无套利理论 - 外文文献专区

2022-5-7 00:56:50

没有数字的任意年龄理论剑桥大学迈克尔·R·特兰丘大学摘要。本文发展了一个离散时间市场模型的套利理论，而不假设存在一个num’eraire资产。在此背景下，资产定价的基本定理得到了阐述和证明。投资-消费套利和纯投资套利概念之间的区别提供了连续时间理论中绝对套利和相对套利概念之间区别的离散时间模拟。讨论了气泡模型的应用。1.引言在大多数套利理论中，等价鞅测度的概念处于中心地位。事实上，Harrison&Kreps[8]的离散时间资产定价基本定理（适用于有限样本空间的模型）和Dalang、Morton&Willinger[6]的离散时间资产定价基本定理（适用于一般模型）指出，当且仅当存在等价鞅测度时，不存在套利。一个等价的马丁酒度量是以给定数量的项定义的。Recala num’eraire是一种资产，或者更一般地说是一种por tfolio，其价格在任何时候都是严格正的，概率为1。与给定的等价鞅测度相关联的是一个正适应过程。这个过程通常被称为鞅衰减，但也被称为apricing核、随机贴现因子或状态价格密度。似乎鞅函数在金融数学文献中的作用不那么显著，尽管从某种意义上说，它们更为基本。事实上，它们是投资者最佳投资问题的自然对偶变量，具有经济学解释，即最大预期效用对当前财富水平的敏感性。

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能者818

2022-5-7 00:56:53

此外，与等价鞅测度的概念不同，马尔代尔导数的概念是以完全与数值无关的方式定义的。请注意，为了确定等效的马丁格尔度量，有必要假设至少存在一个数值。这一假设在金融数学文献中随处可见，但正如我们将看到的，这并不是严格必要的。特别是，在本文中，我们考虑了一个离散时间ar比特率理论，没有假设anum’eraire的存在，我们将看到资产定价的基本定理可以在这种情况下公式化。从美学的角度，或者可能是迂腐的角度来看，我们摒弃了在主题上不必要的假设，并用更基本的鞅定义来重新表述无套利市场的特征。然而，还有其他原因削弱了该定理的假设。日期：2021 9月9日。关键词和短语：鞅波动、数值、价格泡沫、仲裁年龄。2010年数学学科分类：60G4291B25。虽然关于存在一个数字时代愤怒的假设似乎没有争议，但它也不是完全无辜的。事实上，人们对稳健套利理论越来越感兴趣，该理论放弃了存在单一主导指标的假设。例如，参见Bouchard&Nutz[1]和Burzoni，Frittelli&Maggis[2]最近的论文，了解离散时间资产定价基本定理的健壮版本。从信贷融资的角度来看，存在数字风险的假设似乎相当有力。

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2022-5-7 00:56:56

事实上，在处理一系列可能的单一措施时，坚持在所有这些措施下都有一个价格几乎肯定为正的资产，这可能要求过高。我们对套利理论进行更一般的处理的一个好处是，它提供了离散时间理论中的一些类似物，这些类似物以前通常被认为只是连续时间现象。特别是，我们将看到，投资-消费套利和纯投资套利概念之间的区别提供了连续时间理论中绝对套利和相对套利概念之间区别的具体时间模拟。特别是，当市场不承认价格泡沫时，可能存在离散时间的价格泡沫，其精神与Cox&Hobson[5]和Protter[14]提出的连续时间泡沫概念相同。本文的作者安排如下。在第2节中，我们介绍了本文的注释和基本定义以及主要结果：无数值离散时间模型中无轨道的特征描述。在此背景下，我们还描述了未定权益的最小超额复制成本，并表明鞅变量可作为最优投资问题的对偶变量，即使不存在数值。在第3节中，我们介绍了纯投资策略的概念，并描述了可通过此类策略复制的或有权益。我们回顾了完整市场的概念，并指出，如果市场是完整且无障碍的，那么必然存在一个无风险的市场。此外，当我们假设存在一个数时，我们重新获得了经典的无套利结果。

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大多数88

2022-5-7 00:56:59

在第4节中，我们探讨了套利的其他概念，并表明它们在一般情况下是不等价的。我们还讨论了如何利用这些差异来定义离散时间模型中的气泡，以及第5节中提到的连续时间模型中气泡的流行定义。在第6节中，我们给出了主要结果的证明，以及从最优投资问题中产生的关键经济见解。这里的思想起源于罗杰斯[15]对达朗-莫顿-威林格定理的证明。特别是，我们提供了全部细节，因为它们非常简单且具有概率性，并且不依赖于函数空间中的凸分析或分离定理的任何知识。此外，我们使用这种基于效用最大化的框架，为超可复制权利要求的特征化提供了新的证明。最后，在第7节中，我们包含了一些关于可测量性和离散时间局部市场的技术引理。我们在这里注意到，我们不依赖任何一般的可测量选择定理，而是更倾向于动手治疗。2.投资消费策略我们考虑一个一般的无摩擦市场模型，其中有n个资产。我们让Pit表示时间t时资产i的价格，在这里我们做一个简化的假设，即没有资产支付股息。我们使用符号Pt=（Pt，…，Pnt）来表示资产价格的向量，我们将这些价格建模为一个n维适应随机过程P=（Pt）t≥0定义一些概率空间（Ohm, F∞, P）过滤F=（英尺）t≥时间是离散的，所以旋转t≥ 0代表t∈ {0, 1, 2, . . .}. 我们还将使用无方程a·b=Pni=1aibitodenote，这是Rn中常见的欧几里德内积。备注2.1。不，我们不做任何关于随机变量符号的假设。当Pit=0时，资产无价值；当Pit<0时，资产实际可变现。

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2022-5-7 00:57:03

这种灵活性允许我们处理索赔，如远期合同，其支付可以是正的、零的或负的。然而，在离散时间套利理论的大多数表述中，我们假设至少有一种资产的价格是严格正的，也就是说，至少有一种i，几乎可以肯定所有t都大于0≥ 0.这种资产被称为num\'erair e，因为其资产的价格可以写成num\'erair价格的倍数。通常，由于以下示例，数字存在的假设被视为自然现象。在第一个例子中，我们做了一个老生常谈的观察，即根据定义，价格必须以某种货币确定。因此，我们可以选择num’era ire资产作为货币本身，在这种情况下，Pnumt=1代表所有t。在第二个例子中，我们假设有一家中央银行在每个时间t发行债券，在时间t+1到期。此外，假设中央银行完全无风险，利率为常数r>0。货币市场账户在一个货币单位的初始投资时的价值为（1+r）t。在这样的市场设置中，一个人可以将价格Pnumt=（1+r）t分配给num’eraire资产。注意，在第二个例子中，我们通常不将货币本身作为资产包含在我们的市场模型中。事实上，否则的话，在货币市场上持有短期头寸和长期头寸的套利就微不足道了。因此，在这种模型中，我们认为货币是一种记账单位和交易手段，但货币市场扮演着价值储存的角色。在本文处理的模型中，我们只是简单地去除了存在某种价值存储的假设。

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2022-5-7 00:57:06

例如，这使我们能够模拟一个正在经历剧烈波动的经济体，其中每一项资产（甚至货币本身）在未来变得毫无价值的可能性都不是零。因为没有价值储存，我们认为价格是以某种易腐消费品计价的。当然，我们必须允许农民消费这种商品。Carr，Fisher&Ruf[3]的论文中考虑了一个相关的具有过度膨胀的连续时间市场模型。对于流程P所描述的市场，我们现在介绍一位投资者。假设t hathit是我在交易期间持有的资产股份数（t- 1.t]的时间。我们将允许其为正、负或零，解释为如果Hit>0，投资者为多头资产i，如果Hit<0，投资者为空头资产。此外，我们不要求它们是整数。和往常一样，我们对n维过程H=（Ht，…，Hnt）t的可能动力学引入了自融资约束≥1.定义2.2。投资消费策略是一个满足自我融资条件的n维可预测过程≥ Ht+1·P几乎可以肯定≥ 1.备注2.3。其想法是投资者将初始资本投入市场。Hethen消耗了一个不负n的量C，并通过选择投资组合权重H的向量将剩余部分投资到市场中∈ Rn使得H·P=X- C.在未来的每个时间t≥ 1.投资者的消费前财富只是其当前持有资产的市场价值xt=Ht·pto。他再次选择一个非负的消费量，并使用消费后的财富Xt- Ct=Ht+1·Ptto重新平衡他的港口，直到时间t+1时，市场时钟再次滴答作响。假设战略H是可预测的，这说明投资者并没有洞察力。

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2022-5-7 00:57:09

请注意，虽然战略是可以通过定义来预测的，但我们选择了消费流C只是经过调整的传统。备注2.4。“自由处置”假设，或允许代理人“扔掉钱”，长期以来一直是经典套利理论的一部分，在套利理论中，存在着一个数量资产假设。事实上，在有限期离散时间模型或连续时间模型中，这种假设对于无套利的双重特征的形成是必不可少的。例如，参见Schachermayer的论文[17]。我们将看到，即使是有限水平离散时间模型，在没有数量的情况下，也需要这样的自由处置假设。假设这个市场上的投资者对一系列投资消费策略有偏好关系，那么他的目标就是在预算约束下找到最佳策略。为了定义想法，假设他的偏好有一个数字表示，因此策略his偏好策略H′当且仅当U（H）>U（H′，其中U具有加性预期形式（1）U（H）=E[U（C，…，CT）]，其中Xis是他的初始财富，t>0是固定的非随机时间范围，其中C=x-H·Pand Ct=（Ht）-Ht+1）·PTT≥ 1是投资者的消费。假设在时间T之后不允许他有负收益，投资者的问题是根据预算约束h·P最大化U（h）≤ X和横截条件HT+1=0。为了将来的参考，我们将让（2）HX，T={H：自我融资，H·P≤ 十、 HT+1=0}是这个问题的可行解集。套利的概念与这个最优投资问题是否有解密切相关。此外，我们将看到，mar t ingale过滤器是该优化问题的双重变量。

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2022-5-7 00:57:12

下面所述的基本定理建立了不存在套利和鞅微分器之间的联系。2.1. 鞅函数和最优投资。现在我们来定义一个鞅定义。出于技术原因，引入局部鞅定义的相关概念也很有用。定义2.5。（局部）鞅定义是一个三次正适应过程Y=（Yt）t≥使得n维过程py=（PtYt）t≥0是（局部）鞅。备注2.6。与鞅定义密切相关的一个概念是等价鞅测度，其定义见下文第3.2节。虽然等价鞅测度的定义是高度不对称的，因为它赋予了n项总资产中的一项资产显著的作用，但请注意，鞅定义在所有资产都被平等对待的意义上是完全对称的。支持许多论点的关键结果是以下命题：命题2.7。假设Y是一个局部鞅函数，H是一个投资消费策略。修正X≤ H·Pand let Ct=Xt- Ht+1·ptt≥ 0，其中Xt=Ht·Pt代表t≥ 1.工艺定义为MT=XtYt+t-1Xs=0csys是一个局部鞅。特别是，对于某些非运行dom T>0，如果HT+1=0，则netxs=0CsYs！=XY。证据注意，通过重新调整总和，我们得到了标识Ymt=XY+tXs=1Hs·（PsYs- 附言-1Ys-1).如果Y是一个局部鞅，那么根据命题7.7，M是一个局部鞅。对于第二种说法，请注意，如果H是HT+1=0的自我融资投资消费策略，则CT=XT，henceMT=TXs=1CsYs≥ 0.根据命题7.8，过程（Mt）0≤T≤这是一个真正的鞅，因此根据可选抽样定理，我们有e（MT）=M=XY。现在，我们将注意力转向上述效用优化问题。

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2022-5-7 00:57:16

特别是，我们将看到鞅微分器扮演着对偶变量或拉格朗日乘数的角色。下面的命题并不特别新颖，但它再次强调了效用最大化理论并不依赖于数量的存在这一事实。特别是，下面的理论让我们将马丁酒饮料理解为最佳消费流的边际效用。定理2.8。让投资-消费策略集HX，Tbe由等式（2）定义，U（H）由等式（1）f或H定义∈ HX，Tsuch表示，这一预期是明确的。此外，假设效用函数u是凸的，并且可微分，例如ct7→ u（c，…，cT）对于每个t严格递增。如果存在局部鞅定义Y和可行策略H*∈ HX，Tsuch thatYt=Ectu（C）*, . . . , C*T） |英尺在广义条件期望的意义上（回顾第7节），其中C*= 十、-H*· Pand C*t=（H）*T- H*t+1）·对于t≥ 1，然后是H*在U（H）的意义上是最优的*) ≥ U（H）表示所有可行的H证明。假设H与相应的消耗流C是可行的。首先观察sinceCt≥ 0和ctu（C）*) > 0通过插槽属性（下面的建议7.3）E计算机断层扫描ctu（C）*)|英尺= CtYtand由tower property（命题7.2）确定，即etxt=0Ctctu（C）*)!= ETXs=0CsYs！=我们在第二行和第三行之间使用了命题2.7。通过函数u的凸性，我们得到了u（C）≤ u（C）*) +TXt=0（Ct- C*（t）ctu（C）*)几乎可以肯定。根据双方的预期，并应用第一个观察值来抵消总和，得出结论。2.2. 套利与第一基本定理。我们将介绍以下定义：定义2.9。

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2022-5-7 00:57:19

投资消费套利是一个可预测的过程，即存在一个非随机的m时间范围T>0，其性质为oH∈ H0，T，oP（（Ht- Ht+1）·对于某些0≤ T≤ T）>0，其中H=0。假设根据上述定义，Harbis是一种套利行为。如果H∈ 对于一些初始财富X和时间范围T，然后H+Harb∈ HX，T.此外，如果功能Ct7→ u（c，…，cT）严格地增加，然后u（H+Harb）>u（H），因此策略H+Harbis严格地优先于t-o-H。特别是，最优投资问题没有解决方案。在第6节中，我们证明了一个逆命题是正确的：如果没有套利，那么就有可能建立一个具有最大化者的最优投资问题。现在我们来看一下投资消费策略的资产定价第一基本定理。定理2.10。以下是等价的：（1）市场没有投资-消费套利。（2）存在一个局部鞅函数。（3）存在一个鞅函数。（4）对于每一个非随机om T>0和每一个正适应p过程（ηT）0≤T≤T、存在一个鞅定义（Yt）0≤T≤Tsuch就是≤ ηt对于所有0≤ T≤ T上述（1）和（3）的等价性才是故事的真正关键。条件（2）是一些技术上的问题，但很有用，因为它比条件（3）更容易检查。条件（4）将在下一节中证明非常有用，因为它意味着对于任何FT可测随机变量ξt，存在鞅定义Y，使得ξt可积。

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2022-5-7 00:57:23

请注意，尽管（4）暗示（3）是事实，但这个论点并不像它所说的那么微不足道，因为条件（4）适用于每个固定的时间范围，而条件（3）表示（PtYt）t≥0是有限地平线上的鞅。我们现在证明条件（2）和（3）的等价性。证明（2）<=> （3）定理2.10。由于马氏体也是局部鞅，我们只需要证明（2）=> (3).设Y是局部鞅，因此py是局部鞅。请注意，如果我们假设每个资产价格都是非负的，那么≥ 0几乎可以肯定是所有1≤ 我≤ n和t≥ 0，我们可以引用命题7.8，得出Py是真鞅的结论，因此，Y是真鞅的定义。在一般情况下，我们引用了卡巴诺夫定理[11]，即下面的定理7.9，它说存在一个等价测度Q，使得Py是Q下的真鞅dQdP |英尺,我们看到P^Y是P下的真鞅，因此^Y是真鞅的导数。我们现在证明了局部鞅的存在意味着不存在投资-消费套利。这是一个众所周知的论点，但为了完整起见，我们将其包括在这里。证明（2）=> （1）和（4）=> （1）定理2.10。修正T>0，并确定策略H∈H0，T.如果（Yt）0≤T≤这是一个局部鞅，那么，命题2.7意味着“TXs=0CsYs#=0，其中Ct=（Ht- Ht+1）·Pt。因为Yt>0和Ct≥ 几乎可以肯定的是≥ 0，π孔原理和上面的等式几乎可以确定所有0的Ct=0≤ T≤ T因此，H不是投资-消费套利。

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2022-5-7 00:57:27

（1）的证明=> （2），即无套利既意味着局部鞅的存在，也意味着（1）的存在=> （4），即在有限的时间范围内，存在合适的基础结构，更具技术性，并推迟到第6节。备注2.11。注意（1）中的单周期情况=> （4）我们的num’eraire Free基本定理的含义是Proposition 2.12。让p∈ Rn为常数，P为Rn中的随机向量，其性质为h·P≤ 0≤ h·P意味着h·P=0=h·P当存在一个有界的Y>0时，E（py）=P。应该注意的是，这种情况可以从经典的数相依周期基本定理：命题2.13中推导出来。设X为Rd中的随机向量值，其性质为a·X≥ 0表示a·X=0。然后存在一个有界Z>0，使得E（XZ）=0。命题2.12的证明。考虑到可能性空间(Ohm, F、让我们是新来的州吗Ohm, 通过让^Ohm = Ohm ∪ {},^F=σ（F{}) 设^P为^F的测量值，使得^P（A）=P（A），如果A∈ 范德普{} =.最后，定义（ω）=P（ω）如果ω∈ Ohm-p如果ω=注意如果a·X≥ 0^P a.s.然后a·P≥ 0 P-a.s和a·P≤ 假设a·P=0 P-a.s和a·P=0，这同样意味着a·X=0^P a.s。因此，命题2。13^上存在有界ZOhm 使得^E（ZX）=0。设Y是Z对的限制Ohm y=Z(). 根据需要，上述方程变为E（Y P）=Yp。不幸的是，很难将这一证据适用于多期案件。2.3. 超级复制。我们现在转向超级复制的双重特征。这是该领域的一个经典定理，但我们将其包括在这里，因为如果知道它在不假设数存在的情况下成立，可能会令人惊讶。定理2.14。假设至少存在一个鞅函数。

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2022-5-7 00:57:30

设ξ是一个适配过程，使得ξY是所有鞅函数Y的上鞅，其中ξY是一个可积过程。然后存在一种投资消费策略H，即H·P≤ ξHt+1·Pt≤ ξt≤ Ht·P证据推迟到第6节。请注意，给定一个非负FT可测量的随机变量XT，我们可以找到最小过程（XT）0≤T≤Tsuch表示XY是所有Y的超级艺人byXt=ess supYtE（XTYT | Ft）：Y一个鞅定义，使得XTYTis可积定理2.14说有一个策略H，使得HT·PT≥ 几乎可以肯定，H·P≤ X.换句话说，Xbounds是超级复制conting entclaim的初始成本，支付ξT.3。纯投资战略与上述投资消费战略相比，我们现在介绍纯投资战略的概念。定义3.1。策略H被称为纯投资策略，如果（Ht- Ht+1）·几乎可以肯定，对于所有t≥ 1.对于纯投资策略，我们将约定H=H.3.1。复制和第二基本定理。我们已经准备好描述可通过纯投资实现的或有权益。同样，这个结果并不是特别新，但有趣的是，它在不假设存在数字的情况下成立。定理3.2。假设至少存在一个鞅函数。设ξ是一个适应过程，使得ξY是所有鞅函数Y的鞅，使得ξY是一个可积过程。然后存在一个纯投资策略H，使得Ht·Pt=ξt对于所有t≥ 0.特别是，如果ξ是一个FT可测量的随机变量，因此存在一个常数ξ，使得对于所有的鞅变量Y，E（ξTYT）=ξY，对于ξTYTis i可积分，则存在一个纯投资策略H，使得HT·PT=ξT。

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2022-5-7 00:57:33

如果ξY是所有适当可积鞅函数Y的鞅，那么根据定理2.14，存在一个投资-消费策略H，使得ξt≤ Ht·ptal几乎可以肯定≥ 1和tξ≥ 因此，通过设置X=ξ和Xt=Ht·Ptfort≥ 1，我们看到Ct=Xt- Ht+1·PTI对所有t均为非阴性≥ 0.现在fix一个这样的Y和letmt=XtYt+t-1Xs=0CsYs。注意，根据命题2.7，M是一个局部鞅。因此这个过程就是M- ξY是线性局部鞅。但请注意，自从Xt≥ 我们有那个吗- ξtYt≥ 0因此是M- 根据命题7.8，ξY是真鞅。然而，E（Mt- ξtYt）=（X- ξ） Y=0，因此所有t的Mt=ξtyt≥ 0表示所有t的Xt=ξt≥ 根据需要0。现在假设ξ是一个给定的FT可测随机变量，例如E（ξTYT）=ξY，对于所有鞅定义Y和一个给定的实数ξ。LetDt=ess supYYtE（ξTYT | Ft）- ess infYYtE（ξTYT | Ft），其中基本上确界和内确界都是适当可积的鞅定义。注意，DY对于所有Y都是次鞅，但DT=0=D。因此对于ll0，DT=0≤ T≤ 所以我们可以将ξT=ess supYYtE（ξTYT | Ft）=ess infYYtE（ξTYT | Ft）设置为0<T<T，并应用前面的结果。备注3.3。[20]中给出了这个定理的另一个证明，即市场拥有一个num’eraire资产。我们现在回顾一个定义。定义3.4。如果对于每一个T>0和FT可测量的随机变量ξT，存在一个纯投资策略H，使得ht·PT=ξT，则市场模型是完整的。在这个框架中，我们可以说明资产定价的第二个基本定理。定理3.5。假设市场没有套利。当且仅当Y=1的鞅函数恰好存在时，市场是完整的。证据假设有一个独特的martinga le Deflator，Y=1。设ξ为任意可测的Random变量。通过定理2.10的蕴涵（3），我们可以假设ξTYTis可积。

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2022-5-7 00:57:37

设ξt=YtE（YTξt | Ft）。注意ξY是鞅。因此，ξY′也是任意形式的鞅，因为Y′=Y′。根据定理3.2，存在一个纯投资策略，如H·P=ξ。因此，市场是完整的。相反，假设市场是完整的。设Y和Y′为鞅，使得Y=Y′=1。修正T>0。根据完整性，存在一种纯粹的投资策略H，即HT·PT=（YT- 其中Z=（YT+Y′T）。（稍后将使用因子Z来确保可积性。）由于H·py是命题2.7的局部鞅，在时间T处具有非负值，因此它是命题7.8的真鞅。特别是H·P=E[（YT- Y′T）ZYT]。通过与Y′相同的论证，我们得到了h·P=E[（YT- Y′T）ZY′T]。减去yieldsE[（YT- Y′T）Z]=0所以根据鸽子洞原理，我们得到了P（YT=Y′T）=1。在离散时间模型中，完整市场有更多的结构：定理3.6。假设有n个资产的市场模型是完整的。每个t≥ 0，样本空间的每个分区Ohm 不超过正概率事件。特别是，n维随机向量在一组至多个元素中取值。证据修正t≥ 1.让我们，Apbe是Ohm 变成不相交的英尺-1-所有i的P（Ai）>0的可测量事件。类似地，设B，BQ应该是一个划分为非空事件的分区。我们将展示q≤ NP结果将由归纳法得出。首先要注意的是，随机变量的集合{B，…，Bq}是线性独立的，特别是它的s跨度的维数正好是q。假设市场是完整的，每个B都可以通过纯投资策略复制。亨塞斯潘{B，…，Bq} {H·Pt:H是Ft-1-meas。

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mingdashike22

2022-5-7 00:57:39

}.我们只需要证明右边的空间的维数为mo st np。现在请注意，如果一个随机向量H是Ft-1-可测量，则每个Aj上只取一个值，最多取p值h，惠普。因此{H·Pt:H是Ft-1-meas.}={h·PtA+…+hp·PtAp:h，…，hp∈ Rn}=span{PitAj:1≤ 我≤ n、一,≤ J≤ p} ，结束论点。最后的结果表明，在一个完整的市场中，我们自动拥有一个数字资产集，因此在这种特殊情况下，不需要对通常的套利理论进行上述推广。首先回顾一些定义：定义3.7。一个数值策略是一个纯inves tme nt策略η，使得ηt·Pt>0几乎肯定适用于所有t≥ 0.定义3.8。无风险策略是一种纯投资策略η，使得ηt·Ptis Ft-1-可测量的所有t≥ 1.定理3.9。提供完整的市场模型，不存在投资消费套利。然后存在一个无风险的num’eraire策略。证据根据完整性，可以获得零息票。也就是说，对于每一个T>0，存在一个纯投资策略HTT，使得HTT·PT=1 a.s。通过无套利，债券的数量是：设置BTt=HTT·PT，我们几乎可以肯定所有0的BTt>0≤ T≤ T现在通过βt=tYs=1（1+rs）定义货币市场账户过程β，其中rt=Btt-1.- 1.注意，β是可预测的，且严格为正。此外，设ηt=βtHtt。该组合对应于在期限（t）内将债券的β膜与到期日t相结合- 1，t]就在它成熟之前。首先要注意的是，βt=ηt·Pt，因为Btt=Htt·Pt=1。最后请注意，可预测过程η是一种自我融资的纯投资策略，因为ηt+1·Pt=βt+1Ht+1t+1·Pt=βt+1Ht+1t·Pt（因为Ht+1是纯投资）βt+1Bt+1t=所需的βTA。3.2. Num’eraires和等价鞅测度。

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2022-5-7 00:57:42

在本节中，我们回顾了num’eraire和等价鞅测度的概念。本节的主要目的是协调其他作者使用的概念和术语。现在我们回顾一下等价鞅测度的定义。现在，我们将看到，一旦指定了一个数字，那么，定义3.10中的“马丁格尔定义”和“等效马丁格尔度量”基本上是相同的概念。假设存在一个与财富η·P=N对应的num’eraire策略η。相对于这个num’eraire的等价鞅测度是与P等价的任何概率测度Q，使得贴现资产价格P/N是Q下的鞅。提案3.11。假设Y是模型的鞅函数，η是一个n-um\'erairestrategy，其值为η·P=n。确定时间范围T>0，并通过densitydQdP=nytny定义一个新的测量Q。那么Q是有限期模型（Pt）0的等式鞅测度≤T≤相反，设Q是（Pt）0的等价鞅测度≤T≤T.LetYt=NtEPdQdP |英尺.那么Y是一个鞅函数。证据首先，我们需要证明，提议的密度实际上定义了一个等效的可能性度量。由于η是一种纯投资策略，而N在定义上是正的，因此过程NY是命题2.7的鞅。特别是，上面的随机数m变量dQ/dp是正值。此外，由于NY是一个鞅，所以我们有ep（NTYT）=YN=> EPdQdP= 1.现在我们将证明折扣过程P/N是Q.for0下的鞅≤ T≤ T Bayes公式yieldsEQPTNT |英尺=EPdQdPPTNT |英尺EPdQdP |英尺=EP（PTNT | Ft）EP（NTYT | Ft）=PTNT因为根据鞅的定义，Py和NY都是鞅。现在是相反的情况。设Q为等效的马尔廷加测度，Y由公式定义。PtYt=EQPTNT |英尺EPdQdP |英尺= EP（YTPT | Ft），因此Y是马丁加酒。

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能者818

2022-5-7 00:57:45

推论3.12。考虑一个带有数字的有限期市场模型。当且仅当存在等价鞅测度Mark 3.13时，不存在纯投资套利。请注意，此处定义的等效鞅测度仅在具有固定时间范围的市场模型中才有意义。一般来说，即使没有仲裁，也不存在一个等价的度量，在该度量下，折扣市场价格是有限期内的鞅，因为市场可能无法一致可积。这种技术性问题可以通过调用本地等效度量的概念来解决。然而，请注意，资产定价的基本定理，当根据价格密度进行统计时，同时适用于所有时间范围。4.套利和离散时间泡沫的其他概念我们现在重新考虑上述套利的定义。事实上，在金融建模中自然出现了许多不同的套利概念。在金融市场模型中，很难给出价格泡沫的精确数学定义。一个可能的定义是，如果存在一个不正确的套利概念，而不是一个更强的概念，那么就存在一个泡沫。我们现在详细阐述这一点。假设我们得到了一组可容许的交易策略和一组偏好关系。绝对套利是一种策略Habsuch，对于任何可容许的H，策略H+Habsis也可容许，对于所有偏好关系，H+Habsis严格优先于H。绝对套利在某种意义上是可伸缩的，这对allk来说是如此≥ 0战略Hk=H+K是可行的，Hk+1优先于战略Hk。通常认为不考虑这种套利的模型是可取的。

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2022-5-7 00:57:48

事实上，如果价格是从竞争均衡中得出的，那么所有的代理都会重新保持其最优配置。然而，如果市场允许绝对套利，那么对于任何代理来说都不存在最优策略：给定任何策略，代理可以找到另一种严格首选的策略。第2.2节定义的投资-消费套利是绝对套利。特别是，当我们的偏好关系类由公式（1）给出的效用函数给出时，没有证据表明这是合适的概念，其中函数Ct7→ u（c，…，cT）正严格地增加。为了了解可接受策略和偏好关系的选择如何影响套利这一概念，假设我们考虑在固定日期仅从消费中获得效用的投资者，其效用函数为for mU（H）=E[U（HT·PT）]。在这种情况下，套利的恰当定义是：定义4.1。终端消费套利是指在T>0的时间范围内，使得p（HT·PT>0）>0的投资消费套利。在上述定义中，我们允许投资者在终止日期前消费；然而，投资者在早期消费时没有收到任何效用。也就是说，我们修改了偏好关系集，同时定义了给定的可接受策略集{HX，T:X，T}。如果我们还通过坚持投资者在终止日期前不消费来修改可接受的策略集，我们还有另一种类型的任意年龄：定义4.2。纯投资套利是指在T>0的时间范围内（Ht）为0的终端消费套利≤T≤这是一种纯粹的投资策略。以下命题表明，当存在一个数字时，这些不同类型的套利是一致的：命题4.3。

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2022-5-7 00:57:52

考虑一个存在num’eraire策略的标记。当且仅当存在纯投资目标时，才存在投资消费目标。证据假设η是一个具有相应财富过程η·P=N的数值策略。假设η是一个具有H=0的自我融资投资消费策略，最后假设K是一个策略，包括在t时刻持有投资组合，而不是消费金额（Ht）- Ht+1）·Pt，这笔钱转而投资于num’eraire portf olio。Innotation，K由kT=Ht+ηtt定义-1Xs=1（Hs- Hs+1）·psn注意（Kt- Kt+1）·Pt=（Ht- Ht+1）·Pt- ηt+1·Pt（Ht）- Ht+1）·PsNt+（ηt- ηt+1）·Ptt-1Xs=1（Hs- Hs+1）·PsNs=0so K是一种纯投资策略，假设η是纯投资。最后，如果HT+1=0，则KT·PT=NTTXs=1（Hs- Hs+1）·PSN≥ 特别地，K是纯投资套利当且仅当H是投资-消费套利。与这些弱化的套利概念相对应的是弱化的鞅扩散概念。定义4.4。有符号鞅定义是一个（不一定是正的）适应过程，使得py是一个n维鞅。在这种情况下，可以制定一个有效的条件来排除套利。定理4.5。假设每T>0，就存在一个有符号鞅def fl atorYT=（YTt）0≤T≤t几乎可以肯定YTT>0。当没有纯粹的投资悲剧时。如果另外，YTt≥ 几乎可以肯定≤ T≤ 那么就不存在终端消费套利。该证明利用了命题2.7。

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2022-5-7 00:57:55

细节被省略了。正如我们可以将鞅变量视为投资消耗效用最大化问题的对偶变量，如第2节所述，很容易看出，我们可以将设计的鞅函数视为效用最大化问题的对偶变量，其纯投资目标为[u（HT·PT）]：H纯投资，H·P=X。现在我们有了几个可用的套利概念，我们回到了泡沫问题。从经济角度讲，如果某项资产的当前价格高于其基本价值的某个数量，那么该资产就存在泡沫。当然，基本价值应该以某种方式反映资产的未来价值。因此，如果存在投资-消费套利，可以很自然地说离散时间市场存在泡沫。我们现在将举一个这样一个市场的例子，它具有额外的属性，即不存在终端消费套利，因此也不存在纯投资套利。这种想法是，必须在市场上进行充分投资的代理人，例如需要持有某个行业资产的基金经理，不能利用“明显的”无风险盈利机会。在第5节中，我们将表明，这种情况与连续时间现象类似，当市场没有绝对套利，但有相对套利时，由于可接受性约束，明显的风险较低的利润是不可能锁定的。考虑一个有一种资产的市场，其中价格由Pt={t<τ}给出，对于某个正的、有限的停止时间τ。从某种意义上说，这项资产的基本价值为零，因为对于所有的t，Pt=0≥ τ. 对于投资者来说，最明显的策略是在短时间内出售资产，并消耗收益。然后在时间τ时，投资者从市场上免费回购资产。我们考虑两种情况。

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mingdashike22

2022-5-7 00:57:58

首先，如果τ是无界的，根据我们的定义，这种策略不是投资消费套利，因为我们要求套利在非随机时间T结束。的确，假设τ不仅是无界的，而且在事件{t上也是无界的- 1<τ}条件概率P（t<τ| Ft-1）对于所有的t来说，几乎肯定是绝对的≥ 1.在这种情况下，我们可以通过定义Y=t来找到一个martinga le def-flator Y∧τYs=1P（s<τ| Fs-1)-1.现在假设τ被一个常数N限定，因此τ≤ 几乎可以肯定。这里有一种投资-消费套利：只需卖空一股资产，然后消耗收益。在表示法中，设Ht=-1比0≤ T≤ N和HN+1=0。相应的消费策略是C=1，Ct=0表示1≤ T≤ N.另一方面，由于没有num’eraire资产，因此无法通过终端消费策略锁定这种套利。实际上，如果HP=0，那么HtPt≤ 0代表全部≥ 0.有人可能会把这个例子解释为一个带有泡沫的离散时间市场。如果很多交易者无法在特定的时间范围内从市场账户中提取交易收益，那么这种泡沫的存在可能有经济原因。或者，我们可以通过使用定理4看到，没有终端消耗。5.通过找到一系列非负符号鞅函数，即使τ几乎肯定有非随机时间N的界。事实上，对于T<N的情况，让YTt=1表示所有0≤ T≤ 对于T的情况≥ N、设YTt={0≤t<t}。注意，在bot h病例中，P YTis amartingale，因为t<N病例中的P ytt=1，t<N病例中的P ytt=0≥ Ncase。5.连续时间内的相对套利和泡沫在本节中，我们讨论了相对套利年龄的概念，以及连续时间市场中对泡沫的一个流行定义。

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2022-5-7 00:58:01

这里的结果并不是新的，而是为上一节的讨论提供背景。与绝对套利的概念相反，相对套利可以描述如下。和之前一样，我们给出了一组可接受的交易策略和该集合上的一组偏好关系。与基准可容许策略H相关的套利策略H是一种策略HREL，即对于所有偏好关系，H+Hrelis可容许且优先于H。注意，与绝对套利的情况不同，相对套利不一定是可伸缩的，因为不能保证H+kHrelis在k>1时是可容许的。与绝对套利的情况一样，从模型中排除相对套利也可能是可取的，但论据较弱。例如，如果存在相对套利，那么在均衡状态下，没有代理人会执行基准策略H。特别是，如果他的代理人对其中一项资产采取买入并持有策略，那么在均衡状态下，没有代理人会在该资产中持有不稳定的头寸。对于我们的离散时间模型，如果初始成本Hrel·P=0消失，且与H+hreld相关的消费流以严格的正概率支配与H相关的消费流，则很自然地说Hrelis是与H相关的套利。很容易看出，在这种情况下，Hrelis也是一种绝对套利。因此，我们将触角简化为连续时间模型。我们考虑一个具有连续半鞅价格过程P的市场。首先，我们定义了一套自我融资的投资消费策略a*=H:P-可积，H·P-ZH·dP在下降.为了避免额外的复杂性，并强调相对套利和绝对套利之间的差异，我们现在假设存在一种新的套利策略。

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2022-5-7 00:58:04

回想一下，在离散时间设置中，这意味着上一节讨论的各种套利注意事项是一致的。特别是，为了简单起见，我们只考虑纯投资套利的情况。一套适当的自我融资纯投资策略成为可能o=H:P-可积，Ht·Pt=H·P+ZtHs·dPsa。s、尽管如此，t≥ 0.与离散时间设置不同，众所周知，在连续时间内，我们必须限制投资者可用的策略，以避免双重策略产生的微不足道的套利。因此，我们假设，对于每一个可接受的策略，投资者的财富保持非负。也就是说，我们让a={H∈ A.o: Ht·Pt≥ 所有t均为0 a.s≥ 0}.如果H是给定的可容许策略，则相对套利hrela是H+Hrelis生成的财富g在任何时候都是非负的；是的，我们有hrel·P=0和hrel·Pt≥ -Ht·Pta。s、尽管如此，t≥ 0另一方面，候选绝对套利应该是相对于任何可容许H的套利，因此它产生的财富应该是非负的：Habs·P=0和Habst·Pt≥ 所有t均为0 a.s≥ 0我们在此陈述一个充分的条件，以排除套利，例如提案5.1。如果存在一个正连续半鞅Y，使得yp是局部鞅e，则不存在绝对套利。如果过程H·py是真鞅，则不存在相对于可容许策略H的套利ge。证据让K成为一个可接受的策略。根据It^o的公式、渡边坤田公式和我们拥有的自我融资条件kT·PtYt=K·PY+ZtKs·d（PsYs）。特别地，通过右边的积分表示，我们得到了K·P是局部鞅。通过可容许性，这个局部鞅是非负的，因此可以用Fatou引理分解。

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2022-5-7 00:58:08

特别是E（KT·PTYT）≤ K·PY。现在让K=H+H*其中H·py是真正的martinga le和H*· P=0，我们有（H*T·PTYT）≤ 因此，不存在相对于H的套利。因为我们可以让H=0，所以不存在绝对套利。备注5.2。此处使用的绝对套利通知与第一类无套利（NA1）的数量独立性密切相关。最近，已经证明了与上述命题相反的一个命题，即市场模型具有NA1当且仅当存在一个局部市场模型，在Kardaras[13]的一维案例和Schweizer&Takaoka[19]的多维案例中。备注5.3。注意，当Y是局部鞅定义时，过程M=H·P Y始终是局部鞅。它是真鞅当且仅当M是DL类的o，即随机变量{Mτ的集合∧t：τa停止时间}对所有t是一致可积的≥ 0.当M是真鞅，H是数值策略时，可以定义与H相关的等价鞅测度，如第3.2节所述。相对套利的概念与无风险消失免费午餐（NFLVR）密切相关。事实上，考虑参考策略H是一个数值的情况，因此它产生了一个严格正的财富过程N。在这种情况下，一个候选相对套利*是这样的，贴现财富*· P/N从下方以常数为界-1.Delbaen&Schachermayer[7]的一篇著名论文证明了上述命题的另一个相反命题，即市场模型具有NFLVR的充要条件是存在等价的西格玛鞅测度。一个典型的例子是，一个相对套利但没有绝对套利的市场有两个资产。第一种是单位价格不变的现金，第二种是正价格过程的高风险股票。

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2022-5-7 00:58:11

假设S是一只本地的马丁格尔。过程P=（1，S）是一个局部鞅，所以我们可以把Y=1作为一个局部鞅函数。根据命题5.1，不可能存在绝对套利。此外，由于持有静态现金头寸的价值是恒定的，因此与策略（1，0）相比，不可能存在ar比特率。然而，现在假设S是一个严格的局部鞅（因此是一个超鞅），过滤是由布朗运动产生的，S的波动率是严格正的。那么，相对于持有一股股票的策略（0，1），确实存在相对套利。事实上，对于任何固定期限T>0，都存在一种纯粹的投资交易策略，例如hrept·Pt=E（ST | Ft）≤ 利用鞅表示定理。请注意，stra tegy H*= Hrep- （0，1），即渴望动态复制策略并做空股票，是一种相对套利。自从H*这本身是不可接受的。这个例子所展示的现象被用来模拟价格泡沫，因为购买和持有股票的简单策略由动态复制策略Hrep控制。有关这一点的讨论，请参见Herdegen[9]关于Schweizer[18]的最新论文。然而，上面的例子基本上使用了连续时间的特殊性质。事实上，如果S是离散时间内的正局部鞅，则S根据命题7.8自动成为真鞅。备注5.4。上面讨论的连续时间泡泡和最后一节的离散时间泡泡之间有一个诱人的相似之处。事实上，在连续时间内，当正过程M=NY是一个严格的局部鞅函数时，气泡就会出现，其中N是一个数值，Y是一个局部鞅函数。

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2022-5-7 00:58:14

回想一下，连续正严格局部鞅可以如下构造。设X是关于测度P的连续非负真鞅，其中X=1。确定时间范围T>0，并用DensityDQDP=XT定义绝对连续的测量值Q。现在让τ=inf{t≥ 0:Xt=0}是X第一次达到零。最后，设M为definedasmt={t<τ}Xt。过程M是一个Q-局部鞅。实际上，很容易检查停止时间序列τn=inf{t≥ 0:Xt=1/n}将M局部化为有界Q-鞅。此外，从Q（τ）开始，M几乎肯定是严格正的Q≤ T）=EP（XT{τ）≤T}=EP（Xτ{τ≤T}=0。然而，请注意eq（XT）=P（τ>T）。特别地，M是真Q-鞅当且仅当X是严格正P-几乎肯定。例如，有关更多细节，请参阅Ruf&Rungaldier[16]的论文。作为上述讨论的结果，在连续时间故事中，如果某个过程X以正概率为零，则存在一个气泡。另一方面，在离散时间理论中，如果存在一个非负符号的鞅定义，则不存在终端消费套利。然而，如果Y为零，可能存在投资-消费套利——也就是泡沫。6.校样6。1.定理2.10的证明。回想一下，我们只需要证明（1）同时包含（2）和（4）。首先，我们需要一个额外的等价的，但更技术性的理论公式。10：定理6.1。定理2.10的条件（1）-（4）等价于每t的条件（5）≥ 1和正Ft可测ζ，存在一个正Ft可测随机变量Z和正Ft-1-可测量的dom变量R≤ Rζalmos t surelyandE（PtZ | Ft-1） =Pt-1在广义条件期望的意义上。证据（5）=> （2）定理6.1。每个t≥ 1.让ZT成为这样（PtZt | Ft-1） =Pt-1在广义条件期望的意义上。

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大多数88

2022-5-7 00:58:17

设Y=1，Y=Z··Zt。注意，根据下文第7b节中的命题7.6，过程Y P是一个局部鞅。因此，它是一个局部鞅函数。证据（5）=> （4）定理6.1。通过将给定的正过程η替换为^ηt=min{ηt，e-kPtk}。我们可以假设过程Pη是有界的。特别地，一旦我们证明给定η=（ηt）0≤T≤t存在一个局部鞅，例如≤ ηt或0≤ T≤ T，我们可以得出结论，Y是一个真正的鞅函数，因为过程py是可积的。给定过程η=（ηt）0≤T≤Twe将构造随机变量（Zt）1≤T≤Tsuch Thatch过程（Yt）0≤T≤这是一个局部鞅函数，其中Yt=YZ··Zt。我们只需要证明我们能以这样的方式来建造≤ ηt.Letζt=ηt/ηt-1.根据条件n（5），t存在正随机变量zt和正FT-1-可测随机变量RT-1.如此≤ RT-1ζT。现在我们通过指定ζT向后进行-1.ζ找到ZT-1.Zand对应的边界RT-2.RT-3.真是太好了≤ Rt-1ζt通过ζt=ηtηt-1.1+Rt.过程Yt=η1+RZ···zt是一个局部鞅函数，使得Yt≤ ηt或0≤ T≤ 如你所愿。现在我们走相反的方向。以下证明改编自罗杰斯[15]关于假设存在num’era ir e资产情况下的Dalang–Morton–Willinger定理的证明。其目的是证明无套利意味着某个纯投资效用优化问题有一个最优解。这里的想法非常相似：没有人认为某个投资-消费效用最大化问题有一个最优解。证明（1）=> （5）定理6.1。修正t≥ 1，并假设给出了正Ft可测随机变量ζ。

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