我们将利用H*∈ 通过第一次观测，我们现在显示P（Ac）=0。现在在Acthe序列（香港）kis无界。因此，我们可以找到一个可测量的子序列→ ∞ 在Ac上，由于序列^Hk=hkkkk是有界的，实际上所有k的k^Hkk=1，因此存在一个进一步的子序列（^Hk）kc沿着该子序列在Acto a Ft上收敛-1-可测随机变量^H。注意k^H（ω）k=1表示所有ω∈ 让（3）H=HAc，我们只需要几乎确定地显示t’H=0。首先请注意，在Ac上∩ {^H·Pt-1<0}我们有Ehk·Pt-1=（e）-^Hk·Pt-1） kH*kk→ ∞.但是sincelim supkeHk·Pt-1.≤ lim supkF（香港）=infhF（小时）≤ F（0）=2通过上述第二个观察，我们得出结论（4）P（Ac∩ {^H·Pt-1> 0}) = 0.同样，在Acwe上，我们有Fatou引理和Markov不等式（^H·Pt<0 | Ft）-1） =supε>0P（^H·Pt<-ε| Ft-1)≤ supε>0lim infkP(-Hk·Pt>kHkkε| Ft-1)≤ supε>0lim infkE（e-香港·铂^ζ|英尺-1） ekHkkεE（^ζ| Ft）-1） =0sincelim supkE（e）-香港·铂^ζ|英尺-1) ≤ 林素福（香港）≤ 2.特别地，我们可以得出以下结论：（5）P（Ac∩ {H·Pt<0}）=0。现在考虑一下投资消费策略（Hs）0≤s≤由Hs定义的tde=0表示0≤s≤ T- 1和Ht=\'H，其中\'H由等式（3）定义。注意，根据等式（4）和（5），这种策略是自我融资的。假设不存在投资消费套利，我们现在得出结论1=P（`H·Pt）-1=0，\'H·Pt=0）=P（\'H·Pt-1=0，P（\'H·Pt=0 | Ft-1) = 1)≤ P（\'H=0）=P（A），其中我们使用了\'H∈ V加上第二行和第三行之间的k `Hk=Ac。证据到此结束。6.2. 定理2.14的证明。超级可复制权利要求的双重特征可以使用与上述定理6.1的证明相同的效用最大化思想来证明。事实上，我们的见解是，超级复制是投资者在大风险厌恶极限下的最佳对冲政策。定理2.14的证明。

修正t≥ 假设e（Zξt | Ft-1) ≤ ξt-1对于任何可测量的英尺Z，即E（PtZ | Ft-1） =Pt-1.我们将证明存在一个Ft-1-可测量H，使H·Pt-1.≤ ξt-1和H·Pt≥ ξ最肯定。为了可积性，我们引入了一个因子ζ=e-（kP-kt+ξt）/2，定义一系列随机函数sfγ（h）=e-γ（ξt）-1.-h·Pt-1） +E[E]-γ（h·Pt）-ξt）ζ| Ft-1] 其中γ>0具有风险规避参数的作用。由于没有套利，我们可以从（1）的证明中重复使用这个论点=> （5） 定理6.1对Fγ具有Ft的推论-1-可测极小器Hγ与相应的Ft可测随机变量Zγ=e-γ（Hγ·P）-ξt）ζe-γ（ξt）-1.-Hγ·Pt-1） 性质为t ha tE（PtZγ| Ft-1） =Pt-1.注意γFγ（h）| h=hγ=e-γ（ξt）-1.-Hγ·Pt-1)（E（ξtZγ| Ft）-1) - ξt-1） +Hγ·（Pt）-1.- E（PtZγ| Ft-1)≤ 假设是0。还要注意γ7→ Hγ是可区分的。事实上，回想一下Hγ被定义为函数的根Fγ：V→ 五、 and DFγ是V上的严格正有限算子，因此Hγ的可微性遵循隐函数定理。此外，Fγ（Hγ）≤ Fγ（Hγ±ε），因为Hγ是Fγ的最小值，因此γFg（Hγ）|g=γ=0。把这些放在一起意味着γ7→ Fγ（Hγ）是非递增的，尤其是upγ≥1Fγ（Hγ）<∞.在剩下的证明中，我们只考虑γ的正整数值。LetA={supγkHγk<∞}英国《金融时报》-1序列（Hγ）γ有界的事件。根据命题7.11，存在一个收敛于Ft的可测子序列-1-H*注意∩ [{H*· Pt-1> ξt-1} ∪ {H*· Pt<ξt}]）≤ P（Fγ（Hγ）→ ∞) = 我们只需要证明P（A）=1。现在我们证明了序列（Hγ）γ为无界的事件A的概率为零。这与定理6.1的证明遵循相同的步骤。

同样，通过命题7.11，我们考虑一个子序列，使得kHγk→ ∞ 然后找到进一步的子序列和ft-1-kHγk=1的可测随机变量，使得^Hγ→^Hwhere^Hγ=HγkHγk.SinceFγ（Hγ）=（e^Hγ·Pt-1.-^ξt-1） γkHγk+E[（E^ξt-^Hγ·Pt）γkHγkζ| Ft-1] 式中^ξs=ξskHγk→ 0表示s=t- 1，t，我们可以通过fγ（Hγ）的有界性得出结论交流电∩h{^h·Pt-1> 0} ∪ {H·Pt<0}i= 如前所述，我们使用无套利假设和^H的非简并性来得出P（Ac）=0。7.附录7。1.广义条件期望和局部鞅。在本附录中，我们回顾了一些关于离散时间局部模型的基本概念和有用事实。首先，我们简要回顾了条件期望的定义：定义7.1。给定一个概率空间(Ohm, F、 P），非负随机变量X和子西格玛场G F、 我们将条件期望E（X | G）定义为几乎唯一的gm可测量随机变量Y，使得E（XG）=E（YG）适用于所有事件G∈ G.如果E（|X | G）<∞ 几乎可以肯定的是，我们定义（X | G）=E（X+| G）- E（X）-|G） 。请注意，为了定义上述条件表达式E（X | G），X不必是可积的。然而，我们必须注意这种条件期望的广义概念，因为一些常见的可积随机变量计算规则通常是失败的。例如，可以找到一个随机变量X和西格玛场G和H，这样条件期望E（X | G）和E（X | H）都被定义，事实上，两者都是可积的，并且yetE[E（X | G）]6=E[E（X | H]）。当然，如果X是可积的，这种病理就不会发生。下面是广义条件期望的三个有用性质。读者可能对它们很熟悉，但这里包含它们是为了避免上文所述的意外病理。

他们的项目可以在C,inlar的书[4]的第4.2章中找到。提案7.2（塔楼物业）。固定嵌套的sigma-fields G H.假设X是这样的X几乎肯定是非负的，或者E（|X | G）几乎肯定是有限的，那么E（X | H）是定义的andE（E（X | G）| H）=E（E（X | H）| G）=E（X | G）。提案7.3（插槽属性）。假设K是G-m可测的。如果E（|X | G）<∞几乎可以肯定，还是X≥ 0和K≥ 几乎可以肯定的是，thenE（KX | G）=KE（X | G）。提议7.4。设u为随机变量X的正则条件分布，给定σ-字段G。假设条件经验已确定，我们得到（X | G）（ω）=Zxu（ω，dx），几乎所有ω∈ Ohm.现在回想一下局部鞅的定义：定义7.5。本地马丁格尔e是一个适应的过程M=（Mt）t≥0，从而存在一个随τN增加的停止时间序列（τN）↑ ∞ 使停止的过程MτN=（Mt∧τ） t≥0是每个N的鞅。离散时间局部鞅的以下三个性质将很有用。例如，他们的观点可以在Jacod&Shiryaev[10]的论文中找到。提议7.6。离散时间过程M是局部鞅当且仅当对于所有t≥ 我们有E（| Mt+1 | Ft）<∞ 几乎可以肯定，E（Mt+1 | Ft）=广义条件期望意义上的Mt。提议7.7。假设Q是一个离散的局部过程，K是一个可预测的过程。LetMt=tXs=1Ks（Qs- Qs-1） 对于t≥ 1.那么M是局部鞅。提议7.8。假设M是一个离散时间局部鞅，存在一个非随机时间horizo n T>0，其性质是MT≥ 几乎可以肯定。然后（Mt）0≤T≤这是一个鞅。由于卡巴诺夫[11]，我们得出了一个有用的技术结果。

与本文中的其他结果不同，卡巴诺夫定理的证明需要函数分析的微妙思想。幸运的是，它只在一个地方被使用——用来证明局部鞅的存在意味着真鞅的存在。需要强调的是，卡巴诺夫定理仅用于证明，因为我们不限制对有限时间范围的关注，也不假设我们的资产具有非负价格。定理7.9（卡巴诺夫[11]）。假设M是关于概率测度P的离散时间局部鞅，则存在一个等价测度Q，使得M是关于Q.7.2的真鞅。可测量性和选择。下面的结果允许我们断言随机函数的极小值的可测性。证据来自罗杰斯的父亲[15]。提议7.10。让f:Rn×Ohm → R是这样的，即f（x，·）对于ll x是可测量的，并且f（·，ω）是连续的，并且具有唯一的极小值x*（ω） 对于每个ω。然后X*这是可以衡量的。证据对于任何空位球B 我们有{ω：X*(ω) ∈ B} =[p∈B∩Q\\Q∈公元前∩Q{ω：f（p，ω）<f（Q，ω）}，其中Q是Rn的可数稠密子集。最后，我们加入了一个有用的可测量版本的Bolzano–Weierstrass定理。Kabanov&Stricker[12]的论文中有一个补充证据。提议7.11。设（ξk）k≥0是一系列可测函数ξk：Ohm → rnsupkkξk（ω）k<∞ 对于所有ω∈ Ohm. 然后存在一个整数值可测函数的递增序列NK和一个Rn值可测函数ξ*使得ξNk（ω）（ω）→ ξ*（ω） 作为k→ ∞总而言之ω∈ Ohm.8.致谢这项工作得到剑桥金融研究基金会的部分支持。我要感谢Erhan Bayraktar的评论和建议。参考文献[1]B.布沙尔和M.努茨。非支配离散时间模型中的套利和对偶。

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