使用交叉效率评估的夏普投资组合

2022-5-25 17:48:30

Sharpe portfolio使用交叉效率评估梅赛德斯·兰德特Centro de Investigaci'on Operativa，Miguel Hern'andez大学，Elche（阿利坎特），西班牙，landete@umh.esJuanF.MongeCentro de Investigaci'on Operativa，Miguel Hern'andez大学，Elche（阿利坎特），西班牙，monge@umh.esJose L.RuizCentro de Investigaci'on Operativa，Miguel Hern'andez大学，Elche（阿利坎特），西班牙，jlruiz@umh.esThe夏普比率是一种比较投资组合的超额收益（相对于无风险资产）与投资组合产生的每一种波动率的方法。本文在无风险资产未知的假设下，引入了一种稳健的夏普比率组合。我们提出了一个稳健的投资组合，当无风险资产未知但在给定区间内时，该投资组合可以最大化夏普比率。为了计算最佳夏普比率投资组合，任何无风险资产的所有夏普比率都会通过所谓的交叉效率评估进行考虑和比较。当允许卖空时，给出了交叉效率夏普比率投资组合的明确表达式。关键词：金融、投资组合、最小方差投资组合、交叉基金：作者感谢西班牙经济和竞争部通过MTM2013-43903-P.1拨款支持这项研究。简介1952年，哈里·马科维茨（HarryMarkowitz）对投资组合优化做出了第一次贡献。在资产定位方面的文献中，自1952年马科维茨的开创性工作[17]以来，已经取得了重大进展。马科维茨提出了一种最佳的资产选择方法，即当投资者除了了解每种资产之间的相关性外，还只知道每种资产的预期收益和方差。M、 Landete，J.F。

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2022-5-25 17:48:34

Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合1990年，哈里·马科维茨、默顿·米勒和威廉·夏普凭借其投资组合优化理论获得了诺贝尔经济学奖。Markowitz模型得到的最优投资组合通常表现出较高的长期波动性。这一特点激发了一系列旨在控制马科维茨模型中当前错误的研究。由于投资组合的方差不能被视为风险的适当度量，因此文献中提出了许多替代度量，试图更恰当地量化投资组合方差（参见[18、13、19]等）。在优化模型中控制风险的另一种方法是为预期回报设置最小阈值。按照这种方法，提出了几个包含风险度量的模型，如“安全度量”、“风险价值”、“条件风险价值”等，以控制解决方案的波动性。参见[1，14]及其参考文献。对问题加入新的限制也是一种工具，既可以用来防范风险，也可以用来吸收分析师的知识，以寻求最佳解决方案。最近几年出现了新的模型，其中包括线性规划模型、积分优化模型和随机规划模型（参见【16】等）。马科维茨模型的另一个重要特征是，它对未来可能出现的潜在回报情景缺乏远见。因此，在港口优化中做出准确的预测是最重要的。从这个意义上讲，预测模型、协方差矩阵和收益估计中的因子模型、贝叶斯方法或不确定性估计（见[2]和其中的参考文献）都是有用的。

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2022-5-25 17:48:38

需要改进预测并考虑马科维茨模型中当前的不确定性，这推动了被统称为“鲁棒优化”技术的发展。数学规划中的稳健方法由【3】引入，并由【12】等人在投资组合背景下进行研究。文献中有几种方法旨在提高马科维茨模型的性能，但没有一种方法比其他方法更好。据作者所知，上述方法的系统比较尚未公布。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率组合。然而，在[7]中，14个不同的模型是基于具有不同质量度量的大量数据集进行比较的。获得的结果表明，“没有一个复杂的模型能够始终超过naive 1/N基准”。本文的目标是在自由风险率资产未知或该参数的信息长期不确定的情况下，确定最佳切线投资组合。目标是在切线投资组合的意义上，找到一个比其他切线投资组合更好的稳健投资组合。为了实现这一目标，我们使用了一些基于数据包络分析（DEA）的技术，它提供了对相关单元的相对效率的分析。在投资组合优化的背景下，一些作者使用了这样的DEA技术，特别是交叉效率评估（就像我们这里），但目的不同（例如，见[15]）。在下一节中，我们将简要介绍投资组合优化的原始Markowitz和Sharpe比率模型，并讨论与解决方案相关的一些特征以及本文其余部分所需的有效前沿。

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2022-5-25 17:48:41

在第3节中，我们提出了一种基于交叉效率评估的投资组合优化方法。在第4节中，我们通过对两个试点案例的研究，将我们的方法与其他经典解决方案进行了比较。在最后一节中，我们给出一个结论。概述在本节中，我们简要介绍了资产配置的夏普比率。portfoliooptimization问题寻求一组资产之间的最佳投资分配。Markowitz引入的模型提供了一种投资组合选择，作为一种回报-风险双标准交易，其中方差在特定的预期回报下最小化。均值-方差投资组合优化模型的公式如下：minσP=wT∑w（1）s.t.wTu=ρ（2）wTn=1（3）M.Landete，J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合图1可能投资组合的效率边界和云。目标函数（1）σP给出了返回wTu的方差，其中∑表示n的n×n方差协方差矩阵-返回u的向量，w是n-每个资产的投资组合权重向量。约束条件（2）要求总回报率等于投资者想要的最低回报率ρ。最后一个限制条件（3）迫使投资所有资金。我们用1nN表示-标注1的所有向量。请注意，权重向量w不需要为负，因为我们希望允许卖空，其权重向量w小于0。该模型利用平均收益和收益方差之间的关系，在可行区域内找到最小方差点。这个最小方差是效率边界Wρ上的一个点。效率边界是显示风险回报框架中所有有效投资组合的曲线，见图1.2.1。

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2022-5-25 17:48:45

全球最小方差投资组合从有效前沿（Wρ）获得全球最小方差（GMV）投资组合，无需施加预期收益约束（2）。投资组合权重（w*GMV），预期回报（r*GMV）和方差（σ*2GMV）由byw提供*GMV=∑-1nTn∑-1n，r*GMV=Tn∑-1uTn∑-1与σ*2GMV=Tn∑-1n（4）可行投资组合的双曲线由渐近线r=c/b±p（ab-c） /bσ，带m。Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合图2双曲线和均值-方差效率投资组合的相关符号。a=uT∑-1u，b=1Tn∑-1nand c=1Tn∑-1u。（5）全球最小方差投资组合（rGMV）的预期收益是双曲线的顶点。图2表示可行投资组合、有效前沿、全局最小方差投资组合（GMV）和渐近线的双曲线。2.2。夏普比率切线投资组合（TP）是指通过原点的线与有效边界Wρ相切的投资组合。该投资组合表示平均值/方差比率最大的投资组合。w*T P=arg maxwwTu√wT∑ws。t、 wTn=1（6）当考虑无风险资产rf时，通过最大化相同的比率获得另一个研究的投资组合。该投资组合称为最大夏普比率（MSR）投资组合。夏普比率是每单位风险的预期超额回报（超过无风险资产）。因此，最大夏普比率（MSR）投资组合是模型的解决方案：w*MSR=arg maxwwT（u-射频）√wT∑ws。t、 wTn=1（7）M.Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合，其中Rf表示无风险资产。分配w*MSRis被称为市场投资组合，M。

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kedemingshi

2022-5-25 17:48:48

如果无风险利率为rf=0，则市场投资组合与问题（6）的切线投资组合解相同。资本市场理论研究投资组合和自由风险证券的预期收益和风险之间的关系。（7）的解决方案仅包括风险资产。这种解决方案称为市场组合（M）。从无风险利率到市场投资组合（M）的一条线被称为资本市场线（CML）。所有有效的投资组合必须沿着这条线，CM L：e（r）=rf+rM-rfσMσ，其中E（r）是预期投资组合回报，rf是无风险利率，rM，σM分别是市场投资组合M的回报和风险。CML上的所有投资组合都具有相同的夏普比率。参见图3。CML总结了预期收益和有效投资组合风险之间的简单线性关系。夏普假设总资金分为市场投资组合（M）和证券f。反转在这里是完全投资的。wM+wf=1投资组合的预期回报isE（rp）=wfrf+wMrMIn为了计算（7）的最优M SR投资组合，我们必须最大化（7）towTn=1。在[4]中，我们可以看到如何推导出这个问题的解的以下表达式：w*MSR=∑-1（u-rf）Tn∑-1（u-rf）（8）M.Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合风险σ*对于具有自由风险RFI的最大化Sharpe比率问题的最优解的期望超额收益r:r*MSR=w*TMSRu=（u-rf）T∑-1uTn∑-1（u-rf）（9）σ*MSR=qw*TMSR∑w*MSR=p（u-rf）T∑-1（u-rf）Tn∑-1（u-rf）（10）图3从四项资产中获得的有效边界。全球最小方差（GMV）是风险较小的投资组合。最大夏普比率（MSR）是指在无风险资产存在的情况下，位于有效前沿的切线投资组合。

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能者818

2022-5-25 17:48:51

无风险资产和相切投资组合（MSR）的组合产生了资本市场线（CML）。当arisk free asset存在时，CML是一组非支配性投资组合。切线投资组合通常是为长期投资者设计的投资组合。大多数投资者往往在经济好的时候承担太多风险，然后在经济不好的时候抛售。切线投资组合的设计是为了让投资者在好的和坏的时候都能做得足够好。这让我们能够通过简单、低维护的解决方案，获得投资股票和债券的长期收益。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用Wrfρ表示的交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合有效投资组合的子集Wrfρ Wρ，为最大夏普比率投资组合（Sharpe ratioportfolios）形成，即为某些rf值获得的切线投资组合。注意，所有相切的portfoliosin Wrfρ都是从0到双曲线顶点r变化得到的*GMV，即rf∈[0，r*GMV]。参见图4和图5。图4无风险资产为0、0.0013和0.0025时的不同CML线及其最大夏普比率组合。图5无风险资产处于区间[0，0.0025]时的Wrfρ集。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合3。基于交叉效率评估的投资组合选择在本节中，我们提出了一种在设定Wrfρ范围内选择投资组合的方法。这种方法的灵感来自所谓的数据包络分析（DEA）和交叉效率评估方法。Charles等人（1978）介绍的DEA评估了生产过程中涉及的决策单元（DM Us）的相对效率。对于每个DM U，它以输出加权和输入加权和的形式提供效率得分。DEAmodels允许决策单元完全自由地选择输入和输出权重。

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2022-5-25 17:48:55

这意味着，每个DMU都会选择尽可能最佳的权重，唯一的条件是，使用这些权重计算的其他DMU的效率比低于或等于给定数量，通常设置为1。因此，如果DMUis的效率得分等于1，则将其评为有效。否则，它是无效的，效率得分越低，其无效性越大。数据包络分析（DEA）已成功应用于许多实际应用中，用于分析银行、医疗保健、教育或农业等领域的效率。受DEA的启发，我们建议对Wrfρmaximieu（r）中的每个投资组合（σ，ro）求解以下模型-u） vσ服从。u（r-u） vσ≤1.（σ，r）∈ Wrfρu，v≥ 0件≥0（11）在（11）中，Wrfρ中的投资组合将扮演决策单元的角色，在这种情况下，决策单元有一个单一输入（风险，σ）和一个单一输出（回报，r）。值得注意的是，与我们在此解决的问题不同，在标准DEA中，我们有数量有限的决策单元。显然，当在对每个投资组合进行估值时，求出的（11）的最优值Wrfρ（σ，ro）等于1，因为存在非负权重u*, v*和v*这样，u*（r）-u*)/v*σ=1和u*（r）- u*)/v*σ≤ 1米。Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用其他投资组合的交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合（σ，r）∈ Wrfρ。这些权重实际上是曲线（有效边界）的切线超平面的系数Wρat（σ，r）。通常用（σ）表示*MSRi，r*MSRi）∈ Wrfρ无风险利率为rif时获得的MSR投资组合。该投资组合最大化了夏普比率（7）。因此，当（σ*MSRi，r*MSRi）评估为isu*i=r*MSRi-rif，v*i=σ*M和u*i0=rif（12）如前所述，其最佳值等于1。

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2022-5-25 17:49:00

然而，这些权重的最佳解决方案使我们能够确定给定投资组合的交叉效率得分，该得分是通过其他投资组合的权重获得的。定义1。Let（u*j、五*j、 u型*j0）是投资组合j的（11）的最优解：=（σ*MSRj，r*MSRj）。给定投资组合的交叉效率i：=（（σ*MSRi，r*用portfolioj的权重获得的MSRi）定义如下：efi（rjf）=u*j（r*MSRi-u*j0）v*jσ*MSRi（13）我们可以看到，（13）从投资组合j的角度对投资组合i的效率进行了评估。以下命题支持命题1。Efi（rjf）=（r*MSRi-rjf）/σ*MSRi（r）*MSRj公司-rjf）/σ*MSRj（14）命题1的证明。Efi（rjf）=u*j（r*MSRi-uj0）v*jσ*MSRi=σ*MSRj（r*MSRi-rjf）σ*MSRi（r*MSRj公司-rjf）=（r*MSRi-rjf）/σ*MSRi（r*MSRj公司-rjf）/σ*MSRj公司（14）提供对交叉能力得分的不同解释。具体而言，Efi（rjf）代表投资组合i的超额回报率与投资组合j之间的比率，当它们发生变化时。Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合风险自由资产是rj，即投资组合i的夏普比率与投资组合J的最佳夏普比率相比有多差。交叉效率评估（Sexton et al.，1986，Doyle and Green，1994）是DEA的一个扩展，旨在对决策单元进行排名。DEA通过使用特定于单位的输入和输出权重，对决策单元进行自我评估，这使得无法得出排序。此外，也有人声称，交叉效率评估可能有助于改善歧视，这实际上是我们在本论文中所要解决的问题。

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2022-5-25 17:49:04

DEA通常将许多决策单元视为有效的，因为前面提到的总权重灵活性：决策单元经常将权重放在产出/产出上，并通过附加零权重来忽略绩效不佳的变量。交叉效率评估的基本思想是使用所有数据元素的权重来评估每个单元，而不是仅使用其自身的权重。具体而言，给定单元的交叉效率得分通常计算为使用所有DMU提供的权重文件获得的交叉效率的平均值。因此，参考所有决策单元选择的权重范围对每个单元进行评估，这提供了被评估单元的同行评估，而不是传统的自我评估。特别是，这使得基于结果交叉效率得分对决策单元进行排名成为可能。交叉效率评估也被广泛用于解决现实问题，尤其是处理与投资组合相关的问题（见[15、11、20]）。接下来，我们将标准交叉效率评估的思想应用于我们在这里讨论的投资组合选择问题。为此，我们首先确定给定投资组合的交叉效率得分，这是在Wrfρ中选择投资组合时使用的衡量标准。3.1。交叉效率夏普比率组合在本节中，我们给出了任何组合的平均交叉效率度量（σ，r）∈ Wρ并获得最大交叉效率夏普比率投资组合（MCESR）的表达式。定义2。让rf为满足rf的无风险利率∈ [rmin，rmax]，然后是投资组合i的平均交叉效率得分（CEi），i=（σ*MSRi，r*MSRi）∈Wρ与ri∈[rmin，rmax]由以下公式得出：CEi=rmax-rminZrmaxrminEfi（rf）drf（15）M.Landete，J.F。

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可人4

2022-5-25 17:49:08

Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合注意，表达式（15）是连续前沿DEA中交叉效率评估的自然延伸。使用Efi（rjf）的表达式，见方程式（14），交叉效率CEi可以写成：CEi=r*MSRiσ*MSRiI公司-σ*MSRiI（16），其中，I=rmax-rminZrmaxrminσ*MSRfr*MSRf公司-rfdrf（17）I=rmax-rminZrmaxrminσ*MSRfrfr*MSRf公司-rfdrf（18）提案2。有效投资组合i=（σ*MSRi，r*当*i=r*GMV+σ*GMVr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*MSR公司-rσ*MSRln公司r*MSR公司-rσ*MSR公司-r*GMV公司-rσ*GMVr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*GMV公司-rσ*GMV公司（19）命题2的证明。见附录。推论1。区间内的最大交叉效率（MCESR）投资组合[0，r*GMV]在*i=r*GMV+σ*GMVr*MSR公司-r*GMVσ*MSR公司-r*T Pσ*印尼国家电力公司r*MSR公司-r*GMVσ*MSR公司-ln公司r*T Pσ*T P-r*GMVσ*GMV公司（20）我们可以把上面的表达式写成：r*i=r*GMV公司1.-马赫姆格姆夫-mT PmGMVlnmT Pmah公司-mGMVmah, 其中（21）M.Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合mah=（r*MSR公司-r*GMV）/σ*MSRis Wρ渐近线的斜率，mT P=r*T P/σ*MSRis当rf=0时，CML线的斜率，即从原点到切线组合的线性线的斜率，并且，mGMV=r*GMV/σ*GMVis从原点到全局最小方差组合（GMV）的直线斜率，见图6。推论1的证明。它源自命题2。提案3。切线和全局最小投资组合的斜率与Wρ渐近线的斜率之间存在勾股关系。mT P=mah+mGMV（22）命题3的证明。见附录。推论2。

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2022-5-25 17:49:12

[0，r]中的最大交叉效率（MCESR）投资组合*GMV]只依赖于最小的全局方差和切线投资组合。r*i=r*GMV公司1.-sr公司*T Pr*GMV公司-sr公司*T Pr*GMV公司-1lnsr*T Pr*GMV公司-1.-lnsr公司*T Pr*GMV公司-1.（23）推论2的证明。见附录。3.2。无卖空约束此约束对应于所有资产权重均为非负的要求。如果不允许卖空，那么我们需要将向量w中每个权重的非负性添加到最大夏普比率问题（7），w*MSR=最大WWT（u-射频）√wT∑w（24）s.t.wTn=1w≥0米。Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合图6全球最小方差和切线投资组合的线性线；对于双曲线的渐近线。Markowiz的原始公式（1-3）将这些约束作为投资组合优化方法的一个组成部分。请注意，包含这些非负性约束使得无法导出投资组合优化问题的解析解（24）。模型（24）不是凸问题，因此不容易求解。在[24]中，R.H.T¨aut¨aunc¨au提出了一个等价于（24）的凸二次规划问题。这个问题的新公式考虑了一个高维空间，在这个空间中，当应用下面的提升技术时，二次问题是凸的。很容易导出（24）asmin xT∑x（25）s.t.xT（u）的等价问题-rf）=1x≥0其中（24）的权重向量w由w=xxTn给出。M、 Landete，J.F。

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2022-5-25 17:49:16

Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳Sharpe比率投资组合注意，问题（25）可以通过使用凸二次规划问题的著名技术来解决。虽然不可能找到最大交叉效率（MCESR）投资组合的闭合表达式，但模型（25）允许我们针对最大化夏普比率问题和风险自由资产的不同价值获得最佳投资组合。在不存在卖空约束的情况下，我们提出以下程序来获得最大交叉效率（MCESR）投资组合的近似值。1、将区间[rmin，rmax]划分为n个等分。对于（i=1到n+1），用rf=rmin求解（25）*（n）-i+1）/n+rmax*（一）-1） /n，并获得有效投资组合i=（σMSRi，rMSRi），i=1至n.3。计算解决方案（u*i、五*i、 u型*问题（11）的i0）到表达式（12）。请注意，不必解决问题（11），问题的解决方案是切线超平面效率曲线Wρ。对于（i=1到n+1），使用区间内剩余投资组合的最佳权重，计算投资组合i的交叉效率（CEi）作为投资组合i的效率得分平均值，即CEi=n+1n+1Xj=1（r*MSRi-rjf）/σ*MSRi（r*MSRj公司-rjf）/σ*MSRj（26）5。获得最大化交叉效率CEi的有效投资组合i。数值例子我们进行了两次计算研究，以说明所提出的方法。首先，我们评估了最大交叉效率组合（MCESR）的优度，并得出了一些结论。研究的第二部分允许我们根据是否允许卖空来比较（MCESR）分配。整个计算研究是在MAC-OSX上进行的，该MAC-OSX采用2.5GHz Intel内核I5B和4GB RAM。我们将R-Studio v0.97.551与library stockPortfolio一起使用，[8]。

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mingdashike22

2022-5-25 17:49:19

在我们的计算研究中，所需的计算时间不超过几秒钟；因此，尚未报告《纽约时报》。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合4.1。案例1。欧洲股票在本节中，我们将在一个小示例上用真实数据比较最大交叉效率夏普比率（MCESR）投资组合分配与不同夏普比率分配的绩效。表1列出了所选的资产组，这些资产来自Eurostock50。我们选择了EUROSTOCK50中的六项西班牙资产。表1显示了所考虑资产组的一些描述性统计数据：收益率（平均周收益率）、风险（周收益率的标准偏差）以及最小和最大收益率。第一行数据块对应于2009年至2012年期间（样本期或估计期），第二行数据块对应于2013年至2014年期间（样本期或测试期）；作为lasrow阻止两个时段的聚合数据。图9、8和7显示了所考虑的两个期间和整个期间的累积周回报率。为了评估我们解决方案的性能，我们将最大交叉效率夏普比（MCESR）与全局最小方差（GMV）、切线（TP）和最大夏普比（MSR）组合进行比较。表2显示了在所考虑的四个投资组合的抽样期内评估的不同解决方案。考虑区间（0，0.003）内的无风险资产来评估MCESR投资组合，我们选择无风险资产考虑的区间上限来评估最大夏普比率投资组合。注意，当RF0.001773时，可获得最佳MCESR。表3显示了每个样本外投资组合的达到值，即在测试期间。

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2022-5-25 17:49:24

请注意，我们将样本期分为三个子期，每个子期为25周，以评估四次分配的演变。在前25周，所有投资组合的价值都会下降，最小方差投资组合（GMV）是最佳持有组合。在接下来的25周内，收益会增加，在这种情况下，波动率较高的投资组合（MSR）会获得更好的表现。最后，对于整个时期外的样本，GMV投资组合是唯一提供收益的投资组合，而损失大于投资的MSR投资组合的收益最差。请注意，最后一种情况是可能的，因为允许卖空。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合图7案例1。2009年1月1日至2014年6月6日期间的总回报。图8案例1。2009年1月1日至2012年12月31日期间样本期内的回报。图9案例1。2013年1月1日至2014年6月6日样本期外的回报。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合表1案例1。

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2022-5-25 17:49:27

6项欧洲股票资产的每周描述性统计报表。BBVA。MC IBE。MC ITX。MC代表MC SAN。MC TEF。MCIn样本（估计）期（2009-01-01至2012-12-31）回报0.0026 0.00044 0.0092 0.0022 0.0034 0.00018风险0.0623 0.04268 0.0381 0.0455 0.0587 0.03400最小-0.1916-0.1483-0.1558-0.1496-0.1760-0.0977最大0.1838 0.1385 0.1292 0.1249 0.1916 0.1139样本外（测试）期（2013-01-07至2014-06-02）返回0.0056 0.0045 0.0021 0.0036 0.0053 0.0034风险0.0377 0.0287 0.02970.0316 0.0335 0.0316最小-0.0882-0.0909-0.0723-0.0697-0.0773-0.0826最大0.0943 0.0861 0.0669 0.0719 0.0901 0.1102总期限（从2009-01-01到2014-06-02）返回0.0035 0.0014 0.0069 0.0028 0.0040 0.0011风险0.0567 0.0394 0.0365 0.0422 0.0530 0.0333最小-0.1916-0.1483-0.1558-0.1496-0.1760-0.0977最大值0.1838 0.1385 0.1292 0.1249 0.1916 0.1139图10显示了输出样本所考虑的四种策略的性能。我们看到了与MSR（rf=0.003）投资组合相关的高波动性。请注意，尽管MCESR投资组合比GMV和TP投资组合更糟糕，但MCESR在好的时候提供了更大的收益，并在坏的时候包含了损失。4.2。案例2。美国行业投资组合对于第二个数字示例，我们从美国市场中选择了十个行业投资组合。按照与上述情况相同的方式，我们考虑了两个时间段，第一个时间段用于估计（样本期内）和第二个时间段（样本期外）用于评估每个战略的绩效。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合表2案例1。

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2022-5-25 17:49:30

不同投资组合解决方案的样本结果。GMV–全球最小方差组合预期收益=0.00338风险=0.02762TP–切线组合预期收益=0.01612风险=0.06025MSR–最大夏普比率组合（rf=0.003）预期收益=0.1149风险=0.4699MCESR–最大交叉效率夏普比率组合（rf=0.001773）预期收益=0.02940风险=0.1129表3案例1。2014年1月7日至2014年6月2日样本期内投资组合价值的变化。投资组合前25周50周75周GMV-6.1%5.9%15.1%TP-11.1%8.6%0.3%MSR（rf=0.003）-49.3%29.0%119.8%MCESR（rf=0.001773）-16.2%11.3%16.4%图10案例1。2013年1月1日至2013年12月31日的样本预期收益。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合图11案例1。2013年1月1日至2013年12月31日的样本预期收益。表4显示了数据来源和观察次数。在表5中，我们保留了与表1相同的观察结果。表4数据集描述。案例2 N样本内（估计）期外样本（测试）期十个行业投资组合。1963年1月10日至2012年12月2013年1月至2014年7月每月数据（600次观察）（19次观察）来源：Ken French的网站。表6显示了样本期内的不同投资组合，我们报告了每个投资组合的分配情况。为了计算MCESR投资组合，考虑了区间（0,0.9）内的无风险资产，从而得出最佳MCESR rfis 0.57103。如果不允许卖空，当RFS为0.576时，可获得最佳MCESR。当不允许卖空时，见表7中与表6相同的结果。图12显示了马尔科维茨在这两种情况下的有效边界，有无卖空。M、 Landete，J.F。

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kedemingshi

2022-5-25 17:49:34

Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合表5案例2。样本（估计）期间（1963年1月至2012年12月）10家行业portfoliosNoDur Durbl Manuf Enrgy HiTec Telcm Shops Hlth Utils OtherIn的月度描述性统计报表1.1 0.86 0.97 1.1 0.96 0.86 1.0 1.1 0.83 0.92风险4.3 6 6 6 6.36 4.98 5.4 6 6 6 6.59 4.67 5.2 4.9 4.03 5.35最小值-21.03-32.63-27.33-18.33-26.01-16.22-28.25-20.46-12.65-23.6最大值18.88 42.62 17.51 24.56 20.7521.34 25.85 29.52 18.84 20.22抽样（测试）期（2013年1月至2014年7月）回报1.4 2.3 1.7 1.7 2.0 1.9 1.5 2.4 1.4 1.9风险3.3 4 4.0 3.2 3.7 2.5 2 2 2.8 3.5 3.4 3.8 3.2最小值-5.71-4.6-4.33-6.97-2.84-3.94-6.65-3.67-6.96-4.37最大值5.21 9 6.03 7.71 5.5 97 5.62 5.97 8.11 5.51 6.87总期限（1963年1月至2014年7月）回报1.1 0.9 0.99 1.1 1.0 0 0.89 1.0 1.1 0.85 0.95风险4.3 6.3 4.93 5.46.5 4.63 5.2 4.9 4.02 5.30最小值-21.03-32.63-27.33-18.33-26.01-16.22-28.25-20.46-12.65-23.6最大值18.88 42.62 17.51 24.56 20.75 21.34 25.85 29.52 18.84 20.22为了比较四种策略的性能，我们在外采样期对它们进行了评估。表8显示了有无卖空的每个投资组合的预期回报。请注意，如果允许卖空，M SR（rf=0.9）组合将产生14.3%的损失，而如果不允许卖空，相同策略组合将产生33.5%的收益。无论有无卖空，变动较小的投资组合都是GMV投资组合。MCESR投资组合提供了25.5%的卖空收益，36.1%的卖空收益，这是两种情况下所有投资组合的最高价值。图13和14显示了所考虑的四种策略的外示例性能。

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2022-5-25 17:49:37

请注意，当允许卖空交易时，MSR投资组合的波动性很高，而卖空交易的同质性则相反。如果不允许卖空，这四个投资组合实际上呈现相同的曲线，尽管在这种情况下，MCESR提供了最好的表现。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合表6案例2。不同投资组合解决方案的样本结果。10个行业组合。空头销售Nodur Durbl Manuf Enrgy HiTec Telcm Shops Hlth Utils OtherGMV–全球最小方差组合预期收益=0.96风险=3.45分配0.29 0.00 0.09 0.11 0.02 0.26 0.08 0.15 0.45-0.44TP–切线组合预期收益=1.09风险=3.68分配-0.70-0.05-0.05 0.30 0.03 0.18 0.14 0.17-0.58MSR–最大夏普比率组合（rf=0.9）预期收益=3.08风险=20.84分配6.85-0.77-2.13 3.19 0.24-1.04 1.01 0.53-4.15-2.72MCESR–最大交叉效率夏普比率投资组合（rf=0.57103）预期收益=1.29风险=4.67分配1.29-0.12-0.25 0.58 0.05 0.06 0.22 0.21-0.26-0.79表7案例2。不同投资组合解决方案的样本结果。10个行业组合。无空头销售Nodur Durbl Manuf Enrgy HiTec Telcm Shops Hlth Utils OtherGMV–全球最小方差组合预期收益=0.93风险=3.70分配0.30 0.00 0.03 0.00 0.00 0.14 0.00 0.06 0.47 0.00TP–切线组合预期收益=1.03风险=3.90分配0.53 0.00 0.02 0.07 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.03 0.19 0.15 0.00MSR–最大夏普比率组合（rf=0.9）预期收益=1.076风险=4.14分配0.67 0.00 0.00 0.23 0.00 0.00 0.00 0.10 0.00 0.00 CESR–最大交叉效率夏普比率组合（rf=0.576）预期回报=1.07风险=4.09分配0.63 0.00 0.00 0.00 0.14 0.00 0.00 0.00 0.00 0.22 0.00 0.00 0.00。Landete，J.F。

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2022-5-25 17:49:40

Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合图12案例2。十大行业投资组合的有效前沿。表8案例2。2014年1月7日至2014年6月2日期间投资组合价值的变化。组合卖空无卖空GMV 32.7%32.9%Tangent组合29.8%35.1%MSR（rf=0.9）-14.3%33.5%MCESR 25.5%36.1%5。结论本文提出了一种新的基于交叉效能评估的投资组合选择策略。通过一项数值研究，我们将新的配置与经典的全球最小值和切线投资组合进行了比较。结果表明，我们的配置在样本期外的绩效方面与其他配置具有可比性。我们推导了允许卖空时MCESR投资组合的显式表达式，并提出了在不允许卖空时获得该表达式的程序。我们还发现，所考虑的三个投资组合的斜率之间以及MCESR投资组合与GMV和TP投资组合的预期回报之间存在关系。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合图13案例2。2014年1月7日至2014年6月2日的回报。与Short SalesFigure 14案例2。2014年1月7日至2014年6月2日的回报。我们计划将这种新的投资组合解决方案（MCESR）应用到一个大型测试床上，以研究它们相对于其他产品的优势，而不是为了将来的研究而进行卖空。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合附录命题2的证明。

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2022-5-25 17:49:44

有效投资组合i=（σ*MSRi，r*当*i=r*GMV+σ*GMVr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*MSR公司-rσ*MSRln公司r*MSR公司-rσ*MSR公司-r*GMV公司-rσ*GMVr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*GMV公司-rσ*GMV公司投资组合i的交叉效率CEi取决于与投资组合i相关的无风险利率ri。我们可以将CEi视为ri的函数，对于ri∈ [rmin，rmax]。我们可以将CEi（ri）写为以下内容CEi（ri）=r*MSRiσ*MSRiZrmaxrminσ*MSRr*MSR公司-rfdrf公司-σ*MSRiZrmaxrminσ*MSRrfr*MSR公司-RDR从表达式（4）、（9）和（10）中，使用（5）的符号，我们可以推导出GMV和MSR投资组合的预期收益和方差的以下等式：r*GMV=cb，σ*GMV公司=√b、 r*GMV公司-rfσ*2GMV=c-b右前，r*MSRσ*MSR=a-c rfqa-2c rf+b rf，σ*MSR=c-b rfqa-2c rf+b rf和σ*MSRr*MSR公司-rf=qa-2c rf+b rf，（27），并根据变量ri写入交叉效率CEi（ri）。CEi（ri）=a-c里帕-2c ri+b riI-c-b ripa-2c ri+b riIwhereI=rmax-rminZrmaxrmindrfqa-2c射频+b射频和I=rmax-rminZrmaxrminrfdrfqa-2c rf+b rf函数CEi（Ri）具有一阶导数项。Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估（ri）确定最佳夏普比率投资组合=-注册会计师-2cri+bri-（a）-cri）（br-c） /帕-2cri+bri帕-2cri+bri我---双酚A-2cri+bri-（c）-bri）（bri-c） /帕-2cri+bri帕-2cri+briI=（cri-abri）I+（ba-c）我帕-2cri+bri.左图显示，对于ri=I/I，CEi（ri）=0，因此，ri=I/I是斜率为零的点，它是区间[rmin，rmax]中最大值的候选点。

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2022-5-25 17:49:47

函数cei（ri）的第二个导数由以下表达式cei（ri）=（c）给出-ab）I帕-2cri+bri帕-2cri+bri-（（ba-c） I+（c-ab）Iri）（bri-c）帕-2cri+bri（28）且（28）的第二项在ri=I/I时为零，且ce（I/I）=（c-ab）I（a）-2c I/I+b I/I）自∑起-1为正定义矩阵，然后（u-r） T∑-1（u-r） =a-2cr+br>0，带鉴别器4（c-ab）<0，则ri=I/I，CE（I/I）处的二阶导数小于0。接下来，我们展示I/I.（rmax）的表达式-rmin）I=Zrmaxrmindrfqa-2crf+brf=√bln公司√bqa-2crf+brf+brf-crmaxrmin（rmax-rmin）I=Zrmaxrminrfdrfqa-2crf+brf==“c√bln公司√bqa-2crf+brf+brf-c+bqa-2crf+brf#rmaxrminow，我们可以使用（27）的恒等式编写上述表达式，如下所示：（rmax-rmin）I=σ*GMVlnr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*GMV公司-rσ*GMVr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*GMV公司-rσ*GMV公司M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估（rmax）确定最佳夏普比率投资组合-rmin）I=r*GMVσ*GMVlnr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*GMV公司-rσ*GMVr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*GMV公司-rσ*GMV公司++ σ*2GMVr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*MSR公司-rσ*MSR公司最后，我们可以写出最大riasr*i=r*GMV+σ*GMVr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*MSR公司-rσ*MSRln公司r*MSR公司-rσ*MSR公司-r*GMV公司-rσ*GMVr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*GMV公司-rσ*GMV公司（29）命题3的证明。切线和全局最小投资组合的斜率与Wρ渐近线的斜率之间存在勾股关系。mT P=mah+mGMV（30）根据表达式（5），我们可以推导出mT P、mah和mGMV斜率的以下恒等式：mT P=√a、 mah=rab-cb和mGMV=c√b、（31）现在，我们可以推导出mtp=mah+mGMV，mah+mGMV=ab的关系-cb+cb=a=mT P推论2的证明。[0，r]中的最大交叉效率（MCESR）投资组合*GMV]仅依赖于最小全局方差和切线投资组合。M、 Landete，J.F。

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2022-5-25 17:49:51

Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合*i=r*GMV公司1.-sr公司*T Pr*GMV公司-sr公司*T Pr*GMV公司-1lnsr*T Pr*GMV公司-1.-lnsr公司*T Pr*GMV公司-1.（32）从（27）和（31）中，我们可以推导出以下表达式：mT PmGMV=ac/√b=a/cc/b=r*T Pr*GMV，然后MT PmGMV=sr*T Pr*GMVmahmGMV=ab-cbc/b=ab-cc=abc-1=r*T Pr*GMV公司-1，thenmahmGMV=sr*T Pr*GMV公司-1mT Pmah=aab-cb=空调-c/b=r*T Pr*T P-r*GMV，然后MT Pmah=sr*T Pr*T P-r*GMV从表达式（21）中，留下来表示（32）为真。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合参考文献[1]P.Artzener、F.Delbaen、J.M.Eber和D.Heth。一致的风险度量。《数学金融》，第3期：203-2281999年。[2] A.Ben Tal和A.Nemirovski。不确定线性规划的鲁棒解。运筹学快报，25:1–13。1999年[3]D.Bertsimas和D.Pachamanova。在存在交易成本的情况下进行稳健的多线程投资组合管理。计算机与运筹学，35:3–172008。[4] 查帕多斯。投资组合选择问题。单周期和多周期模型简介。Springer，2011年。[5] A.Charnes、W.W.Cooper和E.Rhodes。衡量决策单位的效率。欧洲运筹学杂志，2:4294441978。[6] V.DeMiguel和F.J.Nogales。稳健估计的投资组合选择。运筹学，57560–577.2009。[7] V.DeMiguel、L.Garlappi和R.Uppal。最优与单纯的多元化：1/N投资组合策略的效率如何？《金融研究回顾》，181219–1251。2009年【8】D.Diez和N.Christou。股票投资组合包。http://cran.r-project.org/web/packages/stockPortfolio/stockPortfolio.pdf[9] J.R.Doyle和R.Green。数据包络分析的效率和交叉效率：衍生工具、含义和用途。

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2022-5-25 17:49:54

运筹学学会杂志，45:567–5781994。[10] F.J.Fabozzi、D.Huang和G.Zhou稳健投资组合：运筹学和金融的贡献。运筹学年鉴，176:191-2022010。[11] D.U.A.加拉戈德拉。股票市场表现的新视角。《国际金融市场、机构和货币杂志》，26333-357。2013年【12】D.Goldfarb和G.Iyengar。稳健的投资组合选择问题。运筹学数学，28:1-382003。[13] H.Jin、H.M.Markowitz和X.Y.Zhou。关于半方差的注记。《数学金融》，16:53-612006。[14] P.Krokhmal、J.Palmquist和S.Uryasev。具有条件风险价值目标和约束的投资组合优化。《风险杂志》，第4期：2002年11月27日。[15] S.Lim、K.W.Oh和J.Zhu。DEA交叉效率评估在投资组合选择中的应用：在韩国股市的应用。《欧洲运筹学杂志》，236:361–3682014。[16] R.Mansini、W.Ogryczak和M.Grazia Speranza。基于线性规划的投资组合优化二十年欧洲运筹学杂志，234:518–5352014。[17] H.M.马科维茨。投资组合选择。《金融杂志》，第7期：77-911952年。[18] H.M.马科维茨。投资组合选择：有效的投资多元化。约翰·威利父子出版社，纽约，伦敦，悉尼，1959年。[19] D.Nawrocki。下行风险度量的简要历史。《投资杂志》，8:9-251999年。[20] E.P¨at¨ari、T.Leivo和S.Honkapuro。使用数据包络分析提高股票投资组合绩效。《欧洲运筹学杂志》，220，786–797。2012年【21】B.Pfa FF。R.Wiley的金融风险建模和投资组合优化，2013年。[22]T.R.Sexton、R.H.Silkman和A.J.Hogan。数据包络分析：批判与扩展。摘自：Silkman，R.H.（编辑），《衡量效率：数据包络分析的评估》。

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