此外，预付款的信号也很有趣：由于它是负数，人们通常会收到钱来购买超级高级部分的保护，以及在样本期结束时购买高级部分的保护。为了校准回收，我们研究了2005年至2014年间CDX系列1至22中所列实体导致损失（即破产、未能支付和重组）的所有信贷事件。不适用。IG，CDX。不适用。HY，iTraxx。欧元和iTraxx。欧元。X以上。表2列出了导致损失的43起信贷事件的汇总统计数据。一个值得注意的观察结果是，平均值和中位数都显著低于企业信贷组合建模时通常假设的40%回收率。此外，虽然大约一半的损失与CDX有关。不适用。众所周知，HY实体的风险更大，这一观察结果对消除此类事件非常有效。在图8中，我们展示了回收率的离散化分布以及β-二项函数的结果。将[0%，100%]区间划分为10个大小相等的箱子，并将43个回收率中的每一个分配给一个箱子。然后，通过最大化可能性获得α=0.4和β=1.1的β二项式参数，得出29%和27%的拟合平均值和标准偏差。最小第一季度中值平均第三季度最大值。

Std%0 6 16 28 42 94 28表2：2013-10 2015-05010%20%DateUpfront回收汇总统计图7:CDX。不适用。IG。21样本期间的前期值（百分比）。图7显示了权益（黑色）、夹层（灰色）、高级（浅灰色）和超高级（点浅灰色）份额的前期。[0，10]（30，40）（60，70）（90100）00.20.4恢复概率数据图8：恢复数据和β二项函数。数据点表示每10%间隔内导致损失的信贷事件数除以事件总数，实线是β二项函数的结果。5.2校准let Pai，bi，aiand bifor i∈ {1，…，4}表示引用的各部分的前端和附件/分离点。对于此类衍生产品，合同买方在付款日期0=T向卖方支付预先确定的息票≤ ··· ≤ Tn=T，其中T是合同到期日，我们将这一系列现金流称为溢价段Vprem。合同卖方在违约日期向买方支付违约或有现金流，当损失发生时，我们将这一系列现金流称为保护段Vprot。然后，Vprot给出买方的合同价值- Vprem。对于用θ参数化的模型 Θ Rl（即，l是参数的数量），我们表示byPai，bi（θ）模型价格，即满足的数量Yingpai，bi（θ）（bi- ai）+Vai，biprem（θ）=Vai，biprot（θ），其中bi- Ai是份额宽度，溢价和保护段定义为Vai，biprem（θ）=Sai，biEθnXj=1e-RTjrsdsZTjTj-1.b- 一- Ta、btdt公司, Vai，biprot（θ）=Eθ“中兴通讯-RtrsdsdTai，bit#，具有Sai、bithe分期价差、time-t无风险利率rt和无风险债券价格B（t），到期日t，名义值等于1。

在实践中，我们使用constantEqu Mezz Sen Super-sen05%10%15%UpfrontEqu Mezz Sen Super-Sen0150300450绝对定价错误图9：CDX确定时间网格0=t<t<····<tm=t。不适用。IG。2014年1月6日，21个前期百分比（左）和基点绝对误差（右）。适用于单因子高斯（虚线）、单因子t copula（虚线）、双因子高斯克莱顿copula（灰色）和带两个高斯的单因子混合物（黑色）。阴影区域是买卖价差。和小时间步长ti- ti公司-1=t和近似支腿值，如下所示，Vai，biprem（θ）≈ Sa，bnXj=1B（Tj）（Tj- Tj公司-1） （b）- （a）-XTj公司-1.≤tk公司≤Tj公司t EθhTa，btki,Vai，biprot（θ）≈mXj=1Btj+tj-1.EθhTa，btj- Ta，btj-1i,其中，离散化假设独立的短期利率和默认时间，如【Mor06】所示。假设rt=0，且同质投资组合无回收（即，`j=1），我们假设违约概率为pj，t=1- e-λt，j∈ {1，…，125}其中λ是信用指数掉期利差。当使用β-二项回收率时，我们使用pj，t=1- e-λt/（1）-R） ，其中R是预期恢复。请注意，我们可以使用个别利差而不是指数利差。由于我们无法获得此类数据，而且正如下一节所示，对部分数据的良好校准并不保证这一点，因此此类方法将作为未来研究的方向。最后，通过最小化定价误差平方isbθ=argminθ对模型进行校准 ΘXi=1Pai，bi- Pai，bi（θ）. （18） 我们分两步求解（18）。首先，我们探索参数空间，通过差异进化算法找到一个良好的起始值。其次，我们使用Nelder-Mead算法来重新确定解决方案，通过参数转换来强制执行边界。5.3结果图9显示了2014年1月6日各种copulas模型的安装前端。

虽然单因素高斯（虚线）完全无效，但单因素t copula（虚线）和双因素高斯Clayton copula（灰线）的表现更好，但错过了高级部分。实现完美fit（即黑线）的唯一模型是以下单因子二高斯混合，V（uj，V）=wCρuj，V（uj，V）+（1- w） CρUj，V（Uj，V），j=1，125带w∈ [0，1]和Cρiis是参数ρi（即θ=（w，ρ，ρ）和Θ=[0，1]×的高斯copula[-1，1]×[-1，1]）。每天对样品的混合物模型重复（18），我们获得校准参数的时间序列，如图10所示。有两个有趣的观察结果可以得出。首先，参数随时间变化不大，这表明模型不是00.5100.512013-10 2015-0500.51图10:CDX。不适用。IG。21高斯混合参数的时间序列。显示校准的w（普通）、ρ（虚线）和ρ（虚线）。三个参数集：θ=（w，ρ，ρ）带β-二项恢复（顶部），θ=（w，ρ，ρ）带零恢复（中部），θ=（w，ρ，0.99）带零恢复（底部）。参数化过度，可可靠估计。其次，无论我们假设贝塔二项式还是零恢复，参数都非常相似。第三，无论回收率是零还是β二项式，参数ρ都接近1，这意味着混合物的第二组分描述了因子与每个实体的均匀随机变量之间的共单调关系。通过计算ρ=0.99并校准w和ρ，我们在参数值方面获得了类似的结果，图10中也报告了相应的参数时间序列。图11显示了四个部分中每个部分的模型诊断。对于样本期内的每一天，定价错误，即Pai、bi- 显示i=1、2的Pai、bi（θi）以及投标askspread、Pai、biask- Pai，bibid。

由于定价误差远低于买卖价差，因此这两种模型都对股票和夹层部分进行了完美校准。然而，对于ρ=1的高级部分、高级部分和贝塔二项回收的样本结束，以及超级高级部分，定价错误和买卖价差具有相同的数量级。为了缓解这一问题，我们可以将（18）右侧的最小化目标从档位宽度百分比改为美元金额。换言之，通过（bi）加权总和的每一项- ai），我们将增加目标函数中超高级部分的相对重要性。尽管如此，定价误差（以及买卖价差）比预付款本身小10到30倍。总之，我们对所有批次都实现了几乎完美的校准，只有两个参数随时间保持稳定。此外，对回收率分布的假设对整体fit质量的影响很小。使用该模型，可以对具有非标准附着点和分离点的部分进行定价，或者使用命题2.5.6的结论研究一些陷入困境的公司的影响。我们描述了一类灵活且易于处理的基于copula的相关违约时间和损失模型。我们证明了常见的标准模型是作为特例嵌套的，并且可以构建许多其他模型。随着损失在有限网格上取值，我们展示了如何使用离散傅立叶变换技术有效地计算投资组合的准确损失分布。这使我们能够在不进行模拟的情况下研究复杂投资组合的损失分布，例如份额投资组合，也称为asCDO平方。我们数值研究了各种模型特征对投资组合损失分布的影响。

我们根据信贷指数份额价格校准了多个模型，并表明，仅使用两个随时间稳定的参数，特定规格就可以实现对所有份额的最完美校准。因此，我们的框架是风险管理和定价应用程序的可靠解决方案。潜在的未来研究方向包括使用企业级数据估计自下而上的模型，以及探索具有随机违约强度的模型。0100501005012013-10 2015-0501050010050Mezzanine Tranche101005012013-10 2015-0501050010050Senior Tranche101005012013-10 2015-0501050010050Super-senior Tranche101005012013-10 2015-050100050图11：在CDX上校准的模型诊断。不适用。IG。21部分。时间序列以三个参数（w，ρ，ρ）和贝塔二项（顶部）或零（中间）恢复，或两个参数（w，ρ，0.99）和零恢复（底部）的模型的买卖价差（黑色）和定价误差（灰色）为基点显示。证明本附录包含正文中所有定理和命题的证明。引理证明2.1违约重写的联合概率sp[τ≤ t、 ，τN≤ tN]=P[U≤ p1，t，联合国≤ pN，tN]=CU（p1，t，…，pN，tN），其中第二行后面是CU的定义。命题2.2的证明注意，对于所有j=1，N随机向量（Uj，V）取[0，1]上的值，并且具有统一的边缘密度，这意味着p[Uj≤ uj，V≤ v] =某些二元copulas的CUj，v（uj，v）CUj，Vand any（uj，v）∈ [0，1]。因此我们有p[Uj≤ uj | V=V]=CUj | V（uj | V），并将其插入方程（5），然后对V的密度fV（V）=V进行积分。

，uN）=ZNYj=1P[Uj≤ uj，V≤ v] fV（v）dv=ZNYj=1CUj，v（uj，v）dv。所需表达式遵循引理2.1。命题2.5的证明我们表示UI向量，该向量包含I D中U的坐标，而UJ包含D中的坐标。为了可读性，我们假设坐标按照U=（UI，UJ）排序。类似地，我们将边际违约概率分为两个向量Pland和pJ。NIand NJ分别给出的Ui和UJare的大小=N-镍。我们直接用v写出多元情形的证明∈ [0，1]d.以k违约为条件的联合违约概率∈ D实体然后重写sp[τ≤ t、 ，τN≤ tN |τk=tk:k∈ D] =P【U】≤ p1，t，联合国≤ pN，tN | Uk=pk，tk：k∈ D] =R[0，pI]cUI，UJ（uI，pJ）duIR[0,1]NIcUI，UJ（uI，pJ）duI=R[0,1]dCUI | V（pI | V）cUJ，V（pJ，V）dCV（V）R[0,1]dcUJ，V（pJ，V）dCV（V）。第二个等式来自对度量条件概率的定义。第三个定义来自因子copula和Fubini定理的定义，Z[0，x]cUI，UJ（uI，pJ）duI=Z[0,1]dYUj∈UIZxjcUj，V（u，V）duYUj∈UJcUj，V（uj，V）dCV（V），以及rxjcuj，V（u，V）du=CUj | V（xj | V）和CUj | V（1 | V）=1。或者，同样的结果可以通过首先显示p[τ≤ t、 ，τN≤ tN |{τk=tk:k∈ D}∪{V=V}]=R[0，pI]cUI，V（x，V）dx cUJ，V（pJ，V）cV（V）R[0,1]NIcUI，V（x，V）dx cUJ，V（pJ，V）cV（V）=Yj∈I\\DCUj | V（pj，tj | V），然后根据以下条件密度进行积分≤ v |{Uk=pk，tk：k∈ D} ]=R[0，v]Qj∈DcUj，V（pj，tj，x）dCV（x）R[0,1]dQj∈DcUj，V（pj，tj，x）dCV（x）。命题2.6的证明V-条件联合违约概率为等式（4）中的类似表达式。无条件联合违约概率通过对v的联合密度cV（v）进行积分得出，从而给出CUas dCV（v）=cV（v）dv的表达式。

现在观察随机向量（Uj，V）的联合分布是由（1+d）维copula CUj，vf为所有j给出的构造∈ 一、 根据定义，我们必须有cuj，V（uj，V）=P[uj≤ uj，V≤ v] =零电压···零电压差[Uj≤ uj | V=y]dP[V≤ y] =Zv···ZvdCUj | V（uj | y）dCV（y）表示所有（uj，V）∈ [0，1]1+D给出了方程式（8）。推论2.7的证明V的密度由CV（V）=Qdj=1vj给出，并且在[Joe96]之后，条件copula由Cuj | V（uj | V）给出=CUj，Vk | V-kCUj | V-k（uj | v-k） ，vk | v-kVK对于任何k=1，d、 其中V-k=（V，…，Vk-1，Vk+1，Vd）表示无第k坐标的随机向量V。通过迭代前面的方程，条件copula CUj | V（uj | V）可以写为连接copulasCU（u，…，un）=Z[0,1]dNYj=1CUj | V（·| V）的二元递归组合o ··· o CUj | Vd（uj | Vd）dv其中CUj，Vkdenotes是j=1，…，的二元copula，N和k=1，d、 定理2.8的证明观察随机向量U=（FY（Y），FYN（YN））和V=（FX（X），FXd（Xd））通过构造具有均匀的边缘，这表明它们的分布由copulas给出。下面的定理证明了CV的存在性。定理A.1（Sklar定理1959）。FVis是一种联合发行，利润率为FXifor i∈ {1，····，d}当且仅当存在一个copula CV，这是一个分布，它在单位超立方体中得到支持，并且具有统一的边距，使得FX（x，…，xN）=CV（FX（x），FXN（xN））适用于所有x∈ 注册护士。此外，如果边距是连续的，则CVI是唯一的。对于所有v∈ 这个定理意味着Cv（v，…，vd）=FXF-1X（v），F-1Xd（vd）= P十、≤ F-1X（v），Xd公司≤ F-1Xd（vd）= P【FX（X）】≤ vFXd（Xd）≤ vd）=P[V≤ vVd公司≤ vd]。因此，copula-cv是概率积分变换的联合分布。Y的X条件依赖性意味着p[Y≤ y1t。

，YN≤ yNtN | X=X]=NYj=1FYj | X（yjtj | X），其中FYj | X表示yj条件在X上的分布，使得p[τj≤ tj | X=X]=PUj公司≤ pj，tj | V=V,式中，v=▄FX（x）：=（FX（x），FXd（xd））。通过应用Sklar定理的条件等价物：定理A.2（巴顿定理2002），最终可以获得上述概率的copula表示。FY | Xis是一种联合条件分布，有条件利润FYi | xfori∈ {1，····，N}当且仅当存在一个条件copula CU | V，这是一个条件分布，它在单位超立方体中得到支持，并且具有统一的条件边距，使得FY | X（y，…，yN | X）=CU | V（FY | X（y | X），FYN | X（yN | X）| FX（X））所有y∈ RNand x∈ R、 此外，如果条件边距是连续的，则CU | Vis是唯一的。适用于所有u∈ [0，1]Nand v∈ [0，1]d该定理意味着cu | V（u，…，uN | V）=FY | XF-1Y | X（u），F-1YN | X（uN）| F-1X（v）= 物理层≤ F-1Y | X（u），YN公司≤ F-1YN | X（uN）| X=~F-1X（v）i=PhFY | X（Y | X）≤ 联合国，FYN | X（YN | X）≤ uN | FX（X）=vi=P[U≤ u联合国≤ uN | V=V]。换句话说，copula CU | Vis也是条件概率积分变换的联合条件分布。因此，违约时间的联合条件分布由P给出τ≤ t、 ，τN≤ tN | X=F-1X（v）= P【U】≤ p1，t，联合国≤ pN，tN | V=V]=CU | V（p1，t，…，pN，tN | V），完成证明。命题3.1违约时间和损失金额独立于V we haveheilutδ的证明-1 | V=vi=EheiuPNj=1{τj≤t} `jδ-1 | V=vi=NYj=1Eheiu{τj≤t} `jδ-1 | V=Vi此外，通过随机变量{τj}的独立性≤t} V上的条件，我们有{τj≤t} `jδ-1 | V=vi=1- P[τj≤ t | V=V）+P[τj≤ t | V=V]φ\'j（u，V），其中φ\'j（u，V）：=Eheiu\'jδ-1 | V=V'jδ的条件特征函数-1.

我们最终应用塔的特性φLt（u）=EhEheiuLtδ-1 | V=vii=Z[0,1]Deheiltδ-1 | V=vidCV（V）=Z[0,1]d1.- pj，t（v）+pj，t（v）φ\'j（u，v）dCV（v），其中cv是X的密度，pj，t（v）=CUj | v（pj，t | v）。引理3.2的证明该证明是离散傅里叶变换反演的一个应用。观察随机变量ltδ-1具有状态空间{0，1，…，M}。其离散傅里叶变换由fm=MXk=0P给出Ltδ-1=ke-i2πmkM+1=φLt-2πm（m+1）其中，命题3.1中的φLtas是Ltδ的特征函数-1、概率质量函数可恢复如下：p[Lt=kδ]=M+1MXm=0Fmei2πmkM+1。等式（13）如下所示，符号可以在复数权重之间等效切换。命题证明3.4该命题的证明直接来自有限网格上离散支持的因子copula构造。推论3.5的证明直接来自命题3.1和命题3.4。命题3.3的证明通过构造，我们有fx，y：=φNt，Lt（ux，νy）=ENYj=1expi{τj≤t} （ux+νy\'jδ-（1）= E经验值NXj=1i{τj≤t} （ux+νy\'jδ-（1）= EheiuxNt+iνyLtδ-1使用最后一个期望和u和ν的显式表达式，我们得到fx，y=NXj=0MXk=0P[Nt=j，Lt=δk]ei2πjN+1xei2πkM+1y。最后一个表达式是变量密度（Nt，Ltδ）的二维离散傅立叶变换-1） 。然后，可通过应用二维离散傅里叶逆变换反演，立即反演密度，如下所示：p【Nt=j，Lt=δk】=NXx=0MXy=0Fx，ye-i2πxN+1je-i2πyM+1k。B标准Copula模型我们在本节中得出了关于多名称信贷风险的文献中提出的最流行模型的因子Copula表示。高斯copula模型。

让我们用cgu表示高斯copula和h函数，V（u，V；ρ）=ΦΦ-1（u），Φ-1（v）；ρandCGU；V（u | V；ρ）=ΦΦ-1（u）- ρΦ-1（v）1- ρ,其中Φ（·）是标准正态分布，Φ（·，·；ρ）是具有相关ρ的二元正态分布。例如，当d=1且所有二元copula均为高斯分布时，则默认时间的联合分布表示为1因子模型的copula j=βjX+q1- βjZj，其中X，Z，zn是i.i.d.N（0，1）随机变量。在这种情况下，将债务人j违约与系统因素联系起来的二元copula的相关参数为βj。考虑到j的唯一相关参数βj=ρ∈ {1，…，N}，[Li00]是我们公式的特例。此外，当d>1时，违约时间的联合分布表示为d-因子模型j=pXi=1βj，iXi+Zj的copula，其中X，Xp，Z，zn是i.i.d.N（0，1）随机变量。在这种情况下，第二到d因子的参数是偏相关，即ρUj，Vk | X，。。。，Vk公司-1=Cov（Yj，Xk | X，…，Xk-1） pV ar（Yj | X，…，Xk-1） pV ar（Xk | X，…，Xk-1） =βj，kq1- βj，1- ··· - βj，k-1、随机相关模型。建立更复杂的因子模型很简单，随机相关模型通过写入yj=（Bjαj+（1- Bj）βj）X+q1- （Bjαj+（1- Bj）βj）Zj，其中Bj是i.i.d.Bernoulli（Bj）和X，Z，ZNas之前。对于该模型，二元copula是高斯copula的凸和，即isCSCUj，V（uj，V；αj，βj，bj）=bjCGU，V（u，V；αj）+（1- bj）CGU，V（u，V；βj）。因此，推导h函数很简单。t-Student模型。通常，t-student模型通过考虑Yj来指定=√WβjX+q1- βjZj其中，W是一个i.i.d.随机变量，比如ν/W是χ（ν），X，Z，ZNas之前。

然后默认时间独立于（W，X）条件，其条件概率分布很容易推导出来（参见[BGL09]）。利用我们的公式，我们通过直接考虑copula和h函数得到了一个等价的t-student模型，即isCtU，V（u，V；ρ，ν）=t（t-1ν（u），t-1ν（v）；ρ、 ν）和CTU；V（u，V；ρ，ν）=tν+1（f（u，V）），其中f（u，V）=t-1ν（u）- ρt-1ν（v）r（1-ρ）ν+（t-1ν（v））ν+1，其中tν（·）是具有ν自由度的t-student分布，t（·，·；ρ，ν）是具有相关ρ和自由度ν的双变量t-student分布。与其他公式相比，我们的替代方案只需要一维积分。此外，对每个二元copula使用不同的自由度可以在不增加成本的情况下提供额外的建模灵活性。阿基米德模型。通过考虑连续的、严格递减的、凸的生成元ψ：[0，1]×Θ，建立了单参数阿基米德copula→ [0，∞) 使得ψ（1；θ）=0表示所有θ∈ Θ，其中Θ表示参数空间。

使用该生成器，通过写入cψU，V（U，V；θ）=ψ，得到一个二元copula-1（ψ（u；θ）+ψ（v；θ）；θ） 。对于这样的copula，h函数CψU；Vis通常很容易推导，我们在表3中总结了最流行的Vis。生成器ψ反向生成器ψ-1参数空间ΘClaytonu-θ-1θ（1+θu）-1/θ（0，∞)甘贝尔(-对数（u））θexp-u1/θ[1，∞)直率的-日志经验值(-θu）-1exp(-θ）-1.-θlog（1+exp(-t） （经验值(-θ）- 1） （）(-∞, ∞) \\{0}乔-日志1.- （1）- u） θ1.- （1）- 经验值(-u） ）1/θ[1，∞)独立-日志（u）扩展(-u）Copula CψU，VClaytonu-θ+v-θ- 1.-1/θGumbel e-((- 对数（u））θ+(- log（v））θ）1/θFrank-θ对数1.-e-θ-（1）-e-uθ）（1-e-vθ）1-e-θ乔1-（1）- u） θ+（1- v） θ- （1）- u） θ（1- v） θ1/θ独立uvh函数CψU | VClayton CψU，V（U，V；θ）V-1.-θGumbel CψU，V（U，V；θ）((- 对数（u））θ+(- 对数（v））θ）1/θ-1个(- log（v））θv log（v）Frankeθeθu- 1.eθu+θv- eθu+θ- eθv+θ+eθvJoeCψU，V（U，V；θ）1.-θ（1- v） θ-1（1- （1）- u） θ）独立性可换表3：阿基米德copulas描述生成器ψ，逆生成器ψ-1、参数空间Θ、copula CψU、V和h函数CψU | V。参考文献【ACFB09】Kjersti Aas、Claudia Czado、Arnoldo Friessesi和Henrik Bakken。多重依赖的成对copula结构。《保险：数学与经济学》，44（2）：182–1982009年4月。【AF16】Damien Ackerer和Damir Filipovi\'c.线性信用风险模型。瑞士金融机构研究论文（16-34），2016年。【AH08】萨拉赫·阿姆拉维和塞巴斯蒂安·希蒂尔。基相关的最优随机恢复。2008年【ALS07】Hansj¨org Albrecher、Sophie A Ladoucette和Wim Schoutens。综合CDO定价的通用单因素L'evymodel。《数学金融进展》，第259-277页。Birkhauser Boston，2007年。爱德华·奥尔特曼、安德里亚·雷斯蒂和安德里亚·西罗尼。信用风险模型中的违约回收率：文献回顾和经验证据。《经济注释》，33（2）：183–208，2004年。[AS04]Leif Andersen和Jakob Sidenius。

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