列维-瓦西塞克模型与长期债券收益过程

2022-5-25 15:10:34

Levy Vasicek Models and the Long-B on d Return ProcessDorje C.Brody1,2，Lane P.Hughston，and David M.MeierDepartment of Mathematics，Brunel University London，Uxbridge UB8 3PH，UKSt Petersburg National Research University of Information Technologies，Mechanics and Optics，49 Kronverksky Avenue，St Petersburg 197101，俄罗斯（日期：2016年9月14日）著名的Vasicek模型f或利率的经典推导是根据相关的定价规则重新制定的。定价核方法的一个优点是，它可以将构造推广到列维·瓦西塞克案例，避免市场不完全性问题。在L'evy-Vasicek模型中，实际测量中的短期利率是一个均值回复过程，广义L'evy-iver博士承认指数矩。获得了列维·瓦西塞克债券价格和利率的表达式，以及长期债券单位投资回报率的公式，由Lt=limT定义→∞PtT/P0T，其中PtT是t到期贴现债券在时间t的价格。我们证明了L'evy-Vasicek模型的定价核是一致可积的当且仅当长期利率为严格正时。一、定价核心Vasicek模型（Vasicek 1977）是数学金融文献中最古老、研究最充分的模型之一，人们可能会认为，关于它，几乎没有什么新的说法。但事实证明，Vasicek模型在长期利率方面有一些令人惊讶的特点，在对长期利率进行总体建模时，这些特点非常具有启发性。我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P）过滤{Ft}t≥时间0表示现在。概率测度P是物理测度，{Ft}表示市场信息的流动。

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2022-5-25 15:10:37

我们引入了一个适当的计算单位，对于T和T，0≤ t<t我们让ptt表示贴现债券在t时的价值，它在t到期时支付一个单位的账款。接下来，我们使用定价核方法构建Vasicek模型。这不是Vasicek模型通常在文献中呈现的方式。然而，定价核心方法非常有效。特别是，经典Vasicek模型的定价核直接引导我们构建相应的L’evy Vasicek模型，扩展了Cairns（1999）、Eberlein&Raible（1999）、Norberg（2004）等的结果。我们首先谈一下内核的定价，然后讨论Vasicekmodel的情况。让我们回顾一下资产价格的基本几何布朗运动（GBM）模型中定价核是如何工作的。我们假设布朗运动{Wt}t≥0开(Ohm, F、 P），并使其适应{Ft}。GBM模型的特点是规定了一个或多个所谓的投资级资产，以及一个或多个所谓的投资级资产。为简单起见，我们假设资产在考虑的时间范围内不支付股息。投资级资产的理念是，它应该提供高于利率的正超额回报率。从这个意义上讲，普通股和债券属于投资级，而普通股和债券则不是。对于GBM模型中的定价核，我们假设有一个形式为πt=e的表达式-rte公司-λWt-λt，（1）其中r是利率，且λ>0是风险规避参数。我们要求定价核和资产价格的乘积应该是P-鞅。因此，让我们假设对于某些β≥ -λ乘积的形式为πtSt=SeβWt-βt，（2）其中St表示时间t时的资产价值。

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2022-5-25 15:10:41

因此，对于GBM模型中的典型投资级资产，我们有st=Se（r+λσ）teσWt-σt，（3），其中σ=β+λ。λσ这一术语被称为风险溢价或超额收益率，在我们所做的假设下，它是正的。“定价内核”的概念可以追溯到20世纪70年代，Ross（1978）就是一个例子。Gar ma n（1976）使用了另一个术语“市场核心”。作者使用了各种术语来表示本质上相同的概念。经济学家谈到“边际替代率”。“国家价格密度”一词出现在Dothan&Williams（1978）中。Cox&Martin（1983）中使用了术语“随机贴现因子”。D u fie（1992）中使用了术语“州价格浮动”。例如，Cochrane（20 05）和Hunt&Kennedy（2004）详细讨论了定价核心模型。如果考虑中的风险资产是欧洲风格的衍生工具，其最终收益为HT，则t<t时衍生工具的价值由HT=πtEt[πTHT]给出。（4）特别是，如果衍生工具支付一个账户单位，使HT=1，那么我们可以恢复贴现债券的价格公式，由ptt=πtEt[πt]给出。（5）我们引用进程{nt}t≥0定义为“自然数字”（Flesaker&Hughston 1997）或“增长最优投资组合”。它是一个基准，与之相关的其他非股息支付资产是鞅。作为GBM模型中衍生工具定价的一个例子，可以考虑在自然计价基础上对数字看跌期权进行估值，包括单位名义价值、行使κ和到期日T。在这种情况下，我们有t=1{nT<κ}，（6），其中1{·}表示指示函数。使用定价核（1），straig htforwardcalculation givesH=e-rTN“日志E-rTκ+λTλT1/2#，（7），其中N[·]是正态分布函数。

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2022-5-25 15:10:45

我们提到了一个数字放在自然数字上的例子，因为它后来证明与我们考虑定价核的一致可积性有关。二、VASICEK定价核我们将通过保持风险厌恶水平不变，但允许利率随机来扩展几何布朗运动模型。然后，定价核可以用πt=exp的形式表示-Ztrsds公司- λWt-λt. （8）在Vasicek模型中，短速率过程{rt}t≥0被认为是Ornstein-Uhlenbeck（OU）类型的均值回复过程，满足DRT=k（θ- rt）dt- σdWt。（9）这里k、θ和σ表示平均反转率、平均反转水平和空头利率的绝对波动率。我们选择σ为正。利率动力学中σ前面的负号是一种惯例，它确保贴现债券的波动率为正。请注意，此处的波动率参数的单位为T-3/2，与GBM模型的σo相反，GBM模型的单位为T-1/2。利率的初始值为r。然后，可以使用积分因子来求解动力学方程（9），给出r=θ+（r- θ） e类-千吨级- σZtek（s-t） dWs。（10）为了确定定价核心，我们需要一个综合短期利率的表达式，它=Ztrsds。（11）将（10）代入（11）givesIt=θt+k1.- E-千吨级（r）- θ）- σZts=0Zsu=0ek（u-s） dWuds。（12）二重积分可以根据schemeZts=0Zsu=0ek（u）重新排列-s） dWuds=Ztu=0Zts=uek（u-s） dsdWu=kZt（1- ek（u-t））dWu，（13），由此得出it=θt+k1.- E-千吨级（r）- θ）-σkZt（1- ek（u-t））dWu。（14）根据f（10），我们可以用一个关于短期利率的表达式来代替随机积分，得到它=θt+k（r- rt）-σkWt。（15）因此，Vasicek定价核可以用πt=exp的形式表示-θ+λt型+σk- λWt公司-k（r- rt）.

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nandehutu2022

2022-5-25 15:10:49

（16）注意定价核心公式中出现的“裸”WT。通常情况下，Vasicek模型只有一个状态变量，即短期利率。这个数据有点误导人。因为正如我们很快就会看到的那样，虽然到期贴现债券在t时的价格仅取决于状态变量rtinsofar a s，但就其随机性而言，定价内核在t时取决于一对状态变量，即rtan和Wt。同样，单位初始化货币市场账户BT=expZtrsds（17）的价值取决于RTA和Wt。我们认为，需要指定一个财务模型，以给出模型基本资产的价格过程以及定价核心过程。在利率模型中，这意味着给出所有到期债券的贴现过程、货币市场账户和定价核心。因此，pricingkernel是模型的一部分，而不是从基本资产流程的规定中以某种方式得出的次要对象。通过将（14）替换为（8），得到了Vasicek pr结冰内核的另一个表达式，该表达式对我们的目的也很有用。那么我们有πt=exp-θ+λT-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-t）dWu公司. （18）在这种情况下，我们似乎已经成功地根据单个状态变量指定了定价核，即（18）右侧第三项中出现的随机积分的值。确实如此，但它与短期利率不同，因此整个模型需要两个状态变量。三、贴现债券我们继续推导PtT的表达式。在推导过程中，我们发现使用对数ithms比使用指数更方便。因此，我们将gπt=-θ+λT-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-t）dWu。

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大多数88

2022-5-25 15:10:53

（19）它遵循对数πT=-θ+λT-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-T）dWu+ZTtσk- λ-σkek（u-T）dWu，（20），因此对于t<t，我们haveEt[πt]=exp-θ+λT-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-T）dWu公司×EtexpZTt公司σk- λ-σkek（u-T）dWu公司. （21）标准结果是f或任何Borel函数{αt}满足Zttyαudu<∞ （22）我们有经验值ZTtαudWu= 经验值ZTtαudu. （23）因此，我们获得了经验ZTt公司σk- λ-σkek（u-T）dWu公司= 经验值ZTt公司σk- λ-σkek（u-T）杜邦. （24）因此，在（5）之前，我们有记录PtT=-θ+λ（T- t）-KE-千吨级- E-千吨级（r）- θ） +ZTtσk- λ-σkek（u-T）du+σk1.- ek（t-T）Ztek（u-t） dWu。（25）通过使用（10），在上述最后一项中，我们可以写出σZtek（u-t） dWu=θ+（r- θ） e类-千吨级- rt.（26）则（25）中涉及r的条款- θcancel，我们只剩下以下内容：log PtT=-θ+λ（T- t） +ZTtσk- λ-σkek（u-T）du+k1.- ek（t-T）（θ- rt）。（27）因此，我们已经分离出ptt对状态变量rt的依赖关系。接下来，为了得到右边的中间项，我们注意到对于a，b常数，我们有ztt一- 贝库语du=a（T- t）-2abk公司ekT公司- ekt公司+黑色e2kT- e2kt. （28）因此，ZTtσk- λ-σkek（u-T）杜邦=σk- λ（T- t）- 2.σk-λσk1.- ek（t-T）+σk1.- e2k（t-T）. （29）将该表达式插入（27）中，我们看到涉及λ的条款取消，经过一些简化后，我们得到了以下T-到期贴现债券价值的表达式：PtT=exp-R∞（T- t） +千1.- ek（t-T）（R）∞- rt）-σk1.- ek（t-T）, （30）其中∞= θ+λσk-σk.（31）R的重要性∞它代表的是由r定义的渐近最终收益率或指数长期利率∞= - 限制→∞T- tlog PtT。

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2022-5-25 15:10:57

（32）R∞不依赖于t是贴现函数为指数的利率模型的特征，可以视为所谓DIR定理的一种表现形式（Dybvig、Ingersoll&Ross 199 6、Hubalek、Klein&Teichman 2002、Goldammer&Schmock 2012、Kardaras&Platen 2012、Brody&Hughston 2016）。四、定价核的一致可积性我们注意到Vasicek模型的一个奇怪特征，这显然是以前没有注意到的，即R∞> 0当且仅当定价核一致可积。在我们建立这个结果并将其推广到L’evy Vasicek模型之前，我们讨论了定价核一致可积性的一些财务方面。我们记得（Williams 1991），如果每>0存在一个δ，则称随机变量集合C为统一整数（UI）≥ 0，这样对于所有X∈ C我们有[| X | 1{| X |>δ}]<。（33）在C上表示UI条件的等效方法是thenlimδ→∞supX公司∈CE[| X | 1{| X |>δ}]=0。（34）（34）左侧的限制自supX起存在∈CE[| X | 1{| X |>δ}]在δ中递减，并从下方以零为界。随机过程{Xt}t≥如果对于每一个>0，有一个δ>0，使得E[| Xt | 1{| Xt |>δ}]<所有t≥ 0或等效线性δ→∞suptE[| Xt | 1{| Xt |>δ}]=0。（35）对于定价核，我们可以去掉绝对值符号，UI条件是每>0应该存在一个δ≥ 0使得E[πt1{πt>δ}]<对于all t≥ 0，orlimδ→∞suptE[πt1{πt>δ}]=0。（36）或者，可以通过要求每个>0都应该存在一个κ>0来施加UI条件，使得对于所有t≥ 这里我们再次介绍了自然数字{nt}t≥0定义为nt=1/πt，我们设置了κ=1/δ。

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2022-5-25 15:11:02

但（37）的左侧是欧洲式数字看跌期权在0时的价格，该价格以具有罢工κ和到期日t的自然数字为单位。因此，我们有以下几点：命题1定价核是一致l y可积的，当且仅当对于任何价格水平>0，存在罢工κ>0，使得自然数字看跌期权在所有到期日的价值都小于。从直觉上看，每个经济上可接受的定价内核都应该具有UI属性，这似乎是合理的，因此这是一个诱人的猜测。例如，如果pricingkernel是D型电位（Hunt&Kennedy 2 004，Rogers 1 997，Rutkowski 1997），则为UI（Meyer 1966）。我们继续为Vasicek模型建立以下内容。提案2如果R∞> 0则{πt}是一致可积的。证据我们将使用Lptest。我们说，如果存在一个常数γ>0，使得所有X的E[| X | p]<γ，则随机变量集合C在lp中有界∈ C、现在，如果p>1和x≥ x的δ>0，δ∈ R、那么很明显x≤ δ1-pxp。因此，如果C在lp中有界，那么对于所有X∈ 它认为e[| X | 1{| X |>δ}]≤ δ1-pE[| Xp | 1{| X |>δ}]<γδ1-p、（38）因此，如果我们设置δ，则任何>0=γ1/（1）-p）（39）那么我们构造了一个δ，使得（33）对所有X都成立∈ C、所以，若一组随机变量在某些p>1的情况下在LPS中有界，那个么它就是UI。因此，定价核成为UI的一个有效条件是，应该存在一个p>1和一个γ>0，这样所有t的E[πpt]<γ。现在，从（18）开始的计算给出了G E[πpt]=-Pθ+λ- Pσk- λt+pkhθ- R- pσkσk- λ我1.- E-千吨级+pσ4k1.- E-2吨. （40）钻机ht的第二和第三个术语是固定的，因此我们的目标是表明如果R∞> 0如果存在p>1的值，则（40）右侧第一项中的t系数小于或等于零。因此，假设R∞> 0

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2022-5-25 15:11:06

那么我们有θ>σk-λσk.（41）完成右边的平方，我们得到θ+λ>σk- λ. （42）因此，如果我们设置p=θ+λσk- λ, （43）然后，t p>1，（40）右侧的第一项消失。由于其他两项是有界的，这表明如果R∞> 0则满足Lptest，定价核心是UI。提案3如果R∞< 0则{πt}不是一致可积的。证据众所周知（Williams 1991），如果随机变量的集合是UI，那么它在L中是有界的。因为假设C具有每>0存在一个δ的性质≥ 0，使（33）适用于所有X∈ C、然后存在一个常数δ，使得所有X的e[| X | 1{| X |>δ}]<1∈ C、因此[| X |]=E[| X | 1{| X |>δ}]+E[| X | 1{| X |≤ δ} ]<1+δ（44）所有X∈ C、由此可知，C以L为基础。因此，为了建立命题的陈述，它必须表明，如果R∞< 0那么{πt}在L中没有界。记住E[πt]=P0t，我们将证明如果R∞< 0，则对于γ>0的任何选择，都存在时间t*使得所有t的P0t>γ≥ T*. 根据（40），我们得到p0t=exp-R∞t+k1.- E-千吨级（R）∞- r）-σk1.- E-千吨级. （45）以下是日志P0t≥ -R∞t+k（R∞- r） {r∞- R≤ 0}-σk.（46）因此，让我们定义*按设置- R∞T*+k（R∞- r） {r∞- r≤ 0}-σk=对数γ，（47）或等效y*=R∞k（R∞- r） {r∞- R≤ 0}-σk- 对数γ. （48）因此，如果R∞< 0，则对于所有t>t*我们有P0t>γ。这表明如果R∞< 0则定价内核不是UI。提案4如果R∞= 0则{πt}不是一致可积的。证据当R∞= 0更精细。定价内核使Lptestif R失败∞= 0，所以我们不能断定它是UI。另一方面，定价核是有界的∞= 0，因此我们不能断定它不是UI。

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nandehutu2022

2022-5-25 15:11:10

因此，当R∞= 0简单的测试没有提供任何信息，我们需要了解一致性的定义，并询问（36）是否成立。我们将证明，如果R∞= 0则（36）不成立，因此定价内核不是UI。首先，让我们定义αst=σk- λ-σkek（s-t）。（49）使用（19）和（25），我们可以写出πt=P0texpZtαstdWs-Ztα性病. （50）因此，对于t的每个值，定价核的形式为πt=P0texpAtZ公司-在, （51）式中，Z为正态分布，平均值为零，方差为一，式中，我们定义At（我们认为为正）byAt=ZtαSTD。（52）得出e[πt1{πt>δ}]=P0tE经验值AtZ公司-在Z>对数δ- 日志P0t+AtAt. （53）可通过标准技术计算期望值，得出以下公式：E[πt1{πt>δ}]=P0tN记录P0t+At- 对数δAt. （54）用R从m（45）召回∞= 0 thatlog P0t=-rk公司1.- E-千吨级-σk1.- E-千吨级, （55）是有界的。因此我们有supte[πt（πt>δ）]≥ exphinfulog P0uisuptN记录P0t+At- 对数δAt≥ exphinfulog P0uisuptNinfu（日志P0u）+At- 对数δAt. （56）以下为INFTLOG P0t=-rk（r>0）-σk（57）thatsuptE[πt（πt>δ）]≥ 经验值-rk（r>0）-σk×支持在-rk（r>0）-σk+At- 对数δ. （58）自限制→∞At=∞, 当t接近整数时，右侧的最大值在极限内达到。因此，我们有supte[πt（πt>δ）]≥ 经验值-rk（r>0）-σk, （59）这意味着Limδ→∞suptE[πt（πt>δ）]>0，（60），因此定价内核不是UI。五、长期债券收益过程在时间t时，一个账户单位的长期债券投资收益由表达式lt=limT确定→∞PtTP0T，（61），前提是该限值存在于适当的意义上（Flesaker&Hughston 1996）。我们指的是{Lt}t≥0作为长BON nd返回过程。下面，我们考虑Vasicek模型中的长期债券收益过程。我们将证明相关限制存在，并且可以明确地计算出来。

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能者818

2022-5-25 15:11:13

使用贴现债券价格公式，我们发现tlogPtTP0T=R∞t+k（r- rt）-k（R∞- rt）e-k（T-t） +k（R∞- r） e类-kT+σ4k1.- E-千吨级-1.- E-k（T-t）. （62）可以看出，la r ge T的这个表达式的极限是由Limt给出的→∞logPtTP0T=R∞t+k（r- rt）。（63）因此，长期债券回报过程isLt=expR∞t+k（r- rt）. （64）如果我们回顾Vasicek模型中定价核的表达式（16）和渐近速率的表达式（31），我们推断定价核和长期债券收益率的乘积由πtLt=exp给出σk- λWt公司-σk- λT. （65）这表明，在Vasicek模型中，长期债券的单位投资回报率采用年龄计量布朗运动资产的形式，波动率σ/k和aVasicek型综合利率。更具体地说，我们有lt=expZt公司rs+λσkds+σkWt-σkT. （66）材料的重要性≥0定义为Mt=πt，表示其作为测量密度的变化，从物理测量P到Flesaker&Hughston（1996）引入的所谓终端测量（或长期向前测量）。要看到这一点，请重新调用从P变为与给定数值{Nt}相关联的度量，度量鞅的变化由{πtNt}给出。例如，要从P变为与使用货币市场账户作为计价单位相关的风险中性度量，度量鞅的变化是{πtBt}。在本文中，当且仅当t的Mt=1时，终端测量值与Vasicek模型一致≥ 0，当且仅当λ=σk时成立。（67）秦和莱因茨基（2014）中表明，终端测量和物理测量一致的条件与罗斯（2015）的恢复理论中所作的假设相等。

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2022-5-25 15:11:17

因此，我们看到，在罗斯恢复假设下的Vasicek模型中，可以从贴现债券期权的当前价格水平推断出风险的市场价格，因为此类期权价格取决于σ/k比率。然而，没有首要理由相信风险的利率市场价格一般应等于长期债券回报过程的波动性。事实上，我们有以下几点：对于任何基于布朗过滤的无套利利率模型，只有当且仅当利率市场风险价格等于长期债券收益过程的波动性时，罗斯恢复才成立。证据我们知道，只有当且仅当终端测量值与物理测量值一致，或者对于所有t≥ 0，当且仅当所有t的ifLt=1/πt时，该值成立≥ 0，当且仅当风险的利率市场价格与长期债券收益率的波动性一致时才成立。这一观察结果表明，金融市场不太可能出现罗斯复苏，这一观点得到了经验证据的支持（Boroviˇcka et al 2014，Qin et al 2016）。六、几何L'EVY模型尤其是上述结论，这些结论涉及罗斯恢复的可行性，以及那些将长期利益的积极性与基于布朗过滤的市场定价核心规范的一致可积性联系起来的结论？为了研究这个问题，我们考虑了基于列维过滤的更一般的市场情况。首先，如果我们简要回顾一下几何模型的定价核心方法，这将非常有用。在此类模型中，定价核方法的优势在于，它可以揭示价格跳跃模型的风险、风险规避和回报之间的关系（Brody et al 2012）。设{ξt}为L'evy过程，λ>0表示风险厌恶水平。

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大多数88

2022-5-25 15:11:21

假设{ξt}满足公式[expαξt]<∞ 对于t≥ 0和α∈ A、（68）对于某些连通集A 包含原始的R。利率为常数r的几何L'evymodel的定价核由πt=e给出-rte公司-λξt-tψ(-λ）。（69）这里{ψ（α）}α∈A、是所谓的L'evy指数，定义为[eαξt]=eψ（α）t.（70）。很容易检查L'evy指数是否为凸函数。由于定价核的乘积和非分红资产的价格{St}是一个P鞅，我们可以假设存在一个β∈ A使得πtSt=Seβξt-tψ（β）。（71）写出σ=β+λ，我们由此推导出st=Sert+R（λ，σ）t+σξt-tψ（σ），（72），其中超额收益率R（λ，σ）由R（λ，σ）=ψ（σ）+ψ给出(-λ）- ψ（σ- λ）。（73）一个简短的计算表明，R（λ，σ）在λ和σ中是双线性的，当且仅当{ξt}是布朗运动（Brody et al 2012）。因此，广泛流行的λ解释为“市场风险价格”，这对基于布朗过滤的模型有效，但并不适用于一般的列维制度。尽管如此，超额回报率的概念已经明确，而L'evy指数的严格凸性意味着超额回报率既是λ的增函数，也是σ的增函数。值得注意的是，f法（72）给出的资产价值并不取决于列维过程的漂移。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以将L'evy过程的偏差设置为零。在这种情况下，我们将{ξt}称为补偿的L'evyprocess。这意味着E[ξt]=0，{ξt}是鞅。例如，如果{Nt}是标准泊松过程，跳跃率为u，则相关的补偿L'evyprocess由ξt=Nt给出- ut。

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2022-5-25 15:11:25

考虑到这些约定，我们继续建立以下引理，这些引理将在接下来的工作中很有用。引理1 Let{ψ（α）}α∈Abe一个互补L'evy过程{ξt}的L'evy指数，该过程允许某些连通集a的指数矩包含原点的R。那么ψ在定义域上是严格正的，除了在原点处，在原点处它消失了。证据对（70）的每一侧进行微分并设置α=0，我们得到了所有t的E[ξt]=ψ′（0）t≥ 由于{ψ（α）}是一个补偿的L'evy过程，因此ψ′（0）=0。因此，曲线ψ：A→ 由α定义∈ A.→ ψ（α）在原点有一个水平切线。由于ψ是严格凸的，因此除了在切线与曲线接触的点之外，ψ位于其任何切线之上，因此我们得出结论，ψ除了在原点之外，都是严格正的。在原点处，我们得到ψ（0）=0，这是根据L'evy指数的定义得出的。引理2让A R是包含原点的连通集，设f:a→ R是一个非负严格凸函数，在A上可微，在0处消失。然后，对于所有x，xf′（x）>f（x）的值∈ A x=0时除外。证据让x∈ A、如果x>0，则根据中值定理存在y∈ （0，x），例如f（x）=xf′（y）。由于f t在原点处达到最小值，并且是严格凸的，因此f′（y）<f（x）。因此，f（x）<xf′（x），根据需要。另一方面，如果x<0，那么中值定理说存在y∈ （x，0），使得f（x）=xf′（y）。但由于f是严格凸的，原点处有一个极小值，因此0<f′（x）<f′（y），而xf′（y）<xf′（x），因为x<0。因此，f（x）<xf′（x）。七、构建L’EVY-VASICEK模型我们未来的目标是研究VASICEK模型L’evyanalogue中定价核的性质。

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2022-5-25 15:11:28

具体而言，我们感兴趣的是由L’evy过程驱动的Ornstein-Uhlenbecktype短期利率模型。例如，Norberg（2004）对此类模型进行了研究。值得注意的是，Vasicek模型中Ross恢复的条件λ=σ/k在其L'evy Vasicek对应物中保持不变。我们还将证明，当且仅当长期利率严格为正时，定价核是UI。定价核方法允许我们在P-测度中计算出一般L'evyVasicek模型的细节。我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P）生成一维L'evy过程{ξt}t≥我们假设（68）对某些连通集成立 R包含原点，我们为L'evy指数写ψ（α），定义为α∈ A、然后，L'evy Vasicek模型中的定价核取mπt=exp-Ztrsds公司- λξt- ψ(-λ） t型, （74）其中，短期利率是一个L'evy-Ornstein-Uhlenbeck过程，满足形式DRT=k（θ）的动力学方程- rt）dt- σdξt.（75）此处模型的参数与经典Vasicek模型的参数具有基本相同的解释。唯一的区别是，在列维情况下，我们让挥发度参数具有反时限的维数。列维过程本身被认为是无量纲的。在计数过程中，这当然是很自然的。在{ξt}是布朗运动的情况下，可以理解，标准布朗运动被适当的体积参数乘以，以使整个过程无量纲。在不丧失一般性的情况下，我们可以通过吸收均值回归水平定义中的任何漂移，将L'evy过程的漂移设置为零。因此，在下文中，我们假设{ξt}是一个补偿的L'evy过程。与布朗情形一样，我们通过使用积分因子发现，短期利率由t=θ+（r- θ） e类-千吨级- σZtek（s-t） dξs。

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2022-5-25 15:11:32

（76）综合短期利率可通过与经典Vasicek模型平行的计算得出，结果如下：Ztrsds=θt+k（r- rt）-σkξt.（77）因此，L'evy Vasicek模型中的定价核可以写成πt=exp的形式-θ+ψ(-λ）t型+σk- λξt-k（r- rt）. （78）或者，如果我们插入（76）中给出的Rt表达式，那么我们将得到πt=exp- （θ+ψ）(-λ））t-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-t）dξu. （79）八。贴现债券在L’EVY-VASICEK模型中，我们继续获得贴现债券价格的表达式。由（79）我们得到logπT=- （θ+ψ）(-λ））t-K1.- E-千吨级（r）- θ） +ZTσk- λ-σkek（u-T）dξu，（80），由此推导出thatlogπT=- （θ+ψ）(-λ））T-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-T）dξu+ZTtσk- λ-σkek（u-T）dξu.（81）因此，Et[πT]=exp- （θ+ψ）(-λ））T-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-T）dξu×EtexpZTt公司σk- λ-σkek（u-T）dξu. （82）为了计算右侧的条件期望，我们使用identityetxpZTtαsdξs= expZTtψ（αs）ds，（83）对任何Borel函数{αs}s有效≥0在间隔A中获取值。它允许ZTt公司σk- λ-σkek（u-T）dξu= 经验值ZTtψσk- λ-σkek（u-T）杜邦. （84）因此，根据表达式（5），对于我们获得的贴现债券，log PtT=- （θ+ψ）(-λ））（T- t）-KE-千吨级- E-千吨级（r）- θ） +ZTtψσk- λ-σkek（u-T）du+σk1.- ek（t-T）Ztek（u-t） dξu.（85）作为（76）的结果，我们可以写出σZtek（u-t） dξu=θ+（r- θ） e类-千吨级- rt.（86）因此，涉及r的术语- θ在（85）cancel中，对于到期贴现债券的价格，我们只剩下以下表达式：PtT=exp- （θ+ψ（λ））（T- t） +ZTtψ（αuT）du+k1.- ek（t-T）（θ- rt）, （87）其中0≤ s≤ t我们设置αut=σk- λ-σkek（u-t）。（88）为了研究渐近债券收益率，或指数长期收益率，我们首先表明→∞T- tZTtψ（αsT）ds=ψσk- λ.

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2022-5-25 15:11:35

（89）我们注意到分子对t的导数由ddtzttψ（αsT）ds=ψ（αt t）+σZTtψ′（αsT）ek（s）给出-T）ds=ψ（αT T）-ZTtddsψ（αsT）ds=ψ（αtT）。（90）因此，应用l\'Hospital规则，我们得到→∞T- tZTtψ（αsT）ds=limT→∞ψ（αtT）=ψσk- λ, （91）建立（89）。我们可以看到，在L’evy-Vasicek模型中，就像在布朗情况下一样，长速率不依赖于t，我们有以下结果：R∞= - 限制→∞T- tlog PtT=θ+ψ(-λ）- ψσk- λ. （92）IX.L'EVY-VASICEK模型中的统一可积性考虑到我们的猜测，经济上可容许的利益模型应该伴随着UI定价核，出现的一个自然问题是，L'EVY-VASICEK模型中的定价核是否是UI，以及对于参数的选择是什么。为此，在For mπt=exp中表示定价内核将非常有用-θ+ψ(-λ）T-k（r- θ）（1）- E-kt）+Ztαstdξs, （93）或等效πt=exp-R∞T- ψσk- λT-k（r- θ）（1）- E-kt）+Ztαstdξs, （94）当我们回忆起αst的定义（88）时，它遵循对数E【πt】=-R∞T-k（r- θ）（1）- E-kt）+Ztψ（αst）ds- ψσk- λt、（95）在随后的渐进考虑中，我们采用以下约定。给定一对函数f:R+→ R和g：R+→ R \\{0}，我们说f是O（g），对于大t iflim supt→∞f（t）g（t）< ∞, （96）我们说f是o（g），对于l rge t iflimt→∞f（t）g（t）=0。（97）参考（95）右侧的积分，我们将显示ztψ（αst）ds=ψσk- λt+O（1）（98）表示大t。我们注意到Zt公司ψ（αst）- ψσk- λds公司≤Zt公司ψ（αst）- ψσk- λds。（99）但根据中值定理，对于s的固定值，在开放区间中存在ρ(-σk-1ek（s）-t），0）使得ψσk- λ= ψ（αst）+σkek（s-t） ψ′σk- λ+ρ. （100）因此，ψ（αst）- ψσk- λ=σkek（s-t）ψ′σk- λ+ρ.

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能者818

2022-5-25 15:11:40

（101）回想引理1，ψ是一个非负严格凸函数，其最小值为零。因此，在ρ的相关范围内，|ψ′（σ/k）的最大值- 取λ+ρ）|，取决于左边界ρ=-（σ/k）ek（s）-t）或在右边界ρ=0处。更准确地说，存在一个t′∈ [0，t]因此，随着s的变化，每当s∈ （0，t′），且在左侧边界∈ （t′，t）。因此，当s∈ （0，t′）我们有ψ（αst）- ψσk- λ≤σkek（s-t）ψ′σk- λ, （102）当s∈ （t′，t）我们有ψ（αst）- ψσk- λ≤σkek（s-t）ψ′σk- λ-σkek（s-t）≤σkek（s-t） |ψ′(-λ） |。（103）在最后一步中，我们利用了一个事实，即由于ψ是凸的，|ψ′在负半直线上递减。回到（99）的右侧，我们由此推断出thattZψ（αst）- ψσk- λds=t′Zψ（αst）- ψσk- λds+tZt′ψ（αst）- ψσk- λds公司≤σkψ′σk- λZt′ek（s-t） ds+σk |ψ′(-λ） | Ztt′ek（s-t） ds=σkψ′σk- λE-千吨级ekt′型- 1.+σk |ψ′(-λ）|1.- E-k（t-t′）≤σkψ′σk- λ+σk |ψ′(-λ） |、（104）因此Ztψ（αst）ds- ψσk- λT≤σkψ′σk- λ+σk |ψ′(-λ） |。（105）以下是LIM supt→∞Ztψ（αst）ds- ψσk- λT< ∞, （106）建立了（98）。有了这些准备工作，我们准备返回到我们对定价核的一致可积性的考虑。提案6如果R∞> 0则{πt}是一致可积的。证据我们将使用Lptest。具体而言，我们表明，如果R∞> 0当存在ap>1时，suptE[πpt]<∞. 我们声称，如果R∞> 0限制→∞E[πpt]=0 f或某些p>1。要看到这一点，请注意→∞E[πpt]=0 ho lds f或somep>1，存在正常数C和T，使得所有T的E[πpt]<C≥ T但然后是supte[πpt]≤ 最大值C、支持≤TE[πpt].

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2022-5-25 15:11:44

（107）由于连续f函数在紧区间上有界，我们可以看到≤TE[πpt]是有界的，因此suptE[πpt]<∞, 根据需要。因此，让我们展示一下→∞E[πpt]=0对于某些p>1。根据（94）计算得出，对数E[πpt]=-公关部∞T-pk（r- θ）（1）- E-kt）+Ztψ（pαst）ds- pψσk- λt、（108）我们可以用（98）来看到对数E【πpt】=-公关部∞T-pk（r- θ）（1）- E-kt）+ψPσk- λ- pψσk- λt+O（1）（109）对于大t.因为ψ在σ/k处是连续的- λ、我们观察到ψPσk- λ- pψσk- λ（110）可以任意变小，因为p从上面接近单位。记住，R∞> 0，因此我们看到存在一个p>1，这样- R∞+ψPσk- λ- pψσk- λ< 0，（111），因此限制→∞E[πpt]=0，这是必需的结果。提案7如果R∞< 0则{πt}不是一致可积的。证据我们将证明{πt}在L中没有界，这意味着{πt}不是UI。从（95）和（98）可以看出，对于大t，一个有对数E【πt】=-R∞T-k（r- θ）（1）- E-kt）+O（1）。（112）如果R∞< 0，我们有限制→∞E[πt]=∞. （113）因此，定价核不在L中有界。提案8如果R∞= 0则{πt}不是一致可积的。证据我们还记得，定价内核是UI if和o only if（36）成立。使用（87）和（93），我们得到πt=P0texpZtαstdξs-Ztψ（αst）ds. （114）因此，我们看到e[πt1{πt>δ}]=P0tE经验值Ztαstdξs-Ztψ（αst）dsZtαstdξs>B（t，δ）,（115）式中，我们定义b（t，δ）=logδ- 对数P0t+Ztψ（αst）ds。（116）等效地，通过（87）我们得到b（t，δ）=logδ+R∞t+k（r- θ）1.- E-千吨级+ ψσk- λt、（117）我们引入了一个新的测度P*关于Ftby设置P*（A） =E经验值Ztαstdξs-Ztψ（αst）ds1{A}（118）对于∈ Ft.书写E*对于P下的期望值*然后我们有e[πt1{πt>δ}]=P0tE*Ztαstdξs>B（t，δ）. （119）让我们引入一个正常数ω，以反时限为单位，使ωt无量纲。因此ω是一个固定的“速率”。

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能者818

2022-5-25 15:11:47

为了继续，我们需要以下关于随机变量ztαstdξs（120）在P*. 如果R∞= 0，那么对于大t，我们有*Ztαstdξs- B（t，ωt）=Ct+o（t），（121），其中c=σk- λψ′σk- λ- ψσk- λ（122）是一个正常数*Ztαstdξs= O（t）。（123）要看到（121）、（122）和（123），请注意，对于充分接近零的u，我们有*经验值uZtαstdξs= 经验值Zt（ψ（（1+u）αst）- ψ（αst））ds. （124）在该方程的两侧取关于u的导数，并设置u=0*Ztαstdξs=Ztψ′（αst）αstds。（125）计算结果表明*Ztαstdξs= α0tψ′（α0t），（126），因此，根据l\'Hospital的规则，limt→∞tE公司*Ztαstdξs= 限制→∞α0tψ′（α0t）=σk- λψ′σk- λ. （127）如下所示*Ztαstdξs=σk- λψ′σk- λt+o（t）（128）表示大t。从（117）回忆起，B（t，δ）增长到像ψ（σ/k）这样的前导顺序- λ） t小时∞= 如果我们用ωt代替δ，情况仍然如此，因为对数ωt的增长比线性增长慢。也就是说，E*Ztαstdξs- B（t，ωt）=hσk- λψ′σk- λ- ψσk- λ对于大t，it+o（t）（129）。右侧t系数的正性来自引理2。因此，我们得出了方程式（121）和（122）。仍需显示方程式（123）。取（124）对u的二阶导数，并设置u=0，我们得出*“”Ztαstdξs#=Ztψ′（αst）αstds+Ztψ′（αst）αstds。（130）使用（126），我们得到*Ztαstdξs= E*“”Ztαstdξs#-E*Ztαstdξs=Ztψ′（αst）αstds。（131）限制→∞tVar公司*Ztαstdξs= 限制→∞tZtψ′（αst）αstds（132）是有限的，这可以使用l\'Hospital规则看到。因此，（123）如下。现在让我们定义（t）=E*Ztαstdξs- B（t，ωt），（133）并从（121）中回忆起，对于大t，c（t）线性增长。让t足够大，使c（t）>0。如果X是一个随机变量，那么Var[X]<∞, 对于任何常数c>0，我们有切比雪夫不等式[| X- E[X]|≥ c]≤cVar【X】。

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大多数88

2022-5-25 15:11:50

（134）在目前的情况下，它遵循*Ztαstdξs- E*Ztαstdξs≥ c（t）≤c（t）Var*Ztαstdξs. （135）由于c（t）和方差在t中线性增长（121）–（123），我们看到→∞P*Ztαstdξs- E*Ztαstdξs≥ c（t）= 0。（136）对于足够大的t，使得c（t）>0，我们有*Ztαstdξs>B（t，ωt）= P*Ztαstdξs>B（t，ωt）≥ P*Ztαstdξs- E*Ztαstdξs< c（t）= 1.- P*Ztαstdξs- E*Ztαstdξs≥ c（t）. （137）当t变大时，取两侧的极限，并使用方程式（136），得出极限→∞E*Ztαstdξs>B（t，ωt）= 1.（138）继续，从（36）和（119）中回忆一下，为了表明当R∞= 0需要证明limδ→∞支持P0tE*Ztαstdξs>B（t，δ）> 0。（139）要查看（139）是否成立，请注意limδ→∞支持P0tE*Ztαstdξs>B（t，δ）= 限制→∞支持P0tE*Ztαstdξs>B（t，ωt）= lim支持→∞支持P0tE*Ztαstdξs>B（t，ωt）≥ lim支持→∞P0TE*ZTαsTdξs>B（T，ωT）= lim支持→∞P0T，（140），其中最终等式由等式（138）得出。请记住，对于正在审议的案件，我们有R∞= 0，从（95）和（9 8）中得出，p0t=exp-k（r- θ）1.- E-千吨级+ f（T）（141）对于满足极限支持的某些函数f（T）→∞|f（T）|<∞ . （142）我们推断→∞P0T=经验值-k（r- θ）lim支持→∞exp（f（T））>0。（143）因此，（140）的右边是严格正的，因此我们已经证明（139）成立，这就结束了证明。十、 Levy-VASICEK模型中的长期债券收益我们继续确定Levy-Vasicekmodel中长期债券的单位投资收益。注意限制→∞logPtTP0T=极限→∞[-RtT（T- t） +R0TT]，（144），由此得出lt=（θ+ψ(-λ））t+k（r）- rt）- 限制→∞Ztψ（αsT）ds=（θ+ψ）(-λ））t+k（r）- rt）- ψσk- λt=R∞t+k（r- rt）。

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2022-5-25 15:11:53

（145）人们自然会问，是否有可能将长期债券收益过程转变为几何价格过程。如果我们考虑综合短期利率的关系式（77）和超额收益率的定义（73），那么在经过一些代数之后，我们推导出lt=expZt公司卢比+卢比λ、 σkds+σkξt- ψσkT. （146）因此，长期债券收益率的形式确实是几何资产价格的形式，即aL'evy Vasicek短期利率rt、风险规避λ和波动率σ/k。如果我们将此表达式乘以定价核，则在取消后，我们得到几何L'evy鞅mt=exphσk- λξt- ψσk- λti。（147）这给出了罗斯恢复在L'evy-Vasicek模型中成立的结果，当且仅当λ=σk，（148）就像在布朗环境中一样。虽然在实践中，利率市场风险价格似乎不太可能等于长期债券波动率，但将Carr&Yu（2012）、Boroviˇcka et al（2014）、Qin et al（2016）和其他的分析扩展到Levy模型（如本文开发的模型）的背景下还是很有意思的。

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2022-5-25 15:11:57

如果完全按照实际情况运作，罗斯复苏的一个版本是否会继续存在，这仍然是一个悬而未决的问题。然而，显而易见的是，本文所研究的问题，尤其是定价核的一致可积性和长期债券回报过程的性质，是重要的研究领域，并且在不同背景下对其进行的研究可能有助于进一步深入了解长期金融模型的行为。致谢我们感谢里约热内卢B'uzios期权研究会议（2014年12月）、布鲁内尔大学数学金融研讨会（2014年12月）、Londo n第四届WBS利率会议（2015年3月）和纽约第九届Bachelier Finance Society世界大会（2016年7月）的与会者，会上介绍了这项工作的早期版本，获取有用的评论。这项研究得到了布鲁内尔研究倡议和企业基金奖的支持。这项工作的一部分在阿斯彭物理中心完成，该中心得到了国家科学基金会拨款PHY-10 66293的支持。DC感谢俄罗斯科学基金会的支持（项目16-11-10218）。[1] Boroviˇcka，J.、Hansen，L.P.&Scheinkman，A.J.（2014）错误分类报告。arXiv:1412.0042。[2] Brody，D.C.、Hughston，L.P.和Mackie，E.（2012）动态资产定价几何L'evy模型的一般理论。《伦敦皇家学会会刊》A4681778-1798。[3] Brody，D.C.和Hughston，L.P.（2016）《社会贴现和长期利率》。数学金融。内政部10.1111/ma-12122（1-29）。[4] Cairn s，A.J.G.（1999）Vasicek模型的另一种推导。赫里奥特·瓦特大学精算数学与统计系，技术注释99/13。[5] Carr，P.&Yu，J.（2012）《风险、回报和Ross r收益》。J、衍生物20、38-59。[6] 科克伦，J。

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nandehutu2022

2022-5-25 15:12:00

H、（2005）《资产定价》（普林斯顿：普林斯顿大学出版社）。[7] Cox，S.H.&Martin，J.D.（1983）不确定性下的放弃价值和资本萌芽。J、经济学。公共汽车35331-341。[8] Dothan，U.&Williams，J.T。（1978）马尔可夫状态空间上的资产估价。经济学。利特。1163-166。[9] 杜菲，D.（1992）《动态资产定价》（普林斯顿：普林斯顿大学出版社）。[10] Dybvig，P.H.、Ingersoll，J.E.&Ross，S.A.（1996）长期远期利率和零息票利率永远不会下降。《商业杂志》69，1-25。[11] Eberlein，E.&Raible，S.（1999）一般L’evy过程驱动的期限结构模型。数学金融9，31-53。[12] Flesaker，B.&Hughston，L.P.（1996）积极兴趣。风险9，46-49。再版于《Vasicekand Beyond》（L.P.Hughston，ed.）《伦敦：风险出版物》（1996年）。[13] Flesaker，B.&Hughston，L.P.（1997）《利率和外汇的国际模型》。净风险敞口，第3版，55-79。重印于《新利率模型》（L.P.Hughston，ed.）《伦敦：风险出版物》（2000年）。[14] Garman，M.B.（1976），《分散状态过程下资产评估的一般理论》。第50号工作文件，美国加州大学伯克利分校商业与经济研究所。[15] Goldammer，V.&S chmock，U.（2012）Dybvig-Ingersoll-Ross theoremand渐近极小的推广。数学金融22，185-213。[16] Hubalek，F.、Klein，I.&Teichman，J。（2002）Dybvig-Ingersoll-Ross定理的一般证明：长期远期利率永远不会下降。数学金融12，447-451。[17] Hunt，P.J.&Kennedy，J.E.（2004）《金融衍生品的理论与实践》，修订版（Chichester:Wiley）。[18] Kardaras，C.和Platen，E.（2012）关于Dybvig-Ingersoll-Ross定理。数学金融22，729-740。[19] Meyer，P.A（1996）《概率与潜力》（Waltham，MA:Blaisdell出版社）。[20] 诺伯格，R。

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