使用这种线性增长条件，Cauchy-Schwarz不等式，andLemma 3.3（同时回顾备注3.4），UWST（w，Д）= UWST公司w、 ^ИS*≤ C1+w+TXs=1GS*sk公司SskRd公司（A.2）对于所有∈ A（w）和S∈ S，因此u（w）≤ C1+w+PTs=1EPGS公司*sEP公司S*s研发部!< +∞.（ii）对于每个S，让泛函ΞS（·）∈ S和Ξ（·）与定理3.5的证明相同。为了建立Ξ（·）的上半连续性，必须证明ΞS（·）对于所有S是顺序上半连续的∈ S，so fix^1∈ A（w）与任意序列{νn}n∈N A（w）在拓扑τ中收敛于Д。辛塞努±WST（w，Дn）在…上∈Nconverge in probability to U±WST（w，Д）, 安得努+WST（w，Дn）在…上∈Nis由（A.2）右侧的可积随机变量控制，我们可以应用Fatou引理和反向Fatou引理来获得LIM supn→+∞ΞS^1n≤ lim支持→+∞EPhU公司+WST公司w、 ^1n我- lim信息→+∞EPhU公司-WST公司w、 ^1n我≤ ΞS（Ξ）。（iii）现在可以通过复制第3.5条证明中的逐字步骤（ii）和（iii）来获得所需的结论。定理3.9的证明。在不丧失一般性的情况下，假设U（）=0。如果U（·）是常数，则L中的任何策略对于（2.4）都是最优的，所以假设不是这样。然后，通过U（·）的凹度，存在C，C>0，使得U（x）≤ Cx+C用于所有x≤ 0.（A.3）现在固定一些*∈ S*, , 设{νn}n∈N L使infS∈塞布WST（w，Дn）i> u（w）- 1/n forevery n∈ N（回想一下u（w）>-∞). 如上所述，我们将φ写为表示^φS*,接下来的内容。证明包括几个步骤。（i） UsingEPhU-WS系列*Tw、 ^1n我≤ U型(+∞)- infS公司∈塞布WST公司w、 ^1n我≤ U型(+∞)- u（w）+所有n∈ N和U(+∞)< +∞, 我们得到了支持∈尼福-WS系列*T（w，Дn）i<+∞. 此外，（A.3）意味着支持∈NEP公司WS系列*Tw、 ^1n-≤Csupn公司∈尼福-WS系列*Tw、 ^1ni+C！<+∞.18 M.R'asonyi和A。

梅雷莱斯·罗德里格斯（ii）自NA（S*) 根据Dalang Morton-Willinger定理[15]，存在概率测度Q*, 等于P，因此S*是Q下的鞅*, 和ζ*B dQ*/dP是由某个常数K限定的Pa.s*> 0。那么，对于每n∈ N、 均衡器*WS系列*Tw、 ^1n-= EP公司ζ*WS系列*Tw、 ^1n-≤ K*supn公司∈NEP公司WS系列*Tw、 ^1n-< +∞, （A.4）Jacod和Shiryaev【22，定理2】的过程*t（w，Дn）ot∈{0,1，…，T}是Q*-鞅。作为aconsequence，supn∈NEQ公司*硬件系统*Tw、 ^1n+我≤ w+supn∈NEQ公司*WS系列*Tw、 ^1n-< +∞,这又意味着supn∈NEQ公司*h类WS系列*T（w，Дn）i<+∞. 事实是NWS系列*t（w，Дn）加班费∈{0,1，…，T}是Q*每个n的子鞅∈ N通向SUPN∈Nsupt公司∈{0,1，…，T}等式*h类WS系列*t型w、 ^1n我≤ supn公司∈NEQ公司*h类WS系列*Tw、 ^1ni<+∞. （A.5）（iii）对拉索尼（Rásonyi）和罗德里格斯·维亚雷尔（RodríguezVillarreal）[33]中引理3.11的证明的直接改编∈Nsupt公司∈{1，…，T}等式*βS*t型κS*t型ζ*t型-1EP/ζ*t |英尺-1.^1nt研发部< +∞. （A.6）事实上，如果我们∈ N和t∈{1，…，T}，然后（A.5）加上^1nt，S*t型研发部=WS系列*t型w、 ^1nt- WS系列*t型-1.w、 ^1nt≤WS系列*t型w、 ^1nt+WS系列*t型-1.w、 ^1nt产量支持∈Nsupt公司∈{1，…，T}EPh^1nt，S*t型研发部i<+∞. 另一方面，使用tower规则、Bayes规则、条件Cauchy-Schwarz不等式和（2.2），公式*h类^1nt，S*t型研发部我≥ 均衡器*h类^1nt，S*t型研发部反对的≥ 均衡器*hβS*t型^1ntRdAnti公司≥ 均衡器*hβS*t型^1ntRdEQ公司*汉特英尺-1ii=等式*“βS*t型^1ntRdζ*t型-1EPhζ*tAnt公司英尺-1i#≥ 均衡器*“βS*t型^1ntRdζ*t型-1南特英尺-1 EP/ζ*t |英尺-1.#≥ 均衡器*“βS*t型^1ntRdζ*t型-1.κS*t型EP公司/ζ*t |英尺-1.#,其中AntBn^1nt，S*t型研发部≤ -βS*t型^1ntRdo和ζ*sB EPζ*|Fs公司对于所有s∈{0，1，…，T}。（iv）接下来，我们声称∈{1，…，T}，存在一个概率测度▄Qt，等价于P，suchthatsupn∈NEQth^1ntRdi<+∞.证明与例如。

Imkeller和Perkowski【21，引理3.2】，但为了方便读者，我们在这里复制它。让t∈{1，…，T}给出，并定义▄Qt:FT→[0，1]为Qt（A）BEQ[AZt]EQ[Zt]，对于所有A∈ FT，关于离散时间市场中模型不确定性下的效用最大化19，其中ZtB minnβS*t（κS*（t）/ζ*t型-1EP1/ζ*t |英尺-1., 1o>0 Q-a.s。。显然，qt等于Q*（因此，通过传递到P）。此外，对于所有n∈ N、 EQth^1ntRdi=EQhZt^1ntRdiEQ【Zt】≤EQ[Zt]支持∈NEQ公司βS*t型κS*t型ζ*t型-1EP/ζ*t |英尺-1.^1nt研发部,结合（A.6）得出预期结果。（v） 自supn起∈NEQh^1nRdi<+∞ 在前一步中，我们可以应用Komlós定理找到可测量的Rd值随机变量φ*带EQhφ*Rdi<+∞ 以及子序列Дn（k）ok∈确保其所有子序列都是Césaro收敛的Q-a.s.到φ*.下一步，因为SUP∈NEQ^1n（k）研发部≤ supn公司∈NEQh^1nRdi<+∞, 我们可以提取进一步的子序列{n（k）}k∈Nof{n（k）}k∈Nsuch THAT nДn（k）正常∈N（及其所有子序列）Césaro收敛Q-a.s.到某个可测Rd值随机变量φ*.重复相同的参数T- 2次以上，我们生产φ*∈ L和原始最大化序列的子序列（为了简单起见，我们继续用{νn}n表示∈N） 这样，对于所有∈{1，…，T}，limn→+∞nnXi=1хit=φ*tQt-a.s.（P-a.s.，因此也是P-概率）。（vi）证明函数Ξ：L→ 由Ξ（Ξ）B infS定义∈塞布WST（w，Д）i、 适用于所有^1∈ L是上半连续展开的，与定理3.5的证明完全一样。因此，Ξφ*≥ lim支持→+∞ΞnnXi=1хi≥ lim支持→+∞nnXi=1Ξ^1i= u（w），第二个不等式是由于假设u（·）是凹的。这将确定φ的最佳值*. 定理3.11的证明。我们使用了一些源自【32】的想法，后来在【30；31】中重复使用。

我们可以并且将假定U（）=0；这可以通过在U（·）上添加一个常数来确保，该常数既不会改变“a（w）”，也不会改变（3.6）的有效性（尽管它可能会改变其中的常数配置）。常数U（·）的情况很少见。在所有其他情况下，U（x）≤ Cx+C用于所有x≤ 0（A.3）适用于某些C，C>0。我们分三步进行证明。（i） 修复S∈ S和部分c＜0；此外，让∈ 带EPhU的L-WST（w，φ）i<+∞ 被给予。定义连续可区分、凹形和严格递增函数\'U:R→ R为U（x）B（x，如果x<0，（x+1）1/2- 1，如果x≥ 0.20 M.R'asonyi和A.Meirelis RodriguesBy Rásonyi和Stettner的命题7.1【34】（另请参阅其中的备注7.4），存在概率测度Q（S）~ P使得S是Q（S）-鞅，dQ（S）/dP是有界的P-a.S。；此外，dP/dQ∈ W（关于类似的构造，请参见拉索尼和罗德里格斯·比利亚雷亚尔【33，引理3.1】）。将dQ（s）/dP的a.s.有界性与（a.3）相结合，得到等式（s）WST（w，Д）-< +∞, 因此，根据Jacod和Shiryaev的定理2【22】过程w（w，ν）ot∈{0,1，…，T}是一个Q（S）-鞅。特别是，等式（S）hWST（w，Д）i=w.（A.7）。接下来，选择θ>1，使αθ<1。然后，EPhU+WST（w，Д）我≤ EP公司U型+WST（w，Д）θ+ 1.≤ CEP公司WST（w，Д）+αθ+ 1.≤ C等式hWST（w，ν）+iαθ+1≤ CEQ（S）hWST（w，Д）-i+| w|αθ+ 1≤ CEPhWST（宽，Д）-iαθ+1≤ CEPhU公司-WST（w，Д）iαθ+1, （A.8）具有合适的常数C、C、C、C∈(0, +∞)不取决于策略。这里，第一个不等式很简单，而我们在第二个不等式中使用（3.6），霍尔德不等式（指数/αθ>1）和dp/dQ（s）∈ 在第三个不等式中为W，（在第四个不等式中为A.7），在fifthinequality中为dq（S）/dP的有界性，在最后一个不等式中为（A.3）。因此，EPhU+WST（w，Д）i<+∞.最后，定义了十亿欧元∈ L：EPhUWST（w，Д）我≥ co，并考虑任意的ν∈ Dc（S）。

我们注意到Dc（S）是L（w，S）BnД的凸集∈ L：EPhU-WST（w，Д）i<+∞o（由于我们的惯例+∞-∞ B-∞). 如果x≥ 0满意1+xαθ-x个≥ D对于某些D<0<D，则X≤（2D）1-αθ+2（D- D） 。（A.9）将该观察结果应用于DB C、DB C和x B EPhU-WST（w，Д）i、 我们从（A.8），（A.9），andEPhU+WST（w，Д）i=EPhUWST（w，Д）i+EPhU-WST（w，Д）我≥ c+EPhU-WST（w，Д）ithatsup^1∈直流（S）EPhU-WST（w，Д）i<+∞. （A.10）因此，再次使用（A.8）给出∈Dc（S）EPU型+WST（w，Д）θ< +∞. （A.11）（ii）考虑功能性ΞS:L（w，S）→ 定义为ΞS（Д）B EPhUWST（w，Д）i、 适用于所有^1∈\'L（w，S）。与前面的证明类似，我们证明了ΞSon Dc（S）的上半连续性。如果离散时间市场中模型不确定性下的Dc（S）isOn效用最大化为空，则无需证明。否则，设{ψn}n∈N Dc（S）收敛到某个ψ（在L的拓扑中）。根据德拉瓦莱-普桑定理，（A.11）暗示了家族的一致可积性+WST（w，ψn）在…上∈N、 soΞS（ψ）≥ lim支持→∞ΞSψn≥ c、 这不仅需要ΞS（·）的上半连续性，而且需要ψ∈ 以及Dc。换句话说，我们还知道Dc（S）在L中是闭合的。那么很容易看出：(R)A（w）→ R由Ξ（Д）B infS给出∈SΞS（Д），适用于所有Д∈\'A（w），也是上半连续的，在∩S∈SDc（S）。（iii）现在我们转向展示乐观主义者的存在。取序列{φn}n∈N\'A（w）使得Ξ（φn）→ sup^1∈\'A（w）Ξ（Д）为n→ ∞. c<0，使得φn∈ ∩S∈所有n的SDc∈ N largeenough（否则我们可以提取一个子序列{φnk}k∈NwithΞ（φnk）<-k代表所有k∈ N、 导致合同u（w）=-∞). 修复任意S*∈ S

回顾（A.3）、（A.10）和dq（S）的有界性*)/dP，supn∈NEQ（S）*)[（WS*T（w，φn））-] < +∞,这也意味着*)-NWS的鞅性质*t（w，φn）ot∈每n{0,1，…，T}∈ N、 thatsupn公司∈NEQ（S）*)h类WS系列*Tw、 φni<+∞.从这一点开始，我们可以比照定理3.9证明中的步骤（iii）到（v），得到一个最优策略φ*∈ ∩S∈SDc（S）(R)A（w）。参考文献[1]Acciaio，B.、M.Beiglb"ock、F.Penkner和W.Schachermayer（2016）。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学财务26（2），233–251。内政部：10.1111/百万。12060.[2]Bartl，D.（2019）。无界禀赋模型不确定性下的指数效用最大化。安。应用程序。概率。29(1), 577–612. 内政部：10.1214/18-AAP1428。[3] Bartl，D.、P.Cheridito和M.Kupper（2019年）。具有中间极限的鲁棒期望效用最大化。J、 数学。肛门。应用程序。471(1–2), 752–775. 内政部：10.1016/j.jmaa。2018.11.012.[4] Beiglb"ock，M.、P.Henry Labordère和F.Penkner（2013年）。期权价格的模型独立界限：大众运输方法。金融斯托克。17(3), 477–501. 内政部：10.1007/s00780-013-0205-8。[5] Blanchard，R.和L.Carassus（2018年）。无界效用函数的离散时间多先验最优投资。安。应用程序。概率。28(3), 1856–1892. 内政部：10.1214/17-AAP1346。[6] Blanchard，R.和L.Carassus（2019年10月）。离散时间内具有多个先验的无套利。预印本（第2版）。检索自arXiv:1904.08780v2。[7] Bouchard，B.和M.Nutz（2015年）。非支配离散时间模型中的套利和对偶。安。应用程序。概率。25(2), 823–859. 内政部：10.1214/14-AAP1011.22 M.R'asonyi和A.Meirelis Rodrigues【8】Burzoni，M.，M.Fritelli，Z.Hou，M.Maggis和J.OblóJ（2019年）。不区分时间的逐点套利定价理论。数学操作。第44（3）号决议，1034-1057年。内政部：10.1287/moor。2018.0956.[9] Burzoni，M.，M。

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