为此，在{h>0&Z-< 1} 我们计算- 1=f（1）-Z-- fm）h（1- Z-)- 1=（f）- 1)(1 - Z-- fm）h（1- Z-)-MPumI{eZ<1}|eP(1 - Z-)h=：g+g，并指出{1- Z-- fm>0} {h>0}这是由于- Z-- fm=1-MPueZ | eP≤ MPuI{eZ<1}|eP= h、 这是由I{eZ=1}所暗示的≤简单因此，我们推导出gI{|f-1个|≤α} u（σn）∧τn）= E（f）- 1)(1 - Z-- fm）h（1- Z-)I{|f-1个|≤α} I{eZ<1} u（σn）∧τn）= E（f）- 1)(1 - Z-- fm）h（1- Z-)I{|f-1个|≤α} ν（σn）∧ τn）≤ E（f）- 1)1 - Z-- fm（1）- Z-)I{|f-1个|≤α} ν（σn）∧ τn）≤ E（f）- 1)(1 - Z-)I{|f-1个|≤α} ((1 -eZ）·u（σn∧ τn）= E（f）- 1)(1 - Z-)I{|f-1个|≤α} I]]τ+∞[[ u（σn）∧ τn）≤ （n+1）E（f）- 1） I{|f-1个|≤α} u（τn）< +∞.安第斯山脉gI{|f-1|>α} u（σn）∧τn）= E|F- 1|(1 - Z-- fm）h（1- Z-)I{|f-1 |>α}I{eZ<1} u（σn）∧ τn）= E|F- 1|1 -Z-- fm1- Z-I{|f-1|>α} ν（σn）∧ τn）≤ E|F- 1|1 -Z-I{|f-1|>α} ((1 -eZ）·u）（σn∧ τn）= E|F- 1|1 -Z-I{|f-1 |>α}I]]τ+∞[[ u（σn）∧ τn）≤ （n+1）Eh | f- 1 | I{| f-1|>α} ((1 -eZ）·u）（τn）i<+∞.这证明了PG u≤√qgI{|f-1|>α} u+√gI{|f-1|>α} u属于A+loc（F）。Toprovepg u∈ A+loc（F），我们将（g） u（σn）∧τn）= EMPumI{eZ<1}|eP(1 - Z-)嗨{eZ<1&Z-<1} u（σn）∧ τn）≤ EMPu(m） | ePMPuI{eZ<1&Z-<1} | eP(1 - Z-)H ν（σn）∧ τn）= EMPu(m） | eP(1 - Z-)I{Z-<1} ν（σn）∧ τn）≤ E(1 - Z-)一] ]τ+∞[[MPu(m） | eP νσn∧τn≤ （n+1）E（[m，m]τn）<+∞ .因此，p（g- 1) u∈ A+loc（F）如下。多亏了引理A.2（见Chou-lli和Schweizer（2012）[10]），（5.51）紧随其后。这就结束了定理的证明。定理A.1的一个完整性结果。设我们是一个具有可预测特征三重态（b，c，ν=a）的半鞅 F），N是一个局部鞅，使得E（N）>0，（β，F，g，N′）是它的Jacod参数。接下来的断言成立。1） E（N）是S的σ-鞅密度当且仅当以下两个性质成立：Z | x- h（x）+xf（x）| F（dx）<+∞, P A.- a、 e.（a.52）和B+cβ+Z十、- h（x）+xf（x）F（dx）=0，P A.- a、 e。

特别是，我们有Zx（1+ft（x）ν（{t}，dx）=Zx（1+ft（x）ft（dx）At=0，P- a、 e.（a.54）证据。证据可以在Choulli等人[9，Lemma 2.4]2007，以及Choulli和Schweizer（2013）[10]中找到。引理A.2。设f是aeP（H）-可测泛函，使得f>0和H（f）- 1) ui1/2∈ A+loc（H）。（A.55）那么，H-可预测过程1.- 啊+bfH-1是局部有界的，henceWt（x）：=ft（x）- 11- aHt+bfHt∈ Gloc（u，H）。（A.56）这里，aHt:=νH（{t}，Rd），bfHt:=Rft（x）νH（{t}，dx）和νHis是H证明下u的H-可预测随机测度compensator。这个引理的证据可以在Choulli和Schweizer（2013）中找到。为了完整起见，我们在下面提供这个证明。在这个证明中，我们计算（x）=1- ft（x），andbUt:=aHt-bfHt。我们首先指出（A.56）由（A.55）和1/（1）的局部有界性的组合而来-bU）。因此，在接下来的内容中，我们将重点证明后一个事实。考虑δ∈ (0, 1),η ∈ （0,1），以及由t=0、Tn+1:=inf定义的停止时间和过程t>Tn | XTn<v≤T紫外线(Sv）我{Sv6=0}> δ,Vn（t）：=hXTn<v≤T紫外线(Sv）我{Sv6=0}i1/2。注意——因为每n≥ 0，过程（Vn（t））是RCLL和不减损实值过程——我们有（Vn（Tn+1））：=XTn<v≤Tn+1紫外线(Sv）我{Sv6=0}≥ {Tn+1<+∞}.这意味着TNF增加到+∞ 几乎可以肯定的是-) ≤ δ、 P- a、 为所有人服务≤ Tn+1。由于0≤ (1 -bU）-1I{bU<1-η}≤ η-1和（1）-bU）-1=（1-bU）-1I{bU≥1.-η}+ (1 -bU）-1I{bU<1-η} ，我们推断，一旦我们证明y:=1，引理的证明就会实现-别布≥1.-η} 是局部有界的。多亏了Dellacherie和Meyer（1980），这一事实相当于UP0≤U≤tYu<+∞ P- a、 任何t都是s∈ (0, +∞).因为TNT增加到∞ 几乎可以肯定的是，苏普顿暗示了这一事实≤U≤T∧Tn+1Yu<+∞ P- a、 美国。

在{t>Tn}上。简单的计算会让我们≤ Vn（s）-) +p、 H(Vn）s，对于所有Tn<s≤ Tn+1。因此，很容易看出，对于δ+η<1，{s∈]Tn，Tn+1]|总线≥ 1.- η}  {s∈]总氮，总氮+1]|磷，氢(Vn）s≥ 1.- η - Vn（s）-)} {s∈]总氮，总氮+1]|（Vn）p，H=p、 H(Vn）s≥ 1.- η - δ} 很明显，#∩ [0，t]）<+∞ P- a、 自（Vn）p以来，他的a c\'adl\'ag p进程。因此，我们推断出≤U≤T∧Tn+1Yu=maxTn≤U≤T∧Tn+1Yu<+∞.这就结束了引理的证明。提案A.3。对于任何α>0，以下断言成立：（a）设h为aeP（h）-可测泛函。然后，p（h）- 1) u ∈ A+loc（H）i ff（H）- 1） I{|h-1个|≤α} u和| h- 1 | I{| h-1|>α} u属于A+loc（H）。（b） 设V为F-可预测且不递减的过程。那么，Vτ∈ A+loc（G）当且仅当I{Z-≥δ}五、∈ A+loc（F）表示任何δ>0。（c） 设h为非负的andeP（F）-可测泛函。然后，hI]]0，τ]] u ∈ A+loc（G）当且仅当且仅当所有δ>0，hI{Z-≥δ} u∈ A+loc（F），其中u：=eZ u.（d） 设f为正，p（f）-可测，且u：=eZ u. 然后q（f）- 1） I]]0，τ]] u ∈ A+loc（G）i fff q（f）- 1） I{Z-≥δ} u∈ A+loc（F），对于所有δ>0。提议A.4。假设τ是一个有限的诚实时间（3.20）。然后，以下属性成立。（a） 设Φgag-可预测过程和k为非负andeP（F）-可测泛函，使得0<ΦG≤ 1和ΦGk 微克∈ A+loc（G）。那么，P A-A.e.Zk（x）（1）- Z-- fm（x）F（dx）<+∞ 关于{Z-< 1}. （A.57）（b）设f为aeP（f）-可测量且正函数，且u：=（1）-eZ）·u。然后q（f）- 1） I]]τ+∞[[ u ∈A+loc（G）当且仅当ifq（f）- 1） I{1-Z-≥δ} u ∈ A+loc（F）表示任何δ>0。B表示结果引理B.1。以下断言成立。（a） 如果hg是aeP（G）可测的f函数，则存在一个p（f）可测的函数HF，例如hg（ω，t，x）I]]0，τ]]=HF（ω，t，x）I]]0，τ]]。

（B.58）（B）如果HG>0（分别为HG≤ 1） ，然后我们可以选择HF>0（分别为HF≤ 1） 这样hg（ω，t，x）I]]0，τ]]=HF（ω，t，x）I]]0，τ]]。（（c）对于任何F-停止时间T和任何正GT-可测随机变量YG，存在两个正FT-可测随机变量Y（1）和Y（2），满足YGI{T≤τ} =Y（1）I{T<τ}+Y（2）I{τ=T}。（B.59）引理B.2。假设τi是诚实的。设HGbe aneP（G）-可测泛函。那么以下断言就成立了。（a） 存在两个EP（F）-可测泛函HF和KF，使得Hg（ω，t，x）=HF（ω，t，x）I]]0，τ]]+KF（ω，t，x）I]]τ+∞[B.（B.60）（B）如果HG>0（分别为HG≤ 1） ，然后我们可以选择KF>0（分别为KF≤ 1） 例如hg（ω，t，x）I]]τ+∞]]= KF（ω，t，x）I]]τ+∞[[.确认Tahir Choulli和Jun Deng的研究得到了加拿大自然科学和工程研究中心的财政支持，该基金为G121210818。Ann a Aksamitand和Monique Jeanblanc的研究得到了法国银行业联合会转型期市场主席的支持。参考文献[1]Acciaio B.，Fontana C。，Kardaras C.（2014）在半鞅金融模型中的第一类套利和过滤放大，http://arxiv.org/pdf/1401.7198.pdf[2] Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.，和Jeanblanc，M.：渐进式放大环境中的套利，[3]Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.，和Jeanblanc，M.：非任意性直至随机水平FDORSEMIMARTINGALE模型，预印本，arXiv:1310.1142，（2014）[4]Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.，和Jeanblanc，M.：诚实时间下的无套利，Pr eprint，arXiv:1404.0410，（2014）。[5] Aksamit，A.，Choulli，T.，和Jeanblanc，M.：随机时间的分解及其分类，艾伯塔大学和埃弗里-瓦勒·德松大学预印本，2013年。[6] Amendin ger，J.，Imkeller，P.，Schweizer，M.：一个in sider的附加对数效用。

S TocchristicProcess及其应用，75（2），263-286（1998）。[7] 安塞尔，J.-P.，斯特里克，C.：特遣队行动方案。一位n.Inst.Henri Poincar\'e 30，303-315（1994年）。[8] Choulli，T.和Deng，J.：信息离散时间市场模型的无套利，Arxiv。。。。(2015).[9] Choulli，T.，Stricker，C.，和Li J.：q阶的最小海林格鞅测度。金融与随机11.3（2007）：399-427。[10] Choulli T.和Schweizer M.，LlogL的等价σ-鞅密度在等价测度变化下的稳定性，发表于《随机学》，2013年。[11] Choulli T.，Deng，J.和Ma，J.无套利、生存能力和投资组合之间的关系。阿尔伯塔大学公共关系研究所（2013年）。[12] Dellacherie，C.和Meyer，P-A.《概率与潜力》，第V-VIII章，赫尔曼，巴黎，1980年，英译：概率与潜力，第V-VIII章，北荷兰，（1982年）。[13] Dellacherie，M.，Maisonneuve，B.和Meyer，P-A.（1992），《概率与潜力》，第十七章：马尔可夫过程（FIN），计算随机性补充，巴黎赫尔曼。[14] 德尔巴恩，F.，西舍尔迈耶（1994）。资产定价基本定理的一般版本。Mathematische annalen，300（1），463-520。[15] 德尔巴恩，F.，西舍尔迈耶（1998）。资产定价理论中几个问题的简单反例。数学金融，8（1），1-11。[16] Delbaen F.和Schachermayer W.，资产定价基本定理的一般版本，Mathematische Annalen，1994年。[17] Fontana，C.和Jeanblanc，M.和Song，S.（2013）关于诚实时间产生的套利。Toappear in Finance and Stochastics[18]Grorud，A.and Pontier，M.（1998）在连续时间市场模型下的交易，国际理论与应用金融杂志，131-347。[19] 何世伟，王，C.K.，闫，J。

答：半鞅理论和随机微积分。华润出版社（1992年）。[20] Hulley，H.和Schweizer，M.（2010）M6 n最小市场模型和最小鞅度量当代定量金融，第35-51页[21]Jacod，J.，计算随机性和鞅的问题，数学课堂讲稿，第714卷（1979年）。[22]Jacod，J.和Shiryaev，A.N.，随机过程的极限定理，Springer Verlag，2003[23]Jeulin，T。（1980），《半鞅与粗化过滤》，数学课堂讲稿，第833卷，柏林斯普林格——海德堡——纽约。[24]朱林，第。和Yor，M.（1978）Grossissement d’une filtation et semi martingales:FormulesPlicites，S’eminaire de Probabilit’es XII，Dellacherie，C。和梅耶，P-A.和威尔，M.，主讲数学649，78-97，S普林格·韦拉格。[25]卡巴诺夫，Y.：关于克雷普斯·德尔巴恩·沙切梅耶的自由贸易协定。摘自：K ab an ov，Y.等人（编辑）：随机过程的统计和控制：Liptser Festschrift，第191-203页。《世界科学》，Sin gapore（1997）[26]Kallsen，J.：σ-局部化和σ-鞅。概率论及其应用48.1（2004）：152-163。[27]Karatzas I.和Kardaras C.，半鞅金融模型、金融学和随机学中的计价组合，447-493，2007年。[28]卡尔达拉斯，C.：在此之前，内部人士不会进行RIK。arXiv:2010.1961v2。[29]卡尔达拉斯，C.：通过缺乏第一类套利的市场生存能力。《金融与随机》，16（4），651-667（2012）。[30]卡达拉斯，K。（2014），关于避免所有停车时间的诚实时间的特征。随机过程及其124373–384。[31]Kohatsu–Higa，A.，Sulem，A.：内部影响市场中的效用最大化。《数学金融》，16（1），153-179（2006）。[32]Loewenstein，M.，Willard，G.A.：本地鞅、套利、无风险小吃和廉价次品。

经济理论，16（1），135-161（2000）。[33]Larsen，K.和Zitkovic，G.（2013）关于凸投资组合约束下的效用最大化应用概率的Ann als第23卷，第2期，665？92[34]南莱文塔尔。，Skorohod，A.V.（1995年）。一个必要且有效的条件，可以避免平淡投资组合的套利。《应用概率年鉴》，906-925年。[35]（2006）Platen，E.：一种基准融资方法。数学财务部16131？51[36]皮科夫斯基，I.，卡拉萨斯，I.：预期投资组合优化。应用概率的进展，1095-1122（1996）。[37]Rokhlin，D.B.，关于随机过程叉凸族的等价上鞅密度的存在性，数学。附注87（2010），第3号？，556?63.[38]Ru f J.（2013）《套利下的套期保值》，数学金融第23卷，第2期，第297页？17.[39]Stricker，C.，Yan，J.A.：关于可选分解定理的一些评论。S’eminaire deprobabilit’es，56-66[40]高冈，K.，关于无无界利润和有界风险条件的说明，见《金融与随机》，2012年。[41]Yor，M.，Grossissent d\'une filtation et semi Martines:th\'eor\'emes g\'en\'eraux S\'Eminare DeProbability\'es，第十二卷，数学课堂讲稿，第649卷，（1978），第61-69页。