薄半鞅在附加信息下的无套利

2022-5-8 04:41:57

Thinsemi鞅模型在附加信息下的无套利性*Anna Aksamit、Tahir Choulli+1、Jun Deng和Monique Jeanblanc数学和统计科学系。，艾伯塔大学，埃德蒙顿，加拿大银行与金融学院，北京对外经济贸易大学，中国实验室，埃弗里-瓦尔-德桑大学，埃弗里，Francieth这篇论文发展了我们早期版本中提到的薄跳和单跳过程的一部分：“半鞅模型的随机视界和诚实时间后的无套利”，可在以下网址获得：http://arxiv.org/abs/1310.1142v1July本文完成了[3]和[4]中的两项研究，其中作者用有界利润概念（称为NUPBRhereafter）量化了随机时间对非无界风险的影响，当股票价格过程是准左连续的（不跳到可预测的停止时间）。在此，我们主要研究仅存在于thinprodictable集上的半鞅模型的NUPBR和随机时间的渐进放大。对于这一信息流，我们解释了当一个人通过任意随机时间停止模型，或者当一个人将完全诚实的时间纳入模型时，NUPBR属性会受到多大程度的影响。这将[8]简化为跳转时间不按顺序排列的情况。此外，对于当前的c上下文，我们展示了如何在较大过滤下从较小过滤下显式构造局部鞅。1导言我们考虑的是随机基础(Ohm, G、 F=（英尺）t≥0，P），其中F是满足通常假设（即，正确的连续性和完整性）的过滤，F∞ G.从财务角度来说，过滤代表了公共信息随时间的流动。

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2022-5-8 04:42:00

在此基础上，我们考虑了一个任意但固定的d维c`adl`ag半鞅，S，它代表数据股票的贴现价格过程，而无风险资产的价格假定为常数。在最初的m模型旁边(Ohm, G、 F，P，S），我们考虑一个随机时间τ，即一个非负的G-可测随机变量。在实际层面上，这种随机时间可以模拟死亡时间、一个事件的默认时间，或者可能以某种方式影响市场的事件的任何发生时间。本文的主要目的在于讨论*Tahir Choulli和Jun Deng的研究由加拿大自然科学与工程研究委员会通过G121210818拨款资助。Anna Aksamit和Monique Jeanblanc的研究由法国银行业联合会转型期市场主席支持。+通讯作者，电子邮件：tchoulli@ualberta.cawhether新模型（S，F，τ）是无套利的或非套利的。为了严格地解决这个问题，我们需要一方面详细说明本文采用的非套利概念，因为连续时间的套利具有相互竞争的定义。另一方面，我们需要对信息流进行建模，以捕获流F和τ表示的信息。对于这一随机时间，我们将过程D和过滤G与byD相关联：=I[[τ+∞[G=（Gt）t≥0，Gt=\\s>t财政司司长∨ σ（Du，u）≤ （s）. （1.1）过滤G是最小的右连续过滤，其中包含F，使τ成为停止时间。在概率论文献中，G被称为F随τ的逐步扩大。为了从主题上定义无套利条件，我们需要定义一些在本文中有用的符号。1.1一些一般符号和定义在本文中，H表示满足通常假设的过滤，以及过滤概率空间上的Q a概率测量(Ohm, H）。

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2022-5-8 04:42:03

用M（H，Q）表示的QI下过滤H的马丁盖尔集。当Q=P时，我们只表示M（H）。通常，A+（H）表示一组递增的、右连续的、H适应的和可积的过程。如果C（H）是一类H适应过程，我们用C（H）表示过程集X∈ C（H）的X=0，而Cloc（H）的过程集X存在一个序列（Tn）n≥1小时停车时间增加至+∞ 停止的过程从XTnbelong到C（H）。我们计算c0，loc（H）=C（H）∩ Cloc（H）。对于具有H-局部可积变分的过程K，我们用Ko表示，Hits对偶可选投影。K的对偶可预测投影（也称为H-对偶可预测投影）表示为Kp，H。对于过程X，我们表示o，HX（resp.p，HX）及其相对于H的可选（resp.predictable）投影。对于H-半鞅Y，集合L（Y，H）是H可积的H可预测过程w.r.t.Yand的集合∈ L（Y，H），我们表示H Yt:=RtHsdYs。通常，对于过程X和随机时间θ，我们用Xθ表示停止的过程。为了区分过滤效果，我们将h表示为。如果，或h。如果可能出现混淆，则使用过滤F或G中计算的尖括号（可预测的协变量过程）。我们记得，对于一般半鞅X和Y，尖括号是（如果存在）协变量过程[X，Y]的对偶可预测投影。为了方便读者，我们回顾了精简流程/集合的定义定义定义1.1。一套 Ohm ×[0, ∞[i’s thin if，无论如何ω∈ Ohm, 集合A（ω）是可数的。如果存在一个随机变量序列ξ和一个随机时间序列tn的递增序列，则称为thin的过程∞n=1ξnI[[Tn，∞[[.

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2022-5-8 04:42:07

它的路径只在一个小集合上变化，henceX=I∪∞n=1[[Tn]] X=∞Xn=1I[[Tn]] X=∞Xn=1I[[Tn]]XTn。1.2无套利概念我们将介绍本文将讨论的无套利概念。定义1.2。H-半鞅X满足（H，Q）（以下称为NUPBR（H，Q））下的无无界Pro-fit和有界风险条件，如果对于任何t∈ (0, +∞) setKT（X，H）：=n（H S） T|H∈ L（X，H）和H 十、≥ -1在Q下概率有界。当Q~ P，我们只是在滥用语言的情况下写了一篇文章，内容是Xsatis fies NUPBR（H）。[3]中给出了这一定义，以及以下内容。提议1.3。设X是H-半鞅。那么下面的断言是等价的。（a） X满足NUPBR（H）。（b）存在正H-局部鞅Y和满足0<θ的H-可预测过程θ≤ 1和Y（θ）十）是一个局部鞅。对于任何H-半鞅X，满足命题1.3的断言（b）的局部鞅称为X的σ-鞅密度。这些σ-马丁鞅密度集将通过p-byL（H，X）：={Y进行分解∈ Mloc（H）| Y>0，θ ∈ P（H），0<θ≤ 1，Y（θ）十）∈ Mloc（H）}（1.2），其中P（H）通常表示Ohm × [0, ∞) 通过滥用符号θ∈ P（H）表示θ是P（H）-可测的。在没有证据的情况下，我们陈述了一个明显的引理。引理1.4。对于任意H-半鞅X和任意Y∈ L（H，X），一个搭扣，H（Y）|X |）<∞ andp，H（Y）十） =0。下面，我们陈述了一个在[3]中得到证明的结果，并将在本文中经常使用。提议1.5。设X为H适应过程。

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2022-5-8 04:42:10

那么，以下断言是等价的。（a）存在一个序列（Tn）n≥1小时停车时间增加到+∞, 这样对每个人来说≥ 1，存在一个概率Qnon(Ohm, HTn）使Qn~ Qn下的P和XTnsatis fies NUPBR（H）。（b） X满足NUPBR（H）。（c）存在一个H-可预测过程φ，使得0<φ≤ 1和（φ 十）满足NUPBR（H）。在本节结束时，我们给出了一个简单但有用的结果，用于预测具有有限变化的过程。引理1.6。设X是一个具有有限变化的H-可预测过程。那么X满足NUPBR（H）当且仅当X≡ 1.3我们的成就考虑到新信息流的建模，我们的主要目标是当S是F-半鞅时，（S，G）是否满足NUPBR。准确地说，我们描述了一对初始市场和随机时间（S，τ），新市场（S，G）充满了NUPBR。[3]和[4]中针对零件（Sτ，G）和（S）解决了这个问题-当S是拟左连续过程时，分别为Sτ，G）。因此，具有可预测跳数的薄F-半鞅的情况在这些工作中没有涉及。[8]给出了具有有限期限的离散时间市场的情况。因此，这项工作的主要目标是在随机时间产生的附加信息下，推导薄过程的NUPBR结果。值得一提的是，尽管有关于一般半鞅的NUPBR的额外信息的影响，这项工作符合其他部分的要求。这可以通过回忆f或H-半鞅X，我们将一系列H-可预测停止时间（TXn）n关联起来而看出≥1耗尽X的可及跳跃时间，并将ΓX:=S∞n=1[[TXn]]。然后，我们可以将X合成如下。X=X（qc）+X（a），X（a）：=IΓX 十、 X（qc）：=X- X（a）。

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2022-5-8 04:42:13

（1.3）过程X（a）（X的可接近部分）是一个只有可预测跳跃的薄过程，而X（qc）是一个H-准左连续过程（X的准左连续p部分）。引理1.7。设X是H-半鞅。那么X满足NUPBR（H）当且仅当X（a）和X（qc）满足NUPBR（H）。证据由于命题1.3，X满足NUPBR（H）当且仅当存在H-可预测实值过程φ>0和正H-局部鞅Y，使得Y（φ 十）是一个H-局部鞅。很明显，Y（φIΓX 十） an dy（φIΓXc）十）都是H-局部鞅。这证明了X（a）和X（qc）都满足NUPNR（H）。相反，如果X（a）和X（qc）满足NUPNR（H），则存在两个H-可预测实值过程φ，φ>0和两个正H-局部鞅D=E（N），D=E（N），使得D（φ（IΓX S））和D（φ （IΓXc）十））都是H-局部鞅。注意，在假设N=IΓX时，并没有失去一般性 Nand N=IΓXc N.PutN:=IΓX N+IΓXc Nandψ：=φIΓX+φIΓXc。显然，E（N）>0，E（N）和de（N）（ψ） S）是H-局部鞅，ψ是H-可预测的，0<ψ≤ 1.引理的证明到此结束。因此，在本文中，S被假定为一个薄F-半鞅。本文的组织结构如下。下一节（第2节）讨论了在τ处停止的情况（即处理模型（Sτ，G）），而第3节主要讨论模型（Sτ，G）- Sτ，G）。第4节和第5节证明了第2节和第3节所阐述的主要结果。第五部分是本文技术性最强的部分。我们在附录中总结了本文，在附录中我们回顾了一些有用的技术成果。2在τ处停止的情况本节阐述了我们对模型（Sτ，G）的NUPBR结果，分为两小节。

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2022-5-8 04:42:16

第一节介绍了我们的主要结果及其直接后果和/或应用，而第二小节概述了从F局部鞅函数显式构造G局部鞅函数的方法。为此，除了（1.1）中定义的G和D之外，我们还将τ与zt:=P给出的两个重要的F-超鞅联系起来τ>t | FtandeZt:=Pτ ≥ T英尺. （2.4）超人gale Z与左极限是右连续的，与I]]0，τ[[的F-可选投影重合，而Z仅限制右极限和左极限，是I]]0，τ]]的F-可选投影。Z的分解导致了一个重要的F-鞅m，给定bym:=Z+Do，F，（2.5）其中Do，F是D的F-对偶可选投影（更多细节请参见[23]）。2.1主要结果在本小节中，我们概述了关于带τ的停止的细FSEMI鞅（仅具有可预测跳跃）的NUPBR条件的主要结果。为此，我们首先讨论具有F-可预测停止时间的单跳过程。定理2.1。考虑一个F-可预测的停止时间T和一个FT-可测量变量ξ满足（|ξ| FT）-) < + ∞ 关于{T<+∞}.如果S:=ξI{ZT->0}I[[T+∞[[，那么下列断言是等价的：（a）Sτ满足NUPBR（G）。（b）过程：=ξI{eZT>0}I[[T+∞[=I{eZ>0} 满足NUPB R（F）的要求。（c） S satifies NUPBR（F，eQT），其中eqtiseqt:=eZTZT-I{ZT->0}+I{ZT-=0}!· P、（2.6）（d）S satifies NUP B R（F，QT），其中QT由dqtdp定义：=I{eZT>0}∩Γ（T）P（eZT>0 | FT-)+ 我Ohm\\Γ（T），Γ（T）：={P（eZT>0 | FT-) > 0}. （2.7）这个定理的证明很长，需要下一小节的结果。因此，这一证明被归入第4节。备注2.2。（a）定理2.1的重要性超出了它的关键作用，它是更一般结果的基础。

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2022-5-8 04:42:19

事实上，定理2.1为Sτ的NUPBR（G）提供了两个不同的特征。刻画（c）和（d）用绝对连续变化测度下的S的NUPBR（F）表示，而刻画（a）使用S的变换而不改变测度。此外，定理2.1可以很容易地推广到可数多指令可预测跳跃时间T=0的情况≤ T≤ T≤ ... 带supnTn=+∞ P- a、 s。。（b）在定理2.1中，选择形式为S:=ξI{ZT的S->0}I[[T+∞[[没有限制性。这可以从以下事实中理解：任何单个跳跃过程都可以分解为：=ξI[[T+∞[[=ξI{ZT->0}I[[T+∞[[+ξI{ZT-=0}I[[T+∞感谢{T≤ τ} {ZT-> 0}，我们有bτ=ξI{ZT-=0}I{T≤τ} 我+∞[[≡ 0（显然）是aG鞅。因此，S中唯一需要仔细注意的部分是S:=ξI{ZT->0}I[[T+∞[[.以下命题描述了τ的模型，其中任何单跳F-鞅（在固定的F-p可预测停止时间T处跳跃）在τ处停止，满足NUPBR（G）。命题2.3.设T为F-可预测停止时间。那么，以下断言是等价的：（a）在{T<+∞}, 我们有一个zt=0onZT-= 0o。（2.8）（b）对于任何M:=ξI[[T+∞[[ξ在哪里∈ L∞（FT）使得E（ξ|FT-) = 0，Mτ满足NUPBR（G）。证据我们从证明（a）开始=> （b）。假设（2.8）成立。然后，由于注释2.2–（b），我们可以将注意力限制在M:=ξI{ZT的情况->0}I[[T+∞[[带ξ]∈ L∞（FT）和E（ξ|FT-) = 0.因为断言（a）等同于[[T]]∩ {eZ=0&Z-> 0} = , 我们得出fm:=ξI{eZT>0}I{ZT->0}I[[T+∞[[=M是F-鞅。因此，直接应用定理2.1（对M）可以得出结论，Mτ满足上鞅（G）。这结束了（a）的证明=> （b）。

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能者818

2022-5-8 04:42:23

为了证明相反的含义，我们假设断言（b）成立并考虑：=ξI[[T+∞[]，式中ξ：=I{eZT=0}- P（eZT=0 |英尺-)I{T<+∞}.自从{T≤ τ } {eZT>0} {ZT-> 0}，那么我们得到mτ=-P（eZT=0 |英尺-)I{T≤τ} 我+∞[[，并且这个过程是G-可预测的。因此，当一个d是一个常数过程等于M=0（见引理1.6）时，Mτ满足NUPBR（G）。这相当于0=EhP（eZT=0 | FT）-)I{T≤τ} 我+∞[i=E]ZT-I{eZT=0&T<+∞}.很明显，这个等式等价于（2.8），断言（a）如下。这是定理的证明。下一个定理是定理2.1的一个扩展，推广到了存在可数个任意可预测跳的情况，并且构成了我们对于仅具有可预测跳的一般薄半鞅的第一个主要结果。定理2.4。让我们做一个只有可预测跳转时间的精简过程。然后，以下断言是等价的。（a）过程Sτ满足NUPBR（G）。（b）对于任何δ>0，都存在一个正的F-局部鞅Y，如P，FY|S | I{eZ>0}< +∞P-a.s.{Z-≥ δ} andp，FYSI{eZ>0}I{Z-≥δ}= 0. （2.9）（c）对于任何δ，过程（0）：=XSI{eZ>0&Z-≥δ} =I{Z-≥δ} ·S-十、SI{eZ=0&Z-≥δ} ，（2.10）满足NUPBR（F）。这个定理的证明涉及技术，尤其是（a）的证明==>（c），因此，它属于第4.1小节。备注2.5。需要注意的是，在定理2.4中，我们没有对S假设任何套利条件。因此，我们得到以下结果。假设S是一个瘦过程——只有可预测的跳跃——满足NUPBR（F）和{eZ=0&Z-> 0} ∩ {s6=0}=.然后，Sτ满足NUPBR（G）。这直接来自定理2.4，使用Y∈ L（S，F）和引理1.4。下面将命题2.3扩展到可数多个跳跃的情况，这些跳跃可能不会以任何方式排序。定理2.6。

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2022-5-8 04:42:28

以下断言是等价的。（a）集合{eZ=0>Z-} 完全无法进入。（b） Xτ满足任何薄过程X的N UPBR（G），可预测的跳跃满足N UPBR（F）。证据定理的p屋顶将分两部分实现，即第1部分）和第2部分），其中我们证明（b）==>（a）及（a）==>（b）分别。1）假设断言（b）成立。然后，多亏了命题2.3，我们推导出对于任何可预测的停止时间T，[[T]]∩ {eZ=0<Z-} = （2.11）一方面。另一方面，因为{eZ=0<Z-} 如果很薄，则存在一系列F停止时间（σk）k≥1具有不相交的图，使得{eZ=0<Z-} =+∞[k=1[[σk]]。（2.12）回想一下，对于每个σk，存在两个F-停止时间（σi和σa，分别完全不可访问和可访问）和一系列F-可预测的停止时间（T（k）l）≥1在[[σk]]=[[σik]]∪ [[σak]]，[[σak]]+∞[l=1[[T（k）l]]。因此，通过将这些与+∞[k=1[[σik]]！∩+∞[k=1，l=1[[T（k）l]]= , （2.12）和（2.11），我们得出+∞[k=1[[σak]]=+∞[k=1，l=1[[T（k）l]]∩ {eZ=0<Z-} = .这个p在{eZ=0<Z时移动-} 是一个完全不可访问的集合和（b）的位置==>（a）完成了。2）为了证明相反的意义，我们假设断言（a）成立，并考虑X=PξnI[[Tn+∞[[满足NUPBR（F），其中tn是F-可预测的停止时间，ξ是有界的FTn可测随机变量。因为{x6=0}=+∞[n=1[[Tn]]是可预测的，我们得到{eZ=0<Z-} ∩ {X 6=0}=,因此，从备注2.5中，Xτ满足NUPBR（G）。这就结束了定理的证明。本着描述τ模型的精神，完整的一般结果如下：保持NUPBRafter以τ停止。定理2.7。以下断言是等价的。（a）集合{eZ=0>Z-} 是转瞬即逝的。（b） Xτ满足满足NUPBR（F）的任何X的NUPBR（G）。证据

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2022-5-8 04:42:32

这个证明紧跟着[3]中定理2.6和命题2.22的结合（作者在这里证明了薄集{eZ=0<Z）-} 当且仅当上述断言（b）适用于任何F-准左连续过程X）时，才可访问。2.2显式局部鞅定义本节讨论如何从F-定义中为一类过程显式构造G-局部鞅定义。对于单跳过程和之后的一般薄过程，这是通过考虑F-neu变换过程实现的。提议2.8。设M:=ξI[[T+∞[[是F-鞅，其中T是F-可预测的停止时间，ξ是FT-可测的随机变量。那么以下断言是等价的。（a）M是（2.7）给出的QT下的F-鞅。（b）在集合{T<+∞}, 我们有MTI{eZT=0}|FT-= 0，P- a、 s.（2.13）（c）Mτ是qgtdp下的G-鞅：=UG（T）E（UG（T）|GT-)其中UG（T）：=I{T>τ}+I{T≤τ} ZT-埃兹特。（2.14）证据。当我们证明（a）时，p屋顶将分两步实现<==>（b）及（a）<==>（c）分别。第一步。在这里，我们证明（a）<==>（b）。为了简单起见，我们用Q:=QT表示，其中QT在（2.7）中定义，并在{ZT]上注释-= 由于{ZT，Q与P和（2.13）保持一致-= 0} {eZT=0}。因此，足以证明（a）<==>（2.13）在片场{T<+∞ & ZT-> 0}. 在这一组中，由于脚趾（ξ|英尺-) = 0（因为M是F-鞅），我们导出q（ξ| FT）-) = E（ξI{eZT>0}|FT-)P（eZT>0 |英尺-)-1= -E（ξI{eZT=0}|FT-)P（eZT>0 |英尺-)-1.因此，断言（a）（或等效等式（ξ| FT-) = 0）相当于（2.13）。（a）的证明到此结束<==> （b）。第二步。证明（a）<==>（c），我们注意到由于{T≤ τ} {eZT>0} {ZT-> 0}，在{T≤ τ} 我们有eZT>0 |英尺-EQGT（ξ| GT）-) = EZT-eZTξI{T≤τ} |GT-= EξI{eZT>0}|FT-= 等式（ξ| FT）-) PeZT>0 |英尺-.这个等式证明了Mτ∈ M（QG，G）当且仅当M∈ M（Q，F），以及（a）的证明<==>（c）我完成了。

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2022-5-8 04:42:36

定理的证明到此为止。为了将这一命题推广到可能根本没有顺序的许多跳跃的情况，我们需要引入一些符号，并回顾[3]中的一些事实。首先，我们参考[12]（第VIII.2章第32-35节，第356-361页）和[21]（第III.4.b章，定义3（3.8），第106-109页）了解可选的随机积分（另见[3]中的定义3.4]）。定义2.9。设N是具有连续部分N的H-局部鞅，K是H-可选过程。K被认为是关于ifp可积的，H（K）是Nc可积的，p，H（K）|N |）+∞和X（K）N-p、 H（K）N）1/2∈ A+loc（H）。PutKG:=Z-简单-1Z-+ hmiFI]]0，τ]]，VG:=Xp，F（I{eZ=0}）I]]0，τ]]，（2.15）并且对于任何F-局部鞅M，我们将由cm:=Mτ给出的Mτ的G-局部鞅部分关联起来- Z-1.-I[[0，τ]]·hM，miF。（2.16）下面，我们回顾了[3]的一些有用结果。提议2.10。以下断言成立。（a）根据上述定义，G-可选过程Kgbm是可积的。这里bm:=mτ- Z-1.-一] ]0，τ]]·hmiF。此外，得到的积分el（b）：=E-KG1- VG⊙ bm, （2.17）是满足[eL（b），M]的正（即eL（b）>0）G-局部鞅∈ 任意F-局部鞅的Aloc（G）。（b） VG∈ A+loc（G）和（1）- （VG）-1是G-局部有界的。这个命题的证明可以在[3]中找到（见引理3.3和命题3.6）。命题2.8的扩展通过将（2.14）中定义的随机变量UG（T）与过程（a）连接起来，如下所示。备注2.11。

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2022-5-8 04:42:40

根据[3]中的计算（见方程式（B.1），作者计算了KG的跳跃⊙ bm），我们有-(1 - （VG）eL（b）eL（b）-= 公斤 bm-p、 G公斤 bm=meZI]]0，τ[[- VG。因此，对于F-可预测的停止时间T，在{T≤ τ} 我们得到了-eZT=（1- VGT）eL（b）电话（b）T-.这证明了命题2.8的断言（a）和（b）是等价的。对于任何单跳F-鞅M（2.18）定理2.12，Mτ是G-鞅。考虑（2.17）中定义的L（b），并设M为满足P，F的细F-鞅MI{eZ=0<Z-}≡ 0.（2.19）那么，eL（b）Mτ是G-局部鞅。证据我们首先指出，这足以证明存在一个G-可预测过程，使得0<0≤ 1 andeL（b）（ν·Mτ）是G-鞅（局部鞅）。这就是说，thateL（b）∈ L（Mτ，G）（即G下Mτ的σ-martin gale密度）。这句话基于[eL（b），Mτ]是局部可积的，以及[7]的命题3.3和推论3.5，简化了假设。再次感谢[eL（b），Mτ]∈ Aloc（G），我们推导出p，GeL（b）|Mτ|< +∞, 考虑以下G-可预测过程φ：=h1+p，G(|Mτ|）+p，GeL（b）|Mτ|我-1“我Ohm\\(∪n[[Tn]]）++∞Xn=1-nI[[Tn]#，其中（Tn）n≥1是F-可预测的停止时间序列，它会耗尽M的跳跃。因此，很容易检查0<φ≤ 1和两个过程φ·MτandeL（b）-φ·Mτ+[eL（b），φ·Mτ]=PeL（b）φMτ一方面具有可积变化。另一方面，sincePeL（b）φMτ仅在可预测的停止时间上跳跃，其G补偿器为xp，GeL（b）φMτ=Xφp，GeL（b）Mτ≡ 这证明了El（b）-φ·Mτ+[eL（b），φ·Mτ]是G-局部鞅，或等价于y（b）（φ·Mτ）是aG-局部M-局部鞅。这就是定理的证明。推论2.13。对于任何薄F-鞅M{m6=0}∩ {eZ=0<Z-} eL（b）Mτ是G-局部鞅。证据

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2022-5-8 04:42:45

作为条件，推论的证明直接来自定理2.12{m6=0}∩ {eZ=0<Z-} = 意味着（2.19）。3在τ之后的部分，我们关注的是过程S-在第2节的同一部分中，我们将结果总结为两个小节。第一小节概述了主要结果，而第二小节解释了如何获得S的G-局部鞅微分- 当S在一系列过程中变化时，Sτ来自S的F因子。然而，在本节中，我们认为以下关于ττ的假设是一个诚实的时间，Zτ<1 P- a、 s.（3.20）3.1主要结果本小节介绍了我们关于（s）的NUPBR的主要结果-Sτ，G）。这些结果对单跳过程和一般薄过程也仅适用于可预测跳变。定理3.1。假设τ是一个诚实的时间。考虑F-可预测的停止时间T和anFT可测量的r.v.ξ，使得E（|ξ| FT-) < +∞ 关于{T<+∞}.如果S:=ξI{ZT-<1} 我+∞，那么以下是等价的：（a）S- Sτ满足NUPBR（G）。（b）它满足NUPBR（F，eQ′T），其中eQ′T：=1.-eZT1- ZT-I{ZT-<1} +I{ZT-=1}· P.（3.21）（c）满足NUPBR（F，Q′T），其中对于Γ（T）：={P（eZT<1 | FT-) > 0&T<+∞} 我们没有：=I{eZT<1}∩Γ（T）P（eZT<1 | FT-)+ 我Ohm\\Γ（T）· P.（3.22）（d）eS:=ξI{eZT<1}I[[T+∞[[满足NUPBR（F）。该定理的证明很长，需要中间结果。因此，我们将证明推迟到第4.1子节。备注3.2。定理3.1为以下条件提供了两个等价（概念上不同）的特征：- Sτ满足NUPBR（G）。

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2022-5-8 04:42:49

其中一个特征使用P下的NUPBR（F）属性表示S的变换，而另一个特征基本上基于绝对连续概率测度下的S的NUPBR（F）。下一个定理描述了τ的模型，该模型在任何单个jumpF鞅的τ之后保持NUPBR（G）。定理3.3。假设τ是诚实的，并考虑F-可预测的停止时间T。然后，以下断言是等价的：（a）关于{T<+∞}, 我们有1o个 {ZT-= 1}. （3.23）（b）对于任何ξ∈ L∞（FT）使得E（ξ|FT-) = 在{T<+∞}, 过程-Mτsatis fies nupbr（G），其中M:=ξI[[T+∞假设断言（a）成立，考虑ξ∈ L∞（FT）使得E（ξ|FT-) = 0，P-a、 s.on{T<+∞ }. 通过将gm分解为M=I{ZT-<1} ξI[[T+∞[I{ZT]-=1} ξI[[T+∞注意M（2）- （M（2））τ=0，一方面我们可以将注意力限制在M=M（1）的情况。另一方面，自从{ZT-= 1} {eZT=1}P-a.s.{T<+∞ }, 很明显，（3.23）意味着{eZT<1}={ZT-< 1} 关于{T<+∞}, hencefM:=I{eZT<1}M=M是F-鞅。因此，断言（b）遵循定理3.1对M的直接应用。（a）的证明到此结束=>（b）。为了证明相反，我们假设断言（b）成立，并考虑FT可测且有界的r.v.ξ：=（I{eZT=1}-P（eZT=1 |英尺-))I{T<+∞}有界F-鞅M:=ξI[[T+∞一方面，M-Mτsatis fies NUPBR（G）。另一方面，由于{T>τ} {eZT<1}，有限的变化过程- Mτ=-P（eZT=1 |英尺-)I{T>τ}I[[T+∞是G吗- 可预测的因此，它是空的，或者相当于{ZT-< 1} {eZT<1}P-a、 s.关于{T<+∞}. 这证明了断言（a），定理的证明就完成了。下面将定理3.1推广到一般薄过程的情况。定理3.4。

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2022-5-8 04:42:52

假设τ满足（3.20），S是一个只有可预测跳跃的薄过程。那么，以下断言是等价的。（a）这一过程令人震惊- Sτ满足NUPBR（G）。（b）对于任何δ>0，都存在一个正的F-局部鞅Y，例如p，FY|S|I{eZ<1}< +∞ &p、 FYSI{eZ<1}= {1上的0- Z-≥ δ}. （3.24）（c）对于任何δ，过程（1）：=XSI{eZ<1&1-Z-≥δ} ，（3.25）满足NUPBR（F）。这个定理的证明很长，并且是基于下一个问题的结果。因此，该证明依据第5.2小节。备注3.5。1）在（3.25）中定义的过程S（1）是一个薄半鞅。事实上，我们有（1）=I{1-Z-≥δ} ·S-PSI{eZ=1和1-Z-≥δ} ，和xi{eZ=1和1-Z-≥δ}≤ δ-2X(m）≤ δ-2[m，m]∈ A+loc（F）。2）证明（A）==>（b）这是定理证明中非常技术性的部分，而其余部分则很简单，为了保持这一部分的简短，将其推迟。定理3.6。以下断言是等价的。（a）集合{eZ=1>Z-} 完全无法进入。（b） X-Xτ满足任何薄过程X的NU-PBR（G），可预测的跳跃满足NUP B R（F）。证据假设断言（a）成立，并考虑一个具有可预测跳跃X的精简进程，满足NUPBR（F）。因此{X6=0}是一个薄的可访问集，因此{eZ=1>Z-} ∩ {X 6=0}=. 因此，我们得出结论X（1）：=XXI{eZ<1和1-Z-≥δ} =I{1-Z-≥δ} ·X s atis NUPBR（F）。然后，直接应用定理3.4得到X的NUPBR（G）-Xτ。这证明了（a）==>（b）。为了证明相反，我们指出集合{eZ=1>Z-} 很薄，我们完全模仿了T heorem 2.6证明的第1部分。定理的证明到此为止。定理3.7。以下断言是等价的。（a）集合{eZ=1>Z-} 是转瞬即逝的。（b） X- Xτ满足任意X满足NUPBR（F）的NUPBR（G）。证据

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2022-5-8 04:42:55

这个证明紧接着来自于[4]中定理3.6和命题2.18的组合（其中作者证明了这个集合{eZ=1>Z）-} 当且仅当上述定理的断言（b）适用于任何拟左连续过程X时（即X不会在可预测的停止时间上跳跃）。3.2局部鞅定义的显式构造要构造薄F-局部鞅的G-定义，我们首先说明单跳F-鞅的这种构造。定理3.8。让τ成为一个诚实的时间。考虑F-可预测的停止时间T和ftr.v.ξ，使得E[|ξ| FT-] < +∞, P-a.s.定义M:=ξI{ZT-<1} 我+∞[dQFTdP:=DF:=I{eZT<1&P（eZT<1|FT-)>0}P（eZT<1|FT-)+ I{P（eZT<1 | FT-)=0}，且dqgtdp:=DG:=1- ZT-(1 -eZT）P（eZT<1 |英尺-)I{T>τ}+I{T≤τ}. （3.26）那么下列断言是等价的。（a） M是（QFT，F）-鞅。（b）关于{ZT-< 1} 我们有ξI{eZT<1}|FT-= 0，P- a、 s.（3.27）（c）（M）- Mτ）是（QGT，G）-鞅。证据为了简单起见，通过证明，我们把Q:=qf和Q:=QGT放在一起。定理的证明将分两步进行。1）在这里，我们证明（a）<==>（b）。多亏了{eZT<1} {ZT-< 1} 和E[DF | FT-] = 1关于{T<+∞},我们导出q[ξI{ZT-<1} |英尺-] = EhDFξI{ZT-<1} |英尺-i=Ehξi{eZT<1}|FT-iP（eZT<1 |英尺-)I{ZT-<1}.因此，（a）<==>（b）由这个等式和M是a（Q，F）-鞅当且仅当EQ（MT | FT）的事实结合而来-)I{T<+∞}= 0.2）在这里，我们讨论（b）<==> （c）。为此，我们首先注意到M- Mτ=ξI{ZT-<1&T>τ}I[[τ+∞[[isa（Q，G）-鞅当且仅当EQ[ξI{ZT]-<1&T>τ}GT-]I{T<+∞}= 0

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2022-5-8 04:42:58

然后，使用e[DG | GT-] = 1关于{T<+∞}, 我们得到eq[ξI{ZT-<1&T>τ}GT-] = EhDGξI{ZT-<1} I{T>τ}| GT-i=EξI{T>τ}1-埃兹特燃气轮机-1.- ZT-P（eZT<1 | FT-)I{ZT-<1&T>τ}=EhξI{eZT<1}|FT-iP（eZT<1 |英尺-)I{ZT-<1} I{T>τ}，（3.28），其中（3.28）中的最后一个等式来自以下事实，τ是诚实的andE（H | GT-) I{T>τ}=EH（1-|FT-(1 - ZT-)-1I{T>τ}。对于任何FT可测量的随机变量H，存在上述条件预期（见[23]第5.3页）。因此，如果断言（b）成立，那么断言（c）紧跟在（3.28）之后。相反，如果断言（c）成立，则等式[ξI{ZT-<1} I{T>τ}GT-] = 因此，这与（3.28）的结合导致EhξI{eZT<1}|FT-i（1）-ZT-) = 这证明了断言（b），并且定理的证明已经完成。备注3.9。定理3.8可以被视为[8]中定理4.5的连续时间版本，一方面，它可以很容易地推广到有限个有序F-可预测停止时间的情况。另一方面，当把这个定理推广到一般的薄半鞅的情况时，主要的困难在于找到一个正的F-局部鞅，例如（3.26）中定义的QFTD的密度与任何F-可预测的停止时间T的LTT一致。这个难题仍然是一个悬而未决的问题，我们无法看到如何解决它。与QFT相比，（3.26）中给出的概率QGT满足dQGT/dP=eL（a）T/eL（a）T-, 其中，el（a）是一个正的G-局部鞅，将在下面描述。为此，我们需要引入一些符号，并回顾[4]中的一些结果。在本小节的其余部分中，我们考虑以下任何M的符号：∈ Mloc（F）厘米（a）：=M- Mτ+（1）- Z-)-1I]]τ+∞[·hmiF∈ Mloc（G），（3.29）WG:=Xp，FI{eZ=1}一] ]τ+∞[，（3.30）K（a）：=（1）- Z-)(1 -（埃兹）-1(1 - Z-)+ HMFI]]τ+∞[[.

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何人来此

2022-5-8 04:43:01

（3.31）在下文中，我们回顾了[4]中的一个有用结果。提案3.10。以下断言成立。（a）积极的过程（1）- （工作组）-1是G-局部有界的。（b） G-可选过程K（a）是bm（a）-可积的（关于定义2.9）。结果积分el（a）：=EK（a）（1）- （工作组）-1.⊙ bm（a）, （3.32）是满足[eL（a），cM（a）]∈ Aloc（G）。为了将定理3.8推广到一般薄半鞅的情况，我们首先将概率QGTandeL（a）连接起来，如下所示。备注3.11。放置LG：=K（a）⊙ bm（a）。然后，我们导出g（T）：=1- ZT-1.-eZTI{T>τ}P（eZT<1 | FT-)+ I{T≤τ}=1 +mT1-埃兹特I{T>τ}+I{T≤τ}=1 + LG- VG1- VG=1+eL（a）=eL（a）电话（a）T-.因此，定理3.8的断言（a）和（b）等价于toeL（a）（M）- Mτ）是任意单跳F-鞅M的Gmartingale（3.33），具有可预测的ju-mp时间。现在，我们正处于将定理3.8推广到薄过程的一般情况的阶段。定理3.12。设M是一个细F-局部鞅，如thatp，FMI{eZ=1>Z-}≡ 0.（3.34）那么，eL（a）（M）- Mτ）是G-局部鞅。证据多亏了It^o的公式，它是直接的thateL（a）（M）- Mτ）是G-局部鞅当且仅当xg:=M- Mτ+[eL（a），M- Mτ]（3.35）是一个G-lo-cal鞅。由于XGis是一个G-特殊半鞅，因此证明XGis是G下的σ-鞅就足够了。为了证明后一个事实，由于[7]中的P-位置3.3和推论3.5，证明Φ·XGis G-局部鞅对于某些G-可预测过程Φ0<Φ就足够了≤ 1.因为M是一个具有可预测跳变时间的薄过程，我们用（Tn）n表示≥1，我们得到xg=XeL（a）MI]]τ+∞[]和ju mps关于停止时间（Tn）n的顺序≥1一方面。

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能者818

2022-5-8 04:43:04

另一方面，由于命题3.10（断言（b）），我们假设，G（eL（a）|M |）I]]τ+∞[[< +∞, 因此G-可预测过程Φ：=hXI[[Tn]]-n+IOhm\\(∪n[[Tn]]i1+p，G（eL（a）|M |）I]]τ+∞[[-1、满意度0<0≤ 1，Φ·XG∈ A（G），其G补偿器由（XG）p，G=XnΦp，G（eL（A）给出M（n））I]]τ+∞这里M（n）：=MTnI[[Tn+∞[[，而最后一个等式来自注释3.11的（3.33）。这证明了Φ·xG是一个G-局部鞅，并且定理的证明已经完成。推论3.13.a）如果M是一个细F-局部鞅{m6=0}∩ {eZ=1>Z-} = ,theneL（a）（M）- Mτ）是G-局部鞅。b）假设S很薄{s6=0}∩ {eZ=1>Z-} = , 并满足NUPBR（F）。然后- Sτ满足NUPBR（G）。证据由于S满足NUPBR（F），因此存在一个F-可预测过程φ，即停止时间序列（Tn）n≥1增加到完整性，以及概率度量Qn~ 继续(Ohm, FTn）在0<φ时≤ 1, φ STn∈ M0，位置（Qn，F）。回想一下，对于任何问题~ P，{eZ=1}={eZQ=1}，其中ezqt:=Q（τ）≥ t | Ft）。因此，这一事实与{s6=0}∩ {eZ=1>Z-} = 导致{(φ STn）6=0}∩ {eZQn=1>ZQn-} = .因此，直接将定理3.12应用于φ STnunder Qn，我们得出结论φ STn-(φ STn）τ（或等效STn- STn∧τ）满足NUPBR（G，Qn）。因此，从命题1.5直接得出推论。这就结束了推论的证明。4定理2.1和3.1的证明在本节中，我们将证明定理2.1和3.1。这些证据不是技术性的，而是很长的。4.1定理的证明2.1证明分为四个步骤，其中我们证明（c）<==>（d），（d）<==> （b），（a）==> （c），及（b）==> （a）分别。第一步：在这一步中，我们证明（c）<==> （d）。

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2022-5-8 04:43:07

由于S是一个具有可预测跳变时间T的单跳过程，因此很容易看出S满足NUPBR（R），对于某些概率R，相当于IAS和IAcS满足任何FT的NUPBR（R）--可测量的事件A。因此，在事件{ZT）上分别证明断言（d）和断言（c）之间的等价性是不够的-= 0}和{ZT-> 0}. 自{ZT-= 0} {eZT=0}和E（eZT|FT-) = ZT-关于{T<+∞}, 把Γ：=nP（eZT>0 | FT-) = 0&T<+∞o、我们嘲笑ZT-IΓ∩{T<+∞}= E埃兹蒂Γ∩{T<+∞}= 0，和0=P{ZT-= 0} ∩ {eZT>0}∩ {T<+∞}= EI{ZT-=0}∩{T<+∞}PeZT>0 |英尺-.这些等式意味着{T<+∞}, P- a、在美国，我们有{ZT-= 0} = Γ {eZT=0}。（4.36）因此，在片场{T<+∞}∩Γ，三个概率P，qt和qt重合，断言（c）和（d）之间的等价性是显而易见的。在集合{T<+∞ & P[eZT>0 |英尺-] > 0}，在e haseQT上~ QT，并且（c）和（d）之间的等价性也很明显。这就实现了第一步。第二步：这一步证明（d）<==> （b）。多亏了{ZT-= 0} {eZT=0}，我们在{ZT=0}上推导-= 0}，eS≡ s≡ 0和qt也与P一致。因此，在这种情况下，断言（d）和（b）之间的等价性是显而易见的。因此，证明这些关于{T<+∞ & P（eZT>0 |英尺-) > 0}.假设（d）成立。然后，存在一个FT可测量的随机变量Y，使得Y>0QT- a、在{T<+∞}, 我们有（Y |英尺）-) = 1，EQT（Y |ξ| FT-) < + ∞ , & EQT（YξI{eZT>0}|FT-) = 0.由于Y>0在{eZT>0}上，通过puttingY:=yi{eZT>0}+I{eZT=0}和Y:=YE[Y|FT-],很容易检查Y>0，eY>0，EheY | FT-i=1和EheYξi{eZT>0}|FT-i=EhYξi{eZT>0}|FT-iE[Y|FT-]= 因此，eS是R:=eY·P下的鞅~ P和henceeS satis NUPBR（F）。这就结束了对（a）的理解=>（b）。为了证明相反的意义，我们假设断言（b）成立。

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2022-5-8 04:43:11

然后，就有了∈ L（FT），使得E[Y|ξ|I{eZT>0}|FT-] < +∞, E[Y |英尺-] = 1和de[YξI{eZT>0}|FT-] = {ZT上的0-> 0}. 然后，考虑：=yi{eZT>0}P（eZT>0|FT-)E[yi{eZT>0}|FT-]+ I{eZT=0}那么很容易验证Y>0qt- a、美国，EQT（Y |英尺-) = 1和EQTYξI{ZT->0}|英尺-=EhYξI{eZT>0}|FT-iE[yi{eZT>0}|FT-]= 0.此p证实了断言（d）和（d）的证明<==>（b）实现了。第三步：在此，我们证明（a）=> （c）。假设Sτ满足NUPBR（G）。然后存在正的GT可测随机变量YGI，使得E[ξYGI{T≤τ} |GT-] = {T<0+∞}. 根据引理B.2–（a），我们证明了两个正FT可测变量yfi和yfi的存在性≤τ} =YFI{T<τ}+YFI{T=τ}。然后，在{T<+∞}, 我们得到0=E[ξYGI{T≤τ} |GT-] = E[ξ（YFZT+（ZT-eZT）YF | FT-]I{T≤τ} ZT-.因此，通过在上述等式和puttingeY中取条件期望：=YFZTeZTI{eZT>0}+（ZTeZT- 1） I{eZT>0}YF+I{eZT=0}>0，我们得到0=E[ξeYeZTZT]-I{ZT->0}|英尺-] = EeQT[ξeY | FT-]I{ZT->0}=EeQT[STeY|FT-].本文件证实了（d）项主张和（a）项证明=>（d）实现了。第4步：最后一步证明（b）=>（a）。假设这是满足NUPBR（F）的条件。然后，就存在了∈ L（FT）在{T<+∞} 我们有[Y |英尺-] = 1，Y>0，E[Y|ξ|I{eZT>0}|FT-] < +∞, P- a、 s.andE[YξI{eZT>0}|FT-] = 0.然后把R:=Y·P~ P，我们推导出这是一个（F，R）-鞅SI{eZ=0}≡ 因此，断言（a）从命题2.8直接应用到R下的M:=eS~ P（很容易看出（2.13）适用于（eS，R），即ER（eSTI{eZT=0}|FT）-) = 0). 这就结束了第四步，完成了定理的p屋顶。4.2定理3.1{ZT]的证明-= 1} ={P（eZT<1 | FT-) = 0} {eZT=1}很明显，eq′T~ Q\'T<< P.因此，（b）<==>（c）立即跟进。

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kedemingshi

2022-5-8 04:43:14

因此，证明的剩余部分包括三个步骤，即e（c）==>（d），（d）==>（a）及（a）==>（b）分别是p罗文。第一步：（c）=>（d）。假设（c）保持不变。然后，存在一个FT可测的随机变量YT>0，Q′T-a.s，使得EQ′T[STYT | FT-] = 0，或相当于[ξYTI{eZT<1}|FT-]I{ZT-<1} =0和E[ξYT | FT-]I{ZT-=1}= 0.自从，在片场{ZT-= 1} ，eS≡ 0，集中在{ZT]对应的部分就足够了-< 1}.PuteYT:=YTI{eZT<1}+I{eZT=1}和Q:=eYT/E（eYT | FT-) · P~ 然后，我们推导出等式[ξI{eZT<1}|FT-] = 因此，我们得出结论ES是（Q，F）-鞅，因此断言（d）如下。第2步：（d）=> （a）。由于满足NUPBR（F），存在一个可测量的FT Y>0，使得e[YξI{eZT<1}|FT-] = 0.放置Q:=Y/E（Y | FT-) · P~ 注意{eZT<1}={eZQT<1}，其中eZQT:=Q（τ≥ t | Ft）。因此，直接应用定理3.8在Q下，我们得出- Sτ=eS-eSτsatis fies NUPBR（G）。步骤3：（a）=> （b）。假设S-Sτ满足NUPBR（G）。存在一个GT可测量的YG>0，即E[XYGI{T>τ}GT-] = 0.那么，多亏了提议？？，我们推导了在YGI{T>τ}=YFI{T>τ}处正的可测性的存在性。然后，我们计算0=E[ξYGI{T>τ}GT-] = E[ξYF（1）-|FT-]I{T>τ}1- ZT-= EeQ′（T）XYF |英尺-I{T>τ}。因此，通过采用条件期望并利用{ZT\'中包含了对eq′（T）的支持这一事实-< 1} ，我们得到（1）- ZT-)EeQ′（T）[ξYF|FT-] = 0，或等效EeQ′（T）[STYF|FT-] = 0便士- a、这个p证明了断言（b），并得到了定理的证明。5定理2.4和3.4的证明本节致力于定理2.1和3.4的证明。这些证明是关于随机测度和半鞅特征的技术性和必要的符号。对于任何过滤H，wedenoteeO（H）：=O（H） B（Rd），eP（H）：=P（H） B（Rd），其中B（Rd）是Rd上的Borelσ场。

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2022-5-8 04:43:18

对于c`adl`ag H适应过程X，我们将以下可选随机测量值uxd与uX（dt，dx）相关联：=Xu>0I{Xu6=0}δ（u，徐）（dt，dx）。（5.37）对于产品可测量的功能W≥ 0开Ohm × [0, +∞[×Rd，我们表示W uX（或有时滥用符号W（X） uX）过程（W） uX）t:=ZtZRd-{0}W（u，x）ux（du，dx）=X0<u≤tW（美国），（徐）我{Xu6=0}。（5.38）定义5.1。考虑一个c`adl`agh-适应过程X及其可选的随机度量uX。（a）我们用Gloc（uX，H）表示，alleP（H）可测函数的集合WXt≤·W（t，圣）我{St6=0}-ZWt（x）νx（{t}，dx）1/2∈ A+loc（H）。（b）集合Hloc（uX，H））是所有（H）可测量的fu nc，W的集合，使得（W uX）1/2∈A+loc（H）。也在Ohm × [0, +∞[×Rd，我们定义了测量值MPuX:=P uXbyZW dMPuX:=E[（W uX）∞] ,（当预期明确时）。产品可测函数W的条件“期望”给定nep（H），用MPuX（W | eP（H））表示，是uniqueeP（H）-可测函数满足性[（W I∑] uX）∞] = Eh（fW I∑） uX）∞i、总之∑∈eP（H）。当X=S时，为了简单起见，我们表示u：=uS。然后，S的F-正则分解isS=S+h (u - ν） +b·A+（x）- h） u，（5.39），其中h，定义为h（x）：=xI{x|≤1} ，是trun阳离子函数。当X=S时，我们将其与（5.38）中定义的u联系起来，即其可预测的补偿器随机测量值ν。理论的直接应用。[3]中的1（参见[21]中的定理3.75）（第103页）或[22]中的引理4.24（第三章）），到（2.5）中定义的鞅m，导致局部鞅m的存在⊥还有fm∈ Gloc（u，F），转基因∈ Hloc（u，F）和βm∈ L（Sc）su ch thatm=βm Sc+fm (u - ν） +gm u+m⊥.

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2022-5-8 04:43:21

（5.40）G下Sτ的相应正则分解由Sτ=S+h给出（uGb）- νGb）+hfmZ-一] ]0，τ]] ν+b Aτ+（x）- h） uGb（5.41），其中（βm，fm）由（5.40）给出，uGb和νGb由uGb（dt，dx）给出：=I[[0，τ]]（t）u（dt，dx），νGb（dt，dx）：=（1+Z）-1.-fm）I[[0，τ]]（t）ν（dt，dx）。（5.42）5.1定理2.4的证明该证明包括四个步骤，我们在其中证明（b）<==>（c），（b）==>（a），及（a）==>（b）分别。技术上只涉及最后一步。第一步：在这里，我们证明（b）<==>（c）。注意（c）==>（b）紧随引理1.4。假设断言（b）成立，并考虑以下F-可预测过程φ：=h1+p，FY|S | I{eZ>0}我-你好Ohm\\(∪n[[Tn]]）+X-nI[[Tn]]i，式中（Tn）n是F-可预测停止时间的序列，因此{s6=0}+∞[n=1[[Tn]]。然后，很容易看到进程x:=Y-~n·S（0）+[~n·S（0），Y]=XYSI{eZ<1&Z-≥δ} 具有可积变化，其F补偿器由以下公式给出（由于F作用，它是一个具有有限变化的纯jum p过程，仅在可预测的停止时间上跳跃）Xp，F=Xp，FY~nSI{eZ>0}I{Z-≥δ}≡ 0.因此，Y（ν·S（0））是F-局部鞅，S（0）满足NUPBR（F）。这就结束了（b）的证明<==>（c）。第二步：在这里，我们证明（b）=> （a）。假设断言（b）成立，并考虑一系列增加到整数的Fstopping时间（τn），使得Yτ是F-鞅，Qn:=Yτn/Y·P~P那么，（2.9）意味着（S（0））σ是一个Qn局部鞅，并且满足（2.19）在Qndue到{eZQT=0}={eZT=0}下，对于任何Q~ P和任何F-停止时间T，（5.43），其中ezqt:=Q[τ≥ t |英尺]。这源于Ehezti{eZQT=0}i=EhI{τ≥T}I{eZQT=0}I=0（这意味着{eZQT=0} {eZT=0}）以及Q和P的对称作用。因此，定理2.12的直接应用（S（0））σn，Qn导致（S（0））σn的NUPBR（G，Qn）∧τ=I{Z-≥δ} ·Sσn∧τ.

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2022-5-8 04:43:24

由于命题1.5，这意味着I{Z的NUPBR（G）-≥δ} ·对于任何δ>0的情况，S。自从Z-1.-I[[0，τ]]是G-局部有界的，存在一系列G-停止时间τδ，当δ减小到零时，它增加到完整性，[[0，τ]]∧ τδ]] {Z-≥ δ}. 因此，我们得出结论Sτ∧τδ满足NUPBR（G）。因此，命题1.5再次暗示，Sτ最终满足NUPBR（G）。第二部分到此结束。第3步：在这一步中，我们将重点放在证明（a）=>（b）。假设Sτ满足NUPBR（G）。因此，对于I{Z，G下存在σ-鞅密度-≥δ} Sτ（δ>0），我们用DG表示。然后，从定理a.1的直接应用出发，我们推导出一个正的EEP（G）-可测泛函fG的存在性∈ Gloc（uGb，G），使得DG:=E（NG）>0，其中NG:=WG （微克）- νG），WG:=fG- 1+bfG- aG1- aGI{aG<1}，其中在（5.42）中定义了νGwas，并在（5.40）中定义了Fmgi{Z-≥δ} νG=xfG1+fmZ-一] [0，τ]]I{Z-≥δ} ν ≡ 0.（5.44）由于引理B.2，我们得出了一个正的（F）-度量函数F的存在性，例如fGI]]0，τ]]=fi]]0，τ]]。因此，（5.44）变成（b）：=xf1+fmZ-一] [0，τ]]I{Z->0} ν ≡ 0.介绍以下符号u：=I{eZ>0&Z-≥δ} ·u，ν：=hI{Z-≥δ} ·ν，h:=MPuI{eZ>0}|eP,g:=f（1+fmZ）-)hI{h>0}+I{h=0}，a（t）：=v（{t}，Rd），（5.45）并假设p（g- 1) u∈ A+loc（F）。（5.46）然后，由于引理A.2，我们推导出W:=（g- 1)/(1 - a+bg）∈ Gloc（u，F）和局部鞅n（0）：=g- 11- a+bg (u- ν），Y（0）：=E（N（0）），（5.47）定义良好，满足1+N（0）>0[N（0），S]∈ A（F）和{Z-> 0}我们有p，FY（0）SI{eZ>0}Y（0）-=p、 F(1 + N（0））SI{eZ>0}=p、 Fg1- a+bgSI{eZ>0}= gxh1- a+bg ν = xf（1+fm/Z）-)1.- a+bgI{Z->0} ν=p，FU（b）1.- a+bg≡ 这证明了断言（b）在假设（5.46）下成立。证据的剩余部分将表明这个假设始终成立。

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2022-5-8 04:43:29

对于这个en d，我们首先注意到在s et{h>0}上，g- 1=f（1+fmZ）-)H- 1=（f）- 1）（1+fmZ）-)h+fmZ-h+MPuI{eZ=0}|ePh:=（f）- 1）（1+fmZ）-)h+MPumI{eZ>0}|ePZ-h=：g+MPumI{eZ>0}|ePZ-h、自从（f）- 1） I]]0，τ]] u1/2∈ A+loc（G），然后根据命题A.3–（e）q（f）- 1） I{Z-≥δ} （eZ·u）∈ A+loc（F），对于任何δ>0。然后，直接应用命题a.3–（a），对于任何δ>0，我们有（f- 1） I{|f-1|≤α&Z-≥δ} （eZ·u），|f- 1 | I{| f-1 |>α&Z-≥δ} （eZ·u）∈ A+loc（F）。通过停止，在不丧失一般性的情况下，我们假设这两个过程和[m，m]属于A+（F）。注意-+fm=MPueZ | eP≤ MPuI{eZ>0}|eP= 这是弗罗梅兹的故事≤ I{eZ>0}。因此，我们嘲笑gI{|f-1|≤α} u(∞)= E“（f- 1）（1+fmZ）-)你好{f-1|≤α} u(∞)#= E“（f- 1）（1+fmZ）-)你好{f-1个|≤α} ν(∞)#≤ δ-2E（f）- 1）（Z）-+ fm）I{|f-1|≤α&Z-≥δ} ν(∞)= δ-2Eh（f）- 1） I{|f-1|≤α} （eZI{Z）-≥δ}· u)(∞)我+∞,安第斯山脉gI{|f-1|>α} u(∞)= E“| f- 1 |（1+fmZ）-)你好{f-1|>α} u(∞)#= E|F- 1 |（1+fmZ）-)I{|f-1 |>α}I{Z-≥δ} ν(∞)≤ δ-1Eh | f- 1 | I{| f-1|>α} （eZI{Z）-≥δ}· u)(∞)我+∞.（5.45）中定义了u和ν。因此，通过命题A.3-（A），我们再次得出结论 u∈ A+loc（F）。由于MPu（HK | eP（F））≤ MPu（H|eP（F））MPu（K|eP（F）），我们MPumI{eZ>0}|ePZ-H u(∞)≤ EMPu(m） | ePMPuI{eZ>0}|ePZ-H u(∞)= EMPu(m） | ePZ-I{Z-≥δ} u(∞)≤ δ-2E[[m，m]∞] < +∞.因此，我们得出结论P（g- 1) u∈ A+loc（F）。这就结束了（5.46）的证明，Theorem的证明就完成了。5.2定理的证明3.4在证明定理的两个断言之间的等价性之前，我们将开始概述大量的注释，这些注释极大地简化了证明。在{T<+∞} 对于Q，我们有{eZQT=1}={eZT=1}~ P和F- 停止时间T，（5.48），其中ezqt:=EQ（τ）≥ t | Ft）。事实上，杜伊图（1）-eZT）I{eZQT=1}I=EhI{τ<T}I{eZQT=1}I=0，夹杂物{eZQT=1} {eZT=1}后面跟着，而反向包含后面跟着s y mmetry。

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2022-5-8 04:43:32

这证明了（5.48）。由于S是一个只有可预测跳变时间的薄过程，因此存在一系列F-可预测停止时间（Tn）n≥1.这样{s6=0}+∞[n=1[[Tn]]。定理的证明包括三个步骤，其中我们证明（b）<==>（c），（b）==>（a）及（a）==>（b）分别。第一步：在这里，我们证明（b）<==>（c）。注意，k s到引理1.4，（c）==> （b）立即跟进。证明相反（即（b）==>（c）），我们考虑以下F-可预测过程φ：=h1+p，FY|S|I{eZ<1}我-1“我Ohm\\（S）+∞n=1[[Tn]]++∞Xn=1-nI[[Tn]#。很容易检查0<Д≤ 1和U:=Y-是一个具有可积变量的过程，其补偿器（因为它是一个纯跳跃过程，具有有限的变量，且仅在可预测的停止时间上）为up，F=X k p，FYSI{eZ=1>Z-}≡ 这证明Y是S（1）（即Y）的σ-鞅密度∈ L（S（1），F）），然后紧接着是hen-ce断言（c）。第二步：在这里我们将证明（b）=> （a）。假设断言（b）成立，并考虑停止时间序列（σn）确保Yσ是鞅，并将Qn:=（Yσn/Y）·P~ P那么，因为：=PSI{eZ<1}是一个只有可预测跳变时间的薄过程，条件（3.24）转化为σ是一个Qn-lo-cal鞅满足的事实{eSσn6=0}∩ {eZQn=1>ZQn-} = ,由于（5.48）。因此，多亏了命题1.5，就足以证明断言（a）在qnSσn下成立。因此，在不丧失普遍性的情况下，我们假设Y≡ 1和hen ceeS是满足（3.34）的F-局部鞅。因此，直接应用定理3.12意味着τ满足上br（G）。步骤3：在这里，我们将证明（a）=>（b）。假设这是- Sτ满足NUPBR（G）。直接应用Theorem A.1意味着fG的存在∈ Gloc（uGa，G）使fG>0，NG:=WG （uGa）-νGa），WG:=fG- 1+bfG- aG1- aGI{aG<1}和xfg νGa=xfG1.-fm1- Z-一] ]τ+∞[[ ν ≡ 0

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