无套利XVA - 外文文献专区

2022-5-25 13:09:58

无套利XVAMaxim Bichuch*Agostino Capponi+Stephan Sturm2016年8月10日摘要我们开发了一个计算Europeanclaim总估值调整（XVA）的框架，该框架考虑了融资成本、交易对手信用风险和抵押。基于noarbitrage参数，我们推导了与索赔中多头和空头头寸的复制投资组合相关的反向随机微分方程（BSDE）。这导致买方和卖方的XVA定义，进而确定无套利区间。在借贷利率一致的情况下，我们提供了唯一XVA的完全明确表达式，表示为交易债权价格的百分比，以及相应的复制策略。在非对称融资、回购和抵押品利率的一般情况下，我们研究了描述买方和卖方XVA的半线性偏微分方程（PDE），并证明其存在唯一的经典解。为了说明我们的结果，我们进行了一项数值研究，说明融资成本、回购利率和交易对手风险如何决定总估值调整。关键词：XVA、交易对手信用风险、融资利差、反向随机微分方程、无套利估值。数学学科分类（2010）：91G40、91G20、60H10JEL分类：G13、C321简介在管理投资组合时，交易员需要筹集现金，以便为多项业务融资。这些措施包括维持头寸对冲、过账抵押品资源以及支付所收到抵押品的利息。此外，交易者需要考虑由于其自身或其交易对手的违约，仓位可能会提前清算，从而导致平仓程序产生额外成本。

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2022-5-25 13:10:01

现金资源由交易员的资金部门提供给交易员，并且必须获得报酬。如果他在借款，将根据当前利率向他收取利息*电子邮件：mbichuch@jhu.edu，约翰·霍普金斯大学应用数学与统计系+电子邮件：ac3827@columbia.edu，哥伦比亚大学工业工程与运筹学系电子邮件：ssturm@wpi.edu，伍斯特理工学院数学科学系。这篇文章包含了同一作者的两篇永久性工作论文：“XVA的无套利定价——第一部分：框架和明确示例”，以及“XVA的无套利定价——第二部分：PDE表示和数值分析”。这些文件可访问http://arxiv.org/abs/1501.05893和http://arxiv.org/abs/1502.06106分别地市场状况以及他自己的信用质量。这种利率通常高于交易者将其投资策略产生的超额现金收益借给其国库的利率。借贷利率之间的差异也被称为融资利差。尽管在这种利率不对称的情况下，复制定价仍然可以发挥作用，但经典的Black-Scholes公式不再给出索赔的价格。在没有违约风险的情况下，fewstudies致力于在不同利率的市场中定价和对冲索赔。Korn（1995）考虑了借贷利率高于借贷利率的市场中的期权定价，并得出了买方和卖方均可接受的价格区间。Cvitani'c和Karatzas（1993）考虑了在组合约束下对冲未定权益的问题，允许借贷利率高于贷款利率。El Karoui等人。

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2022-5-25 13:10:04

（1997）通过非线性倒向随机微分方程（BSDE）研究利率不对称下或有权益的超级套期保值价格。上述研究未考虑交易对手信用风险对衍生证券估值和合规性的影响。巴塞尔委员会（Basel III（2010））为场外交易市场的双边交易制定的一套新规则要求在确定市场衍生品头寸时考虑违约和融资成本。这引发了越来越多的文学作品，下面将对其中一些作品进行调查。Crépey（2015a）和Crépey（2015b）引入了BSDE方法来评估交易对手信用风险，同时考虑到资金限制。他将交易价值分解为三个独立的组成部分，即合同（场外衍生品组合）、用于对冲组合市场风险和交易对手信用风险的对冲资产，以及为对冲策略融资所需的融资资产。Brigo and Pallavicini（2014）和Brigoet al.（2012）通过考虑交易对手信用风险、融资和抵押品服务成本，推导出风险中性定价公式，并提供相应的BSDE表示。Piterbarg（2010）推导出了衍生工具合同价格的封闭式解决方案，该解决方案区分了融资、回购和抵押品利率，但忽略了交易对手违约的可能性。此外，他假设借贷利率相等，这一假设后来被Mercurio（2014a）放宽。Burgard和Kjaer（2011a）以及Burgard和Kjaer（2011b）概括了Piterberg（2010）的模型，以包括交易员及其交易对手的违约风险。他们通过复制方法推导衍生工具价格的PDE表示，假设衍生工具价格没有套利且充分平滑。

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2022-5-25 13:10:07

Bielecki和Rutkowski（2014）开发了一个一般半鞅市场框架，并推导了与自我融资交易策略相关的财富过程的BSDE表示，该策略复制了无违约索赔。正如Piterbarg（2010）所述，他们没有考虑交易对手的信用风险。Nie和Rutkowski（2013），研究公平双边价格的存在性。Crépey等人（2014年）对当前文献进行了很好的概述。在本文中，我们介绍了一个估价框架，该框架允许我们量化欧洲类型索赔的总估价调整（缩写为XVA）。我们考虑一个基础投资组合，包括一支无违约股票和两支由交易员的公司及其交易对手承销的风险债券。股票买卖通过证券借贷市场融资。我们允许国债借贷利率、回购借贷利率以及抵押品接受者支付和抵押品提供者收到的利率之间存在不对称。我们推导了与交易债权中复制多头和空头头寸的投资组合相关的非线性BSDE，考虑到交易对手信用风险和违约时交换的平仓收益。由于利率不对称，无法（通过符号变化）直接从申请空头头寸的投资者处获得代表申请多头头寸的投资组合估值过程的BSDE。更具体地说，有一个无套利区间，可以通过买方和卖方的XVA来确定。我们表明，我们的框架恢复了Piterbarg（2010）提出的模型，并将其扩展到套期保值者及其交易对手可以违约的情况。

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2022-5-25 13:10:10

在这两种情况下，我们都可以以封闭的形式表示总的估价调整，以索赔公开价格的百分比表示。这从交易的融资成本和交易对手风险的角度解释了XVA，并对风险管理产生了影响，因为它促使银行压缩交易，以降低其借贷成本和交易对手信用风险（见ISDA（2015））。皮特堡设置的一个重要假设是速率是对称的。在不对称利率的情况下，封闭式表达式是不可用的，但我们仍然可以利用BSDE和相应的非线性偏微分方程之间的联系，从数字上研究融资利差、抵押品和交易对手风险如何影响总估值调整。在这方面，我们的研究从两个方向扩展了之前的文献。首先，我们对与产生XVA的非线性RBSDE相关的半线性偏微分方程进行了严格的研究。XVA PDE陈述的相关研究包括Burgard和Kjaer（2011a）以及Burgard和Kjaer（2011b），他们考虑了一个扩展的Black-Scholes框架，其中引入了两种公司债券，以对冲交易员及其交易对手的违约风险。他们在Burgard和Kjaer（2013）中概括了他们的框架，以包括并行缓解和评估不同融资策略的影响。其次，我们提供了一个综合的数字分析，它利用了先前建立的存在性和唯一性结果。我们发现，XVA对融资成本、回购利率和交易对手风险具有很强的敏感性。将买方和卖方的XVA视为抵押水平的函数，定义了一个无套利区间，其宽度随着资金利差和借贷回购利率之间的差异而增加。

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能者818

2022-5-25 13:10:15

随着头寸变得更加抵押，交易员需要为更大的头寸融资，XVA增加。如果交易者和交易对手债券的回报率高于复制平仓头寸所产生的融资成本，则买方和卖方的XVA都可能下降。本文的组织结构如下。我们在第2节中开发了该模型，并在第3节中介绍了replicatedclaim和collateral流程。在第4节中，我们分析了无套利估值和存在融资成本和交易对手风险的XVA（简称XVA）。第5节为XVA在借贷利率相同的情况下提供了明确的表述。当借贷利率不对称时，第6节进行了数值分析。第7节总结全文。一些技术结果的证明委托给附录。2模型我们考虑概率空间(Ohm, G、 P）足够丰富，以支持所有后续施工。这里，Pdenotes是物理概率度量。在本文中，我们将“I”称为投资者，将“traderor hedger”称为有兴趣计算总估值调整，将“C”称为交易中投资者的交易对手。背景或参考过滤包括除默认事件外的所有市场信息，并由所有（G，P）-空集增加，用F表示：=（Ft）t≥0、包含默认事件信息的过滤用H表示：=（Ht）t≥这两种过滤都将在论文的后半部分进行详细说明。我们用G表示：=（Gt）t≥0 GT给出的放大过滤：=英尺∨ Ht，由（G，P）-空集扩充。注意，由于空集对F的扩充，过滤G满足（G，P）-完备性和右连续性的通常条件；参见第2节。Bélanger等人。

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2022-5-25 13:10:19

（2004年）。我们区分通用工具和投资者专用工具，这取决于其估值是公共还是私人。私人估值基于贴现率，这取决于投资者的特定特征，而公共估值则取决于公开的贴现因子。在整篇论文中，我们将使用上标∧ 具体参考公开估价时。第2.1节介绍了环球证券。投资者专用证券在第2.2.2.1节通用工具中介绍。此类证券包括写有财务索赔的无违约股票，以及用于支持股票证券买卖的证券账户。此外，它还包括交易员发行的风险债券及其交易对手发行的债券。股票证券。我们让F：=（Ft）t≥0be（G，P）-标准布朗运动wp在测度P下产生的过滤增强。在物理测度下，股票价格的动态由dst=uStdt+σStdWPt给出，其中u和σ是常数，分别表示股票的升值率和波动性。安全帐户。与股票证券相关的借贷活动通过证券借贷或回购市场进行。我们不区分证券借贷和回购，但将它们都称为回购交易。我们考虑了两种类型的回购交易：安全驱动型和现金驱动型，另见Adrian et al.（2013）。证券驱动交易用于克服禁止“裸卖空”股票的规定，即禁止交易员出售其未持有且无法交割的股票。回购市场有助于克服这一问题，因为它允许交易员将现金借给回购市场的参与者，这些参与者将股票作为抵押品交给交易员。

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2022-5-25 13:10:22

交易者随后将以预先指定的金额在交易所返还股票抵押品，通常略高于原始贷款金额。因此，有效地，这种抵押贷款有一个利率，称为回购利率。现金出借人可以在交易所出售股票，然后在回购合同到期时回购并返还给现金借款人。我们在图1中说明了安全驱动事务的机制。另一种类型的交易是现金驱动的。这基本上是交易的另一方，当交易者想要在股票证券中持有多头仓位时，就会实施。在这种情况下，他从回购市场借入现金，用于购买作为贷款抵押品的股票证券，并同意稍后以略高的价格回购抵押品。抵押品原价与回购价格之间的差异决定了回购利率。由于贷款有抵押，回购利率将低于无抵押贷款的利率。回购合同到期时，当交易员从回购市场回购股票抵押品时，他可以在交易所出售。图2总结了现金驱动交易的详细信息。我们使用r+rto表示套期保值者在向回购市场贷款并实施卖空头寸时收取的利率。我们使用r-rto表示当他从回购市场借款并执行多头头寸时收取的利率。我们用Br+rand Br表示-r其漂移分别由r+rand r给出的回购账户-R

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2022-5-25 13:10:25

它们的动力学由DBR±rt=r±rBr±rtdt给出。出于未来目的，定义RRT：=Brrtψr= eRtrr（ψrs）ds，（1）TraderTreasury Desk（1）（6）股票市场（5）（4）回购市场（2）（3）r+r图1：证券驱动的回购活动：实线为购买/销售，虚线为借贷，虚线为到期利息；蓝线是现金，红线是股票。财政部向交易员借钱（1），交易员用这笔钱向回购市场借钱（2），然后依次接收抵押品（3）。他在市场上出售股票，有效地获得空头头寸（4）从交易中赚取现金（5），并用这笔交易向融资部门偿还债务（6）。作为一名现金出借人，他从回购市场以利率+利率收取利息。交易员和财政部之间没有利息支付，因为付款（1）和（6）相互抵消。式中，rr（x）=r-r1l{x<0}+r+r1l{x>0}。（2）这里，ψRt表示在时间t持有的回购账户股份数量。方程式（1）-（2）表示交易员在借贷ψr>0回购账户股份以实现短期出售时赚取利率r+r-ξ股票证券的份额，即ξ<0。同样，他必须支付利率r-伦特-ψr（ψr<0）通过将ξ>0股股票证券作为抵押品借入的回购账户股份。因为借贷交易是完全抵押的，所以总是需要ψrtBrrt=-ξtSt。（3）风险债券证券。让τi，i∈ {I，C}，是交易者和交易对手的默认时间。这些默认时间是具有恒定强度的指数分布随机变量hPi，i∈{I，C}，与过滤F无关。我们使用Hi（t）=1l{τI≤t} ，t≥ 0，表示i的defaultindicator进程。

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2022-5-25 13:10:29

默认事件过滤由H=（Ht）t给出≥0，Ht=σ（HIu，HCu；u≤ t）。这种默认模型是二元Cox过程框架的一个特例，众所周知，（H）假设（见Elliott et al.（2000））是适用的。特别地，这意味着非布朗运动wp也是G-布朗运动。我们引入了两种风险债券，由交易员I和其交易对手C承销，并在同一时间到期，零回收。我们通过Pland PC、TraderTreasury Desk（1）（6）股票市场（2）（3）回购市场（4）（5）r表示其价格过程-R图2：现金驱动回购活动：实线为购买/销售，虚线为借贷，虚线为到期利息；蓝线是现金，红线是股票。财政部向交易员（1）借钱，后者用这笔钱从股市（3）购买股票（2）。他将股票作为抵押品（4）从回购市场借款（5），并将其用于向融资部门偿还债务（6）。因此，交易者必须按照利率r支付利息-rto回购市场。交易员和财政部之间没有利息支付，因为付款（1）和（6）相互抵消。分别地对于0≤ T≤ T，i∈ {I，C}，其价格过程的动力学由dpit=uiPitdt给出- 矿井-dHit，Pi=e-uiT，（4）回报率ui。我们不允许债券在回购市场交易。考虑到风险债券的回购协议市场往往缺乏流动性，我们的假设受到了影响。我们还参考了Blanco等人的介绍性讨论。

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2022-5-25 13:10:33

（2005）指出，即使债券可以在回购市场上抛售，协议的期限通常也很短。在本文中，我们使用τ：=τI∧ τC∧ T表示交易到期日T、交易员和交易对手违约时间中最早的一个。2.2套期保值专用工具该类别包括套期保值者的资金账户和抵押品账户。资金账户。我们假设交易者以可能不同的利率从财政部借贷资金。用r+F表示套期保值者向财政部贷款的利率，并用r表示-他向银行借款的利率。我们用Br±F表示与这些融资利率相对应的现金账户，其动态由DBR±ft=r±fBr±ftdt给出。设ξftt时间t时融资账户的股份数。definebrft：=Brftξf）=eRtrf（ξfs）ds，（5），其中rf：=rf（y）=r-f1l{y<0}+r+f1l{y>0}。（6）方程式（5）-（6）表明，如果套期保值者在时间tξft的头寸为负值，则他需要为其头寸融资。他将以r利率向财政部借款-f、同样，如果套期保值者的头寸为正，他将以r+f的利率将现金金额借给财政部。抵押品流程和抵押品账户。抵押品的作用是减轻双方的对抗性风险敞口，即如果一方违约，另一方就交易索赔产生的潜在损失。并行过程C：=（Ct；t≥ 0）是一个适应F的过程。我们使用以下符号约定。如果Ct>0，则称套期保值者为抵押品提供者。在这种情况下，缔约方衡量套期保值者的正面风险敞口，因此要求套期保值者提供抵押品，以吸收套期保值者违约时产生的潜在损失。

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2022-5-25 13:10:38

反之亦然，如果Ct<0，则套期保值者被称为抵押品接受者，即，他衡量对手的正面风险敞口，因此要求她提供最佳抵押品。根据ISDA（2014）报告的数据，抵押品以现金的形式入账和接收，根据该数据，现金抵押品是最常用的抵押品形式。我们用r+C表示套期保值者收到的抵押品金额的利率，如果套期保值者已经过账了抵押品，即如果套期保值者是抵押品提供者，而r-cis如果套期保值人已收到抵押品，即如果他是抵押品接受者，则套期保值人支付的利率。利率r±C通常对应于美联储基金orEONIA利率，即分别对应于美国和欧元市场现金抵押品赚取的合同利率。我们用Br±C表示与这些抵押品利率相对应的现金账户，其动力学由DBR±ct=r±cBr±ctdt给出。此外，让我们定义rct：=Brct（C）=eRtrc（Cs）ds，其中rc（x）=r+c1l{x>0}+r-c1l{x<0}。设ψctt为交易员在时间t持有的抵押品账户brct的股份数。那么它必须持有ψctBrct=-Ct。（7）后一种关系意味着，如果交易者是t的抵押品接受者，即Ct<0，那么他已经购买了抵押品账户的股票，即ψCt>0。反之亦然，如果交易者在时间t是抵押品提供者，即Ct>0，则他已将抵押品账户的股份出售给其交易对手。在继续之前，我们在图3中设想了控制发生的整个流量的机制。根据ISDA（2014）（见其中的表3），现金占已交付抵押物总额的78%以上，这些数据在不同年份大体一致。

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2022-5-25 13:10:41

相反，政府证券仅占已交付抵押品总额的18%，而由风险较高资产组成的其他形式的抵押品，如市政债券、公司债券、股票或大宗商品，仅占略高于3%的一小部分。TraderTreasury Deskr+fr-fCashStock&回购市场股票-rr+rBond MarketBonds PI，PCcounterpartyCollater+cr-图3：交易：实线表示购买/销售，虚线表示借贷，虚线表示利息；蓝线是现金，红线是现金购买股票，黑线是现金购买债券。3重复索赔、平仓价值和财富过程我们采取了一位交易员的观点，他想在股票证券上复制欧洲式索赔。此类索赔由交易员通过场外交易从其交易对手处购买或出售，并受交易对手信用风险的影响。根据国际掉期和衍生品协会（ISDA）审查的市场惯例，索赔的平仓价值由估价代理决定，估价代理可能是一方或第三方。估价代理行通过使用贴现率rD计算衍生工具的布莱克-斯科尔斯价格来确定交易的损失价值。这种（公开可用的）贴现率使套期保值者能够引入一个由资产定义的估价指标Q，即在该指标下，所有证券都具有瞬时增长率rD。本节的其余部分组织如下。我们在第3.1节中给出了估价措施的详细信息。我们在第3.2节中介绍了要复制的索赔和抵押过程的估价过程。我们在第3.3节中定义了可接受策略的类别，并在第3.4.3.1节中指定了收尾程序。估值计量首先引入了违约强度模型。

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2022-5-25 13:10:44

在物理测度P下，交易对手的违约时间假设为具有恒定强度的独立指数分布随机变量hPi，i∈ {I，C}。然后它认为，对于每一个∈ {I，C}$I，Pt：=命中-Zt公司1.- HiuhPiduis a（G，P）-鞅。估价机构选择的与公开可用贴现率相关的估价指标Q等于P，由Radon Nikod'ym densitydQdP给出Gτ=erD-uσWPτ-（rD-u）2στuI- rDhPI公司HIτe（rD-uI+hPI）τuC- rDhPC公司HCτe（rD-uC+hPC）τ。我们还记得，uI和uC分别表示交易员和交易对手承销的债券的回报率。在Q下，风险资产的动态由dst=rDStdt+σStdWQt给出，（8）dPIt=rDPItdt- 矿井-d$I、Qt、dPCt=rDPCtdt- PCT-d$C，Qt，其中WQ：=（WQt；0≤ T≤ τ）是（G，Q）-布朗运动和$I，Q：=（$I，Qt；0）≤ T≤ τ）以及$C，Q：=（$C，Qt；0≤ T≤ τ）是（G，Q）-鞅。通过直接应用It^o的公式，可以从（4）中给出的各自价格过程中推断出上述Pit和Pctun在估值测度Q下的动态。应用Girsanov定理，我们得到以下关系：WQt=WPt+u-rDσt，$i，Qt=$i，Pt+Rt1.- Hiu（hPi- hQi）du。数量，hQi=ui- rD，i∈ {I，C}，是估价指标下namei的默认强度，假设为正。3.2重复索赔和抵押物规格或有索赔的价格过程θ∈ L(Ohm, 根据估价代理，要复制的FT，Q）由^Vθt给出：=e-rD（T-t）均衡器θ英尺.当从上下文中理解时，我们将去掉上标θ，只写^vt。在欧式期权的情况下，我们有θ=Φ（ST），其中Φ：R>0→ R是一个实值函数，表示权利要求的最终支付，因此^Vt=^V（t，St）。此外，对冲者必须为索赔提供抵押品。

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2022-5-25 13:10:48

与回购协议中使用的抵押品（通常是股票）不同，减轻交易对手信用风险的抵押品通常是现金。抵押品被选择为一方对另一方当前风险敞口过程的一小部分。如果套期保值者向其交易对手出售证券的欧洲看涨期权或看跌期权（那么他需要复制payoffΦ（ST），Φ≥ 0，并在T）时将其交付给交易对手），缔约方始终衡量对冲方的正风险敞口，而对冲方对交易对手的风险敞口为零。因此，交易者永远是抵押品提供者，而交易对手永远是抵押品接受者。根据对称推理，如果套期保值者从其交易对手处购买欧洲看涨期权或看跌期权（然后他将复制支付）-Φ（ST），Φ≥ 0，以对冲其头寸），那么他将始终是抵押品的接受者。如果交易者和交易对手在时间t之前均未违约，则抵押品流程由CT定义：=α^Vt1l{τ>t}=α^V（t，St）1l{τ>t}，（9），其中0≤ α≤ 1是抵押级别。当α=0对应于零抵押时，α=1表示完全抵押。抵押水平为行业特定水平，由ISDA按季度报告，例如见ISDA（2011），表3.3。在这里。我们的抵押品规则与Piterbarg（2010）不同，该规则假设抵押品与合同价值相匹配，包括融资成本、回购息差和抵押品。使用这种方法，套期保值者及其交易对手通常在其资金、回购或抵押品利率不同或使用不同模型来衡量信用风险的情况下，对公布的抵押品水平存在分歧。因此，两个交易对手需要进行谈判，以商定抵押品水平。

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2022-5-25 13:10:53

在我们的模型中，这是可以避免的，因为估价代理根据索赔的Black-Scholes价格确定抵押品要求，不包括融资和交易对手风险相关成本。3.3财富过程我们允许抵押品完全再抵押。这意味着抵押品接受者被授予使用抵押品金额的无限制权利，即他可以使用抵押品购买投资证券。这与ISDA的大多数附件一致，包括纽约附件、英语附件和日语附件。我们注意到，就现金抵押品而言，再抵押抵押品的百分比约为90%（见ISDA（2014）中的表8），因此在很大程度上支持了我们对全部抵押品再抵押的假设。正如Bielecki和Rutkowski（2014）所述，收到的抵押品可以被视为套期保值者交易策略的一个普通组成部分，尽管这仅适用于缔约方违约之前。我们用Vt（Д）表示套期保值者的财富过程，并强调如果他是抵押品接受者，那么他实际上可以使用（通过再抵押）。让^1：=ξt，ξft，ξIt，ξCt；T≥ 0, 其中，我们回顾ξt表示证券的股份数量，ξt表示融资账户中的股份数量，我们使用ξItan和ξCt分别表示时间t时交易对手债券和交易对手债券的股份数量。回顾等式（7），并用股份数量乘以相应证券价格来表示所有头寸，财富过程v（φ）由以下表达式vt（φ）给出：=ξtSt+ξItPIt+ξCtPCt+ξftBrft+ψrtBrrt- ψctBrct，（10）我们注意到回购账户的股份数量ψ和抵押品账户的股份数量ψcheldin分别由等式（3）和（7）唯一确定。定义3.1。

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2022-5-25 13:10:56

担保交易策略是自我融资，如果∈ [0，T]，它认为vt（φ）：=V（φ）+ZtξudSu+ZtξIudPIu+ZtξCudPCu+ZtξfudBrfu+ZtψrudBrru-ZtψcudBrcu，其中V（Д）=相对于初始禀赋。此外，我们对可接受策略的类别定义如下：定义3.2。可接受的交易策略集是作为F-可预测过程的一类给出的，如投资组合过程是从下面有界的，另见Delbaen和Schachermayer（2006）。2010年所有场外衍生品的平均抵押水平为73.1%。在不同的交易对手类型中，银行和经纪人的头寸抵押程度最高，约为88.6%。对非金融公司、主权ZF和超国家机构的风险敞口往往具有最低的抵押水平，达13.9%。3.4交易的成交价值ISDA场外衍生品抵押实践的市场审查，见ISDA（2010），第2.1.5节，声明存续方应评估因违约事件而终止的交易，并仅在使用可用抵押品减轻损失后才要求赔偿。在我们的研究中，我们遵循无风险平仓惯例，即当交易对手违约时，交易者按市值平仓。接下来，我们将描述如何在我们的框架中对此进行建模。用θ表示τ处复制投资组合的价值，我们记得τ已在第2节中定义。该值表示交易者必须持有的财富量，以便在交易终止时复制平仓收益。

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2022-5-25 13:11:00

它由θ=θ（τ，^V）：=^Vτ+1l{τC<τI}LCY给出-- 1l{τI<τC}LIY+=1l{τI<τC}θI（^Vτ）+1l{τC<τI}θC（^Vτ），（11），其中Y：=^Vτ- Cτ=（1- α） ^Vτ是违约索赔的价值，扣除已过账抵押物，我们确定θI（V）：=V- LI（（1- α） v）+，θC（v）：=v+LC（1- α）五）-, （12）其中，对于实数x，我们使用符号x+：=max（x，0）和x-:= 最大值（0，-x）。术语1l{τC<τI}LCY-源自抵押品缓解后的剩余CVA期限，而1l{τI<τC}LIY+源自DVA期限，另请参见Brigo et al.（2014）和Capponi（2013）了解更多详细信息。数量0≤ 李≤ 1和0≤ 信用证≤ 1分别是针对交易员和交易对手索赔的损失率。备注3.3。我们详细说明了为什么θ是交易终止时交易者需要复制的金额。假设交易者已经向交易对手出售了看涨期权（因此所有t的^V（t，St）>0）。这意味着交易者始终是抵押品提供者，对于所有t，Ct=α^V（t，St）>0，因为交易对手始终衡量对交易者的正面敞口。如果缔约方在索赔到期前首次违约，则交易员将通过向交易对手过账的抵押品，扣除欠交易对手的金额^V（τ，Sτ），并仅将剩余金额Y退还给交易对手。因此，他的交易策略必须产生与该金额相等的实际财富。由θ=^V（τ，Sτ）给出的上述收尾表达式表明，情况确实如此。由于交易对手已经持有抵押品，交易者只需将金额Y返回给她，这正是交易者在τ.4无套利估值和xVat的财富过程。本节的目标是找到在某种意义上无套利的payoffΦ（ST）衍生证券的估值。

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2022-5-25 13:11:03

在讨论无套利估值之前，我们必须确保基础市场不允许从套期保值者的角度进行套利（如（Bielecki and Rutkowski，2014，第3节）所述）。在基础市场中，交易员只能借入/出借股票、买入/卖出风险债券以及向融资台借入/出借。特别是，既不涉及衍生证券，也不涉及抵押过程。定义4.1。我们说，如果我们能够找到交易策略，市场（S、PI、PC）允许套期保值者进行套利=ξt，ξft，ξIt，ξCt；T≥ 0因此，如果初始资本x为非负≥ 对冲工具的0，表示对应的财富过程Vt（Д，x）T≥0，我们有PVτ（Д，x）≥ er+fτx= 1和PVτ（Д，x）>er+fτx> 如果市场不允许套期保值者对套期保值者初始资本x进行套利≥ 0，我们说从套期保值者的角度来看，市场是无套利的。只要从上下文中理解，我们将省略财富过程V（Д，x）中的参数x，Д或两者。在续集中，我们做出以下假设：假设4.2。不同利率之间存在以下关系：r+r≤ R-f、 r+f≤ R-f、 andr+f∨ rD<uI∧ uC.备注4.3。上述假设对于排除套利是必要的。条件rD<uI∧uc如第3.1节末尾所述，存在估值措施需要uc（hQi=ui- 风险中性违约强度必须为正）。如果，通过矛盾，r+r>r-f、交易员可以从融资台以r利率借入现金-fand将其以r+r的利率借给回购市场，同时持有该股票作为抵押品。这为交易者带来了一个肯定的胜利。同样，如果交易方可以从财政部以r的利率为其策略提供资金-f<r+f，这显然会导致套利。

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2022-5-25 13:11:07

条件r+f<uI（并在必要时加以修改）有一个更实际的解释：它排除了卖空交易员公司承销的债券并将其投资于融资账户的套利机会。接下来，我们将提供一个充分的条件，保证基础市场不存在套利。提案4.4。假设除假设4.2外，r+r≤ r+f≤ R-r、那么该模型不允许套期保值者对任何x进行套利≥ 我们注意到，在无违约证券的市场模型中，Bielecki和Rutkowski（2014）（提案3.3）以及Nie和Rutkowski（2013）（提案3.1）得出了借贷利率之间的类似不平等。鉴于我们的模型也考虑了交易对手风险，我们在借贷方和风险债券回报率之间施加了额外的关系。证据首先，观察在上述条件下，我们有rrψrt=r+rψrt1l{ψrt>0}+r-rψrt1l{ψrt<0}≤ r+fψrt1l{ψrt>0}+r+fψrt1l{ψrt<0}=r+fψrtrfξft=r+fξft1l{ξft>0}+r-fξft1l{ξft<0}≤ r+fξft1l{ξft>0}+r+fξft1l{ξft<0}=r+fξft接下来，可以方便地将财富过程写入通过随机指数PdP指定的适当测度P下Gτ=er+f-uσWPτ-（右+右）-u）2στuI- r+fhPIHIτe（r+f-uI+hPI）τuC- r+fhPCHCτe（r+f-uC+hPC）τ根据Girsanov定理，~P是P的等价度量，因此风险资产的动态由dst=r+fStdt+σStdWPt，dPIt=r+fPItdt给出- 矿井-d$I，~ Pt，dPCt=r+fPCtdt- PCT-d$C，P，其中W▄P：=（W▄P；0≤ T≤ τ）是（G，P）-布朗运动和$I，P：=（$I，Pt；0）≤ T≤ τ）以及$C，~P：=（$C，~Pt；0≤ T≤ τ）是（G，~P）-鞅。r+F贴现资产St：=e-r+ftSt，~坑：=e-r+Ftpit和▄PCt：=e-r+ftp因此是（G，~P）-鞅。

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2022-5-25 13:11:12

特别是，W▄P=WP+u-r+fσ和套期保值者及其交易对手在▄P下的违约强度由h▄Pi=ui给出- r+f，i∈ {I，C}，根据命题的假设，这是正的。表示与（St、PIt、PCt）t相关的财富过程≥0在基础市场中，byˇVt.利用自我融资条件，其动态由byˇVt给出=rfξftBrft+r+fξtSt+rrψrtBrrt+r+fξItPIt+r+fξCtPCtdt+ξtσStdWPt- ξItPIt-d$I，~磅- ξCtPCt-d$C，~磅=rfξftBrft+rrψrtBrrtdt+ξtdSt+ξItdPIt+ξCtdPCt。然后我们得到了ˋVτ（Д，x）-ˋV（Д，x）=Zτr+fξtSt+rfξftBrft+rrψrtBrrt+r+fξItPIt+r+fξCtPCtdt+ZτξtσStdWPt-ZτξItPIt-d$I，~磅-ZτξCtPCt-d$C，~磅≤Zτr+fξtSt+r+fξftBrft+r+fψrtBrrt+r+fξItPIt+r+fξCtPCtdt+ZτξtσStdWPt-ZτξItPIt-d$I，~磅-ZτξCtPCt-d$C，~Pt=Zτr+fˇV（x）dt+ZτξtσStdW ~Pt-ZτξItPIt-d$I，~磅-ZτξCtPCt-d$C，~磅。因此，如下所示-r+fτˇVτ（Д，x）-ˋV（Д，x）≤ZτξtdSt-ZτξItd▄坑--ZτξCtdPCt-.请注意，上述不等式的右侧是一个从下方有界的局部鞅（因为值过程从下方受可容许性条件的约束），因此是一个超鞅。考虑到预期，我们得出结论，EPE-r+fτˇVτ（Д，x）-ˋV（Д，x）≤ 0。因此ˋVτ（Д，x）=er+fτx= 1或￠PˋVτ（Д，x）<er+fτx> 0.由于▄P等于P，这表明在该模型中，套期保值者的套利机会被排除在外（套期保值者将通过以r+f的利率向财政部支付正现金金额x来获得er+fτx）。接下来，我们想从套期保值者的角度定义衍生证券无套利价格的概念。我们将假设套期保值者的初始资本为零，或者等效地，他没有可用于套期索赔直至到期的流动初始资本。因此，对冲组合将完全通过回购市场购买/出售股票和通过融资账户购买/出售债券来融资。

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2022-5-25 13:11:16

虽然我们的整个分析可能会扩展到非零初始资本的情况，但这样的假设将简化符号，并允许我们突出研究的关键方面。定义4.5。估价P∈ 具有终端支付功能的衍生证券的R∈ FTis称Edger的无套利if for allγ∈ R、为γP购买γ证券，并在市场上以不允许的策略和零初始资本进行套期保值，不会产生套期保值者的套利。在描述套期保值者的无套利估值之前，我们分析了财富过程的动力学。为了符号的简单性，我们将在估值度量Q下重写它。利用条件（3），我们从式（10）中得出=rfξftBrft+（rD- rr）ξtSt+rDξItPIt+rDξCtPCt- rcψctBrctdt+ξtσStdWQt- ξItPIt-d$I，Qt- ξCtPCt-d$C，夸脱=r+fξftBrft+- R-FξftBrft-+ （rD- R-r）ξtSt+- （rD- r+r）ξtSt-+ rDξItPIt+rDξCtPCtdt公司-R-CψctBrct+- r+cψctBrct-dt+ξtσStdWQt- ξItPIt-d$I，Qt- ξCtPCt-d$C，夸脱=r+fξftBrft+- R-FξftBrft-+ （rD- R-r）ξtSt+- （rD- r+r）ξtSt-+ rDξItPIt+rDξCtPCtdt公司+r+cCt+- R-CCt-dt+ξtσStdWQt- ξItPIt-d$I，Qt- ξCtPCt-d$C，夸脱。（13）设置Zt=ξtσSt，ZIt=-ξItPIt-, ZCt=-ξCtPCt-, （14）再次使用条件（3）和公式（10），我们得到ξftBrft=Vt- ξItPIt- ξCtPCt+ψctBrct=Vt- ξItPIt- ξCtPCt- Ct。（15）然后等式（13）中的动力学读数为DVT=r+fVt+ZIt+ZCt- Ct+- R-FVt+ZIt+ZCt- Ct-+ （rD- R-r） σZt公司+- （rD- r+r）σZt公司-- rDZIt公司- rDZCt+r+cCt+- R-CCt-dt+ZtdWQt+ZTD$I，Qt+ZCtd$C，Qt。我们接下来定义驱动因素+t、 v、z、zI、zC；^V:= -r+fv+zI+zC- α^Vt+- R-Fv+zI+zC- α^Vt-+ （rD- R-r） σz+- （rD- r+r）σz-- rDzI公司- rDzC+r+cα^Vt+- R-Cα^Vt-（16） f级-t、 v、z、zI、zC；^V:= -f级+T-五、-Z-zI，-zC；-^V, （17）这取决于市场估值过程^VtT≥0（通过抵押品C），我们省略了指标，因为我们只对违约前的对冲感兴趣。

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2022-5-25 13:11:20

尤其是f±：Ohm ×[0，T]×R，（ω，T，v，z，zI，zC）7→f±t、 v、z、zI、zC；^V是BSDE的驱动因素，如推论4.8所示，它承认独特的解决方案。此外，确定V+、γ和V-,γ作为BSDE的溶液-dV+，γt=f+t、 V+，γt，Z+，γt，ZI，+，γt，ZC，+，γt；^Vdt公司- Z+，γtdWQt- ZI，+，γtd$I，Qt- ZC，+，γtd$C，Qt，V+，γτ=γθI（^Vτ）1l{τI<τC∧T}+θC（^Vτ）1l{τC<τI∧T}+θ1l{τ=T}. （18）以及-dV-,γt=f-电视-γt，Z-,γt，ZI，-,γt，ZC，-,γt；^Vdt公司- Z-,γtdWQt- ZI，-,γtd$I，Qt- ZC，-,γtd$C、Qt、V-,γτ= γθI（^Vτ）1l{τI<τC∧T}+θC（^Vτ）1l{τC<τI∧T}+θ1l{τ=T}. （19）我们注意到，V+，γ描述了当复制γ>0的索赔γ时的财富过程（HenceHedgeing the position after sellγsecurities with terminal payoffθ），初始资本为零。另一方面，-五、-,γt描述复制索赔时的财富过程-γθ，γ>0（HenceHedgeting the position after Buildingγsecurities with terminal Payoffθ），初始资本为零。注意驱动因素f+和f的正同质性-在BSDE（18）和（19）中，考虑γ=1的情况就足够了。为了简化符号，我们设置V+，1t=V+和V-,1t=V-t、我们还注意到，这两个BSDE本质上是相关的：（V-, Z-, ZI，-, ZC，-) 是数据的解决方案F-, θI（^Vτ）1l{τI<τC∧T}+θC（^Vτ）1l{τC<τI∧T}，θ当且仅当(-五、-, -Z-, -ZI，-, -ZC，-) 是数据的解决方案f+，θI(-^Vτ）1l{τI<τC∧T}+θC(-^Vτ）1l{τC<τI∧T}，-θ.我们的目标是计算总估价调整XVA，该调整需要添加到索赔的BlackScholes价格中，以获得实际估价。正如我们所看到的，这种情况对于买卖估价是不对称的，因此我们必须从卖方和买方的角度对其进行界定。定义4.6。卖方的XVA是G-适应随机过程（XVA）t≥0定义asXVA+t：=V+t-^Vt（20），而买方的XVA定义为XVA-t： =V-T-^Vt。

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2022-5-25 13:11:23

（21）XVA+量化交易员对冲期权多头头寸所产生的总成本（包括抵押品、融资和交易对手风险相关成本），而XVA-量化对冲空头头寸时产生的总成本。正如我们将在第5.1节中看到的，只有当BSDE的驱动程序是线性的时，这两个XVA才一致。注意到代理行的估价过程满足Black-Scholes BSDE-d^Vt=-rD^Vtdt-^ZtdWQt，^VT=θ，这是公认的唯一解决方案，我们可以立即获得XV a的BSDE±：-dXVA±t=~f±t、 XVA±t、~Z±t、~ZI、±t、~ZC、±t；^Vdt公司-Z±tdWQt-~ZI，±td$I，Qt-~ZC，±td$C，Qt，XVA±τ=~θC（^Vτ）1l{τC<τI∧T}+℃θI（^Vτ）1l{τI<τC∧T}，（22）带▄Z±T：=Z±T-^Zt，^ZI，±t=ZI，±t，^ZC，±t=ZC，±t，^θC（^v）：=LC（（1- α） ^v）-,θI（^v）：=-LI（（1- α） ^v）+、（23）和f+t、 xva、~z、~zI、~zC；^V: = -r+fxva+～zI+～zC+（1- α） ^Vt+- R-Fxva+～zI+～zC+（1- α） ^Vt-+ （rD- R-r） σ▄z+- （rD- r+r）σ▄z-- rDzI- rDzC+r+cα^Vt+- R-Cα^Vt-+ rD^Vt，（24）~f-t、 xva、~z、~zI、~zC；^V: = -f+T-xva，-z，-zI，-zC；-^V. （25）注意，将（16）与（24）和（17）与（25）进行比较，我们可以看到▄f±（t，v，▄z，▄zI，▄zC；^v= f±（t，v+^v，^z，^zI，^zC；^v+ rD^v.（26）接下来，我们可以应用Crépey和Song（2015）开发的缩减技术，找到一个连续的BSDE来描述违约前的XVA。定理4.7。BSDEs-dˇU±t=ˇg±t、 ˇU±t，ˇZ±t；^Vdt公司-过滤F和过滤g时，Z±tdWQtˇU±T=0（27）+t、 ˇu，ˇz；^V:= hQI公司θI（^Vt）- ˇu+ 寰球公司ИθC（^Vt）- ˇu+f+t、 ˇu，ˇz，￠θI（^Vt）- ˇu，￠θC（^Vt）- ˇu；^V（28）_g-t、 ˇu，ˇz；^V:= -_g+T-ˇu，-ˇz；-^V, （29）承认独特的解决方案ˇU±，ˇZ±, 与独特的解决方案相关XVA±、~Z±、~ZI、±、~ZC、±BSDE（22）通过以下关系。一方面，U±t：=XVA±t∧τ-,ˇZ±t：=ˇZ±t1l{t<τ}，是简化BSDE（27）的解，另一方面是完整XVA BSDE的解，由等式给出。

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2022-5-25 13:11:28

（22）由xva±t给出：=ˇU±t1l{t<τ}+θC（^VτC）1l{τC<τI∧T}+℃θI（^VτI）1l{τI<τC∧T}1l{t≥τ} ，~Z±t：=ˋZ±t1l{t<τ}，~ZI，±t：=θI（^Vt）-ˇU±t1l{t≤τ} ，~ZC，±t：=ИθC（^Vt）-ˇU±t1l{t≤τ} 。证据由于方程（27）是具有Lipschitz驱动的连续BSDE，存在性和唯一性是经典的（参见，例如，（El Karoui et al.，1997，定理2.1））。完整G-BSDE和简化F-BSDE的等效性如下（Crépey and Song，2015，定理4.3）：在我们的情况下，我们不改变概率度量，因此条件（A）满足（H）-假设（注意，条件（B）在我们的上下文中也成立）。条件（J）基本满足，因为终端条件不依赖于辅助过程▄Z、▄zc和▄ZI。最后，通过关于F和G的鞅表示定理（见（Bielecki和Rutkowski，2001，第5.2节）），Crépey和Song（2015）中考虑的鞅问题和本文中考虑的实际BSDE具有相同的唯一解。V±的原始BSDE解的唯一性及其在过滤中的预测版本来自于XVA的定义：推论4.8。BSDE（18）和（19）都有独特的解决方案。这些解决方案与独特的解决方案相关\'U±，\'Z±BSDE的-d’U±t=g±t、 \'U±t，\'Z±t；^Vdt公司-过滤F中的“Z±tdWQt”U±T=θ（33）和G+t、 \'u，\'z；^V:= hQI公司θI（^Vt）- \'\'u+ 寰球公司θC（^Vt）- \'\'u+ f级+t、 \'u，\'z，θI（^Vt）- \'u，θC（^Vt）- \'\'u；^VG-t、 \'u，\'z；^V:= -g级+T-\'\'u，-\'\'z；-^V,通过以下关系。一方面，U±t：=V±t∧τ-,\'Z±t：=Z±t1l{t<τ}是简化BSDE（33）的解，而另一方面，方程（18）和（19）给出的完整BSDE的解是V±t：=\'U±t1l{t<τ}+θC（^VτC）1l{τC<τI∧T}+θI（^VτI）1l{τI<τC∧T}1l{t≥τ} ，Z±t：=？Z±t1l{t<τ}，ZI，±t：=θI（^Vt）-\'U±t1l{t≤τ} ，ZC，±t：=θC（^Vt）-\'U±t1l{t≤τ} 。备注4.9。

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2022-5-25 13:11:31

我们讨论了如何从上述结果中获得XVA过程的复制策略。我们使用颚化符（e）表示复制XVA过程的策略（例如，分别为ξ、ξI、ξCdenote，用于复制XVA的股票、交易员和交易对手债券的数量）。这使我们能够将它们与用于复制索赔价格过程VT的策略区分开来。从鞅表示定理和股票价格的动力学（另见命题5.3证明末尾的讨论），可以得出如下结论：|ξ±t=|Z±tσSt1l{t<τ}，|ψr，±t=-Иξ±tStBrrt1l{t<τ}。根据定理4.7以及方程式（14）和（23），可以得出|ξI，±t=-ZI，±tPIt-= --LI（（1- α） ^Vt）+-ˇU±tPIt-1l{t≤τ} ，￠ξC，±t=-ZC，±tPCt-= -LC（（1- α） ^Vt）--ˇU±tPCt-1l{t≤τ} 。从方程式（9）和（7）可以得出|ψct=-α^VtBrct1l{τ>t}。最后，从式（15）中，（用XV A±t+^Vt替换V±twi），我们得到ξf，±t=V±t-^Vt- ξItPIt-- ξCtPCt--α^VtBrft1l{τ>t}=LC（（1- α） ^Vt）-- LI（（1- α） ^Vt）++ˇU±t- α^VtBrft1l{τ>t}，其中，在上一个方程中，我们使用了方程（21）和（20）中的XVA±t定义，以及XVA±t=71u±t集{τ>t}。接下来，我们分析了在哪些条件下，通过求解BSDE得到的估值是无套利的。定理4.10。设Φ是多项式增长的函数。假设r+r≤ r+f≤ R-r、 r+f≤ R-f、 r+f∨ rD<uI∧ uC，（34）andr+C∨ R-C≤ R-F≤ uI∧ uC.（35）如果V-≤ V+，其中V+和V-是BSDE（18）和（19）解决方案的第一个组成部分，则存在估值πsup和πinf，πinf≤ πsup，对于期权θ=Φ（ST），使得封闭区间内的所有价值【πinf，πsup】都不受套期保值者的套利。所有严格大于πsup且严格小于πinf的估值都为套期保值者提供了套利机会。特别地，我们有πsup=V+和πinf=V-.证据

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2022-5-25 13:11:34

首先，请注意，根据（34）中的条件，基础市场模型没有Edger套利。接下来，我们注意到，交易员可以使用初始资本V+作为Φ的多项式增长，通过terminalpayo fffθ=Φ（ST）完美对冲短期看涨期权头寸∈ L(Ohm, 英尺，P）。因此，很明显，P>V+的任何值都不是无套利的，因为我们可以出售该值的期权，使用V+对冲索赔并存入P- 资金账户中的V+。使用相同的价格，我们可以得出结论，购买任何价值P<V的期权-将导致套利。第二，通过矛盾假设估价P≤ 出售期权时，V+将导致套利。这意味着，从初始资本P开始，交易者可以完美地用终端支付对冲索赔∈ FT，其中θ≥ θ=Φ（ST）a.s.和P[θ>θ]>0。同于hQj=uj- rD，j∈ {I，C}，我们有g+（t，\'u，\'z；^Vθt）- g+（t，\'u，\'z；^Vθt）=hQIθI（^Vθt）- θI（^Vθt）+ 寰球公司θC（^Vθt）- θC（^Vθt）+R-F- r+fθI（^Vθt）+θC（^Vθt）- \'\'u- α^Vθt+-θI（^Vθt）+θC（^Vθt）- \'\'u- α^Vθt+- R-FθI（^Vθt）- θI（^Vθt）+θC（^Vθt）- θC（^Vθt）- α^Vθt-^Vθt+ 研发部θI（^Vθt）- θI（^Vθt）+θC（^Vθt）- θC（^Vθt）+ αr-C（^Vθt）-- （^Vθt）-- αr+c^Vθt+-^Vθt+≥uI- R-FθI（^Vθt）- θI（^Vθt）+uC- R-FθI（^Vθt）- θI（^Vθt）+ αR-F- （r+c∨ R-c）^Vθt-^Vθt≥ 为了推导第一个不等式，我们使用了-F- r+fis正极。这可以从θI（^Vθt）+θC（^Vθt）以下的直接计算中直接看出- α^Vθt=（1- α）（1）- LI）^Vθt+- （1）- α）（1+LC）^Vθt-≥（1）- α）（1）- LI）^Vθt+- （1）- α）（1+LC）^Vθt-= θI（^Vθt）+θC（^Vθt）- 为了推导最后一个不等式，我们使用了（35）。

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2022-5-25 13:11:38

因此，我们可以将F BSDEs的比较原理（El Karoui et al.，1997，定理2.2）应用于“U”，然后注意到θ≥ θ意味着^Vθt≥^Vθt，这反过来导致收尾项之间的以下不等式：θC（^Vθt）≥ θC（^Vθt）和θI（^Vθt）≥ θI（^Vθt）（其定义也见等式（12））。因此，Vθt≥ Vθ和特别是P>V+（使用严格的比较，即P=Vimpliesθ=a.s.），与我们的假设相矛盾。通过使用对称参数，可以得出P≥ 五、-. 因此，如果V-≤ V+，我们可以得出以下结论：【πinf=V】区间内的所有估值-, V+=πsup]是无套利的，而如果V-> V+。我们注意到，无套利区间的宽度可以根据索赔的估价和XVA asXVA来描述+- XVA公司-= 五+- 五、-= πsup- πinf。简化的BSDE还使我们能够使用基于非线性Feynman-Kac公式的经典参数，为θ=Φ（ST）的情况提供PDE表示。我们在以下命题中提供了此类陈述，其证明见附录。提案4.11。二维半线性Cauchy问题-u±t+Lu±=g±t、 u±，σ（u±x+^ux）；^u, u±（T，x）=0，- ^wt+L^w=-rD^w，^w（T，x）=Φ（ex），（36），其中微分算子L定义为：=-研发部-σ十、-σxx，承认唯一的粘度解u±并认为u±（t，log（St））=XVA±t1l{t<τ}。此外，如果Φ是分段连续可微分的Φ，且Φ（如定义）具有最多多项式增长，则柯西问题（36）具有经典解。备注4.12。从BSDE（18）（或（19））到PDE（36）的转换是通过将G-BSDE投影到F-BSDE，然后对其应用Feynman-Kac公式得出的。

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