对于给定边际的远期微笑，无套利边界

2022-5-11 02:04:23

考虑到边缘球员巴迪科夫、安托万·贾奎尔、刘达芙妮·清和帕特里克·鲁梅布拉特，远期微笑的无套利界限。我们探讨了在给定报价（看涨期权和看跌期权）市场数据的情况下，远期启动交易的稳健复制。解决这个问题的一种方法通常遵循半有限线性规划参数，我们提出了一种离散化方案来降低其维数，从而降低其复杂性。或者，我们可以考虑对偶问题，其中包括寻找最优鞅测度，在该测度下，上界和下界都可以得到。Hobson和Klimek[14]以及Hobson和Neuberger[15]提出了这个对偶问题的半解析解。我们将这种双重方法重新定义为一个有限维线性规划，并在Black-Scholes和Heston模型中对这两种方法进行了数值协调。1.引言自David Hobson的开创性贡献[12]以来，一个重要的文献流一直专注于开发多维衍生产品或路径依赖期权的无模型次（超）套期保值，给出了一组欧式期权工具。关键观察结果是，无模型次（超）套期保值成本与斯科罗霍德嵌入问题密切相关（参见霍布森[13]和Ob l\'oj[18]在数学金融背景下的详尽调查论文）。最近，Beiglb¨ock、Henry Labord\'ere和Penkner[3]在鞅最优运输理论的框架下研究了这个问题。假设欧洲看涨/看跌期权价格在所有履约和某些到期日都是已知的（相当于资产价格的边际分布在这些时间是已知的），那么最优运输就会产生与这些边际分布一致的衍生产品价格的无套利范围。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-11 02:04:27

主要问题是在所有与边际一致的联合鞅测度（运输计划）上，努力找到这些价格的上确界或内确界。反过来，双重问题寻求找到“最佳”的次（超级）复制投资组合；这种双重公式具有自然财务解释的优点，可以被转换为（最终）线性程序，适用于数值实现，如[10]所述。前向启动选项（I型和II型）是适用于这些技术的最简单产品之一。货币类型II远期启动跨区间（带payoff | St+τ）时的价格上限-Hobson和Neuberger[15]计算了St | forsome t，τ>0），其中最优鞅测度的支持度为二叉树。不幸的是，最优测度和相关的超级套期保值组合在分析上是不可用的。Hobson和Klimmek[14]半解析地描述了moneyType II远期启动跨座价格下限的鞅最优转移计划，并通过求解一组耦合常微分方程找到了转移计划（沿三项式树支持）。最近，Campi、Laachir和Martini[7]研究了这些二维最优运输问题的数值变化日期：2021年11月28日。2010年数学学科分类。91G20、91G80、90C46、90C05、90C34。关键词和短语。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:04:30

鞅最优运输，鲁棒界，前向启动，赫斯顿。作者们感谢克劳德·马蒂尼（Claude Martini）激发了讨论，感谢匿名推荐人提供了有益的建议。AJ感谢EPSRC第一批拨款EP/M008436/1.2 SERGEY BADIKOV、ANTOINE JACQUIER、DAPHNE QING LIU和PATRICK Roomean提供的财务支持，并表明在某些技术条件下，Hobson-Klimek转让计划也实现了货币远期开始交易时I型的下限。在本文中，我们用数值方法研究了II型远期起跳的无套利界限。第2节介绍了与最优运输问题相对应的有限维线性规划。第3节通过离散t和t+τ时边际分布的支持度来降低问题的维数，这尊重了原始问题和对偶问题与观察到的期权价格的一致性，并产生了稳健的数值结果。我们的离散化方法不同于Henry Labord\'ere[10]，需要的点数要少得多，从而降低了要求解的有限维线性规划的复杂性，从而提高了算法速度。在第5节中，我们专门计算了aBlack-Scholes模型（对数正态边际）和Heston随机波动率模型产生的边际分布的上界和下界。在货币情况下的下界中，我们在第4节数值求解了与Hobson-Klimmek转移计划有关的耦合常微分方程，并表明它与对偶问题的LP解非常一致。在第6节中，我们对原始问题进行了数值求解，并为大范围的打击提供了最佳运输计划。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:04:33

交通计划仅在金钱案例[14,15]中才为人所知，我们强调了数字证据，表明在这些案例中，最优转移计划更为微妙，似乎是金钱计划下限和上限的组合。直观地说，极值测度产生的aprice要么对应于乘积的最大值，要么对应于乘积的最小值。在前向启动选项案例中，该极值度量最大化或最小化资产价格过程条件分布的峰度（具体参见第4节和第6节以及[14,15]）。因此，如果选择的模型未能准确描述峰度，可能会导致错误的风险敞口。在第5节探讨的例子中，符合边际法则的向前微笑的范围很大，与[10，第5.5节]中的数值相同。如此广泛的价格范围支持这样一种说法，即使用欧洲普通期权复制依赖于远期波动性的主张似乎是虚幻的。因此，远期启动期权应被视为异国期权定价的基本组成部分，不可分解（或近似分解）为欧洲期权。在场外交易市场上，远期启动期权通常可以从cliquet期权中获得。Cliquet期权一直是股票市场上流行的工具[6]，也是保险公司的对冲工具（所谓的弹性指数期权，其详细信息可在CBOE网站上找到）。用于远期波动性相关的exotics的模型应能够校准远期启动期权价格，并应产生与交易预期和可观察价格一致的真实远期微笑。注：Bb（R）表示实线上的有界可测函数集，R+：=[0，∞) 代表正半线；h·，·i表示欧氏内积，k·k表示Lnorm。2.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:04:36

问题公式我们考虑一个资产价格过程≥0从S=1开始，我们假设利率和除数为空。对于t，τ>0，让u和ν表示林分St+τ的分布，假设其具有共同的有限平均值，支持[0，∞), 对于勒贝格测度是绝对连续的。我们说二元lawζ是一个鞅耦合，并写出ζ∈ M（u，ν），如果ζ有边缘u和νandRy∈R+（y）-x） ζ（dx，dy）=0每x∈ R+。在[22]之后，我们将说u和ν是凸的或平衡的顺序（我们表示u） ν）如果他们有相等的平均值和满意度r+（y-x） +u（dy）≤RR+（y）-x）所有x的+ν（dy）∈ R.对于给定边际3的正向微笑，这种假设无套利边界确保（见[2]）集合M（u，ν）不为空。我们的目标是找到与两个边际分布一致的最紧的上界和下界，用于向前开始跨段支付| St+τ-K>0的KSt |。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

大多数88

2022-5-11 02:04:39

为此，我们定义了我们的主要问题：（2.1）P（u，ν）：=infζ∈M（u，ν）ZR+|y- Kx|ζ（dx，dy）和p（u，ν）：=supζ∈M（u，ν）ZR+|y- Kx |ζ（dx，dy）。我们现在定义了以下子复制和超级复制投资组合：Q：=(ψ, ψ, δ) ∈ L（u）×L（ν）×Bb（R+）：ψ（y）+ψ（x）+δ（x）（y）- 十）≤ |Y- Kx |，代表所有x，y∈ R+,问：=(ψ, ψ, δ) ∈ L（u）×L（ν）×Bb（R+）：ψ（y）+ψ（x）+δ（x）（y）- 十）≥ |Y- Kx |，代表所有x，y∈ R+.如果（ψ，ψ，δ）∈ Q（分别为∈ Q） THNRR+| y-Kx|ζ（dx，dy）≥ (≤)RR+ψ（x）u（dx）+RR+ψ（y）ν（dy）。然后将双重问题定义为所有次（超）复制投资组合的上确界（内确界）：（2.2）ZR+|y-Kx|ζ（dx，dy）≥ sup（ψ，ψ，δ）∈Q（ZR+ψ（x）u（dx）+ZR+ψ（y）ν（dy））=:D（u，ν），ZR+|y-Kx|ζ（dx，dy）≤ inf（ψ，ψ，δ）∈Q（ZR+ψ（x）u（dx）+ZR+ψ（y）ν（dy））=:D（u，ν）。在[3，定理1和推论1.1]中，作者证明（实际上对于更一般的支付函数类）不存在对偶间隙，即等式P（u，ν）=D（u，ν）和P（u，ν）=D（u，ν）都成立。然而，正如[3，命题4.1]所证明的，对偶问题中可能无法获得最优值。在[14]和[15]中，作者表明，在货币情况下（K=1），通过对度量u和ν的额外离散假设，对偶问题（2.2）的最佳值实际上得到了实现。更准确地说，以下结果总结了[14]（有关技术假设的更多细节，请参见下文第4节）：假设2.1。η的支持度：=（u）- ν） +由区间[a，b]给出 R+，以及γ的支撑：=（ν）- u）+由R+\\[a，b]给出。定理2.2。集合等式D（u，ν）=P（u，ν）和D（u，ν）=P（u，ν）成立，并得到（2.1）中的原始最优解：存在鞅测度ql和QUin M（u，ν），使得P（u，ν）=EQL|St+τ- KSt |和p（u，ν）=eq | St+τ- KSt |。此外，在假设2.1下，当K=1.3时，可获得对偶问题（2.2）的上确界和内确界。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:04:42

原问题和对偶问题的无套利离散化3。1.密度的无套利离散化。设t>0是某个给定的时间范围，stt是描述时间t时股价的随机变量，μs是St.Fix m>1的定律，假设我们给定一个集合x=（x，…，xm）∈ 0<x<x<…<xmin表示u，在从u取样的点x处用原子qia表示离散分布q（例如，如果u允许密度f，则一个cantake qi=f（xi）/Pmi=1f（xi））。我们希望找到一个离散分布p，接近q，与第一个l匹配≤ μm，特别是满足“鞅”条件hp，xi=1。让T:R+→ Rl+由T（x）：=（x，x，…，xl）给出，并定义力矩向量T:=RR+T（x）u（dx）∈ Rl+。这种匹配条件不一定与给定的（欧洲）期权价格一致。为了确保离散概率为这些期权定价，我们增加了第二层：Borwein、Choksi和Mar’echal[4]建议通过最小化KullbackLeibler发散到均匀分布（他们还评论说，可以选择任何先验分布），从观察到的欧洲看涨期权市场价格中恢复离散概率分布。4 SERGEY BADIKOV，ANTOINE JACQUIER、DAPHNE QING LIU和PATRICK ROOMEIn，特别是考虑到欧洲看涨期权价格P∈ RM+，在t成熟，Streesk<···<KM，我们可以解决最小化问题：（3.1）minp∈[0,1]m:kpk=1mXi=1pilog皮奇, 从属于（hCj（x），pi）j=1，。。。，M、（hTj（x），pi）j=1，。。。，L= （P，T）。对于一些先验离散分布q，其中Cj（x）：=（（x）- Kj）+，（xm）- Kj）+），对于j=1，M、表示期权的支付向量，Tj（x）：=（xj，…，xjm）是第j个矩向量（j=1，…，l）。定义3.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:04:45

当下列条件成立时，离散分布p与p一致：（i）Pmi=1pi=1；（ii）hCj（x），pi=Pmi=1piCj（xi）=Pj，对于所有j=1，M（iii）hT（x），pi=hx，pi=T=1；请注意，上述定义中的最后一项只是鞅条件。必须注意的是，如果已知STI的全部边际分布u，可以在上面选择欧洲期权的任何有限子集，价格向量可以定义为P:=RR+C（x）u（dx），其中C（x）：=（（x- K） +，…,，（十）- 公里+）∈ RM+适用于任意x∈ R+。特别是，这个问题的解决方案可以通过修改[23]中的解决方案来获得，该解决方案本身基于Borwein和Lewis[5，推论2.6]：（3.2）pi=qiexphλ*, （C（xi，T（xi））iPmi=1qiexphλ*, （C（xi，T（xi））i, λ在哪里*:= argminλ∈RM+l(-hλ，（P，T）i+logmXi=1qiehλ，（C（xi），T（xi））i！）。我们现在可以考虑以下算法：算法3.2。（i）对于m点0<x<…<xm；例如：（a）二项式：让∑表示货币对数正态波动率（对于t到期的欧洲期权）。设置δ：=t/（m）-1），u:=1+eΔ∑- 1.1/2，d:=1-eΔ∑- 1.1/2和xi:=ui-1毫米-我（b） Gauss-Hermite：xi：=exi，其中x。。。，~xm是N点高斯-厄米求积的节点。（ii）对于离散分布q，我们可以遵循以下几种途径：（a）如果μ允许密度fμ，那么，对于i=1，m、设定qi:=fu（xi）/Pmj=1fu（xj）；（b）或者，对于i=1。。。，m、设qi:=u（[xi-1，xi））（x=0）；（iii）通过（3.2）计算离散化度量p。备注3.3。正如Tanaka和Toda[23]所指出的，离散点x的选择。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-11 02:04:48

，xmin算法3.2由积分srr+（C（x），T（x））dfu（x）的离散化决定≈Pmi=1w（xi）（C（xi），T（xi））fu（xi）。根据给定的求积规则选择权重w（·）；在算法3.2的情况下，权重选择为常数w（xi）=（Pmi=1fu（xi））-1对于所有i=1，m、在离散化节点和给定打击满足某些特定顺序的特定情况下，可以选择一个更明确的加权方案p，该方案与p一致，对离散化的选择有最小假设：引理3.4。设m=m+2。如果两组条件都成立，则与P的一致性是必然的：（i）x<K，xM+2≥ （下午）-1公里- PMKM-1） /（下午）-1.- PM）和xi+1=kii=1，M给定边际5（ii）pM+2=pM/（xM+2）的远期微笑的无套利界限- 公里），p=1-M+2Xj=2pj，对于任何i=M，1，pi+1=xi+1- 基-1.圆周率-1.-M+2Xj=i+2pj（xj- 基-1),按照约定K:=x和P:=1- x、证据。因为打击是有序的，向量：=（1，1，P，…，PM）\'∈ RM+2满足无套利条件（根据[8，定理3.1]），假设xM+2≥ （下午）-1公里- PMKM公司-1） /（下午）-1.- PM）表示xM+2>KM。加权方案与P的一致性可以写成Apx=P，其中a：=1 1 . . . . . . 1xx。xM+20（x- K）。。。。。。（xM+2）- K）。。。。。。。。。。。。。。。。。。0（xM- 公里-1）（xM+2）- 公里-1)0 . . . 0（xM+2）- 公里）和px：=嗯。。。pMpM+2.这里A是一个实上三角矩阵，所以系统有一个引理中给出的唯一解。还需要检查系统的可行解是否满足附加约束pi≥ 0表示i=1，M+2。自xM+2以来≥颗粒物-1公里-PMKM-下午1点-1.-PMit遵循pm+2=PMxM+2- 公里≤颗粒物-1.- PMKM- 公里-1.≤-公里-1公里以上- 公里-1，最后一个不等式来自看跌期权平价和无套利inP。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-11 02:04:52

根据定义，我们有Pm+1=KM- 公里-下午1时-1.- 下午2点（下午2点）- 公里-1））=公里- 公里-1.颗粒物-1.- 颗粒物- PMKM- 公里-1xM+2- 公里,假设xM+2，我们有pM+1≥ 0.对于pMwe havepM=KM，情况类似-1.- 公里-下午2点-2.- pM+1（公里）- 公里-2) - pM（xM+2）- 公里-2） ]=PM-2.- 颗粒物-1公里-1.- 公里-2.-颗粒物-1.- 下午2点（下午2点）- 公里）公里- 公里-下午1点-2.- 颗粒物-1公里-1.- 公里-2.-颗粒物-1.- PMKM- 公里-1.我们递归地观察到，对于i=2，M- 我们有Pi=Pi-2.- 圆周率-1Ki-1.- 基-2.-圆周率-1.- 玉米薄饼- 基-1.由于价格SP不满足套利条件，则pi≥ 0表示i=1，M+2。注意，当xM+2=PM-1公里-PMKM-下午1点-1.-PM，PM+2=PM-1.- PMKM- 公里-1，pM+1=0，pi=pi-2.- 圆周率-1Ki-1.- 基-2.-圆周率-1.- 玉米薄饼- 基-1，对于i=2，M，离散化减少到M+1点，其中xM+1=km被丢弃。6 SERGEY BADIKOV、ANTOINE JACQUIER、DAPHNE QING LIU和PATRICK ROOMERemark 3.5。原则上可以将引理3.4推广到xi+1的结构∈ （Ki）-1，Ki]fori=1，M（显然x<Kand xM+2>KM）。然而，快速计算表明，编写一组与P一致的有效条件显然很麻烦，而且实际上也不是特别严格。3.2. 平衡一致的离散化。现在假设有M个到期日为t的欧洲看涨期权Px和N个到期日为t+τ的欧洲看涨期权Py，并且度量u和ν被校准为这些欧洲期权：RR+（x- Kxi）+u（dx）=pxi对于所有i=1，M和RR+（y- Kyj）+ν（dy）=Pyjforall j=1，N.我们进一步假设Px和Py不包含套利（在[8，定理4.2]的意义上），否则不存在等价鞅测度，原始问题（2.1）不可行。对于两个离散化网格x=（x，…，xm）∈ Rm+和y=（y，…，yn）∈ 例如，Rn+，算法3.2，产生了x和y上支持的离散分布px和py。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:04:55

然而，不能保证px和py保留原始度量u和ν的凸序。下面的引理提供了充分的条件来解释这一点。引理3.6。设px和py是x和y上支持的两个离散度量。以下条件共同确保px py:（i）Px和py的平均值相等，y≤ 桑德·伊恩≥ xm；（ii）假设2.1适用于u=px和ν=py。备注3.7。在我们的框架中，离散度量px和py是原始度量u和ν的离散化。如果px和Py与px和Py一致，那么离散化节点x和y必须比输入击数集更精确，我们可以将其写成ox<Kx，y<Ky，xm>kxm和yn>KyN；o尽管我∈ {1，…，M- 1} ，这里有ki∈ {2，…，m- 1} 这样Kxi≤ xki≤ Kxi+1，以及allj∈ {1，…，N- 1} ，存在kj∈ {2，…，n- 1} 这样Kyj≤ ykj≤ Kyj+1。引理3.6的证明。对于任何集合A，确定符号 R、定义px（A）：=P{i:xi∈A} pxiand py（A）：=P{j:yj∈A} pyj。特别是对于任何z∈ [0，yn]我们有py（[0，z]）=X{j≤n:yj≤z} pyj和px（[0，z]）=X{i≤男：习≤z} pxi。进一步定义函数δF:R+→ R乘以δF（z）：=py（[0，z]）- px（[0，z]）。假设2.1和引理3.6（i）中的边界条件可以写成（3.3）（η（A）=（px（A）- py（A））+>0，对于任何A [a，b]，γ（a）=（py（a）- px（A））+>0，对于任何A [0，yn]\\[a，b]。现在定义函数fx，gy:R+→ R+按外汇（K）：=hpx（x）- K） +i和gy（K）：=hpy，（y）- K） +i.根据[2，第2章，定义2.1.6]，平衡条件px 一旦fx和GY与fx（K）重合，PY就会满足≤ gy（K）代表所有K∈ R+。因为px和py有非负分量，函数fx和gy是凸的，所以我们要证明fx（·）≤ R+上的gy（·）。我们首先表明，条件是≤ X和xm≤ 这是必要的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-11 02:04:58

如果x<y，那么fx（K）=gy（K）=1-KforAll K∈ [0，x]。此外，对于任何K∈ （x，x∧ y），gy（K）=1- K和fx（K）=Pmi=2pxi（xi- K） =给定边际7（1）的远期微笑的无套利界限-K） +px（K）-x） >（1）-K），这违反了balayage命令。类似地，如果xm>yn，让我*:= inf{i：xi≥ yn}；那么对于任何K∈ （yn，xm），gy（K）=0，fx（K）=Pmi=i*pxi（xi）- K）由此得出结论。现在介绍函数G:[0，yn]→ R asG（K）：=gy（K）- fx（K）=X{j:yj>K}pyj（yj- （K）-X{i:xi>K}pxi（xi- （K）=X{i:xi>K}pxi-X{j:yj>K}pyjK+X{j:yj>K}pyjyj-X{i:xi>K}pxixi。（3.4）函数G在[0，yn]上是分段线性的，在点{xi}1处不可微≤我≤mand{yj}1≤J≤n、 [0，yn]和G（0）=G（yn）=0上的最大值和最小值。如果G（K），引理随后出现≥ 0代表所有人∈ [0，yn]。允许+G表示其在[0，yn]上的右导数（按约定）+G（yn）=0）。因此，G的正性以及0和y处的边界条件相当于：+G（K）≥ 0，为了所有的K≤ K*和+G（K）≤ 0，所有K>K*,K在哪里*:= arg最大千克（K）。因此，从（3.4）中，我们可以写出任何K∈ [0，yn]，+G（K）=X{i:xi>K}pxi-X{j:yj>K}pyj=X{j:yj≤K} pyj-X{i:xi≤K} pxi=δF（K），其中δF定义如上。由于δF是分段常数，因此仍需证明它允许在[0，yn]的唯一子集上获得最大值和最小值。首先请注意，δF（0）=0=δF（yn），并且δF对[0，yn]的成像是精确的[-1, 1]. 对于任何一个z∈ [0，a）∪（b，yn]，δF（z）=γ（[0，z]），因此δF是[0，a]上的一个增函数∪ 然而，在[a，b]上，有δF（z）=py（[0，z]）- px（[0，z]）=py（[a，z]）- px（[a，z]）+py（[0，a））- px（[0，a））=-η（[a，z]）+γ（[0，a））。由于γ（[0，a））>0且η是[a，b]上的一个度量，那么δF在[a，b]上减小。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:01

因此存在一个四重态（c，d，e，f），使得[c，d] [0，yn]，[e，f] [0，yn]和[c，d]=arg maxzδF（z）和[e，F]=arg minzδF（z）。因此，δF（·）≥ [0，z]上的0*) 和δF（·）≤ [z]上的0*, 来点z*∈ （d，e）。备注3.8。请注意，离散假设2.1直观地表明，基础价格过程的方差随到期日而增加，这是所有随机波动率模型的情况。引理3.6提供了一般条件，以确保在连续测度的离散化下保持凸序。然而，对于一般分布，甚至对于通过算法3.2获得的分布，很难从分析上进行验证。在下面的图1中，我们提供了一些数字证据，证明这些分布的凸序是保持不变的。3.3. 原始和双重表述。我们在这里集中讨论上界的原始公式和对偶公式的离散化，并注意到一个类似的公式适用于下界。我们使用算法3.2通过离散随机变量standest+τ来近似随机变量standst+τ，分布px和py在x上∈ Rm+和y∈ Rn+。原始问题（2.1）的线性规划，然后readsP（u，ν）：=maxζ∈Mm，n+Xi，jζi，j | yj- Kxi |，（3.5）受制于（kζi，·k）i=1，。。。，m=px，（kζ·，jk）j=1，。。。，n=py，（hζi，·，（xi）- y） i）i=1，。。。，m=0∈ Rm，其中Mm，n+表示大小为m×n且具有非负项的矩阵集。对于对偶问题，表示看涨期权价格（行使K和到期t）oneStbyeC（t，K）：=E（eSt-K） +=Pmi=i*（十一）-K） pxi，其中8 SERGEY BADIKOV、ANTOINE JACQUIER、DAPHNE QING LIU和PATRICK ROOME0。4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0罢工。00.10.20.30.40.5价格=1.00T=1.50图1。使用Black-Scholes模型的离散密度计算到期日t=1（虚线）和t+τ=1.5（交叉）的买入价格，参数σ=0.2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:04

作为一致性检验，到期日为t+τ的看涨期权价格严格大于到期日为t的看涨期权价格，并且这两个函数都是凸函数。我*:= inf{1≤ 我≤ m:xi>K}andeC（t，K）=0如果xm≤ K.下一个结果对于对偶问题的离散化至关重要，随后是对伸缩和的简单但谨慎的操作。引理3.9。让我∈ N和K=（K，…，Kl）。对于任何一维实随机变量Z，以下表示几乎完全成立：（3.6）~n（Z）=~n（K）+D（K）（Z）- K） ++l-1Xi=2（Dа（Ki）- D（Ki）-1））（Z- Ki）+对于任何连续函数，其中前向有限差分算子D定义为asD~n（Ki）：=（Ki+1）- ν（Ki）Ki+1- 对于i=1，L- 1.现在让Z=eSt，~n≡ ψ、考虑Kx的向量∈ RM+。等式（3.6）可以重写为ψ（eSt）=wx+wx（eSt）- Kx）++M-1Xi=2wxi（东部）- Kxi）+，其中l=M，其中权重wxreadwx:=ψ（Kx），wx:=Dψ（Kx），wxi:=Dψ（Kxi）- Dψ（Kxi）-1），对于i=2，M- 所以eψ（eSt）=wx+wxE美国东部时间- Kx++M-1Xi=2wxieC（t，Kxi）。同样地，对于Z=eSt+τ，ν≡ ψ和Ky∈ RN+，一个类似的公式在时间t+τ：Eψ（eSt+τ）=wy+wyE时成立eSt+τ- 基尼++N-1Xi=2wyieC（t+τ，Kyi），带有标识（来自（3.6））l=N，其中权重wyreadwy:=ψ（Ky），wy:=Dψ（Ky），wyi:=Dψ（Ky）- Dψ（Kyi）-1），对于i=2，N- 1.定义集合X:={（X，y）：X∈ 补充（东部），y∈ Supp（eSt+τ）}，从现在开始假设kx和Kyaresuch that≥ KxandeSt+τ≥ 几乎可以肯定（相当于Kx≤ 克山德基≤ y），因此，给定边际性质（通过算法3.2确保）的前向微笑的鞅无套利界产生E（eSt- Kx）+=1- kx和E（eSt+τ）- Ky）+=1- Ky.然后，二元问题（2.2）的读数为（3.7）D（u，ν）=min（v+wx+wy+M）-1Xi=2wxieC（t，Kxi）+N-1Xi=2wyieC（t+τ，Kyi）：（wx，wy，δ）∈ RM+N×Cb（R+），带wx=（wx，…，wxM）-1），wy=（wy。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:08

，温-1），受限制v+wxx+wyy+M-1Xi=2wxi（x- Kxi）++N-1Xi=2wyi（y）- Kyi）+δ（x）（y- 十）≥ |Y- Kx |，代表所有人（x，y）∈ 十、 wx+wy- wxKx- wyKy=v。这里的对偶问题是半有限维的，因为最小化是在有限维向量Wx和wy上进行的，而且也是在R+上的连续和有界函数δ空间上进行的（只考虑连续和有界函数，而不是[3，第1.5节]中指出的有界可测函数就足够了）。将鞅条件纳入离散化的重要性至关重要。这很容易在下面的原始问题的例子中看到，这也产生了对偶问题。假设St以50%的概率取值为0.75或1.25，St+τ以50%的概率取值为0.5或1.5。注意E（St）=E（St+τ）=1。我们考虑原始问题。约束条件kζi，·k=ui和（hζi，·xi- y） i）i=0完全确定概率ζ1,1=ζ2,2=3/8和ζ1,2=ζ2,1=1/8。只有当ν=ν=1/2或E（St+τ）=1时，最终约束kζ·，jk=νjare才为真。否则，这个LP将没有解决方案。这强调了问题的一致无套利离散化的重要性。3.3.1. 对偶函数的近似。为了将对偶问题（3.7）简化为纯有限维问题，我们进一步为连续和有界的三角洲树篱δ增加了一层离散化。与[10]类似，Fix Mb∈ N和有限维基（φi）i=1，。。。，Mbon Cb（R+），让wb:=（wb。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:11

，wbMb）是一个矢量元；然后确定离散化套期保值δ：R+→ R为（3.8）eδ（x）：=MbXi=1wbiφi（x），因此新的（离散化的）对偶问题现在具有以下有限维形式：（3.9）Db（u，ν）=min（v+wx+wy+M）-1Xi=2wxieC（t，Kxi）+N-1Xi=2wyieC（t+τ，Kyi）：（wx，wy，wb）∈ RM+N+Mb），受限制v+wxx+wyy+M-1Xi=2wxi（x- Kxi）++N-1Xi=2wyi（y）- Kyi）+eδ（x）（y）- 十）≥ |Y- Kx |，代表所有人（x，y）∈ 十、 wx+wy- wxKx- wyKy=v.4。对于at the money caseIn[14]的原始解，Hobson和Klimek推导出了at the money（K=1）向前起动跨座的下界最优鞅运输计划。允许（z）：=Rzfν（u）du-Rzfu（u）du适用于所有z≥ 0; 那么，霍布森和克里梅克分析中至关重要的假设2.1等价于只有一个最大化子[7，引理5.1]。这一假设对两个定律u和ν之间的差异的尾部行为施加了限制，并在Black-Scholes案例中得到了明显的满足。10 SERGEY BADIKOV、ANTOINE JACQUIER、DAPHNE QING LIU和PATRICK ROOME4。1.运输平台的结构。货币远期开始时的跨盘交易的关键风险在于，顺位相当于做空标的资产条件分布的峰度（例如参见[15]的引言）。因此，为了生产尽可能低的价格，要求运输计划将条件分布的峰度最大化似乎是合理的。这确实是[14]中解决方案的结构。我们留下了尽可能多的公共质量（u）∧ ν）然后通过两个递减函数p:[a，b]将[a，b]上的剩余质量η映射到分布γ的尾部→ [0，a]和q:[a，b]→ [b]，∞).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:14

利用鞅条件，Hobson和Klimmek[14]导出了（p，q）的耦合微分方程组：（4.1）p′（x）=q（x）- xq（x）- p（x）fu（x）- fν（x）fu（p（x））- fν（p（x）），q′（x）=x- p（x）q（x）- p（x）fu（x）- fν（x）fu（q（x））- fν（q（x）），带边界条件sp（b）=inf{x≥ 0：γ（[0，x]）>0}，q（b）=inf{x≥ 0:γ（[0，x]）>γ（[0，b]）}，p（a）=sup{x≥ 0:η（[0，x]）<η（[0，a]），q（a）=sup{x≥ 0：γ（[0，x]）<1}。通过取极限，我们得到p（a）=a，p（b）=0q（a）=+∞ q（b）=b，另见[7，命题5.6].4.2。导入。（4.1）中等式的右侧在边界点处未定义。L\'H^opital法则的应用表明↑bq′（x）=-1如果f′u（b）6=f′ν（b），这是实践中的合理假设，如第5节所示。另一方面，limx↑bp′（x）取决于边际测度u和ν。例如，在第5节的对数正态分布示例中，我们发现p′（x）=Oeα（对数p（x））对于某些α>0，当x从下方趋向于b，并且limx↑bp′（x）=- ∞ （例如，参见图2（b））。另一方面，如果对于示例fu（0）6=fν（0）或f′u（0）6=f′ν（0），则limx↑bp′（x）=0。为了避免这些问题，以便我们可以应用龙格-库塔方法来解决这些常微分方程，我们引入了以下预处理步骤：fix a小ε>0（在我们的实现中，我们选择ε=0.001），将（4.1）的两边积分到[b]上-ε、 b]然后使用矩形规则对未知值p的积分进行近似计算*:= p（b）-ε） q*:= q（b）-ε).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:17

这就产生了p的以下同时方程*q*我们用数值方法求解：p*= -εq*- b+εq*- P*fu（b）- ε) - fν（b）- ε） fu（p*) - fν（p）*),Q*= B- εb- ε - P*Q*- P*fu（b）- ε) - fν（b）- ε） fu（q）*) - fν（q）*).这些方程可以很容易地简化为一个根搜索；第一个方程式给出了SQ*=（p*)[fu（p*) - fν（p）*)] + ε（b）- ε） [fu（b）- ε) - fν（b）- ε） ]p*[fu（p*) - fν（p）*)] + ε[fu（b）- ε) - fν（b）- ε） ]的表达式，然后将其插入到第二个方程中，求解p*. 然后（4.1）中的对（p，q）被解为x∈ [a，b]-ε] 使用标准龙格库塔方法和新的边界条件p（b-ε） =p*, q（b）-ε） =q*.然后，使用给定边际密度ρ的远期微笑的最优条件无套利边界，给出货币远期起始跨座价格的下界*[14，第199页]中给出的（Y=Y | X=X）：ρ*（Y=Y | X=X）=fη（x）fu（x）q（x）- xq（x）- p（x）{y=p（x）}，如果y<x，1.-fη（x）fu（x）, 如果y=x，fη（x）fu（x）x- p（x）q（x）- p（x）{y=q（x）}，如果y>x，则直接计算yieldE（|y）- X |）=ZRE（| Y）- X | | X=X）fu（X）dx=ZRZRρ*（Y=Y | X=X）fu（X）| Y- x | dydx=ZRZx-∞fη（x）q（x）- xq（x）-p（x）{y=p（x）}y-x | dydx+ZRZ+∞xfη（x）x- p（x）q（x）-p（x）{y=q（x）}y-x | dydx=Zba2（x- p（x））（q（x）-x） q（x）- p（x）fη（x）dx。(4.2)5. 无套利边界的数值分析我们现在展示了第3节和第4节中关于Black-Scholes和Hestonles模型的数值方法。这些例子涉及远期启动期权价格（以及远期隐含波动率微笑），我们现在很快就会回忆起来。在Black-Scholes模型中，风险中性度量下的股票价格过程的动力学由dSt=St∑dWt，S=1给出，其中∑>0表示瞬时波动率，W表示标准布朗运动。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:20

此时，看涨期权的无套利价格为BS（τ，K，∑）：=E（Sτ）- K） +=N（d+）- ekN（d）-), 带d±=-k∑√τ±Σ√τ、其中N是标准正态分布函数。由于股票价格过程的增量是固定的和独立的，因此远期开始时支付（St+τ- KSt）+t，τ>0等于BS（τ，K，∑）。对于给定的市场或模型价格，期权在行使K、远期开始日期t和到期日τ时的Cobs（t，τ，K），远期隐含波动率σt，τ（K）被定义为Cobs（t，τ，K）=BS（τ，K，σt，τ（K））的唯一解。在以下两小节中，我们将考虑根据Black-Scholes和Heston模型计算的观察到的普通看涨期权价格。我们将根据第3.3节，通过考虑离散化随机变量的紧区间[0,5]标准+τ，m=n=500离散点，离散相应的对偶问题；观测到的走向向量取Kx=Ky={0.3,0.4,0.5，…，2}.5.1。B-lack-Scholes模型的应用。设N（m，∑）表示均值和方差为∑的高斯分布，并假设随机变量为St+τ，按对数（St）分布~ N-∑t，∑t和对数（St+τ）~ N-∑（t+τ），∑（t+τ）.显然，一个候选鞅耦合是波动率∑且从S=1开始的Black-Scholes模型；在这种情况下，远期波动率，即根据远期启动期权计算的隐含波动率，是恒定的，也等于∑。在图2（a）中，我们考虑了∑=0.2、t=1和τ=0.5的值，并绘制了林分St+τ的分布图。在图2（b）中，我们绘制了通过（3.9）离散对偶问题（2.2）计算出的远期隐含波动率微笑的上下限。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:24

使用HobsonKlimmek解和LP对偶解的货币情况下的下界几乎相同（6.95%对6.98%），说明了这两种方法的一致性。请注意，即使在这个简单的例子中，12谢尔盖·巴迪科夫（SERGEY BADIKOV）、安托万·贾奎尔（ANTOINE JACQUIER）、刘达芙妮（DAPHNE QING LIU）和帕特里克·洛姆（PATRICK Roome）可能出现的正面微笑的范围也是一致的。这两个边缘法则是广泛的。产生的边界的大小类似于【10】中获得的剪贴画选项的边界，剪贴画选项与前跨起跑非常密切相关。这种行为可以直观地解释为，没有使用任何条件工具来对冲跨盘，因此对t和t+τ之间的条件概率没有限制。唯一的限制是，这两个边际定律在这些时刻是按凸顺序排列的，从而产生了一大类可行鞅测度。aeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeàààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààà股票价格0.00.51.01.52.0。51.01.52.0PDF（a）密度。aeaeaeaeaeaeaeìììììììXX0。60.81.01.21.4罢工。10.20.30.40.50.60.7FwdSmile（b）通过对偶问题的鲁棒边界。图2。（a）圆圈代表一年的对数正态密度，正方形代表1.5年的对数正态密度。（b）圆圈代表与边缘一致的恒定Black-Scholes远期波动率∑。正方形和菱形是通过（3.9）求解对偶问题（2.2）得到的上下限；X十字是Hobson-Klimek解（4.2），用于货币情况下的下界。5.2. 应用于赫斯顿模型。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:27

到期日t=1和t+τ=1.5的边际分布现在根据赫斯顿随机波动率模型[11]生成，其中股票价格过程是随机微分方程（5.1）dSt=St的唯一强解√VtdWt，S=1，dVt=κ（θ-Vt）dt+ξ√VtdZt，V=V>0，其中W和Z是两个一维标准布朗运动，其中dhW，Zit=ρdt，κ，θ，ξ>0和ρ∈ [-1, 1]. 这里我们考虑以下值：v=θ=0.07，κ=1，ξ=0.4和ρ=-0.8. 图3显示了（点）隐含波动率和相应的密度。图4显示了Hestonforward微笑，该微笑与对偶问题（2.2）的离散化版本（3.9）中的边缘（使用逆傅里叶变换表示和简单的根搜索方法计算）以及正向微笑的上下限一致。对于三角洲对冲（3.8）的离散化，我们考虑了多项式（φ，φ，φ）（x）≡ （1，x，x）。与Black-Scholes案例一样，货币波动率下限的Hobson-Klimmek解（7.77%）和对偶解（7.80%）几乎相同。图5（a）显示了超级套期保值中期权价格的收益：一个人在1.5年到期时进入具有长凸性的头寸，在1年到期时进入具有短凸性的头寸。在这两个例子中，符合边际法则的向前微笑的范围都很大。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:31

使用欧式期权“锁定”（复制）远期波动性或对冲依赖于远期波动性的债权似乎是虚幻的。远期启动期权应被视为异国情调定价的基本组成部分，而不是可分解的，给定边际的远期无套利边界13aeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeàààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààà股票价格0.00.51.01.52.0。51.01.5PDF（a）密度。aeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeae0.60.81.01.21.4罢工。200.250.300.350.40微笑（b）即期隐含波动率。图3。（a）圆圈（正方形）代表1年（1.5年）的边缘密度。（b）圆圈（正方形）代表相应的spot隐含波动率。aeaeaeaeaeaeaeaeìììììììXX0。60.81.01.21.4罢工。10.20.30.40.50.60.7FWDSMILE图4。圆圈代表与边缘一致的赫斯顿远期波动率，正方形和菱形代表第3节中通过解决theLP问题找到的上下限，X是货币情况下下限的原始Hobson-Klimmek解（第4节）。0.00.51.01.52.0x0。51.01.51.01.51.01.51.01.52.50超级对冲（a）超级对冲（a）超级对冲（a）超级对冲（a）超级对冲（a）超级对冲投资组合和远期开始投资组合和远期开始支付支付（a）超级对冲（a）超级对冲（a）超级对冲（a）超级对冲（a）投资组合和远期开始投资组合和远期开始支付支付的超级对冲投资组合和远期开始支付支付（23）的（23日日日日日日日日日（23日日））））日，日日日日日（23日日（日日日日日日（日）））日（日日（日日（日（日日日日日））日，日日日（日（日（日日日（日）电电电电据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据日日日日日日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方aeaeaeae0.51.01.52.02.53.0股价-8-6-4-2三角洲（b）离散三角洲对冲图5。罢工是为了钱：K=1。（a）超级对冲投资组合（上图）和远期开始支付（下图）；（b）（3.8）中定义的最优离散三角洲对冲δ。（或近似可分解）为欧洲选项。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:34

谢尔盖·巴迪科夫（SERGEY BADIKOV）、安托万·贾奎尔（ANTOINE JACQUIER）、刘达芙妮·清（DAPHNE QING LIU）和帕特里克·罗姆什（PATRICK Roomesh）等远期波动性相关外推模型应具有对远期启动期权价格进行校准的能力，且至少应产生与交易员预期和可观察价格一致的现实远期微笑。5.3. 关于离散化方法的说明。在上述两个例子中，离散化随机变量SENSTANDEST+τ在500个点上得到支持。这一选择是武断的，人们自然会对此提出质疑。在半无限的情况下，原始问题与其对偶保证[19，定理3.1]之间不存在对偶间隙，证明了离散化的存在，其值随着点数的增加而收敛于原始问题的值。此外，还获得了无限规划中离散化方案的收敛速度[19,21]。然而，我们在这里的设置（原始问题（2.1）及其对偶问题（2.2））是有限维性质的，据我们所知，不存在相应的结果（目前！）。一个一般的、理论的证明超出了我们的方法的范围，我们现在提供一些关于离散化方案的收敛性和稳定性的数值证据（3.9）。我们根据算法3.2选择两种不同的离散化网格来支持随机变量标准+τ：统一网格和由勒让德多项式组成的网格，两种网格的点数相同。下表1和表2显示了次级套期保值对偶问题的最优值，随着离散点数量的增加，对于远期开始跨接走向K的不同值。显然，重新定义离散网格只会在货币情况下（K=1）的最优值中产生微小变化，而在其他情况下几乎不会产生任何变化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:37

表3和表4显示了不同数量的离散点和不同的前向启动跨接走向K值的超级对冲对偶问题的最优值。重新定义离散网格只会对最优值产生微小的变化。与次级套期保值情况相反，可以观察到超级套期保值问题的最优值在所有罢工中的变化。最后，关于离散化方案和点数，次级和超级对冲对偶问题似乎都是非常稳定的。我们还想就最优投资组合相对于各分公司的收敛速度发表意见。Hobson和Neurberger[15，第6.2节]获得了（2.2）中定义的双变量（ψ，ψ，δ）的显式表达式，在对数正态情况下，对于货币远期开始跨区间（K=1）：（5.2）ψ（x）=-ξx ln x+ξx lnA sinh（ξ）-1)+ x coth（ξ）-1），ψ（y）=ξ（y）-y ln（A/ξ）- y），δ（x）=-ξlnx/A sinh（ξ）-1),其中，常数A和ξ使得套期保值组合的预期值ψ（x）+ψ（y）+δ（x）（y-x）在超级对冲约束下最小化。他们还表明，解所达到的界是正确的[15，第10节]。我们计算了离散对偶解（3.9）和Hobson-Neuberger解（5.2）之间的超范数误差ε（n）（n是离散点的数目）。我们目视检查收敛率（即最高指数r，ε（n）~ O（drn））通过绘制对数（ε（n））/log（dn）与对数（dn）之间的关系来确定离散化网格尺寸dn。结果图如下图6所示。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:41

如上所述，有限维线性规划问题不存在理论上的收敛速度；在这种极小的情况下，相应的曲线图大致保持不变。4）adadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadad表1。次套期保值对偶问题的最优值（使用勒让德多项式的根）。75 250 500 1000 20000.6 0.4 0.4 0.4 0.40.7 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.30.8 0.2 0.2 0.20.9 0.10008 0.1 0.1 0.1 0.1 0.11 0.0388 0.0384 0.0384 0.03831.1 0.1006 0.1004 0.1004 0.2 0.2 0.0.2 0.21.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4 0.0.4 0.0.4。子套期保值对偶问题的最优值（使用统一网格）。7.7 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1453 0.1480.1480.1489 0.1490.1490.1490.1490.1490.1490.1490.0.3257 0.3257 0.3257 0.0.3257 0.7 0.3257 0.0.3257 0.0.3257 0.3257 0.0 0.3257 0.3257 0.0.0.3257 0 0 0 0.3257 0.7 0.7 0 0 0.3257 0.7 0.7 0.7 0 0 0.3257 0.0 0.3257 0 0.7 0.7 0 0 0.3257 0.0.0 0 0 0 0.3257 0.7 0 0 0.3257 0 0 0 0.3257 0.0 0 0 0 0 0.3257 0.0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.3257 0 0.0.4 0.4292 0.4314 0.4316 0.4316 0.4316表3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-11 02:05:45

超级对冲对偶问题的最优值（使用勒让德多项式的根）。16 SERGEY BADIKOV，ANTOINE JACQUIER，这一点的数量75 250 500 500 500 1000 1000 1000 1000 000 000 000 0.75 250 500 500 500 500 1000 1000 1000 000 000.50.0.4150.0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.0 0.0 0.0.4157 0.4157 0.0.4157 0.4157 0.0.4157 0.0.7 0.0.0.0 0 0.3245 5 5 5 5 5 5 0.0.3255 0.3255 0.3255 0.3255 0.0 0 0.3255 0 0.3255 0.3257 0 0 0 0.3257 0.3257 0 0.3257 0 0.3257 0 0 0.3257 0 0 0.3257 0 0 0.3257 0 0.3257 0 0 0 0 0.3257 0.3257 0.3257 0 0 0 0 0 0 0.3257 0 0 0 0.3397 0.33971.4 0.4300 0.43150.4316 0.4316 0.4316表4。超级对冲对偶问题的最优值（使用统一网格）。图6。对数（ε（n））/log（dn）与对数（dn）的对比图，其中ε（n）是超范数误差。6.对第4节中提到的运输计划的数值分析，货币远期开始多头交易的关键风险在于，多头头寸相当于短于条件分布的峰度。下界情况下的解决方案（假设2.1）在第4节中进行了详细说明，其中——直观地——运输计划最大化了条件分布的峰度。在上限情况下（见[15]），运输计划的支持集中在一个二项式地图上，没有留下任何质量，即所有u的质量通过两个递增、连续和可微分的函数f，g:R映射到ν+→ R+f（x）≤ 十、≤ g（x）。函数fand g必须满足积分方程组[15，方程（5.19）和（5.20）]0=Zf-1（y）g-1（y）g（z）- F-1（y）g（z）- f（z）dz，1=Zf-1（y）g-1（y）g（z）- f（z）dz，如果有可能找到这个系统的解，那么[15，引理7.1]提供了货币情况下的最优性结果。直观地说，在这种情况下，解决方案最小化了条件分布的峰度。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:49

对于远期微笑的无套利界限，考虑到货币期权的边际价值，情况更加微妙。随着罢工进一步远离货币，长期权头寸在条件分布的峰度上变得更长。直觉上，人们会期望交通计划是上面讨论的货币交通计划中的上下结合。使用第5节的对数正态分布示例，我们现在使用离散原始问题（3.5）对运输计划进行数值求解，并对运输计划的结构进行定性推测。离散随机变量SENSTANDEST+τ（见第3.3节）的支持分别取[0,10]（m=1000点）和[0,30]（n=3000点）；观测到的打击向量为againKx=Ky={0.3,0.4,0.5，…，2}，通过对每个桶上的对数正态密度进行积分，得到每个桶中的离散概率。1.01.52.0股票价格1。01.52.02.5股票价格图7。虚线和暗线是moneycase上限的交通地图，灰线是身份。水平轴和垂直轴为立杆St+τ。（a）下限。0.91.01.11.2存货价格0。51.01.52.02.53.03.5股价（b）运输地图图8。这里的罢工是针对K=1的钱。（a）在货币（K=1）下限情况下，测量u（圆）和ν（平方）的离散化，以及运输计划中必须保留的质量量（X）。（b）根据（4.1）或通过解决原始问题（3.5）计算的剩余质量的传输图。在图7中，我们计算了货币上限情况下的运输图f和g，即（2.1）中的上限情况。在这种情况下，运输计划中没有留下任何质量；在图8中，我们绘制了货币下限情况下的运输计划。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:05:53

这个下限情况与Hobson-Klimmek惊人地一致：尽可能多的质量留在原地，剩余质量通过两个递减函数映射到分布的尾部。请注意，与图2（b）中的交通地图一致。在这种情况下，前向波动率为6.92%，与Hobson-Klimek解析解和对偶函数的数值解相匹配。图9和图10显示了上限情况下的运输计划，K=0.7和K=0.9。随着打击从货币开始减少，越来越多的质量留在原地（从左尾开始），u的剩余质量通过两个递增函数映射到ν；其中一个将剩余质量映射到左尾18 SERGEY BADIKOV、ANTOINE JACQUIER、DAPHNE QING LIU和PATRICK ROOME（a）原地质量K=0.9：上限。1.01.21.41.6股票价格0。81.01.21.41.61.8股价（b）运输图K=0.9：上界。图9。（a） K=0.9上限情况下，测量值u（圆）、ν（平方）和运输计划中必须保留的质量量（钻石）的离散化。（b）残余质量的传输图：轴标记如图7所示。（a）就地质量K=0.7：上限。1.01.21.41.6股票价格0。60.81.01.21.41.61.8股票价格（b）运输地图K=0.7：上限。图10。（a）在K=0.7上限情况下，离散测量u（圆）、ν（平方）和运输计划中必须保留的质量量（钻石）。（b）残余质量的传输图：轴标记如图7所示。（a）就地质量K=1.05：下限。1.11.21.31.41.51.61.7股票价格0。60.81.01.21.41.61.8股票价格（b）运输地图K=1.05：下边界。图11。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝