PDE（37）变为- \'v±t+（hQI+hQC）\'v±（t，s）- rDs？v±s-σs'v±ss- f±（t，\'v±，σs'v±s（t，s），θI（^v（t，s））- \'v±（t，s）θC（^v（t，s））- \'v±（t，s）；^v（t，s））=Xj∈{I，C}hQjθj（^v（t，s）），\'v±（t，s）=Φ（s）。在此基础上，应用变量x=log s、\'w±（t，x）=\'v±（t，ex）和^w（t，x）=^v（t，ex）的标准变化，我们得到了偏微分方程- \'w±t-研发部-σ\'w±x-σ′w±xx+hQI+hQC“w”- f±t、 \'w±（t，x），σ\'w±x（t，x），θI^w（t，x）- \'w±（t，x），θC^w（t，x）- ‘w±（t，x）；^w（t，x）=Xj公司∈{I，C}hQjθj^w（t，x）,\'w±（T，x）=Φ（ex）。PDE（36），然后导出w±=\'w±的PDE- ^w，与方程式（20）和（21）给出的XVA的BSDE表示相关。因此，我们可以将XVA表示为二维半线性偏微分方程组Cauchy问题的解，- w±t+Lw±=f±t、 w±+^w，σ（w±x+^w±x），^θI（^w）- w±，^θC（^w）- w±；^w+Xj公司∈{I，C}hQj^θj（^w）- w±+ rD^w，w±（T，x）=0，- ^wt+L^w+rD^w=0，^w（T，x）=Φ（ex）。（38）回顾方程式（16）、（17）、（24）、（25）、（26）和（28）、（29）中给出的f±、~f±和g±的定义及其关系，我们得出方程式（38）和（36）是一致的。此时，我们可以得出结论，PDE（38）的唯一溶液w±仅在粘度意义上。如果Φ是分段连续可微的，并且Φ（定义的地方）最多有多项式增长，那么从定理4.11可以看出，解的唯一性在经典意义上也是成立的。此外，我们可以应用Bichuch et al.II（2015）的定理A.1，得到在集合{t<τ}上，Z±t=σStw±xt、 日志（St）,Zi，±t=θi^V（t，St）- w±（t，log（St）），i∈ {I，C}.5显式示例我们将我们的框架专门化，以处理一个具体示例，我们可以为总估价调整提供完全显式的表示。

更具体地说，我们考虑了皮特堡（2010）的模型及其扩展，考虑了交易对手信用风险和结算成本。这意味着交易员和交易对手的可违约债券成为对冲策略的一个组成部分。在本节中，我们对利率做出以下假设，如皮特堡的假设：r+f=r-f=rf，r+c=r-c=rc，rD=r+r=r-r=rr。我们还假设rf>rr>rc，根据Piterbarg（2010）的说法，这种情况在实践中是可以预期的。在上述假设下，证券、融资和抵押品账户不取决于证券中的头寸是多头还是短头，金额是从欧元区借入还是借给欧元区，以及抵押品是过账还是收到。由于价格之间的对称性，买方和卖方的XVA是一致的，因此我们可以在BSDE中删除加号和减号。估值机构选择的贴现率Rd与回购利率之间的差异也可能被解释为回购市场流动性不足的代表。根据这种解释，rD=RR对应于完全流动性制度。BSDE变为线性，并导致XVA在不同调整方面的明确分解，详情见下文。我们还注意到，Brigo et al.（2012）也获得了类似的分解，见定理4.3及其后续注释。5.1皮特堡模型本节在皮特堡（2010）提出的框架中提供了XVA和相关对冲策略的明确表示。除了利率之间的对称性，Piterbarg（2010）排除了模型中违约的可能性，但维持了抵押品的存在。

在介绍本节的主要结果之前，我们先介绍以下数量prft：=BrftBrfT，Prrt：=BrrtBrrT，这可以理解为两种（有效的）无风险债券的时间t价格，分别具有贴现因子rf和rr。下一个命题在附录中得到了验证，它提供了XVA及其复制策略的明确表示。提案5.1。总估价调整由XVAT=PrftPrrt给出- 1.1.- αrf- rcrf- rr！^Vt：=βt^Vt.（39）此外，库存中的复制策略由ξt=βt^给出t、 （40）其中^t=^（t，St）：=S^V（t，St）=SEQ公司BrrtBrrTΦ（ST）英尺. （41）陈述（39）将XVA表示为索赔公开价格的百分比。此外，命题5.1表明，融资成本以两种方式进入XVA和股票中相应的复制策略：（1）融资以rf的利率进行，但XVA和对冲策略基于使用rras贴现率的公共估值，以及（2）与已公布抵押品的大小成比例的融资调整，α^V（t，St），源于融资和抵押品利率之间的差异。备注5.2。本节中考虑的模型是Piterbarg（2010）提出的模型的特例。具体而言，Piterberg（2010）中的模型更为通用，因为利率rr、Rf和Rc可以是随机过程，他还考虑了一般抵押品规格。与我们不同的是，Piterberg（2010）没有定义和研究XVA，而是专注于在上述假设下确定索赔价格。在利率对称假设下，使用等式中给出的抵押规则。

（9） 可以看出，Piterbarg（2010）的方程（3）正是我们的BSDE（18）的解，它允许显式表示Brft公司-1Vt=等式BrfT公司-1Φ（ST）Fti+α（rf- rc）ZTtBRF公司-1BR序列HBrrs-1^VsFTID=布莱夫特-1BrrTBrrt^Vt+α（rf- rc）ZTtBRF公司-1个RRSBrrt公司-1^VTD。Piterbarg（2010）中零抵押品的情况对应于我们案例中的设置α=0。也可以推导出皮特堡（2010）的方程式（5），其中假设用于计算索赔的利率是抵押利率rc。要看到这一点，请考虑公式（18），在该设置下（并使用公式（9）），公式（18）变为Sdvt=rf（Vt- α^Vt）+rcα^Vt- ZtdWQt=rcVt+（rf- rc）（Vt- Ct）- ZtdWQt。我们记得Ct，t≥ 0，表示并行过程。接下来就是Brct-1Vt=BrcT-1Φ（ST）-ZTt公司Brcs公司-1ZsdWQs+射频- 钢筋混凝土ZTt公司Brcs公司-1（Vs- Cs）ds。以条件期望为例，注意到Z（可计算方式与命题5.1的证明类似）是平方可积的，因此上面的随机积分是真鞅，我们得到Brct-1Vt=等式BrcT-1Φ（ST）Fti+（rf- rc）ZTtBrcs公司-1EQVs公司- Cs公司英尺ds。与我们的框架不同，假设抵押品规则基于套期保值者的估值，我们可以使用类似的论点，并在完全抵押（Ct=Vt）的情况下恢复皮特堡（2010）的方程式（7）。上述分析旨在说明我们的框架的一般性，在该框架中，可以通过适当的模型参数来恢复特殊的可处理案例。接下来，我们将分析XVA对融资利率和抵押水平的依赖性。图4显示，在欧洲看涨期权的情况下，当抵押水平较小时，XVA为负值。这与表达式（39）一致，可以理解如下。假设α=0。

在皮特堡模型中，期权的套期保值者是多头股票，并以回购利率rr融资购买股票。他还长期持有资金账户，并在higherrate rf累积利息。在Black-Scholes世界中，卖方购买股票和投资现金，两者的利率均为rr=rD。因此，如果rf>rr，融资账户的存在对套期保值者有利。因此，套期保值者的价格将低于布莱克-斯科尔斯价格，因此XVA为负值。随着α变得越来越大，交易员还需要融资购买抵押品，以过账给交易对手。为了做到这一点，他以rf的利率向财政部借款。然而，他只收到已过账抵押品的利息。考虑到rc<rr<rf，这会给交易者带来损失。图4证实了我们的直觉。它还表明，交易者的股票头寸随着基金收益率的增加而减少，而随着担保水平α的增加而增加。当XVA为负值时，即套期保值者的价格低于Black-Scholes价格，那么交易者的策略是做空股票。5.2皮特堡违约模型在本节中，我们通过包含交易员或其交易对手违约的可能性来推广皮特堡模型。命题5.3给出了欧洲索赔XVA的明确表达式，以及股票和债券复制策略的封闭式表达式。我们将此结果专门用于备注5.4中的选项情况。提案5.3。

总估值调整由xVAT1L{τ>t}给出=（rr- rf）+α（rf- 钢筋混凝土）1.- E-（η）-rr）（T-t） η- rr^Vt1l{τ>t}+（uC- rf）LC1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr（右后）（1）- α） ^Vt-1l{τ>t}- （uI- rf）LI1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr（右后）（1）- α） ^Vt+1l{τ>t}，（42）0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-10-8-6-4-2024相对XVA（%）α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.440.460.480.50.520.540道德化水平α。右图：XVA复制策略中的股票数量。我们设定rD=0.05，rc=0.01，σ=0.2，α=0。该权利要求是到期日为T=1的货币买入期权。式中η：=uI+uC- 射频。此外，XVA在股票、交易对手和交易员债券中的复制策略由ξt给出=（rr- rf）+α（rf- rc）1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr+（uC- rf）LC1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr（1- α） 1l{^Vt<0}- （uI- rf）LI1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr（1- α） 1l{^Vt>0}^t1l{τ>t}，|ξIt=XVAt+LI（1- α） （^Vt）+PIt1l{τ>t}，|ξCt=XVAt- LC（1- α） （^Vt）-PCt1l{τ>t}。（43）此外，在事件{t=τI<τC∧ T}，XVA过程由xVAT=|ξftBrft+|ξCtPCt给出-ИψctBrct-^Vt=-LI（（1- α） ^Vt）+，（44）当事件{t=τC<τI∧ T}byXVAt=▄ξftBrft+▄ξItPIt-ИψctBrct-^Vt=LC（1- α） ^Vt）-.回想一下，在假设4.2中给出的无套利条件下，我们得到uI>rf，uC>rf，因此η>rf>rr。因此，方程式（42）中给出的XVA表达式得到了很好的定义。此外，回购、抵押品和融资账户中持有的股份数量（|ψrt，|ψct，|ξft）由股票、投资者和交易对手债券的持有量唯一确定（见备注4.9）。与经典的皮特堡设置一样，表示（42）表明XVA允许分解，但现在分解为三个独立的贡献项。第一个术语对应于无违约情况下的复制。

它捕获了复制公开可用的索赔（t，St）以及在投资者或交易对手最早违约之前为公布的抵押品融资的成本。第二项对应于CVA组件的（资金调整后的）复制成本，第三项对应于DVA组件的（资金调整后的）复制成本。备注5.4。式（42）减少toXVAt1l{τ>t}=（rr- rf）+α（rf- rc）{z}资金-LI（1- α） （uI- rf）{z}DVA1.- E-（η）-rr）（T-t） η- rr^Vt1l{τ>t}：=A^Vt1l{τ>t}。（45）事实上，XVA现在表示为索赔公开价格的百分比。由于交易员做空看涨期权，因此需要复制多头头寸进行对冲，因此他总是面临交易对手的Szero风险敞口（交易员需要向交易对手提交抵押品，但后者不需要向交易员提交抵押品），因此他只需复制交易的DVA部分，而该部分不会因已发布抵押品而减轻。在这种情况下，复制策略所需的（43）中的股票和债券数量简化为ξt=A×S^V（t，St）1l{τ>t}，~ξIt=A×Vt+LI（1- α） ^VtPIt1l{τ>t}，|ξCt=A×^VtPCt1l{τ>t}。此外，在事件{t=τI<τC∧ 投资组合的价值为XVAt=1.- LI（（1- α)^Vt，和类似的{t=τC<τI∧T}我们有XVAt=^Vt。尽管交易者的CVA部分不存在，对冲者仍在交易对手债券中交易。这是因为他需要对冲其交易对手的违约风险，因为索赔将被复制到套期保值者和交易对手违约时间最早的时候。最后，我们对上述结果进行了数值评估。我们考虑S=K=1的一元期权，因此在到期日T=1时，我们的支付Φ（x）=（x- K） +。图5报告了有助于公式（45）中给出的分解的资金和DVA组件的价值。

在更安全的场景中（左面板），随着RFR的增加，资金部分变得占主导地位，而在交易方的默认时间内，来自结算头寸的复制成本的贡献很小。随着交易者和交易对手的违约风险变得更高（右面板），并且对于不太高的融资利率rf，鉴于结算程序提前触发且结算支付更大，DVA部分占主导地位。比较图6和图7的底部面板，我们可以看到，在这两种情况下，交易公司债券份额的数量相似，用于复制跳转到收尾值。然而，在风险情景下，根据估值指标，交易方债券的回报率更高，因此对XVA的贡献更大。当α较高时，XVA为正。交易员债券的头寸高于交易对手债券，因为需要复制剩余的DVA部分（在抵押品缓解后），而CVA部分为零，因为交易员面临的交易对手风险敞口为零。随着α的增加，考虑到头寸更具抵押性，需要复制较小的残余DVA分量。因此，交易者减少了自己债券的头寸。0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15RF102030405060708090价格构成（%）资金DVA0。08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15RF20304050607080价格组成（%）资助DVAFigure 5：默认情况下，Piterbargmodel中的XVA分解（以复制索赔市值的百分比表示）。我们设定rr=0.05，rc=0.01，σ=0.2，α=0.25，LC=0.5，LI=0.5。该权利要求是到期日为T=1的货币买入期权。左：uI=0.2，uC=0.25。

右：uI=0.55，uC=0.55。图6和图7的直接比较表明，对于适度低水平的抵押，交易员在风险情景下购买更多的自己的债券，并使用交易对手债券卖空的收益部分融资。备注5.5。公式（42）中给出的XVA公式及其对非负性pAyo ff（45）的特化也可以使用带跳跃和直接鞅变元的线性BSDE的表示结果来推导。这种方法用于（Bichuch等人，2015年，第5.2节）。6数值分析我们进行了比较静态分析，以分析在第4节的一般非线性设置中，XVA和投资组合复制策略对融资利率、债券回报和抵押水平的依赖性。我们考虑相对XVA，即以XVA±t/^Vt给出的索赔价格^Vt的百分比表示调整。该索赔被选择为股票证券的欧式看涨期权，即Φ（x）=（x- K） +。我们考虑S=K=1到期atT=1的货币期权。为了关注融资成本的影响（这在实践中是最相关的），并将其与抵押品和回购利率不对称对XVA的额外贡献分开，我们设定了r+c=r-c=0.01，r+r=r-r=0.05，除非另有规定。我们使用以下基准参数：σ=0.2，r+f=0.05，r-f=0.08，rD=0.01，uI=0.21，uC=0.16，LI=LC=0.5，α=0.9。我们使用有限差分Crank-Nicholson格式计算偏微分方程的数值解。我们分析的主要结果将在续篇中讨论。较高的融资利率增加了无套利区间的宽度。

由于衍生工具合同规定了期权的价格和交易的担保水平，因此无套利0。08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-12-10-8-6-4-2024相对XVA（%）α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-0.08-0.06-0.04-0.020.04股票α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.09 0.1 0.11 0.13 0.14 0.15rf00。010.020.030.040.050.06交易者债券股份α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-15-10-505交易对手债券股份×10-3α=0α=0.25α=0.75α=1图6：左上：XVA作为rffor不同α的函数。右上角：复制策略中的股票数量。左下角：复制策略中交易员债券份额的数量。右下角：复制策略中的交易对手债券股份数量。我们设定rr=0.05，rc=0.01，σ=0.2，LC=0.5，LI=0.5，uI=0.16，uC=0.21。该债权是一种到期日为T=1的货币买入期权。该区域在XVA和α中显示为（二维）条带，而不仅仅是（一维）intervalin XVA。图8显示了无套利区间，其宽度在融资评级器中增加-f、 随着α变得更高，在再次加宽之前，谱带明显收缩，达到α=80%左右的最小值。请注意，买方和卖方的XVA没有对称行为。通过分析图8中带与担保水平α的依赖关系，可以更好地理解这一点。如果α不太高（α<0.5），则无套利区间相对于融资评级机构的扩大-因买方XVA减少而产生的fis。另一方面，如果α较高，买方的XVA对r的变化不敏感-f、 鉴于卖方的XVA随r增加-f、 有助于扩大无套利区间。表1中报告的数值进一步证明了这一点。

当α<0.5时，卖方XVA在资金账户中的位置是长的，并且无论资金费率如何，都是相同的-f、 另一方面，买方XVA的多头仓位大小增加了r-f、 如果存在完全抵押，即α=1，则情况相反。买方XVA资金账户中的头寸较短，且相对于r保持不变-f、 反之亦然，对于卖方的XVA，空头头寸的规模增加了r-f、 如果α较高，交易者将不得不提供更多抵押品，从而减少可用现金0。08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-20-15-10-505相对XVA（%）α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.02股票α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.09 0.1 0.11 0.13 0.14 0.15 RF00。010.020.030.040.050.06交易员债券股份α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-0.04-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01-0.00500.005交易对手债券股份α=0α=0.25α=0.75α=1图7：左上：XVA作为rffor不同α的函数。右上角：复制策略中的股票数量。左下角：复制策略中交易员债券份额的数量。右下角：复制策略中的交易对手债券股份数量。我们设定rr=0.05，rc=0.01，σ=0.2，LC=0.5，LI=0.5，uI=0.51，uC=0.51。该债权是一种到期日为T=1的货币买入期权。为他的复制战略融资。然后，他将不得不从资金部门借更多的钱，从而导致更高的资金成本。

这推动了卖方的XVA以及复制战略所需的股票和债券的数量。表2还表明，与卖方的XVA相对应的融资头寸为负值，但较低，因此解释了为什么买方的XVA对融资利率r的变化仅略微敏感-f、 随着回购利率之间的差异增大，无套利区间扩大。图9分析了当借贷和借贷回购利率之间的差异增大时，无套利区间的宽度如何变化。对于固定回购贷款利率，卖方的XVA增加回购贷款利率。这是因为套期保值者需要在索赔中复制多头头寸，并且在购买股票时会导致更高的融资成本（现金驱动回购活动，另见图2）。相反，买方的XVA对回购借款利率不敏感。在这种情况下，套期保值者需要复制债权中的空头头寸，从而实施仅取决于回购贷款利率r+r的证券驱动回购活动（见图1）。

如果回购贷款利率更高，套期保值者从回购市场获得更大的收益，因此他愿意以更高的价格购买债权，因为他从卖空策略中获得更多的收入，从而导致买方的0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-50510152025α相对XVA（%）rf- = 0.08rf- = 0.1rf- = 0.12rf- = 0.150 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.04-0.0200.020.040.060.08α股票rf- = 0.08rf- = 0.1rf- = 0.12rf- = 0.150 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05交易商债券rfα股- = 0.08rf- = 0.1rf- = 0.12rf- = 0.150 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02交易对手债券rfα股- = 0.08rf- = 0.1rf- = 0.12rf- = 0.15图8：左上角：买方和卖方的XVA作为不同r值α的函数-f、 卖方的品牌高于买方的XVA，两种品牌均采用相同的线型。右上角：复制策略中的股票数量。左下：复制策略中交易员的债券份额数量。右下角：复制策略中交易对手债券份额的数量。这些策略指的是复制卖方XVA的投资组合。XVA。图9的右面板也反映了这一点，这表明，当r+目标更高时，想要对冲多头头寸的交易员会空头更多的股票，以便从回购市场收到的更高利率中获益。较高的抵押增加了投资组合持有量。随着担保水平α的增加，卖方的XVA增加。之所以会出现这种情况，是因为复制共同头寸所产生的融资成本越来越高。因为交易者需要构建一个复制更大头寸的投资组合，他必须承担更多风险。他通过增加交易对手承销的股票和债券的数量来实现这一目标。

此外，他减少了对自己债券的购买，因为随着头寸变得更加抵押，他需要复制一个较小的剩余DVA（在交易者违约时间，向下跳至平仓价值的幅度较小）。这种行为在图10的曲线图中很明显。无套利区间的宽度对债券收益率不敏感。图10显示，如果交易对手债券的回报率增加，卖方和买方的XVA都会减少。当α较低时，这两个量下降的幅度几乎相同，无套利带的宽度αr-fSeller的XVA：资金账户（$）买方的XVA：资金账户（$）0.08 0.0039 0.04030 0.15 0.0039 0.04280.25 0.08 0.0249 0.02570.25 0.15 0.0249 0.02740.75 0.08-0.0037-0.00360.75 0.15-0.0038-0.00331 0.08-0.0182-0.0181 0.15-0.0193-0.018表1：各列给出了资金账户中对应于复制的美元头寸卖方XVA和买方XVA的策略。0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.101020030405060708090RR-相对XVA（%）rr+=0.05rr+=0.04rr+=0.03rr+=0.020.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.100.050.10.150.20.250.30.35rr-股票rr+=0.05rr+=0.04rr+=0.03rr+=0.02图9：左：买方和卖方的XVA作为r的函数-r+r的不同值。右：复制卖方的XVA（顶部）和买方的XVA（底部）的策略中的股票数量。不受影响。随着α变大，卖方的XVA相对于买方的XVA下降得更快，当α=1时，这两个数量几乎重合。与图10一致，图11显示，当交易对手债券的收益增加时，卖方的XVA减少。之所以会出现这种情况，是因为在保持历史违约概率不变的情况下，交易员将从其交易对手债券的多头头寸中赚取更高的溢价（另请参见图11的底部面板）。

当复制更大的平仓头寸时，这种收益支配着所产生的融资成本（等式（11）表明，随着hQC的增加，平仓付款增加至无风险付款，uC=hQC+rD）。总之，这意味着投资者的融资成本将随着uC的增加而降低。7结论我们为两个风险交易对手之间交易的欧洲索赔价格开发了一个无套利估价框架。我们的分析考虑了对财政部的融资利差、therepo市场、抵押品服务成本和交易对手信用风险。我们推导出了与买方和卖方的XVA估值相关的无套利带，并表明在没有利率不对称的情况下，它会崩溃为唯一的XVA。该设置对应于Piterbarg0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90510152025α相对XVA（%）μC=0.16μC=0.21μC=0.26μC=0.310 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9的泛化-0.04-0.0200.040.060.08α股票μC=0.16μC=0.21μC=0.26μC=0.310 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0150.020.0250.030.0350.040.05交易者债券α股票μC=0.16μC=0.21μC=0.26μC=0.310 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02α交易对手债券份额μC=0.16μC=0.21μC=0.26μC=0.31图10：左上角：买方和卖方的XVA作为α的函数，用于不同的uC值。右上角：复制策略中的股票数量。左下角：复制策略中交易员的债券份额数量。

右下角：复制策略中交易对手债券份额的数量。这些策略指的是复制卖方XVA的投资组合。（2010）的模型，我们可以为其导出XVA的显式表达式。利用BSDE的PDE表示，我们进行了深入的数值研究，分析了XVA和相应复制策略对抵押水平、违约风险和借贷利率利差的敏感性。致谢作者感谢两位匿名推荐人的宝贵意见和建议，这些意见和建议对论文的改进做出了重要贡献。命题4.11的证明。证据首先，请注意，通过定理4.7中证明的等式XVA±t1l{t<τ}=ˇU±t1l{t<τ}，并使用非线性费曼-卡克定理（参见El Karoui e.a.，2008，定理3.2）），可以得出-fSeller的XVA：资金（$）买方的XVA：资金账户（$）0.08-0.0124-0.01230.1-0.0125-0.01220.15-0.0127-0.01220.2-0.013-0.0122表2：各列给出了与卖方的XVA和买方的XVA的复制策略相对应的资金账户中的美元头寸。我们设定uC=0.16.0.15 0.2 0.25 0.3 0.324681021416182022hCq相关XVA（%）α=0α=0.25α=0.75α=10.15 0.2 0.25 0.3 0.3-0.04-0.0200.020.040.060.08μC股票α=0α=0.25α=0.75α=10.15 0.2 0.25 0.3 0.30.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05μC交易对手债券α=0α=0.25α=0.75α=10.15 0.2 0.25 0.3 0.30.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02μC交易对手债券α=0α=0.01 25α=0.75α=1图11：左上：卖方的XVA作为α不同值的uC函数。右上角：复制策略中的库存共享数。左下：复制策略中交易员的债券份额数量。右下角：复制策略中对应债券的数量。

replicatingportfolio指卖方的XVA。XVA±t1l{t<τ}=XVA±（t，St），其中XVA±是-xva±t- rDsxva±s-σsxva±ss- 克±t、 xva±，σs（xva±s+^vs; ^v）=0，xva±（T，s）=0。在上述表达式中，^v=^v（t，s）表示索赔时间t的Black Scholes价格，当ST=s时，支付Φ（ST）。应用变量x=log（s）的变化，并设置u±（t，x）=xva±（t，ex），^w（t，x）=^v（t，ex），x∈ R、 暗示命题的第一部分。首先假设Φ是连续可微的，Φ和Φ是多项式增长的，即Φ（s）|≤ C（1+sn），|Φ（s）|≤ C（1+sn），适用于所有s∈ R> 0对于某些n>0。使用变换‘u±（t，x）=u±（t，x）1+e2nx，’w（t，x）=w（t，x）1+e2nx，’Φ（x）=Φ（ex）1+e2nx，（46）我们注意到‘u±满足柯西问题- \'u±t-σ′u±xx-（4n- 1） e2nx- 1.σ2（1+e2nx）+rD\'u±x-2rD+（2n- 1） σne2nx1+e2nx'u±=g±t、 \'u±，σ“u±x+2ne2nx1+e2nx”u±wx+2ne2nx1+e2nx”w;\'^w,\'u±（T，x）=0，（47）连同-\'^wt-σ′^wxx-（4n- 1） e2nx- 1.σ2（1+e2nx）+rD\'^wx-2rD+（2n- 1） σne2nx1+e2nx^w=-rD^w，^w（T，x）=Φ（x）。（48）上述转换保证了Φ和Φ都是有界的。然后，（47）、（48）的光滑（有界）解的存在性遵循Cannon（1984）中的定理20.2.1。如果Φ仅是分段光滑的，则可以按照Jouiniand Kallal（1995）的类似程序修改原始证明。因此，利用变量的变化（46），我们得出结论，柯西问题存在经典解（36）。命题5.1的证明。证据在没有默认值的情况下，BSDE（22）由以下公式给出-dXVAt=-rfXVAtdt+（rf- rc）α^Vtdt+（rr- rf）^Vtdt-ˇZtdWQtXVAT=0，鉴于卖方和买方的XVA由于价格的对称性而一致，我们省略了上标±。此外，我们使用了式（9）中给出的抵押品规格，以及rD=rr的假设。

上述BSDE包含以下完整代表-rftXVAt=-ZTt（Brfs）-1ˇZsdWQs+（rf- rc）αZTt（Brfs）-1^Vsds+（rr- rf）ZTt（Brfs）-1^VSD。（49）使用Clark-Ocone公式，我们可以通过Malliavin演算找到ˇzt（参见Nualart（1995）了解Malliavin导数的介绍）。我们有-rftˇZt=等式Dt公司ZTt公司BRF公司-1.α射频- 钢筋混凝土+ （rr- 射频）^VSD英尺,式中，dt表示Malliavin导数，可按dt计算ZTt公司BRF公司-1.α射频- 钢筋混凝土+ （rr- 射频）^VSD=ZTt公司BRF公司-1.α（rf- rc）+（rr- 射频）Dt^Vsds=ZTtBRF公司-1.α（rf- rc）+（rr- 射频）S^V（S，Ss）σSSD。（50）如上所述，我们使用了Malliavin演算的链式规则和众所周知的事实，即DtSs=σSsfor s>t。我们预计BSDE的ˇZ项将对应于“调整后的增量对冲”策略，如果所有利率相同，则恢复增量对冲策略。实际上，使用^的定义 式（41）中给出，式（50）中的Malliavin导数可写成 asDt公司...=α（rf- rc）+（rr- 射频）ZTtBrfs^sσSSD。因此，我们得到-rftˇZt=α（rf- rc）+（rr- 射频）ZTtBrfsσEQ^sSs公司英尺ds公司=α（rf- rc）+（rr- 射频）ZTtBrfsσBrrsEQh^sSsBrrsFTID=α（rf- rc）+（rr- 射频）ZTTBRRSBFSσ^tStBrrtds=α（rf- rc）+（rr- 射频）σStrr- rfBrrtBrrTBrfT公司-BrftBrft^t、 （51）其中我们使用了鞅性质EQ^sSsBrrs英尺=StBrrt^t、 事实上，从等式。

（41）并利用ST=BrrTBrrtSte这一事实-σ（T-t） +σ（WQT-WQt）（从（8）中得出），我们得出结论，stbrrt^t=StBrrtSEQ公司BrrtBrrTΦ（ST）英尺=StBrrtEQ公司Φ（ST）e-σ（T-t） +σ（WQT-WQt）英尺= 均衡器Φ（ST）STBrrT英尺= 均衡器^TSTBrrT公司英尺,在这里，我们通过积分符号下的微分来交换导数和期望值。考虑到我们正在计算高斯随机变量的平滑函数的期望值，这一点是合理的。我们注意到71z是平方可积的，因此（49）中的随机积分是真鞅。在积分表示（49）中使用这一事实并采用条件期望，我们可以为BSDE提供如下显式解决方案：XVAt=α（rf- rc）+（rr- 射频）ZTtBrftBrfuEQ^Vu英尺杜邦=α（rf- rc）+（rr- 射频）BrftZTte公司-（右前-rr）uEQBrru公司-1^Vu英尺杜邦=1.- αrf- rcrf- rr（右后）BrftBrrtBrrTBrfT-BrrtBrft！^Vt，在最后一步中，我们使用了折扣支付的鞅性质。这与直接调整后的公式（39）相对应。最后，等式（40）与（14）中的第一个恒等式位于（51）之后。命题5.3的证明。证据证明遵循与命题5.1相似的路线。在存在默认值和速率对称的情况下，XVA（27）的缩减BSDE变为-dˇUt=（右前- rc）α^Vt+（rr- rf）^Vt+Xj∈{I，C}（uj- rf）～θj（^Vt）dt公司- ηˇUtdt-ˇZ±tdWQt，ˇUT=0。（52）上述BSDE允许以下积分表示：e-ηtˇUt=-中兴通讯-ηsˇZsdWQs+ZTt（rf- rc）αe-ηs^Vsds+ZTt（rr- rf）e-ηs^Vsds+Xj∈{I，C}uj- 射频中兴通讯-ηs￠θj（^Vs）ds- ηZTte-ηsds。使用Clark-Ocone公式，我们可以通过Malliavin演算找到ˇzt。我们有-ηtˇZt=等式中兴通讯-ηsα（rf- rc）+（rr- 射频）Dt^Vsds英尺+ 均衡器Xj公司∈{I，C}（uj- rf）ZTte-ηsDt￠θj（^Vs）ds.它认为Dt^Vs=^sσSs。使用Nualart（1995）中的命题1.2.4和等式。

（23），我们得到dt？θC（^Vs）=LC（1- α） Dt公司^Vs-= LC（1- α） 1l{V<0}S^V（S，Ss）σSs，和dt|θI（^Vs）=-LI（1- α） Dt公司^Vs+= -LI（1- α） 1l{V>0}S^V（S，Ss）σSs。由此，我们得到以下等式-ηtˇZt=α（rf- rc）+（rr- 射频）σZTte-η序列^sSs公司英尺ds+（uC- rf）LC（1- α） 中兴通讯-η序列^s1l{^Vs<0}σSs英尺ds公司- （uI- rf）锂（1- α） 中兴通讯-η序列^s1l{^Vs>0}σSs英尺ds公司=α（rf- rc）+（rr- 射频）σZTte-ηsBrrsEQ^sSsBrrs英尺ds+（uC- rf）LC（1- α） σZTte-ηsBrrsEQ^s1l{V<0}SSBRR英尺ds公司- （uI- rf）锂（1- α） σZTte-ηsBrrsEQ^s1l{^Vs>0}σSsBrrs英尺ds公司=α（rf- rc）+（rr- 射频）σStBrrtrr- ηBrrTeηT-Brrteηt^t+（uC- rf）LC（1- α） σStBrrtrr- ηBrrTeηT-Brrteηt^T- （uI- rf）锂（1- α） σStBrrtrr- ηBrrTeηT-Brrteηt^t、 最后一步是通过η>rr这一事实来证明的。我们注意到'Z是平方可积的，因此（49）中的随机积分是真鞅。在积分表示（52）中使用这一事实，并取条件期望，它如下所示-ηtˇUt=ZTt（rf- rc）αe-ηsE^Vs英尺ds+ZTt（rr- rf）e-ηsE^Vs英尺ds+ZTte-ηs（uC- rf）LCEQ（（1- α） ^Vs）-英尺+ （uI- rf）LIEQ（1）- α） ^Vs+英尺ds公司=（右前- rc）α+（rr- 射频）中兴通讯-ηsBrrsEQBrrs-1^Vs英尺ds+（uC- rf）LCZTte-ηsBrrsEQBrrs-1（（1- α） ^Vs）-英尺ds公司- （uI- rf）LIZTte-ηsBrrsEQBrrs-1（（1- α） ^Vs）+英尺ds公司=（右前- rc）α+（rr- 射频）中兴通讯-ηsBrrsBrrt公司-1^Vt+（uC- rf）LCZTte-ηsBrrsBrrt公司-1.（1）- α） ^Vt-- （uI- rf）LIZTte-ηsBrrsBrrt公司-1.（1）- α） ^Vt+,其中，我们使用了折扣支付的鞅性质。因此，得出以下结论：Ut=（rr- rf）1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr^Vt+α（rf- rc）1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr^Vt+（uC- rf）LC1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr（1- α)^Vt-- （uI- rf）LI1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr（1- α)^Vt+,得到（32）并乘以指示符1l{τ>t}等式（42）。接下来，我们使用鞅表示定理计算股票中的hedgingstrategyξ。考虑库存复制策略ξ。

那么，股票投资具有动态性|ξtdSt=|ξtuStdt+|ξtσStdWt。根据H-filtration中的鞅表示定理，可以将每个半鞅唯一地分解为一个绝对连续的部分，一个布朗鞅和两个跳跃鞅。由此得出|ξtσStdWt=-ZtdWt。通过鞅表示的唯一性，可以得出|ξtσSt=-ZT，从而得出所声称的结果。类似的论点适用于债券策略。最后，公式（44）直接来自公式（32）中给出的xVat表达式。参考ST。Adrian、B.Begalle、A.Copeland和A.Martin。回购和证券借贷。Markus K.Brunnemeier和Arvid Krishnamurthy主编的《系统性风险度量》，Fortchoming，NBER conferencevolume，131–148。巴塞尔协议III：为更具弹性的银行和银行系统建立的全球监管框架。2010年。可访问www.bis。组织。M、 Bichuch、A.Capponi和S.Sturm。XVA的无套利定价–第一部分：框架和示例。2015年。工作文件可在http://ssrn.com/abstract=2554600.M.Bichuch、A.Capponi和S.Sturm。XVA的无套利定价–第二部分：PDE表示和数值分析。2015年。工作文件可在http://ssrn.com/abstract=2568118.T.Bielecki和M.Rutkowski。具有融资成本和抵押品的合同估值和对冲。暹罗J.Finan。数学61594-6552015年。T、 Bielecki和M.Rutkowski。信用风险：建模、估价和对冲。斯普林格，纽约州纽约市，2001年。A、 贝朗格、S·史莱夫和D·王。信用风险定价的一般框架。数学《金融》14317–350，2004年。R、 Blanco、S.Brennan和I.Marshan。投资级债券与信用违约掉期之间动态关系的实证分析。J、 《金融》杂志60，52255–22812005。D、 Brigo、A.Capponi和A.Pallavicini。

无套利双边交易对手风险评估欠融资和信用违约掉期的应用。数学财务24125–146，2014年。D、 Brigo和A.Pallavicini。在信贷、融资和错误方式风险下，对CCP清算或CSA双边交易进行非线性一致估值，初始保证金。J、 财务部。工程12014c。Burgard和M.Kjaer。在天平上。《风险》杂志，2011年11月，第72–75期，2011年。C、 Burgard和M.Kjaer。具有双边对等风险和融资成本的衍生品的偏微分方程表示。《信贷风险杂志》2011年第7、3、1–19期。C、 Burgard和M.Kjaer。融资成本、融资策略。《风险杂志》，2013年12月，82-87日，2013年。J、 R.Cannon。一维热方程。数学百科全书。应用程序。剑桥大学出版社，剑桥。1984年a。卡波尼。交易对手信贷风险的定价和缓解。摘自：《系统性风险手册》（J.P.Fouque，J.Langsam编辑），剑桥大学出版社，剑桥，2013年。S、 克雷佩伊。融资约束下的双边交易对手风险–第一部分：定价。数学《财务》2015年1月25日至22日。S、 克雷佩伊。融资约束下的双边交易对手风险–第二部分：CVA。数学《财务》2015年第25,23–50期。S、 克雷佩伊、T.R.比莱基和D.布里戈。交易对手风险和融资：两个谜团的故事。Chapmanand Hall/CRC，佛罗里达州博卡拉顿，2014S。克雷佩伊和S·宋。交易对手风险的BSDE。Stoc。过程。应用程序。125，第3023–30522015页。J、 Cvitani'c和I.Karatzas（1993年）。使用受限投资组合对冲或有权益。安。应用程序。问题。3652-6811993年。F、 Delbaen和W.Schachermayer。套利的数学。Springer Finance，柏林，2006年。五十、 德隆。带跳跃的倒向随机微分方程及其精算和财务应用：带跳跃的BSDE。Springer EAA系列，伦敦，2013年。R、 J.Elliott、M.Jeanblanc和M.Yor。违约风险模型。数学

财务10、2179–1952000年。N、 El Karoui、S.Hamadène和A.Matoussi。倒向随机微分方程及其应用。《差异定价：理论与应用》（R.Carmona，ed.），普林斯顿大学出版社，普林斯顿，2009年，第267–320N页。El Karoui、S.Peng和M.-C.Quenez。金融、数学中的倒向随机微分方程。《金融》第7期，1997年1月至71日。ISDA信贷支持附件（1992年）；ISDA抵押品从业人员指南（1998年）；ISDA信贷支持协议（2001）；ISDA结算金额协议（2009）；ISDA OTC衍生双边抵押实践市场回顾（2010年）。2013年场外衍生品共同流程最佳实践（2013年）。国际掉期和衍生品协会。可访问www.isda。2011年comISDA利润率调查。国际掉期和衍生品协会。可访问www.isda。2014年comISDA利润率调查。国际掉期和衍生品协会。可访问www.isda。comISDA 2015：压缩对利率衍生品市场的影响。国际掉期和衍生品协会。研究笔记。可用位置：https://www2.isda.org/functional-areas/research/research-notes.E.Jouini和H.Kallal。有卖空限制的证券市场中的套利。数学财务5197232195年。R、 科恩。不同利率市场中的未定权益估值。数学冰毒。操作。1995年第42255–274号决议。F、 墨丘里奥。不同的费率，不同的价格。《风险》杂志，2014年1月，2014年100-105日。T、 Nie和M.Rutkowski。融资成本和担保下的公平且可盈利的双边价格。工作文件，2013年。预印本可在http://arxiv.org/pdf/1410.0448v1.pdfD.努亚拉特。Malliavin微积分和相关主题。斯普林格，纽约，1995年。D、 Nualart和W.Schoutens。

Lévy过程的倒向随机微分方程和Feynman-Kac公式及其在金融中的应用。伯努利7，5761–7762001。A、 Pallavicini、D.Perini和D.Brigo。融资、抵押品和对冲：揭示融资估值调整的机制和微妙之处。2012年。预印本可在http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2161528.E.帕杜克斯。半线性偏微分方程的弱收敛和均匀化。中：非线性分析、微分方程和控制。北约科学系列C：数学和物理科学528503–5491999。五、 皮特堡。贴现以外的融资：抵押品协议和衍生品定价。《风险》杂志，2010年2月，第97–102期。