半鞅模型的随机期无套利

2022-5-5 01:21:28

半鞅模型的随机期无套利*Anna Aksamit、Tahir Choulli+1、Jun Deng和Monique Jeanblanc数学和统计科学系。，加拿大艾伯塔大学埃德蒙顿分校埃弗里-埃松大学埃弗里-法兰西埃弗里分校该版本详细阐述了前一版本的思想和结果，并解决了准左连续情况下的一个小故障。21年11月8日摘要本文讨论了无套利半鞅模型在随机视界停止时的影响问题。我们关注的是无无界利润和有界风险（下文称为“无界利润”）概念，这在文献中也被称为第一种无套利。对于这个无套利概念，我们得到了两个主要结果。第一个结果在于描述市场模型和随机时间对，由此产生的s-Top模型完全满足Nupbr条件。第二个主要结果描述了随机时间模型的特征，这些模型在任何市场模型停止后都会表现出NupBr属性。这些结果在一个非常普遍的市场模型中进行了阐述，我们也注意到了一些特殊的和实用的模型。驱动这些结果的分析是基于半鞅理论中新的随机发展和进步。此外，我们构造了一些局部鞅在随机时间停止时的显式鞅密度。1导言自从Arrow Debreu针对离散市场的开创性工作（见[4]、[11]、[15]和[18]）发表后，套利成为现代金融中的基本概念之一。在金融文献中，套利被称为资产定价基本定理（FTAP）。

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2022-5-5 01:21:32

通过建立套利和资产定价理论之间的联系，加强了这种重要性，如罗-德布鲁模型（见[11]第7章）、布莱克和S-乔尔斯公式（见[6]）和考克斯-安德罗斯线性定价模型（见[10]）。许多研究者，如杜菲、哈里森、黄、克雷普斯和普利斯卡（见[21]、[22]和[12]），已经在总体框架内对这些作品进行了形式化。套利理论和其他金融/经济概念之间的其他联系已经被发现、阐述并进一步探索，如随机优势、市场均衡、市场生存能力、投资组合分析、投资组合数量等。套利在证券市场分析中起着至关重要的作用，因为它的作用是将价格推高到基本价值，并保持市场效率。*Tahir Choulli和Jun Deng的研究由加拿大自然科学和工程研究委员会通过G121210818资助。法国银行业研究联合会主席安娜·布兰克特通讯作者，电子邮件：tchoulli@ualberta.caIn无论是数学金融还是金融经济学，套利（或同样不存在套利）都有许多定义，如无免费午餐（NFL）、无风险消失的免费午餐（NFLVR）、廉价刺激、免费零食、无风险无限利润（NUPBR）等（见[15]、[16]、[17]、[28]、[34]、[36]以及其中引用的参考文献）。值得一提的是，这些套利概念的大部分适用于离散市场（即，具有固定数量的交易场景和固定数量的交易时间的市场），在一定程度上适用于具有固定水平的离散时间市场。从理论上讲，套利机会是一种没有现金支出的交易，它会带来一定的收益。

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2022-5-5 01:21:35

这种哲学的数学表述因模型而异。最近，人们对研究FLVR概念以及效用最大化问题的附加信息的影响产生了极大的兴趣。关于这些主题，我们请读者参考[5]、[35]、[39]等。在这里，我们只关注NUPBR概念，主要有两个原因。首先，NUPBR属性是一个无套利概念，与市场生存能力的最弱形式密切相关（关于这个问题的详细信息，请参见[9]和[32]，以及[2]关于违反NFLVR和完全填充NUPBR的市场模型的许多例子）。最近很明显，对于违反NUPBR的模型，最优投资组合甚至在本地都不存在，定价规则也会失败。其次，由于[41]和[9]的原因，NUPBR属性在数学上非常有吸引力，并且具有NFLVR和其他套利概念缺乏拓扑的“动态/本地化”特征。所谓本地化特征，我们的意思是，如果属性在本地保持不变（即，对于停止的模型，属性保持不变，停止时间序列增加到完整性），那么它在全球保持不变。在本文中，我们考虑了在“公共信息”和任意随机时间τ下满足NUPBR性质的一般半鞅模型S，并回答了以下问题：对于哪些对（S，τ），NUPBR性质适用于Sτ？（P1）在定理2.19中，我们刻画了初始市场S和随机时间τ对，因为ich（P1）有一个肯定的答案。

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2022-5-5 01:21:38

我们的第二个主要问题是关于哪个τ，在τ处停止后，NUPBR是否为任何S保留？（P2）为了加深我们对初始市场模型和随机时间模型之间精确相互作用的理解，我们分别在准左连续模型和具有可预测跳跃的薄过程的情况下解决这两个主要问题。然后，我们结合这两个案例，陈述最一般框架的结果。拟左连续模型的结果是定理2.8和命题2.12，其中问题（P1）和（P2）分别得到了完全解答。对于具有可预测跳跃的薄过程，我们的主要结果是定理2.16。然后，在一般情况下，将过程分为准连续过程和具有可预测跳变的细过程。在文献中对这个问题进行了研究，在连续过滤的特殊情况下，假设τ在[20]中避免了F-停止时间，并且市场是完整的。[2]中有许多明确的例子。也可以使用[3]中建立的新的光学分解公式得出一些主要结果。几个月前，我们的结果的第一个版本已经发布，之后，Acciaio等人[1]使用不同的方法证明了我们的一些结果和想法。本文的结构如下。下一节（第2节）以不同的上下文介绍了我们的主要结果，并讨论了它们的含义和/或它们的经济解释及其后果。第3节发展了新的随机结果，这是（P1）-（P2）答案背后的关键数学思想。第4节给出了在S是准连续的情况下，挠度的明确形式。第5节包含第2节公布的主要条款的证据，没有证据。

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2022-5-5 01:21:42

本文在附录中总结了关于半鞅可预测性的一些经典结果和其他相关结果。为了便于读者阅读，一些技术证明也被推迟到附录中。2主要结果及其解释本节旨在介绍我们的主要结果及其直接后果。为此，我们开始指定我们的数学设置和我们将要解决的经济概念。2.1在NUPBRWe上的符号和初步结果应视为可靠的依据(Ohm, G、 F=（英尺）t≥0，P），其中F是满足通常假设（即，正确的连续性和完整性）的过滤，F∞ G.从财务角度来说，过滤代表了公众信息随时间的流动。在此基础上，我们考虑一个任意但固定的d维c`adl`ag semimartin gale S。这代表了d股票的贴现价格过程，而无风险资产的价格假定为常数。除了初始模型之外(Ohm, G、 F，P，S），我们考虑一个随机时间τ，即一个非负的G-可测随机变量。对于这个随机时间，我们将过程D和过滤G关联起来，比亚迪给出：=I[[τ+∞[G=（Gt）t≥0，Gt=\\s>t财政司司长∨ σ（Du，u）≤ （s）.过滤G是最小的右连续过滤，其中包含F，使τ成为停止时间。在概率论文献中，G被称为F随τ的逐步扩大。除了G和D之外，我们还将τ与zt:=P（τ>t | Ft）和zt:=P给出的两个重要的F-超鞅联系起来τ ≥ T英尺. （2.1）超人gale Z与左极限右连续，并与I]]0，τ[[，w Hilez仅限右极限和左极限的F-可选投影重合，是I]]0，τ]]的F-可选投影。

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2022-5-5 01:21:45

Z的分解导致了一个重要的F-鞅m，给定bym:=Z+Do，F，（2.2）其中Do，Fis是D的F-对偶可选投影（更多细节参见[26]）。在下文中，H是一个满足通常假设的过滤，Q是过滤概率空间上的概率度量(Ohm, H）。Q下过滤H的鞅集用m（H，Q）表示。当Q=P时，我们只表示M（H）。通常，A+（H）表示一组递增的、右连续的、H适应的和可积的过程。如果C（H）是一类H适应过程，我们用C（H）表示过程集X∈ C（H）的X=0，并通过完成一组过程X，从而存在一个序列（Tn）n≥1小时停车时间增加到+∞ 停止的过程从XTnbelong到C（H）。我们计算c0，loc（H）=C（H）∩ Cloc（H）。对于具有H-局部可积变分的过程K，我们用Ko表示，Hits对偶可选投影。K的对偶可预测投影（也称为H-可预测对偶投影）表示为Kp，H。对于过程X，我们表示o，HX（对应p，HX）其相对于H的可选（对应可预测）投影。对于H-半鞅Y，集合L（Y，H）是H可积w.r.t.Yand的H可预测过程的集合∈ L（Y，H），我们表示H Yt:=RtHsdYs。通常，对于进程X和运行dom时间θ，我们用Xθ表示停止的进程。为了区分过滤的效果，我们将h表示为。如果，或h。如果可能出现混淆，则使用过滤F或G中计算的尖括号（可预测的协变量过程）。我们记得，对于一般半鞅X和Y，尖括号是（如果存在）协变量p过程[X，Y]的对偶可预测投影。我们引入了本文将要讨论的无套利概念。定义2.1。

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mingdashike22

2022-5-5 01:21:48

H-半鞅X满足（H，Q）（以下称为NUPBR（H，Q））下的无无界profit和有界风险条件，如果对于任何t∈ (0, +∞) setKT（X，H）：=n（H S） T|H∈ L（X，H）和H 十、≥ -1在Q下概率有界。当Q~ P，我们简单地写下，滥用语言，Xsatis fies NUPBR（H）。备注2.2。（i）值得注意的是，这种对NUPBR条件的定义最早出现在[31]（据我们所知），它与Delbaen和Schachermayer[19]、Kabanov[28]以及Karatzas和Kardaras[30]中给出的文献的时间范围不同。显然，当视界是确定的和有限的时，当前的NUPBR条件与文献中的一致。我们可以将当前的NUP B R命名为NUP B Rloc，但为了简化符号，我们选择了常用的术语。（ii）一般来说，当地平线不确定时，文献中的NUPBR条件意味着上述NUPBR条件。然而，相反的含义可能并不普遍适用。事实上，如果我们考虑St=exp（Wt+t），t≥ 0，那么很明显，S满足了我们的NU PBR（H），而文献的NUP B R（H）被违反了。为了看到这最后一个说法，只需说一句话就够了-→+∞（圣- 1) = +∞ P- a、圣- H=1 s≥ -1h:=I]]0，t]]。以下命题将Takaoka在有限视界（见[41]中的定理2.6]）中获得的结果略微推广到我们的NUPBR环境中。提议2.3。设X是H-半鞅。那么下面的断言是等价的。（a） X满足NUPBR（H）。（b）存在正H-局部鞅Y和满足0<θ的H-可预测过程θ≤ 1和Y（θ）十）是一个局部鞅。证据暗示的证明（b）=> （a）基于[41]并被省略。因此，我们专注于证明相反的含义，并假设断言（a）成立。

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2022-5-5 01:21:51

因此，将[41]中的定理2.6直接应用于每个（St∧n） t≥0，我们得到了正H-局部鞅Y（n）和H-可预测过程θnsuch的存在性≤ 1和Y（n）（θn） Sn）是当地的马丁·盖尔。很明显，过程n：=+∞Xn=1I]]n-1，n]]（Y（n）-)-1. Y（n）是局部鞅，dy:=E（n）>0。另一方面，H-可预测过程θ：=Pn≥1I]]n-1，n]]θnsatis fies 0<θ≤ 1和Y（θ） S）是一个局部鞅。这就结束了这一主张的证明。对于任何H-半鞅X，满足命题2.3断言（b）的局部鞅称为X的σ-鞅密度。这些σ-鞅密度的集合将通过论文byL（H，X）：={Y来表示∈ Mloc（H）| Y>0，θ ∈ P（H），0<θ≤ 1，Y（θ）十）∈ Mloc（H）}（2.3），其中，与通常一样，P（H）s代表可预测的过程。在没有证据的情况下，我们陈述了一个明显的引理。引理2.4。对于任意H-半鞅X和任意Y∈ L（H，X），一个搭扣，H（Y）|X |）<∞ andp，H（Y）十） =0备注2.5。命题2.3意味着，对于任何过程X和任何有限停止时间σ，NUPBR（H）的两个概念（当前概念和文献中的一个）与Xσ一致。下面，我们证明，在有限视界的情况下，当前的NUPBR条件是稳定的欠定域，而文献中定义的NUPBR条件则不是这样。提议2.6。设X为H适应过程。那么，以下断言是等价的。（a）存在一个序列（Tn）n≥1小时停车时间增加到+∞ , 这样对每个人来说≥ 1，有一个概率Qnon(Ohm, HTn）使Qn~ Qn下的P和XTnsatis fies NUPBR（H）。（b） X满足NUPBR（H）。（c）存在一个H-可预测过程φ，使得0<φ≤ 1和（φ 十）满足NUPBR（H）。证据

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2022-5-5 01:21:54

（a）的证据<==>（b）由于[41]的原因（关于这个问题的进一步讨论，另见[8]），NUPBR条件在任何等效概率变化下都是稳定的。（b）的证明=>（c）是琐碎的，省略了。为了证明相反，我们假设（c）成立。命题2.3意味着H-可预测过程ψ的存在，使得0<ψ≤ 1和一个正局部鞅Z=E（N），使得Z（ψφ 十）是一个局部鞅。因为ψφ是可预测的且0<ψφ≤ 1，我们推导出S满足NUPBR（H）。这就结束了这个命题的证明。在本节结束时，我们给出了一个简单但有用的结果，用于预测具有有限变化的过程。引理2.7。设X是一个具有有限变化的H-可预测过程。那么X满足NUPBR（H）当且仅当X≡ X（即过程X是常数）。证据很明显，如果X≡ 十、然后是X satis fies NUPBR（H）。假设X满足numbr（H）。考虑一个正H-局部鞅Y和一个H-可预测过程θ，使得0<θ≤ 1 andY（θ）十）是一个局部鞅。让（Tn）n≥1b一系列H停止时间增加至+∞使得yt和YTn（θ 十）它们是真鞅。然后，每n≥ 1，定义Qn:=（YTn/Y）·P。因为X是可预测的，那么（θ）十） Tn也是可预测的，具有有限的变化，是一个Qn鞅。因此，我们推导出（θ）十） Tn≡ 每n 0≥ 1.因此，我们推导出X是常数（sinceXTn）- X=θ-1. (θ 十） Tn≡ 0). 这就结束了引理的证明。2.2拟左连续过程在本小节中，我们给出了关于拟左连续过程在τ处停止的NUPBR条件的两个主要结果。第一个结果包括对市场和随机时间模型的配对（S，τ）进行表征，其中Sτful满足NUPBR条件。

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2022-5-5 01:21:57

第二个结果集中于确定随机时间τ的模型，使得对于任何半鞅S享受NUPBR（F），停止的过程Sτ享受NUPBR（G）。我们首先回顾一些一般的符号。对于任何过滤H，我们表示EO（H）：=O（H） B（Rd），eP（H）：=P（H） B（Rd），（2.4），其中B（Rd）是Rd上的Borelσ场。S的跳跃度量由u表示，由u（dt，dx）=Xu>0I给出{Su6=0}δ（u，Su）（dt，dx），用于产品可测量的功能W≥ 0开Ohm ×[0, +∞[×Rd，我们表示W u（或有时滥用符号W（x） u）过程（W） u）t:=ZtZW（u，x）u（du，dx）=X0<u≤tW（美国），（苏）我{Su6=0}。（2.5）也在Ohm × [0, +∞[×Rd，我们定义了测量值MPu：=P ubyRW dMPu：=E[W u(∞)] （当积分定义良好时）。产品可测泛函W的条件“期望”给定nep（H），即满足[wi∑的u niqueeP（H）-可测泛函fw u(∞)] = EhfW I∑ u(∞)i、总之∑∈eP（H）。以下定理给出了满足NUPBR（G）的F-拟左连续过程在以τ停止后的一个特征。这个定理的证明将在5.1小节给出，而它的陈述是基于以下F-半鞅（0）：=xI{ψ=0<Z-} u，其中ψ：=MPuI{eZ>0}eP（F）. （2.6）定理2.8。假设S是F-拟左连续的。那么，以下断言是等价的。（a） Sτ满足NUPBR（G）。（b）对于任何δ>0，过程i{Z-≥δ}s- S（0）满足NUPBR（F）。（2.7）（c）对于任何n≥ 1.程序-S（0））σnsatis fies NUPBR（F），其中σn:=inf{t≥ 0:Zt<1/n}。备注2.9。1）从断言（c）可以理解，Sτ的NU-PBR（G）性质可以通过检查S来验证- S（0）满足NUPBR（F）至σ∞:= supnσn。这也等价于可预测集{Z）上相同过程的toNUPBR（F）-≥ δ} ，δ>0.2）泛函ψ和Z-+ fm:=MPu（eZ | eP（F））满足{ψ=0}={Z-+ fm=0} {eZ=0}，MPu- a、 e。

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2022-5-5 01:22:01

（2.8）事实上，由于托兹≤ 我{eZ>0}，我们有0≤ Z-+ fm=MPueZ | eP（F）≤ ψ.因此，我们把t{ψ=0} {Z-+ fm=0} {eZ=0}MPu- a、一方面。另一方面，反向夹杂遵循0=MPuI{Z-+fm=0}I{eZ=0}= MPuI{Z-+fm=0}ψ.3） A是上述备注2）的结果，且{eZ=0<Z-} [[σ∞]], 我们推断S（0）是一个c`adl`ag F-适应过程，与var（S（0））存在有限的变化∞≤ |Sσ∞|I{σ∞<+∞}. 此外，它可以写成asS（0）：=Sσ∞I{eZσ∞=0=ψ(σ∞,Sσ∞) & Zσ∞->0}I[[σ∞,+∞[[.这证明了定理2.8之前关于过程S（0）的说法。下面的推论对研究问题（P2）很有用，它描述了F-拟左-连续模型S的例子，该模型也有完整的（2.6）。推论2.10.假设S是F-拟左-连续且满足NUPBR（F）。那么，下面的断言成立。（a）如果S、 S（0满足NUPBR（F），然后Sτ满足NUPBR（G）。（b）如果S（0）≡ 0，则过程Sτ满足NUPBR（G）。（c）如果{s6=0}∩ {eZ=0<Z-} = , 然后Sτ满足NUPBR（G）。（d）如果EZ>0（相当于Z>0或Z-> 0），然后Sτ满足NUPBR（G）。证据（a）假设S、 S（0满足NUPBR（F）。那么，很明显- S（0）满足NupBr（F），断言（a）来自定理2.8。（b）自S满足NUPBR（F）和S（0）以来≡ 0，那么S、 S（0≡ （S，0）满足NUPBR（F），断言（b）来自断言（a）。（c）很容易看出这一点{s6=0}∩ {eZ=0<Z-} = 意味着S（0）≡ 0（由于（2.8））。因此，断言（c）和（d）从断言（b）开始，推论的证明就完成了。备注2.11。值得一提的是，X- Y可能满足nupbr（H），而（X，Y）可能不满足N UPBR（H）。

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能者818

2022-5-5 01:22:04

对于一个非平凡的例子，考虑Xt=Bt+λt和Yt=ntb，其中B是标准布朗运动，N是强度为λ的泊松过程。现在我们给出了拟左连续半鞅的第二个问题（P2）的答案。稍后（定理2.22）我们将推广这个结果。提案2.12。以下断言是等价的：（a）thin setneZ=0&Z-> 0ois可访问。（b）对于F-拟左-连续且满足NUPBR（F）的任何（有界）S，过程Sτ满足NUPBR（G）。证据申请书（a）=>（b）根据推论2.10–（c），因为{s6=0}∩ {eZ=0<Z-} = .我们现在集中精力证明相反的含义。为此，我们假设断言（b）成立，并且我们考虑F-停止时间σ，使得[[σ]] {eZ=0<Z-}. 众所周知，σ可以分解为完全不可接近的部分σI和可接近的部分σa，σ=σI∧ σa.考虑拟左连续F-鞅=V-电动汽车∈ M0，loc（F），其中V:=I[[σI+∞[andeV:=（V）p，F.从[14，第14段，第二十章]可知{eZ=0}和{Z]-= 0}与]]0，τ]]不相交。（2.9）这意味着τ<σ≤ σiP- a、 s。。因此，我们得到mτ=-eVτ是G-可预测的。（2.10）由于Mτ满足NUPBR（G），因此我们得出结论，由于引理2，该过程为空（即eVτ=0）。因此，我们得到0=EeVτ= EZ+∞Zs-开发人员= EZσi-I{σI<+∞},或等价于Zσi-I{σI<+∞}= 0便士- a、 s.只有当σi=+∞ P- a、关于{σi<+∞} {σ=σi<+∞} 我们有Zσi-= Zσ-> 0.这证明σ是一个可访问的停止时间。因为{eZ=0<Z-} 是可选的精简集，断言（a）紧跟其后。这就结束了这个命题的终结。2.3具有可预测跳时的瘦过程在这一小节中，我们概述了关于带随机时间的F-半鞅的停止可及部分的NUPBR条件的主要结果。

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2022-5-5 01:22:06

这归结为只考虑具有可预测jum p次的薄半鞅。我们首先解决单跳过程中的qu估计（P1），该过程具有可预测的跳变时间。定理2.13。考虑一个F-可预测的停止时间T和一个FT-可测量的随机变量ξ，使得E（|ξ| FT）-) < +∞ P- a、 s。。如果S:=ξI{ZT->0}I[[T+∞[[，那么以下断言是等价的：（a）Sτ满足NUPBR（G），（b）过程：=ξI{eZT>0}I[[T+∞[=I{eZ>0} S satis Fies NUPBR（F）。（c）存在一个概率测度(Ohm , FT），用QT表示，因此QT相对于P是绝对连续的，S满足NUPBR（F，QT）。这个定理的证明很长，并且需要中间结果，这些结果本身就很有趣。因此，这一点将在后面的第5节中给出。备注2.14。1）定理2.13 g的重要性超出了它的重要作用，它是更一般结果的基础。在f act中，定理2.13为Sτ的NUPBR（G）提供了两个不同的刻画。第一个特征表示为测量值绝对连续变化下S的N UPBR（F），而第二个特征使用S的变换而不改变测量值。此外，定理2.13可以很容易地推广到可数多阶可预测跳跃时间T=0的情况≤ T≤ T≤ ... 带supnTn=+∞ P- a、 s..2）在定理2.13中，选择形式为s:=ξI{ZT的s->0}I[[T+∞[[没有限制性。这可以从以下事实中理解：任何单个跳跃过程都可以分解为：=ξI[[T+∞[[=ξI{ZT->0}I[[T+∞[[+ξI{ZT-=0}I[[T+∞感谢{T≤ τ} {ZT-> 0}，我们有bτ=ξI{ZT-=0}I{T≤τ}I[[T+∞[[≡ 0（显然）是aG鞅。

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mingdashike22

2022-5-5 01:22:09

因此，S中唯一需要仔细注意的部分是：=ξI{ZT->0}I[[T+∞以下结果是（P2）在可预测单跳过程中的一个完整答案。命题2.15。设T为F-可预测停止时间。那么，以下断言是等价的：（a）关于{T<+∞}, 我们有一个zt=0onZT-= 0o。（2.11）（b）对于任何M:=ξI[[T+∞[[ξ在哪里∈ L∞（FT）使得E（ξ|FT-) = 0，Mτ满足NUPBR（G）。证据我们从证明（a）开始=> （b）。假设（2.11）成立；由于上述r标记2.142），我们可以将注意力限制在情况M:=ξI{ZT上->0}I[[T+∞[[ξ在哪里∈ L∞（FT）使得e（ξ|FT-) = 0.因为断言（a）等同于[[T]]∩ {eZ=0&Z-> 0} = , 我们推导出fm:=ξI{eZT>0}I{ZT->0}I[[T+∞[[=M是F-鞅。因此，直接应用定理2.13（对M）可以得出结论，Mτ满足上鞅（G）。这是（a）的证明=> （b）。为了证明相反的含义，我们假设断言（b）成立并考虑：=ξI[[T+∞[[，其中ξ：=I{eZT=0}- P（eZT=0 |英尺-).从（2.9）中，我们得到{T≤ τ } {eZT>0} {ZT-> 0}表示th atMτ=-P（eZT=0 |英尺-)I{T≤τ}I[[T+∞[[是G-可预测的。因此，当且仅当Mτ是等于M=0的常数过程时，Mτ满足NUPBR（G）。这相当于0=EhP（eZT=0 | FT）-)I{T≤τ}I[[T+∞[i=E]ZT-I{eZT=0&T<+∞}.很明显，这个等式等价于（2.11），断言（a）如下。这就结束了定理的证明。我们现在陈述定理2.13的以下版本，如前所述，它提供了（P1）的一个答案，在有可数的任意可预测跳跃的情况下。第5.3小节将给出该定理的证明。定理2.16。

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2022-5-5 01:22:13

让我们成为一个只有可预测的跳转时间且满足NUPBR（F）的瘦过程。那么，以下断言是等价的。（a）过程Sτ满足NUPBR（G）。（b）对于任何δ>0，都存在一个正的F-局部鞅Y，如p，F（Y）|S|）+∞ andp，FYSI{eZ>0&Z-≥δ}= 0.（2.12）备注2.17。1）假设S是一个只有可预测跳跃的瘦过程，满足NUPBR（F），并且{eZ=0&Z-> 0} ∩ {s6=0}= 持有。然后，Sτ满足NUPBR（G）。这是从定理2.16出发，使用Y∈ L（S，F）和引理2.4.2）类似于命题2.12，我们可以很容易地证明，薄集{eZ=0&Z-> 当且仅当Xτ满足任何薄过程X的NUPBR（G）且可预测跳跃仅满足NUPBR（F）。2.4本文的总体框架，与任何H-半鞅X，我们关联（H）-可预测停止时间（TXn）n序列≥1这耗尽了X的可访问跳跃时间。此外，我们可以将X分解为以下内容。X=X（qc）+X（a），X（a）：=IΓX 十、 X（质量控制）：=X-X（a），ΓX：=∞[n=1[[TXn]]。（2.13）过程X（a）（X的可接近部分）是一个只有可预测跳跃的薄过程，而X（qc）是一个H-准左连续过程（X的准左连续部分）。引理2.18。设X是H-半鞅。那么X满足NUPBR（H）当且仅当ifx（a）和X（qc）满足NUPBR（H）。证据由于命题2.3，X满足NUPBR（H）当且仅当存在H-可预测实值过程φ>0和正H-局部鞅Y，使得Y（φ 十）是一个H-局部鞅。很明显，Y（φIΓX 十）和Y（φIΓXc）十）都是H-局部鞅。

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2022-5-5 01:22:17

证明了X（a）和X（qc）都满足NUPNR（H）。相反，如果X（a）和X（qc）满足NUPNR（H），则存在两个H-可预测实值过程φ，φ>0和两个正H-局部鞅D=E（N），D=E（N），使得D（φ（IΓX S））和D（φ （IΓXc）十））都是H-局部鞅。注意，在假设N=IΓX时，并没有失去一般性 Nand N=IΓXc N.PutN:=IΓX N+IΓXc Nandψ：=φIΓX+φIΓXc。显然，E（N）>0，E（N）和E（N）（ψ） S）是H-局部鞅，ψ是H-可预测的，0<ψ≤ 1.引理的证明到此结束。下面，我们在这个总体框架中陈述问题（P1）的答案，使用引理2.18将是定理2.8和2.13的结果。定理2.19。假设S满足NUPBR（F）。那么，以下断言是等价的。（a）过程Sτ满足NUPBR（G）。（b）对于任何δ>0，过程i{Z-≥δ} （S（qc）- S（qc，0））：=I{Z-≥δ} （S（qc）- IΓc S（0））满足NU-PBR（F），并且存在一个正的F-局部鞅Y，例如p，F（Y）|S|）+∞andp，FYSI{eZ>0&Z-≥δ}= 0.证明。由于引理2.18，很明显Sτ满足NUPBR（G）当且仅当（S（qc））τ和（S（a））τ都满足NUPBR（G）时。因此，利用定理2.8和定理2.16，我们推断最后一个事实成立当且仅当对于任何δ>0，过程I{Z-≥δ} （S（qc）-IΓc S（0））满足NUPBR（F）并且存在一个正的F-局部鞅Y，例如p，F（Y）|S |）=p，FY|S（a）|< +∞ andp，FYSI{eZ>0，Z-≥δ}=p、 FYS（a）I{eZ>0，Z-≥δ}= 这就结束了定理的证明。推论2.20。以下断言成立。（a）如果m是连续的或Z是正的（等效YEZ>0或Z-> 当S满足NUPBR（F）时，Sτ满足NUPBR（G）。（b）如果满足NUPBR（F）和{s6=0}∩ {eZ=0<Z-} = , 然后Sτ满足NUPBR（G）。（c）如果S是连续的且满足NUPBR（F），那么对于任意随机时间τ，Sτ满足NUPBR（G）。证据

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2022-5-5 01:22:21

1）推论断言（a）的证明很容易遵循定理2.19。事实上，在这两种情况下，其中一种是{eZ=0<Z-} = 这意味着{eZ=0，δ≤ Z-} = 和S（qc，0）≡ 0（由于（2.8））。然后，由于引理2.4，必须取Y∈ L（S，F）-由于这个集合是非空的，并且应用定理2.19.2），很明显，断言（c）来自断言（b）。为了证明后一种说法，我们只需记住这一点{s6=0}∩{eZ=0，δ≤ Z-} = 意味着i{Z-≥δ} S（qc，0）≡ 0和SI{eZ=0，δ≤Z-}= SI{Z-≥δ}.因此，再一次，这就足够了∈ L（S，F）并应用定理2.19。这就结束了冠状动脉的证明。备注2.21。上述推论的两个断言中的任何一个都推广了Fontanet al.[20]的主要结果，该结果是在对随机时间τ和市场模型的一些限制性假设下得出的。下面，我们给出问题（P2）的一般答案，作为定理2.8、2.12和2的推论。16.定理2.22。以下断言是等价的：（a）thin setneZ=0&Z-> 0ois瞬间消失。（b）对于任何（有界）X满足NUPBR（F），Xτ满足NUPBR（G）。证据假设断言（a）成立，并考虑满足NUPBR（F）的进程X。那么，X（qc，0）：=IΓcX X（0）≡ 0，其中X（0）的定义如（2.6）所示。因此I{Z-≥δ}X（qc）- IΓcX X（0）一方面，满足任何δ>0的NUPBR（F），并且（X（qc））τ的NUPBR（G）性质紧随定理2.8。另一方面，很容易看到X（a）处的th完全用Y填充条件（2.12）≡ 1.因此，由于定理2.16（适用于薄过程X（a）满足NUPBR（F）），我们得出结论（X（a））τ满足NUPBR（G）。因此，由于引理2.18，（a）=>（b）我完成了。我们现在反驳（b）的断言。一方面，从命题2.12，我们推断{eZ=0<Z-} 是可访问的，可以用F-可预测停车时间（Tn）n的图表覆盖≥1.

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能者818

2022-5-5 01:22:24

另一方面，将命题2.15直接应用于所有单可预测jumpF鞅，我们得到{eZ=0<Z-} ∩ [T]= 对于任何F-预定的停止时间T。因此，我们得到{eZ=0<Z-} =∞[n=1{eZ=0<Z-}∩ [Tn]]= .这证明了断言（a），定理的证明就完成了。3.随机性-和-对于信息性无套利在本节中，我们开发了新的随机结果，这些结果将在前一节概述的主要结果的证明和/或陈述中发挥关键作用。第一小节比较了G-补偿器和F-补偿器，而第二小节研究了G-鞅，它在显式构造补偿器中至关重要。我们记得Z-+ m=eZ（见[27]）。引理3.1。设Z和Z是（2.1）给出的两个超鞅。（a）三个集合{eZ=0}，{Z=0}和{Z-= 0}具有相同的d′ebut，这是我们用br:=inf{t表示的F-停止时间≥ 0 | Zt-= 0}. （3.14）（b）以下F-停止时间br：={ZbR上的bR-= 0}+∞ 其他WiseAnder：={eZbR=0}上的bR+∞ 另一种情况是，bris是F-可预测的停止时间，τ≤bR，τ<eR，P- a、 s.（3.15）（c）G-Ht:=（Zt）-)-1I[[0，τ]]（t），（3.16）是G-局部有界的。证据根据[14，第14段，第XX章]，对于任意随机时间τ，集合{eZ=0}和{Z-= 0}与[0，τ]]不相交，且具有相同的下界br，最小的F-停止时间大于τ。因此，我们还得出结论，{Z=0}与]]0，τ[[]不相交。这导致断言（a）。过程x:=Z-1I]]0，τ[[作为c`adl`ag G-超鞅[42]，其左极限是局部有界的。那么由于(Z)-)-1I]]0，τ]]=X-,H的局部有界性如下。

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2022-5-5 01:22:27

这就结束了引理的存在。3.1 G和F下的双重可预测预测预测之间的确切关系本小节的主要结果总结在引理3.3和3.4中，其中我们讨论了如何根据F-双重可预测预测预测计算G-双重可预测预测预测预测的问题，反之亦然。这些结果基本上基于以下关于过滤的渐进放大的标准结果（我们请读者参考[14,26]以获取证据）。提议3.2。设M是F-局部鞅。然后，对于任意随机时间τ，过程cmt:=Mτt-Zt∧τdhM，mifsz-（3.17）是G-局部鞅，其中m在（2.2）中定义。在下面的引理中，我们用F-对偶可预测投影表示F-局部可积变分过程的G-对偶可预测投影，用非可预测投影表示G-可预测投影。引理3.3。以下断言成立。（a）对于任何具有局部可积变分的F-适应过程V，我们有（Vτ）p，G=（Z-)-1I]]0，τ]] （eZ） V）p，F.（3.18）（b）对于任何F-局部鞅M，我们有，[[0，τ]]p，G梅兹=p、 FMI{eZ>0}Z-, andp，G简单=p、 FI{eZ>0}Z-. （3.19）（c）对于任何拟左连续F-局部鞅M，我们有，[[0，τ]]p，G梅兹= 0，和p，GZ-+ m（qc）=Z-, （3.20）其中m（qc）是（2.13）中定义的准左连续F-鞅。证据（a）使用符号（3.16），等式（3.17）的形式为mτ=cM+HI]]0，τ]] 嗯，米夫。取M=V-我们得到vτ=I]]0，τ]] Vp，F+cM+HI]]0，τ]] hV，miF=cM+I]]0，τ]] 副总裁，F+Z-一] ]0，τ]] (M V）p，F，证明断言（a）。（b）设M是F-局部鞅，则对于任何正整数（n，k），过程V（n，k）：=P梅齐{|M|≥K-1，eZ≥N-1} 具有局部可积的变化。

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mingdashike22

2022-5-5 01:22:30

然后，通过使用已知的等式，G(V）=（Vp，G）（见[13]第149-150页的理论76或[23]第150页的理论5.27），并将断言（a）应用于过程V（n，k），我们得到[0，τ]]p，G梅齐{|M|≥K-1，eZ≥N-1}=Z-p、 F米{|M|≥K-1，eZ≥N-1}.由于M是局部鞅，通过s-topping，我们可以用两个sid-es中的投影交换极限。然后，通过让n和k进入单位，并利用Ez>0在[0，τ]]上的事实，我们推导出thatp，G梅兹=Z-p、 FMI{eZ>0}.这证明了（3.19）中的第一个等式，而第二个等式来自EZ=m+Z-:Z-p、 G简单-1.=p、 G（eZ）- m） /eZ= 1.-p、 G男/女= 1.- （Z）-)-1 p，FmI{eZ>0}= 1.-p、 FI{eZ=0}=p、 FI{eZ>0}.在上述等式串中，第三个等式来自于（3.19）中的第一个等式，而第四个等式则来自顶部F(m） =0和mI{eZ=0}=-Z-I{eZ=0}。这就结束了断言（b）的证明。（c）如果M是拟左连续F-局部鞅，则P，FMI{eZ>0}= 0，断言（c）的第一个属性如下。将第一个属性应用于M=M（qc），并使用该属性，在]]0，τ]]上m（qc）（Z）-+ m）-1= m（qc）Z-+ m（qc）-1.我们得到了-p、 GZ-Z-+ m（qc）=Z-1.-p、 Gm（qc）Z-+ m（qc）=Z-.这证明了断言（c），并且得到了引理的证明。下一个引理证明了这一点-1I]]0，τ]]对于任何具有F-局部可积变化的F-适应过程，L ebesgue-Stieljes是可积的。利用这一事实，引理解决了在τ处停止的F-补偿器如何可以用G-补偿器写成的问题，d构成了引理3.3–（a）的相反结果。引理3.4。设V为F适应的c`adl`ag过程。

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2022-5-5 01:22:35

那么以下属性就成立了。（a）如果V属于a+loc（F）（分别为V∈ A+（F）），那么过程ssU:=eZ-1I]]0，τ]] 五、（3.21）属于A+loc（G）（分别属于A+（G））。（b）如果V有F-局部可积变分，那么过程U是定义良好的，它的变分是G-局部可积的，它的G-对偶可预测投影由up，G给出=eZI]]0，τ]] 五、p、 G=Z-一] ]0，τ]]I{eZ>0} 五、p、 F.（3.22）特别是，如果支持 {eZ>0}，那么，在]]0，τ]]上，一个有Vp，F=Z- 起来，G·普罗。（a）假设V∈ A+loc（F）。首先，请注意，由于EZ在]]0，τ]]上为正，因此U的定义很明确。让（θn）n≥1b一系列F停止时间增加至+∞ 这种状态（Vθn）<+∞. 那么，如果E（Uθn）≤ E（Vθn），断言（a）如下。因此，我们计算（Uθn）=EZθnI{0<t≤τ} eZtdVt= EZθnP（τ）≥ t|Ft）eZtI{eZt>0}dVt≤ E（Vθn）。最后一个不等式由toeZt:=P（τ）得到≥ t | Ft）。这就结束了对这个困境的断言（a）的证明。（b）假设V∈ Aloc（F），并用W表示：=V++V-它的变异。然后W∈ A+loc（F），并且第一个断言的直接应用适用于简单-1I]]0，τ]] W∈ A+loc（G）。因此，我们推断，对于V=V的情况，U由（3.21）给出+-五、-定义明确，变化等于简单-1I]]0，τ]] W是G-局部可积的。通过设置Un:=I]]0，τ]]简单-1I{eZ≥1/n} 五、,我们推导出，由于（3.18），（Un）p，G=Z-一] ]0，τ]]我{eZ≥1/n} 五、p、 F.因此，自上，G=limn-→+∞（Un）p，G，通过取上述等式中的极限，（3.22）紧随其后，证明了引理。3.2一个重要的G-局部鞅在本小节中，我们引入了一个G-局部鞅，它将对定义的构造至关重要。引理3.5。以下非减损过程vgt:=X0≤U≤tp，FI{eZ=0}uI{u≤τ} （3.23）是G-可预测的，c`adl`ag，局部有界的。证据

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2022-5-5 01:22:38

VGB的G-可预测性显而易见，但仍需证明该过程是G-局部有界的。自从Z-1.-一] [0，τ]]是G-局部有界的，则存在G-停止时间序列（τGn）n≥1增加到完整性，以便Z-一] ]0，τ]]τGn≤ n+1。考虑一系列F-停止时间（σn）n≥1增加到完整性，使得hm，miσn≤ n+1。然后，对于任何非负F-可预测过程H，其有界于C>0，我们计算（H VG）σn∧τGn=X0≤U≤σn∧τGnHup，FI{eZ=0}uI{u≤τ} 伊祖-≥n+1}≤X0≤U≤σnHup，F我{M≤-n+1}U≤ （n+1）H 嗯，米恩≤ C（n+1）。这就结束了这个命题的证明。重要的G-局部鞅将由可选积分产生。关于补偿随机积分（或可选随机积分）的概念，我们请读者参考[24]（第III.4.b章第106109页）和[13]（第VIII.2章第32-35节第356-361页）。下面，为了完整起见，我们给出了这种集成的定义。定义3.6。（参见[24]，定义（3.80））设N是一个H-局部鞅，其中连续鞅部分为Nc，设H是一个H-可选过程。i）过程H被认为是关于ifp可积的，而过程H是不可积的Xs≤THsNs-p、 H（H）N）s1/2是本地可获取的。关于N的可积过程集用olloc（N，H）表示。ii）对于H∈oLloc（N，H），H相对于N的补偿随机积分，用H表示⊙N、是唯一的局部鞅M，满足C=p，HH NcandM=HN-p、 H（H）N）。（3.24）涉及该积分的文献中最有用的结果是以下命题3.7。（见[13]）（a）补偿随机积分M=H⊙N是唯一的H-局部鞅，对于任何H-局部鞅Y，E（[M，Y]∞) = EZ∞Hsd[N，Y]s.（b）程序ss[M，Y]-H [N，Y]是H-局部鞅。

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2022-5-5 01:22:41

因此[M，Y]∈ Aloc（H）当且仅当H [N，Y]∈ Aloc（H），在这种情况下，我们有，yih=（H） [N，Y]）p，H.现在，我们正处于定义G-局部鞅的阶段，它将对一系列过程起到定义作用。提案3.8。考虑以下G-局部鞅：=I]]0，τ]] M-Z-一] ]0，τ]] hmiF（3.25）和过程k:=Z-Z-+ hmiFeZI]]0，τ]]。（3.26）那么，K属于3.6中定义的SpaceOloc（bm，G）。此外，G-局部鞅：=-K⊙ bm，（3.27）满足以下条件（a）E（L）>0（或相当于1+L>0）。（b）对任何人来说∈ M0，位置（F），设置Cm:=Mτ- Z-1.-I[[0，τ]] 嗯，米夫，我们有[L，cM]∈ Aloc（G）i、 e.hL，cMiGexists. （3.28）证据。我们将证明K∈oLloc（bm，G）在附录B中。为了简化注释，在整个证明过程中，我们将使用κ：=Z-+ 嗯。我们现在证明（a）和（b）断言。由于（B.77），我们有，]]0，τ]]，-L=K bm-p、 G（K） bm）=1- Z-简单-1.-p、 FI{eZ=0}.因此，我们推断1+L>0，证明了断言（a）。在剩下的证明中，我们将证明（3.28）。为此，让我∈ M0，位置（F）。由于提案3.7，（3.28）相当于toK [bm，cM]∈ Aloc（G）（或相当于V:=eZI]]0，τ]] [bm，cM]∈ Aloc（G）），对于任何M∈ M0，位置（F）。然后，很容易检查v=Z-eZI]]0，τ]] [bm，cM]=eZI]]0，τ]] [m，cM]-Z-eZI]]0，τ]] [hmiF，cM]=eZI]]0，τ]] [m，m]-Z-eZI]]0，τ]] [m，hM，miF]-Z-eZI]]0，τ]] [hmiF，M]+Z-eZI]]0，τ]] [hmiF，hM，miF]。由于m是一个F-局部有界局部鞅，所有的p过程[m，m]、[m，hM，miF]、[hmiF，m]和[hmiF，hM，miF]都属于Aloc（F）。因此，通过将这一事实与引理3.4和Z的G-局部有界性结合起来-P-一] [0，τ]]对于任何p>0的情况，V∈ Aloc（G）。

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2022-5-5 01:22:45

这就结束了这一立场的证明。4显式定义本节描述了几类F-拟左连续局部鞅，其中NUPBRis在以τ停止后保持不变。对于这些停止的过程，我们在定理4.1-4.4中明确地描述了它们的局部鞅密度，具有越来越大的通用性。我们记得，m（qc）在（2.13）中定义，L在提案3.8中定义。定理4.1。假设S是一个quasi左连续F-局部鞅。如果S和τ满足{s6=0}∩ {Z-> 0} ∩ {eZ=0}=, （4.29）那么下面的等价断言认为（a）E（L）Sτ是G-局部鞅。（b） EI{eZ=0<Z-}⊙ m（qc）S是F-局部鞅。证据我们首先给出一些有用的观察结果。由于S是F-准左连续的，一方面我们推断（在（2.13）中定义错误）hS，miF=hS，m（qc）iF=hS，IΓcm 米夫。（4.30）另一方面，我们注意到断言（a）等价于e（L（qc））Sτ是G-局部鞅，其中L（qc）是L的拟左连续局部鞅部分，由L（qc）：=IΓcm给出 L=-K⊙ bm（qc）。这里K在命题3.8和bm（qc）中给出：=I]]0，τ]] m（qc）- （Z）-)一] ]0，τ]] hm（qc）如果有。很容易检查（4.29）是否等于toI{Z->0&eZ=0} [S，m]=0。（4.31）我们现在计算-hL（qc），bSiG，其中bs是由bs:=Sτ给出的G-局部鞅-（Z）-)-1I]]0，τ]] 嗯，米夫。由于S和th在m（qc）处的准左连续性，这两个过程hS、mif和hm（qc）是连续的，[S，m（qc）]=[S，m]。因此，我们获得了 [bS，bm（qc）]=K [S，bm（qc）]- K bm（qc）（Z）-)-1. hS，miF=（eZ）-1I]]0，τ]] [S，m（qc）]=（eZ）-1I]]0，τ]] [S，m]。因此-hL（qc），bSiG=K [bS、bm（qc）]p、 G=（eZ）-1I]]0，τ]] [S，m]p、 G=（Z）-)-1I]]0，τ]]I{eZ>0} [S，m]p、 F=（Z）-)-1I]]0，τ]] hS，miF-（Z）-)-1I]]0，τ]]I{eZ=0<Z-} [S，m]p、 F=（Z）-)-1I]]0，τ]] hS，miF+（Z-)-1I]]0，τ]] 嗯，-I{eZ=0<Z-}⊙ m（qc）如果。

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2022-5-5 01:22:50

（4.32）第一个和最后一个等式源自适用于L（qc）和-I{eZ=0<Z-}⊙ 分别为m（qc）。第二个和第三个等式分别为（4.30）和（3.22）。现在，我们证明这个定理。由于（4.32），断言（a）显然等同于hs，-I{eZ=0<Z-}⊙ m（qc）如果≡ 0，这又相当于断言（b）。这就结束了（a）和（b）之间等价性的证明。同样清楚的是，条件（4.29）或等价条件（4.31）意味着断言（b），由于toI{eZ=0<Z-}⊙ m（qc）≡ 0.备注4.2。假设S是拟左连续F-局部鞅，leteRbe定义在Emma 3.1–（b）中。那么，E（L）Sτ是G-局部鞅，其中：=SeR-+SeRI[[呃+∞[[p、 F.（4.33）的确，文字：=SeR- SeRI[[呃+∞[[+SeRI[[呃+∞[[p、 Fit很容易看出满足条件（4.29）。推论4.3。如果S是准左连续且满足NUPBR（F）和{s6=0}∩{Z-> 0}∩{eZ=0}=, 然后是满意的NUPBR（G）证明。这源于命题2.6，定理4.1，以及这样一个事实：如果Q等价于P，那么我们就有{Z-> 0} ∩ {eZ=0}={ZQ-> 0} ∩ {eZQ=0}。这里ZQt=Q（τ>t | Ft）和ZQt=Q（τ≥ t | Ft）。最后一项主张是对可选和可预测选择可测定理的直接应用，参见[13]中的定理84和85（或直接应用定理86）。为了推广之前的结果，我们需要引入更多的符号和回忆其他的符号，附录中给出了一些结果。对于随机度量ud e fi nedin（2.5），我们将其可预测补偿器随机度量ν关联起来（详情见（A.68））。

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能者818

2022-5-5 01:22:54

将定理A.1（附录）直接应用于鞅m，得到了局部鞅m的存在性⊥以及aeP（F）-可测F函数fm，a过程βm∈ L（Sc，F）和aneO（F）-可测量的功能性GMFm∈ Gloc（u，F），转基因∈ Hloc（u，F）和βm∈ L（Sc）使得m=βm Sc+fm (u - ν） +gm u+m⊥. （4.34）由于S的左连续性，Gloc（u，F）（分别为Hloc（u，F））是alleP（F）-可测函数（特别是alleO（F）-可测函数）的集合 u ∈ A+loc（H）。我们引入uG:=I[[0，τ]] u及其G补偿测量值νG（dt，dx）：=（1+fm（x）/Zt-)I[[0，τ]]（t）ν（dt，dx）。（4.35）下面，我们陈述了我们的一般结果，扩展了前面的定理。定理4.4。假设S是F-拟左连续局部鞅。分别考虑（2.6）和（3.27）中定义的S（0）、ψ和Lde。如果S、 S（0）是F-局部鞅，然后是EL+L（1）Sτ是G-局部鞅，其中l（1）：=G （微克）- 和G:=1- ψ1+fm/Z-I{ψ>0}。（4.36）证据。我们首先回顾（2.8）中的{ψ=0}={Z-+fm=0}MPu-a、 e。。因此，函数是一个定义良好的非负EEP（F）-可测量的功能。定理的证明将分两步完成。在第一步中，我们证明了过程L（1）是一个定义良好的局部鞅，而在第二步中，我们证明了定理的主要陈述。1）在此，我们证明了积分g微克-νG定义明确。为此，这足以证明g 微克∈ A+（G）。因此，请注意（1）-ψ） I{0<Z-}= MPuI{eZ=0<Z-}|eP（F）= MPuI[[eR]| eP（F）I{0<Z-},算计G 微克(∞)= E盖兹 u(∞)≤ EI[[eR]] u(∞)= PSeR6=0&eR<+∞≤ 1.因此，过程L（1）是一个定义良好的G-鞅。2）在这一部分中，我们证明了EL+L（1）Sτ是G-局部鞅。为此，只需证明hSτ、L+L（1）ige和τ+DSτ、L+g就足够了微克- νGegi是一个G-lo-cal鞅。

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2022-5-5 01:22:57

（4.37）回想一下L=-Z-Z-+ hmiFeZI]]0，τ]]⊙ 由于命题3.8–（b），bm和hSτ都存在。通过停止，没有失去一般性，因为S是一个真正的鞅。然后，使用与第一部分1）类似的计算，我们可以很容易地证明eh | x | g 微克(∞)我≤ E|SeR | I{eR<+∞}< +∞.这证明Sτ，L+L（1）马克思主义者。现在，我们计算并简化（4.37）中的表达式，如下所示。Sτ+DSτ，L+g微克- νGEG=bS+Z-一] ]0，τ]] hS，miF+hSτ，LiG+xg νG=bS+Z-一] ]0，τ]] 你好，小姐-Z-一] ]0，τ]]·I{eZ>0}·[S，m]p、 xf+g νG=bS+Z-一] ]0，τ]]I{eZ=0} [S，m]p、 F+xMPuI{eZ=0<Z-}|eP（F）I{Z-+fm>0}I]]0，τ]] ν=bS- xMPuI{eZ=0<Z-}|eP（F）I{ψ=0}I]]0，τ]] ν=bS∈ Mloc（G）。第二个等式来自（4.32），而最后一个等式直接来自于S（0）是F-局部马丁盖尔（相当于xI{ψ=0<Z）的事实-} ν ≡ 0）和MPuI{eZ=0<Z-}|eP（F）=I{0<Z-}(1 -ψ). 这就结束了定理的证明。备注4.5。1）定理4.1-4.4都提供了明确建立Xτ的σ-鞅密度的方法，只要X是一个分别满足定理假设的F-拟左连续过程。2）将定理4.1推广到S是F-局部鞅（不一定是拟左连续）的一般情况，归结为找到一个可预测过程Φ，使得Y（1）：=E（Φ 五十）将是Sτ的摩尔密度。当我们讨论辛半鞅的情况时，找到Φ的过程将很容易猜测。然而，证明Y（1）是Sτ的局部鞅密度是非常技术性的。将定理4.4推广到任意F-局部鞅的情况需要对函数gso进行额外的仔细修改，即1+L+L（1）保持阳性。

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2022-5-5 01:23:00

虽然这两种扩展仍然非常可行，但我们选择了不让这篇论文的技术细节负担过重。5主要定理的证明本节专门讨论定理2.8、2.13和2.16的p屋顶。它们很长，因为一些可积性结果需要证明。为了方便读者，我们回顾了附录A中给出的s的标准分解，byS=s+Sc+h (u - ν） +b·A+（x）- h） u，其中h定义为h（x）：=xI{x|≤1} 是截断函数。G下Sτ的正则分解由Sτ=S+cSc+h给出（微克）- νG）+cβmZ-一] ]0，τ]]·A+hfmZ-一] ]0，τ]] ν+b Aτ+（x）- h） ug其中uGandνGand（βm，fm）分别在（4.35）和（4.34）中给出，Csc:=I]]0，τ]] Sc-Z-一] ]0，τ]] 嗯，Sci。5.1定理的证明2.8定理2.8的证明将分几个步骤完成。第一步提供了与使用过滤F的断言（a）等效的公式。在第二步中，我们证明（a）=>（b）第三步证明了反向蕴涵。（b）的证明<==> （c）在最后一步中给出。第1步：断言（a）的公式化：由于命题2.3，Sτ满足NUPBR（G）i，且仅当存在G-局部鞅且为1+NG>0和G-可预测过程φG使得0<φG≤ 1和ENGφG Sτ是本地的马丁·盖尔。我们可以将注意力集中在过程Ng上，这样（见附录中的定理A.4）Ng的形式为Ng=βGcSc+（前景）- 1) （微克）- νG）其中βG∈ L（cSc，G）和fg是一个正的eep（G）可测函数。然后，我们注意到ENGφG Sτ是G-局部鞅当且仅当φG Sτ+[φG Sτ，NG]isa G-局部鞅，它又等价于φG | xfG（x）- h（x）|1+fm（x）Z-I[[0，τ]] ν ∈ A+loc（G）、（5.38）和P A.- a、 e.在[[0，τ]]上，引入附录Ab+c（βmZ）中定义的核F-+ βG）+Z（xfG（x）- h（x））1+fm（x）Z-- h（x）fm（x）Z-F（dx）=0。

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