无界模型不确定性下的指数效用最大化

2022-5-25 17:54:40

模型不确定性下无界禀赋的指数效用最大化*摘要我们考虑离散时间内的鲁棒指数效用最大化问题：投资者通过动态投资金融市场和静态不可用期权，最大化关于一系列非占优概率模型的最坏情况预期指数效用。我们表明，对于任何可测量的随机禀赋（无论问题是否确定），存在一个最优策略，一个（校准的）鞅测度的对偶表示成立，并且该问题满足动态规划原理（在没有选项的情况下）。进一步证明了当风险规避参数变大时，效用最大化问题的值收敛于鲁棒超边际价格，并讨论了非支配概率模型的例子。本文研究了不确定时间下的鲁棒指数效用最大化问题。这里，“鲁棒性”一词反映了真实概率模型的不确定性，以及对整个模型家族的考虑。这并不是一个新概念，自论文【23】和【31】发表以来，这一概念受到了广泛的关注，有关概述，请参见【1、5、6、10、11、13、18、25、35、39、41】和【14】。为了更准确地说明我们的问题，给定指数效用函数u（x）：=-经验值(-γx）当风险规避参数γ>0，概率模型P和代理人随机禀赋x的可能非支配集时，我们对优化问题SUP（θ，α）感兴趣∈Θ×ReinfP∈PEP[U（X+（θ·S）T+α（g- g））]。（1）这里是g，geare交易期权，可在时间0买入和卖出，价格为g。

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2022-5-25 17:54:43

，ge，集合Θ包括（贴现）股票S和（θ·S）T+α（g）的所有可预测动态交易策略- g）是半静态交易策略的结果（θ，α）∈ Θ×Re。在研究优化问题（1）时，第一个直接的问题是，是否有一个最优策略（θ，α）（应在所有模型下同时确定）∈ P）退出。由于缺乏一个衡量所有z ero设置的指标，日期：2019.2010年2月12日数学科目分类。91B16、49L20、60G42。关键词和短语。效用最大化、稳健金融、对偶性、动态规划。*丹尼尔康斯坦茨大学数学系。bartl@uni-康斯坦茨。作者要感谢迈克尔·库珀和两位匿名裁判的宝贵评论。作者得到了奥地利科学基金（FWF）Y00782.2 DANIEL BARTLand的资助。因此，Komlos定理等经典论点的失败是不平凡的。我们的第二个兴趣在于关于线性定价测度的对偶表示的有效性，即如果（1）等于-经验值- infQ公司∈MγEQ[X]+H（Q，P）,其中，M表示股票S的所有鞅测度Q的集合，这些鞅测度被校准为期权（即EQ【gi】=gifor1≤ 我≤ e）其中鲁棒熵H（Q，P）是有限的。最后，我们研究（1）是否满足动态规划原则（如果没有选项），这意味着可以局部分析问题，然后将所有内容“粘合”在一起。

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2022-5-25 17:54:47

特别是r，这意味着，如果一个星在某个正时间t求解优化问题，则在时间0时最优的策略将再次最优。本文的主要贡献是表明，在弱假设下，可以对所有三个问题给出肯定的答案，即最优策略的存在性、对偶性和动态规划，见定理2.1和定理2.2。此外，如果风险平均参数γ趋于一致，则（1）的缩放版本收敛到最小超边际价格X，见定理2.4。事实上，我们采用了Bouchard和Nutz在里程碑pa per【10】中建议的设置，并通过最优控制的手段表明，对于任何无界可测（下半解析）随机禀赋X（无论优化问题（1）是否确定），存在性、对偶性和动态规划原理都成立。不用说，效用最大化是数学金融中的一个重要话题，从[28，34]开始。在指数效用函数的情况下（尽管在连续时间和非稳健设置下），[22]和[15]是第一个证明其存在性和可证明性的，这导致了进一步的分析，例如，在不完全市场和交易不足约束下，最优值和解的BSDE特征在[26]中给出，[32]研究了风险规避参数γ的动力学和渐近性。在存在不确定性的情况下，从[42]和[43]开始，在假设P占主导地位的情况下，获得了最新结果，如[2，24，40]。

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2022-5-25 17:54:51

关注非支配集P的文献仍然是可以理解的，并且在连续时间内的结果见[18，33，35]。在当前设置（即离散时间和非支配集P）中，动态规划原理和最优策略的存在性如【39】所示，其中作者考虑定义的随机效用函数Ohm ×R+满足一定的有界性（这将对应于在我们的设置中从下方有界的随机禀赋）。最近，有三篇论文概括了[39]的结果。在[8]中，rando多重性的有界性（仍定义在正实线上）被某种可积条件和动态规划所取代，并显示了最优策略的存在性。在[36，37]中，随机效用函数（在第二项工作中可能是非协整函数）不再定义在正实线上，而是满足与[39]类似的确定有界性。此外，市场更为普遍和包容。g、交易约束或比例交易成本。【9】显示了效用差异价格（与超高价格）的趋同。

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2022-5-25 17:54:54

另一方面，对偶性在[14]的第4.2节中显示，在随机禀赋X的se t Pand（半）连续性的完全条件下。模型不确定性3下的指数效用最大化为了减轻符号，我们将在不缺乏一般性的情况下假设交易期权的价格为0，而不是（1），考虑等价问题inf（θ，α）∈Θ×结果∈Plog EP[实验（X+（θ·S）T+αg）]。很明显，这两个问题都是一对一的，除了原始问题中endowmentX的所有结果都适用于-本文的其余部分组织如下：第2节包括背景、所有主要结果、假设讨论和一些示例。第3节和第4节分别讨论了单周期和一般情况下的证明。最后，附录A给出了技术证明，附录B.2简要介绍了解析集理论。主要结果2.1。背景关于无套利条件的变化（在标记2.5中讨论），我们在Bouchard和Nutz[10]提出的设置中工作，如下所述。附录B简要讨论了分析集和基因ral术语Ohm成为单身汉Ohm成为一个抛光空间。固定，T∈ N、让Ohmt： =Ohmt、并确定Ft为钻孔∑现场的普遍完工Ohmt对于ea通道0≤ t型≤ T为了简化符号，我们表示(Ohm, F） =(OhmT、 FT）并经常考虑OhmTA的子集Ohm. 对于s<t，一些固定ω∈ Ohms、带域的函数XOhmt、我们认为X（ω，·）是一个具有域的函数Ohmt型-s、即。Ohmt型-s ω′7→ X（ω，ω′）。对于每个0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmt、概率Pt（ω）有一个给定的凸非空集 P(Ohm), 考虑到历史ω，可以看到时间t+1时股票价格的所有可能概率情景。

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2022-5-25 17:54:57

自始至终的假设是，股票St：Ohmt型→ Rdis Borel和集值映射Pthas解析图。后者尤其确保P：={P=P ··· PT公司-1： Pt（·）∈ Pt（·）}（2）不为空。这里，每个Pt都是Pt的选择器，即一个普遍可测量的函数Pt：Ohmt型→ P(Ohm) 满足Pt（ω）∈ 每个ω的Pt（ω），概率POhm ISD由P（A）定义：=ROhm···ROhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT-1，dωT）···P（dω）。所有动态交易策略集由Θ和元素θ表示∈ Θisa矢量θ=（θ，····，θT）由Ft组成-1-可测映射sθt：Ohmt型-1.→ Rd.根据动态策略θ开始时间s，交易时间t的结果≤ t由（θ·S）ts得出：=θS+1Ss+1+····+θtSt，其中Su：=Su- 苏-1和θuSu：=Pdi=1θiuSiUI是内部产品。由于P具有动态形式，可以考虑局部和全局无套利条件：如果（θ·S）T≥ 0 P-q.s.意味着（θ·s）T=0 P-q.s∈ 以及局部NA（Pt（ω））条件（对于固定的0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohm)如果hSt+1（ω，·）≥ 0 Pt（ω）-q.s.表示hSt+1（ω，·）=0 Pt（ω）-q.s.每小时∈ 在本文中，我们假设Na（Pt（ω））每0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmt、（3）4 DANIEL BARTLNote，这一假设纯粹是技术性的，因为只有当所有ωs的集合（如NA（Pt（ω））对某些t失效时，NA（P）才成立，在所有P下为零∈ P、有关讨论，请参见【10，定理4.5】和备注2.5。最后，定义=Q∈ P(Ohm) : S是Q和H（Q，P）<+∞,是具有有限鲁棒entropyH（Q，P）的鞅测度集：=infP∈PH（Q，P），其中H（Q，P）：=（EPdQdPlogdQdP如果Q<< P+∞ 其他的在整个公约中，EP[X]：=EP[X+]- EP【X】-] 带EP[X]：=-∞ ifEP【X】-] = +∞ 有效；特别地，X对于P是可积的当且仅当EP[X]∈ R、 2.2。

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2022-5-25 17:55:02

主要结果。定理2.1（无选项）。让X：Ohm → (-∞, +∞] 是上半解析的。然后是INFθ∈ΘsupP∈Plog EP经验值X+（θ·S）T= supQ公司∈M等式[X]- H（Q，P）（4）这两项不等于-∞. 此外，在∈ Θ得到，优化问题满足动态规划原理；最后一条语句的精确公式见定理4.1。除了先前的设置外，还应假定∈ N∪{0}选项（e=0对应于无选项的ca se），即Borel函数g，通用电气：Ohm → R、对于价格z e ro，在时间t=0时可用。半静态交易策略的结果（θ，α）∈ Θ×Reequals（θ·S）T+αg，其中αg：=Pei=1αigi再次表示内积。除了已经引入的无套利条件外，假设（θ·S）T+αg≥ 0 P-q.s.意味着（θ·s）T+αg=0 P-q.s.对于每个策略（θ，α）∈ Θ×Re。定理2.2（带选项）。固定Borel函数Z：Ohm → [0+∞) 使| gi |≤ Z代表1≤ 我≤ e和let X：Ohm → R是满足| X |的上半解析函数≤ Z、然后它保持sinf（θ，α）∈Θ×结果∈Plog EP经验值X+（θ·S）T+αg= supQ公司∈Mg公司等式[X]- H（Q，P）,其中Mg表示所有Q的s et∈ M，等式[Z]<+∞ 对于1，等式[gi]=0≤ 我≤ e、此外，上限（θ，α）∈ Θ×Reis达到。备注2.3.1）无套利条件NA（P）至关重要。

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2022-5-25 17:55:05

事实上，即使（4）中的双方都不接受该值-∞, 条件NA（P）不需要保持–nordoes方程（4）；如果允许X取值，请参见附录A.2-∞ 在定理2.1中，最优策略的对偶North存在性都不成立；一般见附录dix A.3），由于P的上确界∈ P、（4）中的极小值θ不是唯一的，并且没有达到Q上的上确界。4）在定理2.1中，集合M可以替换为M（Y）：={Q∈ M：等式【Y】<+∞}, 其中Y：Ohm → [0+∞) 是这样的任意函数- Y是上半解析的。定理2.2也是如此，即可以替换MgbyMg（Y）：={Q∈ Mg：等式【Y】<+∞}.模型不确定性下的指数效用最大化5另一个有趣的问题是风险规避参数γ中优化问题的渐近行为研究，参见例[32]。让我们给出一些动机：通常是辅助价格π（X）：=inf{m∈ R:m+（θ·S）T+αg≥ X P-q.s.对于某些（θ，α）∈ Θ×Re}极高。shr-inkingπ的一种自然方式是以“受控”的方式允许m+（θ·S）T+ug<x的正概率，参见例[14，20]。更重要的是，定义πγ（X）：=infnm∈ R：支持∈Pγlog EP[经验（γ（X- m级- （θ·S）T- αg））]≤ 0对于某些（θ，α）∈ Θ×Reo对于每个风险规避参数γ>0。然后πγ（X）≤ 定义的π（X）和自exp（γX）/γ→ +∞1（0+∞]（x） asγ→ +∞, 一个明显的问题是，对于不断上涨的价格，情况是否也是如此。定理2.4（熵对冲）。在定理2.2的设置中，它保持π（X）=limγ→+∞πγ（X），γ中的极限是γ>0的上确界。备注2.5。我们要求NA（Pt（ω））对每个ω保持不变，而不是像Bouchard和Nutz[10]中那样仅对P-拟每个ω保持不变的原因如下。为了应用一个期间的结果（即。

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2022-5-25 17:55:10

对偶性和最优策略的存在性）对于局部问题Et（ω，x）（参见（18）的精确定义），需要t hatEt+1（ωtω′，x）>-∞ 对于Pt（ω）-拟全ω′∈ Ohm, 参见备注2.3中的第2）点。然而，为了确保后者，NA（Pt+1（ωtω′）需要对Pt（ω）-拟ω′保持不变∈ Ohm. 由于集合Nt+1：={ω∈ Ohmt+1:NA（Pt（|ω））失效}仅是普遍可测的，不清楚该条件是否适用于“足够多”ω∈ Ohmt、如果只有一个度量（即P={P=P ··· PT公司-1} 这个问题有一个简单的解决方案：因为每t的P（Nt）=0，可以通过▄Pt:=PtNct+δStNt重新定义。然后P=~P ··· PT-1和▄Pt（ω）：={▄Pt（ω）}有解析图（附录a给出了证明）。在一般P的设置中也可以这样做，只要要求集合Nt为Borel；否则▄Pt:=PtNct+{δSt}1ntt的图不需要分析。最后请注意，P是通过集s Pt定义的（而不是相反），这意味着对于每个ω，NA（Pt（ω））保持不变的假设似乎对应用没有限制；另见第2.3节。最近，使用一种不同的方法，[17]能够摆脱这种假设备注2.6。（技术上但至关重要）假设Ptis分析图有两个后果：它允许可测量的选择参数，并允许确定逐点条件次线性期望，即确保e（X|Ohmt）（ω）：=支持∈ω的Pt（ω）EP【X（ω，·）】∈ Ohm接地X：Ohmt+1→ 当X为[10，38]时，R（5）是ω的上半解析映射。反之亦然：给定一个任意的次线性条件期望E（·）|Ohmt）（满足某种连续性），总是存在一个集值映射Pt，其解析图如（5）成立[3，定理1.1]。

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2022-5-25 17:55:16

类似地，P的“时间一致性”（2）等同于塔的性质【3，定理1.2】。6 DANIEL BARTL2.3。示例。在这一节中，我们讨论了一种证明给定可能性的一般方法，并给出了金融模型的应用。所有非平凡的主张都在附录A的开头得到了证实。在许多情况下，物理度量不是先验的，而是收集数据和估计的结果。特别是，es激励不等于，而只是“收敛”（随着数据越来越丰富）到实际未知的物理度量。因此，考虑这一点的一种非常规方法是在估计量P中加入一些“邻域*= P* ··· P*T-1，即定义t（ω）：={P∈ P(Ohm) : 距离（P，P*t（ω））≤ εt（ω）}。（6）顾名思义，这里是dist：Ohm×Ohm→ [0+∞]可以认为是距离和εt：Ohmt型→ [0+∞] 就像邻居的大小一样。如果距离，εt（和P*t）从现在起，Borel是一个长期假设，然后是Pthasanalytic gr aph。如果dist实际上是一个度量或至少ful fills dist（P，P）=0，则Ptare的值也非空。由于距离应与估计相符，自然选择包括顺序p的瓦瑟斯坦距离，更一般地说，运输成本，即距离（Q，p）：=infnZOhm×Ohmc（x，y）∏（dx，dy）：在产品上的所有测量都采用最小值∏∈ P(Ohm×Ohm) 带∏（·×）Ohm) = Q和∏(Ohm×·）=P和c：Ohm×Ohm→ [0+∞] 是一个给定的lowersemicontinuous函数（“cost”）。这包括p阶的Wasserstein距离；那么成本c等于Ohm至功率p；参见[45]中的第5章和第6章。这种可追踪距离有许多优点，例如，除了度量弱收敛外，它还控制尾部的可积性。在这种情况下，PthasExc凸值。

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2022-5-25 17:55:20

此外，[4]提供了一个有限维公式，用于计算基线分布的Wasserstein邻域中所有概率的最坏情况期望。当基础动态的特定模型固定且只有参数不确定时，也可以应用上述方法。为了简单起见，假设Ohm = RT，St（ω）=ω是一维股票的正则空间。我们用两个具体的例子来说明：二项式模型，它读取每个t和ω的asSt+1（ω，·）=St（ω）+B（·）（7）∈ Ohmt此处B：Ohm→ R是二元分布，是Black-Scholes模型的离散版本，其读数为asSt+1（ω，·）=St（ω）ut+σW（·）（8）其中u∈ R、 σ，t>0，且W：Ohm→ R为正态分布，均值为0，方差为t；我们写作W~ N（0，t）。定义ft（ω，x）：=St（ω）+x，x：=二项式的二进制情况，以及ft（ω，x）：=St（ω）x，x：=ut+σW在Black-Schole模型中，可以用更一般的形式ST+1（ω，·）=ft（ω，X（·）），（9）来表示，其中ft：Ohmt×R→ R和X：Ohm→ R是Borel。就分布而言，（9）表示除定律St+1（ω，·）=R以外的任何东西o f（ω，·）-1，其中R：=定律X。模型不确定性下的指数效用最大化7因此，对形式（9）的给定模型进行鲁棒化的标准方法是用s et Rt（ω）替换上述等式中的R P(Ohm), 定义^Pt（ω）：={定律St+1（ω，·）=Ro f（ω，·）-1： R∈ Rt（ω）}。例如，根据本节的第一部分，可以取一些邻域rt（ω）={R∈ P(Ohm) : 距离（R，定律X）≤ εt（ω）}，（10）或者，如果数据更少，人们可能会认为rt（ω）：={R∈ P(Ohm) : ER[φit（ω，·）]≤ 1对1≤ 我≤ n} （11）对于某些给定的Borel函数φt，φnt：Ohmt×Rd→ R是一个很好的选择。

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2022-5-25 17:55:23

这里，ifinfxφit（ω，x）≤ 0表示所有i，ftin（9）表示St（ω）位于每个ω的ft（ω，Rd）的相对内部∈ Ohmt–通常是完全满足的假设–然后得出每个t和ω的（11）满足NA（Pt（ω））的模型。对于（10）定义的RTF，在上述ftif假设下，该公式成立。例如，dist是p阶的theWasserstein距离，X有一个有限的p阶矩。在技术层面上，由（11）定义的RTD有解析图，^Ptand Pt也有解析图，后者开始定义为Pt（ω）：=co nv^Pt（ω）是^Pt的凸包。（10）中定义的RTE同样适用。示例2.7（二项式模型）。除上述内容外，二项式模型的另一个自然推广是允许跳跃大小和概率在某些间隔内取值（这可能取决于时间t和过去ω∈ Ohmt）。这对应侵权（ω）：=pδa+（1- p） δb:p∈ [pt（ω），pt（ω）]，a∈ [at（ω），at（ω）]，b∈ 【bt（ω），bt（ω）】其中0<pt≤pt<1，at≤在<0<bt时≤btare Borel函数。这里δAdonetest点a处的Dirac测度。注意，NA（Pt（ω））对于每个tandω都是非常满意的。关于连续时间的Black-Scholes模型，有一种广受欢迎且经过充分研究的鲁棒性方法，请参见。【41】：考虑在某些给定区间内具有u和波动率σ的所有模型（8）。但是，这可以像前一个示例中那样进行，然后每个Pt（ω）以及由此产生的族P都是支配的（由Lebesgue度量）。在目前的离散时间设置中，放弃对W英寸（8）。示例2.8（Black-Scholes）。固定两个Borel函数ut：Ohm→ R和σt：Ohm→（0+∞), 设εtand dist如上所示。现在衰减（ω）：=R* Δut： u∈ [ut（ω），ut（ω）]和dist（R，N（0，σt（ω））t）（）≤ εt（ω）,其中R* Δutdenotes卷积R* Δut（A）：=R（A- ut）。

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nandehutu2022

2022-5-25 17:55:26

因此，集合^ptthere对应于具有漂移和波动不确定性的Black-Scholes模型，即考虑所有模型SST+1（ω，·）=St（ω）ut+Y,u∈ [ut（ω），ut（ω）]，y的定律是εt（ω）接近t到N（0，σt（ω）t）同时。为了与原始模型更为一致，还可以要求R（resp.Y）在Rt定义中的平均值为0。请注意，对于距离的任何合理选择（如Wasserstein），集合Pt（ω）满足我们的所有假设。8丹尼尔·巴特3。单周期settingLet的证明(Ohm, F）是一个有一系列概率测度的可测空间 P(Ohm). 进一步让我们∈ RDS和S：Ohm → Rdbe可测量和写入S：=S- S、我们写h∈ Θ=Rdfor trading strategies，并假设无a rbitrageNA（P），即hS≥ 0 P-q.s.表示h每小时S=0 P-q.S∈ Rd.给定一些随机变量Z：Ohm → [0+∞), 用m（Z）={Q表示∈ P(Ohm) : 均衡器[|S |+Z）+H（Q，P）<+∞ 和EQ[S] =0}具有有限熵和积分Z的一组可度量值。以下是本节的主要结果。定理3.1。固定随机变量X：Ohm → (-∞, +∞]. 然后有一个∈RdsupP公司∈Plog EPexp（X+hS）= supQ公司∈M（Y）等式[X]- H（Q，P）（12）对于每个随机变量Y：Ohm → [0+∞) 这两项不等于-∞.此外，h上的最小值∈ 达到Rdis。在定理3.1的证明过程中显示了以下引理，该引理在多周期情况下非常有用。引理3.2。让Xn：Ohm → (-∞, +∞] 是一个随机变量序列，逐点递增到X。然后它保持不变∈RdsupP公司∈Plog EPexp（Xn+hS）= infh公司∈RdsupP公司∈Plog EPexp（X+hS）,i、 e.优化问题从下面开始是连续的。引理3.3。固定随机变量X：Ohm → R

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2022-5-25 17:55:30

然后是哈苏普∈Plog EP[试验（X+hS） ]=supQ∈C等式[X+hS]- H（Q，P）每小时∈ Rd，其中c：={Q∈ P(Ohm) : 等式[| X |+|S |+Y]+H（Q，P）<+∞}和Y：Ohm → [0+∞) 是任意随机变量。证据（a）定义Z：=X+hS和fix a度量值P∈ P、它源于众所周知的期望指数效用表示和单调收敛定理，即log EP[exp（Z）]=supQ∈AP（等式[Z]- H（Q，P）），（13），其中P：={Q∈ P(Ohm) : 等式[Z-] + H（Q，P）<+∞}.为了完整性，引理a.1中提供了一个证明。我们声称可以用CPin（13）代替apn，而不改变上确界的值，其中cp：={Q∈ P(Ohm) : 等式[| X |+|S |+Y]+H（Q，P）<+∞}.由于CPI是AP的子集，因此有必要显示纽约Q∈ AP，存在一个序列Qn∈ CPsuch该等式n【Z】- H（Qn，P）收敛到等式[Z]- H（Q，P）。为此，请确定一些Q∈ APand defineqn：=Q（·| Bn），其中Bn：={| X |+|S |+Y≤ n} 模型不确定性9下的指数效用最大化，对于所有足够大的n，使得Q（Bn）>0。那么它怎么会ldsdQndP=BnQ（Bn）DQD和自Bn以来↑ Ohm, 一个straightforwar d计算表明h（Qn，P）=EPhBnQ（Bn）dQdPlogdQdPi- 对数Q（Bn）→ H（Q，P）。尤其是H（Qn，P）<+∞ 从X开始，S、 Y可与Qn积，因此Qn∈ CP.此外，Z的可积性-用r e spect to q保证方程n[Z]到方程Z的收敛性，从而得到reEQ[Z]- H（Q，P）=limn（EQn[Z]- H（Qn，P））≤ supQ公司∈CP（等式[Z]- H（Q，P））。在所有Q上取上确界∈ Ap提出索赔。（b）为了证明这一点，我们要做一个简单的观察，即c e等于P通过P的unionover CPP。这意味着∈Plog EP[经验（Z）]=支持∈PsupQ公司∈CP（等式[Z]- H（Q，P））=supQ∈C（等式[Z]- H（Q，P）），其中第一个等式来自s步骤（a）。引理3.4。相对熵H是联合凸的。此外，引理3.3中定义的函数h（·，P）和集C是凸的。证据

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2022-5-25 17:55:33

由[21，引理3.29]可知h（Q，P）=sup{EQ[Z]- lo g EP[exp（Z）]：Z是一个边界随机变量}。对于任何此类Z，函数（Q，P）7→ 等式[Z]-log EP[exp（Z）]是凸的。因此，H作为凸函数的上确界，其本身是凸的。此外，P的凸性使得H（·，P）和C是凸的。在定理3.1的证明中，重要的是0∈ ri{等式[S] ：Q∈ C} 其中C在引理3.3中定义，ri表示相对内部。为了得到其想法，为简单起见，假设d=1S不是P-拟线性等于0。然后，在无ar比特率条件下，存在两个测量值±P±（±）S>0）>0。现在定义λ：=λP+（·| 0<S、 | X |，Y<n）+（1- λ） P-（·|- n<S-|X |，-Y<0），对于足够大的n和每个λ∈ [0，1]。然后是X，S、 Y是关于Qλ的可重积的，因为[S] <0，等式[S] >0之后是0∈ int{等式λ[S] ：λ∈ [0，1]}。作为Qλ相对于（P++P）的密度-)/2.∈ P是有界的，itholds H（Qλ，P）<+∞ 因此Qλ∈ C、引理3.5（[10，引理3.3]）。设X，Y：Ohm → R是随机变量，假设Y是非负的。那么一个有0∈ ri{等式[S] ：Q∈ C} 其中，C在引理3.3中定义。证据尽管[10，引理3.3]指出0∈ ri{等式[S] ：Q∈ Θ}对于集合Θ={Q:EQ[| X |+|S |+Y]<+∞ 和Q<< P代表一些P∈ P} ，构造测度Q具有关于someP的有界密度dQ/dP∈ P、尤其是H（Q，P）是有限的。校样可以逐字复制。10 DANIEL Bartl在准备证明主要定理之前，需要对RDI分解为相关和不相关策略进行最后一次观察。用suppP表示S rds的最小闭子集，使得S（ω）∈ 支持Sfor P-拟每ω；se e[1 0，引理4.2]。

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2022-5-25 17:55:36

进一步为包含给定集合A的最小线性空间写lin A Rd和L⊥:= {h∈ Rd：所有l的hl=0∈ 五十} 线性空间L的正交复形引理3.6（[39，引理2.6]）。定义L：=lin支持S、然后一个有h∈ L⊥当且仅当hS=0 P-准肯定。定理3.1和引理3.2的证明。在步骤（a）中，在假设X从上方有界的情况下显示了对偶性。优化器h的存在性∈ 在步骤（b）中，同时证明了RDA和下面的连续性。最后，在步骤（c）中，将（a）和（b）的结果结合起来，以扩展到无界随机禀赋。（a）在这一步中，假设X从上方有界，这意味着存在一些常数k，使得X（ω）≤ k表示每ω。目标是展示以下双重代表性∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS） ]=supQ∈M（| X |+Y）（等式[X]- H（Q，P））。（14）根据引理3.3，它保持∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS） ]=infh∈RdsupQ∈C等式[X+hS]- H（Q，P）其中C：={Q∈ P(Ohm) : 等式[| X |+|S |+Y]+H（Q，P）<+∞}.因此，如果交换h上的最小值∈ Rd和Q上的上确界∈ 可能的话，（14）将从infh开始∈RdEQ[小时S] =-∞ 当Q不是鞅测度时。在下面的内容中，我们将讨论为什么一个人实际上可以互换内界和上界。定义：=lin{等式[S] ：Q∈ C} 注意，如果Γ={0}，那么C=M（| X |+Y）和等式[hS] =所有h为0∈ Rd和Q∈ 这样就没有什么可以证明的了。因此，在后半部分中，假设Γ6={0}，并设{e，…，er}为Γ的正交基。此外，为了简化符号，定义函数J:C×Rd→ R、 J（Q，h）：=hEQ[S] +等式[X]- H（Q，P）。通过引理3.4，集合C和函数H（·，P）是凸的，这表明J（·，H）对于所有H都是凹的∈ 此外，J（Q，·）是所有Q的协凸∈ C

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2022-5-25 17:55:39

因此，[44，定理4.1]给出了rinfh的一个充分条件∈RdsupQ∈CJ（Q，h）=supQ∈Cinfh公司∈RdJ（Q，h）为真，即（对于每个c<infh∈Rd supQ∈CJ（Q，h）可以找到一个有限集F C每小时∈ RDQ存在∈ F在模型不确定性11下满足J（Q，h）>c.（15）指数效用最大化证明（15），fix此类c，并注意{h∈ Rd:J（Q，h）>c}={h∈ Γ：J（Q，h）>c}+Γ⊥自hEQ起[S] =每小时0∈ Γ⊥和Q∈ C、因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设h∈ 在续集中。事实上，我们应该区分具有lar ge和小（欧几里德）长度的元素。从引理3.5，它遵循0∈ ri{等式[S] ：Q∈ C} 这意味着存在a±i>0和Q±i∈ C满足EQ±i[S] =±a±I对于1≤ 我≤ r、我们声称（max{J（h，Q±i）：1≤ 我≤ r} >c+1>c或所有h∈ Γ如t | h |>m√r/δ（16），其中m：=最大值c+1- EQ±i【X】+H（Q±i，P）：1≤ 我≤ r∈ Randδ：=最小值{a±i:1≤ 我≤ r}>0。事实上，sincePri=1（hei）=| h |>r（m/δ），因此| hej |>m/δ≤ j≤ r、如果hej>m/δ，它保持q+j[S] =ha+jej>ma+jδ≥ m级≥ c+1- EQ+j[X]+H（Q+j，P）和出现项的重新排列产生j（H，Q+j）>c+1。如果hej<-m/δ，相同的论证表明J（h，Q-j） >c+1。此外，asJ（Q，·）是连续的，c<infh∈ΓsupQ∈CJ（Q，h），集合uq：={h∈ Γ：J（Q，h）>c}，其中Q∈ C、形成Γ的开放盖。通过集合{h的紧性∈ Γ：| h |≤m级√r/δ}，存在一个有限族F′ C使得{h∈ Γ：| h |≤ m级√r/δ}[{UQ:Q∈ F′}。那么F：=F′∪ {Q±i:1≤ 我≤ r} 仍然是有限的，它保持Γ=[{UQ:Q∈ F}，这是（15）的一个重新表述。

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2022-5-25 17:55:43

把一切放在一起，就这样∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS） ]=infh∈RdsupQ∈CJ（Q，h）=supQ∈Cinfh公司∈RdJ（Q，h）=supQ∈M（| X |+Y）（等式[X]- H（Q，P））。特别是r，由于引理3.5中M（| X |+Y）不是空的，因此优化问题不取该值-∞.（b）我们进一步证明了优化问题是从下往下连续的（引理3.2），并且最优策略h∈ R存在。回想一下，X是一个逐点递增到X的序列。对于固定函数X的最优策略12 DANIEL Bartlf的存在，请在下面的论证中考虑常数序列Xn：=X。对于每个自然数n，设hn∈ Rd这样∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（Xn+hS） ]≥ 支持∈Plog EP[试验（Xn+hnS） ]-n、（17）通过步骤（a），这是可能的，即（17）的左侧不等于-∞. ByLemma 3.6我们可以在不丧失一般性的情况下假设每个Hn都是L的一个元素：=lin suppPS、首先，假设序列hn是无界的，即supn | hn |=+∞. 然后，可能在传递到子序列之后，hn/| hn |收敛到某个极限h*. 自| h起*| = 1和h*∈ 根据引理3.6和NA（P）-条件，对于某些P′，P′（A）>0∈ P其中A：={h*S>0}。然而，自经验（Xn+hnS） 1A级→ +∞1A，Fatou引理yieldsinfh的一个应用∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（Xn+hS） ]≥ 记录EP′[exp（Xn+hnS） ]-n→ +∞.但是，由于序列Xnis增加，因此∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS） ]≥ limninfh公司∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（Xn+hS） ]=+∞.因此，优化问题从下到每小时都是连续的∈ Rdisoptimal for X.如果序列Hn有界，则可能在传递到子序列后，Hns收敛到某个极限h*∈ Rd。

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2022-5-25 17:55:47

接下来就是Supp∈Plog EP[试验（X+h*S） ]≤ lim信息支持∈Plog EP[试验（Xn+hnS） ]-n≤ lim infninfh公司∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（Xn+hS） ]≤ infh公司∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS），其中第一个不等式源自Fatou引理，第二个不等式自Hn被选为最优，误差为1/n，最后一个不等式自Xn起为递增序列。这表明优化问题从Belo开始是连续的，并且h*在最后一步中，将（a）中建立的对偶性扩展到一般随机禀赋。L e t X：Ohm → (-∞, +∞] 可测量并观察m（X-+ Y）=M（| X∧ n |+Y）对于所有n∈ Nsince X-是可积的当且仅当（X∧n）-是更多，对于任何Q∈ M（X-+Y）莫诺通收敛定理m适用并产生supnEQ[X∧ n] =等式[X]。但接下来就是这样∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS） ]=supninfh∈RdsupP公司∈Plog EP[实验（X∧ n+hS） ]=SUPSUPQ∈M（X-+Y）公式[X∧ n]- H（Q，P）= supQ公司∈M（X-+Y）等式[X]- H（Q，P）模型不确定性13下的指数效用最大化，其中第一个等式和第二个等式分别来自步骤（b）和（a），第一个等式通过交换两个supr ema实现。4、多周期情况的证明4.1。没有选项的情况。在本节中，可测量的选择论证用于表明，全局分析可以简化为局部分析，其中使用了一个周期的结果。对于每个0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmt、 defineptt（ω）={Pt ··· PT公司-1： Ps（·）∈ t的Ps（ω，·）≤ s≤ T- 1} ，其中每个Ps（·）是Ps（ω，·）的一个普遍可测的选择。因此，PTt（ω）将ponds与未来股价St+1，…，的所有可能概率情景集相关联，ST，给定过去ω∈ Ohmt、特别是，它与Bouchard和Nutz保持P=PTinline。

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2022-5-25 17:55:50

为了将指数保持在最低水平，Fix twofunctionsX：Ohm → (-∞, +∞] 和Y：Ohm → [0+∞)这样X和-Y是上半解析的，定义了未来库存价格St+1的所有martinga lemeasures集合，给定过去ω∈ OhmtbyMTt（ω）=Q∈ P(OhmT-t）：（Ss（ω，·））t≤s≤这是一个Q-鞅andEQ[X（ω，·）-+ Y（ω，·）]+H（Q，PTt（ω））<+∞对于每个0≤ t型≤ T-1和ω∈ Ohmt、引理4.5表明，MTT具有解析图，在定理4.1的证明范围内，其值不是空的。注意mt=M（Y）={Q∈ M：等式[Y+X-] < +∞}, 其中，第2节定义了M。进一步介绍优化问题的动态版本：defeet（ω，x）：=x（ω）+xfor（ω，x）∈ Ohm ×R和recursivelyEt（ω，x）：=infh∈RdsupP公司∈Pt（ω）log EPhexpEt+1ωt·，x+hSt+1（ω，·）i（18）（ω，x）∈ Ohmt×R，这里我们写ωtω′：=（ω，ω′）∈ Ohmt+sforω∈ Ohmtandω′∈ Ohm代替（ω，·），以避免混淆。稍后将显示，这是一个很好的定义，即期望值内的术语是可以适当测量的。以下定理是本节的主要结果，包括定理2.1作为特例（对应于t=0）。定理4.1。对于每0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmt、 it保持集（ω，x）- x=infθ∈ΘsupP∈PTt（ω）log EPhexpX（ω，·）+（θ·S）Tt（ω，·）i=supQ∈MTt（ω）等式[X（ω，·）]- H（Q，PTt（ω））这两项不等于-∞. 此外∈ Θ达到。我们从研究（鲁棒）相对熵和机器翻译图的性质开始，这将确保可测量的选择参数可以应用。然后，我们重点推导了eta的对偶，最后证明了动态规划原理。引理4.2（[19，引理1.4.3.b]）。相对熵H为Borel。14 DANIEL BARTLProof。

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2022-5-25 17:55:53

任何孔l函数都可以用连续函数近似，因此在Le mma 3.4的证明中，h（Q，P）=sup{EQ[Z]- log EP[exp（Z）]：Z有界且连续}。因此{H≤ c} 对于任何实数c都是闭合的，表示H是Borel。所谓的相对熵链式法则是众所周知的，例如Dupuis和Ellis在boo k的附录C3中给出了证明[19]。然而，由于我们处理的是普遍可测的核，并且为了能够自包含，附录中给出了一个证明。关于动态风险度量与这一链式规则之间的联系，请参见支配环境中的[12]，非支配环境中的[3，29]。引理4.3。让0≤ t型≤ T- 1和P，Q∈ P(OhmT-t）。ThenH（Q，P）=T-1Xs=tEQ[H（Qs（·），Ps（·））]，其中Qs和psa是普遍可测的核，因此Q=Qt···QT-1和P=Pt ··· PT公司-引理4.4。对于任何0≤ t型≤ T- 1、功能Ohmt×P(OhmT-t）→ [-∞, 0]，（ω，Q）7→ -H（Q，PTt（ω））是上半解析的。此外，它保持sh（Q，PTt（ω））=H（Qt，Pt（ω））+EQ[H（Q′（·），PTt+1（ω，·））]，其中Q′是一个普遍可测的核，因此Q=Qt Q′。证据每个概率Q∈ P(OhmT-t）可以写为Q=Qt ··· QT-其中qs是备注B.2中的核，即Ohms-t×P(OhmT-t）→ P(Ohm), （(R)ω，Q）7→ Qs（(R)ω）是Borel。（a）我们先展示一下Ohmt×P(OhmT-t）→ [-∞, 0]，（ω，Q）7→T-1Xs=t-式[H（Qs（·），Ps（ω，·））]（19）为上半解析式。修复一些t≤ s≤ T-在续集中，ω将指元素sinOhmtandω到中的元素Ohms-t、自（°ω，Q）7起→ Qs（(R)ω）通过构造是Borel，熵H通过引理4.2是Borel，组成Ohmt×Ohms-t×P(OhmT-t） ×P(Ohm) → [-∞, 0]，（ω，’ω，Q，R）7→ -H（Qs（(R)ω），R）也是Borel。正如Psis分析图所示，从[7，命题7.47]可以看出Ohmt×Ohms-t×P(OhmT-t）→ [-∞, 0]，（ω，’ω，Q）7→ -H（Qs（℃），Ps（ω，℃））（20）是上半解析的。

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2022-5-25 17:55:56

此外，[7，命题7.50]保证，对于任何ε>0的情况，都存在一个普适可测的核Pεssuch，即（Pεs（ω，ω，Q）∈ Ps（ω，’ω），H（Qs（’ω），Pεs（ω，’ω，Q））≤ 模型不确定性15下所有（ω，’ω，Q）的H（Qs（’ω），Ps（ω，’ω））+ε（21）指数效用最大化。这将在第（b）部分中使用。而且，自从Ohmt×P(OhmT-t）→ [-∞, 0]，（ω，Q）7→ -方程[H（Qs（·），Ps（ω，·））]仅（20）与Q（d'ω）积分，Le mma B.1的一个应用表明该映射是上半解析的。最后，上半解析函数的和也是上半解析函数（见[7，引理7.30]）这一事实意味着（19）是上半解析函数，正如所声称的那样。（b）修正一些ω∈ Ohm坦德Q∈ P(OhmT-t）。从引理4.3可以看出，h（Q，PTt（ω））=infP∈PTt（ω）T-1Xs=tEQ【H（Qs（·），Ps（·））】≥T-1Xs=tEQH（Qs（·），Ps（ω，·））.对于另一个不等式，设ε>0是任意的，Pεsbe是（21）中的核。回想一下，Q和ω是固定的，因此p′s：Ohms-t型→ P(Ohm), ω7→ Pεs（ω，’ω，Q）仍然可以由[7，引理7.29]普遍测量。那么它就跟P′：=P′t一样 ··· P′T-1.∈ PTt（ω），再次使用引理4.3，that-1Xs=tEQH（Qs（·），Ps（ω，·））≥T-1Xs=tEQH（Qs（·），P′s（·））- ε= H（Q，P′）- （T- t） ε≥ H（Q，PTt（ω））- （T- t） ε。正如εwa s arbirry，这显示了所需的不等式。（c）最后，内核几乎肯定是唯一的，因此q′=Qt+1 ··· QT-1Qt几乎可以肯定。因此，h（Q′（·），Pt+1（ω，·））=T-1Xs=t+1EQ′（·）[H（Qs（·），Ps（ω，·））]Qt几乎可以肯定。只剩下对Qt的方程进行积分。固定测量值Q=Qt ··· QT-1.∈ P(OhmT-t）和ω∈ Ohmt、初步计算表明，Q是（Ss（ω，·））t的鞅测度≤s≤Tif和onlyif等式[|Ss+1（ω，·）|]<+∞ ANDEQ（°ω）[Ss+1（ω，’ω，·）]=0表示Qt ··· Qs公司-1-几乎每ω∈ Ohms-每t接一个≤ s≤ T- 1.这在续集中使用，没有参考。引理4.5。

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2022-5-25 17:55:59

MTT曲线为解析曲线。证据首先，请注意Z：=X∧0-Y是上半解析的。这源于{X∧0≥ a} 等于如果a>0且{X≥ a} 否则，上半解析函数之和仍然是上半解析函数。所以，Lemma B.1的应用表明Ohmt×P(OhmT-t）→ [-∞, 0]，（ω，Q）7→ 等式【Z（ω，·）】16丹尼尔·巴特利斯上半解析式。那么，因为（ω，Q）7→ -H（Q，PTt（ω））通过引理4.4是上半解析的，并且上半解析映射的和也是上半解析的，因此a：={（ω，Q）：EQ[Z（ω，·）]- H（Q，PTt（ω））>-∞}是一个分析集。现在缺少的部分是Martingale属性。首先，请注意Ohmt×P(OhmT-t）→ [0+∞], （ω，Q）7→ 均衡器[|Ss+1（ω，·）|]是引理B.1的Borel。如前所述，对于每个Q∈ P(OhmT-t），我们将写入Q=Qt···QT-注释B.2中的核qs。那么，由于（(R)ω，Q）7→ Qs（(R)ω）是Borel，引理B.1的双重应用表明Ohmt×P(OhmT-t）→ [0+∞], （ω，Q）7→ 等式[|等式（·）[Ss+1（ω，·）]|]是Borel。thubs：={（ω，Q）：等式[|Ss+1（ω，·）|]<+∞ 和等式[| EQs（·）[Ss+1（ω，·）]|]=0}是Borel，这意味着图MTt=\\{Bs:t≤ s≤ T- 1}∩ A、作为解析集的有限交集，其本身就是解析的（见[7，推论7.35.2]）。定义t（ω）：=supQ∈MTt（ω）等式[X（ω，·）]- H（Q，PTt（ω））对于所有0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmt、回想一下thatEt（ω，x）：=infh∈RdsupP公司∈Pt（ω）log EPhexpEt+1（ω，·），x+hSt+1（ω，·）ifor（ω，x）∈ Ohmt×R.定理4.1的证明——对偶性。我们声称Et（ω，x）=Dt（ω）+x和Dt（ω）∈ (-∞, +∞]对于所有ω∈ Ohmt、 x个∈ R和0≤ t型≤ T- 1.（22）证明将是反向归纳。对于t=t- 1、（22）只是定理m 3.1的陈述。（22）对t+1成立。首先，我们从上面对X进行艺术绑定，然后传递到极限。

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2022-5-25 17:56:03

更准确地说，定义ns（ω）：=supQ∈MTs（ω）等式[X（ω，·）∧ n]- H（Q，PTs（ω））对于s=t，t+1和ω∈ Ohms、注意，Dnsis上半解析。实际上，sinceX（ω，·）∧ n是upp e r半解析映射（ω，Q）7→ 等式[X（ω，·）∧ n] 是引理B.1的上半解析。引理4.4和上半解析函数的和保持上半解析的事实意味着（ω，Q）7→ 等式[X（ω，·）∧ n]- H（Q，PTs（ω））是上半解析的。由于MTsis图是由引理4.5解析的，因此从[7，proposition 7.47]可以看出Dnsis是上半解析的。此外，[7，模型不确定性下的概率指数效用最大化177.50]表明，对于任何ε>0的情况，都存在一个普遍可测的kernelQε（·）∈ MTt+1（ω，·），使DNT+1（ωt·）≤ 公式ε（·）【X（ω，·】∧ n]- H（Qε（·），PTt+1（ω，·））+ε。（23）通过交换两个suprema，它保持Ds=supnDns（有关更多详细信息，请参阅定理3.1证明的（c）部分）。特别是，Dsis上半解析函数，作为上半解析函数的可计算上确界。因此，从引理3.2可知，Et=supentwherent（ω，x）：=infh∈RdsupP公司∈Pt（ω）log EP[exp（Dnt+1（ωt·）+hSt+1（ω，·）+x）]。现在的目标是证明所有n的Entequals dntf，从中得出thaet（ω，x）=supnEnt（ω，x）=supnDnt（ω）+x=Dt（ω）+x，证明是完整的。表明确实Ent（ω，x）=Dnt（ω）+x，fix一些n，x和ω∈ Ohmt、根据定理3.1，它保持sent（ω，x）=supQt∈Mt（Z）EQt[Dnt+1（ωt·）]- H（Qt，Pt（ω））+ x>- ∞其中MT（Z）：=Q∈ P(Ohm) :公式[Dnt+1（ωt·）-+ |St+1（ω，·）|+Z]<+∞,H（Q，Pt（ω））<+∞ 和EQ[St+1（ω，·）]=0和Z：Ohm→ [0+∞) 是一个任意的普遍可测函数。我们从s开始，表示Ent（ω，x）≤ Dnt（ω）+x。

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2022-5-25 17:56:07

固定一些ε>0，让Qε（·）∈MTt+1（ω，·）是（23）的核心，定义Z：Ohm→ [0+∞),Z：=等式ε（·）hX（ω，·）-+ Y（ω，·）+TXs=t+2|Ss（ω，·）| i+H（Qε（·），PTt+1（ω，·））。然后，通过定义MTt+1（ω，·），Z是实值，引理B.1、引理4.4和[7，命题7.44]得出Z是普遍可测的。此外，Qt Qε∈ 任何Qt的MTt（ω）∈ Mt（Z）。（24）要显示这一点，请使用一些Qt∈ Mt（Z）和定义Q：=QtQε。然后应用引理4.4 yieldsH（Q，PTt（ω））=H（Qt，Pt（ω））+EQt[H（Qε（·），PTt+1（ω，·））]≤ H（Qt，Pt（ω））+EQt[Z]<+∞.此外，它保持seqhx（ω，·）-+ Y（ω，·）+TXs=t+1|Ss（ω，·）| i≤ EQt[|St+1（ω，·）|+Z]<+∞所以确实是Q∈ MTt（ω），因此，EQt[Dnt+1（ωt·）]- H（Qt，Pt（ω））≤ EQt[式ε（·）]X（ω，·）∧ n]- H（Qε（·），PTt+1（ω，·））+ε]- H（Qt，Pt（ω））=等式[X（ω，·]∧ n]- H（Q，PTt（ω））+ε≤ Dnt（ω）+ε。作为Qt∈ Mt（Z）和ε>0是任意的，因此Ent（ω，x）≤ Dnt（ω）+x.18 DANIEL BARTLTo展示了另一个不等式，即Ent（ω，x）≥ Dnt（ω）+x，fix一些度量Q∈MTt（ω），我们将其写入asQ=Qt 测量Qton的Q′Ohm和Borel核Q′：Ohm→ P(OhmT-t型-1）。然后，QT∈ Mt（0）和Q′（·）∈ MTt+1（ω，·）Qt几乎可以肯定，其中Mt（0）=函数Z的Mt（Z）≡ 实际上，首先注意H（Qt，Pt（ω））+EQt[H（Q′（·），PTt+1（ω，·））]=H（Q，PTt（ω））<+∞引理4.4，使得h（Q′（·），PTt+1（ω，·））<+∞ Qt几乎可以肯定。同样，我们得出以下结论：等式′（·）[X（ω，·）-+Y（ω，·）+|Ss（ω，·）|]<+∞ Qt几乎肯定适用于所有t+2≤ s≤ T因此它保持sq′（·）∈ MTt+1（ω，·）Qt几乎可以肯定。但是，它是根据Dnt+1的定义得出的公式（·）[X（ω，·）∧ n]- H（Q′（·），PTt+1（ω，·））≤ Dnt+1（ωt·）Qt几乎可以肯定，因此eqt[Dnt+1（ωt·）-] ≤ EQt等式′（·）[X（ω，·）∧ n]- H（Q′（·），PTt+1（ω，·））-≤ 等式[X（ω，·）-] + H（Q，PTt（ω））<+∞根据Jensen不等式和引理4.4。

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可人4

2022-5-25 17:56:11

因此，一个具有Qt∈ Mt（0）并遵循等式[X（ω，·]）∧ n]- H（Q，PTt（ω））=EQt[等式′（·）[X（ω，·）∧ n]- H（Q′（·），PTt+1（ω，·））]- H（Qt，Pt（ω））≤ supR公司∈Mt（0）ER[Dnt+1（ωt·）]- H（R，Pt（ω））= Ent（ω，x）- X和Q∈ MTt（ω）是任意的，即Dnt（ω）+x≤ Et（ω，x）。再加上之前所发现的另一个不等式，它保持Et（ω，x）=Dnt（ω）+x，并且证明是完全的。下面的引理对于证明动态编程原理很重要。由于已经证明Et（ω，x）=Dt（ω）+x，对于[39，引理3.7]，证明几乎是一对一。为了完整起见，附录中给出了一个证明。引理4.6（[39，引理3.7]）。对于每0≤ t型≤ T-1和x∈ R、存在一个过程*∈ Θ使得es（ω，x+（θ*· S） st（ω））=支持∈Ps（ω）log EP[exp（Es+1（ωs·，x+（θ*· S）对于所有t，S+1t（ω，·））]≤ s≤ T- 1和ω∈ Ohms、定理4.1的证明——动态规划。我们转向动态编程原理的证明，即我们证明C：=infθ∈ΘsupP∈PTt（ω）log EP[exp（X（ω，·）+X+（θ·S）Tt（ω，·））]=模型不确定性19下所有X，ω的Et（ω，X）（25）指数效用最大化∈ Ohmt、和0≤ t型≤ T- 1和∈ Θ达到。再次，x一些x、t和ω∈ Ohmt、根据Theo-rem 4.1证明的第一部分，即关注对偶性的部分，它保持Et（ω，x）=Dt（ω）+x。因此，x可以在（25）的两侧减去，并且假设x=0，不会失去一般性。这将使符号变亮。首先，我们关注不等式C≥ Et（ω，x）。固定一些θ∈ Θ，P∈ PTt（ω）和Q∈ MTt（ω）。IfC′：=对数EP[exp（X（ω，·）+（θ·S）Tt（ω，·））]≥ 等式[X（ω，·）]- H（Q，P），那么接下来的声明是取所有Q和P的上确界，并在第二步中取所有θ的上确界∈ Θ。为了证明这一点，可以假设C′和H（Q，P）是有限的，否则没有什么可以证明的。

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2022-5-25 17:56:14

定义：=X（ω，·）+（θ·S）Tt（ω，·）。应用初等不等式ab≤ exp（a）+b log b至“a=Z+”和“b=dQ/dP”yieldsEQ[Z+]≤ EP[膨胀（Z+）+H（Q，P）≤ exp（C′）+1+H（Q，P）<+∞.因此，它保持seq[（θ·S）Tt（ω，·）+]≤ 等式[X（ω，·）-] + 等式[Z+]<+∞通过MTt（ω）的定义。但从局部鞅的一个结果（见[27，定理1和2]）可以看出，（θ·S）Tt（ω，·）实际上是可积的，并且期望值为0。因此，等式[Z-] < +∞ 因此，Le mma A.1 yieldsC′=log EP【exp（Z）】≥ 等式[Z]- H（Q，P）=等式[X（ω，·）]- H（Q，P），这就是我们想要展示的。我们通过显示C来完成proo f≤ Et（ω，0）和一个最优策略*∈ Θ存在。Letθ*是引理4.6中的as，即thatEs（ω，（θ）*· S） st（ω））=支持∈Ps（ω）log EP[exp（Es+1（ωs·，（θ*· S）对于所有t，S+1t（ω，·））]（26）≤ s≤ T- 1、然后*是最优的，C≤ Et（ω，0）。实际上，设P=Pt ··· PT公司-1.∈ PTt（ω）和fix一些t≤ s≤ T- 1、然后是（26）thatlog EPexp（Es）（ωt·，（θ*· S） st（ω，·））= 日志EPt···聚苯乙烯-1.exp（Es）（ωt·，（θ*· S） st（ω，·））≥ 日志EPt···聚苯乙烯-1hexp记录每股收益（·）经验值Es+1（ωt·，（θ*· S） S+1t（ω，·））i=对数EP经验值Es+1（ωt·，（θ*· S） S+1t（ω，·））,迭代屈服集（ω，0）=log EP[exp（Et（ω，（θ）*· S） tt（ω）））]≥ 对数EP[exp（ET（ωt·，（θ*· S） Tt（ω，·））]=对数EP[经验（X（ω，·）+（θ）*· S） Tt（ω，·））]。作为P∈ PTt（ω）是任意的，它保持C≤ Et（ω，x）和sinceθ*∈ Θ，从前面显示的不等式中可以看出θ*是最佳的。20 DANIEL BARTL4.2。具有选项的案例。修复一些函数Y：Ohm → [0+∞) 因此-Yi是上半解析的，回想一下M（Y）：={Q∈ M：等式【Y】<+∞} andMg（Y）：={Q∈ Mg：等式【Y】<+∞}, 其中M和MG在第n2节中定义。此外，fix一些B-orel函数Z：Ohm → R、我们首先声明，对于每个上半解析函数X：Ohm → R以Z为边界，即| X |≤ Z、一个hasinf{m∈ R:m+（θ·S）T≥ X P-q.s。

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