（32）中的第一个等式以及supQ的低连续性∈M^gJ（Q，·）暗示存在一些β*∈ R如tha tsupQ∈M^gJ（Q，β*) = infβ∈RsupQ∈M^gJ（Q，β）。对于此β*, 归纳假设（31）保证了可选策略的存在（θ*, ^α*) ∈ Θ×Re-1说明（θ*, α*) ∈ Θ×Reis（30）的最佳值，其中α*:= （^α*, β*). 这就完成了证明。定理2.4的证明。由于Θ和Rear是向量空间，因此从定理2.2可以得出πγ（X）=inf（θ，α）∈Θ×结果∈Pγ测井EP经验值γX+（θ·S）T+αg=γsupQ∈Mg公司等式[γX]- H（Q，P）= supQ公司∈Mg公司等式[X]-γH（Q，P）.这个公式意味着πγ在γ中增加，并且通过交换γ和Q上的上限，supγπγ（X）=supQ∈MgEQ【X】。拉特项由（29）与π（X）重合，因此证明是完整的。22 DANIEL BARTLAppendix A.技术证明我们从证明备注2.3、备注2开始。以及第2.3节的声明。备注2.3的证明。1） 设T=d=1，Ohm = R、 S=0，S（ω）=ω，定义P=conv{δx:x∈ [0，1]}，因此NA（P）失败。在（4）中，左手边总是大于或等于X（0），右手边等于X（0），sinceM={δ}。对于选项X=-1{0}，一个简短的计算得出左手边实际上等于0，表明存在间隙。2） 让T=d=1，Ohm = R、 S=0，S（ω）=ω，定义P=conv{δ-1，δx:x∈ （0，1]}。那么NA（P）为真，每个鞅都用H（Q，P）<+∞ 满意度Q({-1} ）>0。特别是对于X：=-∞1个{-1} （4）的右侧等于-∞ 而右手边则令人满意∈RsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS） ]≥ infh公司∈Rlimx公司↓0logexp(-∞) + exp（hx）=logas（δ-1+δx）/2∈ 每x为P∈ （0，1）。要查看最佳策略h∈ Rneeds不存在，取相同的X，但设P={（δ-1+δ）/2}。备注2.5的证明。

我们声称，对于满足经典无套利的任何概率P，可以构造ptp，使得P={P}和NA（Pt（ω））对于每个t和ω都成立∈ Ohmt只画出证据的草图。写入P=P···PT公司-1注释B.2中的核Pt和定义：={ω∈ Ohmt： NA（Pt（ω））失效}。然后它保持snt=πn（ω，h）∈ Ohmt×Rd:Pt（ω）（hSt+1（ω，·）≥ 0）=1和pt（ω）（hSt+1（ω，·）>0）>0o，并根据资产定价的经典基本定理t=π{（ω，Q）∈ Ohmt×P(Ohm) : 均衡器[St+1（ω，·）]=0和Q~ Pt（ω）}。在这两种情况下，π表示投影到Ohmt、 可以看出，投影作用的两个集合都是Borel。因此，NTA和Nctare是分析性的。如果ω，则不确定Pt（ω）={Pt（ω）}∈ Nctand Pt（ω）={δSt（ω）}其他。然后Pthas analyticgraph，由于nti是P下的一个零集，因此P={P}。第2.3节的证明。（a） （6）、（10）和（11）中的图表为B或L：对于（6）定义的P，请注意G：Ohmt×P(Ohm) → [0+∞], （ω，R）7→ dist（R，Pt（ω））/εt（ω）是Borel，因此图Pt={g≤ 1} 是Borel，因此是分析型的。（10）和（11）的证明是类似的。（b） 如果Rth为分析gr aph，则^Ptand Pt：定义：Ohmt×P(Ohm) → Ohmt×P(Ohm), （ω，P）7→ （ω，Poft（ω，·）-1） 注意，g是引理B.1和[7，命题7.26]的Borel。因此，图^Pt=g（图Rt）是一个解析集，作为此类集在Borelfunction下的映像。对于Pt，定义Bor e l functiongn：(Ohmt×P(Ohm))n∩ n×中国→ Ohmt×P(Ohm),（（ωi，Pi）i，λ）7→ 模型不确定性下的（ω，λP+····+λnPn）指数效用最大化∈ N、 在哪里n： ={（ωi，Pi）i∈ (Ohmt×P(Ohm))n： ω=ωifor 1≤ 我≤ n} ，Cn：={λ∈ [0+∞) : λ+···+λn=1}。因此，作为分析集的Borel函数下图像的可数并，图Pt=[ngn图^Pt）n∩ n） ×中国也是一个分析集。（c） 在无套利条件下。我们只证明p阶Wassersteinstance的主张，即。

Rt由（10）给出，Rt的证明由（11）给出，与之类似。固定ω∈ Ohmtand let h∈ R使得hSt+1（ω，·）≥ 0 Pt（ω）-q.s.Ifft（ω，R）={St（ω）}，然后平凡地hSt+1（ω，·）=0 Pt（ω）-q.s。否则，有±∈ 假设±f（ω，y±）>0。现在定义R±：=λ±δy±+（1-λ±）定律X，其中λ±：=1∧ 1/（dist（δy±，定律X）εt（ω））是严格正的，因为Xhas有限的p阶矩。按凸度，距离（R±，定律X）≤ λ±dist（δ±x，定律x）+（1- λ±）距离（定律X，定律X）≤ εt（ω），因此R±∈ Rt（ω）。因此hf（ω，y±）≥ 0，这意味着h=0。（d） 二项式和Black-Scholes模型。A）中的计算A s表明Φt的g图由Φt（ω）定义：=（q、a、b）：p∈ [pt（ω），pt（ω）]，a∈ [at（ω），at（ω）]，b∈ 【bt（ω），bt（ω）】是一个分析集。自：Ohmt×R→ Ohmt×P(Ohm), （ω，p，a，b）7→ （ω，pδa+（1- p） δb）是连续的，因此图Rt=g（图Φt）是一个解析集。布莱克-斯科尔斯模型的证明工作原理类似。下面的引理与[21，引理3.29]有关，其中X被假定为有界的。引理A.1。让X：Ohm → R是可测量的，让P∈ P(Ohm). 然后一个haslog EP[exp（X）]=supQ∈A（等式【X】- H（Q，P）），其中A：={Q∈ P(Ohm) : H（Q，P）+EQ[X-] < +∞}.证据对于每个自然数n，定义QnbydQndP：=exp（X∧ n） EP[经验（X∧ n） 】。那么Qnis等于P，因为ex P（X∧ n） X个-≤ 1，那么X-isintegrable关于Qn。通过P和Qn的等价性，可以将qdp=dqdqndqndpf写入任何Q∈ A、 24 DANIEL BARTLApplying Jensen不等式到凸函数[0，∞) → [-1.∞), x 7→ x log x与“x=dQ/dQn”yieldsH（Q，P）=EQnhdQdQnlogdQdQni+EQhlogdQndPi≥ EQhlogdQndPi=EQ[X∧ n]- 对数EP[exp（X∧ n） ]当（且仅当）Q=Qn时相等。由于Q=Qn的右侧是有限的，因此H（Qn，P）<+∞ 因此，Qn∈ A.

重新排列yieldslog EP[exp（X）]上方不等式中出现的术语∧ n） ]≥ 公式[X∧ n]- 所有Q的H（Q，P）∈ A等于Q=Qn∈ A、 如果X被绑定，则显示索赔。一般情况下，让n趋于完整。事实上，由于集合A不依赖于n，我们可以交换两个suprema并得出这样的结论：log EP[exp（X）]=supnsupQ∈A（等式[X∧ n]- H（Q，P））=supQ∈A（等式【X】- H（Q，P））。在最后一步中使用单调收敛定理是合理的，因为Eq[X-] < +∞ 对于每个Q∈ A.引理A.2。设V和W是两个波兰空间，P，Q∈ P（V×W），表示为P=uK、 Q=u′K′表示度量单位u，u′∈ P（V）与广义可测核K，K′：V→ P（W）。然后一个hasQ<< P当且仅当u′时<< u和K′（v）<< K（v）表示u′-几乎所有v.Proof。如果u′<< u和K′（v）<< K（v）对于u′-几乎每v，从定义可以得出Q<< P事实上，对于纽约Borel来说 V×W使得0=P（A）=Eu（dv）[K（V）（Av）]，它保持Q（A）=Eu′（dv）[K′（V）（Av）]=0。这里，Av：={w∈ W：（v，W）∈ A} 。另一个方向需要更多的工作。ide a是为了证明广义Dradon-Nikodym导数（参见[21，定理a.13]）相对于核是可测量的。假设Q<< P并首先注意u′<< u。如果情况并非如此，则对于某些钻孔，u′（A）>0，而u（A）=0 V表示q（A×W）=u′（A）>0，但P（A×W）=0。我们继续展示核的绝对连续性。请注意，映射P（W）×P（W）×W，（R′，R，W）7→dR′dR（w）可以显示为Bo-rel，其中dR′/dR表示R′的绝对连续部分相对于R的Radon-Nikodym导数。由于Doob的原因，这个结果可以在[16，定理V.58]和随后的注释中找到。HenceV×W→ P（W）×P（W）×W，（v，W）7→ （K（v），K′（v），w）是普遍可测的。

因此，由于（R，R′）7→ （R+R′）/2是Borel，它遵循Thatz:V×W→ [0+∞],Z（v，w）：=dK′（v）d（K（v）+K′（v））/2（w）dK（v）d（K（v）+K′（v））/2（w）-1模型不确定性下的指数效用最大化25是普遍可测量的，按照惯例x/0：=+∞ 对于所有x≥ 如[21，定理A.13]中所述的横向正向计算得出K（v）（Z（v，·）=+∞) = 0，K′（v）（B）=K′（v）（B∩ {Z（v，·）=+∞}) + EK（v）[1BZ（v，·）]对于任何普遍可测集B 因此，k′（v）<< K（v）当且仅当K′（v）（Z（v，·）=+∞) = 0、走向矛盾，假设所有这些v的集合都没有完整的u′度量，并定义普遍可度量集合a：{（v，w）：Z（v，w）=+∞}.ThenQ（A）=Eu′（dv）[K′（v）（Z（v，·）=+∞)] > 0，而另一方面，P（A）=Eu（dv）[K（v）（Z（v，·）=+∞)] = 这与Q与P的绝对连续性相矛盾。引理4.3的证明。目的是证明h（Q，P）=T-1Xs=tEQ【H（Qs（·），Ps（·））】。（33）（a）我们首先对随后出现的术语的可测量性进行了评论。修复somet≤ s≤ T- 注意引理A.2的证明Ohms-t型→ P(Ohm) ×P(Ohm), ω7→ （Qs（(R)ω），Ps（(R)ω））是普遍可测量的。由于熵H是引理4.2的Bo rel，可以检查Ohms-t型→ [0+∞], ω7→ H（Qs（'ω），Ps（'ω））是普遍可测的。类似地，在引理A.2的证明中，使用Doob关于theRadon-Nikodym导数可测性的结果，可以得出如下结论：Ohms-t×Ohm→ [0+∞], （\'ω，ω′）7→dQs（ω）dPs（ω）（ω′）是普遍可测量的。此外，根据[7，引理7.29]，如果ω∈ Ohms-固定在上述映射中，后者被视为ω′的函数。（b） 引理A.2的直接应用表明Q<< P当且仅当Qs<< PsQt ···  Qs公司-1-几乎可以肯定≤ s≤ T- 1，在s=t的情况下，上述应理解为QT<< Pt。

这意味着，每当Q与respe c tto P不是绝对连续时，（33）中的两边都等于+∞. 因此，我们可以假设Q<< P那么dQ/dP可以表示为dQs（·）/dPs（·）的乘积，其中s的范围是从t到t- 因此，对于任何t≤ s≤ T- 1，如下等式logdQs（·）dPs（·）-i=EQt···Qs公司-1hEPs（·）HDQ（·）dPs（·）logdQs（·）dPs（·）-二≤ 1，其中自x（log x）起最后一个不等式成立-≤ 1代表所有x≥ 通过可积性，相同的步骤可以在没有负部分的情况下重复，使得h（Q，P）=EQhlogdQdPi=T-1Xs=tEQhlogdQs（·）dPs（·）i=T-1Xs=tEQ[H（Qs（·），Ps（·））]26丹尼尔·巴特拉斯声称。引理4.6的证明。首先，我们声称∈ Θ和0≤ t型≤ T- 1，存在一个普遍可测量的映射^ht：Ohmt型→ Rd使得et（ω，x+（θ·S）t（ω））（34）=支持∈Pt（ω）log EP[exp（Et+1（ωt·，x+（θ·S）t（ω）+^ht（ω）对于所有ω，St+1（ω，·））]∈ Ohmt、 为此，请∈ Θ，0≤ t型≤ T- 1，并回顾FTA被定义为Borelσ-field在Ohmt、 从定理4.1证明的第一部分，我们已经知道，对于所有ω，Et（ω，x）=Dt（ω）+x∈ Ohm串联x∈ R，dt是上半解析的，尤其是Ft可测量的。这意味着Etis Ft B（R）-可测量。定义函数φ（ω，x，h）：=supP∈Pt（ω）log EP[exp（Dt+1（ωt·）+x+hSt+1（ω，·））]。对于固定x和h，从[7，建议7.47]（如定理4.1证明的第一部分）可以看出φ（·，x，h）是上半解析的。此外，对于固定ω，Fatou引理的应用（如定理3.1证明的第（b）部分）表明φ（ω，·，·）是下半连续的。因此，我们可以通过[10，引理4.12]得出结论，φ是Ft B（R） B（Rd）-可测量。

现在fixx∈ R和定义集值映射Φ（ω）：={h∈ Rd：φ（ω，x+（θ·S）t（ω），h）=Et（ω，x+（θ·S）t（ω））}。根据定理3.1，它保持Φ（ω）6= 根据上面的图表，它的单位是英尺 B（Rd）。因此，根据[30]中的Theo-rem 5.5，或者更确切地说是推论和scholim之后，Φ允许Ft-可测量选择器^ht。为了结束对mma的证明，定义θ*s： =0表示s≤ t、 设^htbe a optimalty strategy for time t and defineθ*t+1：=^ht。根据上述内容，有一个通用的可测量映射^ht+1：Ohmt+1→ R使得（34）保持t+1。定义θ*t+2：=^ht+1。在递归问题中处理直到t=t，我们构造*∈ Θ这完全符合引理的要求。附录B.分析集我们简要回顾了使用的术语，并简要概述了分析集的理论；有关更多详细信息，请参见Bertsekas和Shreve的书中的第7章【7】。贯穿始终，固定两个抛光空间V和W。如果一个波兰空间的子集是另一个波兰空间在aBorel函数下的Borel集的图像，则该子集称为解析。类似地，函数f:V→ [-∞, +∞] 是上半解析的，如果{f≥ c} V是每个实数c的分析集。进一步定义B（V）为V上的Borelσ场，P（V）为B（V）上的所有概率测度集。集P（V）具有由所有连续有界函数诱导的弱拓扑，即σ（P（V），Cb（V））。然后P（V）本身就变成了一个抛光空间。V的普遍可测子集定义为{B（V）P:P∈ P（V）}，其中B（V）Pis是关于概率P的B（V）的完成。A功能f:V→ 如果{f，则称W是普遍可测的∈ B} 对于每个B∈ B（W）。从每个Borel集都是分析集这一定义出发，从Lusin定理（见[7，命题7.42]）来看，每个分析集都是普遍可测的。

如果我们在前一句中用模型不确定性27函数下的指数效用最大化来代替集合，当然也是如此。一个集值函数ψ：V→ 我们说W有解析图，如果图ψ：={（v，W）：v∈ 五、 w∈ ψ（v）} V×w是一个解析集。最后，给定一个集P P（V），a集N 对于所有P，V被称为P-polarif P（N）=0∈ P、 类似地，如果一个适当的ty在P极集合外成立，则它被认为是P准肯定的（简称q.s）。可以很容易地验证（v，P（dw））7→ EP[X（v，·）]是连续的，当verX:v×W时→ R是一致连续且有界的。下面的LemAgeneralized对此进行了说明。引理B.1（[7，命题7.29/7.46/7.48]）。设X:V×P（W）×W→ [-∞, +∞]是Borel/上半解析/普遍可测量的。然后映射V×P（W）→ [-∞, +∞], （v，P）7→ EP[X（v，P，·）]是Borel/上半解析/普遍可测的。证据根据给定的可测性，证明是对[7]中命题7.29/命题7.46/命题7.48的应用。实际上，使用[7]的符号，定义了Borel空间X：=V×P（W）和Y=W，以及Borel/uppe r半解析/通用可测映射f:X×Y→ [-∞, +∞]f（x，y）=f（c，P，w）：=x（v，P，w），Borel核q（dy，x）=q（dw，（v，P））：=P（dw）。通过上述位置，映射V×P（W）=X→ [-∞, +∞],（v，P）=x 7→Rf（x，y）q（dy，x）=EP[x（v，P，·）]是Borel/uppe r半解析/普遍可测的。备注B.2。利用分解定理，每个概率P∈ P（V×W）可以写成P=u K、 其中u∈ P（V）和K:V→ P（W）是Borel。事实上，可以以如下方式构造内核K：映射V×P（V×W）→ P（W），（v，P）7→ K（v）是Borel；见【7，提案7.27】。参考文献【1】B.Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer。

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