵反转的数值问题。由于最小二乘估计中的病态矩阵反演，表12和表13中的价格下降和时间尖峰都会导致LSM算法中断。由于不同的原因，SA算法hm的价格在表12中有所下降：当N很小时，投影参数估计值往往很高，尤其是当有很多参数需要估计时，即使J很大，也很容易错过最佳停止值。更坏（低N）的参数估计值和更大的J并不一定是一种优势，价格可以在两个方向上变化，即在小N固定的情况下增加J。为了在N足够大的情况下提供J预期价格改善的进一步证据，并找到定价的基本事实，我们还可以使用N=1000000和J=12的随机近似方法。如表15所示，美国看跌期权价格上升至8.58712。新模拟和定价25GroundTruthn 1，000，000J 12γ0.99294SA期权价格8.58712表14。美国看跌期权公平价格的最佳估计。

该冰由SA方法获得，不再随N orJ的增加而变化。表12和表13中的SA价格正朝着正确的方向发展。SAalgorithm的性能优于LSM，尤其是在所需精度增加的情况下。4.4。亚洲通话中SA和LSM的比较。我们继续比较SA和LSM算法，但现在是亚洲看涨期权，并且必须使用加权Heston。首先是观察：由于我们是亚洲期权平均现货价格的定价期权，随着时间的推移，其变化越来越小，定价问题应该很容易解决。假设我们对最佳停车时间略有影响，并且最佳停车时间不在周期的开始处。那么，最优停站时间和我们的估计值（由于平均值）之间的平均价格和支付不会有太大差别，因此我们的价格估计值和最优期权价格也不会有太大差别。在本节中，我们将使用模型参数：ν=8.1κ/4，u=0.0319，ρ=-0.7， = 6.21，κ=0.2和T=50，因此n=8.1和νκ=2κ用于ClosestExplicit Heston。该实验的基本事实是：基本事实1，000，000J 12γ0.962SA期权价格31.3455表15。亚洲看涨期权价格的最佳估计。该价格通过SA方法获得，不再通过增加N orJ来改变。同样，由于大J的矩阵求逆问题，使用LSM方法在标准当代计算机上无法获得准确的结果。此外，Euler和Milstein不会在两周的时间内完成该值N和足够多的步骤M。所有价格都是通过取100个独立实验的平均值来计算的。按照与美国看跌期权定价相同的程序，我们首先考虑不同数量的基函数的性能，并在表16:26 M中显示。

KOURITZINSA Price SA Time LSM Price LSM TimeN 100000 100000 J=231.3411.2404 25.2365 12.511J=431.3411 36.2066 20.3398 92.432表16。亚洲买入价使用SA和LSM计算，N=100000个粒子。增加基函数J的数量可以更好地估计31.345美元的公平价格，但LSM具有数字稳定性。为了完整性，我们分别使用γ=1、0.824表示J=2、4。我们可以清楚地看到，当J=2时，LSM已经失效。主要原因仍然在于matr ix反转部分：由于亚洲调用是一个三因素模型，我们必须反转一个8×8矩阵。事实上，当你同时拥有价格和平均价格时，这个矩阵有几乎线性相关的行的可能性更大，因此反转的病态性更高。SA算法即使对于大量的基函数也不会失败。由于上述第一幅图中提到的平均值，J=2和4的价格保持不变。事实上，表1、表5和表16之间的比较表明，J=2、4和N=100000的SA算法已经给出了一个与Ground truth相当接近的结果。4.5。美国看跌期权加权SA和Euler LSM的比较。我们的最终结果是全面的，显示了本文提出的方法相对于传统Euler LSM方法的总体收益。本节中使用的模型参数为：ν=8.1κ/4，u=0.031 9，ρ=-0.7， = 6.21，κ=0.2，T=50，son=8.1/∈ N和条件（C）不成立。因此，我们将在最接近的显式Heston模型中使用全加权Heston算法，其中νκ=2κ。初始状态S=100，V=0.102，执行价格K=100。使用带精细网格的加权Heston-in-SA算法计算地面真实价格。结果见表17。接地电阻5N 1，0 00，000J 12γ0.00628SA选项价格7.9426表17。美国看跌期权公平价格的最佳估计。

该价格由SA方法获得，不再随M、N或J的增加而变化。我们通过改变M、N、J t来运行实际实验，以获得固定执行时间的期权价格。新模拟和定价27E-LSM W-SA E-LSM W-SAM 100 5 100 5N 10，000 65，000 10，000 90，000J 4价格7.371 7.932 6.944 7.9347误差0.572 0.01 03 0.9986 0.00788时间19.662 19.433 22.702 22.528性能增益1 55.534 1 126.726表18。针对固定执行时间的美国Putsfor合并RMS定价比较。由于Euler最小二乘法的数值不稳定，随着精度要求的提高，性能增益可能会变得任意大。在所有情况下，均采用接近最优的M、N、J。（为清楚起见，在N=65000和90000的情况下，γ分别取0.0009 6和0.013。）定义性能增益（与前一节中的时间因素类似）以表示给定计算时间的每个方法的相对精度。如第一列所示，传统的Euler LSM方法在J=4情况下不会失败。在这种情况下，通过切换到加权SA方法，精度将提高55倍。最后两列表示Euler LSM开始失效的情况。由于我们不知道基本事实，如果LSM在实践中失败了，那么在这种情况下进行比较仍然是合理的。我们发现，使用新算法后，相对准确度已提高到126倍以上，这对实际市场中的期权定价是一个令人印象深刻的两个数量级的改进。在未来的工作中，我们会提到如何进一步提高这一点。5、结论我们可以得出以下结论：（1）Heston模型具有明显的弱随机微分方程解。当条件（C）成立时，可以很容易地构造这些解决方案。

否则，它们有一个明确的可能性，既可以用作权重，也可以用来改变概率，从而使所需模型成立。（2） 当应用Explicit-Heston算法时，应考虑对其进行仿真。特别是，它不会产生负的波动率值，并且在性能和执行时间方面与Euler和Milstein方法进行了比较。事实上，我们显示了三个数量级的总体优势。（3）加权（或明确适用时）Heston algor it hm应被考虑用于Mont e Carlooption价格。在本文所考虑的美亚期权定价示例中，该方法优于Euler和Milstein方法。（在路径相关选项上，它的实现也比Broadie-Kaya方法要简单得多。）（4） 应将随机近似（SA）视为LSM算法中28 M.KOURITZINLeast平方回归的有利替代方法。它避免了数值上令人讨厌的矩阵版本，从而允许在项目中使用更多的函数，并更接近未来的支付条件预期。未来可能的工作包括：（1）应进一步探索SA定价算法。是否仍应使用LSM算法？其他随机近似方案会产生更好的性能吗？是否有选择功能（ek）的指南？（2） 需要对显式和加权的Hestonal算法进行更多的探索。什么类型的数值积分最好？算法是否有性能更好的变体？（3） 可以使用重采样来提高加权Heston算法的性能。目前，我们保留所有路径，包括那些重量非常低的路径。将重量较大的部分分开，并以无偏见的方式移除重量较低的部分，这可能是一种更好的策略。

然而，这必须以正确的方式进行，因为美亚期权定价是一个不相关的问题。仅仅了解当前粒子状态是不够的。我们必须考虑整个车辆路径。（4） 对于组合加权Heston SA算法，应找到收敛速度结果和最优速度的精确条件。由于弱交互和路径依赖性，这不一定很简单。（5） 应研究其他财务模型的新明确调整解决方案。作者非常乐观地认为，有明确的三种随机平均数、随机波动率模型可供发现。这将按照附录中列出的路线进行。附录：解决SDEs6。1、背景。通常，弱解（在Rp子域上）todXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt（6.1）是过滤概率空间的三重态(Ohm, F、 {F}t≥0，P），一个Rd值布朗运动{Wt，t≥ 0}相对于{Ft}t≥0和{Ft}t≥0自适应连续进程{Xt，t≥ 使得（W，X）满足方程（6.1）。更严格地说，（6.1）的astrong解是{FWt}t≥概率空间上的0-适应过程X(Ohm, F、 P）支持布朗运动W，其中FWt σ{Wu，u≤ t} 。弱解通常通过鞅问题来处理：假设D Rpis域，CD[0，∞) 表示[0]上的连续D值函数，∞) 对于紧集上一致收敛的拓扑，（L，D（L））是一个线性算子onC（D），D上的连续R值函数，u是D上的概率测度。然后，对CD[0，∞)-（L，u）的鞅问题是任意概率测度PuonOhm = CD[0，∞) 使得正则过程{ωt，t≥ 0}满意度：Puω-1=u，对于每个f∈ D（L）一个有mt（f）（ω）=f（ωt）-ZtLf（ωu）du，t≥ 0，（6.2）是一个Pu-鞅。

如果CD[0]上有一个这样的概率测度Pu，则鞅问题是适定的，∞).新的模拟和定价29A弱解决方案((Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），{Wt，t≥ 0}，{Xt，t≥ 0}）到（6.1），则（参见Karatzas&Shreve 1987第317页）对应于（L，u）的每个鞅问题解pu，其中L定义为f（x）=pXi=1bi（x）xif（x）+pXi=1pXj=1aij（x）xixjf（x），（6.3）通过关系(Ohm, F） =（CD[0，∞), B（CD[0，∞))), Xt=t的ωt≥ 0，Pu=P X-1，其中ωt表示CD[0]上的投影函数，∞). （重量，英尺）t≥0通过鞅表示定理和a=σσT定义，其中σ∈ Rp×d。鞅问题的适定性与给定的算子L（和初始分布u）有关。这为同一运营商拥有不同的SDE提供了可能性，因此（在合适的情况下）拥有相同的法律。我们将在下面的（6.12,6.13）中利用这一事实。赫斯顿模型（1.8）对应于算子f（s，v）=us的鞅问题sf（s，v）+（ν- 五）vf（s，v）+svsf（s，v）（6.4）+ρκsvs心室颤动（s，v）+κvvf（s，v）。然而，b和σ都不是固定的，a=σσ′也不是严格的正定义。因此，这个鞅问题的适定性并不是立竿见影的。然而，从Stroock&Varadhan（1969）和Stroock&Varadhan（1979）的证明可以看出，在波动率首次达到零之前，存在唯一性。这意味着在ν的情况下存在适定性≥ κ/2，因为众所周知，在这种情况下（CIR）波动率不会达到零，我们已经讨论了存在性。至于剩下的案例，我们提到Daskalopoulos&Feehan（2011）和其他人已经认识到Heston模型的退化性质，并考虑了不同类型的存在和唯一性。我们的工作给出了弱解的显式构造，已知弱解在ν的情况下是分布唯一的≥ κ/2。

它的重要性在于能够模拟这些显式结构。此外，我们的方法很可能为其他金融模型提供明确的解决方案。6.2。定理1的证明。随机微分方程可以在强意义或弱意义下进行解释和显式求解。弱解释通常在数学金融和过滤等应用中很有效，并且允许解出比强解更多的方程。然而，也有可能通过弱解的伪装找到新的显式强解，考虑到Heunis（1986）的结果，这并不奇怪。此外，弱解通常可以转换为高维SDE的强解（边缘），这是我们使用弱解释的第一种方法。我们的方法是在n=2的情况下明确显示所有内容，然后解释n的必要更改∈ {1，3，4，…}。然而，我们首先通过观察价格的“独立驱动”部分可以拆分为30 M.KOURITZIN6来简化任务。2.1。价格分割。补充说明SctVt=uSctν- Vt公司dt+ρSctVtκVt！dbβt，（6.5）Sit=expp1级-ρZtVsdBs-1.- ρZtVsds（6.6）对于独立的布朗运动Bβ，B。那么，根据it^o公式和Bβ，B的独立性，它允许St=SctSitan和Vt满足（1.8）和β=^β。此外，SIS是有条件（给定V）对数正态的，因此模拟起来很简单。因此，我们只需求解（6.5），我们使用弱解释来创建更高维度的SDE，该SDE确实满足（2.9），因此有一个显式stro-ngsolution。6.2.2。n=2时的波动率。为了简化符号，我们将使用Y和Z来代替Y，Yin定理1。我们考虑Cox-Ingersoll-Ross（CIR）型ito方程的解dvt=（ν- Vt）dt+κpVtdbβt，（6.7）对于某些布朗运动bβ。

设W，Wbe独立布朗运动soYt=κZte-（t-u） dWu+e-tY，Zt=κZte-（t-u） dWu+e-tZ（6.8）是独立的Ornstein-Uhlenbech过程。它遵循It^o的公式that，如果条件（C）为真（n=2），则V=Y+zsaties（6.7），bβt=ZtYupYu+ZudWu+ZtYupYu+ZudWu。（6.9）（注（bβ，W）是标准的二维布朗运动，其中wt=ZtZupYu+ZudWu-ZtYupYu+ZudWu（6.10），由Levy描述。）我们称（V，bβ）为弱溶液，因为bβ的定义是溶液的一部分。如果Vtis可相对于Fbβt测量，则V也是强解 σ{bβu，u≤ t} 。由于无法立即验证路径唯一性的条件，例如Revuz&Yor（1999）的定理IX.3.5，因此山田Wata-na-be定理不能立即给出强解。此外，关于onlybβ的显式形式未知。（Ko ur it zin2000的示例3.4表明，它在单个或nstein Uhlenbeck过程中不可表示。）无论如何，V是否是强解对我们来说并不重要。（有一个著名的田中H.Tanaka的简单SDE例子，其解弱但不强。）新模拟和定价316.2.3。n=2时的扩展价格公式。回忆W，Ware独立标准布朗运动，集合σ（y，z，s）=κκρsyρsz（6.11）并定义新的SDE格式：dYtZtSct公司=-年初至今-ZtuSctdt+σ（Yt、Zt、Sct）dWtdWt. （6.12）该方程具有唯一的强解。事实上，前两行立即给出了Y、Z的stro-ong唯一性，然后SCI作为随机Exponential唯一求解（参见Protter 2004）。此解决方案可以重写为：dYtZtSct公司=- 年初至今- ZtuSctdt公司+κZt√Yt+ZtκYt√Yt+Zt-κYt√Yt+ZtκZt√Yt+Zt0ρSctVtdWtdbβt, （6.13）其中dWtdbβt=Zt公司√Yt+Zt-年初至今√Yt+ZtYt√Yt+ZtZt√Yt+ZtdWtdWt.

（6.14）现在，（6.13）的最后一行以及（6.5,6.6,6.7,6.8,6.9）表明（S=SiSc，V=Y+Z）是ν=κ/2的Heston模型。此外，（6.11）不满足（2.9）自(σ） σ=ρs y z= (σ） σ（6.15），因此我们将能够寻找简单的显式解。我们的扩展Heston系统（6.12）也可以写成Stratonovich方程：dYtZtSct公司=-年初至今-ZtuSct-κρSct- SctρYt+Ztdt公司+κκρSctYtρSctZtodWtdWt, （6.16）其中，由o所隐含的随机积分现在可以用FiskStratonovich意义来解释。我们将全Fisk Stratonovich漂移系数定义为：h（y、z、s、v）=-Y-zus-κρs-sρy+z. （6.17）备注11。我们的主要贡献之一是将赫斯顿方程重新表述为高维方程，使（6.15）等换向器条件为真且存在显式解。人们相信，类似的技术可以用于一些有趣的金融模型。32 M.KOURITZIN6。2.4。n=2时扩展Heston的解。我们可以求解（6.13）的可能强解。第一步是使用Kouritzin&Remillard（2016）的定理2将方程转换为更简单的方程，为了方便起见，在这里的案例p=3和d=r=2中重申了定理3。让D Rbe是有界凸域，Xbe是生活在D中的随机变量，W是R值标准布朗运动，h:D→ R、 σ：D→ R3×2be两次连续可微函数，σ（X）具有完全rank且满足（2.9）。然后，Stratonovich SDE dXt=h（Xt）dt+σ（Xt）odWthasa解Xt=∧-1.XtbXt（6.18）在[0，τ]上，对于一些停止时间τ>0，根据更简单的SDEXtbXt=ZtbhXsbXsds公司+Wt公司+∧（X），带BH（X）=(∧h）o∧-1（x），（6.19）和局部微分同态∧当且仅当更简单的SDE具有至少与τ一样大的停止时间的解。

在不丧失一般性的情况下，局部微分同态可以具有∧=的形式o 对于任何局部微分同态∧：D→ R使满意∧∑o ∧-1（x）=eand∧：λ（D）→ R使满意{∧∧∑}o （λ）-1.o ∧-1（x））=e，其中（eee）=i表示单位矩阵。有四件事是不可能的：（1）对于简单的SDE，扩散系数仅为（I，0）。在这种情况下，It^o方程和Stratonovich方程之间没有差别，因此我们只将更简单的SDE表示为更常见的It^o方程。（2） 我们可以检查这个局部解决方案，看看它是否实际上是一个全局解决方案。我们将在下面执行此操作，并确定在我们的案例中这是一个全局解决方案。（3） 我们可以检查这些方程是否可解。我们将在下面这样做，并在扩展的Heston案例中实际解决简化的SDE和微分同态。（4）Kouritzin&Remillard（2016）表明，如果我们想获得所有初始随机变量X的局部解，那么（2.9）也是必要的=Y，Z′andbX=b，我们可以使用定理3得到：定理4。假设（W，W）′是标准的R值布朗运动，且Yt、Zt、bSct′是：d的强解YtZt公司=-年初至今-Zt公司dt+dWTWTWT, （6.20）dbSct=bSctu-κρ+κρ-κρnYt+Ztodt。（6.21）新的模拟和定价33然后，YtZtSct公司= ∧-1.YtZtbSct公司具有WTWTWT满意度（6.16）（或等效值（6.13,6.14）），其中∧（x）=κxκxxexp-ρκ（x+x）, ∧-1（x）=κxκxxexpρκ（x+x）, （6.22）是R×R×（0，∞).备注12。我们不需要条件（C）来证明这个定理，甚至不需要条件（C）来证明下面V中的价格S的解。我们只需要这个条件来表示独立的Ornstein-Uhlenbeck过程的平方和的项的波动性。备注13。

我们只关心（6.13,6.14）的第一行有一个解决方案，但我们必须解决所有行，然后丢弃不必要的行。备注14。Y和Z是独立的Ornstein-Uhlenbeck过程，而S只解一个线性常微分方程（系数取决于随机过程Y，Z）。因此，通过微分同态及其逆的显式形式，可以简化模拟和计算。请注意，BSC具有独立性，而SCS没有。对此的解释是，差同态∧-1bringsY和Z进入Scand的解决方案，从而处理二次变化。证据其思想是在定理3中找到差同态∧，和∧。将ddtθ（t；x）=σ（θ（t；x））与σ（如（6.11）中所示）解为dtθ（t；x）=κρθ（t；x）θ（t；x）以θ（0；x）为准=xx号, （6.23）我们发现θ（t；x）=κt；θ（t；x）=x；θ（t；x）=xexpρκt. 替换t=xin，我们有∧-1（x）=κxxxexpρκx, （6.24）具有反∧（y）=κyyyexp-ρκy. （6.25）接下来∧（y）=κ0 00 1 0-2ρκyyep-ρκy0经验值-ρκy（6.26）34 M.KOURITZINso bσ（x）={∧∑}（λ-1（x））=我们在Orem 3中发现了我们的第一个差分异构。为了找到第二个微分同态，我们设置α（x）={∧∑}（λ-1（x））=κρxx. （6.27）然后，求解ddtθ（t；x）=α（θ（t；x））导致dtθ（t；x）=κρθ（t；x）θ（t；x）s、 t.θ（0；x）=xx号, （6.28）我们发现θ（t；x）=x；θ（t；x）=κt；θ（t；x）=xexpρκt. 取t=xin，取反，我们得到∧-1（x）=xκxxexpρκx, ∧（y）=yκyyep-ρκy. （6.29）接下来∧（y）=1 0 0κ0-2ρκyyep-ρκy经验值-ρκy（6.30）so bσ（x）={∧α}（λ-1（x））=我们在定理3中确实有第二个同胚。

现在，我们发现∧=∧o ∧给出了（6.22）和∧（y）=κ0 0κ-2ρκyyep（ρκ（y+y））-2ρκyyexp（ρκ（y+y））exp（ρκ（y+y））（6.31）sobh（x）。=(∧）ho ∧-定理3中的1（x）满足bh（x）=-十、-xxhu-κρ+hκρ-κρi{x+x}i. （6.32）6.2.5。在n=2的情况下，通过求解方程完成定理1的证明。的解决方案Yt、Zt、bSct′定理4中是：Yt=Rte-（t-u） dWu+e-tY，Zt=Rte-（t-u） dWu+e-tZ（Y+Z=κvt与（6.7,6.8）一致），而bsct=bScexphu-κρit+κρ-κρZtnYs+Zsods. （6.33）新模拟和定价35此外，接下来是（6.22）和（6.8）thatSct=bSctexpρκ（Yt+Zt）=bSctexpρκ（Yt+Zt）=bSctexpρκVt（6.34），然后是（6.33），定理4，（6.22），以及sct=Scexp的子项hu-κρit+κρ-κρZtnYs+Zsods+ρκ（Vt-五）（6.35）=Scexphu-κρit+ρκ-ρZtVsds+ρκ（Vt- 五）.我们还通过计算Sit=exp得到了简化Heston（2.18）的解p1级-ρZtVsdBs-1.-ρZtVsds（6.36），然后在n=2的情况下乘以St=sctsitt得到定理1的（2.12）。6.2.6。情况n 6=2。由于定理1的猜测和检查证明与It^o公式一样简单，我们在这里的真正目标是激发这个解是如何实际推导出来的，以及如何找到其他模型的弱解。有了这个易引理检验，沿着这些线的形式证明就不那么重要了。因此，我们已经给出了n=2情况下的所有步骤，我们将仅解释n 6=2情况下所需的差异，而不是使用这些方法进行形式证明。一般来说，价格分割已经完成。那里没有变化。对于n情况下的波动性∈ {1，3，4，…}，我们从n个独立的标准布朗运动W。。。，Wn并遵循第6.2.2小节。

区别是：用{Yit=κRte替换Y，Z-（t-u） dWiu+e-tYi}ni=1，setbβt=nXi=1ZtYiuqPnj=1（Yju）dWiu（6.37），当ν=nκ（和V=nPi=1（Yi））时，V=nPi=1（Yi）满足（6.7）。对于扩展价格公式，当n∈ {1，3，4，…}，我们设置σ（y，…，yn，s）=κ0 0···0κ0···0。。。。。。。。。。。。。。。0 0··κ0 0··0κsρysρy··sρyn-1sρyn（6.38）36 M.KOURITZINand Findσiσj=（0，…，0，sρyiyj）′，对于i 6=j，so（2.9）显然成立。（为清楚起见，当n=1时，σ=（κ，sρy）′）现在，定义一个新的SDE形式：d年初至今。。。YntSct公司=-年初至今。。。-YntuSctdt+σ（Yt，…，Ynt，Sct）dWt。。。dWnt. （6.39）该方程具有唯一的强解，可通过OO对σ进行后乘来重写-1，其中=Ynt公司√Vt0···0Yt√VtYnt公司√Vt···0Yt√Vt。。。。。。。。。。。。。。。0 0···Ynt√VtYn公司-1吨√Vt公司-年初至今√Vt公司-年初至今√Vt···-Yn公司-1吨√VtYnt公司√Vt公司, （6.40）和（通过让Yi=Yit滥用符号）O-1个=Y+···+YnYn√Vt公司-YYYYN√Vt公司-YYYYN√Vt···-YYn公司-1年√Vt公司-Y√Vt公司-YYYYN√VtY+Y+····+YnYn√Vt公司-YYYYN√Vt···-YYn公司-1年√Vt公司-Y√Vt。。。。。。。。。。。。。。。。。。-YYn公司-1年√Vt公司-YYn公司-1年√Vt公司-YYn公司-1年√Vt···Y+···+Yn-2+YnYn√Vt公司-Yn公司-1.√VtY公司√VtY公司√VtY公司√Vt···Yn-1.√VtYn公司√Vt公司, （6.4 1）as:d年初至今。。。YntSct公司=- 年初至今。。。- YntuSctdt公司+κYnt√Vt0···0κYt√Vt。。。。。。。。。。。。。。。0 0··κYnt√VtκYn-1吨√Vt公司-κYt√Vt公司-κYt√Vt···-κYn-1吨√VtκYnt√Vt0 0···0ρSctVt日期。。。丹-1tdbβt,（6.42）其中（A，…，An）-1，bβ′=O-1（W，…，Wn）′sobβ满足（6.37）。

此extendedHeston解决方案（6.39）可以用Fisk Stratonovich格式asd编写年初至今。。。YntSct公司=-年初至今。。。-Ynt公司u-nκρSct公司- Sctρ（Yt）+··+（Ynt）dt+σ（Yt，…，Ynt，Sct）odWt。。。dWnt,（6.43）新的模拟和定价37，从中我们可以应用Kouritzin&Remillard（2016）的定理2（知道（2.9）成立），在p=n+1和d=r=n的情况下，到结束点（6.43）有一个强解，当且仅当ifd年初至今。。。Ynt公司=-年初至今。。。-Ynt公司dt+d重量。。。Wnt公司, （6.44）dbSct=bSctu-nκρ+κρ-κρ年初至今+ ···+Ynt公司dt（6.45）有。此外，（6.43）和（6.44,6.45）的解满足年初至今。。。YntSct公司= ∧-1.年初至今。。。YntbSct公司, （6.46）式中，C-差同态∧由∧（x）给出=κx。。。κxnxn+1exp-ρκ（x+···+xn）, ∧-1（x）=κx。。。κxnxn+1expρκ（x+···+xn）.（6.47）（6.44,6.45）的解为：YIT=中兴通讯-（t-u） dWiu+e-tYi，i=1。。。，n和（6.48）bSct=bScexphu-nκρit+κρ-κρZt公司Ys公司+ ···+Yns公司ds公司（6.49），使用（6.47）thatSct=Scexphu-nκρit+ρκ-ρZtVsds+ρκ（Vt-五）（6.50），Vt=κ年初至今+ ···+Ynt公司. 结果如下：乘以St=Sitstand It^o公式。6.3。定理2的证明。我们遵循可以用来证明Girsanov理论的想法，注意到解决方案很弱，因此martinag-le问题而不是SDEs是正确的工具，L是简单模拟的形式，而不是直接改变测量值的形式。根据（2.20,2.21）中定义的定理1，（bS，bV），使用（2.19）中定义的参数νκ，uκ，满足了Heston模型38 M.Kouritzin。

因此，乘以（6.4）Mt（f）=f（bSt，bVt）-ZtμκbSusf（bSu，bVu）+（νκ- 英属维尔京群岛）vf（bSu、bVu）（6.51）+bSubVusf（bSu，bVu）+ρκbSubVusvf（bSu，bVu）+κbVuvf（bSu、bVu）du（用于f∈ S（R），R快速递减函数）具有以下P-鞅表示mt（f）=Zt[κvf（bSu，bVu）+ρbSusf（bSu，bVu）]bVudbβu（6.52）+Ztp1- ρbSusf（bSu，bVu）bVudBuwithbβt=nXi=1ZtYiuqPnj=1（Yju）dWiu。分别遵循it^o公式和（2.18）thatln（bVt）-ln（bV）=Ztνκ- bVsbVsds+ZtκbVsdbβs-ZtκbVsds（6.53）因此，使用（2.19），（2.22）相当于lt=exp（Ztν- νκκbVsdbβs-Zt |ν- νκ|κbVsds）。（6.54）根据（6.54）和Novikov条件，t→bLηεt.=bLηε∧这是r＞0的lr鞅。这一事实将在下面的发展中使用，并得出mt（f）是一个鞅，而不仅仅是一个局部鞅。

接下来是（6.52）、it^o公式（2.19）和事实dbLt=bLtν-νκbV-二次协方差满足[bLηε，f（bS，bV）]t=Zt∧ηεbLηεuν- νκbV-uhκvf（bSu，bVu）+ρbSusf（bSu，bVu）ibVudu（6.55）=Zt∧ηεbLηεuh（ν- νκ）vf（bSu、bVu）+（u- uκ）bSusf（bSu、bVu）idu。接下来是（6.51,6.55）和mt（f）=bLηεtf（bSt，bVt）部分的积分-Zt公司∧ηεbLηεuubSusf（bSu，bVu）+（ν- 英属维尔京群岛）vf（bSu、bVu）du（6.56）-Ztt∧ηεbLηεuμκbSusf（bSu，bVu）+（νκ-英属维尔京群岛）vf（bSu、bVu）杜邦-ZtbLηεuB苏布武sf（bSu，bVu）+ρκbSubVusvf（bSu，bVu）+κbVuvf（bSu、bVu）duNEW SIMULATION AND PRICING 39是一个局部鞅，其由（6.52）表示为mt（f）=ZtbLηεu[κvf（bSu，bVu）+ρbSusf（bSu，bVu）+ν- νκbVuf（bSu，bVu）]bVudbβu（6.57）+ZtbLηεup1- ρbSusf（bSu，bVu）bVudBu。（由于我们使用了其他随机性来创建{Yi}ni=1，我们不能断定mt（f）适合于β，B产生的过滤，但它适合于B，W。。。，Wn.）现在，bLηεtand mηεt（f）。=mt公司∧ηε（f）a r e鞅so o one has by（6.56）and Fubini\'s theorem thatbE“f（bStn+1，bVtn+1）- f（bStn、bVtn）-Ztn+1tnAuf（bSu、bVu）dunYk=1hk（bStk，bVtk）#（6.58）=E“bLηεTf（bStn+1，bVtn+1）- f（bStn、bVtn）-Ztn+1tnAuf（bSu、bVu）dunYk=1hk（bStk，bVtk）#=E“mtn+1（f）- mtn（f）nYk=1hk（bStk，bVtk）#=0，对于所有0≤ t<t<···<tn<tn+1，f∈ S（R）和h。。。，hn公司∈ B（R）（有界的，可测量的），其中uf（s，v）=[ussf（s，v）+（ν- 五）vf（s，v）]1[0，ηε]（u）（6.59）+[μκssf（s，v）+（νκ- 五）vf（s，v）]1[ηε，T]（u）+svsf（s，v）+ρκ五、sf（s，v）+κvf（s，v）。现在，Ethier&Kurtz（1986）第174页的论点（S，V）满足了关于tobP的Au鞅问题.参考Sandersen，Leif B.G.（2007）。Heston随机波动率模型的有效模拟。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=946405orhttp://dx.doi.org/10.2139/ssrn.946405Bass，R.F.，Perkins，E.A.（2002）。

具有H¨older连续系数和超马尔可夫链的退化随机微分方程。美国数学学会学报355373-405。Black，F.，Scholes，M.（1973年）。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》81637-654。Boyle，Ph.P.（1977年）。选项：蒙特卡罗方法。《金融经济学杂志》4.3 323-338。Boyle，Ph.P.、Broadie，M.和Glasserman，P.（1997年）。安全性定价的蒙特卡罗方法。《经济动力与控制杂志》21 1267-1321.40 M.KOURITZINBroadie，M.和Kaya，O.（2006）。随机波动率和其他跳跃扩散过程的精确模拟。运筹学，54（2），217-231。Carriere，J.F.（1996年）。使用模拟和非参数回归对期权的早期行权价格进行估值。保险：数学与经济学19，19–30。Cl'emen E，Lamberton D，Protter Ph（2002年）。美式期权定价的最小二乘回归方法分析。《金融与随机》，6449-471。Cox J，Ingersoll J，Ross S.（1985）。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2），385-407。Daskalopoulos，P.和Feehan P.M.N.（2011）。数学金融中退化椭圆障碍问题的存在性、唯一性和全局正则性。arXiv:1109.1075。Doss，H.（1977年）。Liens-entre'方程的随机性和顺序。安n.Inst.H.Poincar\'e Probab。统计学家。13、99–125。Duffee，D.和Glynn，P.（1995年）。证券价格的有效蒙特卡罗估计。不适用于。概率。4897-905。Ethier，S.N.和Kurtz，T.G.（1986年）。马尔可夫过程，特征和收敛。概率与数理统计中的威利级数：概率与数理统计。约翰·威利父子公司，纽约。Eweda，E.（1994年）。比较适用于随机时变信道的RLS、LMS和sign算法。IEEE Trans。

《信号处理》，422937–2944，Fouque，J.P.，Papanicolao u，G.和Sircar，K.R.（2000）。具有随机波动性的金融市场中的衍生品。剑桥大学出版社，英国。弗里德曼，A.（2006年2月）。随机微分方程及其应用。多佛出版公司，纽约州米诺拉。原版1975年和1976年再版，分两卷出版。Heston，S.（1993年）。随机波动性期权的闭式解及其在债券和货币期权中的应用。修订版。芬南。螺柱。6327-343。Heunis，A.（1993年）。关于具有唯一强解的随机微分方程的普遍性。不可抗力。14653-662。赫尔，J.，怀特，A.（1987）。具有随机波动性资产的期权定价。《金融杂志》42281-300。Jackwerth，J.，Rubinstein，M.（1996年）。从同期证券价格中恢复概率分布。《金融杂志》511611-1631。Jeanblanc，M.、Yor，M.和Chesney，M.（2009年）。金融市场的数学方法。Springer，New Yo r k.Kahl，C.，J¨ackel，P.（2006）。随机模型的快速strong近似蒙特卡罗格式。定量财务6513-536。Karatzas，I.和Shreve，S.E.（1987年）。布朗运动与随机微积分。斯普林格，纽约。Kiefer，J。；Wolfowitz，J.（1952年）。回归函数最大值的随机估计。《数理统计年鉴》23（3）462–466。《新模拟与定价》41Kouritzin，M.A.（1994）。归纳方法和rth平均收敛速度不适用于自适应滤波。随机和随机报告51241-266。Kouritzin，M.A.（1996年）。关于线性随机逼近过程的收敛性。IEEE Trans。信息格式。理论IT-42（4），1305–1309。Kouritzin，M.A.（1998年）。关于具有离散观测值的连续信号的精确滤波器。我是变性人。自动装置。控制43709–715。Kouritzin，M.A.（2000年）。

精确的有限维滤波器和显式解。在随机模型中，纪念唐纳德·A·道森、L·戈罗斯蒂扎和G的一本书。Ivano Offeds，加拿大数学学会会议记录26，美国数学学会，普罗维登斯，RI，265–282。Kouritzin，M.A.（2015年）。具有短期惯性和随机波动性的微观结构模型。《工程中的数学问题》，2015年文章ID 323 475，17页。Kouritzin，M.A.和Li，D.（2000）。关于随机微分方程的显式解。随机肛门。应用程序。，18（4）：571–580。Kouritzin，M.A.和Remillard，B.（2016）。关于It差异的明确本地解决方案。http://arxiv.org/abs/1608.05362。Kouritzin，M.A.和Sadeghi，S.（2015）。收敛率和D耦合线性随机逼近算法。S IAM J.控制优化。5314841508。Kouritzin，M.A.和Zeng，Y.（2005）。通过过滤一类资产价格微观移动模型来选择贝叶斯模型。《国际理论与应用金融杂志》8，97-122。Kouritzin，M.A.和Zeng，Y.（2005）。一类条件期望的弱收敛性：应用于一类资产价格模型的推断。非线性分析，理论，方法与应用，系列A 60 231-239。Kunita，H.（1984年）。随机微分方程和微分同态的随机流。在《Ecole d’et’e de probabilit’es de Sai nt Faur》，XII-1982，数学课堂讲稿第1097卷。，第143–303页。柏林斯普林格。Longstaff，F.A.和Schwartz，E.S.（2001年）。通过模拟评估美式选项：一种简单的最小二乘法。财务研究回顾14，113-147。默顿，R.C.（1973）。理性期权定价理论。《贝尔经济与管理科学杂志》第4期，141-183页。Maghsoodi，Y.（1996年）。延长CIR期限结构和债券期权估值的解决方案。

数学金融6 89–109。Polyak，B.T。；Juditsky，A.B.（1992年）。通过平均加速随机逼近。《暹罗控制与优化杂志》30（4），838–855。Protter，P.E.（2004）。随机积分和微分方程，《数学应用》（纽约）第21卷。Springer Verlag，柏林，第二版。随机建模和应用概率。Revuz，D.和Yor，M.（1999年）。连续鞅与布朗运动。施普林格·维拉格，柏林。Robbins，H。；Monro，S.（1951年）。一种随机近似方法。《Ann alsof Mathematic S Statistics》22（3）400-407.42 M.KOURITZINRogers，L.C.G.和Williams，D.（198 7）Diffusions，《马尔可夫过程和鞅》，第2卷《微积分》。约翰·威利父子公司，纽约。Schwartz，E.（1977）。认股权证估值：实施新方法。《金融经济学杂志》4 79-94。Scott，L.O.（1987）。方差随机变化时的期权定价：理论、估计与应用。《金融定量分析杂志》22，419438。Stroock，D.W.和Varadhan，S.R.S.（1969）具有连续系数的扩散过程，I和II。通信纯和应用。数学22345-40 0和479-530。Stroock，D.W.和Varadhan，S.R.S.（1979）多维扩散过程。Springer Verlag，纽约。Sussmann，H.（1978）。关于确定性和随机微分方程之间的差距。安。概率。6、19–41。van Haastrecht，A.和Pelsser，A.（2010）高效、几乎精确地模拟了Heston随机容积模型《国际理论与应用财务杂志》31，1–4 3。Wilmott，P。；豪森，S。；Dewynne，J.（1995年）。金融衍生数学：学生简介。剑桥大学出版社。ISBN 0-521 49789-2。Yamato，Y.（1979）。随机微分方程和幂零李代数。Z、 瓦赫希。Ve rw。Gebiete，47（2）：213–229。Yu，J.（20 05）。

随机波动率模型中的杠杆效应。《计量经济学杂志》，127:165–178。当前地址：加拿大埃德蒙顿艾伯塔大学数学与统计科学系T6G 2G1E邮箱：michaelk@ualberta.caURL:http://www.math.ualberta.ca/KouritzinM.html