SSVI切片的鲁棒校正和无套利插值

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收藏 2022-06-09

英文标题：
《Robust calibration and arbitrage-free interpolation of SSVI slices》
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作者：
Pierre Cohort, Jacopo Corbetta, Claude Martini and Ismail Laachir
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
We describe a robust calibration algorithm of a set of SSVI slices (i.e. a set of 3 SSVI parameters $\\theta, \\rho, \\varphi$ attached to each option maturity available on the market), which grants that these slices are free of Butterfly and Calendar-Spread arbitrage. Given such a set of consistent SSVI parameters, we show that the most natural interpolation/extrapolation of the parameters provides a full continuous volatility surface free of arbitrage. The numerical implementation is straightforward, robust and quick, yielding an effective, parsimonious solution to the smile problem, which has the potential to become a benchmark one.
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中文摘要：
我们描述了一组SSVI切片的稳健校准算法（即一组附加于市场上每个可用期权到期日的3个SSVI参数$\\θ、\\rho、\\varphi$），这使得这些切片不存在蝴蝶和日历价差套利。考虑到这样一组一致的SSVI参数，我们表明，参数最自然的内插/外推提供了一个完全连续的无套利波动率曲面。数值实现简单、健壮、快速，为微笑问题提供了一个有效、节约的解决方案，有可能成为一个基准。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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Robust_calibration_and_arbitrage-free_interpolation_of_SSVI_slices.pdf
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mingdashike22

2022-6-9 22:23:53

SSVI切片的鲁棒校准和无套利插值*1，Pierre队列+1，Ismail Laachir1，和Claude Martini§1Zeliade Systems，56 rue Jean-Jacques Rousseau，Paris，FranceMarch 5，2019我们描述了一组SSVI成熟度切片的稳健校准算法（即一组3个SSVI参数θt，ρt，νt，与市场上可用的每个选项成熟度t相连），这使得这些切片不含黄油和日历价差套利。考虑到这样一组一致的SSVI参数，我们表明，参数的最自然的插值/外推提供了一个完整的连续波动率表面，无需套利。数值实现简单、健壮、快速，为微笑问题提供了一个有效且节约的解决方案，有可能成为一个基准问题。我们感谢Antoine Jacquier和Stefano De Marco的有益讨论和发言。所有的幸存者都是我们的。1简介：xSSVI familyGatheral于2004年启动了基于随机波动率的波动率微笑参数模型，即给定到期日总方差的5参数公式。Gathereal的灵感来源于几何学，与Roger Lee的矩公式有关，也与他对Heston等随机波动性模型产生的微笑的体验有关。SVI在实践中表现得非常好，甚至很难找到SVI失败的情况（Fabien Le Floch在他的博客上提供了这样一个例子[2]）。尽管简单，SVI的校准并不简单，Zeliade有一份白皮书，其中有一个重新参数化的技巧，robusti在很大程度上简化了过程（参见。

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能者818

2022-6-9 22:23:56

[10]; Stefano De Marco\'sPhD论文[11]中提供了更详细的计算。SVI遗漏了两个重要特征：它没有对整个波动率表面进行建模，并且SVI参数没有已知条件，因此没有套利（即使是可处理的有效条件）。然后是SSVI：2010年前后，许多团队致力于为整个波动率表面制作一个类似SVI的模型，唯一成功的是Jim Gatherel和Antoine Jacquier对，他们设计了表面SVI模型，该模型具有SVI遗漏的两个特征（参见[7]）。SSVI（这可能看起来是自然的）由ATM（正向）总方差曲线θt参数化，因此它将自动完美地拟合ATMF点、常数相关参数ρ（应起杠杆参数的作用）和曲率曲线Д：w（k，θt）=θt1+ρД（θt）k+p（Д（θt）k+ρ）+（1- ρ)(1)*jacorbetta@zeliade.com，通讯作者+pcohort@zeliade.comilaachir@zeliade.com§cmartini@zeliade.comEachsmile只有3个参数，Gatheral和Jacquier已经获得了明确且易于处理的条件，以排除黄油套利：θtД（θt）≤1+|ρ|（2）θtД（θt）≤1+|ρ|（3）此外，没有提供必要且有效的日历排列条件。SSVI在实践中运行良好，其标定比SVI更容易。然而，在到期日期间保持相关性不变的事实降低了投资质量。Sebas Hendriks（代尔夫特大学Kees Osterlee的学生，在Zeliade的硕士实习期间）和Claude Martini解决了这个问题（参见【8】）：他们设法获得了简单的必要和有效的条件，以确保连接到不同温度的2个SSVI切片的一致性；此类条件不适用于SVI微笑。

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何人来此

2022-6-9 22:23:59

SSVI切片是指给定成熟度下的SSVI参数化，其自身的相关参数可能取决于成熟度。对于连续时间内不存在日历利差套利的条件，相应的扩展SSVI（eSSVI）模型将SSVI扩展为与到期日相关的ρ（θt）。还得到了相关关系的显式表示公式，可以方便地对相关曲线进行具体的低维参数化。给出了一些幂律型的例子。尚未研究eSSVI的有效校准，这是本说明的目的。我们分两步进行，每一步都有自己的兴趣：1。我们根据市场上可用的到期日对SSVI（相当于eSSVI）切片进行校准，以确保不存在黄油期货和日历价差套利，使用非常稳健的校准算法，该算法不使用一维布伦塔算法以外的任何黑盒优化器。2、我们证明了切片参数最简单的插值/外推方案是无套利的。这是eSSVI的一个意外和非凡的特性。因此，我们获得了一个校准到市场的连续时间无套利eSSVI模型。在结论中，我们讨论了该方案的优点，我们认为该方案是（迄今为止）解决微笑问题的最快速、最廉价的方法（虽然不是完美的，但在许多情况下，但在要求最高的情况下，其准确性非常高）。请注意，eSSVI方法是无模型的，因为它不是从指定基础的动态开始，然后计算无套利价格，最终计算相应的隐含波动率面：它直接处理隐含波动率面。

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mingdashike22

2022-6-9 22:24:02

从这个意义上讲，Lee（参考文献[6]）中的结果不能直接应用；这些类型的结果最初启发了SVI模型和SSVI曲面参数化（它们的名字来自哪里）。2星形校准算法2.1锚定无黄油自由裁量的SSVI切片我们算法中的关键成分是SSVI切片的重新参数化，它限制切片通过数据点（k*, θ*) 最接近ATM（远期），其中k表示对数远期货币，θ表示总隐含方差。从那里，单词锚定在章节标题中。这种重新参数化假设此范围内的数据非常可靠，这至少对于不太长期的索引选项来说是正确的。所以我们改变了参数：θ将用参数ρ，Д和这个新的数据驱动（k）来表示*, θ*) 一对一阶时，求解θ*= w（k*, θ）仅等于θ=θ*- ρθИk*.

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kedemingshi

2022-6-9 22:24:05

我们还将一个新参数ψ替换为乘积θД，这样最终我们的锚定微笑（锚定到（k*, θ*)) 由一对（ρ，ψ）参数化，θ由公式θ=θ给出*- ρψk*.这种锚定技巧可以被视为Gathereal和Jacquier最初读取市场上ATM正向波动率的想法的一个补充（因此，将其作为一个参数）：它避免了市场数据的预处理步骤，该步骤通过插值从可用的括号中计算θ，这会带来一些噪音，或者将θ作为一个额外的参数进行校准，这将添加维度。请注意，我们可以尝试锚定多个点，但这可能会对参数施加太多约束，尤其是对于大型到期日。新参数ψ的允许范围是多少？将短期无黄油限制（3）翻译为：ψ≤ 2sθ1+|ρ|或ψ≤1+|ρ|(θ*- ρψk*) 它等价于显式界ψ≤ ψ+（ρ，k*, θ*)式中ψ+（ρ，k*, θ*) =-2ρk*（1+|ρ|）+q4ρ（k*)(1+|ρ|)+4θ*(1+|ρ|).换言之，所有无黄油套利（在满足Gatheral Jacquier界限的意义上）eSSVI都会切入点（k*, θ*) （锚定在（k*, θ*)) 由SSVI公式参数化，其中θ替换为其表达式（k*, θ*), 参数ρanψ为ρ∈] -1，1[和0<ψ<min（ψ+（ρ，k*, θ*),1+|ρ|).还要注意θ应该是非负的，因此约束ψ<θ*ρk*应在激活时强制执行。2.2对于亨德里克斯·马提尼（Hendriks Martini）[8]的结果，我们不允许跨slicesThanks进行日历利差套利，我们有必要且充分的条件。设（θi，ρi，Дi）1≤我≤对应于到期时间增加0<T<。。

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可人4

2022-6-9 22:24:08

<tn N>1。那么θi和ψi应该是非递减的，条件是：ρi+1ψi+1- ρiψiψi+1- ψi≤ 1应保持。2.3向前校准让我们在校准切片的设置中重新制定这些条件：我们从校准（θ，ρ，Д）开始，因此只考虑该初始切片没有奶油套利。然后按照以下方式构建切片，其中，我们用θ、ψ、ρψ表示与先前（已校准）切片相关的相应数量，并用（θ、ρ、ψ）表示当前切片的SSVI参数。条件θ>θ、ψ>ψ和最后一个条件允许两个切片之间没有日历排列-(ψ - ψ) ≤ ρψ - ρψ ≤ (ψ - ψ），等于ψ≥ ψ-（ρ）式中ψ-（ρ）：=最大值ψ - ρψ1 - ρ,ψ + ρψ1 + ρ因此，我们在给定ρ和之前的切片参数的情况下，再次得到ψ的界型条件。只需研究初始条件θ>θ：通过替换θ=θ*- ρθИk*, 根据ρk的符号，它也等于一个有界类型约束ψ>^ψ或ψ<^ψ*, 其中^ψ：=θ*- θρk*注意，在ρ=0的特殊情况下，可以得到约束θ*> θ、直接检查当前切片的市场数据；这确实是必要的，因为在这种情况下，微笑是对称的，k=0的最小值，所以θ*> θ、从日历排列条件来看，它必须大于θ。3实现3.1算法将所有约束放在一起，对于给定的ρ，我们得到一组ψ（正）可能为空的双边有界类型约束，这使得与前一个切片同时没有奶油期货套利和日历价差套利。

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大多数88

2022-6-9 22:24:11

给定任何一个目标函数（一个好的选择是eSSVI价格和市场价格之间的价格差的形式，从财务角度来看，这具有直接的意义，因为它与货币单位的损失是一致的），我们为每一个切片面对一个ψ，ρ的二维函数。解决最小化问题的一个非常有效的方法是按以下步骤进行：1。间隔内的样本ρ]- 1.1.[2.对于每个采样的ρ，使用Brent算法找到满足约束条件的点ψ，在该点处获得目标函数的最小值。3.在所有ρ上选取最小值。4.以之前找到的最优ρ为中心，在较小的间隔上重复该过程。这非常简单，但非常稳健、快速和有效。此外，可以根据不同的ρ-wiseon分割最小值核心。注意，这里可以考虑使用一个二维极小值，但它并不能很好地向前推进：实际上，域不是一个矩形域；此外，我们的经验是，考虑到价格对相关参数的平稳依赖性，相关维度的抽样可以保持粗糙。此外，并行一维方法有助于找到全局最小值。全局算法包括校准第一个切片，然后校准后续切片，并使用附加到前一个切片的校准参数产生的约束。3.2注释3.2.1初始切片的选择从短期切片开始是很自然的。通常，短期到期时会有很多曲率（参见Jim Gatherel参考书[9]），接近ATM的期权价格大致与ATM波动率成比例，因此将有足够的有意义的数据来校准初始对ρ，ψ。

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可人4

2022-6-9 22:24:14

但是，对于期限很短的债券，市场可能只会传递θ的信息（或者在这种情况下，相当于θ？）而不是ρ和Д，因为ATM价格没有什么意义，因此无法应用[6]中的分析。从长期角度出发更大胆，因为数据总体上不太可靠，而且由于隐含波动率对大型到期债券的影响，曲率可能会小得多（有关该主题的理论研究，请参见[4]）。根据基础（流动性方面）和数据集（到期可用时间方面），可能会考虑不同的策略，包括中间策略，其中初始切片是中期切片，算法是双向的。在这种情况下，应针对向后部分调整算法，计算上限约束，而不是下限约束。注意，另一个想法是根据小走向和大走向区域中微笑斜率的比率来校准ρ（参见[10]或[7]）。然而，这种方法在实践中并不容易实现，因为在给定的成熟度下，市场上几乎没有罢工。3.2.2数据一致性也可能发生给定切片的可行数据集为空的情况（尽管在我们的测试中从未发生过这种情况），原因可能是之前成熟度的校准微笑过于极端，也可能是当前成熟度的可疑数据。特别是如果（k？，θ？）数据点不可靠，不应运行此算法。3.2.3鲁棒性这是该算法最吸引人的特点：除了相关性ρ的采样点数量外，没有起点或数值参数可设置和调整，该算法非常鲁棒，在这方面可以安全投入生产。

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何人来此

2022-6-9 22:24:17

根据tous，ρ的采样分数为20分就足够了，可以在投标要求范围内进行校准。3.2.4校准参数的稳定性在每个层面上，自由参数对应于ATM正向斜率和曲率。锚定技巧后只剩下2个自由度，这一事实带来了比传统三维标准更大的稳定性。最后，无日历排列约束确保了跨片的内置一致性，这也为校准值带来了很大的稳定性。3.2.5速度如果没有任何并行化，在IntelE5-2673 v3处理器上实现12个成熟度和平均98个选项的渗透性（每个成熟度的选项数在68到184之间变化）需要1.2秒。在较新的处理器上，如Intel Xeon E7-8890 v3，通过按函数ρ并行计算，执行时间应减少到0.1秒或更少。C]实现还可以将计算时间减少5倍（相当保守的估计），最终执行时间为0.01秒或更少。4结果我们对Zeliade客户的几个非公开数据集、股票指数和股票期权进行了大量测试。该算法系统性能良好，典型的平均期权价格误差低于基础价值的4bips。我们在这里显示了在一天结束时SPX期权报价中获得的一些结果（从CBOE获取的数据，https://datashop.cboe.com/option-quotes)2018年1月8日。4.1数据处理我们利用中间价的看跌期权平价，通过稳健线性回归推断出每个可用到期日的远期和贴现系数。然后，我们选择OTM选项并过滤掉低于2个刻度的价格（SPX选项的刻度为0.05）。

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何人来此

2022-6-9 22:24:21

这种过滤的基本原理是价格不能小于1个刻度，舍入效应将产生重要的扭曲，即使是2个刻度的价格。隐含波动率使用Jaeckel有理算法计算【5】。在上图中，我们以绿色绘制校准价格与原始中间价之间的绝对误差，以蓝色绘制买卖价差减半，两者均表示为远期基点，也就是说，单位为Psi Rho ATM vol（pct）PhiTime到期时间0.030137 0.0001 0.012-0.224 6.4 96.330.106849 0.0006 0.032-0.453 7.8 50.220.183562 0.0014 0.049-0.495 8.6 35.820.279452 0.0025 0.066-0.578 9.4 26.660.432877 0.0049 0.089-0.610 10.6 18.380.701370 0.0100 0 0.116-0.672 12.0 11.550.950685 0.0158 0.131-0.704 12.9 8.281.027397 0.0174 0.134-0.704 13.0 7.731.180822 0.0215 0.145-0.72513.5 6.751.449315 0.0292 0.165-0.725 14.2 5.681.947945 0.0444 0.191-0.746 15.1 4.292.945205 0.0750 0.243-0.724 16.0 3.24表1：校准参数值-4ft，其中fti为到期日为t的远期（使用恒量第十单元可获得相同数量级-4S）。因此，当绿线低于蓝线时，可以识别出一个良好的曲线。请注意，我们认为，从隐含波动率和价格两个方面来看，非常重要的是：实际上，在短期范围内，或在小范围和大范围内，表面上的极值点，价格主要由期权的内在价值决定，因此隐含波动率中的较大误差对价格不明显依赖隐含波动率的范围来说没有意义。第二系列图允许评估价格误差，尤其是在隐含的体积误差较大的情况下。4.2注释除了左端较短的三分之四期限外，暗示的交易量在买卖价差内。

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何人来此

2022-6-9 22:24:24

正如价格误差图所证实的那样，这些视觉体积差异转化为非常小的价格误差，低于远期的4个BIP（即4×10-4×正向值）。我们还应该考虑其他交易量，在这些到期日的履约范围内，这些交易量几乎为零。否则，所有到期日的固定资产价格都很高。除了非常短的到期日外，我们产生的误差是一致的，或者明显小于买卖价差。校准相关性的形状是典型的，显示了与经典SSVI相比，eSSVI在同时校准中/长条目和短条目方面的优势。最后，校准参数随着成熟时间的推移而平稳发展。5无套利插值本节中我们的起点是一组SSVI切片参数（θi，ψi，ρi）1≤我≤n、附于到期日0<T<…<t并且：o每块都没有黄油套利；o任何两个连续切片之间均无日历利差套利。请注意，最后一个属性相当于这样一个事实，即附加到longermaturity的总方差微笑严格位于附加到较低微笑的微笑之上。从这一几何角度来看，该属性是可传递的，因此全局所有切片都没有日历排列。在实践中，需要从这些切片中获得连续的无套利波动率曲面。我们在下面展示了eSSVI参数的自然插值和外推提供了一个连续的SSVI曲面，它实际上是无套利的。这是eSSVI参数化的一个非常好的特性。请注意，它绝不是内置或自动的。5.1插值方案我们描述了两个连续切片之间的插值方案，我们用（θi，ψi，ρi）和（θi+1，ψi+1，ρi+1）表示。无套利条件为：1。θi+1>θi2。ψi+1≥ ψi3。

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nandehutu2022

2022-6-9 22:24:28

ψj≤ 最小值1+|ρj |，2qθj1+|ρj|对于j=i，i+14。ρi+1ψi+1-ρiψiψi+1-ψi≤ 1对于λ∈ [0，1]我们定义了以下插值方案：oθλ=（1- λ） θi+λθi+1；oψλ= (1 - λ） ψi+λψi+1；oρλψλ= (1 - λ） ρiψi+λρi+1ψi+1。每个这样的切片将连接到一个成熟度t，使得λ=t-TiTi+1-Ti。5.1.1日历价差套利由于θλ和ψλ在有序量之间线性插值，因此θλ<θu和ψλ<ψu为0≤ λ < u ≤ 1、与ρλψλ相同-ρuψu= (λ-u）（ρi+1ψi+1-ρiψi）和ψλ-ψu= (λ-u）（ψi+1-ψi）条件4也满足。因此，在同一桶（i；i+1）内的2个插值切片之间没有日历利差套利。根据上述传递性，我们推断，在不同桶的两个插值切片之间不存在套利。5.1.2黄油期货套利为了减少注释，我们将为第一个到期日编写证明。我们首先检查ψλ<1+|ρλ|是否成立。由于λ=0的条件得到验证，1因此，f（λ）=ψλ（1+|ρλ|）=ψλ+|ρλψλ|的导数具有常数符号。因为f（λ）=ψ- ψ+(ρψ- ρψ）符号（ρλ）和ψλ，ρλ满足条件2。和4。，我们得出结论，f>0。此外，当ρ和ρ的符号相同时，函数f是线性的，而如果ρ的符号改变，函数f是分段线性的。现在我们检查条件ψλ<2qθλ1+|ρλ|成立。这相当于要求ψλ（ψλ+|ρλψλ|）<4θλ，我们将首先考虑ρ和ρ具有相同符号的情况：在这种情况下，我们可以将前面的方程改写为（ψ+λ（ψ- ψ））（a+bλ）<4（θ+λ（θ- θ），式中，i=ψ（1+|ρ|），b=ψ- ψ+ |ρ|ψ- |ρ|ψ> 0 .观察LHS是一个凸函数，因为b>0，所以它位于[0，1]上的弦之下，而这又位于RHS之下，因为λ=0，1的要求已经满足。现在剩下ρ和ρ有不同符号的情况：在这种情况下，有一个唯一的λ*使得ρλ*= 0、条件3。

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可人4

2022-6-9 22:24:32

减小，对于λ*, 至ψλ*< 最小值（4，2pθλ*) .由于ψi<4，ψi<2√θii=0，1，并且由于平方根是凹函数，上述条件满足λ*.因为f在每个区间[0，λ]上是线性的*] 和[λ*, 1] 我们可以在两个区间[0，λ]上应用具有常数符号的ρ的推理*] 和[λ*, 1] 得出结论，在ρ和ρ具有不同符号的情况下，也验证了无套利条件。5.2短期外推如何外推到时间段]0，T[？首先观察，要求期权价格C（T，k）具有C（T，0）的最小连续性是很自然的→ （S）- S） +=0，作为t→ 0+; 这不是无套利理论所要求的，但我们寻找期权价格的连续时间公式。对于小到期日t，ATM Black&Scholes公式可近似为C（t，0）≈ S1.- 2Φ√θt, 其中Φ表示高斯累积密度函数，因此该连续性声明等效于θt的性质→ 在我们的eSSVI参数化中，无套利条件3。意味着ψtgoes也为零。因此，最简单的短期外推方案如下：oθt=λθ；oψt=λψ；oρt=ρ。此处λ=tT。然后是条件1。，2、和4。易于检查。条件3。依次读取：λψ<min1+|ρ|，2sλθ1+|ρ|！现在λψ<ψ<1+|ρ|和λψ<2qλθ1+|ρ|遵循以下事实：√λψ<ψ<2qθ1+|ρ|表示λ<1。最后，第一个到期日区间内的两个切片之间以及第一个到期日区间内的一个切片和另一个到期日区间后的切片之间不存在日历利差套利，具体如上所示。5.3长期外推要在TN之外进行外推，请在[TN，∞[这样，u（TN）=0，并设置：oθt=θN+u（t）；oψt=ψN；oρt=ρN。然后容易检查条件1到4。同样，在TN以外的两个切片之间没有日历价差套利。

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mingdashike22

2022-6-9 22:24:35

使用与之前相同的传递性参数，一个这样的切片和一个低于TN.6的切片之间不存在日历价差套利。结论我们设计了一种新的eSSVI模型校准算法，该算法依赖于SSVI切片的逐切片前向校准，以精确通过最接近每个属性前向的数据点，明确计算无黄油和无日历价差约束。切片参数的朴素分段插值/外推也被证明是没有套利的。总而言之，我们有一个简单、快速、稳健的波动率曲面校准算法，除了可能在要求更高（做市紧缩）的情况下，该算法非常适用。此外，存储和重复使用校准参数（θi，ρi，ψi）1<i<与市场参数（Ti，Fi，DFi）1<i<N（其中Fdenoted为远期，DF为贴现因子）一起，可以简化整个波动率曲面的序列化，这对于构建波动率曲面的历史非常有用，例如。

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nandehutu2022

2022-6-9 22:24:39

出于风险目的。参考文献【1】局部波动模型的渐近性和校准，Berestycki，Henri和Busca，J’er^ome和Florent，Igor，定量金融，2002年。[2] 当SVI崩溃时，Le Floch，Fabien，https://chasethedevil.github.io/post/when-svi-breaks-down/，2017。【3】从隐含到现货波动率，Durrleman，Valdo，Finance and Stochastics，2010。[4] 隐含波动率远离到期的渐近性，Tehranchi，Michael R，《应用概率杂志》，2009年。[5] 让我们理性一点，J¨ackel，Peter，Wilmott，2015。[6] 隐含波动率：静力学、动力学和概率解释，Lee，Roger W，2005。[7] 无套利SVI波动率表面，Gatheral Jim和Jacquier，Antoine，量化金融，2014年。[8] 《扩展SSVI波动率面》，Hendriks，Sebas and Martini，Claude，SSRN，2017年。[9] 《波动表面：从业者指南》，Gatheral，Jim，2011年。[10] Gathereal SVI模型的准显式校准，De Marco，Stefano and Martini，Claude，ZeliadeWhite Paper，2009年。[11] 关于具有非全局平滑系数的差异和金融模型的概率分布，DeMarco，Stefano，博士论文，2010年。[12] 中等偏差制度下的期权定价，Friz，Peter和Gerhold，Stefan和Pinter，Arpad，数学金融，2018年。

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