离散时间市场模型不确定性下的效用最大化

2022-6-6 17:30:32

离散时间市场模型不确定性下的效用最大化*Mikl\'os R\'asonyiAndrea Meireles Rodrigues§2020年7月10日摘要我们研究了在一个无摩擦的离散时间市场中，面对模型不确定性的代理人终端效用最大化的问题，该市场有一个安全资产和许多风险资产。我们表明，如果在正实线或整个实线上定义的效用函数从上方有界，则存在最优投资策略。我们进一步发现，如果我们施加适当的可积性条件，与一些强化的无套利形式相关，则有界性假设可以被推翻。这些结果是在模型不确定性的另一个框架中获得的，在该框架中，所有可能的股价动态都由同一过滤概率空间上的随机过程集合表示，而不是由一系列概率测度表示。凝胶分类：G11。AMS数学学科分类（2010）：49K35、91B16、91G10、93E20。关键词：离散时间；模型不确定性；最优投资组合；效用最大化。*拉索尼获得了匈牙利科学院“Lendület”基金LP2015-6和匈牙利国家研究、发展和创新办公室（NationalResearch，Development and Innovation Office，Hungary）KH 126505的资助。这项研究的一部分是在MeirelesRodrigues与爱尔兰都柏林城市大学数学科学学院合作期间进行的；在参观阿尔弗雷德·雷尼数学研究所时，我们对该研究所的热情好客和支持表示衷心感谢。

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2022-6-6 17:30:35

作者要感谢一位著名的裁判，感谢他敏锐的阅读和宝贵的评论，这使得本手稿得到了改进。他们还感谢劳伦斯·卡拉萨斯（LaurenceCarassus）提请他们注意布兰查德（Blanchard）和卡拉萨斯（Carassus）[6]中某些密切相关的结果阿尔弗雷德·雷尼数学研究所，匈牙利布达佩斯1053号雷阿尔塔诺达乌特卡13-15，电子邮件rasonyi@renyi.hu§英国约克大学数学系，约克Heslington，YO10 5DD，电子邮件：andrea。meirelesrodrigues@york.ac.uk1232 M.R'asonyi和A.Meirelis-Rodrigue1。引言解决模型不确定性已成为数学金融的一个热门研究领域，尤其是在过去十年中，这在很大程度上是因为它提供了对金融市场和行为更真实的描述。文献中的经典范式是，经济主体对支配市场演化的概率定律有着客观而明确的先验知识，这通常是通过筛选概率空间来建模的，该空间支持描述基础资产价格的自适应随机过程（经典“模型确定性”理论中关于预期效用最大化的代表性论文包括但远不限于默顿（Merton）[26]；普利斯卡（Pliska）[29]；卡拉萨斯（Karatzas）、莱霍茨基（Lehoczky）和什里夫（Shreve）[23]；考克斯（Cox）和黄（Huang）[13]; Karatzas、Lehoczky、Shreve和Xu【24】；Cvitani\'c和Karatzas【14】；Zariphopoulou【40】；Kramkov和Schachermayer【25】）。然而，在实践中，通常没有足够的可用信息来构建完全准确的模型。对这种不确定性或模糊性进行建模的主要框架是考虑一个非空的优先级族P，它代表了在一些规范空间中被认为是可能的所有概率度量，其中讨论了套期保值、定价和最优投资的问题。

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2022-6-6 17:30:38

多个可能的相互奇异概率度量的存在以一种智力上令人满意的方式表明，我们正在寻找无论真实模型规格是什么（在给定的模型类别中）都能起作用的解决方案。相关的数学难题很诱人，就像与诸如最优运输等成熟理论的联系一样（我们提到了Beiglb"ock、Henry Labordère和Penkner的工作；Dolinsky和Soner等人的工作）。Gilboand Schmeidler的开创性论文[20]更仔细地研究了不确定性条件下的最优投资问题，扩展了冯·诺依曼（Vonneumann）和摩根斯特恩（Morgenstern）[39]提出的公理化特征化对无不确定性条件下标准预期效用的稳健偏好。大量文献在假设集合P占主导地位的情况下研究了这个问题，即存在一个所有先验都是绝对连续的引用度量（读者可以参考，例如，F"ollmer、Schied和Weber【19】；Bartl、Cheridito和Kupper【3】）中引用的引用）。相反，如果情景度量集是非支配的，则对于定义在正实线上的有界上方效用函数，Nutz[28]证明了离散时间内存在鲁棒效用最大化器；Neufeld和Siki'c【27】，同样适用于从上方有界但存在摩擦的市场中的效用函数；Bartl【2】，其中针对指数效用导出了对偶表示；Blanchard和Carassus【5】，他们的工作似乎是第一次处理正半线上一般无界效用的情况；Bartl等人。

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2022-6-6 17:30:42

[3] ，他们依靠ZFC集合论的公理和Martin公理（一个比连续体假设弱的基数原则）来解决整条实线上有界以上效用的问题。本文讨论了在替代框架中存在不确定性时的效用最大化问题，我们认为该框架同样充分，并允许证明目前在主流环境中不可用的结果：代理人将一系列随机过程视为价格的可能情景类别，在相同的固定随机基础上定义，所有这些都被认为是平等的。换言之，虽然在我们的背景下，投资者知道结果的真实可能性（特别是什么是无效和确定事件），但他们不确定价格所遵循的动态，因此真实模型的错误描述由一系列需要考虑的过程来表示。简而言之，目前的设置与通常的设置不同，它不是在可测量的空间上定义流程(Ohm, F）（在大多数情况下，S由方便路径空间上的坐标映射组成）并考虑(Ohm, F），我们确定随机基础（即可用信息和事件发生的真实机会），并改变过程∈ S模型的参数类通常属于我们的设置范围，这些模型包含价格演变的特定规范，具有一些共同的驱动因素结构和一组（未知或未指定）参数，这些参数决定价格动态。关于离散时间市场模型不确定性下的效用最大化3在标准设置中，稳健的效用会导致所有（适当可积）随机变量之间的偏好关系（参见。

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2022-6-6 17:30:45

Gilboa和Schmeidler[20]中的公理化处理，尤其是针对每种可能的投资组合终端财富定义了优先权。另一方面，在我们的环境中，偏好实际上是根据代理人的决策（特别是可接受的控制/投资政策/投资组合策略）来定义的，其中决策的效用（投资组合策略）是其预期效用相对于可能模型家族的最大值。显然，没有办法将这些偏好扩展到所有随机变量。这两种方法之间没有明显的关系。我们强调，存在一类模型（例如，对应于参数化），投资者不确定哪一种是正确的，并倾向于具有更高最坏情况效用的策略。在标准方法中，概率空间的选择已经存在不确定性，这在理论统计中很常见，并且可以比较任意两个随机结果，无论是否为投资组合终值。需要注意的一个重要方面是，这种替代的不确定性建模方法并不排除这些过程的规律，例如相互奇异。我们工作的核心一个明显的比较优势是，我们仍然能够使用经典概率论的结果；也就是说，我们能够避免非支配准确定性框架中出现的微妙的可测量性问题（我们指出，我们不会将任何特定的结构强加给我们的模型族S），并应用KomlóS类型的参数来构建最优策略的候选者。通过这种方式，我们可以覆盖标准设置无法覆盖的某些情况。还有一些模型规格无法使用我们目前的方法，但可以使用现有工具方便地处理。因此，我们的贡献补充了（不包括）目前流行的方法。

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2022-6-6 17:30:47

Nutz【28】；巴特尔[2]；Blanchard和Carassus【5】；Neufeld和Siki\'c【27】；详见第4节。本文的目的是研究离散时间金融市场中风险厌恶投资者终端财富的稳健效用最大化问题允许解决的条件。代理人在评估给定报酬时采用最坏情况方法，首先最小化每个投资组合在所有可能实现的股票价格上的福利表现，然后选择最坏情况效用中最好的投资策略。在上述论文中，非主导准肯定设置是证明最优策略存在性的主要数学工具，动态规划允许将多期稳健投资组合选择问题简化为一系列单期决策问题，但会导致难以测量和分析的问题（例如，在每个时间步，有必要考虑一系列合适的可能转移概率度量，然后将其串联起来；这在Bartl等人的术语中称为“时间一致性”）。在目前的工作中，我们使用一种直接处理原始问题的方法，通过优化序列构建最优投资组合（即，其最坏情况下的预期效用在所有策略中任意接近上确界）。我们既不需要时间一致性假设（存在于除Bartl等人[3]以外的所有相关论文中），也不需要额外的理论假设（presentin Bartl等人。

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2022-6-6 17:30:51

[3]).我们的结果是在假设所有可能的模型集合中至少有一些价格演变没有套利机会，并且模型在适当意义上是非退化的情况下得到的。我们将此条件与下面备注2.6中的常规稳健无套利条件进行比较。这个条件使我们能够使用一个等价的鞅测度（如果不是这样的话，它的存在在此时是未知的）；它还与其他现有的无套利概念密切相关，例如Davis和Hobson首次提出的“弱无套利”（见假设2.1和下面备注2.6中的讨论）。这项工作的一个主要贡献是，正轴上的效用函数和整个实线上的效用函数都得到了处理。此外，我们考虑了有界以上函数以及可以随出站增长的函数；在后一种情况下，我们必须用与价格过程相关的量的某些可积条件来代替效用的有界性。可以以很低的成本接受随机捐赠或负债，但目前的工作并不追求这一点。4 M.R'asonyi和A.Meirelis Rodrigue本文结构如下：第2节介绍了考虑模型不确定性的效用最大化问题的模型和数学公式；第3节陈述并讨论了关于鲁棒最优策略存在性的主要结果；第4节包含一些示例，说明了当前框架与准确定框架的重要区别、优点和缺点；第5节概述了未来的研究方向和结论。为方便起见，附录中收集了所有证据。2、模型考虑由d∈ N交易风险资产加上额外的无风险资产（单位价格不变），并确定时间范围T∈ N

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kedemingshi

2022-6-6 17:30:54

让(Ohm, F，F={Ft}t∈{0,1，…，T}，P）是一个离散的时间混沌基，并假设本文中的σ-代数包含所有P-空集。对于everyn∈ N和G F，用L（G；Rn）表示G-可测、Rn值随机变量的空间（通常，我们识别在P-null集外重合的随机变量），赋予概率收敛的可度量拓扑。让我们在此随机基础上成为一个非空的适应、Rd值过程族，并定义拓扑乘积空间L BTt=1L（英尺-1.Rd）。当风险资产的（贴现）价格按照过程S演变时∈ S，时间t的（贴现）财富∈自筹投资组合φ的{0，1，…，T}∈ L从首字母大写w开始∈ R由wst（w，φ）=w+tXs=1hφs给出，SsiRd。在这里机顶盒St-St公司-1是交易期t的价格变化∈{1，…，T}，whileh·，·ird表示Rd中的欧氏乘积与相应的normk·kRd。如果策略对每个特定的可能价格都是可行的，则该策略是可接受的；更准确地说，初始资本为wisA（w）BTS的可接受交易策略集∈SL（w，S）对于某些L（w，S） L待稍后指定，具体取决于效用函数的域。接下来，对于每个S∈ S和t∈{1，…，T}，设PSt | Ft-1（·，·）是ST相对于Ft-1、通过重新定义P-null集，PSt | Ft-1（·，ω）是（Rd，B（Rd））上所有ω的概率测度∈ Ohm, 我们用DSt（ω）表示包含P的支持的rds的最小a ffne子集St | Ft-1(·, ω).在本文中，假设股票价格的收集至少包含一个过程，对于这个过程，不可能从无到有地获得无风险收益。

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2022-6-6 17:30:58

此外，此类价格模型的交易机制中的冗余资产对于所有其他可能实现的价格过程也必须是冗余的。这些要求正式化如下。假设2.1。存在S*∈ 满足所有φ的S∈ Lw、 S*, 如果WS*T（0，φ）≥ 0 P-几乎可以肯定（a.s.），然后是WS*T（0，φ）=0 P-a.s.，（NA（s*))对于每个S∈ SDSt公司 DS公司*talmost当然，尽管如此∈{1，…，T}。（2.1）该套*将用S表示*.拉索尼（Rásonyi）和斯特特纳（Stettner）[34，提案3.3]提供了以下无套利和“非冗余”价格过程的替代特征（另见Carassus和拉索尼（Rásonyi）[10，提案2.1]）。提案2.2。让我们∈ S以下两种说法是等效的。关于离散时间市场中模型不确定性下的效用最大化5（i）NA（S）成立。（ii）对于每t∈{1，…，T}，存在Ft-1-可测随机变量βSt>0 P-a.s.和κSt>0 P-a.s.使得ESS infξ∈ΞStPnhξ，斯特德≤ -βStkξkRd英尺-1个≥ κStP-a.s.onnDSt，{d}o，（2.2），其中ΞStBnξ∈ L英尺-1.研发部: ξ(ω)∈ P-a.e.ω的DSt（ω）∈ Ohmo、此外，我们假设投资者的风险偏好是连续的、不满足的，边际效用递减。这些是效用函数上相当弱的条件：我们要求严格的凹性或光滑性（特别是不需要满足INDA类型的条件）。假设2.3。效用函数U:R→ R∪{-∞}是非递减的、凹的和上半连续的。我们定义了om（U）B{x∈ R:U（x）>-∞}, （2.3）是形式（b+∞)或[b+∞)对于一些b∈ R∪ {±∞}.

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kedemingshi

2022-6-6 17:31:01

上半连续性意味着，如果b∈ R、然后limx→b+U（x）=U（b）（其中后者可能是有限的或-∞).在存在不确定性的情况下，投资者的目标是选择一个可接受的投资组合，在资产价格最可能具体化的情况下，从终端财富中最大化其预期效用，其中，S中的每个价格过程都具有相同的合理性。最优投资组合问题的模型不确定性版本定义如下。定义2.4（稳健最优投资组合）。A投资组合φ*∈ 对于具有初始财富wifu（w）B sup^1的投资者，在模型不确定性下，A（w）是最优的∈A（w）infS∈塞布WST（w，Д）i=infS∈塞布WST公司w、 φ*i、（2.4）在这里，我们采用通常的惯例，即如果随机变量的正负部分都有明确的预期，那么其预期定义为-∞ （即+∞ - ∞ B-∞).备注2.5。这是微不足道的∈塞布WST（w，0）i=所有w的U（w）∈ dom（U），其中0≡（d，…，0d）表示将所有财富分配给安全资产的安全投资组合。因此，u（w）>-∞ 前提是安全投资组合是可接受的。下一节将展示（2.4）在两种情况下的优化因素：最初，投资者遵守通常的无破产要求；随后，我们通过在整个实线上处理有限效用的情况来放宽这一限制。备注2.6。（i）我们在假设2.1下建立了我们的结果，这意味着至少有一个模型S*∈ 经典意义上的无套利；换句话说，NA（S*) 对应于价格过程S的经典无套利机会*.

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2022-6-6 17:31:04

顺便说一句，该条件与Davis和Hobson的传统“弱无套利”概念相对应【16】（本身是Burzoni、Fritelli和Maggis中提出的“无R套利”财产的特例【9，定义5.1】）。（ii）另一个相关比较是与Bouchard和Nutz【7，定义1.1】引入的标准“稳健无套利条件”进行的，在本框架中，其内容为：对于所有∈ S，WST（0，φ）≥ 每年0个。=> 对于所有S∈ S，WST（0，φ）=0 P-a.S。。（NA（S））6 M.R'asonyi和A.Meireles Rodrigue在多重先验设置中，Blanchard和Carassus【6，定理3.8】表明（NA（S）的多重先验等价性意味着弱无套利，但反向失败；参考Blanchard和Carassus【6，引理3.7的陈述（5）】。此外，Blanchard和Carassus【6】的定理3.30指出（假设2.1的多重先验等价物）实际上等价于Bouchard和Nutz【7】的robustno套利条件，因此这似乎是一个相当自然的要求。然而，请注意，多优先级框架与当前框架不同，因此不可能直接将结果从一个转移到另一个。回到我们的框架，假设2.1比条件NA更强。要看到这个，让φ∈ A（w）这样，对于所有∈ S，它保持P-a.S.，即WST（0，φ）≥ 0。那么，对于所有t∈{1，…，T}，weget WS*t（0，φ）=0 P-a.s.，这反过来意味着φt（ω）属于正交的ds补码*t（ω）表示P-a.e.ω∈ Ohm. 因此，φt也与DSt正交 DS公司*t对于所有S∈ 我们得出的结论是，ST（0，φ）=0 P-a.S。然而，与多先验情况不同，在目前的框架中，NA（S）一般并不意味着假设2.1成立，甚至NA（S）*) 对于一些S*. 实际上，考虑一个具有一项风险资产（即。

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2022-6-6 17:31:08

以T=1和d=1）为例，其中S由两个过程组成：\'S=0o=Pn\'S=1o=1/2，且▄S使得PnS=0o=PnS=-1o=1/2；然后，尽管NA（S）成立，但NA（S）和NA（S）都不成立（还请注意，D（S）=D（S）=R）。我们之所以在“弱无套利”假设下工作，而不是在“鲁棒无套利”条件下工作，是因为前者根据Dalang Morton-Willinger定理为我们提供了一个等价的鞅测度[15]；获得与NA（S）相关的资产定价基本定理的版本是一个值得在当前环境下进一步研究的项目（如准sure框架中的alreadydone；参见Bouchard和Nutz【7】；Blanchard和Carassus【6】）。（iii）与Blanchard和Carassus[5]进行比较，其中正半实线上定义的上述无边界公用设施在每个模型的（强化的）无套利条件下处理∈ S（见其中的定义2.4）。我们指出，对于整个实数线上的无界效用，在所有可能的价格过程类似（强）无套利假设的情况下，我们得到了下面的存在定理3.11。这微不足道地暗示了Blanchard和Carassus[6，引理3.7（4）]在多先验条件下观察到的稳健无套利条件NA（S）；此外，参见同一篇论文中的定理3.8，建立了稳健无套利与某些无套利的先验子家族（与原始子家族具有相同的“相关”事件）的存在之间的等价性。目前尚不清楚，在解决无界稳健最优投资组合问题时，无套利的合适概念应该是什么。回想一下，在效用最大化“确定性下”，没有套利是存在乐观者的必要条件，如byRásonyi和Stettner所示【34，命题3.1】。3.

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2022-6-6 17:31:11

主要结果本节中存在定理的证明都有一个共同的结构：首先，我们验证了优化问题（2.4）的价值函数的完整性，以确保投资者不能从市场上可用的策略中获得近乎幸福的回报。然后，我们可以得到一个最大化的投资组合序列，并通过紧性参数从中获得一个候选的优化者。最后，我们使用关于策略的最坏情况预期效用的上半连续性来检查在前一步中找到的投资组合是否确实是最优的。在风险偏好的上界假设下，适定性和上半连续性都很简单，剩下的唯一一点可以证明，一个合适的策略集合应该感谢裁判提出了这个反例。关于离散时间市场模型不确定性下的效用最大化，7满足某种形式的紧性。然而，一旦我们放弃了效用应该从上面有界的要求，我们就开始遇到一些可积性问题（即，我们不再有终端效用正部分的明显的不可积上界，从而保证某些积分的收敛），我们通过引入额外的假设来处理这些问题。当非破产约束生效时，其中一个可实现模型中的经典无套利与交易“非冗余”足以确定可接受策略的界限（由下面引理3.3中的辅助随机变量GSTF给出）。

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2022-6-6 17:31:14

对于上述原因，对于无界效用，我们需要这些边界也是可积的，这是通过加强无套利条件来实现的，从（3.4）的意义上来说。在允许财富以正概率呈现正值和负值的情况下，我们再次看到偏好的有界性和风险厌恶具有紧凑性；由于引理3.3的边界不再可用，因此这些论点比正实线对应的论点更冗长和复杂。最后，对于在整条实线上定义无界性的特别微妙的情况，证明变得更加复杂；事实证明，仅仅在一个模型中并没有套利是不够的，我们必须假设每个可能的模型都不存在套利机会。最重要的是，即使我们允许实用程序任意增长，我们也必须要求它以下面（3.6）所述的严格次线性方式增长。这些条件保证了证明所需的上半连续性。综上所述，如果我们考虑上面有界的效用，那么我们能够证明存在一个稳健的最优投资组合，而不必施加假设2.1以外的任何条件；相比之下，具有无限效用的稳健投资组合选择涉及到越来越多的困难，这需要更加严格的假设，不仅是对套利的假设，而且对价格动态和效用增长的假设。这些并不奇怪，参见Nutz【28】和Blanchard与Carassus【5】中的相关讨论。3.1. 正实线上的效用我们首先关注在股票价格演变的每种情况下都不允许债务的情况，因此效用函数的有效定义域等于正半线。假设3.1。

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2022-6-6 17:31:18

对于所有S∈ S，L（w，S）Bnφ∈ L：t型∈{0，1，…，T}，WSt（w，φ）≥ 0 P-a.s.o.（3.1）此外，int（dom（U））=（0+∞).备注3.2。由于单调性，U（·）以自然的方式扩展到[0+∞)通过设置U（）B limx→0+U（x），这可能是-∞. 进一步假设，在不丧失一般性的情况下，U(+∞)B极限→+∞U（x）>0。最后注意，除了非空且凸外，A（w）相对于L上乘积拓扑的子拓扑τ是闭合的。当前小节的两个存在性定理都依赖于以下关键引理，其证明沿着Rásonyi和Stettner[35，引理2.1]的思路进行。这个结果在构造最优投资组合时发挥了作用，因为它暗示了可容许集A（w）的有界性，因此可以使用紧性参数来提取（2.4）的候选解。引理3.3。假设w>0，假设2.1成立。此外，假设3.1成立。那么，对于每个人∈ S*和t∈{1，…，T}，存在一个Ft-1-可测量的随机变量GSt>0 P-a.s.，因此ESS supφ∈L（w，S）^φSt研发部≤ GSt<+∞ P-a.s.，（3.2），其中^φSt（ω）表示所有ω在DSt（ω）上的正交投影∈ Ohm.证据见附录A。8 M.R'asonyi和A.Meirelis RodriguesRemark 3.4。对于所有φ∈ L（w，S）和t∈{1，…，T}，我们有^φSt∈ L英尺-1.研发部以及D^φSt，StERd=hφt，StiRdP-a.s.（参考Carassus和Rásonyi[11，备注3.4]），因此用正交投影代替投资组合不会改变其价值。更重要的是，假设2.1成立，S*∈ S*那么，对于所有S∈ S，我们有d^φS*t，StERd=hφt，Stird自DS以来几乎可以肯定 DS公司*.我们的第一个主要结果表明，每当投资者的效用从上方有界时，不仅可靠的效用最大化问题（2.4）非常适定（即u（w）<+∞ 对于每个初始资本w），但始终存在最优策略。定理3.5。

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大多数88

2022-6-6 17:31:22

假设w>0，假设2.1、2.3和3.1成立。如果U(+∞)< +∞, 那么就存在φ*∈ A（w）使得u（w）=infS∈塞布WST公司w、 φ*i<+∞.证据见附录A。或者，假设随着财富的增长，投资者可以获得任意高水平的满意度。为了仍然能够从上方控制终端财富的稳健预期效用，从而获得（2.4）的解决方案，我们对所有可能价格的动态进行了额外假设（3.4），并结合至少一个模型中无套利的更强版本。定理3.6。设w>0，假设2.1、2.3和3.1有效。此外，定义新的BnX∈ L（FT；R）： p>0，EP|X | p< +∞o、（3.3）进一步假设k标准：S∈ S W和βS*t型∈ W代表所有t∈{1，…，T}（3.4）适用于某些S*∈ S*, 其中每个βS*这是命题2.2给出的随机变量。那么就存在φ*∈ A（w）使得u（w）=infS∈塞布WST公司w、 φ*i<+∞.证据见附录A。备注3.7。我们可能想知道，如果我们在所有中间时间放松破产禁令，强制规定每个价格过程的可接受策略∈ S只在最后时刻产生非负财富。换言之，我们可以考虑更大的集合A（w）B\\S，而不是A（w）∈S▄L（w，S），其中▄L（w，S）Bnφ∈ L:WST（w，φ）≥ 0 P-a.s.o.（3.5）明确表示，对于所有w>0，~u（w）B supД∈A（w）infS∈塞布WST（w，Д）我≥ u（w），那么就产生了上述不等式是否可以严格的问题。不难看出，在假设2.1下，对于所有的S，L（w，S）=L（w，S∈ S*.

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2022-6-6 17:31:27

的确，如果我们让φ∈ L带WST（w，φ）≥ 0 P-a.s.，那么我们通过Dalang Morton-Willinger定理【15】结合Jacod和Shiryaev的定理2【22】知道财富过程*t（w，φ）ot∈{0,1，…，T}是离散时间市场中模型不确定性下的trueOn效用最大化，在某些等价鞅测度下为9鞅。期望的结论来自于具有非负终值的鞅是非负的。此外，如果我们在定理3.5和3.6中将A（w）替换为▄A（w），我们可以很容易地检查到，在相同的证明下，结果仍然有效（关键事实是，对于所有无套利价格模型，两组可行投资组合实际上是一致的，如上所示）。然而，这两个领域的鲁棒效用最大化问题的价值可能会有所不同；下面我们提供一个发生这种情况的示例。这与多重先验设置形成鲜明对比，在多重先验设置中，允许集的这种放松不会影响优化问题，因为在稳健无套利下，准肯定非负的终端财富意味着财富在所有中间时间的准肯定非负性（参见Blanchard和Carassus[5，引理4.3]）。设T B 2，X为标准高斯分布。考虑随机变量εi，i∈{1，2}这样p{ε=-1/2}=P{ε=4}=1/2，P{ε=-1/2}=P{ε=1/2}=1/2，X，ε，ε是独立的。此外，通过将Fto设置为P-nullset族FB F来定义过滤F∨ σ（X，ε）和FB F∨ σ(ε).我们考虑一种风险资产，即d=1。

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kedemingshi

2022-6-6 17:31:30

我们的模型系列有3个元素，S=nS*,因此，定义如下：，S*= ε, S*= ε,S=X，S=3- 十、\'S=3，\'S=0。很明显，DS*= DS公司*= R、因此，假设2.1由S*∈ S*.取有界效用U（x）B min{√x、 2}，对于所有x∈(0, +∞), 并将初始资本设置为w=1。每个投资组合策略φ=（φ，φ）由一个确定性数字φ组成∈ R、和一个F-可测实值随机变量φ。注意φ∈ A（）表示φ=0，因为X从上到下都是无界的。因此，通过\'S的构造，u（）=supφ∈A（）输入∈塞布WST（1，φ）我≤ supφ∈A（）EPhUW'ST（1，φ）i=U（）=1。另一方面，选择策略▄φ，其中▄φ=▄φ=1给出WST1,~φ≥ 所有S为0∈ S，因此|φ∈A（）\\ A（）。此外，我们可以直接检查∈ S，EPhUWST公司1,~φ我≥,这反过来会导致▄u（）=supφ∈A（）infS∈塞布WST（1，φ）i> 1。我们感谢裁判提出了这个有趣的问题，并指出了这两个框架之间的另一个根本区别。这里，G∨ H表示由两个σ-代数G和H的并集生成的σ-代数。10 M.R'asonyi和A.Meirelis-Rodrigues3.2。整体实线上的效用现在考虑财富可能变为负值的可能性，这意味着效用函数在实线上的任何地方都具有有限的值。换句话说，投资组合选择不受任何限制，因此任何自我融资的投资策略都是可以接受的。假设3.8。对于所有S∈ S，L（w，S）B L。此外，dom（U）=R。下一个结果将我们的定理3.5扩展到整个实数线，并表明在此设置中也存在最优投资组合。定理3.9。让w∈ R、假设2.1、2.3和3.8成立。如果U(+∞)< +∞, 那么就存在φ*∈ L使得u（w）=infS∈塞布WST公司w、 φ*i<+∞.证据见附录A。在我们的最后一个定理中，我们从上面去掉了U（·）有界的假设。

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2022-6-6 17:31:34

这是以假设每个∈ 在强烈的意义上，S应该是无套利的；我们进一步指出，（3.7）与上述定理3.6的条件以及Blanchard和Carassus[5，定理3.6]的条件非常相似。同样，处理由U(+∞)= +∞对于财富的大正值，需要一个效用的补充增长条件，即函数显示严格的亚线性增长。尽管如此，（3.6）仍然相当温和；事实上，它甚至比+∞ （见Kramkov和Schachermayer【25】）。据我们所知，这是文献中第一个在稳健环境下处理整条实线上定义的无界函数的结果。备注3.10。下面定理3.11证明的一个简单但重要的观察结果是u（w）>-∞ （回顾备注2.5）以及公约+∞ - ∞ B-∞ 导致等式u（w）=sup^1∈\'\'A（w）infS∈塞布WST（w，Д）i、其中A（w）B\\S∈Snφ∈ L：EPhU-WST（w，φ）i<+∞o、，.这意味着，任何导致至少一个可能模型最终失望的投资都会自动从稳健投资组合问题中排除，因为它永远不会是最优的，从而有效地将可接受的控制集从L限制到“A（w）”。定理3.11。让w∈ R、假设2.1、2.3和3.8成立。进一步假设以下三个条件均满足。（i）S=S*.（ii）存在C>0和α∈[0，1）使得u（x）≤ Cxα+1对于所有x≥ 0.（3.6）（iii）对于所有S∈ S，βSt，κSt，kStkRd公司∈ W代表所有t∈{1, . . .

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2022-6-6 17:31:37

，T}，（3.7），其中βSt，κ表示命题2.2给出的随机变量，W如（3.3）所示。此后，对于所有x，U±（x）B max{±U（x），0}∈ dom（U），分别表示U（·）的正部分和负部分。我们感谢裁判提请我们注意这一点。离散时间市场模型不确定性下效用最大化的研究*∈ A（w）使得u（w）=infS∈塞布WST公司w、 φ*i<+∞.证据见附录A。备注3.12。在这一点上，让我们简要地看看“无模型”效用最大化的情况；参见例如Acciaio、Beiglb"ock、Penkner和Schachermayer【1】，其中S由所有适应的价格过程组成（或仅由满足无套利的过程组成）。矩反射表明，在这些情况下，在正实轴上的U（·）情况下，仅允许使用相同的0策略。在全行定义U（·）的情况下，除0以外的所有策略都会产生效用-∞. 换句话说，问题变得微不足道。Burzoni等人【9】概述了另一种无模型方法。然而，它集中了唯一套利，概率并不是以自然的方式出现的（即，它们的集合S并不确定一组概率）。在特殊情况下，S={Ohm}, 所有概率的集合都是自然出现的，我们已经在上一段中讨论过这种情况。对于Burzoni等人[9]的所有其他案例，我们甚至看不到如何正确表述效用最大化问题。4、示例示例4.1。当价格被假定为连续时间It^o过程时，漂移和波动的不确定性是模型稳健性的经典设置。这一点已经得到了热烈的研究，我们参考了Epstein和Ji的最终论文【18】。我们在下面绘制了一个简单的离散时间模拟。考虑t倍笛卡尔积OhmtB{-1，1}t对于所有t∈{0，1，…，T}，并用2表示Ohmt动力装置Ohmt、同时设置Ohm BOhmT

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2022-6-6 17:31:40

定义映射∏t：Ohm → Ohmtas∏t（ω）B（ω，…，ωt），对于所有ω=（ω，…，ωt，…，ωt）∈ Ohm,过滤F为FtB∏-1吨Ohmt型. 修复p∈（0，1），并配备可测量空间Ohm, 2.Ohm概率测度由p（{ω}）BTYt=1定义pδ项目（ω）+(1 - p） δ-1.项目（ω）, 对于所有ω∈ Ohm, （4.1）其中δxis是x处的狄拉克量度∈ R、 projt是来自Ohm 至{-1, 1}.此外，让我们∈ R，并引入参数空间ΘBσ, σ对于某些0<\'σ<\'σ，T×Rt。对于每个θ=（σ，u）∈ 定义实值过程Sθ=nSθtot∈{0,1，…，T}asSθT（ω）B s+tXs=1σprojs（ω）+u, 对于所有ω∈ Ohm, t型∈{0，1，…，T}。给定x∈ R、 x处的狄拉克测度是概率测度δx:B（R）→{0，1}由δx（B）B（1，如果x）定义∈ B、 0，否则。给定笛卡尔积X×。×X与k∈{1，…，n}，第k个投影图projk:X×。×Xn→ XKI由Projk（x，…，xn）B xk定义，适用于所有（x，…，xn）∈ X×。×Xn。12 M.R'asonyi和A.Meirelis Rodrigue当p=1/2时，该模型可能是连续时间Bachelier模型的离散时间模拟。尽管某些价格过程存在套利机会，但很容易看出每个Sθ∈ Swith |u|<σ允许qθ（{ω}）B 2给出唯一的等价鞅测度-TTYt=11.- 项目（ω）uσ, 对于所有ω∈ Ohm.此外，Sθ对每个θ都有独立的增量∈ 如Rásonyi和Stettner所观察到的，这意味着条件（3.4）成立，并且（3.7）被S中的任何无套利过程所满足[34，命题7.1]。还请注意，S可能包含定律相互单一的价格过程。现在考虑P{定律：S∈ S} ，它是（R，B（R））上所有概率测度空间的子集。这个简单的模型类是模型误判的典型例子，其中“波动性”参数σ和漂移参数u未知。它可以在我们的框架内处理。

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2022-6-6 17:31:44

然而，它不满足Nutz【28，第3节】或Bartl【2，第2节】中概率测度集Pt（ω）的条件；也就是说，给定时间t时的状态ω，时间t+1时股票价格的可能模型族不是凸的（因为这里的凸性意味着在混合概率下是闭合的）。我们可以考虑这个例子的各种推广：utandσt可以是时间相关的，甚至ft-1-可测量；拿Ohm := RT，我们可以考虑可能具有连续律等更一般的噪声过程。示例4.2。标准多先验框架中的大多数论文（如Nutz[28]；Bouchard and Nutz[7]；Bartl[2]）都假定“时间一致性”属性。可以构造一个例子，其中对应的P不能满足这个属性，但可以在我们的框架中处理。还记得Bartl等人[3]，他们可以使用额外的集合理论公理来降低时间一致性。固定T B 2和d=1（即，考虑单个风险资产）。拿Ohm= R和Ohm BOhm= R、设εi，i∈{1，2}是两个独立且分布相同的随机变量，P{εi=±1}=1/2，并定义F，使得Fis是P-零集的σ-代数FBσ（ε）和FBσ（ε，ε）。设s=0，对于每个θ=（u，u）∈ 确定实值价格过程Sθ=nSθtot∈{0,1,2}asSθtB s+tXs=1（us+εs），对于所有t∈{0，1，2}，进一步假设只有两种可能的价格模型；即S=nSθ：θ∈ Θo，其中Θ={θ=（0.1，0.3），θ=（0.2，0.5）}。请注意，S=S*.

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2022-6-6 17:31:47

最后，介绍符号P B{定律：S∈ S} 。时间一致性意味着存在一组概率Pon R和一个从R到R上概率测度集的集值映射Pf，使得P由所有概率测度P组成，分解P（a）=ZRZRA（ω，ω）P（ω，dω）P（dω∈ BR（P=P Pin缩写形式），对于某些P∈ 泛优化P（ω）∈ P（ω）表示所有ω∈ R参见Bouchard和Nutz【7】。接下来，观察每个θ=（u，u）∈ R、股票价格Sθ和Sθ中的每一个都有支持度为{S+u的离散规律- 1，s+u+1}和{s+u+u- 2，s+u+u，s+u+u+2}；这里，BR表示R的Borelσ-代数（即，包含R的所有开子集的最小σ-代数）。关于离散时间市场模型不确定性下的效用最大化13此外，PnSθ=s+u±1o=，PnSθ=s+u+u±2o=，PnSθ=s+u+uo=。为了解决矛盾，假设时间一致性成立。用Sθi的概率定律表示∈{1，2}，直接计算yieldP=P P、 P=P P、其中P∈ P{0.1±1}=1/2的离散分布；P（0.1±1）∈ P（0.1±1）是离散分布，其中P（0.1+1，{0.1+0.3+2}）=P（0.1+1，{0.1+0.3}）=1/2，P（0.1- 1,{0.1 + 0.3 - 2} ）=P（0.1- 1,{0.1 + 0.3})= 1/2;P∈ P{0.2±1}=1/2的离散分布；和Pis，使得P（0.2±1）∈ P（0.2±1）是离散分布，其中P（0.2+1，{0.2+0.5+2}）=P（0.2+1，{0.2+0.5}）=1/2，P（0.2- 1,{0.2 + 0.5 - 2} ）=P（0.2- 1,{0.2 + 0.5})= 1/2.但是，\'P B P P不是P的元素，而是矛盾。Riedel【36，附录D，示例3】中有一个不同的示例。示例4.3。这是Bartl[2]示例2.7的简化版本。让我们来看看∈ 对于所有ω，R和σ>0，设置t（ω）B s+σtXs=1projs（ω）∈ Ohm, t型∈{0，1，…，T}，定义P B{Pp:P∈（0，1）}其中每个PPI的形式为（4.1）。

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2022-6-6 17:31:50

虽然P满足了Nutz[28]的条件，但我们无法以自然的方式将此示例纳入我们的框架。事实上，我们需要一个信息过滤F={Ft}t∈{0,1，…，T}使得价格增量（可以是具有任意参数的常数倍伯努利）是可测量的。只有当F由连续随机变量生成时，这才可行。然而，这是不自然的，因为t+1时的投资决策应该可以测量到t之前的价格变动，这是离散值随机变量。因此，无法以有意义的方式将此示例合并到我们的框架中。示例4.1和4.3表明，虽然通常的方法能够在过程的“概率骨架”级别捕获不确定性（例如树上的概率），但当过滤（信息结构）保持固定时，我们的方法可以成功用于各种参数化。下面是我们的方法可以涵盖的另一个“非参数”示例。示例4.4。关于固定概率空间(Ohm, F，P），考虑独立和标准均匀随机变量的集合{ε，…，εT}。对于所有t，将过滤F定义为FtBσ（ε，…，εt）∈{0，1，…，T}，let∈ R可以给定，并用Ft的T元组集表示-1. B（[0，1]）-可测函数θt：Ohm ×[0, 1]→ R、 t型∈{1，…，T}，它们的第二个变量是非递减的。14 M.R'asonyi和A.Meirelis Rodrigues，每θ=（θ，…，θT）∈ Θ，设Sθ={Sθt}t∈{0,1，…，T}是所有ω的实值过程，由θT（ω）B s+tXs=1θs（ω，εs（ω）），给出∈ Ohm, t型∈{0，1，…，T}。现在让我们nSθ：θ∈ Θo.如果S包含Sθ*对于某些θ*这样θ*t（ω，·）具有正值和负值，所有t和ω的勒贝格测度均为正值，然后是Sθ*显然满足了无套利假设以及（2.1）。

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2022-6-6 17:31:54

请注意，R上的任意概率定律可以由随机变量表示，该随机变量是标准均匀随机变量的非递减函数。我们现在展示了这个例子包含了Bartl[2]的例子2.8，除了我们更喜欢使用加法动力学而不是Bartl[2]的乘法动力学之外。每t∈{1，…，T}，fix Ft-1-可测实值随机变量ut≤ ut和正Ft-1-可测随机变量σt，t、现在我们可以将S定义为一组价格模型S={St}t∈满足SB s的{0,1，…，T}∈ R和St=St-1+ut+Yt，适用于所有t∈{1，…，T}，其中uT超过huT，uti值Ft-1-可测随机变量，且YT范围在其条件定律关于Ft的随机变量上-1ist（ω）-对于几乎每个ω，在适当的距离内，接近高斯定律，平均值为0，方差σt（ω）。我们不提供进一步的技术细节。示例4.5（期权交易）。让Zt，t∈{1，…，T}是某些概率空间上的Rm值随机变量(Ohm, F，P），表示m个股票的价格，让Z∈ Rmbe确定性。设Fbe为p-zero集的集合，且∨ σ（Zs，s∈t的{1，…，t}）∈{1，…，T}。我们假设NA（Z）成立，因此至少有一个概率，等价于P，在此概率下Z是鞅。用Q表示所有这些概率的集合。设G是一个Rd值的ftmable随机变量，表示这些股票上的d个期权的终值，并且∈ Rdbe表示时间0时这些期权的（已知）价格的向量。假设Q（g）BnQ∈ Q:EQ[G]=开始，, 并固定一些非空R Q（g）。定义BnEQ【G | Ft】，t∈{0, . . .

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2022-6-6 17:31:57

，T}：Q∈ Ro，各种风险中性概率Q下可能的期权价格过程的集合∈ R、本文的结果适用于上述情况，即定价措施存在不确定性，且具有最坏情况下稳健偏好的投资者试图以最佳方式交易这些期权。结论本文在模型不确定性的替代框架下，对最坏情况下鲁棒效用最大化问题的解的存在性问题提供了肯定的答案。在存在比例交易成本的市场中，希望将这项工作的论点扩展到连续时间模型，正如Chau和Rásonyi[12]的配套论文所做的那样。是否存在价格过程也值得研究∈ 标准效用最大化问题等效于稳健效用最大化问题（与Schied[38]中的最不利措施类似）。在存在多重先验的情况下，套利和超边际的基本问题已得到深入研究，见上文备注2.6，以及[1；7；9；8]和其中的参考文献。这些问题在当前工作的背景下尚未解决，将成为未来研究的主题。离散时间市场模型不确定性下的效用最大化15A。附录：证明本附录包含第3节中给出的结果证明。引理3.3的证明。让我们*∈ S*, 被给予。我们构造了随机变量GS*, . . . , GS公司*t大致如下。（i）定义GS*B w/βS*, 其中βS*由命题2.2给出，设φ∈ L（w，S*). 很明显，GS*在P-full setnβS上均为严格阳性和明确*> 0度。它遵循w+D^φS*, S*ERd=w+Dφ，S*ERd=WS*（w，φ）≥ 每年0个。

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2022-6-6 17:32:00

（回忆备注3.4）thatPn^φS*Rd>GS*o∩nD^φS*, S*ERd公司≤ -βS*^φS*Rdo公司≤ PnD^φS*, S*ERd<-wo=0。该不等式与（2.2）以及两个φS的F-可测性*和GS*产量SepκS*n^φS*Rd>GS*o≤ Pn^φS*Rd>GS*o∩nD^φS*, S*ERd公司≤ -βS*^φS*Rdo公司= 每年0次。。考虑到κS*> 0 P-a.s.，我们得出Pn^φS*Rd>GS*o=0。（ii）假设∈{1，…，T}，我们得到了GS*, . . . , GS公司*t满足LEMA 3.3的条件。设置GS*t+1Bw+Pts=1GS*sS*s研发部/βS*t+1，其可测量性，P-a.s.严格的正性和完整性属性很简单。此外，给定任意φ∈ L（w，S*), 我们可以使用CauchySchwarz不等式（再加上备注3.4）得到0≤ WS系列*t+1（w，φ）≤ w+tXs=1^φS*s研发部S*sRd+D^φS*t+1，S*t+1第≤ βS*t+1GS*t+1+D^φS*t+1，S*t+1ERdP-a.s。。因此，Pn^φS*t+1Rd>GS*t+1 O∩nD^φS*t+1，S*t+1第≤ -βS*t+1^φS*t+1Rdo公司≤ PnD^φS*t+1，S*t+1第<-βS*t+1GS*t+1o=0，与上一步类似的参数导致^φS*t+1研发部≤ GS公司*t+1P-a.s。。定理3.5的证明。优化问题（2.4）的适定性是微不足道的+WST（w，Д）我≤ U型(+∞)适用于所有^1∈ A（w）和S∈ S最优投资组合存在性的证明分为三个部分。（i）我们声称∈ S，函数ΞS:A（w）→ R∪{-∞}由ΞS（Ξ）B EPhU定义WST（w，Д）i、适用于所有^1∈ A（w），这里，11A:X→{0，1}是集合A的指示符函数十、定义asA（X）B（1，如果X∈ A、 0，否则。16 M.R'asonyi和A.Meirelis Rodriguesis依次为上半连续。要看到这一点，让我们∈ A（w）并考虑序列{νn}n∈N A（w）相对于τ收敛到Д。然后^1ntn∈nConverge in probability toДt for all t∈{1, . . .

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